Ранг основной матрицы и ранг расширенной матрицы – . (. ): 1.6. . e »

Содержание

Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу А размерности

Выделим в ней произвольно kстрок и kстолбцов. Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определительk-го порядка. Все такие определители называютсяминорами матрицы А.

Определение. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называетсярангом матрицы. Обозначаетсяr(A).

Свойства ранга матрицы:

При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.
Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.
Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы.
Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ее ненулевых строк.

Системы линейных алгебраических уравнений.

Рассмотрим применение матриц и определителей для исследования и решения системы mлинейных уравнений сnнеизвестными

Коэффициенты и свободные членысчитаются заданными. В матричной форме система имеет вид, гдеА– матрица коэффициентов системы,B— вектор-столбец свободных членов,X— вектор-столбец неизвестных.Расширенной матрицей называется матрица

Понятия совместности и определенности системы рассмотреть самостоятельно.

Теорема Кронекера-Капелли

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матриц равен рангу основной матрицы.
Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственной решение.
Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.
Если ранг основной матрицы меньше ранга расширенной матрицы, то система имеет решений.

Формулы Крамера

Дана система трех уравнений с тремя неизвестными

(1)

Основную роль играют следующие четыре определителя:

, ,,.

Определитель Dназывается определителем системы (1). ОпределителиD_x,D_y,D_zполучаются из определителяDзаменой свободными членами элементов соответственно первого, второго и третьего столбцов.

Возможны следующие случаи.

Случай 1 (D¹0). В этом случае существует единственное решение системы, и оно может быть найдено по следующим формулам, которые называются формулами Крамера.

Случай 2 (D=0). В этом случае решение системы может не существовать или система может иметь бесконечное число решений. Например, система

не имеет решения, а система

имеет бесконечное число решений.

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы и метод Гаусса рассмотреть самостоятельно.

Системы линейных однородных уравнений

Пусть дана система линейных однородных уравнений

Однородная система всегда совместна (), она имеетнулевое (тривиальное) решение .

Теорема 1. Для того, чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы был меньше числа неизвестных, т.е. .

Теорема 2. Для того, чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю.

Координаты точки на прямой и плоскости. Деление отрезка в данном отношении.

Аналитическая геометрия изучает геометрические образы алгебраическими методами. Аппаратом аналитической геометрии является метод координат, разработанный Декартом в XVII веке. В основе метода координат лежит понятие системы координат.

Две взаимно перпендикулярные оси О_хиО_у, имеющие общее начало О и одинаковую масштабную единицу, образуют прямоугольную систему координат. ОсьО_хназывается осью абсцисс, осьО_у– осью ординат.

В прямоугольной системе координат О_хуточку М, имеющую координатых и у, обозначаютМ(х; у), гдех– абсцисса точки, ау– её ордината.

Пусть в прямоугольной системе координат заданы точки

М₁(х_1,у₁)иМ₂(х₂;у₂). Расстояние между ними определяется по формуле:

(1)

Теорема. Для любых трех точек А(х₁;у₁),В(х₂;у₂) и С(х₃;у₃), не лежащих на одной прямой, площадь S треугольника АВС вычисляется по формуле

(2)

Пусть на плоскости дан произвольный отрезок М₁М₂и пустьМ– любая точка этого отрезка, отличная от точкиМ₂(рис.1).

Координаты точки М(х;у)делящей отрезок между точкамиМ₁(х₁;у₁)иМ₂(х₂

;у₂)в заданном отношенииλ, определяются по формулам:

(3)

При λ=1получаем формулы для координат середины отрезка:

(4)

у М₂(х₂;у₂)

М₁(х₁;у₁) М(х;у)

ρ М

О Р₁Р Р₂хOφ

рис.1 рис.2

В полярной системе координат положение точки М на плоскости определяется её расстоянием |ОМ|=ρот полюсаО(ρ–полярный радиус-вектор точки) и угломφ, образованным отрезкомОМс полярной осьюОЕ(рис.2). Уголφсчитается положительным при отсчете от полярной оси против часовой стрелки.

Прямоугольные координаты хиуточкиМи её полярные координатыρиφсвязаны следующими формулами

studfiles.net

Как найти ранг расширенной матрицы?

Найти ранг матрицы: способы и примеры

Понятие ранга матрицы

Определение. Рангом матрицы называется максимальное число линейно независимых строк, рассматриваемых как векторы.

Теорема 1 о ранге матрицы. Рангом матрицы называется максимальный порядок отличного от нуля минора матрицы.

Понятие минора мы уже разбирали на уроке по определителям, а сейчас обобщим его. Возьмём в матрице сколько-то строк и сколько-то столбцов, причём это «сколько-то» должно быть меньше числа строк и стобцов матрицы, а для строк и столбцов это «сколько-то» должно быть одним и тем же числом. Тогда на пересечении скольки-то строк и скольки-то столбцов окажется матрица меньшего порядка, чем наша исходная матрица. Определитель это матрицы и будет минором k-го порядка, если упомянутое «сколько-то» (число строк и столбцов) обозначим через k.

Определение. Минор (r+1)-го порядка, внутри которого лежит выбранный минор r-го порядка, называется называется окаймляющим для данного минора.

Наиболее часто используются два способа отыскания ранга матрицы. Это способ окаймляющих миноров и способ элементарных преобразований (методом Гаусса).

При способе окаймляющих миноров используется следующая теорема.

Теорема 2 о ранге матрицы. Если из элементов матрицы можно составить минор r-го порядка, не равный нулю, то ранг матрицы равен r.

При способе элементарных преобразований используется следующее свойство:

— если путём элементарных преобразований получена трапециевидная матрица, эквивалентная исходной, то рангом этой матрицы является число строк в ней кроме строк, полностью состоящих из нулей.

Отыскание ранга матрицы способом окаймляющих миноров

Окаймляющим минором называется минор большего порядка по отношению к данному, если этот минорм большего порядка содержит в себе данный минор.

Например, дана матрица

Возьмём минор

окаймляющими будут такие миноры:

Алгоритм нахождения ранга матрицы следующий.

1. Находим не равные нулю миноры второго порядка. Если все миноры второго порядка равны нулю, то ранг матрицы будет равен единице (r =1).

2. Если существует хотя бы один минор второго порядка, не равный нулю, то составляем окаймляющие миноры третьего порядка.

Найти ранг матрицы: способы и примеры

Если все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, то ранг матрицы равен двум (r =2).

3. Если хотя бы один из окаймляющих миноров третьего порядка не равен нулю, то составляем окаймляющие его миноры. Если все окаймляющие миноры четвёртого порядка равны нулю, то ранг матрицы равен трём (r =2).

4. Продолжаем так, пока позволяет размер матрицы.

Пример 1. Найти ранг матрицы

Решение. Минор второго порядка .

Окаймляем его. Окаймляющих миноров будет четыре:

Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, следовательно, ранг данной матрицы равен двум (r =2).

Проверить решение можно на калькуляторе онлайн Вычисление ранга матрицы.

Пример 2. Найти ранг матрицы

Решение. Ранг данной матрицы равен 1, так как все миноры второго порядка этой матрицы равны нулю (в этом, как и в случаях окаймляющих миноров в двух следующих примерах, дорогим студентам предлагается убедиться самостоятельно, возможно, используя правила вычисления определителей), а среди миноров первого порядка, то есть среди элементов матрицы, есть не равные нулю.

Проверить решение можно на калькуляторе онлайн Вычисление ранга матрицы

Пример 3. Найти ранг матрицы

Решение. Минор второго порядка этой матрицы , в все миноры третьего порядка этой матрицы равны нулю. Следовательно, ранг данной матрицы равен двум.

Проверить решение можно на калькуляторе онлайн Вычисление ранга матрицы.

Пример 4. Найти ранг матрицы

Решение. Ранг данной матрицы равен 3, так как единственный минор третьего порядка этой матрицы равен 3.

Проверить решение можно на калькуляторе онлайн Вычисление ранга матрицы.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Матрицы

Отыскание ранга матрицы способом элементарных преобразований (методом Гаусса)

Уже на примере 1 видно, что задача определения ранга матрицы способом окаймляющих миноров требует вычисления большого числа определителей. Существует, однако, способ, позволяющий свести объём вычислений к минимуму. Этот способ основан на использовании элементарных преобразований матриц и ещё называется также методом Гаусса.

Под элементарными преобразованиями матрицы понимаются следующие операции:

1) умножение какой-либо строки или какого либо столбца матрицы на число, отличное от нуля;

2) прибавление к элементам какой-либо строки или какого-либо столбца матрицы соответствующих элементов другой строки или столбца, умноженных на одно и то же число;

3) перемена местами двух строк или столбцов матрицы;

4) удаление «нулевых» строк, то есть таких, все элементы которых равны нулю;

5) удаление всех пропорциональных строк, кроме одной.

Теорема. При элементарном преобразовании ранг матрицы не меняется. Другими словами, если мы элементарными преобразованиями от матрицы A перешли к матрице B, то .

Используя эту теорему, отправляясь от любой матрицы A всегда можно прийти к такой матрице B, вычисление ранга которой не представляет затруднений. Для этого следует добиться, чтобы матрица B была трапециевидной.

Тогда ранг полученной матрицы будет равен числу строк в ней кроме строк, полностью состоящих из нулей.

Пример 5. Найти ранг матрицы

Решение. Подвергнем эту матрицу следующим преобразованиям. Ко второй строке прибавим третью, умноженную на — 2, а затем к третьей строке прибывам первую, умноженную на 2, и, наконец, из четвёртой вычтем первую. После этих трёх последовательно выполненных преобразований получим матрицу

Вычитая из четвёртой строки третью, а затем переставив местами вторую и третью строки, получаем матрицу

Получили трапециевидную матрицу. Ранг полученной матрицы равен трём (r=3), так как после вычёркивания последней строки, полностью состоящей из нулей, в ней останется три строки.

Желающие могут проверить это решение способом окаймляющих миноров (минор третьего порядка, находящийся в левом верхнем углу, не равен нулю, а все миноры четвёртого порядка равны нулю).

Найти ранг матрицы самостоятельно, а затем посмотреть решение

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Матрицы

Поделиться с друзьями

Начало темы «Матрицы»

Понятие матрицы

Продолжение темы «Матрицы»

Обратная матрица

Произведение двух матриц

Умножение матрицы на число

Сложение матриц

Решение матричных уравнений

Другие темы линейной алгебры

Определители

Системы линейных уравнений

Понятие о ранге матрицы

Число называется рангом матрицы , если:
1) в матрице есть минор порядка , отличный от нуля;
2) все миноры порядка и выше, если они существуют, равны нулю.
Иначе, ранг матрицы – это наивысший порядок минора, отличного от нуля.
Обозначения: , rA или .
Из определения следует, что – целое положительное число. Для нуль-матрицы считают ранг равным нулю.

Назначение сервиса. Онлайн-калькулятор предназначен для нахождения ранга матрицы. При этом решение сохраняется в формате Word и Excel. см. пример решения.

Определение. Пусть дана матрица ранга . Любой минор матрицы, отличный от нуля и имеющий порядок r, называется базисным, а строки и столбцы его составляющие – базисными строками и столбцами.
Согласно этому определению, матрица может иметь несколько базисных миноров.

Ранг единичной матрицы равен (количеству строк).

Пример 1. Даны две матрицы , и их миноры , . Какой из них можно принять в качестве базисного?

Ранг матрицы

Решение. Минор M1=0, поэтому он не может быть базисным ни для одной из матриц. Минор M2=-90 и имеет порядок 2, значит его можно принять в качестве базисного матриц или / и при условии, что они имеют ранги, равные . Поскольку (как определитель с двумя пропорциональными столбцами), то rangB=2 и M2 можно взять за базисный минор матрицы B. Ранг матрицы A равен 3, в силу того, что detA=-270 и, следовательно, порядок базисного минора этой матрицы должен равняться 3, то есть M2 не является базисным для матрицы . Отметим, что у матрицы единственный базисный минор, равный определителю матрицы .

Теорема (о базисном миноре). Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией ее базисных строк (столбцов).
Следствия из теоремы.

Всякие (r+1) столбцов (строк) матрицы ранга r линейно зависимы.
Если ранг матрицы меньше числа ее строк (столбцов), то ее строки (столбцы) линейно зависимы. Если rangA равен числу ее строк (столбцов), то строки (столбцы) линейно независимы.
Определитель матрицы A равен нулю тогда и только тогда, когда ее строки (столбцы) линейно зависимы.
Если к строке (столбцу) матрицы прибавить другую строку, (столбец) умноженную на любое число, отличное от нуля, то ранг матрицы не изменится.
Если в матрице зачеркнуть строку (столбец), являющуюся линейной комбинацией других строк (столбцов), то ранг матрицы не изменится.
Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк (столбцов).
Максимальное число линейно независимых строк совпадает с максимальным числом линейно независимых столбцов.

Пример 2. Найти ранг матрицы .
Решение. Исходя из определения ранга матрицы, будем искать минор наивысшего порядка, отличный от нуля. Сначала преобразуем матрицу к более простому виду. Для этого первую строку матрицы умножим на (-2) и прибавим ко второй, затем ее же умножим на (-1) и прибавим к третьей:

.
Поскольку вторая и третья строки пропорциональны, то одну из них можно вычеркнуть, что не изменит ранг. Получаем , так как в матрице есть минор второго порядка, отличный от нуля, а миноры более высокого порядка отсутствуют.

Пример 3. Найти ранг матрицы .
Решение. Получим нули в первом столбце, оперируя первой строкой .
Третью строку вычеркиваем, поскольку она получается умножением второй строки на 2, а в последней строке отбросим общий множитель:

.

Инструкция. Выберите размерность матрицы, нажмите .

Найти ранг матрицы: способы и примеры

Понятие ранга матрицы

При способе окаймляющих миноров используется следующая теорема.

При способе элементарных преобразований используется следующее свойство:

Отыскание ранга матрицы способом окаймляющих миноров

Например, дана матрица

Возьмём минор

окаймляющими будут такие миноры:

Алгоритм нахождения ранга матрицы следующий.

2. Если существует хотя бы один минор второго порядка, не равный нулю, то составляем окаймляющие миноры третьего порядка. Если все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, то ранг матрицы равен двум (r =2).

4. Продолжаем так, пока позволяет размер матрицы.

Пример 1. Найти ранг матрицы

Решение. Минор второго порядка .

Окаймляем его.

Ранг матрицы.

Окаймляющих миноров будет четыре:

Проверить решение можно на калькуляторе онлайн Вычисление ранга матрицы.

Пример 2. Найти ранг матрицы

Проверить решение можно на калькуляторе онлайн Вычисление ранга матрицы.

Пример 3. Найти ранг матрицы

Проверить решение можно на калькуляторе онлайн Вычисление ранга матрицы.

Пример 4. Найти ранг матрицы

Решение. Ранг данной матрицы равен 3, так как единственный минор третьего порядка этой матрицы равен 3.

Проверить решение можно на калькуляторе онлайн Вычисление ранга матрицы.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Матрицы

Отыскание ранга матрицы способом элементарных преобразований (методом Гаусса)

Под элементарными преобразованиями матрицы понимаются следующие операции:

1) умножение какой-либо строки или какого либо столбца матрицы на число, отличное от нуля;

3) перемена местами двух строк или столбцов матрицы;

4) удаление «нулевых» строк, то есть таких, все элементы которых равны нулю;

5) удаление всех пропорциональных строк, кроме одной.

Тогда ранг полученной матрицы будет равен числу строк в ней кроме строк, полностью состоящих из нулей.

Пример 5. Найти ранг матрицы

Вычитая из четвёртой строки третью, а затем переставив местами вторую и третью строки, получаем матрицу

Найти ранг матрицы самостоятельно, а затем посмотреть решение

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Матрицы

Поделиться с друзьями

Начало темы «Матрицы»

Понятие матрицы

Продолжение темы «Матрицы»

Обратная матрица

Произведение двух матриц

Умножение матрицы на число

Сложение матриц

Решение матричных уравнений

Другие темы линейной алгебры

Определители

Системы линейных уравнений

Высшая математика » Матрицы и определители » Ранг матрицы » Определение ранга матрицы. Вычисление ранга матрицы по определению.

Определение ранга матрицы. Вычисление ранга матрицы по определению.

Для работы с понятием ранга матрицы нам понадобятся сведения из темы «Алгебраические дополнения и миноры. Виды миноров и алгебраических дополнений». В первую очередь это касается термина «минор матрицы», так как ранг матрицы станем определять именно через миноры.

Рангом матрицы называют максимальный порядок её миноров, среди которых есть хотя бы один, не равный нулю.

Эквивалентные матрицы – матрицы, ранги которых равны между собой.

Поясним подробнее. Допустим, среди миноров второго порядка есть хотя бы один, отличный от нуля. А все миноры, порядок которых выше двух, равны нулю. Вывод: ранг матрицы равен 2. Или, к примеру, среди миноров десятого порядка есть хоть один, не равный нулю. А все миноры, порядок которых выше 10, равны нулю. Вывод: ранг матрицы равен 10.

Обозначается ранг матрицы $A$ так: $\rang A$ или $r(A)$. Ранг нулевой матрицы $O$ полагают равным нулю, $\rang O=0$. Напомню, что для образования минора матрицы требуется вычёркивать строки и столбцы, – однако вычеркнуть строк и столбцов более, чем содержит сама матрица, невозможно. Например, если матрица $F$ имеет размер $5\times 4$ (т.е. содержит 5 строк и 4 столбца), то максимальный порядок её миноров равен четырём. Миноры пятого порядка образовать уже не удастся, так как для них потребуется 5 столбцов (а у нас всего 4). Это означает, что ранг матрицы $F$ не может быть больше четырёх, т.е. $\rang F≤4$.

В более общей форме вышеизложенное означает, что если матрица содержит $m$ строк и $n$ столбцов, то её ранг не может превышать наименьшего из чисел $m$ и $n$, т.е. $\rang A≤\min(m,n)$.

В принципе, из самого определения ранга следует метод его нахождения. Процесс нахождения ранга матрицы по определению можно схематически представить так:

Поясню эту схему более подробно. Начнём рассуждать с самого начала, т.е. с миноров первого порядка некоторой матрицы $A$.

Если все миноры первого порядка (т.е. элементы матрицы $A$) равны нулю, то $\rang A=0$. Если среди миноров первого порядка есть хотя бы один, не равный нулю, то $\rang A≥ 1$. Переходим к проверке миноров второго порядка.
Если все миноры второго порядка равны нулю, то $\rang A=1$. Если среди миноров второго порядка есть хотя бы один, не равный нулю, то $\rang A≥ 2$. Переходим к проверке миноров третьего порядка.
Если все миноры третьего порядка равны нулю, то $\rang A=2$. Если среди миноров третьего порядка есть хотя бы один, не равный нулю, то $\rang A≥ 3$. Переходим к проверке миноров четвёртого порядка.
Если все миноры четвёртого порядка равны нулю, то $\rang A=3$. Если среди миноров четвёртого порядка есть хотя бы один, не равный нулю, то $\rang A≥ 4$. Переходим к проверке миноров пятого порядка и так далее.

Что ждёт нас в конце этой процедуры? Возможно, что среди миноров k-го порядка найдётся хоть один, отличный от нуля, а все миноры (k+1)-го порядка будут равны нулю. Это значит, что k – максимальный порядок миноров, среди которых есть хотя бы один, не равный нулю, т.е. ранг будет равен k. Может быть иная ситуация: среди миноров k-го порядка будет хоть один не равный нулю, а миноры (k+1)-го порядка образовать уже не удастся. В этом случае ранг матрицы также равен k. Короче говоря, порядок последнего составленного ненулевого минора и будет равен рангу матрицы.

Перейдём к примерам, в которых процесс нахождения ранга матрицы по определению будет проиллюстрирован наглядно. Ещё раз подчеркну, что в примерах данной темы мы станем находить ранг матриц, используя лишь определение ранга. Иные методы (вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров, вычисление ранга матрицы методом элементарных преобразований) рассмотрены в следующих темах.

Кстати, вовсе не обязательно начинать процедуру нахождения ранга с миноров самого малого порядка, как это сделано в примерах №1 и №2. Можно сразу перейти к минорам более высоких порядков (см. пример №3).

Пример №1

Найти ранг матрицы $A=\left(\begin{array}{ccccc} 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right)$.

Решение

Данная матрица имеет размер $3\times 5$, т.е. содержит три строки и пять столбцов. Из чисел 3 и 5 минимальным является 3, посему ранг матрицы $A$ не больше 3, т.е. $\rang A≤ 3$. И это неравенство очевидно, так как миноры четвёртого порядка образовать мы уже не сможем, – для них нужно 4 строки, а у нас всего 3. Перейдём непосредственно к процессу нахождения ранга заданной матрицы.

Среди миноров первого порядка (т.е среди элементов матрицы $A$) есть ненулевые. Например, 5, -3, 2, 7. Вообще, нас не интересует общее количество ненулевых элементов. Есть хотя бы один не равный нулю элемент – и этого достаточно. Так как среди миноров первого порядка есть хотя бы один, отличный от нуля, то делаем вывод, что $\rang A≥ 1$ и переходим к проверке миноров второго порядка.

Начнём исследовать миноры второго порядка. Например, на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1, №4 расположены элементы такого минора: $\left|\begin{array}{cc} 5 & 0 \\ 7 & 0 \end{array} \right|$. У этого определителя все элементы второго столбца равны нулю, поэтому и сам определитель равен нулю, т.е. $\left|\begin{array}{cc} 5 & 0 \\ 7 & 0 \end{array} \right|=0$ (см. свойство №3 в теме свойства определителей). Или же можно банально вычислить сей определитель, используя формулу №1 из раздела по вычислению определителей второго и третьего порядков:

$$ \left|\begin{array}{cc} 5 & 0 \\ 7 & 0 \end{array} \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$

Первый проверенный нами минор второго порядка оказался равен нулю. О чём это говорит? О том, что нужно дальше проверять миноры второго порядка. Либо они все окажутся нулевыми (и тогда ранг будет равен 1), либо среди них найдётся хотя бы один минор, отличный от нуля. Попробуем осуществить более удачный выбор, записав минор второго порядка, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1 и №5: $\left|\begin{array}{cc} 5 & 2 \\ 7 & 3 \end{array} \right|$. Найдём значение этого минора второго порядка:

$$ \left|\begin{array}{cc} 5 & 2 \\ 7 & 3 \end{array} \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

Данный минор не равен нулю. Вывод: среди миноров второго порядка есть хотя бы один, отличный от нуля. Следовательно $\rang A≥ 2$. Нужно переходить к исследованию миноров третьего порядка.

Если для формирования миноров третьего порядка мы станем выбирать столбец №2 или столбец №4, то такие миноры будут равными нулю (ибо они будут содержать нулевой столбец). Остаётся проверить лишь один минор третьего порядка, элементы которого расположены на пересечении столбцов №1, №3, №5 и строк №1, №2, №3. Запишем этот минор и найдём его значение:

$$ \left|\begin{array}{ccc} 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end{array} \right|=-20-18-14+16+21+15=0. $$

Итак, все миноры третьего порядка равны нулю. Последний составленный нами ненулевой минор был второго порядка. Вывод: максимальный порядок миноров, среди которых есть хотя бы один, отличный от нуля, равен 2. Следовательно, $\rang A=2$.

Ответ: $\rang A=2$.

Пример №2

Найти ранг матрицы $A=\left( \begin{array} {cccc} -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end{array} \right)$.

Решение

Имеем квадратную матрицу четвёртого порядка. Сразу отметим, что ранг данной матрицы не превышает 4, т.е. $\rang A≤ 4$. Приступим к нахождению ранга матрицы.

Среди миноров первого порядка (т.е среди элементов матрицы $A$) есть хотя бы один, не равный нулю, поэтому $\rang A≥ 1$. Переходим к проверке миноров второго порядка. Например, на пересечении строк №2, №3 и столбцов №1 и №2 получим такой минор второго порядка: $\left| \begin{array} {cc} 4 & -2 \\ -5 & 0 \end{array} \right|$. Вычислим его:

$$ \left| \begin{array} {cc} 4 & -2 \\ -5 & 0 \end{array} \right|=0-10=-10. $$

Среди миноров второго порядка есть хотя бы один, не равный нулю, поэтому $\rang A≥ 2$.

Перейдём к минорам третьего порядка. Найдём, к примеру, минор, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №3, №4 и столбцов №1, №2, №4:

$$ \left | \begin{array} {cccc} -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end{array} \right|=105-105=0.

Ранг матрицы

Так как данный минор третьего порядка оказался равным нулю, то нужно исследовать иной минор третьего порядка. Либо все они окажутся равными нулю (тогда ранг будет равен 2), либо среди них найдётся хоть один, не равный нулю (тогда станем исследовать миноры четвёртого порядка). Рассмотрим минор третьего порядка, элементы которого расположены на пересечении строк №2, №3, №4 и столбцов №2, №3, №4:

$$ \left| \begin{array} {ccc} -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end{array} \right|=-28. $$

Среди миноров третьего порядка есть хотя бы один, отличный от нуля, поэтому $\rang A≥ 3$. Переходим к проверке миноров четвёртого порядка.

Любой минор четвёртого порядка располагается на пересечении четырёх строк и четырёх столбцов матрицы $A$. Иными словами, минор четвёртого порядка – это определитель матрицы $A$, так как данная матрица как раз и содержит 4 строки и 4 столбца. Определитель этой матрицы был вычислен в примере №2 темы «Понижение порядка определителя. Разложение определителя по строке (столбцу)», поэтому просто возьмём готовый результат:

$$ \left| \begin{array} {cccc} -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end{array} \right|=86. $$

Итак, минор четвертого порядка не равен нулю. Миноров пятого порядка образовать мы уже не можем. Вывод: наивысший порядок миноров, среди которых есть хотя бы один отличный от нуля, равен 4. Итог: $\rang A=4$.

Ответ: $\rang A=4$.

Пример №3

Найти ранг матрицы $A=\left( \begin{array} {cccc} -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \end{array} \right)$.

Решение

Сразу отметим, что данная матрица содержит 3 строки и 4 столбца, поэтому $\rang A≤ 3$. В предыдущих примерах мы начинали процесс нахождения ранга с рассмотрения миноров наименьшего (первого) порядка. Здесь же попробуем сразу проверить миноры максимально возможного порядка. Для матрицы $A$ такими являются миноры третьего порядка. Рассмотрим минор третьего порядка, элементы которого лежат на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов №2, №3, №4:

$$ \left| \begin{array} {ccc} 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end{array} \right|=-8-60-20=-88. $$

Итак, наивысший порядок миноров, среди которых есть хоть один, не равный нулю, равен 3. Поэтому ранг матрицы равен 3, т.е. $\rang A=3$.

Ответ: $\rang A=3$.

Вообще, нахождение ранга матрицы по определению – в общем случае задача довольно-таки трудоёмкая. Например у матрицы сравнительно небольшого размера $5\times 4$ имеется 60 миноров второго порядка. И если даже 59 из них будут равны нулю, то 60й минор может оказаться ненулевым. Тогда придётся исследовать миноры третьего порядка, которых у данной матрицы 40 штук. Обычно стараются использовать менее громоздкие способы, такие как метод окаймляющих миноров или метод эквивалентных преобразований.

Онлайн-занятия по высшей математике

pasmr21.ru

Ранг — расширенная матрица — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Ранг — расширенная матрица

Cтраница 1

Ранг расширенной матрицы ( из коэффициентов при неизвестных и свободных членов) должен при вычеркивании k — ro столбца уменьшаться на единицу. [1]

Ранг расширенной матрицы ( из коэффициентов при неизвестных и свободных членов) должен при вычеркивании ft-ro столбца уменьшаться на единицу. [2]

Здесь ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы коэффициентов и равен, очевидно, двум. [3]

Определяем ранг расширенной матрицы. [4]

Если ранги основной и расширенной матрицы равны между собой и равны г, т.е. система ( 1) совместна, то берут любой отличный от нуля минор основной матрицы порядка г и рассматривают г уравнений, коэффициенты которых входят в этот главный минор, а остальные уравнения системы отбрасывают. Неизвестные, коэффициенты которых входят в этот главный минор, объявляют главными, а остальные неизвестные — свободными. Затем по правилу Крамера находят главные неизвестные. Легко видеть, что при этом главные неизвестные выражаются через свободные неизвестные, каждое из которых может принимать любое числовое значение. [5]

Следовательно, ранг расширенной матрицы больше ранга матрицы коэффициентов, что говорит о том, что система несовместна. [6]

В этом случае ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы коэффициентов и равен, очевидно, трем. [7]

Система совместная, гак как ранг расширенной матрицы, как и ранг матрицы из коэффициентов, равен двум. Левые части первого и третьего уравнений линейно независимы, так как коэффициент. [8]

Действительно, в этом случае ранг расширенной матрицы также равен т, так как ранг матрицы не может быть больше числа ее строчек. [9]

Ранг матрицы системы (4.22) и ранг расширенной матрицы всегда равны, следовательно, однородная система всегда совместна. Можно выяснить, когда однородная система имеет нетривиальное решение. [10]

Из линейной алгебры известно, что если ранг расширенной матрицы, получаемой присоединением столбца свободных членов, есть тоже /, то неоднородная система (34.35) разрешима. [11]

Такое условие может быть выполнено, если ранг расширенной матрицы расчетной системы и ранг ее матрицы равны трем. Для этого необходимо, чтобы равнялись нулю любые два минора 4-го порядка в расширенной матрице. Эти условия приводят к системе двух уравнений 3-го порядка относительно координат хв, ув, zB, определяющих в подвижном теле геометрическое место точек, имеющих четыре положения на одной окружности. [12]

А из ( 6)) равен рангу расширенной матрицы ( А ft) этой системы. В противном случав система ( 4) несовместна и задача линейного программирования ( 3) — ( 5) не имеет решения, так кап ее допустимое множество U пусто. [13]

Докажем, что ранг матрицы А равен рангу расширенной матрицы. [14]

Если определитель Д 0 и ранг матрицы А равен рангу расширенной матрицы А, то система имеет более одного решения. [15]

Страницы: 1 2 3

www.ngpedia.ru

Ранг — расширенная матрица — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 3

Ранг — расширенная матрица

Cтраница 3

Для того чтобы линейная система (3.1) являлась совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу ее основной матрицы. [31]

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы, этой системы. [32]

Для совместности системы линейных алгебраических уравнений необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы равнялся рангу расширенной матрицы этой системы. Расширенную матрицу системы получаем из матрицы А, к которой добавлен столбец В. Иначе говоря, теорема утверждает, что если ранг матрицы системы меньше ранга расширенной матрицы, то система несовместна и не имеет решения, если же ранги равны, то система совместна и имеет одно или множество решений. [33]

Решение ( 3.4.) существует в том; случае, если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. [34]

Для того чтобы система уравнений ( 2) имела решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы был раеен рангу основной матрицы системы. Если ранги основной и расширенной матриц совпадают с числом неизвестных, то система имеет единственное решение. Если ранг г основной и расширенной матриц меньше числа неизвестных ( г п), то система ( 2) имеет более одного решения. [35]

Если бы определитель был равен нулю, а ранг матрицы коэффициентов системы канонических уравнений равнялся бы рангу расширенной матрицы, то, кроме тривиального решения, имелось бы и бесчисленное множество ненулевых решений. [37]

Для сов-местност Ш системы линейных алгебраических уравнений необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы равнялся рангу расширенной матрицы этой системы. [38]

В данном случае ранг определителя системы не может быть больше пяти ( пять неизвестных), поэтому и ранг расширенной матрицы не может быть больше пяти. Отсюда, следует, что определитель расширенной матрицы шестого порядка равен нулю. [39]

Система т линейных уравнений с п неизвестными совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы А равен рангу расширенной матрицы В. Если r — п, то имеем п независимых уравнений с я неизвестными; отбросив зависимые уравнения, решаем систему по формулам Крамера и получим единственное решение. Если г п, то число независимых уравнений ( г) будет меньше числа неизвестных; перенеся п — г лишних неизвестных ( свободные неизвестные) в правые части, решим систему относительно остальных г неизвестных; задавая свободным неизвестным произвольные значения, получим бесчисленное множество решений. [40]

Система т линейных уравнений с п неизвестными совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы А равен рангу расширенной матрицы В. Если г п, то имеем п независимых уравнений с п неизвестными; отбросив зависимые уравнения, решаем систему по формулам Крамера и получим единственное решение. Если г [ п, то число независимых уравнений ( г) будет меньше числа неизвестных; перенеся п — г лишних неизвестных ( свободные неизвестные) в правые части, решим систему относительно остальных г неизвестных; задавая свободным неизвестным произвольные значения, получим бесчисленное множество решений. [41]

Система т линейных уравнений с п неизвестными совместна тогда н только тогда, когда ранг матрицы А равен рангу расширенной матрицы В. Если г п, то имеем п независимых уравнений с п неизвестными; отбросив зависимые уравнения, решаем систему по формулам Крамера и получим единственное решение. Если г п, то число независимых уравнений ( г) будет меньше числа неизвестных; перенеся п — г лишних неизвестных ( свободные неизвестные) в правые части, решим систему относительно остальных г неизвестных; задавая свободным неизвестным произвольные значения, получим бесчисленное множество решений. [42]

Система линейных уравнений ( 1) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен, рангу расширенной матрицы этой системы. [43]

Для того чтобы система линейных неоднородных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы коэффициентов был равен рангу расширенной матрицы. [44]

Страницы: 1 2 3

www.ngpedia.ru

Система совместна, если ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы коэффициентов.

Поиск Лекций

Теорема о ранге.

Ранг матрицы соответствует количеству её линейно независимых строк, или столбцов.

Вопрос № 9: Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров:

Пусть в матрице найден минор порядка к, отличный от нуля, тогда достаточно рассмотреть лишь те миноры к+1 порядка, которые содержат внутри себя, то есть окаймляют минор к-ого порядка.

Если все они равны нулю, то минор к-ого порядка – базисный минор, а ранг матрицы равен рангу базисного минора, то есть матрица – к-ого порядка, ну а если существуют миноры, не равные нулю, ранг которых больше к, то операцию поиска необходимо продолжать. к:=л+1;

Пример:

М₂ – базисный минор, ранг матрицы равен двум.

Вопрос № 10: Вычисление ранга матриц методом элементарных преобразований:

Элементарные преобразования матрицы:

1. Перестановка строк, или столбцов матрицы.

2. Умножение строки, или столбцы на число, отличное от нуля.

3. Сложение строк (столбцов) матрицы.

Теорема об элементарных преобразованиях матрицы:

При элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется, поэтом при помощи элементарных преобразований матрица приводится к ступенчатому, или блочно треугольному виду, по которому ранг можно определить визуально.

Пример:

Правило определения ранга матрицы и её базисного минора:

1. Ранг ступенчатой матрицы равен количеству её не нулевых строк.

2. Базисный минор ступенчатой матрицы содержится среди элементов её не нулевых строк и такого же количества её столбцов, взятых по одному из каждой ступеньки.

Вопрос № 11: Теорема Кронекера-Капели:

1. Теорема Кронекера-Капели.

2. Общий метод решения систем из т алгебраических уравнений с п неизвестными.

Условие совместности

Рассмотрим произвольную систему из т уравнений с п неизвестными:
, тогда ,

Теорема Кронекера-Капели:

Система совместна, если ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы коэффициентов.

Доказательство:

Необходимое условие:

Если система совместна, то ранг расширенной матрицы и ранг матрицы коэффициентов равны.

Следовательно, столбец свободных членов линейно зависит от столбцов матрицы коэффициентов, поэтом столбцы расширенной матрицы содержат тоже количество независимых столбцов, что и матрица коэффициентов, тогда добавление линейно зависимого столбца не изменит ранг матрицы. Следовательно, по теореме о ранге матрицы, ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы.

Достаточное условие:

Применим правило Крамара к произвольной системе.
Пусть система совместна, тогда ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы коэффициентов, тогда переставим уравнения системы, и перенумеруем переменные так, что бы базисный минор стоял в левом верхнем углу.

Назовём базисными те переменные, которые входят в базисный минор, а все остальные – свободными.

Тогда по теореме о базисном миноре нижние строки расширенной матрицы являются линейно зависимыми от первых строк, то есть могут быть представлены, как их линейные комбинации, следовательно, они являются лишними и могут быть отброшены. В результате остаётся система с r уравнениями и тем же количеством неизвестных, где r – ранг системы, или ранг базисного минора.

Перенесём свободные переменные направо, тогда получится система следующего вида:
, тогда у этой укороченной системы определитель . Число уравнений равно числу неизвестных, следовательно, к этой системе можно применить правило Крамара.
, , таким образом правило Крамара позволяет выразить базисные элементы через свободные. В результате придавая свободным переменным значения: , где С – произвольное действительное число. . Отсюда следует:
– множество решений системы уравнений содержит n-r произвольных постоянных, то есть является многопараметрическим.

Частный случай, когда ранг системы равен рангу матрицы коэффициентов, тогда все переменные являются базисными, значит свободных нет, а система имеет единственное решение.

Система линейных алгебраических уравнений имеет одно единственное решение, если она совместна, и её ранг равен количеству переменных.

Вопрос № 12: Метод Гаусса последовательного исключения неизвестных:

1. Метод Гаусса последовательного исключения неизвестных.

а) Матричная форма записи.

б) Прямой и обратный ход.

Метод последовательного исключения неизвестных заключается в решении системы алгебраических уравнений с одновременным исследованием её на совместность.

Метод реализуется в два этапа:

Прямой ход метода:

Прямой ход метода Гаусса заключается в преобразовании расширенной матрицы коэффициентов системы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований, то есть как при нахождении ранга матрицы и базисного минора, но только со строками матрицы. При этом само преобразование к ступенчатому виду с помощью нескольких шагов, на каждом из которых исключается одна переменная, то есть обнуляется нижний элемент одного из столбцов.

В результате выполнения нескольких шагов матрица оказывается приведённой к ступенчатому виду. На этом этапе можно определить ранг матрицы и системы.

Рекомендуемые страницы:

Поиск по сайту

poisk-ru.ru

Ранг — расширенная матрица — система

Cтраница 1

Ранг расширенной матрицы системы совпадает с рангом матрицы U. Поэтому система совместна и уравнения в ней линейно независимы. В качестве базисных неизвестных выбираем xt и xt ( коэффициенты при них образуют базисный минор Ж), а в качестве свободных выбираем х, и хж. [1]

Ранг расширенной матрицы системы совпадает с рангом матрицы U. Поэтому система совместна и уравнения в ней линейно независимы. В качестве базисных неизвестных выбираем Х3 и д: 4 ( коэффициенты при них образуют базисный минор М), а в качестве свободных выбираем xt и дга. [2]

Тем же путем можно показать, что ранг расширенной матрицы системы ( C fi) также равен двум. [3]

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы этой системы. [4]

Согласно теореме Кронекера-Капелли [3], для совместности системы ( 8) необходимо, чтобы ранг расширенной матрицы системы R был равен. [5]

Для того чтобы система линейных алгебраических уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы равнялся рангу матрицы системы. [6]

Пусть ранг расширенной матрицы системы ( 20) равен г — рангу основной матрицы. Без ограничения общности рассуждений можно положить, что первые г столбцов основной матрицы линейно-независимы. [7]

Система ( 10) состоит из т — — п — 1 уравнений. Но ранг расширенной матрицы системы ( 10) не может оказаться больше числа уравнений в системе. Значит, этот ранг равен в точности т — — п — , и потому, по теореме Кронекера-Капелли, система ( 10) совместна. [8]

Система ( 10) состоит из т — — п — 1 уравнений. Но ранг расширенной матрицы системы ( 10) не может оказаться больше числа уравнений в системе. Значит, этот ранг рав. [9]

Записанное равенство показывает, что столбец из свободных членов bj системы ( 20) есть линейная комбинация из столбцов основной матрицы этой системы линейных уравнений, откуда следует, что ранг расширенной матрицы совпадает с рангом основной матрицы. Необходимость условий теоремы установлена. Пусть ранг расширенной матрицы системы ( 20) равен / — — рангу основной матрицы. Без ограничения общности рассуждений можно положить, что первые г столбцов основной матрицы линейно независимы. [10]

Записанное равенство показывает, что столбец из свободных членов Ь / системы ( 20) есть линейная комбинация из столбцов основной матрицы этой системы линейных уравнений, откуда следует, что ранг расширенной матрицы совпадает с рангом основной матрицы. Необходимость условий теоремы установлена. Пусть ранг расширенной матрицы системы ( 20) равен г — рангу основной матрицы. Без ограничения общности рассуждений можно положить, что первые г столбцов основной матрицы линейно независимы. [11]

Страницы: 1

www.ngpedia.ru

Ранг матрицы. Способы вычисления ранга матрицы. — КиберПедия

Рангом r(A) матрицы A называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы (наибольший из порядков тех определителей, отличных от 0, которые можно составить из рядов матрицы, наибольшее число линейно независимых строк или столбцов таблицы). Не превосходит меньшего из ее размеров.

1 метод нахождения: нахождение наибольшего из порядковых определителей, не равных 0, составленных из рядов данной матрицы

2 метод: приведение матрицы к ступенчатому виду путем элементарных преобразований, ранг будет равен числу не нулевых строк.

Ранг диагональной матрицы порядка n равен числу ее ненулевых элементов

При элементарных преобразованиях матрицы ее ранг не изменяется

Теорема Кронекера-Капелли.

Система Совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда Ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. Система линейных уравнений имеет решение, если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы, причем, если он равен и числу неизвестных, то решение – единственное. Если ранг расширенной матрицы больше ранга матрицы системы, то система решения не имеет

Запись и решение системы линейных алгебраических уравнений в матричном виде.

алгебраических уравнений вида , которые в матричной форме записываются как , где — основная матрица системы, — матрица-столбец неизвестных переменных, — матрица свободных членов.

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

1. Записываем матрицу в расширенном виде:

2. С помощью элементарных преобразований приводим ее к ступенчатому виду

3. Переходим назад к переменным и находим их

Понятие действительной функции действительной переменной. График функции. Основные свойства функций.

Если каждому значению х множества Х ставится в соответствие вполне определенное значение y множества Y, то говорят, что на множестве Х задана функцияy=f(x)

График функции —представление о геометрическом образе функции. Графический способ задания функции состоит в изображении графика функции — множества точек плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента х, а ординаты – соответствующие у.

Свойства:

· Четностьf(-x)=f(x), нечетность f(-x)=-f(x), общего вида

· Монотонность (возрастающие, убывающие функции — монотонны)

· Ограниченность (если сущеествует такое м>0 что функция меньше м для любого х)

· Периодичность (f(x+T)=f(x))

Предел числовой последовательности. Признаки существования предела последовательности. Основные свойства сходящихся последовательностей.

Число А называется пределом последовательности {a_n}, если для любого ε> 0 существует такой номер N, что все члены последовательности с большими номерами отличаются от А менее, чем на ε.

Предел функции в бесконечности и в точке.

cyberpedia.su

Ранг матрицы

Системы линейных алгебраических уравнений.

Теорема Кронекера-Капелли

Формулы Крамера

Как найти ранг расширенной матрицы?

Найти ранг матрицы: способы и примеры

Понятие ранга матрицы

Отыскание ранга матрицы способом окаймляющих миноров

Найти ранг матрицы: способы и примеры

Отыскание ранга матрицы способом элементарных преобразований (методом Гаусса)

Найти ранг матрицы самостоятельно, а затем посмотреть решение

Понятие о ранге матрицы

Ранг матрицы

Найти ранг матрицы: способы и примеры

Понятие ранга матрицы

Отыскание ранга матрицы способом окаймляющих миноров

Ранг матрицы.

Отыскание ранга матрицы способом элементарных преобразований (методом Гаусса)

Найти ранг матрицы самостоятельно, а затем посмотреть решение

Определение ранга матрицы. Вычисление ранга матрицы по определению.

Ранг матрицы

Ранг — расширенная матрица — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Ранг — расширенная матрица

Ранг — расширенная матрица — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 3

Ранг — расширенная матрица

Система совместна, если ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы коэффициентов.

Поиск по сайту

Ранг — расширенная матрица — система

Ранг — расширенная матрица — система

Ранг матрицы. Способы вычисления ранга матрицы. — КиберПедия

Добавить комментарий Отменить ответ