Разложение числа на простые множители онлайн – Онлайн калькулятор. Разложение числа на множители.

Содержание

Разложение числа на простые множители

Вам также может пригодиться калькулятор разложения чисел на простые множители.

Основная теорема арифметики гласит:

Любое натуральное число , большее единицы, можно разложить в произведение простых чисел, причём это разложение единственно с точностью до порядка следования сомножителей.

Как разложить число на множители?

Вот последовательность действий при разложении числа на простые множители:

Берём самое маленькое простое число — 2 и по признакам делимости или обычным делением проверяем, делится ли наше число на 2.
Если делится, то выписываем 2 в столбец с простыми множителями и делим наше число на 2 (получаем новое число). Далее снова проверяем, делится ли новое число на 2.
Если не делится, то переходим к следующему простому числу — 3.

Эти три шага выполняются до тех пор, пока наше число не окажется равным 1.

Далее рассмотрим несколько примеров.

Разложить на простые множители число 54

Число 65 не делится на 2 (так как оно оканчивается на нечётное число 5).
65 не делится на 3 (сумма цифр равна 11, а 11 не делится на 3).
Зато 65 делится на 5. Выписываем число 5 в правую колонку. Теперь проверять мы будем уже число 13.
Число 13 — простое, его можно разделить только на 13. Выписываем в правую колонку 13, в левую — 1. Наше разложение закончено.

Разложить на простые множители число 65

Число 54 делится на 2. Выписываем 2 в правый столбик. Записываем 27 в левый столбец.
27 не делится на 2, зато делится на 3. Выписываем 3 в правый столбик. Число 9 записываем в левую колонку.
9 делится на 3. Снова выписываем 3 в правый столбик. В левый выписываем 3.
Число 3 делится на 3, В правый столбик выписываем 3, в левый — 1. Разложение закончено.

Разложить на простые множители число 99

Число 99 не делится на 2, зато делится на 3.
33 также делится на 3.
Число 11 — простое, поэтому разложение завершено.

Разложить на простые множители число 162

Разложить на простые множители число 1500

umath.ru

Простые и составные числа. Разложение на простые множители

Простым числом называется такое число, которое имеет только два делителя – единицу и само это число. Например, число 11 можно без остатка разделить только на 1 и на 11, значит это число простое.

Составным числом называется такое число, которое имеет более двух делителей.

Число 24 можно разделить на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 8 и на 12, следовательно, это число составное.

Среди натуральных чисел есть одно, которое не относится ни к простым, ни к составным числам, так как оно имеет всего один делитель. Это число 1.

Разложение на множители

При сокращении дробей полезно представлять числа в виде произведений простых множителей. Возьмём, например число 210. Сначала его представим так:

210 = 21 · 10

Но числа 21 и 10 составные. Каждое из них можно представить в виде произведений: 10 = 5 · 2; 21 = 7 · 3. Отсюда получаем:

210 = 5 · 2 · 7 · 3

Теперь в произведении 5 · 2 · 7 · 3 все множители являются простыми числами. Таким образом задача выполнена: число 210 разложено на простые множители.

Это же число можно было бы разложить на простые множители другими способами:

210 = 30 · 7 = 3 · 10 · 7 = 3 · 2 · 5 · 7

210 = 70 · 3 = 7 · 10 · 3 = 7 · 2 · 5 · 7

Получились те же самые простые множители, только записанные в другом порядке возрастания:

210 = 2 · 3 · 5 · 7

Произведение 2 · 3 · 5 · 7 называют разложением числа 210 на простые множители.

Любое составное число можно разложить на простые множители. Мы можем использовать разные способы разложения, но результат будет одинаковый: разложение будет одно и то же, если не учитывать порядка расположения множителей.

При разложении чисел на простые множители используются признаки делимости чисел. Разложим на простые множители число 504. Число делится на 2. Значит, 2 есть один из простых множителей числа 504. Число 2 пишем справа от знака равенства, а частное 252 под числом 504. Далее 252 делим на 2, получаем 126 и так продолжаем до тех пор, пока последующее число можно разделить на 2. 63 не можем разделить на 2, делим на 3, получаем 21, далее 21 делим на 3, получаем 7, а 7 можем разделить только на 7.

504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7

252

126

Разложение на множители помогает сократить дроби и привести их к общему знаменателю, извлечь корень, ведь чем меньше числа, тем проще оперировать ими.

blog.tutoronline.ru

Разложение на простые множители

Простые и составные числа

Базовое понятие, с которым необходимо познакомиться, — это что такое простые и что такое составные числа

. Простое число — это число, которое без остатка делится только на себя и на единицу. Составное число — это число, у которого есть делитель отличный от себя и единицы. Например, число — простое, а — составное, так как .

Запомните, что единица не относится ни к простым, ни к составным числам! Понятие простое/составное применимо только для натуральных чисел, .

Теперь мы ввести понятие «разложить на простые множители». Это значит, представить число как произведение простых чисел. Делается это очень просто: мы представляем число как произведение хоть каких-нибудь множителей, а дальше каждый множитель «дробим» до тех пор, пока не получится произведение только из простых чисел. Кстати, для подбора хоть какого-нибудь делителя нам помогут признаки делимости.

К слову, существует теорема, которая называется основная теорема арифметики: У любого натурального числа большего , существует единственное разложение на

простые множители. Это знание позволяет раскладывать нам число так, как нам удобно, не боясь получить разные разложения.

Запомните, у каждого числа всего одно разложение на простые множители!

Например:
Или:

Разложение на простые множители. Повышенный уровень

Немного сложнее дело обстоит с разложением на простые множители чисел типа или . Дело в том, что ни один признак делимости на небольшие числа не «выдаст» Вам, на что делится каждое из этих число, потому что они оба — произведение сравнительно крупных простых чисел: , а . Пытаясь найти, на что делится любое из этих чисел, нам ничего не остаётся, кроме как пробовать делить его на всё большие и большие простые множители. Однако, данный перебор может быть довольно долгим и утомительным. А если это число на самом деле простое, и мы не найдём его делителя? Неужели перебирать необходимо до самого исследуемого числа?

Ответ — нет! Есть теорема, которая ограничивает данный перебор, правда она для тех, кто знает, что такое

«квадратный корень»:
У любого составного числа есть делитель не превосходящий квадратного корня их этого числа.

Пользоваться ей очень просто:

Определяем корень из исследуемого числа (желательно взять с небольшим перебором)
Перебираем все простые числа до этого корня в качестве делителя исходного числа
Если оно поделилось на кого-то, то вот оно — искомое разложение на множители (не обязательно простые)
Если ни на кого не поделилось, то делаем вывод, что исходное число является простым.

Например, для числа корень можно оценить числом , то есть пробовать делить его необходимо только на простые числа до , среди которых мы наткнёмся на , на которое оно поделится.

В олимпиаде для поступающих в 5 класс физико-математического лицея само разложение на простые множители как задание не встречается (на год, во всяком случае). Однако знать, что это такое необходимо, так как это облегчит решение уравнений, которые обязательно встретятся.

geniusmath.ru

Как разложить число на простые множители

Любое составное число можно разложить на простые множители. Способов разложения может быть несколько. При любом способе получается один и тот же результат.

Как разложить число на простые множители наиболее удобным способом? Рассмотрим, как это лучше сделать, на конкретных примерах.

Примеры. 1) Разложить число 1400 на простые множители.

1400 делится на 2. 2 — простое число, раскладывать его на множители не нужно. Получаем 700. Делим его на 2. Получаем 350. 350 тоже делим на 2. Полученное число 175 можно разделить на 5. Результат — з5 — еще раз делим на 5. Итого — 7. Его можно разделить только на 7. Получили 1, деление окончено.

Это же число можно разложить на простые множители иначе:

1400 удобно разделить на 10. 10 не является простым числом, поэтому его нужно разложить на простые множители: 10=2∙5. Результат — 140. Его снова делим на 10=2∙5. Получаем 14. Если 14 разделить на 14, то его тоже следует разложить на произведение простых множителей: 14=2∙7.

Таким образом, снова пришли к такому же, как и в первом случае, разложению, но быстрее.

Вывод: не обязательно при разложении числа делить его только на простые делители. Делим на то, что удобнее, например, на 10. Надо только составные делители не забыть разложить на простые множители.

2) Разложить число 1620 на простые множители.

Число 1620 удобнее всего разделить на 10. Поскольку 10 простым числом не является, представляем его в виде произведения простых множителей: 10=2∙5. Получили 162. Его удобно разделить на 2. Результат — 81. Число 81 можно разделить на 3, но на 9 — удобнее. Так как 9 — не простое число, раскладываем его как 9=3∙3. Получили 9. Его также делим на 9 и раскладываем на произведение простых множителей.