Решение биквадратных уравнений — Математика
Просмотр содержимого документа
«Решение биквадратных уравнений»
Урок в 9класс (алгебра)
Тема: Решение биквадратных уравнений.
Цели: закрепить знания учащихся по решению уравнений с помощью введения вспомогательной переменной; ввести понятие биквадратного уравнения и объяснить его решение.
Ход урока:
1. Орг. Момент проверить наличие учащихся, готовность к уроку.
2. Работаем устно
а ) определите возможное максимальное количество корней уравнения
( х2+6х)2 – 5(х2+6х) = 24
б) каким способом можно решить данное уравнение?
В) какое выражение замените новой переменной? разложите его на множители.
Г) назовите корни квадратного уравнения у
д) найдите корни уравнения (х-5) (х+8)(2х-6)=0
3. Объяснение новой темы, через введения проблемной задачи
Предлагаю решить уравнение
Х5+х4-6х3-6х2+5х+5=0
Вопросы: 1) Какой метод используем первоначально? (группировки)
2) Какие множители получились?
3) можно ли определить хотя бы один корень? Каково его значение?
4) сколько вообще может быть корней у данного уравнения?
В качестве второго множителя мы получили уравнение четвертой степени.
5)Какое уравнение оно вам напоминает?
6) Можете ли вы представить его в общем виде?
Определение Уравнение вида ах 4 + вх2 + с=0, где а≠0, называют биквадратным
уравнением.
Решают их путем введения новой переменной
( показать решение) Ответ: -√5; -1; 1; √5.
4. Физкульт. Минутка.
5. Решаем номер 222 пункты в и д ( Показывает учитель)
Ответ6 в) нет решения ;д) -√1/3; √1/3; -√2/3;√2/3
6. Теперь предлагаю вам по вариантам решить № 222 , 1 ряд- пункт а, второй – б;
третий –г. Представители каждого ряда выходят к доске решают на оценку. Кто на месте решит раньше поднимет руку, я проверю и оценю.
Ответы: б) -2,2,-√2, √2; а) 3; -3.
7.Домашнее задание: № 223; 295 (а, б).
8. Подведение итогов и выставление оценок.
multiurok.ru
Биквадратное уравнение
Уравнение которое выглядит как ax4+bx2+c=0, называют Биквадратным уравнением. В нем х — неизвестная переменная. a,b,c -имеют различное числовое значение, где, а не равно нулю. Так же при х — стоящем в четвертой степени, коэффициент
Корнем биквадратного уравнения является значение х если при его использовании уравнение ax4+bx2+c превращается в ноль.
Действие с помощью которого находятся все корни уравнения или выясняется что таковых у него нет, называется — решением биквадратного уравнения.
Для решения биквадратного уравнения существует ряд действий, которые следует придерживаться.
Во-первых: Путем подстановки, где у=х2, решаемое биквадратное уравнение переводим в квадратное ау2+bу+с=0.
Во-вторых: В полученном уравнении необходимо найти корни.
В-третьих: Произвести замену введенного нами значения х2, путем приравнивания получившихся корней квадратного уравнения.
В- четвертых: После решения полученного уравнения, находим корни в биквадратном уравнении.
Для того чтобы все легче усвоилось, рассмотрим все описанное на нескольких примерах.
1) Дано уравнение 2х4 -19х2+9=0, оно биквадратное.
Производим замену х2=у, следовательно, х4=у2,
записываем получившееся 2у2-19у+9=0,
Мы получили полное неприведенное уравнение с коэффициентами а=2, b=-19,с=9.
Дискриминант уравнения: D = b2 — 4ac= (-19)2 — 4 * 2 * 9 = 361 — 72 = 289
У квадратного уравнения 2 корня, потому как D=289, что больше ноля. Находим их.
y2 = (-b- √D)/2a =(-(-19)±√289)/(2*2) = (19-17)/4 = 2/4 = 1/2
Производим замену х1 =у1, и х2 =у2
х1,2 = +√9
х1 = 3
х2 =-3
х3.4 = + √(1/2)
х3 = 1/√2
х4= — 1/√2
Данное биквадратное уравнение имеет ответ: х1 = 3; х2 =-3; х3 = 1/√2; х4= — 1/√2 .
2) Рассмотрим уравнение х4 +2х2-8=0
Производим замену х2=у, следовательно, х4=у2,
записываем получившееся у2+2у-8=0,
Мы получили полное неприведенное уравнение с коэффициентами а=1, b=2,с=-8.
Дискриминант уравнения: D = b2 — 4ac=22 — 4 * 1 *(-8) = 4 + 32 = 36
У квадратного уравнения 2 корня, потому как D=36, что больше ноля. Находим их.
y2 = (-b- √D)/2a =(-2 — √36)/(2*1) = (-2-6)/2 = (-8)/2 = -4
Производим замену х2 =у1, и х2 =у2
х1=2
х1,2= +√2
х3 = 4 (решения нет)
Данное биквадратное уравнение имеет ответ: х1 =√2; х2 = -√2
Из данного уравнения мы можем сделать вывод. Если при решении получается корень со знаком минус или у меньше ноля, больше его не рассматриваем. т.к. он не подходит нам по условию.
Для приведения многочлена к стандартному виду, во многих случаях используют формулы сокращенного умножения. Они решаются с помощью открытия скобок.
Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:
Урок алгебры на тему «Квадратные и биквадратные уравнения». 9-й класс
Разделы: Математика
Цель: расширение знаний учащихся, повторение материала в рамках подготовки к экзаменам, проконтролировать и оценить знания.
Тип урока: игра, урок проводится во время декады математики в школе.
Оформление класса
Мудрые мысли:
- “Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случаев, делать его немного занимательным” Б.Паскаль.
- “Неустанный труд все препятствия преодолеет” М.В.Ломоносов
Все учащиеся разбиты на две команды, каждая команда занимает свое место
Пожелания:
- “Не всегда уравнения разрешают сомнения, но итогом сомнения может быть озарение”
- “Чтобы ум владыкой стал, язык вперед не забегал”
- “Больше думай, не болтай, но и формул ты не забывай”
Урок начинается торжественно, звучит тихая музыка, на ее фоне читается стихотворение
О, математика земная,
Гордясь, прекрасная собой
Ты всем наукам мать родная
И дорожат они тобой.
В веках овеяна ты славой,
Светило всех земных светил
Тебя “Царицей величавой”
Недаром Гаусс окрестил
Строга, логична, величава,
Стройна в полете, как стрела
Твоя не меркнувшая слава
В веках бессмертье обрела
Я славлю разум человека,
Дела его волшебных рук;
Надежду нынешнего века —
Царицу всех земных наук.
Представление команд:
“Математики”
Девиз: “Посредством уравнений, теорем, мы уйму разрешим проблем”
“Иксы в квадрате”
Девиз:
“Наша команда иксы в квадрате, мы сегодня в неадеквате, чтобы вам нас победить, нужно очень умными быть!”
1 конкурс «Из истории математики» (это задание было дано заранее)
А) Квадратные уравнения в древнем Вавилоне
Необходимость решать уравнения в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земельными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и полные квадратные уравнения:
- х2 +х= 3/4
- х2— х= 14.5
Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решением, изложенным в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом, они были найдены, отсутствуют общие методы решения квадратных уравнений
Б) “Квадратные уравнения в Индии”
Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате “Ариабхаттиам”, составленном в 499 г индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в) изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: aх2 +bх = c a>o. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: “ Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предполагая и решая алгебраические задачи”. Задачи часто облекались в стихотворную форму. Вот одна из задач индийского математика VII в Бхаскары
“Обезьянок резвая стая
Всласть поевши, развлекалась,
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась,
А двенадцать по лианам…
Стали прыгать, повисая…
Сколько ж было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?”
Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений. Соответствующее задаче уравнение
(х/ 8)2 + 12 = х Бхаскара пишет под видом х2 –64х = -768, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32 2, получая х2-64х+ 32 2= -768+ 1024
(х -32)2=256
х-32=+16
х-32= -16
х1=-16
х2= 48
В) “Квадратные уравнения в Европе XIII-XVII в.в.” Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в “ Книге абака”, написанной в 1202г итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот труд, в котором отражено влияние математики как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из “Книги абака” переходили почти во все европейские учебники XVI-XVII вв. и частично XVIII.
Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х2+ bх = с при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г М. Штифелем.
Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. Благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.
Конкурс капитанов
1)
Что за чиж на черном поле
чертит клювом белый след?
У чижа ни ног, ни крыльев
ни пера, ни пуха нет (Мел)
2)
Говорит она беззвучно,
Но понятно и не скучно,
Ты беседуй чаще с ней
Станешь лучше и умней (Книга)
3)
Она всегда с трудом дается нам,
Зато потом, когда ответ получен,
То словно свет блеснет по сторонам,
Где только, что еще бродили тучи. (Задача)
Разминка команд
На доске записаны уравнения.
Задание: Найти дискриминант (от каждой команды выходит по 4 человека и выполняют каждый свое задание)
1 команда 2 команда а) 2х2-5х-3=0 (49) а) 3х2+5х-2=0 (49) б) х2+х-6=0 (25) б) х2-3х-4=0 (25) в) 9х2-12х+4=0 (0) в) 2х2-12х+18=0 (0) г) х2-11х=10=0 (81) г) х2+6х-7=0 (64)
Заморочки из бочки
Каждый участник команды берет в бочке вопрос и дает ответ
Вопросы:
1 Какое уравнение называют квадратным уравнением общего вида?
2 Определение приведенного квадратного уравнения
3 Какое уравнение называют неполным квадратным уравнением?
4 Запиши формулу дискриминанта полного квадратного уравнения
5 Что означает по – латыни слово дискриминант (различитель)
6 При каком условии полное квадратное уравнение имеет один корень
7 При каком условии квадратное уравнение имеет два корня.
8 В каком случае квадратное уравнение не имеет корней
9 Как читается теорема Виета.
10 Запиши формулу корней квадратного уравнения
Проверка навыков решения уравнений.
Каждая команда получает 10 карточек с заданием: “Реши уравнения”, так как учащиеся имеют свои места, то они не могут общаться
1. а) 3х2-7х+2=0 б) х2-2х=0 2. а) 2х2+5х-18=0 б) х2-16=0
3. а) 2х2-7х-30=0 б) х2-4=0
4. а) х2+2х-24=0 б) 7х-2х2=0
5. а) 5х2-12х+4=0 б) 9-х2=0
6. а) 3х2-8х+5=0 б) 5х2-10х=0
7. а) 2х2+3х-14=0 б) 2х2-32=0
8. а) 3х2-8х-3=0 б) 3х2-12х=0
9. а) Х2-8х+7=0 б) 2х+х2=0
10. а) 4х2+х-3=0 б) 3х2+27=0
Веселая перемена
Жюри проверяет работы, а учащиеся получают карточки с занимательными задачками “Бирюльки”. Задание выполняется путем вычеркивания букв, вычеркнутые буквы дают одно слово, а из оставшихся букв получается другое слово
1 Длаяйтекал прогони собаку, не тревожа птицу.(дятел, лайка)
2. Маидспраниияд со страной расстанься, но оставь столицу. (Мадрид, Испания)
3.Гакрвозадиська где цветок, где рыба, отыскать попробуй. (карась, гвоздика)
4.Нкиквеальс выплесни напиток, а метал не трогай. (Квас, никель)
5.Сммасоролединнока гриб клади в корзинку, ягоду в лукошко (масленок, смородина)
6.Пакнетдерыа разберись, где обувь, где большая кошка (кеды, пантера)
7.Брбуоськся отыщи вид спорта и снаряд спортивный (бокс, брусья)
8.Кфрувешигант где сосуд из глины? Где корабль старинный? (кувшин, фрегат)
9.Ксоамобсврала от змеи опасной отдели машину (кобра, самосвал)
10.Бтрелиткаон кто грызет орехи? Кто зарылся в тину (белка, тритон)
11Сгререадкла здесь герой античный спрятан в дне недели (Геракл, среда)
12Пчеанасыл что над школьной дверью? Что в твоем портфеле? (часы, пенал)
В жюри подается один лист, на котором записаны все ответы, работа на скорость и сплоченность команды
Биквадратные уравнения
Каждая команда получает 10 карточек, задача капитана правильно распределить, от этого зависит успех команды
1) х4-5х2+4=0 2) х4+3х2+2=0 3) х4-25х2+144=0 4) х4+14х2+48=0 5) х4-5х2-36=0 6) х4-4х2-45=0 7)2х4-9х2+4=0 8)9х4-9х2+2=0 9) (2х2+3)2 – 12 (2х2+3) +11=0 10) (х2+х-1)(х2+х+2)=40
Жюри проверяет работы, для учащихся проводится
Веселая перемена
Команды получают карточки с заданием, это же задание изображено на плакате в цвете для психологической разгрузки, ответ подается один от команды.
Сколько весит крокодил?
Вот крокодил и павиан,
Их вес – две бочки и диван.
Павиан без крокодила
Весит две корзинки ила.
Ровно шесть корзинок ила
Весит черная горилла.
Две гориллы — посмотри —
Сколько бочек весят? Три.
И все та же обезьяна
Весит ровно полдивана.
Сколько весит крокодил
В пересчете на горилл?
Литература
1) Г.И. Глейзер “История математики в школе 7-8 классы”
2) Учебник “Алгебра 9 класс” под редакцией С.А. Теляковского
3) Календарь для школьника
4.12.2016
xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai
Решение биквадратных уравнений — Математика
Просмотр содержимого документа
«Решение биквадратных уравнений»
Урок в 9класс (алгебра)
Тема: Решение биквадратных уравнений.
Цели: закрепить знания учащихся по решению уравнений с помощью введения вспомогательной переменной; ввести понятие биквадратного уравнения и объяснить его решение.
Ход урока:
1. Орг. Момент проверить наличие учащихся, готовность к уроку.
2. Работаем устно
а ) определите возможное максимальное количество корней уравнения
( х2+6х)2 – 5(х2+6х) = 24
б) каким способом можно решить данное уравнение?
В) какое выражение замените новой переменной? разложите его на множители.
Г) назовите корни квадратного уравнения у2-5у-24=0 (-3, 8)
д) найдите корни уравнения (х-5) (х+8)(2х-6)=0
3. Объяснение новой темы, через введения проблемной задачи
Предлагаю решить уравнение
Х5+х4-6х3-6х2+5х+5=0
Вопросы: 1) Какой метод используем первоначально? (группировки)
2) Какие множители получились?
3) можно ли определить хотя бы один корень? Каково его значение?
4) сколько вообще может быть корней у данного уравнения?
В качестве второго множителя мы получили уравнение четвертой степени.
5)Какое уравнение оно вам напоминает?
6) Можете ли вы представить его в общем виде?
Определение Уравнение вида ах 4 + вх2 + с=0, где а≠0, называют биквадратным
уравнением.
Решают их путем введения новой переменной
( показать решение) Ответ: -√5; -1; 1; √5.
4. Физкульт. Минутка.
5. Решаем номер 222 пункты в и д ( Показывает учитель)
Ответ6 в) нет решения ;д) -√1/3; √1/3; -√2/3;√2/3
6. Теперь предлагаю вам по вариантам решить № 222 , 1 ряд- пункт а, второй – б;
третий –г. Представители каждого ряда выходят к доске решают на оценку. Кто на месте решит раньше поднимет руку, я проверю и оценю.
Ответы: б) -2,2,-√2, √2; а) 3; -3.
7.Домашнее задание: № 223; 295 (а, б).
8. Подведение итогов и выставление оценок.
multiurok.ru
Решение биквадратных уравнений — Математика
Просмотр содержимого документа
«Решение биквадратных уравнений»
Урок в 9класс (алгебра)
Тема: Решение биквадратных уравнений.
Цели: закрепить знания учащихся по решению уравнений с помощью введения вспомогательной переменной; ввести понятие биквадратного уравнения и объяснить его решение.
Ход урока:
1. Орг. Момент проверить наличие учащихся, готовность к уроку.
2. Работаем устно
а ) определите возможное максимальное количество корней уравнения
( х2+6х)2 – 5(х2+6х) = 24
б) каким способом можно решить данное уравнение?
В) какое выражение замените новой переменной? разложите его на множители.
Г) назовите корни квадратного уравнения у2-5у-24=0 (-3, 8)
д) найдите корни уравнения (х-5) (х+8)(2х-6)=0
3. Объяснение новой темы, через введения проблемной задачи
Предлагаю решить уравнение
Х5+х4-6х3-6х2+5х+5=0
Вопросы: 1) Какой метод используем первоначально? (группировки)
2) Какие множители получились?
3) можно ли определить хотя бы один корень? Каково его значение?
4) сколько вообще может быть корней у данного уравнения?
В качестве второго множителя мы получили уравнение четвертой степени.
5)Какое уравнение оно вам напоминает?
6) Можете ли вы представить его в общем виде?
Определение Уравнение вида ах 4 + вх2 + с=0, где а≠0, называют биквадратным
уравнением.
Решают их путем введения новой переменной
( показать решение) Ответ: -√5; -1; 1; √5.
4. Физкульт. Минутка.
5. Решаем номер 222 пункты в и д ( Показывает учитель)
Ответ6 в) нет решения ;д) -√1/3; √1/3; -√2/3;√2/3
6. Теперь предлагаю вам по вариантам решить № 222 , 1 ряд- пункт а, второй – б;
третий –г. Представители каждого ряда выходят к доске решают на оценку. Кто на месте решит раньше поднимет руку, я проверю и оценю.
Ответы: б) -2,2,-√2, √2; а) 3; -3.
7.Домашнее задание: № 223; 295 (а, б).
8. Подведение итогов и выставление оценок.
multiurok.ru
Квадратные и биквадратные уравнения
Впервые квадратные уравнения сумели решить математики древнего Египта. Вавилоняне умели решать неполные квадратные уравнения, так же частные виды полных квадратных уравнений около 2 тысяч лет до нашей эры. Древнегреческие математики умели решать некоторые виды квадратных уравнений, сводя их к геометрическим построениям. Примеры решения уравнений без использования геометрических знаний дает Диофант Александрийский (3 век). Диофант в своих книгах «Арифметика» изложил способ решения полных квадратных уравнений, однако эти книги не сохранились. В Европе формулы для решения квадратных уравнений были впервые изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи в 1202 году.
Общее правило решения квадратных уравнений, преобразованных в вид х2 + bх = с, было описано немецким математиком М. Штифелем. Он и сформулировал в 1544 году общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду
х2 + bх + с = 0 при всевозможных вариациях знаков и коэффициентов b и с.
Франсуа Виет вывел формулы квадратного уравнения в общем виде, однако он работал только с положительными числами.
Тарталья, Кардано, Бомбелли – итальянские ученые, которые среди первых в XVI веке учитывают кроме положительных еще и отрицательные корни.
Выводом формулы решения квадратных уравнений общего вида занимался Виет. Одно свое утверждение он высказывал лишь для положительных корней (отрицательных чисел он не признавал).
После трудов нидерландского математика Альберта Жирара, а также Декарта и Ньютона, методы решения квадратных уравнений приняли современный вид.
Квадратные уравнения
1. Вспомним уже знакомые способы решения и исследования квадратных уравнений:
- выделение полного квадрата;
- по формуле корней для квадратного уравнения;
- по теореме Виета;
- на основании свойств квадратичной функции.
В процессе решения уравнений необходимо следить за множеством допустимых значений неизвестного, т.к. оно может изменяться. В случае его расширения следует проверять найденное решение, не является ли оно посторонним для данного уравнения. В случае, если произошло сужение, необходимо убедиться, не являются ли потерянные значения неизвестных решениями данного уравнения. Процесс нахождения выпавших решений не всегда легко выполним, поэтому желательно избегать сужение множества допустимых значений неизвестных уравнения.
2. Типичные ошибки при решении уравнений.
По правилам можно преобразовывать исходное уравнение в равносильное ему, при этом, вы знаете, что: обе части уравнения можно делить или умножать на одно и то же, отличное от нуля, число.
1) Если уравнение имеет вид f(х) · g(х) = p(х) · g(х), то деление обеих частей на одинаковый множитель g(x), как правило, недопустимо. Данное действие может привести к потере корней: могут быть потеряны корни уравнения g(х) = 0, если ни существуют.
Пример 1.
Решить уравнение 2(х – 3) = (х – 3)(х + 5).
Решение.
Здесь нельзя сокращать на множитель (х – 3).
2(х – 3) – (х – 3)(х + 5) = 0, вынесем общую скобку:
(х – 3)(-х – 3) = 0, теперь
х – 3 = 0 или -х – 3 = 0;
х = 3 или х = -3.
Ответ: -3; 3.
2) Уравнение вида f(х) / g(х) = 0 можно заменить системой:
{f(x) = 0,
{g(x) ≠ 0.
Она равносильна исходному уравнению.
Или можно решить уравнение f(x) = 0, а уже затем исключить найденных корней те, которые обращают в нуль знаменатель g(x).
Встречаются дробно-рациональные уравнения, которые сводятся к квадратным уравнениям.
Пример 2.
Решить уравнение: (х + 3) / (х – 3) + (х – 3) / (х + 3) = 10/3 + 36/(х – 3)(х + 3).
Решение.
Умножив обе части уравнения на общий знаменатель и заменив исходное уравнение целым, получим равносильную систему:
{3(х + 3)2 + 3(х – 3)2 = 10(х – 3)(х + 3) + 3 · 36;
{(х – 3)(х +3) ≠ 0.
В результате получим два корня: х = 3 или х = -3, но х ≠ 3 и х ≠ -3.
Ответ: уравнение корней не имеет.
Пример 3.
Решить уравнение: (х + 5)(х2 + 4х — 5)/(х + 5)(х + 2) = 0.
Решение.
Часто ограничиваются таким решением:
(х2 + 4х – 5) / (х + 2) = 0.
{х = -5, х = 1,
{х ≠ -2.
Ответ: -5; 1.
Правильный ответ: 1.
Пример 4.
При выполнении распространенных заданий на исследование квадратного уравнения следующего вида: «Не вычисляя действительных корней х1 и х2 уравнения 2х2 + 3х + 2 = 0, найти значение х12 + х22» банальная невнимательность приводит к грубой ошибке.
Действительно, по теореме Виета,
х12 + х22 = (х1 + х2)2 – х1х2 = (-3/2)2 – 2 · 1 = 1/4.
Однако, теоремой можно было воспользоваться при существовании действительных корней. В данном примере D < 0 и корней нет.
Ответ: значение х12 + х22 не существует.
Пример 5.
Вычислить отрицательный коэффициент b и корни уравнения х2 + bх – 1 = 0, если с увеличением каждого из этих корней на единицу они становятся корнями уравнения х2 – b2х – b = 0.
Решение.
Пусть х1 и х2 – корни уравнения х2 + bх – 1 = 0. Тогда по т. Виета
х1 + х2 = -b и х1х2 = -1 (*). С другой стороны, по условию
(х1 + 1) + (х2 + 1) = b2 и (х1 + 1)(х2 + 1) = -b.
Перепишем:
х1 + х2 = b2 – 2 и (х1 + 1)(х2 + 1) = -b.
Теперь, учитывая условия (*), получим b2 – 2 = -b, следовательно,
b1 = -2, b2 = 1. По условию подходит b1 = -2.
Значит, исходное уравнение имеет вид х2 – 2х – 1 = 0, корнями являются числа х1,2 = 1 ± √2.
Ответ: b1 = -2, х1,2 = 1 ± √2.
Уравнения, приводимые к квадратным. Биквадратные уравнения
Уравнения вида ах4 + bх2 + c = 0, где а ≠ 0, называются биквадратными уравнениями с одной переменной.
Для решения биквадратного уравнения нужно сделать подстановку х2 = t, найти корни t1 и t2 квадратного уравнения аt2 + bt + c = 0 и решить уравнения х2 = t1 и х2 = t2. Они имеют решения лишь в случае, когда t1,2 ≥ 0.
Пример 1.
Решить уравнение х4 + 5х2 – 36 = 0.
Решение.
Подстановка: х2 = t.
t2 + 5t – 36 = 0. По т. Виета t1 = -9 и t2 = 4.
х2 = -9 или х2 = 4.
Ответ: В первом уравнении корней нет, из второго: х = ±2.
Пример 2.
Решить уравнение (2х – 1)4 – 25(2х – 1)2 + 144 = 0.
Решение.
Подстановка: (2х – 1)2 = t.
t2 – 25t + 144 = 0. По т. Виета t1 = 9 и t2 = 16.
(2х – 1)2 = 9 или (2х – 1)2 = 16.
2х – 1 = ±3 или 2х – 1 = ±4.
Из первого уравнения два корня: х = 2 и х = -1, из второго тоже: х = 2,5 и х = -1,5.
Ответ: -1,5; -1; 2; 2,5.
Таким образом, процесс решения любых уравнений состоит в последовательной замене данного уравнения другим, равносильным ему и более простым уравнением.
Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!
Зарегистрироваться
© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
blog.tutoronline.ru
Урок в 9 классе «Биквадратные уравнения»
Решение биквадратных уравнений.
Цель: Выявить уровень овладения учащимися комплексом знаний и умений, и на его основе принять определенные решения по совершенствованию учебного процесса. Скорректировать ЗУН по теме. Привить аккуратность в работе, выработать умение слушать и комментировать ответы, навыки самостоятельной работы на уроке.
Формы организации: общеклассная, групповая, индивидуальная.
Методы обучения: словесный, наглядный, частично-поисковый, иллюстративно-объяснительный, репродуктивный (по образцу).
Тип урока: Урок закрепления и коррекции знаний.
Ход урока
1. Организационный момент. Сообщение цели и задачи урока
2. Математический диктант.
Два ученика выходят к доске и пишут работу так, чтобы весь класс не видел результатов. Все остальные уч-ся пишут работ на листах, чтобы потом сделать самопроверку, самооценку своей работы, увидеть свои ошибки и скорректировать их с помощью учителя и учеников, которые писали у доски.
Диктант
Два корня
D=0, то по какой формуле они вычисляются
Один корень
листочки сдаем. После чего учитель спрашивает, сколько ошибок было допущено по каждому вопросу и заостряет внимание на тех вопросах, корректируя их, где допущено больше всего ошибок.
Критерии оценок за правильные ответы:
5в – “5”
4в – “4”
3в – “3”
2в и меньше – “2”
3-й этап Закрепление
4-25х2+144=0Введем новую переменную х2=у, тогда получаем уравнение:
у2-25у+144=0
а=1 в=-25 с=144
D=b2-4ac
D=(-25)2-4*1*144=625-576=49>0 два корня
Подставляем в замену х2=у
Ответ: 4; -4; 3; -3Реши:
Сильные учащиеся решают уравнение 5-й степени:
х5+х4-6х3-6х2+5х+5=0
х5-х4-2х3+2х2-3х+3=0.
5. Итог урока
Оценка.
6. Домашнее задание
infourok.ru