8. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса и с использованием преобразований Жордана-Гаусса:
Определение матрицы. Перечислите основные виды матриц:
Матрицей называется прямоугольная таблица размерностью m на n, где m – число строк, n – число столбцов. Числа, из которых состоит матрица, называются элементами матрицы. Обозначается матрица всегда заглавными (прописными) латинскими буквами. Элементы матрицы заключаются в круглые и квадратные скобки, обозначаются они строчными буквами с индексом ij, где i – строка, j – столбец. Элемент матрицы находится на пересечении i-строки и j-столбца.
Основные виды матриц:
Прямоугольная – состоит из m строк и n столбцов.
Строчная (матрица строка, вектор строка) – матрица, состоящая из одной строки.
Столбцовая (матрица столбец, вектор столбец) – матрица, состоящая из одного столбца.
Квадратная
Диагональная – квадратная матрица, у которой все элементы, не принадлежащие главной диагонали равны нулю (главную диагональ образую элементы, у которых i=j).
Единичная – диагональная матрица, у которой все элементы, находящиеся на главной диагонали равны единице.
Симметричная – матрица, у которой все элементы симметричны относительно главной диагонали.
Нулевая – матрица любой размерности, все элементы которой равны нулю.
Квадратная матрица называется верхней треугольной (нижней треугольной), если все ее элементы, стоящие ниже (выше) главной диагонали, равны нулю. Верхняя треугольная матрица иногда называется правой треугольной, а нижняя треугольная — левой треугольной.
Если матрица прямоугольная, то мы можем преобразовать её в квази-треугольную, ступенчатую или трапециевидную матрицу
Операции над матрицами:
Произведением матрицы А на число λ называется матрица B, у которой каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число λ.
Делить матрицы нельзя.
Суммой двух матриц А и В, с одинаковым количеством строк и столбцов, называется матрица С, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц слагаемых.
Умножение матриц определяется только для согласованных матриц. Матрица А называется согласованной с матрицей В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Если матрица А и В квадратные, то они всегда взаимно-согласованы.
Произведением матрицы Аmxk на матрицу Вkxn, называется матрица Сmxn, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-строки матрицы А на соответствующие элементы j-столбца матрицы В.
Свойства умножения матриц:
1.(А*В)*λ = (А*λ)*В = А*(В*λ), где λ – любое число
2.(А + В)*С = А*С + В*С
3.(А*В*С) = (В*С*А) – если матрицы согласованы между собой.
4.А*Е = Е*А = А, где Е – единичная матрица
5.А*О = О*А = О, где О – нулевая матрица.
Транспонирование матрицы осуществляется путём замены каждой её строки столбцом с тем же номером.
Свойства транспонирования матриц:
1.(Ат)т = А
2.(А + В)т = Ат + Вт
3.( λ*А)т = λ*Ат
4.(А*В)т = Ат*Вт, если матрицы согласованы между собой.
Расчёт определителей второго и третьего порядка:
Определителем второго порядка называется число:
Определителем третьего порядка называется число, полученное при расчёте определителя по формуле Сарруса:
Свойства определителей:
1.Определитель не изменится, при замене всех его строк соответствующими столбцами (при транспонировании).
2.При перестановке двух столбцов (строк) местами определитель меняет знак на противоположный.
3.Определители с двумя одинаковыми столбцами (строками) всегда равен нулю.
4.Множитель, общий для элементов некоторого столбца (строки) можно выносить за знак определителя. За знак определителя можно выносить общий множитель любой строки (столбца) любой матрицы, за знак которой можно выносить общий множитель всех элементов.
5.Определитель равен нулю, если все элементы некоторого столбца (строки) равны нулю.
6.Определитель с двумя пропорциональными столбцами (строками) всегда равен нулю.
7.Если в определителе все элементы некоторого столбца (строки) равны суммам двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух соответствующих определителей.
8.Определитель не изменится, если к элементам некоторого столбца (строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), предварительно умножив их на один и тот же коэффициент.
9.Минором Мij элемента аij матрицы n-ного порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, получаемой из матрицы n-ного порядка путём вычёркивания i-строки и j-столбца.
Каждая матрица n-ного порядка имеет n2 миноров n-первого порядка.
10.Алгебраическим дополнением Аij элемента аij называется минор элемента aij умноженный на (-1)i+j
Дополнение всегда обозначают той же буквой, что и матрица, но всегда с индексами.
11.Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
12. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей.
13. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) на алгебраические дополнения другой строки (столбца) всегда равна нулю.
Обратная матрица. Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Алгоритм вычисления обратной матрицы методом Гаусса.
Обратной для квадратной матрицы А называется матрица А-1, для которой выполняется: А-1*А=А*А-1=Е
Из определения следует, что обратную матрицу можно построить только для квадратной, обе матрицы прямая и обратная имеют один и тот же порядок.
Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы:
Определитель прямой матрицы должен быть отличен от нуля. Тогда матрица А называется не вырожденной или не особенной. В противном случае, если определитель равен нулю, матрица называется вырожденной или особенной.
Теорема:
Обратная матрица А-1 существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица не вырождена.
Необходимость.
Пусть для матрицы
А существует обратная А-1,
т.е. А* А
Достаточность.
Пусть дана невырожденная матрица порядка n
,
так что ее определитель 0. Рассмотри матрицу, составленную из алгебраических дополнений к элементам матрицы А:
,
ее называют присоединенной к матрице А.
Следует обратить внимание на то, что алгебраические дополнения к элементам i-той строки матрицы А стоят в i-том столбце матрицы А*, для .
Найдем произведения матриц АА* и А*А. Обозначим АА* через С, тогда по определению произведения матриц имеем: Сij = аi1А 1j + аi2А 2j + … + аinАnj ;
При i = j получим сумму произведений элементов i — той строки на алгебраические дополнения этой же строки, такая сумма равняется значению определителя. Таким образом С ij = |А| = D — это элементы главной диагонали матрицы С. При i j, т.е. для элементов Сij вне главной диагонали матрицы С, имеем сумму произведений всех элементов некоторой строки на алгебраические дополнения другой строки, такая сумма равняется нулю. Итак, = АА*
Аналогично доказывается, что произведение А на А* равно той же матрице С. Таким образом, имеем А*А = АА* = С. Отсюда следует, что
Поэтому, если в качестве обратной матрицы взять , тоИтак, обратная матрица существует и имеет вид:
.
Вычисление обратной матрицы методом Гаусса:
Алгоритм вычисления обратной матрицы методом Гаусса состоит в следующем действии: (А|E) = (E|A-1), которое проводится посредством тех же операций, что и при вычислении определителя или посредством преобразований Гаусса.
Системы линейных уравнений. Основные понятия и определения.
aij – коэффициенты при неизвестном
bi – свободные члены.
i/j от 1 до n
Решением данной системы называется упорядоченная совокупность n чисел: c1, c2, c3…cn, подстановка которых в каждое уравнение системы обращает его в истинное тождество.
Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной.
Система, не имеющая ни одного решения, называется не совместной.
Совместная система называется определённой, если она имеет только одно решение и не определённой, если она имеет более одного решения.
Линейная система называется не определённой, если существуют свободные члены, отличные от нуля.
Если все свободные члены равны нулю, то такая система называется однородной.
Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.
Любые две не совместные системы всегда эквивалентны (нет решений).
Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы и методом Крамера:
Формула решения системы методом обратной матрицы:
X = A-1*B, применяется если определитель прямой матрицы отличен от нуля.
Где Х – матрица столбец, содержащая решения системы x1, x2…xn, а В – матрица столбец, в которой содержатся свободные члены системы b1, b2…bn.
Рассмотрим квадратную матрицу
.
Обозначим =det A. – определитель.
Обратная матрица вычисляется по формуле
где А i j — алгебраические дополнения элементов a i j.
Аij = (-1)i+j* Мij
Рассмотрим систему уравнений, решив её методом Крамера:
Вычислим определитель:
,
Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений).
В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.
Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:и
Корни уравнения находим по формулам: ,
Для решения данной системы применяется метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса) с использованием жордановских преобразований. Такой совокупный метод носит название метода Жордана-Гаусса. Для этого метода удобно записывать систему таблицей.
Выбираем любой не нулевой элемент таблицы (в качестве выбранного элемента должен быть коэффициент при переменной) aij. Свободные члены никогда не выбираются. Выбранный коэффициент заключается в прямоугольную рамочку (этот элемент называется разрешающим). Строка и столбец, содержащие данный элемент также называются разрешающими или разрешёнными
Система уравнений называется разрешённой, если каждое уравнение системы содержит разрешённую неизвестную. Разрешённые неизвестные взятые по одной из каждых уравнений, образует полный набор разрешённых неизвестных систем. Разрешённые неизвестные, входящие в полный набор также называются базисными, а все остальные свободными.
Для того, чтобы провести Жордана-Гауссовские преобразования, нужно разрешающую строку умножить на подходящий коэффициент и сложить полученную строку с другой (желательно, чтобы коэффициент был противоположным разрешающему элементу, либо любым другим числом, при сложении с которым получался бы нуль).
Таким образом проделываем вышесказанное с каждой строкой и получаем упрощённый вариант нашей системы, из которой уже можно получить решения заданной системы уравнений.
Ранг матрицы. Основные свойства ранга матрицы.
Рангом матрицы называется наибольший из порядков её миноров, отличных от нуля. Обозначается ранг матрицы как: r, rang (A), Rang (A), Rg.
При вычислении ранга матрицы следует переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков.
Ранг матрицы равен нулю, если все элементы данной матрицы равны нулю.
Для квадратной матрицы n-ного порядка, ранг матрицы равен n тогда и только тогда, если заданная матрица будет не вырожденная (определитель не равен нулю).
Основные свойства для вычисления ранга матрицы:
1). Ранг транспонированной матрицы всегда равен рангу исходной матрицы.
2). Ранг матрицы не изменится, если вычеркнуть или приписать нулевую строку или столбец.
3). Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы:
— отбрасывание нулевой строки или столбца
— умножение всех элементов строки или столбца на число, отличное от нуля.
— перестановка местами двух строк или столбцов.
— транспонирование матрицы
— прибавление к каждому элементу строки или столбца элемента другой строки или столбца, умноженного на const.
*замечание*
Для вычисления ранга матрицы можно не использовать метод окаймляющих миноров, а свести исходную матрицу к треугольному, диагональному или трапециевидному виду.
Модель межотраслевого баланса Леонтьева:
Цель балансового анализа — ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике, связанный с эффективностью сведения многоотраслевого хозяйства.
Каким должен быть объём производства каждой n-отрасли, чтобы удовлетворить все потребности в продукции данной отрасли, при этом каждая отрасль выступает как производителем некоторой продукции, так и как потребитель своей продукции и произведённой другими отраслями.
Связь между отраслями отражается в таблицах межотраслевого баланса.
Математическая модель, позволяющая её анализировать, разработана в 1936 году американским экономистом Леонтьевым.
Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например: за год).
xij – объём продукции i-отрасли, потребляемой j-отрасли в процессе производства.
yi – объём конечного продукта i-отрасли.
xi – общий объём продукции i-отрасли (валовой объём).
n
Хi = Σ Хij + Уi – валовой объём
j=1 i-отрасли равен суммарному объёму продукции, потребляемой n отраслями, и конечному продукту.
aij = хij/xj
xij = aij*xj (линейная модель)
aij – коэффициент прямых затрат, показывает затраты продукции i-отрасли
, где A – матрица прямых затрат, X – вектор валового выпуска, Y – вектор конечного продукта.
Основная задача межотраслевого баланса состоит в нахождении такого вектора валового выпуска X, который, при заданной матрице А, обеспечит вектор конечного продукта Y.
Х = АХ + Y
Х – АХ = Y
(Е – А)*Х = Y
Х = (Е – А)-1* Y
(Е – А)-1 = S – матрица полных затрат
|E – A| ≠ 0
Каждый элемент данной матрицы есть величина валового выпуска продукции i-отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта.
Оценка продуктивности матрицы А:
1). Матрица А называется продуктивной, если все её элементы
≥ 0, если для любого элемента Y ≥ 0, существует матрица Х, все элементы которой ≥ 0.
2). Матрица А продуктивна, если максимум сумм элементов её столбцов не превосходит единицы, причём хотя бы для одного из столбцов строго меньше единицы. Это является проверкой рентабельности производства.
3). Матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда существует матрица S и все её элементы ≥ 0.
12. N-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел. N-мерным вектором называется последовательность чисел. Эти числа называются координатами вектора. Число координат вектора n называется размерностью вектора.
Линейные опреации:
a+b=b+a
(a+b)+c=a+(b+c)
c,b=const c(ba)=(cb)a
(c+b)a=ca+ba
a+0=a
a+(-a)=0
a*1=a
studfiles.net
Метод Жордана – Гаусса.
Пусть дана система, состоящая из m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:
(1)
С помощью элементарных преобразований над строками и перестановкой столбцов расширенная матрица системы (1) может быть приведена к виду:
(2)
Матрица (2) является расширенной матрицей системы:
(3)
которая с точностью до обозначения неизвестных эквивалентна исходной системе.
Если хотя бы одно из чисел отлично от 0, то система (3), а следовательно и исходная система (1) несовместна.
Если же , то система (3) и (1) совместна. И из (3) базисные неизвестныевыражаются через свободные неизвестные.
Пример.
Методом Жордана-Гаусса найти общее решение системы уравнений:
Решение:
Проведя элементарные преобразования над расширенной матрицей, получим:
Получим 0 в третьей и четвертой строках. Умножим вторую строку на . К первой строке прибавляем 2 (смотри последнюю матрицу), умноженную на 2. Это делается для того, чтобы .
Первые две строки последней матрицы составляют расширенную матрицу системы:
эквивалентной исходной системе.
Считая базисными неизвестными, а свободными, получим общее решение в виде:
.
17
studfiles.net
Решение систем линейных уравнений методом Жордана-Гаусса
Как уже говорилось, метод Жордана-Гаусса состоит в приведении системы к равносильной системе канонического вида. Рассмотрим суть этого метода на следующих примерах.
Пример. Решить методом Жордана-Гаусса систему .
Решение. Отметим, что в предыдущем параграфе эта система была решена методом Гаусса, для чего она элементарными преобразованиями приводилась к ступенчатому виду. Теперь, в соответствии с методом Жордана-Гаусса, приведем ее к каноническому виду соответствующими элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы системы. Расширенная матрица системы имеет вид . Такая матрица элементарными преобразованиями строк ранее (в параграфе «Элементарные преобразования матриц. Ранг матрицы») уже была приведена к эквивалентной канонической матрице: . Эта матрица является расширенной матрицей для следующей системы канонического вида: . Решение этой системы очевидно. Таким образом, решение исходной системы: , , .
Пример. Решить методом Жордана-Гаусса систему .
Решение. Приведем расширенную матрицу системы элементарными преобразованиями строк (и вычеркиванием чисто нулевых строк, если таковые появятся) к канонической матрице :
~ ~
~ ~ .
Последняя матрица − каноническая и является расширенной матрицей следующей системы в канонической форме (эквивалентной исходной системе) :
. Переменные, коэффициенты при которых соответствуют ненулевым диагональным элементам (а это единицы для канонических матриц) расширенной матрицы системы, называются базисными переменными, а остальные переменные называются свободными переменными. Базисные переменные (в нашей системе это и ) легко выражаются через свободные (в нашей системе это и ). Проделывая это для данной системы, получаем то, что называется общим решением системы:
, .
Придавая свободным переменным любые значения и вычисляя затем базисные переменные из общего решения, будем получать решения исходной системы. Эти решения называются ее частными решениями, которых, очевидно, бесконечно много. Если положить, например, и , то из общего решения получаем и Таким образом, одно из частных решений исходной системы имеет вид: , , , . Можно общему решению этой системы придать более симметричную форму. Положим , а . Тогда выписанное выше общее решение можно записать в виде:
, , , .
Придавая паре переменных всевозможные числовые значения и подставляя их в общее решение, получим все решения исходной системы.
Однородные системы
Исследуем произвольную однородную систему линейных уравнений:
.
В этом случае ранги основной и расширенной матриц совпадают ( ) . Это следует из того, что расширенная матрица получается из основной добавлением нулевого столбца, а потому среди ненулевых миноров расширенной матрицы не может быть таких, которые не входили в основную матрицу. По теореме Кронекера-Капелли (см. параграф «Исследование общих систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли») из этого следует, что любая однородная система совместна. Очевидно, что одним из ее решений всегда является решение , которое называется нулевым (или тривиальным) решением однородной системы. Учитывая теорему Кронекера-Капелли, легко найти условия, при которых однородная система имеет и ненулевые решения.
Утверждение 1. Однородная система линейных уравнений имеет ненулевые решения (причем бесконечное число их) в том и только в том случае, когда ранг ее основной матрицы меньше числа неизвестных: .
Рассмотрим случай, когда число уравнений в однородной системе совпадает с числом неизвестных ( ) :
.
На основании предыдущего Утверждения 1 легко доказать следующее
Утверждение 2. Однородная система из n линейных уравнений с n неизвестными имеет ненулевые решения только в том случае, если определитель основной матрицы этой системы .
Найдем вид общего решения таких систем на примере трех уравнений с тремя неизвестными:
(9) .
Как отмечалось, однородная система всегда совместна, поскольку всегда имеет нулевое решение . Если определитель основной матрицы системы , то это нулевое решение единственно. Пусть . Это означает, ранг основной матрицы системы не может быть равен 3, а потому . Предположим, что ранг основной матрицы . Это означает, что хотя бы один из миноров второго порядка не равен 0. Пусть, например, минор , а потому является базисным минором. В системе (9) оставим только те уравнения, коэффициенты которых участвуют в образовании базисного минора. Таким образом, в системе (9) оставляем только первые два уравнения и приходим к системе
(10) .
Можно показать, что системы (9) и (10) эквивалентны (т.е. имеют одни и те же решения), а потому найдя общее решение системы (10), получим и общее решение исходной системы (9).
Перенесем в (10) слагаемые с переменной в правую часть и рассмотрим полученную систему
как систему двух уравнений с двумя неизвестными x и y при произвольном значении переменной . Поскольку основной определитель этой системы , то по правилу Крамера она имеет единственное решение и при произвольном значении переменной . Применяя формулы Крамера, для этого решения получаются следующие формулы:
(11) , ,
где может принимать произвольное числовое значение. Таким образом, формулы (11) представляют общее решение системы (10) . Для того, чтобы запись общего решения выглядела более симметричной, обозначим . Поскольку z может быть любым числом, то и t тоже может принимать любые числовые значения. Выражая и подставляя в (11), получим общее решение исходной системы (9) в следующем симметричном виде :
(12) , .
При каждом числовом значении параметра t эти формулы дают одно из решений системы (например, при получим нулевое решение системы ). Обратно, любое решение однородной системы получается из приведенных формул (12) при некотором значении параметра t.
Пример. Найти общее решение системы .
Решение. По формулам (12) получаем
, , т.е. , .
Иногда требуется из бесконечного множества решений однородной системы выделить решения, обладающие каким-либо дополнительным свойством.
Пример. Найти решение предыдущей системы ,
удовлетворяющее условию .
Решение. Как было только что выяснено, общее решение системы имеет вид: , , , . Найдем значение параметра t , при котором решение удовлетворяло бы и дополнительному условию x2 − 3y2+z+4=0. Подставляя в него , , , получим или , откуда . Итак, нужное нам решение получается из общего решения при , а потому имеет вид: , , .
Замечание. Фактически мы нашли решение системы уравнений .
infopedia.su
Тема 3. Решение систем линейных уравнений методом Жордана – Гаусса
Общим решением системы m линейных уравнений с n неизвестными называется
+—решение, в котором базисные неизвестные линейно выражаются через свободные неизвестные
Частным решением системы m линейных уравнений с n неизвестными называется
+—решение, полученное из общего решения, если свободным неизвестным придать произвольные значения
При отыскании общего решения системы m линейных уравнений с n неизвестными методом Жордана – Гаусса в качестве разрешающего элемента выбирается
+—любой отличный от нуля элемент таблицы, кроме элементов столбца свободных членов и контрольного столбца
Система m линейных уравнений с n неизвестными не имеет решений, если на некоторой итерации
+—все элементы какой – либо строки таблицы Жордана – Гаусса, кроме свободного члена, равны нулю
Базисным решением системы m линейных уравнений с n неизвестными называется
+—решение, полученное из общего решения системы, в котором свободные неизвестные равны 0
Если r – число базисных неизвестных, а n – общее число неизвестных в произвольной системе m линейных уравнений, то система имеет бесконечное множество решений при
+—
Если дано матричное уравнение , то его решение определяется по формуле
+—
Если в таблице Жордана – Гаусса — разрешающий элемент, то элемент находится по формуле (правило прямоугольника)
+—
Итерацией в методе Жордана — Гаусса называется
+—расчет элементов одной таблицы Жордана – Гаусса
Метод Жордана – Гаусса это
+—последовательное исключение неизвестных
Если в таблице Жордана – Гаусса имеются две одинаковые строки, то
+—одну из них можно вычеркнуть
Единичным называется столбец таблицы Жордана – Гаусса, который состоит из
+—одной единицы и остальных 0
Переменная называется базисной, если в таблице Жордана – Гаусса столбец коэффициентов перед ней является
+—единичным
Если в таблице Жордана – Гаусса имеются две пропорциональные строки, то
+—одну из них нужно вычеркнуть
Переменная называется свободной, если в таблице Жордана – Гаусса
+—она не входит в столбец в базис
Система m линейных уравнений с n неизвестными называется однородной, если свободные члены
+—равны 0
Матрица коэффициентов при неизвестных системы m линейных уравнений с n неизвестными является
+—прямоугольной
Число частных решений равно
+—бесчисленному множеству решений
Переход от одного базисного решения к другому осуществляется путем
+—проведения еще одной итерации метода Жордана – Гаусса
Элементы вводимой строки в таблице Жордана – Гаусса находятся
+—делением элементов разрешающей строки предыдущей таблицы на разрешающей элемент
Число базисных решений произвольной системы m линейных уравнений с n неизвестными определяется
+—формулой
Решение системы m линейных уравнений с n неизвестными, в котором базисные неизвестные линейно выражаются через свободные, называется
+—общим
Систему можно решить матричным способом, если
+—число уравнений равно числу неизвестных
Решение, полученное из общего решения, если свободным неизвестным придать произвольные значения, называется
+—частным
Значение базисных переменных в таблице Жордана – Гаусса находится в
+—столбце
В контрольный столбец 1-й таблицы Жордана – Гаусса записывается
+—сумма элементов по каждой строке, включая свободные члены
Матрица коэффициентов при неизвестных при решении системы n линейных уравнений с n неизвестными матричным способом является
+—невырожденной
При решении системы m линейных уравнений с n неизвестными методом Жордана – Гаусса контроль вычислений в таблицах Гаусса, начиная со 2 –ой, проводится путем
+—сравнения суммы элементов по каждой строке, включая свободные члены, с элементами контрольного столбца
В столбце таблицы Жордана – Гаусса находятся значения неизвестных
+—базисных
Решение системы линейных уравнений с n неизвестными находится с применением обратной матрицы, если число уравнений равно
+—n
Решение, матричного уравнения находится по формуле , если оно имеет вид
+—
Решение, полученное из общего решения, если свободным неизвестным придать нулевые значения называется
+—базисным
Если в таблице Жордана – Гаусса все элементы какой – либо строки, кроме свободного члена, равны нулю, то система m линейных уравнений с n неизвестными
+—не имеет решений
Если в системе m линейных уравнений с n неизвестными — число базисных неизвестных и при этом , то система имеет
+—бесчисленное множество решений
Если при решении системы m линейных уравнений c n неизвестными в разрешающей строке таблицы Жордана – Гаусса находится нуль, то столбец, содержащий этот нуль
+—переносится в следующую таблицу без изменения
Если в базисном решении системы линейных уравнений , − базисные переменные, то равно +—30
Если в базисном решении системы линейных уравнений , − базисные переменные, то равно +—16
Если в системе m линейных уравнений с n неизвестными , то система называется
+—неопределенной
Если в системе m линейных уравнений с n неизвестными , то система называется
+—переопределенной
В системе m линейных уравнений с n неизвестными число базисных решений равно
+—
Если в базисном решении системы линейных уравнений , − базисные переменные, то равно +—6
Если в базисном решении системы линейных уравнений , − базисные переменные, то равно +—6
Если в базисном решении системы линейных уравнений , − базисные переменные, то равно +—0
Если в базисном решении системы линейных уравнений , − базисные переменные, то равно +—12
Если в базисном решении системы линейных уравнений , − базисные переменные, то равно +—12
Если в базисном решении системы линейных уравнений , − базисные переменные, то равно +—-4
Если в базисном решении системы линейных уравнений , − базисные переменные, то равно +—2
Если разрешающим элементом в преобразованиях однократного замещения является , то новые элементы в таблице Гаусса определяются по формуле +—
В системе линейных уравнений базисное решение имеет вид
+—(0,5,0,3)
infopedia.su
Занятие №1. Метод Жордана-Гаусса решения систем линейных уравнений — КиберПедия
Практические занятия
Занятие №1. Метод Жордана-Гаусса решения систем линейных уравнений
План занятия:
1. Организационный момент.
2. Объяснение нового материала:
1.Система линейных уравнений. Решение системы линейных уравнений. Совместная и несовместная системы уравнений. Определенная и неопределенная системы уравнений. Запись системы уравнений в табличной форме.
2.Эквивалентные системы уравнений. Элементарные преобразования систем линейных уравнений. Теорема об элементарных преобразованиях.
3.Основная переменная. Симплексное преобразование системы линейных уравнений. Полная система основных переменных. Теорема о полной системе основных переменных. Ранг системы уравнений.
4.Алгоритм нахождения полной системы основных переменных.
5.Частное решение системы линейных уравнений. Базисное решение системы линейных уравнений. Опорное решение системы линейных уравнений. Алгоритм нахождения опорного решения.
3.Усвоение и закрепление нового материала.
Решение практических заданий
№1. Решить систему уравнений
Решение
Запишем систему уравнений в виде таблицы и, применяя симплексные преобразования относительно выделенных элементов, получим:
| № | x1 x2 x3 x4 | b |
| 1 1 -3 2 1 -2 0 -1 0 1 1 3 2 -3 2 0 | -6 | |
| 1 -1 -3 2 0 -3 3 -3 0 1 1 3 0 -5 8 -4 | -12 -6 | |
| 1 1 -3 2 0 1 -1 1 0 1 1 3 0 -5 8 -4 | -6 | |
| 1 0 -2 1 0 1 -1 1 0 0 2 2 0 0 3 1 | ||
| 1 0 -2 1 0 1 -1 1 0 0 1 1 0 0 3 1 | ||
| 1 0 0 3 0 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 -2 | -4 | |
| 1 0 0 3 0 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 1 | ||
| 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 |
Отсюда следует, что исходная система уравнений имеет единственное решение
(8, 6, 4, 2).
№2. Решить систему уравнений
Решение
Запишем систему уравнений в виде таблицы и, применяя симплексные преобразования относительно выделенных элементов, получим:
| № | x1 x2 x3 x4 | b |
| 1 1 -2 1 1 -3 1 1 4 -1 -1 -1 4 3 -4 -1 | ||
| 1 1 -2 1 0 -4 3 0 0 -5 7 -5 0 -1 4 -5 | -1 -3 -2 | |
| 1 1 -2 1 0 -4 3 0 0 -5 7 -5 0 1 -4 5 | -1 -3 | |
| 1 0 2 -4 0 0 -13 20 0 0 -13 20 0 1 -4 5 | -1 | |
| 1 0 2 -4 0 0 -13/20 1 0 1 -4 5 | -1 7/20 | |
| 1 0 -3/5 0 0 0 -13/20 1 0 1 -3/4 0 | 2/5 7/20 1/4 |
Таким образом, система уравнений является неопределенной и (2/5+3/5x3, 1/4+3/4x3, x3, 7/20+13/20 x3) есть общее решение этой системы.
№3. Решить систему уравнений
Решение
Запишем систему уравнений в виде таблицы и, применяя симплексные преобразования относительно выделенных элементов, получим:
| № | x1 x2 x3 x4 | b |
| 6 -5 7 8 3 11 2 4 3 2 3 4 1 1 1 0 | ||
| 0 -11 1 8 0 8 -1 4 0 -1 0 4 1 1 1 0 | ||
| 0 -11 1 8 0 8 -1 4 0 1 0 -4 1 1 1 0 | -1 | |
| 0 0 1 -36 0 0 -1 36 0 1 0 -4 1 0 1 4 | -8 -1 | |
| 0 0 1 -36 0 0 1 -36 0 1 0 -4 1 0 1 4 | -14 -1 | |
| 0 0 0 0 0 0 1 -36 0 1 0 -4 1 0 0 40 | -14 -1 |
Из первой строки последней таблицы следует, что 0=6. Противоречие. Значит, система уравнений решения не имеет.
В задачах №2-№7 найти опорные решения системы линейных уравнений:
№2. №3.
№4. №5.
№6. №7.
4. Подведение итогов занятия.
5. Постановка домашнего задания.
Занятие №2. Понятие задачи линейногопрограммирования
План занятия:
1. Организационный момент.
2. Объяснение нового материала:
1. Понятие экономико-математической модели.
2. Основные этапы решения экономических задач математическими методами.
3. Оптимизационные модели.
4. Модели линейного программирования.
3.Усвоение и закрепление нового материала.
Занятие №7. Теория игр
План занятия:
1. Организационный момент.
2. Объяснение нового материала.
3.Усвоение и закрепление нового материала.
Практические занятия
Занятие №1. Метод Жордана-Гаусса решения систем линейных уравнений
План занятия:
1. Организационный момент.
2. Объяснение нового материала:
1.Система линейных уравнений. Решение системы линейных уравнений. Совместная и несовместная системы уравнений. Определенная и неопределенная системы уравнений. Запись системы уравнений в табличной форме.
2.Эквивалентные системы уравнений. Элементарные преобразования систем линейных уравнений. Теорема об элементарных преобразованиях.
3.Основная переменная. Симплексное преобразование системы линейных уравнений. Полная система основных переменных. Теорема о полной системе основных переменных. Ранг системы уравнений.
4.Алгоритм нахождения полной системы основных переменных.
5.Частное решение системы линейных уравнений. Базисное решение системы линейных уравнений. Опорное решение системы линейных уравнений. Алгоритм нахождения опорного решения.
3.Усвоение и закрепление нового материала.
cyberpedia.su
ТЕМА 3. Решение систем линейных уравнений методом Жордана – Гаусса
Общим решением системы m линейных уравнений с n неизвестными называется
!решение, в котором базисные неизвестные линейно выражаются через свободные
Частным решением системы m линейных уравнений с n неизвестными называется
!решение, полученное из общего решения, если свободным неизвестным придать произвольные значения
При отыскании общего решения системы m линейных уравнений с n неизвестными методом Жордана – Гаусса в качестве разрешающего элемента выбирается
!любой отличный от нуля элемент таблицы, кроме элементов столбца свободных членов и контрольного столбца
любой элемент таблицы
Система m линейных уравнений с n неизвестными не имеет решений, если на некоторой итерации
!все элементы какой – либо строки таблицы Жордана – Гаусса, кроме свободного члена, равны нулю
Базисным решением системы m линейных уравнений с n неизвестными называется
!решение, полученное из общего решения системы, в котором свободные неизвестные равны 0
Если r – число базисных неизвестных, а n – общее число неизвестных в произвольной системе m линейных уравнений, то система имеет бесконечное множество решений при !
Если дано матричное уравнение , то его решение определяется по формуле !
Если в таблице Жордана – Гаусса — разрешающий элемент, то элемент находится по формуле (правило прямоугольника) !
Итерацией в методе Жордана — Гаусса называется !расчет элементов одной таблицы Жордана – Гаусса
Метод Жордана – Гаусса это !последовательное исключение неизвестных
Если в таблице Жордана – Гаусса имеются две одинаковые строки, то !одну из них можно вычеркнуть
Единичным называется столбец таблицы Жордана – Гаусса, который состоит из !одной единицы и остальных 0
Переменная называется базисной, если в таблице Жордана – Гаусса столбец коэффициентов !единичным
Если в таблице Жордана – Гаусса имеются две пропорциональные строки, то!одну из них нужно вычеркнуть
Переменная называется свободной, если в таблице Жордана – Гаусса !она не входит в столбец — базис
Система m линейных уравнений с n неизвестными называется однородной, если свободные !равны 0
Матрица коэффициентов при неизвестных системы m линейных уравнений с n неизвестными является !прямоугольной
Число частных решений равно !бесчисленному множеству решений
Переход от одного базисного решения к другому осуществляется путем !проведения еще одной итерации метода Жордана – Гаусса
Элементы вводимой строки в таблице Жордана – Гаусса находятся !делением элементов разрешающей строки предыдущей таблицы на разрешающей элемент
Число базисных решений произвольной системы m линейных уравнений с n неизвестными определяется !формулой
Решение системы m линейных уравнений с n неизвестными, в котором базисные неизвестные линейно выражаются через свободные, называется !общим
Систему можно решить матричным способом, если !число уравнений равно числу неизвестных
Решение, полученное из общего решения, если свободным неизвестным придать произвольные значения, называется !частным
Значение базисных переменных в таблице Жордана – Гаусса находится в вводимой строке !столбце
В контрольный столбец 1-й таблицы Жордана – Гаусса записывается !сумма коэффициентов при неизвестных по каждой строке
Матрица коэффициентов при неизвестных при решении системы n линейных уравнений с n неизвестными матричным способом является !невырожденной
В столбце таблицы Жордана – Гаусса находятся значения неизвестных !базисных
Решение системы линейных уравнений с n неизвестными находится с применением обратной матрицы, если число уравнений равно !n
Решение, матричного уравнения находится по формуле , если оно имеет вид !
Решение, полученное из общего решения, если свободным неизвестным придать нулевые значения называется !базисным
Если в таблице Жордана – Гаусса все элементы какой – либо строки, кроме свободного члена, равны нулю, то система m линейных уравнений с n неизвестными !не имеет решений
Если в системе m линейных уравнений с n неизвестными r — число базисных неизвестных и при этом , то система имеет !бесчисленное множество решений
Если при решении системы m линейных уравнений c n неизвестными в разрешающей строке таблицы Жордана – Гаусса находится нуль, то столбец, содержащий этот нульь!переносится в следующую таблицу без изменения
Если при решении системы m линейных уравнений c n неизвестными в разрешающем столбце таблицы Жордана – Гаусса имеется нуль, то строка, содержащая этот нуль !переносится в следующую таблицу без изменения
Если в базисном решении системы линейных уравнений , − базисные переменные, то равно !30
Если в базисном решении системы линейных уравнений , − базисные переменные, то равно !16
Если в системе m линейных уравнений с n неизвестными , то система называется !неопределенной
Если в системе m линейных уравнений с n неизвестными , то система называется !переопределенной
В системе m линейных уравнений с n неизвестными число базисных решений равно!
Если в базисном решении системы линейных уравнений , − базисные переменные, то равно !6
Если в базисном решении системы линейных уравнений , − базисные переменные, то равно !6
studopedya.ru