Решение выражений с корнями – Решение примеров с корнями

С1 ГИА по математике — упрощение выражений, содержащих корни

 

 

Рассмотрим задачи, связанные с упрощением выражений, содержащих иррациональные числа.

1.          

2.          

3.          

4.          

5.          

6.          

7.          

8.          

9.          

10.        

11.        

 

Решим несколько задач из задания С1:

1.Найдите значение выражения:

Избавимся от иррациональности в знаменателе. У нас там присутствует разность двух чисел, одно из которых иррациональное. Умножим дробь на сумму этих чисел, тогда в знаменателе окажется разность квадратов, что и позволит избавиться от иррациональности. Этот метод – умножения на сопряженное – используется также и в теории комплексных чисел.

Раскрываем скобки в числителе:

Ответ: -2

2.Найдите значение выражения:

Так же, домножая на сопряженное, избавляемся от иррациональности в знаменателе:

Ответ:1

В заданиях также часто встречаются такие:

3. Укажите наибольшее из следующих чисел:

а) 

б) 

в) 

г) 

Способ решения может быть таким: возведем все эти числа в квадрат. Наибольший квадрат соответствует наибольшему числу:

а) 

б) 

в) 

г) 

Осталось выбрать из чисел б) и г). Здесь нужно вспомнить, что 

Тогда  

Значит, среди представленных чисел число  – наибольшее.

Ответ: б)

 

 

Решим еще одно такое задание:

4. Укажите наибольшее из следующих чисел:

а) 

б) 

в) 

г) 

Возводим в квадраты:

а) 

б) 

в) 

г) 

Подумаем, к какому числу близко число ? Оно меньше 9, но больше 8, так как 

Тогда , и .

Число 6 – наибольшее.

Ответ: в)

Попробуем теперь упрощать выражения, содержащие корни.

5. Упростите выражение:

Воспользуемся свойствами корня. “Втащим” все под один корень:

Ответ: 

6. Найдите значение выражения:

Представим число 46 как 23*2:

Теперь переставим сомножители:

Ответ: 460.

Еще один тип заданий:

7. Какое из чисел является рациональным?

Рациональным является число, представимое сократимой дробью. Попробуем записать наши числа иначе:

Ни первое, ни третье числа не являются сократимыми дробями, значит, они иррациональны.

Ответ: 

 

 

easy-physic.ru

Преобразование выражений, содержащих квадратные корни

Ранее с вами научились преобразовывать рациональные выражения.

Тождественные преобразования, которые умеем выполнять: это приведение подобных слагаемых; раскрытие скобок; разложение на множители; приведение рациональных дробей к общему знаменателю. Также для преобразования рациональных выражений используют формулы сокращённого умножения.

Теперь же мы ввели новую операцию – операцию извлечения квадратного корня. Вы уже знаете, что арифметическим квадратным корнем из числа а называют неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Используя эти формулы,  можно выполнять различные преобразования выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Давайте рассмотрим примеры преобразований выражений, которые содержат квадратные корни.

Задание: упростите выражение.

Задание: преобразуйте выражения.

Задание: сократите дробь.

Очень важное место в преобразовании выражений, содержащих квадратные корни, занимает избавление от иррациональности в знаменателе или числителе дроби. Можно рассмотреть это на простом примере.

Например: преобразуем дробь так, чтобы знаменатель не содержал квадратного корня.

Как сделать так, чтобы знаменатель дроби не содержал квадратный корень? Следует вспомнить основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же  число, не равное нулю, то значение дроби не изменится

Обратите внимание, дробь  мы заменили тождественно равной ей дробью . Причем, в знаменателе второй дроби нет знака корня. В таких случаях говорят, что мы освободились от иррациональности в знаменателе дроби.

Задание: освободиться от иррациональности в знаменателе дроби.

videouroki.net

Квадратные корни

Квадратные корни

Введение

В ходе решения некоторых математических задач приходится оперировать с квадратными корнями. Поэтому важно знать правила действий с квадратными корнями и научиться преобразовывать выражения, их содержащие. Цель – изучение правил действий с квадратными корнями и способов преобразования выражений с квадратными корнями.

Мы знаем, что некоторые рациональные числа выражаются бесконечными периодическими десятичными дробями, как, например, число 1/1998=0,000500500500… Но ничто не мешает вообразить и число, в десятичном разложении которого не обнаружится никакого периода. Такие числа называются иррациональными.

История иррациональных чисел восходит к удивительному открытию пифагорейцев еще в VI в. до н. э. А началось все с простого, казалось бы, вопроса: каким числом выражается длина диагонали квадрата со стороной 1?

Диагональ разбивает квадрат на 2 одинаковых прямоугольных треугольника, в каждом из которых она выполняет роль гипотенузы. Поэтому, как следует из теоремы Пифагора, длина диагонали квадрата равна

. Сразу же возникает соблазн достать микрокалькулятор и нажать клавишу извлечения квадратного корня. На табло мы увидим 1,4142135. Более совершенный калькулятор, выполняющий вычисления с высокой точностью покажет 1,414213562373. А с помощью современного мощного компьютера можно вычислить с точностью до сотен, тысяч, миллионов знаков после запятой. Но даже самый высокопроизводительный компьютер, сколько бы долго он ни работал, никогда не сможет ни рассчитать все десятичные цифры, ни обнаружить в них какой-либо период.

И хотя у Пифагора и его учеников компьютера не было, обосновали этот факт именно они. Пифагорейцы доказали, что у диагонали квадрата и его стороны общей меры (т.е. такого отрезка, который целое число раз откладывался бы и на диагонали, и на стороне) не существует. Следовательно, отношение их длин – число

– нельзя выразить отношением некоторых целых чисел m и n. А коль скоро это так, добавим мы, десятичное разложение числа не обнаруживает никакой регулярной закономерности.

По следам открытия пифагорейцев

Как доказать, что число

иррационально? Предположим, существует рациональное число m/n=. Дробь m/n будем считать несократимой, ведь сократимую дробь всегда можно привести к несократимой. Возведя обе части равенства, получим . Отсюда заключаем, что m – число четное, то есть m=2К. Поэтому и, следовательно, , или . Но тогда получим что и n четное число, а этого быть не может, поскольку дробь m/n несократима. Возникает противоречие.

Остается сделать вывод, что наше предположение неверно и рационального числа m/n, равного

не существует.

Зная время t , можно найти путь при свободном падении по формуле:

Решим обратную задачу.

Задача . Сколько секунд будет падать камень, сброшенный с высоты 122,5 м?

Чтобы найти ответ, нужно решить уравнение

Из него находим, что Теперь осталось найти такое положительное число t, что его квадрат равняется 25. Этим числом является 5, так как Значит, камень будет падать 5 с.

Искать положительное число по его квадрату приходится и при решении других задач, например при отыскании длины стороны квадрата по его площади. Введем следующее определение.

Определение . Неотрицательное число, квадрат которого равен неотрицательному числу а, называется квадратным корнем из а. Это число обозначают

Таким образом

Пример . Так как

Из отрицательных чисел нельзя извлекать квадратные корни, так как квадрат любого числа или положителен, или равен нулю. Например, выражение

не имеет числового значения.

В записи

знак называют знаком радикала (от латинского «радикс» – корень), а число а – подкоренным числом. Например, в записи подкоренное число равно 25. Так как Это означает, что квадратный корень из числа, записанного единицей и
2n
нулями, равен числу, записываемому единицей и n нулями: = 10…0

2n нулей n нулей

Аналогично доказывается, что

2n нулей n нулей

Например,

Мы знаем, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. Это означает, что

не может быть рациональным числом. Он является иррациональным числом, т.е. записывается в виде непериодической бесконечной десятичной дроби, причем первые десятичные знаки этой дроби имеют вид 1,414… Чтобы найти следующий десятичный знак, надо взять число 1.414х , где х может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, возвести по порядку эти числа в квадрат и найти такое значение х, при котором квадрат меньше, чем 2, но следующий за ним квадрат больше, чем 2. Таким значением является х=2. Далее повторяем то же самое с числами вида 1,4142х
. Продолжая этот процесс, получаем одну за другой цифры бесконечной десятичной дроби, равной .

Аналогично доказывается существование квадратного корня из любого положительного действительного числа. Разумеется, последовательное возведение в квадрат весьма трудоемкое занятие, и потому существуют способы быстрее находить десятичные знаки квадратного корня. С помощью микрокалькулятора можно найти значение

с восемью верными цифрами. Для этого достаточно ввести в микрокалькулятор число а>0 и нажать клавишу – на экране высветится 8 цифр значения . В некоторых случаях приходится использовать свойства квадратных корней, которые мы укажем ниже.

Если точность, даваемая микрокалькулятором, недостаточна, можно воспользоваться способом уточнения значения корня, даваемым следующей теоремой.

Теорема. Если а – положительное число и – приближенное значение для по избытку, то

– приближенное значение для по недостатку .

Доказательство .

По условию x1 > и потому х12 >a,

2 = = a . Т.к. a a . Значит, а и — приближенное значение для по недостатку.

Аналогично доказывается, что если

– приближенное значение для по недостатку, то – приближенное значение по избытку.

mirznanii.com

Преобразование выражений, содержащих квадратные корни (2)

Тема: Преобразование выражений, содержащих квадратные корни

Лекция.

— Вспомним основные понятия, связанные с квадратным корнем.

Теорема 1. Если , то .

Теорема 2. Если , то .

Теорема 3. При любом значении х верно равенство .

.

Теорема 4. , при .

— Рассмотрим простейшие примеры на применение свойств квадратного корня.

Пример 1. Найти значение выражения .

Для нахождения значения выражения, воспользуемся теоремой о корне из произведения:

Пример 2. Вычислить значение выражения .

— При вычислении значения выражения необходимо: во-первых, определить, можно ли применить теорему о корне из произведения, то есть можно ли извлечь корень из каждого множителя, если нет, то, во-вторых, следует подкоренное выражение представить в виде произведения множителей, каждый из которых является квадратом целого числа и применить теорему о корне из произведения.

Пример 3. Найти значение выражения

— По теореме о корне из дроби имеем

Пример 4. Найти значение выражения .

Применим тождество .

Получим: =4.

Пример 5. Найти значение выражения

Применим тождество

Получим:

Пример 6. Упростить выражение

Представим степень в виде и воспользуемся тождеством , получим:.

Так как при любом m, то . Итак, .

Также можно воспользоваться равенством .

.

Говоря простым языком, если под корнем степень с четным показателем, то при извлечении квадратного корня из этой степени, получаем степень с показателем в 2 раза меньшим.

Пример 7. Вычислить

Решение.

1 способ: Возведем в квадрат каждое число, из полученного уменьшаемого вычтем вычитаемое.

2 способ: Воспользуемся формулой сокращенного умножения

Пример 8. Вычислить , не используя таблицу квадратов чисел и микрокалькулятор.

Решение.

Разложим подкоренное число на простые множители:

Значит, . Получаем, что

Вынесение множителя за знак корня

Для того чтобы вынести множитель из под знака корня, необходимо, выражение, стоящее под знаком корня, разложить на множители так, чтобы корень извлекался хотя бы из одного множителя.

Пример 9.

а) ;

b) ;

c)

Внесение множителя под знак корня

Для того чтобы внести множитель под знак квадратичного корня, надо возвести в квадрат этот множитель и внести его под корень.

Пример 10. а) ;

b) ;

c) .

Пример 11. Расположите числа в порядке возрастания :

— Чтобы расположить числа в порядке возрастания, сначала в каждом из чисел внесем множитель под знак корня:

— Расположим в порядке возрастания полученные числа, т.е. больше то число, у которого подкоренное выражение больше:

Следовательно

Пример 12. Упростить выражение .

Решение.

Воспользуемся тождеством .

Раскроем знак модуля, т.е. воспользуемся тем, что . Значит,

. Но тогда .

Пример 13. Упростить выражение .

Приведем к наименьшему общему знаменателю дроби, применим формулы сокращенного умножения:

Пример 14. Упростить выражение .

Решение:

Воспользуемся свойством умножения корней, т.е. подкоренные выражения внесем под один корень, далее воспользуемся формулой разности квадратов:

.

gigabaza.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *