Решение задач по математической статистике и теории вероятности – works.doklad.ru — Учебные материалы

Примеры решения задач по математической статистике и теории вероятности

1. Эксперт оценивает качественный уровень трех видов изделий по потребительским признакам. Вероятность ого, что изделию первого вида будет присвоен знак качества, равна 0,7; для изделия второго вида эта вероятность равна 0,9; а для изделия третьего вида 0,8. Найти вероятность того, что знак качества будет присвоен: а) всем изделиям; б) только одному изделию; в) хотя бы одному изделию

РЕШЕНИЕ

Испытание: знак качества будет присвоен всем изделиям.

Событие: А=07 – присвоен первому изделию, Р(В)=0,9 – присвоен второму изделию, Р(С)=0,8 – присвоен третьему изделию; тогда Р(А)=0,3; Р(В)=0,1; Р(С)=0,2.

а) Рвсем изделиям = Р(А)*Р(В)*Р(С)

Рвсем изделиям =0,7*0,9*0,8=0,504.

в) Ртолько одному =Р(А,В,С или А,В,С или А,В,С)

Ртолько .одному =0,7*0,1*0,2+0,3*0,9*0,2+

+0,3*0,1*0,8=0,014+0,054+0,024=0,092

с) Рхотя бы одному =1 — Рни одному =1-Р(А)*Р(В)*Р(С)

Р

хотя бы одному =1-0,3*0,1*0,2=1-0,006=0,994.

11. Оптовая база снабжает товаром 9 магазинов. Вероятность того, что в течение дня поступит заявка на товар, равна 0,5 для каждого магазина. Найти вероятность того, что в течение дня а) поступит 6 заявок, б) не менее 5 и не более 7 заявок, в) поступит хотя бы одна заявка. Каково наивероятнейшее число поступающих в течение дня заявок и чему равна соответствующая ему вероятность.

РЕШЕНИЕ

Обозначим событие А – поступила заявка

По условию р=Р(А)=0,5

q=P(A)=1-0,5=0,5

n= 9 к=6

а) Так как число повторных испытаний n= 9, применим формулу Бернулли.

Р9(6)=

*

б) К1=5, К2=7

Р9(5≤m≤7)=P9 (5)+P9 (6)+P9 (7)

Р9(5)=

*

Р9(7)=

*

Р9(5≤m≤7)=0.246+0.0702+0.16=0.4762

в) Рn (событие наступит хотя бы 1 раз)=1-qn

Р9 =1-0,59 =1-0,001953=0,998

г) np-q≤K0 ≤np+p

9*0.5-0.5≤K0 ≤9*0.5+0.5

4≤K0 ≤5 K0 =5

K9 (5)=

*0.55 *0.59-5 =

Ответ: а) 0,16 б) 0,4762 в) 0,998 г) K0 =5 Р(K0 )=0,246.

21. Найти: а) математическое ожидание, б) дисперсию, в) среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х по известному закону ее распределения, заданному таблично:

Решение

а) Найдем математическое ожидание Х:

М(Х)=8*0,2+4*0,5+6*0,2+5*0,1=5,3.

б) Для нахождения дисперсии запишем закон распределения Х2 :

Найдем математическое ожидание Х2 :

М(Х2 )=64*0,2+16*0,5+36*0,2+25*0,1=30,5

Найдем искомую дисперсию:

D(X)=M(X2 )-[M(X)]2

D(X)=30.5-(5.3)2 =2.41

в) найдем искомое среднее квадратическое отклонение:

Ответ: а) 5,3 б) 2,41 в) 1,55

31. Случайная величина Х интегральной функцией распределения F(Х).

Требуется: а) найти дифференциальную функцию распределения (плотность вероятности) б) найти математическое ожидание и дисперсию Х в) построить графики интегральной и дифференциальной функций распределения.

F(X

Решение:

а)

= F(X

б) М(х)=

.

М(х2 )=

.

D(x)=M(x2 )-[M(x)]2 =2-

в) построить графики функций F(x) и f(x):

41. Заданы математическое ожидание а=15 и среднее квадратичное отклонение б=2 нормально распределенной величины Х. Требуется найти: а) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащие интервалу (9; 19). б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения «Х-а» окажется меньше δ=3

Решение

а) воспользуемся формулой:

по условию задачи α=9 β=19 а=15 б=2 следовательно,

По таблице приложения 2:

0,4772;

Искомая вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал (9; 19) равна:

0,4772+0,49865=0,976065

б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения «Х-а» окажется меньше δ=3, равна

Р(

Р(|х-а|<3)=2*Ф(3/2)=2*0,4332=0,8664.

Ответ: а)

0,976065; б) Р(|х-а|

51. Даны выборочные варианты х1 и соответствующие им частоты ni количественного признака Х. а) найти выборочные среднюю дисперсию и среднеквадратическое отклонение. б) Считая, что количественный признак Х распределен по нормальному закону и что выборочная дисперсия равна генеральной дисперсии, найти доверительный интервал для оценки математического ожидания с надежностью γ=0,99

Решение

1. Объем выборки

n=

Средняя выборочная:

=

Выборочная дисперсия:

Dв =

22 , где =23,76

Средняя выборочная квадратов значений признака γ

=

Тогда Dв =598,87-(23,76)2 =34,33

Среднее квадратичное отклонение:

σв =

σв =5,86

пусть количественный признак Х генеральной совокупности распределен по нормальному закону, причем среднеквадратическое значение отклонение «σ» этого распределения известно. Тогда с вероятностью γ доверительный интервал заданный формулой

; ),

покрывает неизвестное математическое ожидание. Здесь число t находится из соотношения 2Ф(t)=γ с помощью таблицы интегральной функции Лапласса.

В данной задаче γ=0,99, поэтому 2Ф(t)=0,99, а Ф(t)=0,495, по таблице находим t=2,58.

По условию задачи дисперсия генеральной совокупности D=Dв и, следовательно, σ=σв =5,86. ранее найдены значения n=118, и Хв =23,76. Поэтому можно найти доверительный интервал:

(23,76-1,39; 23,76+1,39)

(22,37; 25,15).

Ответ: Хв =23,76; Dв =34,33; σв =5,86; а

(22,37; 25,15).

61. По данным корреляционной таблицы найти условные средние Yx и Xy . Оценить тесноту линейной связи между признаками X и Y и составить уравнение линейной регрессии Y по X и X по Y. Сделать чертеж, нанеся на него условные средние и найденные прямые регрессии. Оценить силу связи между признаками с помощью корреляционного отношения.

mirznanii.com

145 решенных задач по теории вероятностей и математической статистике [DJVU]

Некоторые задачи взяты из книжкиБраилов А. В., Рябов П. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: методические указания по выполнению самостоятельной работы. Часть 2.

  • 702,87 КБ
  • дата добавления неизвестна
  • изменен

55 решенных задач. Примеры решения задач по теории вероятностей и матстатистике. Охватывающие весь курс теории вероятностей.

  • 255,68 КБ
  • дата добавления неизвестна
  • изменен

40 решенных задач. Примеры решения задач по теории вероятностей и мат. статистике. В контрольной работе подробно разбираются задачи по теории вероятностей и математической статистике (Теория вероятности: классическая формула, теоремы сложения и умножения, формула полной вероятности, формула Байеса, формула Бернулли, теоремы Лапласа. Мат. статистика: математическое ожидание,…

  • 259,37 КБ
  • дата добавления неизвестна
  • изменен

145 полностью решенных задач, охватывающих весь курс по теории вероятностей и математической статистике для нематематических специальностей вузов. Задачи взяты из контрольных работ ряда вузов, главным образом Уральского региона.

  • 882,57 КБ
  • дата добавления неизвестна
  • изменен

Уфа, УГАТУ. — 19 с. Преподаватель: Савенко О.В. Тематика задач: Группировка и ее виды. Графическое построение рядов распределений Обобщающие статистические показатели Структурные средние величины Показатели вариации Выборочное наблюдение Корреляционно-регрессионный анализ Ряды динамики и их статистический анализ Экономические индексы Полностью решенный один вариант задач….

  • 119,04 КБ
  • дата добавления неизвестна
  • изменен

40 решенных и подробно разобранных задач. Теория вероятности: классическая формула, теоремы сложения и умножения, формула полной вероятности, формула Байеса, формула Бернулли, теоремы Лапласа. Мат. статистика: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение, многоугольник распределения, полигон частот, корреляционная зависимость и т….

  • 172,30 КБ
  • дата добавления неизвестна
  • изменен

www.twirpx.com

Задачи по теории вероятностей и математической статистике

84

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Ковровская государственная технологическая академия имени

В.А. Дегтярева»

Учебно-методическое пособие

Составители:

И.Н. Марихов

С.Р. Марихова

Е.А. Миронова

Ковров 2009

УДК 519.2

Задачи по теории вероятностей и математической статистике. Учебно-методическое пособие/ Сост.: Марихов И.Н., Марихова С.Р., Миронова Е.А. – Ковров: КГТА им. В.А. Дегтярёва, 2009. – 83с.

В пособии даны основные понятия теории вероятностей и математической статистики, задания по выполнению самостоятельной работы студентов и примеры решения этих заданий.

Предназначено для студентов технических и экономических специальностей, изучающих теорию вероятностей и математическую статистику или их разделы.

Рецензент: д. ф.-м. н., проф. Ю.А. Алхутов (Владимирский государственный гуманитарный университет).

Содержание

Введение.………………………………………………………………………

4

Раздел 1. Теория вероятностей…………………………………………………..

5

Раздел 2. Математическая статистика.…….………………………………

10

Задания для самостоятельной работы студентов.………………………….

15

Пример выполнения заданий самостоятельной работы студентов ….……

61

Литература………………….…………………………………………………

83

Введение

Настоящее учебно-методическое пособие включает в себя краткие теоретические сведения из основных разделов теории вероятностей и математической статистики, задания для самостоятельной работы студентов и пример выполнения одного варианта заданий. В конце пособия приведён список литературы.

Содержание пособия подчинено требованиям современного государственного образовательного стандарта по математике для технических специальностей, изучающих теорию вероятностей и математическую статистику или их разделы. Краткие теоретические сведения разделов пособия даны в объёме достаточном для решения заданий самостоятельной работы студентов. Сами задания содержат условия 25 задач (по 30 вариантов каждой) для самостоятельных работ по темам: «Теория вероятностей», «Математическая статистика», «Методы математической статистики».

Материалы пособия предназначены для студентов, изучающих теорию вероятностей и математическую статистику или их разделы, будут полезны преподавателям для составления заданий самостоятельной работы студентов.

Раздел 1. Теория вероятностей Комбинаторные формулы

Декартовым произведением множеств и называют множество , состоящее из пар элементов этих множеств.

Число элементов множестваназывают его мощностью и обозначают.

Число элементов декартова произведения множеств и равно произведению мощностей этих множеств .

Множество называется упорядоченным, если все элементы этого множества пронумерованы.

Произвольное упорядоченное подмножество, состоящее из элементов множества , содержащего различных элементов, называется размещением из элементов по .

Обозначим число размещений из элементов по символом. . Если , то .

Упорядоченное множество из элементов называется перестановкой этого множества и обозначается символом .

Произвольное (неупорядоченное) подмножество, состоящее из элементов множества , содержащего различных элементов, называется сочетанием из элементов по и обозначается символом

.

studfiles.net

Теория вероятности и математическая статистика

Вариант 7

1.  В ходе аудиторской проверки строительной компании аудитор случайным образом отбирает 5 счетов. При условии, что 3% счетов содержат ошибки, найдите числовые характеристики этого распределения. Чему равна вероятность того, что хотя бы 1 счет будет с ошибкой.

Решение

Число правильных счетов есть случайная величина X, которая может принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4. Вероятности этих значений определим по формуле Бернулли: pn(m) = , где q=0,03 — вероятность неправильного счета, а p=1-q=1-0,03 = 0,97 — вероятность правильного счета. Получим

P (X=0) = p5(0) = 0,0000000243

P (X=1) = p5(1) = 0,000004

P (X=2) = p5(2) = 0,00025

P (X=3) = p5(3) = 0,0082

P (X=4) = p5(4) = 0,133

P (X=5) = p5(5) = 0,859

Сделаем проверку. Сумма вероятностей должна быть равна 1. Действительно,

0,0000000243+0,000004+ 0,00025+0,0082+0,133+0,859=1

Распределение случайной величины X

X

0

1

2

3

4

5

P

0,00000002

0,000004

0,00025

0,0082

0,133

0,859

Определим числовые характеристики этого распределения. Математическое ожидание дискретной случайной величины X находим по формуле

M (X) = ,

Где — возможные значения X, а — соответствующие вероятности.

M(X) = 0*0,00000002 + 1*0,000004+2*0,00025+3*0,0082+4*0,133+5*0,859 = 4,85

Дисперсию случайной величины X находим по формуле

.

Так как

M(X2) = 0*0,00000002 + 1*0,000004+4*0,00025+9*0,0082+16*0,133+25*0,859 = 23,68

То

D(X) = 23,68 – (4,85)2 = 0,155

Среднее квадратическое отклонение случайной величины X равно

Найдем функцию распределения вероятностей F(X).

Если х ≤ 0, то F(x) = 0

Если 0 ≤ х ≤ 1, то F(x) = 0*0,00000002

Если 1 ≤ х ≤ 2, то F(x) = 0*0,00000002+0,000004 = 0,00000402

Если 2 ≤ х ≤ 3, то F(x) = 0*0,00000002+0,000004 +0,00025= 0,00025402

Если 3 ≤ х ≤ 4, то F(x) = 0*0,00000002+0,000004 +0,00025+0,0082= 0,00845402

Если 4 ≤ х ≤ 5, то F(x) = 0*0,00000002+0,000004 +0,00025+0,0082+0,133= 0,14145402

Если x > 5, то F(x) = 0*0,00000002+0,000004 +0,00025+0,0082+0,133+0,859 = 1

График функции

Событие A, состоящее в том, что хотя бы 1 счет будет с ошибкой, является противоположным к событию, что все счета будут правильными, следовательно,

P(A) = 1 – P(X = 5) = 1-0,859 = 0,141

Вероятность того, что хотя бы 1 счет будет с ошибкой, равна 0,141.

2.  Фирма, занимающаяся продажей товаров по каталогу, ежемесячно получает по почте заказы. Число этих заказов есть нормально распределенная случайная величина со средним квадратическим отклонением и неизвестным математическим ожиданием. В 90% случаев число ежемесячных заказов превышает 12439. Найдите ожидаемое среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц.

Решение

Вероятность того, что число ежемесячных заказов превышает 12349:

P(|X|>12349) = 1 — P(|X|<12349) = 0,9

По определению, для вероятности P(|X|<12349):

P(|X|<12349) = Ф (

Где — математическое ожидание, то есть ожидаемое среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц. По таблице функции Лапласа найдем Ф(х) = 0,1 , тогда х=0,25.

Тогда:

Ответ:

3. Длительность междугородних телефонных разговоров распределена примерно по показательному закону, разговор продолжается в среднем 3 мин. Найти вероятность того, что очередной разговор будет продолжаться более 3 мин. Найти вероятность того, что разговор, который длится уже 10 мин, закончится в течении ближайшей минуты, а также математическое ожидание и дисперсию длительности разговора.

Решение

Для показательного распределения математическое ожидание МХ = . Тогда Дисперсия длительности разговора равна:

DX =

Вероятность того, что разговор, будет продолжаться более 3 мин, является противоположным к событию, что разговор продолжается менее 3 мин:

P(|X|>3) = 1 – P(|X|<3) = 1 —

Вероятность того, что разговор, который длится уже 10 мин, закончится в течении ближайшей минуты:

P{X<11|X>10} =

Ответ: DX ; P(|X|>3) = 0; P{X<11|X>10}

2.

Для заданного интервального ряда выборки проверить гипотезу: закон распределения генеральной совокупности является нормальным.

M

Интервалы

Частоты

1

2

16

(2,2;3,0)

(3,0;3,8)

(3,8;4,6)

(4,6;5,4)

(5,4;6,2)

(6,2;7,0)

(7,0;7,8)

5

10

35

20

15

8

7

Решение

Используя метод произведений, найдем выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение.

Интервалы*

Частоты

Ui

Niui

2,6

5

-3

-15

45

20

3,4

10

-2

-20

40

10

4,2

35

-1

-35

35

0

5

20

0

0

0

20

5,8

15

1

15

15

60

6,6

8

2

16

32

72

7,4

7

3

21

63

112

N

100

-18

230

294

— выборочная средняя

– выборочное среднее квадратическое отклонение

Вычислим теоретические частоты:

I

1

2,6

-1,4702

0,1354

7,173492

2

3,4

-0,9404

0,2565

13,58937

3

4,2

-0,4106

0,3668

19,43306

4

5

0,119205

0,3961

20,98538

5

5,8

0,649007

0,323

17,11254

6

6,6

1,178808

0,1989

10,53772

7

7,4

1,708609

0,094

4,98012

93,81169

Из расчетной таблицы получаем. Найдем по таблице критических точек распределения По уровню значимости α=0,05 и числу степеней свободы k=7-2=5 критическую точку правосторонней критической области (0,05; 5) = 11,1

Так как, то гипотеза о нормальном распределении отвергается.

Ответ: гипотеза о нормальном распределении отвергается

3.

В таблице случайных чисел цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 встретились следующее число раз:

Цифры

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Частоты

106

121

128

96

113

117

109

103

119

120

Здесь i – номер варианта. С помощью критерия Пирсона проверить гипотезу о том, что все цифры встречаются в таблице равновероятно. За уровень значимости принять

Решение

Найдем выборочную среднюю:

Цифры

Частоты

Ui

Niui

0

106

-4

-424

1696

954

1

121

-3

-363

1089

484

2

128

-2

-256

512

128

3

96

-1

-96

96

0

4

113

0

0

0

113

5

117

1

117

117

468

6

109

2

218

436

981

7

103

3

309

927

1648

8

119

4

476

1904

2975

9

120

5

600

3000

4320

N

1132

581

9777

12071

— выборочная средняя

– выборочное среднее квадратическое отклонение

Найдем параметры a и b:

A*= = 0,5

B*= = 9,52

Найдем плотность предполагаемого равномерного распределения:

F(x) =

Найдем теоретические частоты:

Длины третьего-девятого интервала равны длине второго интервала, поэтому теоретические частоты одинаковы и равны

Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона, приняв число степеней свободы k=s-3=10-3=7

I

1

106

43,74

1913,188

30,729

2

121

-3,52

12,3904

0,099505

3

128

3,48

12,1104

0,097257

4

96

-28,52

813,3904

6,532207

5

113

-11,52

132,7104

1,065776

6

117

-7,52

56,5504

0,454147

7

109

-15,52

240,8704

1,934391

8

103

-21,52

463,1104

3,719165

9

119

-5,52

30,4704

0,244703

10

120

55,25

3052,563

47,14382

92,01997

Из расчетной таблицы получаем. Найдем по таблице критических точек распределения По уровню значимости α=0,05 и числу степеней свободы k=7 критическую точку правосторонней критической области (0,05; 7) = 14,1

Так как, то гипотеза о равномерном распределении отвергается.

Ответ: гипотеза о равномерном распределении отвергается

< Предыдущая   Следующая >

matica.org.ua

2.3 Решение задач | Теория вероятностей и математическая статистика

На этой странице Вы найдете примеры решенных задач по теории вероятности и математической статистике по различным темам.

Презентации с задачами по темам:

1. Классическое определение вероятности.

2. Статистическое определение вероятности.

Электронные ресурсы с задачами:

1. Свойства вероятности, условная вероятность, независимость и зависимость, разные задачи (задача де Мере, задача о красных шарах, задача о размещении,задача о крэпсе, задача о красных, белых и розовых урнах)

2. Нахождение числа перестановок из n элементов, числа размещений из n по k, числа сочетаний из n по k, математического ожидания дискретного распределения, дисперсии дискретного распределения (online калькулятор)

3. 181 решенная задача по ТВ и МС

Видео уроки с задачами по темам:

1. Формула Бернулли.Вероятность всхожести.

2. Формула полной вероятности Байеса.

Литература с примерами решенных задач, доступная для скачивания :

1. Методическое пособие по выполнению практических работ по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

2. Теория вероятностей в примерах и задачах. В.А. Колемаев, В.Н. Калинина, В.И. Соловьев, В.И. Малыхин, А.П. Курочкин. 2001 г.

3. Примеры решенных задач

4. Лабораторные работы по статистике

5. Задачи по ТВ и МС

Понравилось это:

Нравится Загрузка…

tvims.wordpress.com

Теория вероятности и математическая статистика1

Контрольные задания

І. Теория вероятностей.

1А. Определение сложных событий.

Задача 1.3. Техническое устройство состоит из трех последовательно и двух параллельно соединенных блоков. Определить сложное событие, характеризующее исправное состояние устройства.

Решение

Введем обозначения:

Событие A – блок 1 исправен (последовательно соединён)

Событие B – блок 2 исправен (последовательно соединён)

Событие C – блок 3 исправен (последовательно соединён)

Событие D – блок 4 исправен (параллельно соединён)

Событие E – блок 5 исправен (параллельно соединён)

Событие G — техническое устройство исправно.

Так как параллельному соединению соответствует сумма собы­тий, а последовательному соединению — произведение событий.

Тогда Сложное событие G, характеризующее исправное состояние устройства, можно определить следующим образом:

G= A* B* C*( D+ E)

2А. Способы определения вероятностей.

Задача 2.3. В барабане револьвера семь гнезд, из них в шести заложены патроны, а один оставлен пустым. Барабан приводится во вращение, в результате чего против ствола случайным образом оказывается одно из гнезд. Нажимается спусковой крючок. Определить вероятность того, что выстрел произойдет.

Решение

В нашем случае элементарным исходом является появление одного из гнезд против ствола.

N=7 (количество гнёзд в барабане) — количество всех элементарных исходов.

Итак,  все элементарные исходы равновозможны, следовательно, эксперимент, описанный в задаче, удовлетворяет классическому определению вероятности.

— против ствола случайным образом оказывается одно из шести гнезд, в которые заложены патроны.

— количество всех благоприятствующих исходов.

— искомая вероятность.

Ответ:

3А. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Задача 3.3. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Определить вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие ), при втором – черный (событие ) и при третьем – синий (событие ).

Решение

Вероятность появления белого шара в первом испытании (всего в урне 5+4+3=12 шаров, из них белых 5 штук – по классическому определению вероятности).

Вероятность появления черного шара во втором испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, т. е. условная вероятность .

Вероятность появления синего шара в третьем испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, а во втором — черный, т. е. условная вероятность .

Искомая вероятность

Ответ:

5А. Закон распределения дискретной случайной величины и ее числовые характеристики.

Задача 5.3. По баскетбольному кольцу производится два независимых друг от друга броска. Вероятность попадания в кольцо при первом броске равна 0.4, втором – 0.6. Составить ряд распределения и найти дисперсию числа попаданий в кольцо при двух бросках.

Решение

Случайная величина Х – число попаданий мячом в кольцо при двух бросках. Она может принимать значения 0, 1, 2. Найдём соответствующие вероятности:

При х=0 – два промаха. Вероятность промаха при первом броске 1-0,4=0,6, при втором броске 1-0,6=0,4. По теореме умножения вероятностей независимых событий:

При х=2 – оба попадания. Вероятность попадания в кольцо при первом броске равна 0.4, втором – 0.6. По теореме умножения вероятностей независимых событий:

При х=1 – одно попадание и один промах. Так как события один промах одно попадание, оба промаха и оба попадания образуют полную группу событий то искомую вероятность найдём по формуле:

Получили ряд распределения

Xi

0

1

2

Pi

0,24

0,52

0,24

Дисперсию найдём по формуле , тогда

Получим

Ответ:

6А. Закон распределения непрерывной случайной величины и ее числовые характеристики.

Задача 6.3. Случайная величина имеет плотность распределения

.

Определить постоянное число «с», математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

Решение

Для определения значения C воспользуемся условием . Вычислим интеграл ,

Плотность распределения случайной величины Х примет вид

Математическое ожидание находим по формуле :

Дисперсию найдем по формуле :

,

Тогда .

Контрольные задания

ІІ. Математическая статистика

13А. Выборочный метод математической статистики

Пример 13.3. Построить полигон и гистограмму относительных частот по данному распределению

Ij

3-5

5-7

7-9

9-11

11-13

Nj

10

20

50

12

8

Решение

Объем выборки , длина интервала . Для построения гистограммы относительных частот дополним заданную таблицу следующими строками: строкой, в которой расположим средние точки каждого интервала, строкой относительных частот , строкой накопленных относительных частот и строкой, в которой вычислим высоты столбиков гистограммы относительных частот .

Группы

Xi

Кол-во,

3-5

4

10

0.1

0.1

0.05

5-7

6

20

0.2

0.3

0.1

7-9

8

50

0.5

0.8

0.25

9-11

10

12

0.12

0.92

0.06

11-13

12

8

0.08

1

0.04

100

Построим гистограмму относительных частот, для этого на каждом интервале группированной выборки строим столбики, высоты которых вычислены в 6 столбце таблицы.

График гистограммы изображен на рис.

Строим полигон:

 

14А. Статистические оценки параметров распределения.

14.1.Точечные оценки параметров распределения

Примеры 1.– 10. Испытано 12 однотипных микросхем и с точностью до 1.0 часа зарегистрировано время безотказной работы каждой из них. Результаты испытаний сведены в таблицу:

№№

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Ti[час]

23

101

89

62

108

154

136

493

104

128

82

49

Найти оценку математического ожидания и дисперсии

Решение

1.Для оценки математического ожидания используем формулу

В нашем случае 2. Оценку для дисперсии проведём:

А) когда известно математическое ожидание = 130 [час].

Используем формулу

В нашем случае: б) когда неизвестно математическое ожидание .

В этом случае используем статистическое математическое ожидание и формулу

В нашем случае:

14.2. Интервальная оценка параметров распределения

Определить доверительный интервал.

Примеры 1.– 10. Построить 95-процентный (β=0.95) доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания Случайной величины , если по результатам N =103 измерений получены оценки

Решение

Используем формулу для доверительного интервала

Значение табличной функции положим

В нашем случае

Тогда

Определить доверительный интервал .

Примеры 1.– 10. Построить 96-процентный (β=0.96) доверительный интервал для оценки неизвестной дисперсии случайной величины по результатам N =103 измерений.

Решение

Оценку для дисперсии проведём:

А) когда известно математическое ожидание и

Используем формулу Значение табличной функции положим

В нашем случае

Тогда

Б) когда неизвестно математическое ожидание и

Используем формулу

В нашем случае

Тогда

16А. Определение характеристик случайных величин и построение линий регрессии по данным выборки

Примеры 1.10. Дана выборка объёма , заданная в таблицах №№1–10. Номер таблицы определяется последней цифрой зачётной книжки.

Требуется: вычислить выборочные средние, выборочные дисперсии, средние квадратические отклонения, корреляционный момент и коэффициент корреляции. Составить уравнение линии регрессии . Построить график линии регрессии относительно точек таблицы. Найти остаточную дисперсию.

таблица №3

Х

-1.0

-0.75

-0.5

-0.25

0

У

2.08

1.83

1.57

1.13

0.89

Решение

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a + ε

Здесь ε — случайная ошибка (отклонение, возмущение).

Так как отклонения εi для каждого конкретного наблюдения i – случайны и их значения в выборке неизвестны, то:

1) по наблюдениям xi и yi можно получить только оценки параметров α и β

2) Оценками параметров α и β регрессионной модели являются соответственно величины а и b, которые носят случайный характер, т. к. соответствуют случайной выборке;

Тогда оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = bx + a + ε, где ei – наблюдаемые значения (оценки) ошибок εi, а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти.

Для оценки параметров α и β — используют МНК (метод наименьших квадратов). Метод наименьших квадратов дает наилучшие (состоятельные, эффективные и несмещенные) оценки параметров уравнения регрессии.

Формально критерий МНК можно записать так:

S = ∑(yi — y*i)2 → min

Система нормальных уравнений.

A•n + b∑x = ∑y

A∑x + b∑x2 = ∑y•x

Для наших данных система уравнений имеет вид

5a + -2.5 b = 7.5

-2.5 a + 1.88 b = -4.52

Из первого уравнения выражаем А и подставим во второе уравнение:

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = -1.232, a = 0.884

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

Y = -1.232 x + 0.884

Эмпирические коэффициенты регрессии A и B являются лишь оценками теоретических коэффициентов βi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу

X

Y

X2

Y2

X • y

-1

2.08

1

4.33

-2.08

-0.75

1.83

0.56

3.35

-1.37

-0.5

1.57

0.25

2.46

-0.79

-0.25

1.13

0.0625

1.28

-0.28

0

0.89

0

0.79

0

-2.5

7.5

1.88

12.21

-4.52

1. Параметры уравнения регрессии.

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции

Ковариация. (корреляционный момент)

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0.1 < rxy < 0.3: слабая;

0.3 < rxy < 0.5: умеренная;

0.5 < rxy < 0.7: заметная;

0.7 < rxy < 0.9: высокая;

0.9 < rxy < 1: весьма высокая;

В нашем примере связь между признаком Y фактором X весьма высокая и обратная.

1.2. Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = -1.23 x + 0.88

Для оценки качества параметров регрессии построим расчетную таблицу

x

Y

Y(x)

(y-y(x))2

-1

2.08

2.12

0.0013

-0.75

1.83

1.81

0.000484

-0.5

1.57

1.5

0.0049

-0.25

1.13

1.19

0.00384

0

0.89

0.88

0,000036

-2.5

7.5

7.5

0.0106

Остаточная дисперсия

В нашем случае

Построим график линии регрессии относительно точек таблицы.

< Предыдущая   Следующая >

matica.org.ua

Элементы теории вероятности и математической статистики

Элементы теории вероятности и математической статистики

ЗАДАЧА

Магазин получает электролампочки с двух заводов, причем доля первого завода составляет 25 %. Известно, что доля брака на этих заводах равна соответственно 5 % и 10 % от всей выпускаемой продукции. Продавец наугад берет одну лампочку. Какова вероятность того, что она окажется бракованной?

Решение: Обозначим через А событие – «лампочка окажется бракованной». Возможны следующие гипотезы о происхождении этой лампочки: «лампочка поступила с первого завода», «лампочка поступила со второго завода». Так как доля первого завода составляет 25 %, то вероятности этих гипотез равны соответственно

Условная вероятность того, что бракованная лампочка выпущена первым заводом вторым заводом искомую вероятность того, что продавец взял бракованную лампочку, находим по формуле полной вероятности .

Ответ:

Для решения задачи 5 см. глава 6 § 13, глава 7 § 12, глава 8 § 13.

ЗАДАЧА 5

Задан закон распределения дискретной случайной величены Х:

Х

4

2

0

2

4

6

8

Р

0,05

Р

0,12

0,23

0,32

0,14

0,04

Найти:

А) неизвестную вероятность Р,

Б) математическое ожидание М, дисперсию D И среднее квадратическое отклонение данной случайной величены;

В) функцию распределения F(x) и построить ее график;

Г) закон распределения случайной величины Y, если ее значения заданы функциональной зависимостью

Решение:

А) так как сумма всех вероятностей должна равняться единице, то получим уравнение Отсюда

Б) Математическое ожидание М это сумма всех произведений значений случайной величины на их вероятности:

Дисперсия D=

Среднее квадратическое отклонение =

В) Если <

Если 4< <

Если – 2< <

Если 0< 0,05 + 0,1 + 0,12 = 0,15 + 0,12 = 0,27

Если 2< 0,27 + 0,23 = 0,5;

Если 4< 0,5 + 0,32 = 0,82;

Если 6< 0,82 + 0,14=0,96;

Если Х >8, То F(x)=Р( Х < Х )=0,96 + 0,04=1.

Итак, функция распределения может быть записана так:


F (X) =

График этой функции приведен на рисунке:

Г) Сначала найдем значения случайной величены Y.

По условиям задачи

Поэтому

Составим таблицу вида.

Y

7

3

1

3

7

11

15

P

0,05

0,1

0,12

0,23

0,32

0,14

0,04

Чтобы получить закон распределения случайной величены Y необходимо:

1) рассмотреть ее значение в порядке возрастания;

2) сложить вероятности, соответствующие совпадающим значениям данной таблицы.

Итак, закон распределения случайной величены Y:

Y

1

3

7

11

15

Р

0,12

0,33

0,37

0,14

0,04

Для решения задачи 6 см. глава 5, §2, §3.

< Предыдущая   Следующая >

matica.org.ua

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.