Решить систему линейных уравнений матричным методом и по формулам крамера – Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Содержание

§7. Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными матричным методом и по формулам Крамера

I. Решение систем матричным методом (с помощью обратной матрицы)

Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными матричным методом рассмотрим на примере системы трех линейных уравнений 1-ой степени с тремя неизвестными.

(1)

Обозначим: – матрица системы,

–матрица-столбец свободных членов

–матрица-столбец неизвестных,

—

Найдем .

Тогда систему (1) можно записать используя свойство равенства матриц:

(2) – матричная запись системы линейных уравнений.

Найдем решение этого матричного уравнения. Пусть А – невырожденная матрица, т.е. , значит. Умножим обе части (2) на

Поскольку

, то.

EX= X, значит

(3)

– решение (2) и системы (1).

Пример 7.1 Решить систему уравнений матричным методом.

Решение:

–матричная запись системы.

–решение системы.

Пример 7.2

Ответ:

II. Правило Крамера

— определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных

, ,

— определители, полученные из

путем замены соответственно первого, второго, третьего столбцов столбцом свободных членов.

1. Если определитель системы, то система имеетединственное решение: ,,– формулы Крамера;

или

, или

, то системане имеет решений;

3. ,, то система или не имеет решений или имеет бесконечное множество решений.

Пример 7.3

Решить систему формулам Крамера.

Замечание. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными

1. , то система имеетединственное решение: ,;

или

, то системане имеет решений;

3. ,, то система имеет бесконечное множество решений.

§8. Метод Гаусса.

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными.

Матрицу системы и расширенную матрицу с помощью элементарных преобразований можно свести или к треугольному виду или к ступенчатому виду.

(1)

(2)

Матрице (1) соответствует система:

Если а₁₁, с₂₂, …с_nn0, то начиная с последнего уравнения найти единственное

решение x_n, x_n_-1,…,x₁.

Если условие а₁₁, …, с_nn0 не выполняется, то переставить столбцы.

Матрице (2) соответствует система:

Если a₁₁, c₂₂,…,c_rr0, то r(A)= r() =r<nбесконечное множество решений.

r базисных неизвестных: x₁, x₂,…,x_r, где

(n—r) свободных неизвестных: x_r₊₁, …, x_n

Выразить x₁,…,x_r через x_r₊₁,…,x_n.

Замечание. Если в матрице (1) или (2) есть такая i–я строка, у которой все

c_ij=0, а d_i0 (противоречивое уравнение), то система несовместна, так как r(A)r(

Данный метод называется методом Гаусса.

Метод Гаусса позволяет решить систему и исследовать ее на совместность.

Пример 8.1

Решить систему методом Гаусса.

Ответ: ,,

§9. Однородные системы уравнений.

Рассмотрим однородную систему уравнений.

В матричном виде: , гдеА=;Х=.

–расширенная матрица

А~(вычеркнув нулевой столбец)однородная система всегда совместна.

Возможны два случая:

r = n ( когда единственное решениеx₁=…=x_n=0
r<n (когда бесконечное множество решенийx₁,…,x_r – базисные неизвестные; x_r₊₁,…,x_n– свободные неизвестные.

Пример 9.1 Исследовать и решить систему

Ответ: ,,

Пример 9.2 Исследовать и решить систему

Ответ: бесконечное множество решений вида ,,где

studfiles.net

§7. Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными матричным методом и по формулам Крамера

матрица столбец определитель уравнение

I. Решение систем матричным методом (с помощью обратной матрицы)

(1)

Обозначим: – матрица системы,

– матрица-столбец неизвестных, —

–матрица-столбец свободных членов

Найдем .

Тогда систему (1) можно записать используя свойство равенства матриц:

(2) – матричная запись системы линейных уравнений.

Поскольку , то .

EX= X, значит

(3)

– решение (2) и системы (1).

Пример 7.1 Решить систему уравнений матричным методом.

Решение:

– матричная запись системы.

– решение системы.

Пример 7.2

Ответ:

II. Правило Крамера

— определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных

, , — определители, полученные из путем замены соответственно первого, второго, третьего столбцов столбцом свободных членов.

1. Если определитель системы, то система имеет единственное решение: , , – формулы Крамера;

2. , или , или , то система не имеет решений;

3. , , то система или не имеет решений или имеет бесконечное множество решений.

Пример 7.3

Решить систему формулам Крамера.

Замечание. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными

1. , то система имеет единственное решение: , ;

2. , или , то система не имеет решений;

3. , , то система имеет бесконечное множество решений.

§8. Метод Гаусса

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными.

(1) (2)

Матрице (1) соответствует система:

Если а11, с22, …сnn0, то начиная с последнего уравнения найти единственное

решение xn, xn-1,…,x1.

Если условие а11, …, сnn0 не выполняется, то переставить столбцы.

Матрице (2) соответствует система:

Если a11, c22,…,crr0, то r(A)= r() =r<nбесконечное множество решений.

r базисных неизвестных: x1, x2,…,xr, где

(n-r) свободных неизвестных: xr+1, …, xn

Выразить x1,…,xr через xr+1,…,xn.

Замечание. Если в матрице (1) или (2) есть такая i–я строка, у которой все

cij=0, а di0 (противоречивое уравнение), то система несовместна, так как r(A)r().

Данный метод называется методом Гаусса.

Метод Гаусса позволяет решить систему и исследовать ее на совместность.

Пример 8.1

Решить систему методом Гаусса.

Ответ: , ,

§9. Однородные системы уравнений

Рассмотрим однородную систему уравнений.

В матричном виде: , где А=; Х=.

– расширенная матрица

А~ (вычеркнув нулевой столбец) однородная система всегда совместна.

Возможны два случая:

r = n ( когда единственное решение x1=…=xn=0
r<n (когда бесконечное множество решений x1,…,xr – базисные неизвестные; xr+1,…,xn – свободные неизвестные.

Пример 9.1 Исследовать и решить систему

Ответ: , ,

Пример 9.2 Исследовать и решить систему

Ответ: бесконечное множество решений вида , , где

studfiles.net

Система n линейных уравнений с n переменными. Метод обратной матрицы и формулы Крамера

Пусть m=n. Тогда матрица системы является квадратной , а ее определитель называетсяопределителем системы.

Предположим, что квадратная матрица невырожденная, т.е.

В этом случае существует

Умножим слева обе части (3) на матрицу получим решение системы методом обратной матрицы:

Отсюда видно, что вектор решения системы уравнений получается, если вектор свободных членов умножить слева на матрицу, обратную к матрице системы. Поэтому в методе обратной матрицы главным является обращение матрицы.

Другим способом решения системы уравнений с квадратной матрицей является использование формул Крамера.

Теорема Крамера. Пусть -определитель матрицы системы А, а-определитель матрицы, получаемый из А заменойj-го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если , то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

(5)

Формулы (5) называются формулами Крамера.

Недостаток формул Крамера и метода обратной матрицы- их большая трудоемкость, связанная с вычислением определителей и нахождением обратной матрицы. Эти методы представляют скорее теоретический интерес и на практике не могут быть использованы для решения реальных задач.

Пример. Решить по формулам Крамера и методом обратной матрицы следующую систему уравнений:

Для применения формул Крамера вычислим определитель системы :

2 -1 -1

3 4 -2 = 60

3 -2 4

Заменим в определителе системы первый столбец на столбец свободных членов, вычислим полученный определитель:

4 -1 -1

=11 4 -2 =180

11 -2 4

Заменим в определителе системы второй столбец на столбец свободных членов, вычислим полученный определитель:

2 4 -1

3 11 -2

3 11 4 =60

Заменим в определителе системы третий столбец на столбец свободных членов, вычислим полученный определитель:

2 -1 4

3 4 11

3 -2 11 =60.

Вычислим значения неизвестных:

Для применения метода обратной матрицы представим систему уравнений в матричной форме:

2-1 -14

3 4 -2 = 11

3 -2 4 11

Далее рассчитываем обратную матрицу:

12 6 6

-18 11 1

-18 1 11

По формуле (4) получаем решение:

12 6 6 4 3

-18 11 1 11 = 1

-18 1 11 11 1

Метод Гаусса

Метод Гаусса— метод последовательного исключения неизвестных- заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводиться к равносильной системе ступенчатого или треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних переменных, находятся все остальные переменные.

Предположим, что в системе (1) ( этого всегда можно добиться перестановкой уравнений)

Шаг 1. Умножим 1-ое уравнение на и прибавим ко второму; затем умножим 1-ое уравнение наи прибавим к третьему, и т.д., и , наконец, умножим 1-ое уравнение наи прибавим кm-му уравнению. Получим преобразованную систему уравнений, в которой исключено из всех уравнений, кроме первого:

……………………….. ( 6)

Здесь коэффициенты с верхним индексом (1) получены после 1-ого шага.

Шаг 2. Предположим, что .(этого всегда можно добиться перестановкой уравнений с перенумерацией).

Умножаем 2-ое уравнение на числа —,, …,и прибавим полученные уравнения соответственно к третьему, четвертому,

…,m-му уравнению системы (6), исключая из всех уравнений, начиная с третьего.

Продолжая процесс последовательного исключения переменных, после (r-1)- го шага получим систему:

………………………………….

(7)

…………

Если хотя бы одно из чисел не равно нулю, то соответствущее равенство противоречиво, и система (1) несовместна. Для любой совместной системы (m-r) уравнений в системе (7) являются тождествами, и их можно не принимать во внимание при решении системы (1). После отбрасывания « лишних» уравнений возможны два случая:

А) r=n , и в этом случае система (7) имеет треугольный вид;

Б) r<n, и система (7) имеет ступенчатый вид.

Переход системы (1) к равносильной системе (7) называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение переменных из системы (7)- обратным ходом .

Преобразования Гаусса удобно проводить не с самими уравнениями, а с расширенной матрицей системы (1), в которую, кроме матрицы А, дополнительно включен столбец свободных членов.

Пример. Решить методом Гаусса систему уравнений:

Расширенная матрица системы имеет вид:

12 3 -2 6

2 4 -2 -3 18

3 2 -1 2 4

2 –3 2 1 -8

Теперь все действия над уравнениями будут эквивалентны действиям над строками матрицы. Умножаем 1-ую строку на —, т.е. на —= -2, получаем

(-2 -4 -6 4 -12)

эту строку прибавляем ко второй строке, получаем новую 2-ю строку:

0 -8 1 6).

Аналогично умножим 1-ую строку на (-3) и сложим с третьей строкой; умножим 1-ую строку на (-2) и сложим с 4-ой строкой. Расширенная матрица после 1-ого шага имеет вид:

23 -2 6

0 0 -8 1 6

-4 -10 8 -14

0 -7 -4 5 -20

Первая строка при преобразованиях Гаусса остается без изменений. Для дальнейшего хода необходимо переставить 2-ую и 3-ю строки ,чтобы

2 3 -2 6

0 -4 -10 8 -14

0 0 -8 1 6

0 -7 -4 5 -20

На 2-ом шаге, поскольку требуется только обнулить элементДля этого 2-ое уравнение умножим наи сложим с 4-м уравнением. 2-ое уравнение после умножения выглядит так: