Решите неравенство (x+1)*(x^2-1)
Дано неравенство:$$\left(x + 1\right) \left(x^{2} — 1\right) \leq 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(x + 1\right) \left(x^{2} — 1\right) = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\left(x + 1\right) \left(x^{2} — 1\right) = 0$$
Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
$$x + 1 = 0$$
$$x^{2} — 1 = 0$$
решаем получившиеся ур-ния:
1.
$$x + 1 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = -1$$
Получим ответ: x1 = -1
2.
$$x^{2} — 1 = 0$$
Это уравнение вида
a*x^2 + b*x + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = -1$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(0)^2 - 4 * (1) * (-1) = 4
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Данные корни
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(x + 1\right) \left(x^{2} — 1\right) \leq 0$$
$$\left(- \frac{11}{10} + 1\right) \left(-1 + \left(- \frac{11}{10}\right)^{2}\right) \leq 0$$
-21 ----
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq -1$$_____ _____ \ / -------•-------•------- x1 x2
Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq -1$$
$$x \geq 1$$
www.kontrolnaya-rabota.ru
Решите неравенство x^2+2*x-1
Дано неравенство:$$x^{2} + 2 x — 1 \leq 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{2} + 2 x — 1 = 0$$
Решаем:
Это уравнение вида
a*x^2 + b*x + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 2$$
$$c = -1$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(2)^2 - 4 * (1) * (-1) = 8
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$x_{1} = -1 + \sqrt{2}$$
$$x_{2} = — \sqrt{2} — 1$$
$$x_{1} = -1 + \sqrt{2}$$
$$x_{2} = — \sqrt{2} — 1$$
$$x_{1} = -1 + \sqrt{2}$$
$$x_{2} = — \sqrt{2} — 1$$
Данные корни
$$x_{2} = — \sqrt{2} — 1$$
$$x_{1} = -1 + \sqrt{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} — \frac{1}{10}$$
=
___ 1
-1 - \/ 2 - --
10=
$$- \sqrt{2} — \frac{11}{10}$$
подставляем в выражение
$$x^{2} + 2 x — 1 \leq 0$$
2 / ___ 1 \ / ___ 1 \ |-1 - \/ 2 - --| + 2*|-1 - \/ 2 - --| - 12 16 / 11 ___\ ___ - -- + |- -- - \/ 2 | - 2*\/ 2
но2 16 / 11 ___\ ___ - -- + |- -- - \/ 2 | - 2*\/ 2 >= 0 5 \ 10 /
Тогда
$$x \leq - \sqrt{2} - 1$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq - \sqrt{2} - 1 \wedge x \leq -1 + \sqrt{2}$$_____ / \ -------•-------•------- x2 x1
www.kontrolnaya-rabota.ru
Решите неравенство (x+2)*(x^2+1)
Дано неравенство:$$\left(x + 2\right) \left(x^{2} + 1\right) \leq 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(x + 2\right) \left(x^{2} + 1\right) = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\left(x + 2\right) \left(x^{2} + 1\right) = 0$$
Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
$$x + 2 = 0$$
$$x^{2} + 1 = 0$$
решаем получившиеся ур-ния:
1.
$$x + 2 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = -2$$
Получим ответ: x1 = -2
2.
$$x^{2} + 1 = 0$$
Это уравнение вида
a*x^2 + b*x + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = 1$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(0)^2 - 4 * (1) * (1) = -4
Т.к. D не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.
x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$x_{2} = i$$
$$x_{3} = — i$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = i$$
$$x_{3} = — i$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = -2$$
Данные корни
$$x_{1} = -2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(x + 2\right) \left(x^{2} + 1\right) \leq 0$$
$$\left(- \frac{21}{10} + 2\right) \left(1 + \left(- \frac{21}{10}\right)^{2}\right) \leq 0$$
-541 -----
значит решение неравенства будет при:
$$x \leq -2$$_____ \ -------•------- x1
www.kontrolnaya-rabota.ru
Решите неравенство (x-1)*(x^2+1)
Дано неравенство:$$\left(x — 1\right) \left(x^{2} + 1\right) \leq 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(x — 1\right) \left(x^{2} + 1\right) = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\left(x — 1\right) \left(x^{2} + 1\right) = 0$$
Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
$$x — 1 = 0$$
$$x^{2} + 1 = 0$$
решаем получившиеся ур-ния:
1.
$$x — 1 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 1$$
Получим ответ: x1 = 1
2.
$$x^{2} + 1 = 0$$
Это уравнение вида
a*x^2 + b*x + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = 1$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(0)^2 - 4 * (1) * (1) = -4
Т.к. D не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.
x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$x_{2} = i$$
$$x_{3} = — i$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = i$$
$$x_{3} = — i$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = 1$$
Данные корни
$$x_{1} = 1$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{9}{10}$$
=
$$\frac{9}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(x — 1\right) \left(x^{2} + 1\right) \leq 0$$
$$\left(-1 + \frac{9}{10}\right) \left(\left(\frac{9}{10}\right)^{2} + 1\right) \leq 0$$
-181 -----
значит решение неравенства будет при:
$$x \leq 1$$_____ \ -------•------- x1
www.kontrolnaya-rabota.ru
Решите неравенство (x-1)*(x^2-1)
Дано неравенство:$$\left(x — 1\right) \left(x^{2} — 1\right) \leq 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(x — 1\right) \left(x^{2} — 1\right) = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\left(x — 1\right) \left(x^{2} — 1\right) = 0$$
Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
$$x — 1 = 0$$
$$x^{2} — 1 = 0$$
решаем получившиеся ур-ния:
1.
$$x — 1 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 1$$
Получим ответ: x1 = 1
2.
$$x^{2} — 1 = 0$$
Это уравнение вида
a*x^2 + b*x + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = -1$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(0)^2 - 4 * (1) * (-1) = 4
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = -1$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = -1$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{3} = -1$$
Данные корни
$$x_{3} = -1$$
$$x_{1} = 1$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{3}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{3} — \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(x — 1\right) \left(x^{2} — 1\right) \leq 0$$
$$\left(- \frac{11}{10} — 1\right) \left(-1 + \left(- \frac{11}{10}\right)^{2}\right) \leq 0$$
-441 -----
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq -1$$_____ _____ \ / -------•-------•------- x3 x1
Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq -1$$
$$x \geq 1$$
www.kontrolnaya-rabota.ru