Семь нерешенных задач тысячелетия – уравнения Навье-Стокса, гипотеза Ходжа, гипотеза Римана. Задачи тысячелетия

уравнения Навье-Стокса, гипотеза Ходжа, гипотеза Римана. Задачи тысячелетия

Нерешаемые задачи — это 7 интереснейших математических проблем. Каждая из них была предложена в свое время известными учеными, как правило, в виде гипотез. Вот уже много десятилетий над их решением ломают головы математики во всем мире. Тех, кто добьется успеха, ждет вознаграждение в миллион американских долларов, предложенное институтом Клэйя.

Предыстория

В 1900 году великий немецкий математик-универсал Дэвид Гильберт, представил список из 23-х проблем.

Исследования, осуществленные с целью их решения, оказали огромное влияние на науку 20 века. На данный момент большинство из них уже перестали быть загадками. В числе нерешенных или решенных частично остались:

• проблема непротиворечивости арифметических аксиом;
• общий закон взаимности на пространстве любого числового поля;
• математическое исследование физических аксиом;
• исследование квадратичных форм при произвольных алгебраических числовых коэффициентах;
• проблема строгого обоснования исчислительной геометрии Федора Шуберта;
• и пр.

Неисследованными являются: проблема распространения на любую алгебраическую область рациональности известной теоремы Кронекера и гипотеза Римана.

Институт Клэйя

Под таким названием известна частная некоммерческая организация, штаб-квартира которой находится в Кембридже, штат Массачусетс. Она была основана в 1998 году гарвардским математиком А. Джеффи и бизнесменом Л. Клэйем. Целью деятельности института является популяризация и развитие математических знаний. Для ее достижения организация выдает премии ученым и спонсирует многообещающие исследования.

В начале 21 столетия Математический институт Клэйя предложил премию тем, кто решит проблемы, которые известны, как самые сложные нерешаемые задачи, назвав свой список Millennium Prize Problems. Из «Списка Гильберта» в него вошла только гипотеза Римана.

Задачи тысячелетия

В список института Клэйя изначально входили:

• гипотеза о циклах Ходжа;
• уравнения квантовой теории Янга — Миллса;
• гипотеза Пуанкаре;
• проблема равенства классов Р и NP;
• гипотеза Римана;
• уравнения Навье Стокса, о существовании и гладкости его решений;
• проблема Берча — Свиннертон-Дайера.

Эти открытые математические проблемы представляют огромный интерес, так как могут иметь множество практических реализаций.

Что доказал Григорий Перельман

В 1900 году известный ученый-философ Анри Пуанкаре предположил, что всякое односвязное компактное 3-мерное многообразие без края гомеоморфно 3-мерной сфере. Ее доказательство в общем случае не находилось в течение века. Лишь в 2002-2003 годах петербургский математик Г. Перельман опубликовал ряд статей с решением проблемы Пуанкаре. Они произвели эффект разорвавшейся бомбы. В 2010 году гипотеза Пуанкаре была исключена из списка «Нерешенные задачи» института Клэйя, а самому Перельману было предложено получить полагающееся ему немалое вознаграждение, от которого последний отказался, не объяснив причин своего решения.

Самое понятное объяснение того, что удалось доказать российскому математику, можно дать, представив, что на бублик (тор), натягивают резиновый диск, а затем пытаются стянуть края его окружности в одну точку. Очевидно, что это невозможно. Другое дело, если произвести этот эксперимент с шаром. В таком случае вроде бы трехмерная сфера, получившаяся из диска, окружность которого стянули в точку гипотетическим шнуром, будет трехмерной в понимании обычного человека, но двумерной с точки зрения математики.

Пуанкаре предположил, что трехмерная сфера является единственным трехмерным «предметом», поверхность которой можно стянуть в одну точку, а Перельману удалось это доказать. Таким образом, список «Нерешаемые задачи» сегодня состоит из 6 проблем.

Теория Янга-Миллса

Эта математическая проблема была предложена ее авторами в 1954-м году. Научная формулировка теории имеет следующий вид: для любой простой компактной калибровочной группы квантовая пространственная теория, созданная Янгом и Милльсом, существует, и при этом имеет нулевой дефект массы.

Если говорить на языке, понятном для обычного человека, взаимодействия между природными объектами (частицами, телами, волнами и пр.) делятся на 4 типа: электромагнитное, гравитационное, слабое и сильное. Уже много лет физики пытаются создать общую теорию поля. Она должна стать инструментом для объяснения всех этих взаимодействий. Теория Янга-Миллса — это математический язык, с помощью которого стало возможно описать 3 из 4-х основных сил природы. Она не применима к гравитации. Поэтому нельзя считать, что Янгу и Миллсу удалось создать теорию поля.

Кроме того, нелинейность предложенных уравнений делает их крайне сложными для решения. При малых константах связи их удается приближенно решить в виде ряда теории возмущений. Однако пока непонятно, как можно решить эти уравнения при сильной связи.

Уравнения Навье-Стокса

С помощью этих выражений описываются такие процессы, как воздушные потоки, течение жидкостей и турбулентность. Для некоторых частных случаев аналитические решения уравнения Навье-Стокса уже были найдены, однако сделать это для общего пока никому не удалось. В то же время, численное моделирование для конкретных значений скорости, плотности, давления, времени и так далее позволяет добиться прекрасных результатов. Остается надеяться, что у кого-нибудь получится применить уравнения Навье-Стокса в обратном направлении, т. е. вычислить с их помощью параметры, либо доказать, что метода решения нет.

Задача Берча — Свиннертон-Дайера

К категории «Нерешенные задачи» относится и гипотеза, предложенная английскими учеными из Кембриджского университета. Еще 2300 лет назад древнегреческий ученый Эвклид дал полное описание решений уравнения x2 + y2 = z2.

Если для каждого из простых чисел посчитать количество точек на кривой по его модулю, получится бесконечный набор целых чисел. Если конкретным образом «склеить» его в 1 функцию комплексной переменной, тогда получится дзета-функция Хассе-Вейля для кривой третьего порядка, обозначаемая буквой L. Она содержит информацию о поведении по модулю всех простых чисел сразу.

Брайан Берч и Питер Свиннертон-Дайер выдвинули гипотезу относительно эллиптических кривых. Согласно ей, структура и количество множества ее рациональных решений связаны с поведением L-функции в единице. Недоказанная на данный момент гипотеза Берча — Свиннертон-Дайера зависит от описания алгебраических уравнений 3 степени и является единственным сравнительно простым общим способом расчета ранга эллиптических кривых.

Чтобы понять практическую важность этой задачи, достаточно сказать, что в современной криптографии на эллиптических кривых основан целый класс асимметричных систем, и на их применении основаны отечественные стандарты цифровой подписи.

Равенство классов p и np

Если остальные «Задачи тысячелетия» относятся к чисто математическим, то эта имеет отношение к актуальной теории алгоритмов. Проблема, касающаяся равенства классов р и np, известная также, как проблема Кука-Левина, понятным языком может быть сформулирована следующим образом. Предположим, что положительный ответ на некий вопрос можно проверить достаточно быстро, т. е. за полиномиальное время (ПВ). Тогда правильно ли утверждение, что ответ на него можно довольно быстро отыскать? Еще проще эта задача звучит так: действительно ли решение задачи проверить не труднее, чем его найти? Если равенство классов р и np будет когда-либо доказано, то все проблемы подбора можно будет решать за ПВ. На данный момент многие специалисты сомневаются в истинности этого утверждения, хотя не могут доказать обратное.

Гипотеза Римана

Вплоть до 1859 года не было выявлено какой-либо закономерности, которая описывала бы, как распределяются простые числа среди натуральных. Возможно, это было связано с тем, что наука занималась другими вопросами. Однако к середине 19 столетия ситуация изменилась, и они стали одними из наиболее актуальных, которыми начала заниматься математика.

Гипотеза Римана, появившаяся в этот период — это предположение о том, что в распределении простых чисел существует определенная закономерность.

Сегодня многие современные ученые считают, что если она будет доказана, то придется пересмотреть многие фундаментальные принципы современной криптографии, составляющие основу значительной части механизмов электронной коммерции.

Согласно гипотезе Римана, характер распределения простых чисел, возможно, существенно отличается от предполагаемого на данный момент. Дело в том, что до сих пока не было обнаружено какой-либо системы в распределения простых чисел. Например, существует проблема «близнецов», разность между которыми равна 2. Этими числами являются 11 и 13, 29. Другие простые числа образуют скопления. Это 101, 103, 107 и др. Ученые давно подозревали, что подобные скопления существуют и среди очень больших простых чисел. Если их найдут, то стойкость современных криптоключей окажется под вопросом.

Гипотеза о циклах Ходжа

Эта нерешенная до сих пор задача сформулирована в 1941 году. Гипотеза Ходжа предполагает возможность аппроксимации формы любого объекта путем «склеивания» вместе простых тел большей размерности. Этот способ был известен и успешно применяется достаточно давно. Однако не известно, до какой степени можно производить упрощение.

Теперь вы знаете, какие нерешаемые задачи существуют на данный момент. Они являются предметом исследования тысяч ученых во всем мире. Остается надеяться, что в ближайшее время они будут решены, а их практическое применение поможет человечеству выйти на новый виток технологического развития.

fb.ru

Семь задач тысячелетия

В 2000 году Математический институт Клэя назвал семь задач тысячелетия. Самые важные и сложные проблемы, которые предстоит решить математикам. За каждую из этих задач институт заплатит миллион долларов, но математикам на самом деле это не важно. С тех пор прошло 18 лет, и как вы думаете, сколько проблем решено? Одна — гипотеза Пуанкаре, которую доказал наш Григорий Перельман. Получил за это Филдсовскую премию. От денег отказался, как известно.

Когда математики решают задачи, они не задают себе вопрос, зачем это нужно. Хороший пример — Пол Эрдёш, величайший математик из всех занимавшихся комбинаторикой. Он оставил после себя сотни нерешённых задач, над которыми математики не без удовольствия бьются до сих пор. Они все очень красивые: звучат просто, но непонятно, как их решать, иногда даже — с какого конца подобраться.

Вот, например, задача Эрдёша о равных расстояниях. Она фантастическая, потому что для детского сада. Есть 10 фишек, ваша задача — расставить их на плоскости так, чтобы как можно больше отрезков между ними были одинаковой длины. Как это сделать? Как доказать, что вы нашли максимальное число таких отрезков? Ну, допустим, с десятью точками компьютер худо-бедно разберётся. А что, если их сто? Тысяча? Какова асимптотика доли равных отрезков при оптимальном размещении растущего числа точек на плоскости?

Когда математики решают задачи, они не задают себе вопрос, зачем это нужно

На мой вкус, самые красивые, самые манящие задачи именно такие, как только что описанная — задачи, формулировку которых может понять ребёнок детсадовского возраста, но которые до сих пор не имеют решения.

С самыми сложными задачами есть проблема. После того как кто-то такую задачу решит, ещё кто-то, и не один, а минимум человек двести, должны проверить предложенное решение. Это не так-то просто.

В мире есть от силы тысяча математиков, способных понять доказательство Великой теоремы Ферма, и я к ним, к сожалению, пока не отношусь. Я прикидывал: мне надо на год запереться на даче с книжками, чтобы разобраться в этом доказательстве. Эндрю Уайлс предложил его ещё в 1994 году, но премию Абеля за это получил лишь в 2016-м. Всё это время комитет премии не располагал достаточным количеством подтверждений доказательства, а ошибиться им не хотелось.

Насколько мне известно, доказательство ABC-гипотезы (гипотезы Эстерле — Массера), пришедшей на смену Великой теореме Ферма, лежит с 2013 года, и пока его смогли проверить всего два-три человека. Оно доступно в интернете — пожалуйста, проверяйте! Но нет, пока почти никто не взялся.

В мире есть от силы тысяча математиков, способных понять доказательство Великой теоремы Ферма, и я к ним, к сожалению, пока не отношусь

Прикладной смысл математических задач всегда связан со спецификой конкретной дисциплины. В физике это прикладные задачи одного рода, в химии другого, в компьютерном деле третьего.

Фундаментальная же математика развивается внутри себя, не повинуясь требованиям прикладной инженерии, — только собственной логике. А потом приходят люди и говорят: «Вы вот это знаете — нам оно нужно, чтобы изучить распространение общественного мнения в социуме», «А нам нужно, чтобы ракеты летали» и так далее.

Когда-то появилась теория, обосновавшая возможность полёта, и изобрели самолёт. Люди всегда хотели летать, но не знали, как это делать. Пришёл Жуковский и объяснил. Без комплексного анализа самолёты бы не летали. Потому что очень трудно случайно угадать форму крыла. Её рассчитали в соответствии с формулами, которые теперь учат на втором курсе мехмата МГУ.

Алексей Савватеев

Математик, доктор физико-математических наук, ректор Университета Дмитрия Пожарского, популяризатор науки, автор книги «Математика для гуманитариев».

ology.sh

Задачи тысячелетия — Howling Pixel

Задачи тысячелетия — семь открытых математических проблем, определённых Математическим институтом Клэя в 2000 году как «важные классические задачи, решение которых не найдено вот уже в течение многих лет», за решение каждой из которых обещано вознаграждение в 1 млн долларов США. Существует историческая параллель между задачами тысячелетия и списком проблем Гильберта 1900 года, оказавшим существенное влияние на развитие математики в XX веке; из 23 проблем Гильберта большинство уже решены, и только одна — гипотеза Римана — вошла в список задач тысячелетия.

По состоянию на 2019 год только одна из семи задач тысячелетия (гипотеза Пуанкаре) решена.

Решённые задачи

Гипотеза Пуанкаре

Считается наиболее известной проблемой топологии. Неформально говоря, она утверждает, что всякий трёхмерный «объект», обладающий некоторыми свойствами трёхмерной сферы (например, каждая петля внутри него должна быть стягиваема), обязан быть сферой с точностью до деформации.

Премия за доказательство гипотезы Пуанкаре присуждена в 2010 году российскому математику Григорию Перельману^[1], опубликовавшему в 2002 году серию работ, из которых следует справедливость гипотезы, но учёный отказался эту премию принять, как раньше отказался от Филдсовской премии^[2].

Нерешённые задачи

Равенство классов P и NP

Если положительный ответ на какой-то вопрос можно быстро (за полиномиальное время) проверить (используя некоторую вспомогательную информацию, называемую сертификатом), то верно ли, что и сам ответ (вместе с сертификатом) на этот вопрос можно быстро найти? Задачи второго типа относятся к классу P, первого — к классу NP. Проблема равенства этих классов является одной из важнейших проблем теории алгоритмов.

Гипотеза Ходжа

Важная проблема алгебраической геометрии. Гипотеза описывает классы когомологий на комплексных проективных многообразиях, реализуемые алгебраическими подмногообразиями.

Гипотеза Римана

Гипотеза гласит, что все нетривиальные (то есть имеющие ненулевую мнимую часть) нули дзета-функции Римана имеют действительную часть 1/2. Её доказательство или опровержение будет иметь далеко идущие последствия для теории чисел, особенно в области распределения простых чисел. Гипотеза Римана была восьмой в списке проблем Гильберта. В случае публикации контрпримера к гипотезе Римана, учёный совет института Клэя вправе решить, можно ли считать данный контрпример окончательным решением проблемы, или же проблема может быть переформулирована в более узкой форме и оставлена открытой (в последнем случае автору контрпримера может быть выплачен небольшой приз)^[3][4].

Теория Янга — Миллса

Задача из области физики элементарных частиц. Требуется доказать, что для любой простой компактной калибровочной группы G{\displaystyle G} квантовая теория Янга — Миллса для пространства R4{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} (четырёхмерного пространства-времени) существует и имеет ненулевую спектральную щель. Это утверждение соответствует экспериментальным данным и численному моделированию, однако доказать его до сих пор не удалось.

Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса

Уравнения Навье — Стокса описывают движение вязкой жидкости. Одна из важнейших задач гидродинамики.

Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера

Гипотеза связана с уравнениями эллиптических кривых и множеством их рациональных решений.

Примечания

1. ↑ Prize for Resolution of the Poincaré Conjecture Awarded to Dr. Grigoriy Perelman Архивировано 22 марта 2010 года. (англ.). Пресс-релиз математического института Клэя.
2. ↑ http://www.gazeta.ru/science/2010/03/23_a_3341933.shtml «Посчитал и отказался». Российский математик Григорий Перельман отказался от премии в $1 млн за решение одной из математических задач тысячелетия.
3. ↑ Weisstein, Eric W. Riemann Hypothesis (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
4. ↑ Rules for the Millennium Prizes Архивная копия от 10 декабря 2011 на Wayback Machine

Ссылки

• Задачи тысячелетия (англ.)
• А. М. Вершик «Что полезно математике? Размышления о премиях Clay Millenium»
• Великий вызов тысячелетия в математике (англ.)
• Devlin, Keith J. (2002), The Millennium Problems: The Seven Greatest Unsolved Mathematical Puzzles of Our Time, Basic Books, ISBN 0-465-01729-0
• Carlson, James; Jaffe, Arthur & Wiles, Andrew, eds. (2006), The Millennium Prize Problems, Providence, RI: Американское математическое общество и математический институт Клэя, ISBN 978-0-8218-3679-8

Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера

Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера — математическая гипотеза относительно свойств эллиптических кривых, одна из задач тысячелетия (за её решение институтом Клэя предложен приз в $1 млн.)

В поисках ответа на вопрос, при каких условиях диофантовы уравнения в виде алгебраических уравнений имеют решения в целых и рациональных числах, Брайан Бёрч и Питер Свиннертон-Дайер в начале 1960-х годов предположили, что ранг r{\displaystyle r} эллиптической кривой E{\displaystyle E} над полем K{\displaystyle K} равен порядку нуля дзета-функции Хассе — Вейля E(L,s){\displaystyle E(L,s)} в точке s=1{\displaystyle s=1}. Более детально, гипотеза утверждает, что существует ненулевой предел BE=lims→1E(L,s)(s−1)r{\displaystyle B_{E}=\lim \limits _{s\to 1}{\frac {E(L,s)}{(s-1)^{r}}}}, где значение BE{\displaystyle B_{E}} зависит от тонких арифметических инвариантов кривых.

Наиболее важным частным результатом по состоянию на 2011 год остаётся доказанное в 1977 году Джоном Коутсом и Эндрю Уайлсом утверждение, справедливое для большого класса эллиптических кривых о том, что если кривая E{\displaystyle E} содержит бесконечно много рациональных точек, то E(L,1)=0{\displaystyle E(L,1)=0}.

Гипотеза является единственным относительно простым общим способом вычисления ранга эллиптических кривых^[en].

Гипотеза Пуанкаре

Гипотеза Пуанкаре́ — доказанная математическая гипотеза о том, что всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере. Сформулированная в 1904 году математиком Анри Пуанкаре гипотеза была доказана в серии статей 2002—2003 годов Григорием Перельманом. После подтверждения доказательства математическим сообществом в 2006 году, гипотеза Пуанкаре стала первой и единственной на данный момент (2019 год) решённой задачей тысячелетия.

Обобщённая гипотеза Пуанкаре — утверждение о том, что всякое n{\displaystyle n}-мерное многообразие гомотопически эквивалентно n{\displaystyle n}-мерной сфере тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей. Основная гипотеза Пуанкаре является частным случаем обобщённой гипотезы при n=3{\displaystyle n=3}. К концу XX века этот случай оставался единственным недоказанным. Таким образом доказательство Перельмана завершает и доказательство обобщённой гипотезы Пуанкаре.

Гипотеза Римана

Гипо́теза Ри́мана о распределении нулей дзета-функции Римана была сформулирована Бернхардом Риманом в 1859 году.

Хотя не было найдено какой-либо закономерности, описывающей распределение простых чисел среди натуральных, Риман обнаружил, что количество простых чисел, не превосходящих x{\displaystyle x}, — функция распределения простых чисел, обозначаемая π(x){\displaystyle \pi (x)} — выражается через распределение так называемых «нетривиальных нулей» дзета-функции.

Многие утверждения о распределении простых чисел, в том числе, о вычислительной сложности некоторых целочисленных алгоритмов, доказаны в предположении верности гипотезы Римана.

Гипотеза Римана входит в список семи «проблем тысячелетия», за решение каждой из которых Математический институт Клэя (Clay Mathematics Institute, Кембридж, Массачусетс) выплатит награду в один миллион долларов США. В случае публикации контрпримера к гипотезе Римана учёный совет института Клэя вправе решить, можно ли считать данный контрпример окончательным решением проблемы, или же проблема может быть переформулирована в более узкой форме и оставлена открытой (в последнем случае автору контрпримера может быть выплачена небольшая часть награды).

Гипотеза Тёрстона

Теорема геометризации утверждает, что замкнутое ориентируемое трёхмерное многообразие, в котором любая вложенная сфера ограничивает шар, разрезается несжимающимися торами на куски, на которых можно задать одну из стандартных геометрий.

Теорема геометризации для трёхмерных многообразий является аналогом теоремы униформизации для поверхностей.

Она была предложена в виде гипотезы Уильямом Тёрстоном в 1982, и обобщает другие гипотезы, например, гипотезу Пуанкаре и гипотезу эллиптизации Тёрстона.

Используя поток Риччи, в 2002 году Перельман доказал гипотезу Тёрстона, проведя тем самым полную классификацию компактных трёхмерных многообразий, и, в частности, доказал гипотезу Пуанкаре.

Гипотеза Ходжа

Гипотеза Ходжа сформулирована в 1941 году и состоит в том, что для особенно хороших типов пространств, называемых проективными алгебраическими многообразиями, так называемые циклы Ходжа являются комбинациями объектов, имеющих геометрическую интерпретацию, — алгебраических циклов.В XX веке математики изобрели мощные методы исследования формы сложных объектов. Основная идея состоит в том, чтобы выяснить, до какой степени мы можем аппроксимировать форму данного объекта, склеивая вместе простые тела возрастающей размерности. Этот метод оказался эффективным при описании разнообразных объектов, встречающихся в математике. При этом были не ясны геометрические обоснования метода: в некоторых случаях было необходимо прибавлять части, которые не имели никакого геометрического истолкования.

Доказать гипотезу Ходжа удалось для некоторых частных случаев. Более общее доказательство пока не найдено, не найдено и доказательство обратного — что гипотеза неверна.

Дифференциальное уравнение в частных производных

Дифференциальное уравнение в частных производных (частные случаи также известны как уравнения математической физики, УМФ) — дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные.

Отелбаев, Мухтарбай Отелбаевич

Мухтарбай Отелбаев (род. 3 октября 1942 года, село Каракемер, Кордайского района Джамбульской области) — казахстанский математик, доктор физико-математических наук, специалист в области функционального анализа и его приложений, директор Евразийского математического института при ЕНУ имени Льва Гумилёва. Известен попыткой решения проблемы существования и гладкости решений уравнений Навье — Стокса.

Проблемы Гильберта

Пробле́мы Ги́льберта — список из 23 кардинальных проблем математики, представленный Давидом Гильбертом на II Международном конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Тогда эти проблемы (охватывающие основания математики, алгебру, теорию чисел, геометрию, топологию, алгебраическую геометрию, группы Ли, вещественный и комплексный анализ, дифференциальные уравнения, математическую физику и теорию вероятностей, а также вариационное исчисление) не были решены.

На данный момент решены 16 проблем из 23. Ещё две не являются корректными математическими проблемами (одна сформулирована слишком расплывчато, чтобы понять, решена она или нет, другая, далёкая от решения, — физическая, а не математическая). Из оставшихся пяти проблем две не решены никак, а три решены только для некоторых случаев. Спустя ровно сто лет после оглашения списка Гильберта американский математик Стивен Смейл предложил новый список современных нерешённых проблем (часть из них уже решены). Свой список обнародовал Математический институт Клэя.

Равенство классов P и NP

Вопрос о равенстве классов сложности P и NP (в русских источниках также известный как проблема перебора) — это одна из центральных открытых проблем теории алгоритмов уже более трёх десятилетий. Если на него будет дан утвердительный ответ, это будет означать, что теоретически возможно решать многие сложные задачи существенно быстрее, чем сейчас.

Отношения между классами P и NP рассматриваются в разделе теории алгоритмов, который называется теорией вычислительной сложности. Она изучает ресурсы, необходимые для решения некоторой задачи. Наиболее общие ресурсы — это время (сколько нужно сделать шагов) и память (сколько памяти потребуется для решения задачи).

Проблема равенства классов P и NP является одной из семи задач тысячелетия, за решение которой Математический институт Клэя назначил премию в миллион долларов США.

Аналогичная проблема существует и в теории алгебраической сложности для классов VP и VNP.

Смейл, Стивен

Сти́вен Смейл (англ. Stephen Smale, 15 июля 1930) — американский математик, возглавлявший факультет математики Калифорнийского университета в Беркли в 1960—61 и 1964—95 годах, лауреат премии Филдса 1966 года.

Поступил в Мичиганский университет в 1948 году, однако усваивал программу с большим трудом. Тем не менее, ему удалось поступить в аспирантуру, где он получил степень доктора философии в 1957 году под руководством Рауля Ботта.

Начал преподавать в колледже при Чикагском университете.

Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса

Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса — одна из семи математических задач тысячелетия, сформулированных в 2000 году Математическим институтом Клэя.

Уравнения Навье — Стокса описывают движение вязкой ньютоновской жидкости и являются основой гидродинамики. Численные решения уравнений Навье — Стокса используются во многих практических приложениях и научных работах. Однако в аналитическом виде решения этих уравнений найдены лишь в некоторых частных случаях, поэтому нет полного понимания свойств уравнений Навье — Стокса. В частности, решения уравнений Навье — Стокса часто включают в себя турбулентность, которая остаётся одной из важнейших нерешённых проблем в физике, несмотря на её огромную важность для науки и техники.

Теория Янга — Миллса

Тео́рия Я́нга — Ми́ллса — калибровочная теория с неабелевой калибровочной группой. Калибровочные поля в этой теории называются полями Янга — Миллса. Такие теории были предложены в 1954 году Чж. Янгом и Р. Миллсом, однако некоторое время рассматривались лишь как математические изыски, не имеющие отношения к реальности. Несмотря на это, именно на основе теорий Янга — Миллса в 1960—1970-х годах были созданы две краеугольные теории Стандартной модели в физике элементарных частиц: квантовая хромодинамика (теория сильных взаимодействий) на основе группы SU(3) и теория электрослабых взаимодействий на основе группы SU(2)xU(1).

This page is based on a Wikipedia article written by authors (here).
Text is available under the CC BY-SA 3.0 license; additional terms may apply.

Images, videos and audio are available under their respective licenses.

howlingpixel.com

10 головоломок, решив которые, вы разбогатеете / Genomics X, Qualcomm Tricorder, концепт

10. Задачи тысячелетия математического института Клэя

В 2000 году математический институт Клэя представил список из семи самых печально известных математических проблем. И тому, кто решит хотя бы одну, получит $1 млн. С 2000 года была решена только одна из них.

Григорий Перельман, российский математик, доказал теорему Пуанкаре, разрешить которую пытались аж с 1904 года. Тем не менее, он потратил столько лет на эту проблему, что в значительной степени выпал из общества, отказавшись от медали Филдса (высшей награды в математике) и никогда не претендовав на миллион долларов, сославшись на свое разочарование в математике. Так что, если вы хотите сойти с ума подобным образом, вас ожидают еще шесть задач.

Одной из таких проблем является решение уравнения P = NP. Задача впервые была предложена в 1971 году. Нестрого говоря, проблема равенства P = NP состоит в следующем: если положительный ответ на какой-то вопрос можно быстро проверить (за полиномиальное время), то правда ли, что ответ на этот вопрос можно быстро найти.

Например, верно ли, что среди чисел {−2, −3, 15, 14, 7, −10, …} есть такие, что их сумма равна 0 (задача о суммах подмножеств)? Ответ да, потому что −2 −3 + 15 −10 = 0 легко проверяется несколькими сложениями (информация, необходимая для проверки положительного ответа, называется сертификатом). Следует ли отсюда, что так же легко подобрать эти числа? Проверить сертификат так же легко, как найти его? Кажется, что подобрать числа сложнее, но это не доказано.

Уловили? В принципе, это решение одной проблемы дважды, только числа меняются. В настоящее время это крупнейшая проблема в теоретической информатике. Было множество людей, которые пробовали свои силы, но все они потерпели неудачу. Ближе всего к решению были в 2010 году, решив только часть задачи.

9. Приз Archon Genomics X

Порождающие головную боль математические задачи — это слишком сложно? Приз Archon Genomics X требует меньше знаний математики. За приз в $10 млн вам нужно создать устройство, которое сможет упорядочить 100 геномов человека в течение 10 дней с точностью до одной единственной ошибки на 100 000 частей ДНК. Да, и стоимость должна быть ниже $ 10000.

В отличие от математических задач, это открытие может сделать чертовски много для человечества, а не просто поставить числа вместе. Упорядочивание генома может стать мейнстримом, помочь обнаружить будущие риски для здоровья, сделать индивидуальные лекарства и составить собственный план здоровья.

Кроме того, $ 10 миллионов долларов — это фантастическая сумма.

8. Проблема ночного лунохода

Так как солнечные батареи годятся только для сбора энергии в течение дня, NASA организовал конкурс с призом в $ 15 млн тому, кто сможет найти длительный метод хранения энергии, чтобы такое устройство как вездеход, смогло иметь достаточно электроэнергии для работы в темноте.

NASA хочет иметь возможность использовать транспортные средства на солнечных батареях на Луне, месте, печально известном тем, что ночь там длится довольно долго. Если кто-то сможет решить эту проблему, вездеходы смогут исследовать Луну или Марс в любое время, независимо от их положения к Солнцу.

Представьте себе, резкие снимки горизонта Плутона. В данный момент это невозможно, мешают Солнце и миллиарды километров. Но ночью вездеход сможет сделать их. Так что, если хотите заработать, вы можете быть тем, кто поможет этой идее осуществиться.

7. Премия Qualcomm Tricorder

Названный в честь футуристического устройства из Star Trek, приз Qualcomm Tricorder хочет найти того, кто сделает устройство, которое сможет диагностировать пациентов лучше, чем ряд квалифицированных врачей. Помимо премии в $ 10 млн, вы станете известны, как человек, который воплотил идею Star Trek в жизнь. Возможно, тогда общество безработных врачей начнет «охоту за вашей головой», но вы не услышите их криков за собственными медными трубами.

6. Проект Methuzelah Mouse (Mprize)

Проводя эксперименты над мышами в лаборатории, ученые обнаружили печальную закономерность: мыши имеют очень короткий срок службы. Так как многие эксперименты связаны с жизнью человека, результаты, как правило, не являются полными и крайне неточны.

Поэтому, если вы сможете вырастить, генетически изменить, модифицировать или иным способом заставить мышей жить больше пяти лет, то вы получите $ 4 млн. Это может помочь ученым изучить долгосрочные риски здоровью, и в значительной степени ускорить темп развития науки.

Кроме того, это достижение поможет в исследовании долголетия человека. Вы получите еще $4 млн, если найдете способ, как не просто продлить жизнь мышам, но и сохранить их здоровье в течение новой старости.

В принципе, это попытки ученых продлить жизнь человека. Возможно, тогда бессмертный Халк Хоган оправдает свое имя.

5. Чеки-вознаграждения Кнута

Дональд Кнут написал несколько книг о компьютерах и информатике и создал оригинальный способ продать их: он предложил денежные вознаграждения для тех, кто найдет ошибки. Если вы нашли их, вы выигрываете шестнадцатеричный доллар. Нельзя сказать, что финансово впечатляет ($ 2.56), и фактически сама проверка стоит намного больше. Но эти чеки в значительной степени являются призом сами по себе. Кнут использовал чеки банка Of San Sarriff.

Никогда не слышали про такой банк? Это потому, что он выдуман. Он, очевидно, имеет филиалы на вымышленной планета Пинкус. Так что, если вы вдруг окажетесь в районе Пинкуса и вам понадобятся наличные, вы находитесь в хороших руках.

Но все-таки с этими вымышленными чеками возникла проблема. Хакеры использовали номера чеков Кнута, чтобы взломать его счет и украсть деньги. Как они узнали номер? Взволнованные люди, которые нашли ошибки и выиграли чек, фотографировали их и выкладывали в Интернет, еще раз доказав, что смысл книги и здравый смысл незнакомы друг с другом.

4.Соревнование Virgin Earth

Британский магнат и энтузиаст Ричард Брэнсон также назначил премию, и огромную. В общей сложности $ 25 миллионов долларов пойдет победителю соревнований Virgin Earth. Суть соревнования – очистить атмосферу Земли от «парниковых» газов, чтобы избежать глобального потепления. В настоящее время там около 200 млрд метрических тонн этой гадости. Но, к счастью, правила гласят, чтобы доказать, что это возможно, вы должны убрать только один миллиард тонн. Хорошо, убрать миллиард тонн газа с неба, на самом деле, звучит вполне реально. Плевое дело. Но 200 млрд? Это безумие.

3. Паранормальное соревнование

Приз в $ 1 млн предложил Образовательный фонд Джеймса Рэнди любому, кто сможет доказать, что паранормальные явления реальны. Впервые, это заявление было сделано Рэнди в гостях на радио-шоу в Великобритании в 1968 году. Звонивший сказал Рэнди, что ему следует поумерить свой скептицизм, тогда он предложил $ 100 первому, кто сможет доказать, что призраки или привидения существуют. С тех пор он все увеличивал и увеличивал награду, пока она не составила $1 млн.

Но это не так-то просто. Одних разговоров с призраками с помощью доски для спиритических сеансов мало. Вы должны представить уйму доказательств, пройти кучу интервью и тестов, чтобы удовлетворить все правила. И даже тогда правила гласят, что Рэнди не признает, что сверхъестественное реально, он просто скажет, что вам удалось пройти испытание, вернет ваши деньги и останется при своем мнении.

Не то, чтобы подобный инцидент имел место быть. С 1968 года никто не прошел и даже не был близок к выигрышу. Некоторые медиумы, Сильвия Браун и Розмари Альтеа нашли отговорки, чтобы в этом не участвовать, либо попытались, но с треском провалились.

2. Приз от NASA за наноспутник

Призом в $ 2 млн ждет того, что сможет запустить маленький спутник на орбиту дважды за одну неделю. Именно два раза. Потому что любой дурак сможет отправить спутник на орбиту один раз на неделе. Черт побери, давно уже отправили.

Для двух спутников на орбите есть определенная причина, так что это не просто бесполезная работа. Цель NASA — показать, что спутники могут обходиться относительно дешево, в надежде на прирост интереса к частному их использованию. Так что, если вы радовались, запуская воздушного змея, приготовьтесь быть сильно униженными, так как человек, который сможет справиться с этим заданием будет наблюдать за вашим змеем из космоса.

1. Лифт 2010

Хорошо, призовой фонд здесь не самый большой (только $ 4 млн по сравнению с $ 25 млн Ричарда Брэнсона), но если эту задачу решить, все представление обо всем абсолютно поменяется.

Премия Лифт 2010 уйдет тому, кто спроектирует космический лифт. Это не метафора, в буквальном смысле лифт более чем 100 км, который сможет отправить в космическое пространство. Идеально подходит для матерей астронавтов, которые забыли свой обед дома перед выходом на работу на Международную космическую станцию.

Приз также делится на несколько частей. Если вы создадите экономически эффективный способ сделать так, чтобы лифт не ломался ( что очень важно, ведь снаружи кислорода нет), вы получите миллион долларов. Так что, если вы скорее «человек идеи», а не «человек дела» — это ваш шанс.

Команда из Сиэтла выиграла $ 900 000 несколько лет назад за разработку альпинистского троса длиной 914,4 м. Не совсем космос, но все равно чертовски высоко.

www.qwrt.ru

Премия института Клэя | Математика, которая мне нравится

Математическим институтом Клэя в Кембридже, штат Массачусетс (CMI) определены семь задач, за решение которых дается премия. Были отмечены некоторые из наиболее сложных проблем, с которыми математики бились на рубеже второго тысячелетия. Это было сделано для того, чтобы донести до широкой общественности тот факт, что математика изобилует важными нерешенными задачами, чтобы подчеркнуть важность работы, направленной на решение самых глубоких, самых сложных проблем, и признать историческое значение достижений в области математики.

О премии было объявлено на встрече в Париже, состоявшейся 24 мая 2000 года в Коллеж де Франс. Тогда были представлены три лекции. Тимоти Гауэрс говорил о важности математики, Майкл Атья и Джон Тейт говорили о самих задачах.

Семь задач тысячелетия были выбраны Научно-консультативным советом института, который обсуждал их с ведущими специалистами всего мира. В центре внимания совета были важные классические задачи, которые не поддавались решению в течение многих лет.

Следуя решению Научно-консультативного совета, совет директоров института Клэя определил призовой фонд в 7 миллионов долларов за решение этих задач, с выделением $ 1 млн. долларов за решение каждой задачи.

Заметим, что одной из семи задач является гипотеза Римана, сформулированная в 1859 году, которая находится также в списке из двадцати трех задач, представленном Давидом Гильбертом в Париже 9 августа 1900 года.

Итак, вот эти задачи.

Гипотеза Берча — Свиннертон-Дайера

Математики всегда были увлечены задачей описания всех целочисленных решений алгебраических уравнений типа

   

Евклид дал полное решение для данного уравнения, но для более сложных уравнений это сделать крайне тяжело. Действительно, в 1970 году Ю.В. Матиясевич показал, что десятая проблема Гильберта неразрешима, т. е. не существует общего метода определения, когда такие уравнения имеют решения в целых числах. Но в некоторых случаях можно надеяться что-то получить. Когда решения являются точками абелева многообразия, Бирч и Свиннертон-Дайер утверждают, что размер группы рациональных точек связан с поведением соответствующей дзета-функции вблизи точки . В частности, эта удивительная гипотеза утверждает, что если , то существует бесконечное число рациональных точек (решений), и наоборот, если , то существует лишь конечное число таких точек.

Гипотеза Ходжа

В ХХ веке математики открыли мощный способ исследовать формы сложных объектов. Основная идея метода состоит в том, чтобы выяснить, в какой степени мы можем аппроксимировать форму данного объекта склеиванием простых геометрических блоков возрастающей размерности. Эта методика оказалась настолько полезной, что ее обобщали различными способами, в конечном счете давшими мощные инструменты, который позволили математикам сильно продвинуться в каталогизации различных объектов, с которыми они сталкиваются в своих исследованиях. К сожалению, геометрическое происхождение метода стало скрытым в этом обобщении. В некотором смысле было необходимо добавить кусочки, которые не имели геометрической интерпретации. Гипотеза Ходжа утверждает, что для особенно хороших типов пространств, называемых проективными алгебраическими многообразиями, части, называемые циклами Ходжа, являются на самом деле (рациональными линейными) комбинациями геометрических частей, называемых алгебраическими циклами.

Уравнение Навье-Стокса

Волны следуют за нашей лодкой, когда мы плывем по озеру, и турбулентные потоки воздуха сопровождают наш полет в современном самолете. Математики и физики полагают, что объяснение и предсказание таких явлений, как ветер и турбулентность, могут быть найдены на основе понимания решения уравнений Навье-Стокса. Хотя эти уравнения были получены в 19-м веке, наше понимание их остается минимальным. Задача состоит в том, чтобы добиться существенного прогресса на пути к математической теории, которая откроет тайны, скрытые в уравнении Навье-Стокса.

Задача о равенстве классов P и NP

Предположим, что вы организуете размещение группы из четырехсот студентов университета. Количество мест ограничено, и только сто студентов получат места в общежитии. Ситуация усложняется тем, что декан предоставил вам список пар студентов, которые не могут жить вместе, и просил, чтобы ни одна пара из этого списка не попала в окончательный вариант. Это пример того, что ученые-компьютерщики называют NP-задачей. Легко проверить, будет ли данный выбор ста студентов, предложенный сотрудником, удовлетворительным (т.е. никакая пара студентов из списка вашего коллеги не фигурирует в списке из деканата), однако задача создания такого списка с нуля, кажется абсолютно невыполнимой. Действительно, общее число способов выбора ста студентов из четырехсот претендентов больше, чем количество атомов в известной вселенной! Таким образом, никакая будущая цивилизация не может даже надеяться построить суперкомпьютер, способный решить эту задачу с помощью грубой силы, то есть проверяя все возможные комбинации 100 студентов. Однако эта кажущаяся трудность может только отражать отсутствие изобретательности вашего программиста. В самом деле, одной из нерешенных проблем в области компьютерной науки является определение того, существуют ли вопросы, ответы на которые можно быстро проверить, но которые требуют невозможно долгого времени для решения любым прямым методом. Задачи, подобные той, что указана выше, конечно, кажутся задачами такого рода, но до сих пор никто не смог доказать, что какая-то из них на самом деле так сложна, как кажется, т.е. что действительно нет возможности получить ответ с помощью компьютера. Стивен Кук и Леонид Левин сформулировали задачу сравнения классов P (то есть легко найти) и NP (то есть легко проверить) в 1971 году.

Теория Янга-Миллса и дефект массы

Законы квантовой физики в мире элементарных частиц играют ту же роль, что и законы Ньютона классической механики в макроскопическом мире. Почти полвека назад Янг и Миллс ввели новую замечательную концепцию для описания элементарных частиц с помощью структур, которые встречаются также в геометрии. Квантовая теория Янга-Миллса в настоящее время является основой большей части теории элементарных частиц, и ее предсказания были проверены во многих экспериментальных лабораториях, но ее математическая основа остается неясной. Успешное применение теории Янга-Миллса для описания сильных взаимодействий элементарных частиц зависит от тонкого квантово-механического свойства, которое называют дефектом массы: квантовые частицы имеют положительную массу, хотя классические волны распространяются со скоростью света. Это свойство было обнаружено физиками в экспериментах и подтверждено компьютерным моделированием, но оно до сих пор непонятно с теоретической точки зрения. Прогресс в создании теории Янга-Миллса и дефекта массы потребует новых фундаментальных идей как в физике, так и в математике.

Гипотеза Римана

Некоторые числа имеют особое свойство, они не могут быть выражены как произведение двух меньших чисел, например, 2, 3, 5, 7 и т.д. Такие числа называются простыми, и они играют важную роль как в чистой математике, так и в ее приложениях. Распределение таких простых чисел среди всех натуральных чисел не является упорядоченным, однако немецкий математик Георг Фридрих Бернхард Риман (1826 — 1866) заметил, что частота простых чисел очень тесно связана с поведением сложной функции

   

которая называется дзета-функцией Римана. Гипотеза Римана утверждает, что все вещественные части так называемых нетривиальных решений уравнения

   

лежат на некоторой вертикальной прямой. Это было проверено для первых 1500000000 решений. Доказательство того, что это верно для каждого нетривиального решения могло бы пролить свет на многие тайны, окружающие распределение простых чисел.

Гипотеза Пуанкаре (доказана Григорием Перельманом в 2002-2003 гг.)

Если натянуть резинку вокруг поверхности яблока, то можно стянуть его в точку, медленно перемещая его, не разрывая и не позволяя ему выйти за пределы резинки. С другой стороны, если мы представим себе, что эта же резинка как-то была растянута вокруг бублика, то нет никакого способа стянуть ее в точку, не нарушая ни резинки, ни бублика. Мы говорим, что поверхность яблока “односвязная’’, а поверхность бублика — нет. Пуанкаре почти сто лет назад знал, что двумерная сфера фактически характеризуется этим свойством связности, и задал такой же вопрос для трехмерной сферы (множества точек в четырехмерном пространстве, находящихся на единичном расстоянии от начала координат).

Этот вопрос оказался чрезвычайно трудным. Почти столетие прошло между его формулировкой в 1904 году Анри Пуанкаре и ответом на него Григорием Перельманом, который был размещен в препринтах на ArXiv.org в 2002 и 2003 годах. Решение Перельмана было основано на теории Ричарда Гамильтона о потоках Риччи, и использовало результаты на пространстве метрик, принадлежащие Чигеру, Громову и самому Перельману. В своих работах Перельман доказал также геометрическую гипотезу Уильяма Терстона, частным случаем которой является гипотеза Пуанкаре.

Источник: http://www.claymath.org/millennium/

hijos.ru

Задачи тысячелетия — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Задачи тысячелетия — семь открытых математических проблем, определённых Математическим институтом Клэя в 2000 году как «важные классические задачи, решение которых не найдено вот уже в течение многих лет», за решение каждой из которых обещано вознаграждение в 1 млн долларов США. Существует историческая параллель между задачами тысячелетия и списком проблем Гильберта 1900 года, оказавшим существенное влияние на развитие математики в XX веке; из 23 проблем Гильберта большинство уже решены, и только одна — гипотеза Римана — вошла в список задач тысячелетия.

По состоянию на 2018 год только одна из семи задач тысячелетия (гипотеза Пуанкаре) решена^[⇨].

Решенные проблемы

Гипотеза Пуанкаре

Считается наиболее известной проблемой топологии. Неформально говоря, она утверждает, что всякий трёхмерный «объект», обладающий некоторыми свойствами трёхмерной сферы (например, каждая петля внутри него должна быть стягиваема), обязан быть сферой с точностью до деформации.

Премия за доказательство гипотезы Пуанкаре присуждена в 2010 году российскому математику Григорию Перельману^[1], опубликовавшему в 2002 году серию работ, из которых следует справедливость гипотезы, но учёный отказался её принять, как раньше отказался от Филдсовской премии^[2].

Видео по теме

Нерешенные проблемы

Равенство классов P и NP

Если положительный ответ на какой-то вопрос можно быстро (за полиномиальное время) проверить (используя некоторую вспомогательную информацию, называемую сертификатом), то верно ли, что и сам ответ (вместе с сертификатом) на этот вопрос можно быстро найти? Задачи второго типа относятся к классу P, первого — к классу NP. Проблема равенства этих классов является одной из важнейших проблем теории алгоритмов.

Гипотеза Ходжа

Важная проблема алгебраической геометрии. Гипотеза описывает классы когомологий на комплексных проективных многообразиях, реализуемые алгебраическими подмногообразиями.

Гипотеза Римана

Гипотеза гласит, что все нетривиальные (то есть имеющие ненулевую мнимую часть) нули дзета-функции Римана имеют действительную часть 1/2. Её доказательство или опровержение будет иметь далеко идущие последствия для теории чисел, особенно, в области распределения простых чисел. Гипотеза Римана была восьмой в списке проблем Гильберта. В случае публикации контрпримера к гипотезе Римана, учёный совет института Клэя вправе решить, можно ли считать данный контрпример окончательным решением проблемы, или же проблема может быть переформулирована в более узкой форме и оставлена открытой (в последнем случае автору контрпримера может быть выплачен небольшой приз)^[3][4].

Теория Янга — Миллса

Задача из области физики элементарных частиц. Требуется доказать, что для любой простой компактной калибровочной группы G{\displaystyle G} квантовая теория Янга — Миллса для пространства R4{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} (четырёхмерного пространства-времени) существует и имеет ненулевую щель в спектре описываемых ей частиц (возбуждений), так что эти частицы имеют ненулевую массу. Это утверждение соответствует экспериментальным данным и численному моделированию, однако доказать его до сих пор не удалось.

Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса

Уравнения Навье — Стокса описывают движение вязкой жидкости. Одна из важнейших задач гидродинамики.

Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера

Гипотеза связана с уравнениями эллиптических кривых и множеством их рациональных решений.

Примечания

Ссылки

• Задачи тысячелетия (англ.)
• А. М. Вершик «Что полезно математике? Размышления о премиях Clay Millenium»
• Великий вызов тысячелетия в математике (англ.)
• Devlin, Keith J. (2002), The Millennium Problems: The Seven Greatest Unsolved Mathematical Puzzles of Our Time, Basic Books, ISBN 0-465-01729-0 
• Carlson, James; Jaffe, Arthur & Wiles, Andrew, eds. (2006), The Millennium Prize Problems, Providence, RI: Американское математическое общество и математический институт Клэя, ISBN 978-0-8218-3679-8 

wiki2.red

Хочу учиться — нерешенные задачи

Главная страница — » Задачи человечества

 ЗАДАЧИ МАТЕМАТИКИ, НЕ РЕШЕННЫЕ ЧЕЛОВЕЧЕСТВОМ

 

 

Задачи Гильберта

23 важнейших проблем математики были представлены величайшим немецким математиком  Давидом Гильбертом на  Втором Международном конгресе математиков в Париже в 1990 году. Тогда эти проблемы (охватывающие основания математики, алгебру, теорию чисел, геометрию, топологию, алгебраическую геометрию, группы Ли, вещественный и комплексный анализ, дифференциальные уравнения, математическую физику, вариационное исчисление и теорию вероятностей, не были решены. На данный момент решены 16 проблем из 23. Ещё 2 не являются корректными математическими проблемами (одна сформулирована слишком расплывчато, чтобы понять, решена она или нет, другая, далёкая от решения, — физическая, а не математическая). Из оставшихся 5 проблем две не решены никак, а три решены только для некоторых случаев

 

Задачи Ландау

До сих пор существует много открытых вопросов, связанных с простыми числами (простое число — это число, которое имеет отлько два делителя: единицу и само это число). Наиболее важные вопросы  были перечислены Эдмундом Ландау на Пятом Междунанародном математическом конгресе:

Первая проблема Ландау (проблема Гольдбаха): верно ли, что каждое чётное число, большее двух, может быть представлено в виде суммы двух простых чисел, а каждое нечётное число, большее 5, может быть представлено в виде суммы трёх простых чисел?

Вторая проблема Ландау: бесконечно ли множество «простых близнецов» — простых чисел, разность между которыми равна 2?
Третья проблема Ландау (гипотеза Лежандра): верно ли, что для всякого натурального числа n между и всегда найдётся простое число?
Четвёртая проблема Ландау: бесконечно ли множество простых чисел вида , где n — натуральное число?

 

 

Задачи тысячелетия (Millennium Prize Problems)

Это семь математических задач, за решение каждой из которых инcтитут Клея предложил приз в 1 000 000 долларов США. Вынося на суд математиков эти семь задач, иститут Клея сравнил их с 23 задачами Д.Гильберта, которые оказали большое влияние на на математику ХХ века. Из  23 проблем Гильберта большинство уже решены, и только одна  — гипотеза Римана — вошла в список задач тысячелетия. По состоянию на декабрь 2012 года только одна из семи проблем тысячелетия  (гипотеза Пуанкаре) решена. Приз за её решение присуждён российскому математику Григорию Перельману, который от него отказался.

 

Вот список этих семи задач:

№1. Равенство классов P и NP

Если положительный ответ на какой-то вопрос можно быстро  проверить (используя некоторую вспомогательную информацию, называемую сертификатом), то верно ли, что и сам ответ (вместе с сертификатом) на этот вопрос можно быстро найти? Задачи первого типа относятся к классуц NP, второго — классу Р. Проблема равенства этих классов является одной из важнейших проблем теории алгоритмов.

№2. Гипотеза Ходжа

Важная проблема алгебраической геометрии. Гипотеза описывает классы комогологий на комплексных проективных многообразиях, реализуемые алгебраическими подмногообразиями.

 

№3. Гипотеза Пуанкаре (доказана Г.Я.Перельманом)

Cчитается наиболее известной проблемой топологии. Говоря более просто, она утверждает, что всякий 3D «объект», обладающий некоторыми свойствами трёхмерной сферы (например, каждая петля внутри него должна быть стягиваема), обязан быть сферой с точностью до деформации. Премия за доказательство гипотезы Пуанкаре присуждена российскому математику Г.Я.Перельману,  опубликовавшему в 2002 году серию работ, из которых следует справедливость гипотезы Пуанкаре.

 

№4. Гипотеза Римана

Гипотеза гласит, что все нетривиальные (то есть имеющие ненулевую мнимую часть) нули дзета-функции Римана имеют действительную часть 1/2. Гипотеза Римана была восьмой в списке проблем Гильберта.

 

№5. Теория Янга — Миллса

Задача из области физики элементарных частиц. Требуется доказать, что для любой простой компактной калибровочной группы G квантовая теория Янга — Миллса для четырехмарного пространства  существует и имеет ненулевой дефект массы. Это утверждение соответствует экспериментальным данным и численному моделированию, однако доказать его до сих пор не удалось.

 

№6. Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса

Уравнения Навье — Стокса описывают движение вязкой жидкости. Одна из важнейших задач гидродинамики.

 

№7. Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера

Гипотеза связана с уравнениями эллиптических кривых и множеством их рациональных решений.

 

на главную

---

 

 

gghelp.ru

No related posts.