Глава 3. Производная функции одной переменной
УДК 517.1
Составители: О.Я. Шевалдина
Научный редактор: канд. физ.-мат. наук В.И. Максимов
Задачи экономики в курсе математического анализа: Методические указания по курсу «Математика», «Математический анализ» для студентов экономических / О.Я. Шевалдина. Екатеринбург: ГОУ ВПО «УГТУ – УПИ», 2008. 34 с.
Методические указания содержат кратко изложенный теоретический материал, типовые задачи, рекомендации к их решению по теме «Исследование функций с помощью производных. Приложение производной в экономической теории» курса «Математика». Приводятся простейшие приложения математики в экономике (предельный анализ, эластичность функций, максимизация прибыли, оптимизация налогообложения предприятий и др.). Предлагаются задачи для самостоятельной работы студентов (в том числе, с экономическим содержанием). Наряду с традиционными упражнениями приводятся тестовые задания открытой и закрытой формы. Теоретические сведения, а также набор предлагаемых задач можно использовать в процессе аудиторной и самостоятельной работы студентов, при проведении контрольных работ, собеседований и экзаменов. Методические указания предназначаются для студентов всех специальностей факультета экономики и управления.
Подготовлено кафедрой «Анализ систем и принятия решений»
ГОУ ВПО «Уральский государственный
технический университет – УПИ» , 2008
3.1. Производная функции в точке
Пусть функция определена на множестве и– предельная точка множества Х. Напомним: для любой точки приращениеопределяется формулой.Приращением функции в точкеназывается функция аргумента:
.
Определение.
Если существует конечный предел,
то значение этого предела называют производной функции в точке, обозначают или.
Используются и другие символические обозначения производной:
, ,.
Лагранж1Ньютон2Лейбниц3
Таким образом, по определению
, (3.1)
где .
Пример 3.1. Найдем производную функции в любой точкеобласти определения:
.
Следовательно, функция имеет в каждой точкепроизводную.
Экономисты используют для обозначения производной также символ (т. е.) и терминмаржинальное значение функции в точке .
X Физический смысл производной
Производная – скорость изменения функции в точке . В частности, если– время, – координата точки, движущейся по прямой в момент , то
Геометрический смысл производной. Связь с существованием касательной
Пусть график функции ;,– две точки графика функции(рис. 3.1).
Угол между секущей АВ и осью Ох обозначим .
Г
Определение. Если существует , то прямаяс угловым коэффициентом, проходящая через точку, называетсякасательной к графику функции в точке.
Теорема 3.1. График функции имеет в точкекасательную тогда и только тогда, когда функцияимеет в точкепроизводную.
Доказательство.
Необходимость. Пусть . Так как функциянепрерывна, то. Но. Поэтому, то есть функцияимеет в точкеконечную производную.
Достаточность. Если существует , то есть, то. Так как функции,непрерывные, то, то есть существует касательная к графику функции в точке.
Замечание. Так как , то приполучаем.Таким образом, – это тангенс угла наклона касательной к графику функциив точке.
Уравнения касательной и нормали
Найдем уравнение касательной. Будем искать его в виде . Так как, то, откуда. Поскольку угловой коэффициент касательной, то ее уравнение имеет вид
.
Определение. Нормальной прямой (или нормалью) к графику функции в точке называется прямая, проходящая через точкуперпендикулярно касательной в этой точке.
Угловой коэффициент нормали связан с угловым коэффициентом касательной формулой
.
Уравнение нормали к графику функции в точке
.
Бесконечные производные
Если функция непрерывна в точке иравенили, то говорят, что функцияимеет в точке
Пример 3.2. Рассмотрим функцию ,. Имеем
–вертикальная касательная к графику функции (рис. 3.2).
Пример 3.3. Рассмотрим функцию ,. Имеем:. Следовательно, прямая– вертикальная касательная к графику функции (рис. 3.3).
Односторонние производные
Пусть определена на множествеи– предельная точка.
Если существует конечный предел , то его называютлевой производной функции в точке и обозначают.
Аналогично . Число(если оно существует), называетсяправой производной функции в точке.
Теорема 3.2. Пусть – предельная точка. Функцияимеет производную в точкетогда и только тогда, когда,, причем
.
Пример 3. 4. . .
Имеем: ,.
Так как , функцияне имеет производной в нуле.
Пример 3.5. Пусть . Выясним, существует ли производная этой функции в точке.
Имеем: .
Итак, функция в точкеимеет производную.
Пример 3.6.
, то есть непрерывна в точке. Однако
не существует. Действительно, если , а если. Следовательно, предел по Гейне не существует.
studfiles.net
Производная функции одной переменной. Правила дифференцирования. Производная сложной функции
Определение производной
Рассмотрим функцию 
(рис.
31). Возьмем произвольную точку
.
Для любого
разностьх – х0называется
приращением аргументах в точке х0и обозначается
.
Таким образом,Разность называется приращением функции в точкех0.
Производной функции 
в точке х0называется предел
отношения приращения функции
к приращению аргумента
,
если этот предел существует и обозначается
Пример.Вычислим по определению производную функции в заданной точке:
Решение. Согласно определению производной, имеем:
;
Ответ. 1) –3; 2) 4а + b;
3) 
Задание. Вычислить по определению производную функции в заданной точке:
Решение.
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Ответ: 
Функция, имеющая производную в точке х0,называется дифференцируемой
в этой точке. Если же функция дифференцируема
в каждой точке некоторого интервала
,
то она дифференцируема на этом интервале.
Необходимое условие существования
производной вытекает из следующей
теоремы.
Теорема. Если функция 
дифференцируема в точке х0, то она
непрерывна в этой точке.
Однако непрерывность функции в точке не является достаточным условием дифференцируемости функции в точке.
Пример.Функция 
непрерывна в точкех
Геометрический смысл производной
Касательной к кривой Lв точкеМ0 Î Lназывается прямаяМ0Т, занимающая предельное положение секущейМ0М (МÎ L)приМ ® М0(если такое положение существует).
Геометрический смысл производной:
производная функции 
в точкех0 равна угловому
коэффициенту касательной, проведенной
к графику данной функции в его точке с
абсциссой х0:
.
Уравнение касательной к кривой Lв точке (х0;f (х0)), записанное как уравнение прямой, проходящей через точку (х0;f (х0
имеет вид:или
.
Уравнение нормали к кривой (прямой, проходящей через точку кривой L с абсциссой х0 перпендикулярно касательной) составляется аналогичным образом с учетом того, что ее угловой коэффициент равен:
,
то естьили.
Пример.Составим уравнения касательной и нормали к данной кривой в данной точке:
Решение.
Согласно определению производной, имеем:
Тогда уравнение касательной примет вид: или
Уравнение нормали запишем в виде:
Согласно определению производной, имеем:
Т
огда уравнение касательной примет
вид:
.
Уравнение нормали запишем в виде:
Механический смысл производной
Положим, что материальная точка движется
прямолинейно по закону 
тогда ее средняя скорость за промежуток
временивычисляется по формуле:
Как известно, мгновенной скоростью в
момент времени t0 называется предел (если он существует),
которому стремится средняя скорость
за промежуток временипри
,
т.е.
Таким образом, мгновенная скорость движения материальной точки в любой момент времени tесть производная от путиsпо времениt.
В этом состоит физический смысл производной.
Пример.Найдем скорость движения материальной точки в момент времениt = 4, если закон движения задан формулой:
Решение. Найдем по определению: , тогда
studfiles.net
1.17. Свойства функций непрерывных на отрезке.
Функция 
называетсянепрерывной
на отрезке 
если она непрерывна в каждой точке
интервала
,
а на концах отрезка выполняются равенства
.
Всевозможные
функции непрерывные на отрезке 
образуют множество, которое называют
– класс функций
.
Функция
является элементом этого множества
.
Теорема 1. (Об ограниченности непрерывной на отрезке функции).
Если , то она ограничена на этом отрезке.
Теорема 2. (О наибольшем и наименьшем значении непрерывной на отрезке функции).
Если , то существуют такие точки, что
.
Теорема 3. Если
,
причем,
то, каково бы ни было число,
найдется хотя бы одна такая точка
,
в которой буде выполняться соотношение
.
и ,то для любого значенияС, заключенного между А и В, существует такая точка х0[a, b], что (х0) = С.
Все три теоремы принимаются без доказательства.
2. Дифференциальное исчисление
2.1. Производная и дифференциал числовой функции одной переменной.
Рассмотрим функцию
одной переменной 
.
Выберем в области определения произвольную
точку
и зафиксируем ее. Дадим этой точке
приращение
и образуем новую точку –
.
Вычислим приращение функции
(2.1.1)
Составим отношение
приращений функции к приращению аргумента 
.
Если существует предел этого отношения
при
,
то этот предел называетсяпроизводной числовой функции одной переменной и
обозначается
(2.1.2)
Применим к соотношению (2.1.2) теорему о связи величины, имеющей конечный предел с бесконечно малой величиной (Теорема 1, раздел 1.8)
(2.1.3)
Умножим равенство
(2.1.3) на 
. (2.1.4)
В правой части
формулы (2.1.4) два слагаемых. Первое
является линейным относительно 
и более крупным – это главная часть
БМВ. Второе – нелинейно и является БМВ
более высокого порядка малости, чем
первое. Формулу (2.1.4) можно переписать
в виде
(2.1.5)
Главная и линейная часть формулы (2.1.5) обозначается
, (2.1.6)
и называется дифференциалом числовой функции одной переменной.
Применим формулу
(2.1.6) для функции 
.
Таким образом, для независимой переменной получаем
.
Формула (2.1.6) принимает симметричный вид
, (2.1.7)
и мы получаем еще одно широко используемое обозначение производной
. (2.1.8)
Иногда используют формулу
.
Сформулируем без доказательства две теоремы о дифференцируемости числовых функций одной переменной.
Теорема 1. Для дифференцируемости числовой функции одной переменной необходимо и достаточно, чтобы для этой функции существовала конечная производная.
Теорема 2. Всякая дифференцируемая в некоторой точке числовая функция одной переменной непрерывна в этой точке.
2.2. Геометрический смысл производной и дифференциала числовой функции одной переменной.
Выясним, что означает производная и дифференциал функции одной переменной с точки зрения геометрии.
Из прямоугольных
треугольников 
и
находим
.
Здесь 
– угол
наклона секущей линии. Если
то
и секущая линия будет стремиться занять
положение касательной линии
.
Тогда,
. (2.2.1)
Таким образом, геометрический смысл производной функции одной переменой состоит в том, что она равна тангенсу угла наклона касательной линии к графику функции в заданной точке.
Из прямоугольного
треугольника 
находим
. (2.2.2)
Таким образом, геометрический смысл дифференциала функции одной переменной состоит в том, что он равен приращению ординаты касательной линии к графику функции в заданной точке.
Из курса физики
известен физический смысл производной
функции. Если 
есть функция пути по времени, то
производная этой функцииесть скорость движения рассматриваемого
объекта.
studfiles.net
ответы на вопросы 1-7
1)Производная функции одной переменной и ее геометрический смысл.
Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Итак, по определению
Производная функции есть некоторая функция , произведенная изданной функции.
Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке, абсцисса которой равна . В этом заключается геометрический смысл производной.
Если точка касания М имеет координаты , угловой коэффициент касательной есть . Пользуясь уравнением прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении можно записать уравнение касательной .
Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой. Уравнение нормали имеет вид .
2)Дифференцируемость функции одной переменной, схема вычисления производной. Производная сложной функции.
Функция , имеющая производную в каждой точке интервала ,называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.
Вычисление производной функции производится по следующей схеме :
1)Находим приращение функции на отрезке , ;
2)Делим приращение функции на приращение аргумента : ;
3)Находим предел , устремляя к нулю.
.
Производная сложной функции.
Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в соответствующей точке , то сложная функция имеет производную в точке , которая находится по формуле .
3)Основные правила дифференцирования функции одной переменной.
Пусть функции — две дифференцируемые в некотором интервале функции.
1)Производная суммы (разности) двух функций равна сумме(разности) производных этих функций:
2)Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго:
3)Производная частного двух функций ,если равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя:
.
4)Производная функции, заданной параметрически.
Пусть зависимость между аргументом и функцией задана параметрически в виде двух уравнений ,где — вспомогательная переменная ,называется параметром.
Найдем производную ,считая , что функции имеют производные и что функция имеет обратную . По правилу дифференцирования обратной функции .
Функцию , определяемую параметрическими уравнениями, можно рассматривать как сложную функцию , где .
По правилу дифференцирования сложной функции имеем: .
Из всего этого получаем
5)Производная функции, заданной неявно.
Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения ,не разрешенного относительно .
Если неявная функция задана уравнением , то для нахождения производной от по нет необходимости разрешать уравнение относительно : достаточно продифференцировать это уравнение по ,рассматривая при этом как функцию , и полученное затем уравнение разрешить относительно .
6)Логарифмическое дифференцирование.
В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать. А затем результат продифференцировать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.
1)Логарифмируем обе части равенства с помощью натурального логарифма.
2)Используем свойства логарифма .
3)Дифференцируем обе части равенства по , с учетом что -сложная функция.
4)Выражаем ;
5).
7)Теоремы Ролля и Лагранжа. Геометрическая интерпретация этих теорем.
Теорема Ролля: Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и на концах отрезка принимает одинаковые значения , то найдется хотя бы одна точка , в которой производная обращается в нуль, т.е. .
Геометрически теорема Ролля означает, что на графике функции найдется точка, в которой касательная к графику параллельна оси .
Теорема Лагранжа : Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , то найдется хотя бы одна точка такая, что выполняется равенство
.
Геометрический смысл теоремы Лагранжа таков: на графике функции найдется точка , в которой касательная к графику функции параллельна секущей .
studfiles.net
Дифференциальное исчисление функций одной переменной
§1. Производная
Пусть функция f определена в V(x0).
Придадим точке х0 произвольное приращение 
так, чтобыx0+
x
V(x0).
Тогда функция f(x)
получит приращение
.
Рассмотрим
—
функцию, определённую в
.
Определение 1. Производной функции f в точке х0называется предел при отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, если этот предел существует.
Обозначается 
,
,
,
,
.
Таким образом, по определению 1 . (1)
Обозначения 
ввёл Лейбниц (1646-1716), а
,
-Лагранж
(1736-1813).
Производная функции в точке – число.
Пусть
,,х
V(x0).
Тогда (1) равносильно
. (2)
Если 
,
то говорят, что в точкех0 существует бесконечная производная,
равная 
.
Обозначается().
Определение 2. Правой (левой) производной функции в точке х0 называют правый (левый) предел отношения 
при,
если этот предел существует.
, .
Правая и левая производные называются односторонними производными в точке х0.
Справедливо
следующее утверждение:
функция f имеет в точке х0 производную тогда и только тогда, когда 
и
существуют и равны. Тогда.
Пусть f имеет производную 
в каждой точке
.
Поставим в соответствие точкех производную функции в этой точке:
,
.
Это соответствие определяет функцию
аргументах,
определённую на 
.
Она называетсяпроизводной
функцией от
функции f.
Значение 
в
точкех является производной функции в точке х (может быть
числом,
).
Примеры.
1) y=f(x)=c 
..
Выберем 
,
придадим значениюх приращение 
.
Тогда
.
.
Производная
постоянной функции тождественно равна
нулю: 
.
2) y=f(x)=x, 
.
Выберем 
,
придадим значениюх приращение 
.
Тогда
.
.
3) y=f(x)=|x| 
.
Пусть х<0, .
Пусть х>0, .
Пусть х=0, ,
.
Т.к.
,то
не существует.
§2. Дифференцируемость и дифференциал функции
1. Дифференцируемость функции
Пусть y=f(x)
определена в некоторой окрестности
точки х0V(х0).
Возьмём 
:,.
Определение 1. Функция f(x)
называется дифференцируемой
в точке х0,
если её приращение 
в этой точке, соответствующее приращению
аргумента
,
может быть представлено в виде
, (1)
где 
—
некоторое число, не зависящее от
,
—
функция от 
,
бесконечно малая при,
т.е..
Замечание 1. В (1) мы предполагали, что 
.
Значит, в точке
функция
,
вообще говоря, не определена. Будем
считать, что.
В таком случае
непрерывна в точке
,
и равенство (1) справедливо и при
.
Замечание 2. Так как при , то. Тогда (1) можно записать в виде:
. (2)
Пример. Доказать, что функция дифференцируема в точкех=1.
Придадим х=1
приращение 
,
получим.
Тогда
.
Здесь А=-1, . Значит,f(x) дифференцируема в точке х=1.
Теорема
1 (необходимое
и достаточное условие дифференцируемости).
Для того, чтобы функция f(x)
была дифференцируема в точке х0 необходимо и достаточно, чтобы она
в этой точке имела производную 
,
при этом.
Доказательство.
1) Необходимость.
Пусть f(x)
дифференцируема в точке х0, т. е.
,
где.
Пусть
.
Тогда
.
Так как существует 
правой части:,
то существует и
левой части:
,
и эти пределы равны:.
2) Достаточность.
Пусть существует 
,
то есть существует.
Тогда по необходимому и достаточному
условию существования предела функции
в точке,
где 
— бесконечно малая при.
Следовательно, по определению (1)f(x)
дифференцируема в точке х0.
Из этой теоремы следует определение 2, эквивалентное определению 1.
Определение 2. Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х0, если она в этой точке имеет конечную производную.
Операция нахождения производной функции f(x) в точке или на множестве называется дифференцированием функции f(x).
Теорема 2 (непрерывность дифференцируемой функции). Если функция f(x) дифференцируема в точке х0, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство.
Так как f(x)
дифференцируема в точке х0,
то
.
Значит,
по определению функция непрерывна в
точке х0.
Следствие. Если функция f(x)имеет в точке х0 производную, то она непрерывна в этой точке.
Замечание. Предположение, обратное т. 2, неверно. Функция, непрерывная в точке х0, может не быть не дифференцируемой в этой точке.
Пример. y=f(x)=|x| — непрерывна в точке х0=0, но не дифференцируема в ней.
studfiles.net
Тема 4.7. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная и дифференциал.
Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную в некоторой окрестности точки x. Из этого следует, что в этой точке бесконечно малому приращению аргумента x соответствует бесконечно малое приращение функцииf.
О. Производной функции y=f(x) по аргументу х называется конечный предел отношения приращения функции f =f(x+x) – f(x). к приращению аргумента x , при стремлении x к 0:
Пусть x стремится к нулю. При этом точка N будет двигаться вдоль кривой y = f(x), приближаясь к точке M, а секущая MN будет приближаться к касательной к графику функции, при этом её угол наклона будет стремиться к углу наклона касательной к кривой в точке x. Таким образом, геометрический смысл производной заключается в том, что производная функции f(x) в точке x равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.
Физический смысл производной: производная есть скорость изменения функции в точке х.
Нахождение производной функции y = f(x) называется дифференцированием.
Производная функции f(x) не существует в тех точках, в которых функция не является непрерывной. В то же время функция может быть непрерывной в точке x0, но не иметь в этой точке производной.
Так функция y = x не имеет производной в точке x = 0, хотя является непрерывной в этой точке.
Таблица производных основных элементарных функций.
Таблица производных.
1. (xn)’=nxn-1 2. (ax)’=axlna 3. (ex)’=ex
4.
(logax)’=
5.
(lnx)’=
6.
(sinx)’=cosx
7.
(cosx)’=-sinx 8. (tgx)’=
9.(ctgx)’=-
10.
(arcsinx)’=
11.
(arccosx)’=-
12.
(arctgx)’=
13.
(arcctgx)’=-
14.(х)
‘=1
Свойства операции дифференцирования.
1. (с)’=0, c-const 2. (f(x)+g(x)-r(x))’=f ‘(x)+g ‘(x)-r ‘(x)
3. (f(x)g(x))’=f ‘(x)g(x)+g ‘(x)f(x), 4. (cf(x))’=c(f ‘(x))
5. .
Пример. Найти производную функции y=x3.
Воспользуемся первой формулой в таблице, где n=3, и получим
y=3x3-1=3x2.
Пример. Найти производную функции y=
y=
Для того чтобы воспользоваться формулой преобразуем функцию к табличному виду:
. Тогда ;;
Пример. Найти производную функции y=sinx+ex.
Применим правила дифференцирования к сумме двух табличных функций:
у =(sinx)+(ex)=cosx+ex.
Пример.y=5x-x5
y=5xlnx-5x4
Пример. Найти производную функции y=lnxtgx.
По правилу дифференцирования произведения функции получим:
у
=(
lnx)tgx+
lnx(tgx)= 
Пример. Найти производную функции y=
.
Теорема о производной сложной функции.
Пусть функция g(x) имеет производную в точке x, а функция f(z) имеет производную в точке z = g(x). Тогда сложная функция F(x) = f(g(x)) имеет в точке x производную F (x) = f (z) g (x).
Приведем примеры вычисления производной сложной функции.
Пример. Найти производную функции y=(3x5+2)6.
Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Обозначим 3x5+2=t, тогда у=t6. Получаем
у =(t6)t(3x5+2)x=6t5(35x4+0)=6(3x5+2)515x4=90x4(3x5+2)5.
Пример. Найти производную функции y=sin5x.
Рассуждая аналогично предыдущему примеру, обозначим sinx=t. Тогда получим степенную функцию y=t4. Берем производную сначала от степени функции, затем от основной функции:
у =5t4(sinx)= 5t4cosx=5sin4xcosx.
В дальнейшем для упрощения решения примеров, особые обозначения промежуточных результатов будем опускать.
Пример. Найти производную функции y=cosx4.
у =-sinx44x3=-4x3 sinx4.
Пример. Найти производную функции y=arcsin
.
Нужно
обратить внимание на то, что в производной
функции y=arcsinx
в качестве аргумента используется 
.
Поэтому производная имеет выше указанный
вид. Типичной ошибкой студентов является
следующий вид решения:
Пример. Найти производную функции y=ln3tg(e—x).
studfiles.net
Производная функции одной переменной
(определение, геометрический смысл)
Рассмотрим функцию , определенную в точке x и в некоторой окрестности этой точки.
Определение 1. Производной функции в точке x называется предел отношения приращения функции в точке x к приращению аргумента при условии стремления приращения аргумента к нулю, если такой предел существует:
(1)
Для обозначения производной используют символы:
Определение 2. Односторонние пределы называются соответственно левой производной и правой производной функции в точке x (если эти пределы существуют). Их обозначают . Для существования производной функции в точке x необходимо, чтобы ее правая и левая производные в этой точке существовали и были равны:
Примеры с решениями
Пример 1. Найти для функции пользуясь определением производной.
Решение. Пусть – приращение аргумента. Найдем соответствующие ему приращение функции в точке x = 2:
Воспользуемся определением производной:
Ответ:
Пример 2. Найти для функции в точке х = 0.
Решение. Пусть – приращение аргумента. Найдем соответствующее ему приращение функции в точке x = 0:
Воспользуемся определением:
Ответ: .
Заметим, что функция не имеет производной в точке x=0, так как
С геометрической точки зрения значение производной функции в точке x0 представляет собой угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке M0 (x0; f(x0)), т.е. , где – угол наклона касательной к оси Оx.
Уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой x0 , имеет вид:
. (2)
Уравнение нормали к графику той же функции в точке с абсциссой x0:
(3)
если .
Если в точке x0 функция имеет бесконечную производную, т.е. или или , то касательная к графику этой функции в точке с абсциссой x0 перпендикулярна оси
Уравнение касательной в этих случаях имеет вид: x = x0, а уравнение нормали – . Если же , то уравнение нормали: x = x0.
Углом между кривыми и называется угол между касательными, проведёнными к этим кривым в точке их пересечения
(4)
если .
Если же , то касательные перпендикулярны и .
Пример 3.Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке с абсциссой x0 = 2.
Решение. Воспользуемся уравнениями касательной (2) и нормали (3).
В эти уравнения надо поставить x0 = 2; и найденное в примере 1 значение . Получим уравнение касательной: и уравнение нормали:
Ответ: – уравнение касательной;
– уравнение нормали.
Пример 4. Пользуясь определением, найти значение производной функции в точках
Решение. Выведем формулу производной функции в любой точке , пользуясь определением. Зададим аргументу приращение и найдем соответствующее ему приращение функции:
Итак, . Вычислим значения производной в указанных точках:
Ответ:
Если при прямолинейном движении точки задан закон движения то скорость движения v в момент времени t0 есть производная по времени: , а ускорение а в момент времени t0 определяется производной скорости движения по времени:
Примеры для самостоятельного решения
3.1. Вычислить приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента .
3.2. Вычислить приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента
3.3. Найти приращение функции в точке для любого приращения аргумента
3.4. Найти приращение функции в точке x = 2 для любого приращения аргумента
3.5. Пользуясь определением производной, вычислить для функции .
3.6. Пользуясь определением производной, вычислить для функции .
3.7. Пользуясь определением производной, вывести формулу производной функции в любой точке, и найти значения этой производной в точках:
3.8. Пользуясь определением производной, вывести формулу производной функции в любой точке, и найти значения этой
производной в точках:
3.9. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке M(2;2), составить уравнения касательной и нормали к этой кривой в точке M, сделать чертеж.
3.10. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке с абсциссой x0 = 2 . Сделать чертеж.
3.11. На графике функции найти точку, касательная к которой параллельна биссектрисе первого координатного угла. Составить уравнение этой касательной. Сделать чертеж.
3.12. На графике функции найти точку, касательная к которой перпендикулярна прямой . Составить уравнение этой касательной. Сделать чертеж.
3.13. Составить уравнения касательных к графику функции , приходящих через точку A(2;2). Сделать чертеж.
3.14. Закон движения точки: где S – расстояние в метрах, t – время в секундах. Найти скорость этой точки в момент времени t = 4.
Ответы
3.1. ; 3.2. ;3.3. ; 3.4. ;
3.5. – 4; 3.6. – 4; 3.7.
3.8.
3.9. – уравнение касательной; – уравнение нормали; 3.10. – уравнение касательной; – уравнение нормали; 3.11. – точка касания; – уравнение касательной; 3.12. – точка касания; – уравнение касательной; 3.13. ;3.14. .
infopedia.su