Sin 4a cos 4a – sin^4 a – cos^4 a = – cos 2a

sin^4 a – cos^4 a = – cos 2a

Задание.
Доказать тождество:
sin^4 a — cos^4 a = — cos 2a.

Доказательство.
При доказательстве тождеств принято преобразовывать одну из его частей к такому виду, какой имеет вторая часть. Мы будем преобразовывать левую часть к виду правой части. Если в результате получим одинаковые выражения в обеих частях, значит тождество доказано.
Запишем тождество:

   

В левой части равенства находится разность четвертых степеней двух функций от одного аргумента. Распишем это выражение как разность квадратов:

   

Теперь применим к этой разности формулу сокращенного умножения и распишем по ней:

   

Во втором множителе видим сумму квадратов функций синус и косинус, которая по основному тригонометрическому тождеству равна единице. Запишем:

   

   

Далее рассмотрим оставшуюся в левой части равенства разность квадратов. Снова обратимся к тригонометрическим формулам, среди которых обратим внимание на формулу косинуса двойного угла:

   

Выразим из этой формулы нужную нам разность квадратов синуса и косинуса и получим:

   

Подставим полученное выражение в рассматриваемое равенство:

   

Тождество доказано.

ru.solverbook.com

Ответы@Mail.Ru: Как разложить: sin^4(a)+cos^4(a) и sin^6(a)+cos^6(a) ?

Всё правильно — по сумме кубов. Надо только учесть, что sin^6(a) и cos^6(a) — это кубы. Будет sin^6(a) + cos^6(a) = (sin^2(a) + cos^2(a)) (sin^4(a) — sin^2(a)cos^2(a) + cos^4(a))ю Первыя скобка — это 1 (основное тригонометрическое тождество) . Остаётся sin^4(a) + cos^4(a) — sin^2(a)cos^2(a) Теперь разложим sin^4(a) + cos^4(a). Для этого прибавим и отнимем 2sin^2(a)cos^2(a), чтобы был полный квадрат sin^4(a) + cos^4(a) = sin^4(a) + 2sin^2(a)cos^2(a) + cos^4(a) — 2sin^2(a)cos^2(a) = (sin^2(a) + cos^2(a)^2 — 2sin^2(a)cos^2(a). То, что под первой скобкой — это всё таже единица, в квадрате она даст единицу, значит будет 1 — 2sin^2(a)cos^2(a) Осталось разложить sin^6(a) + cos^6(a) = sin^4(a) + cos^4(a) — sin^2(a)cos^2(a). Здесь sin^4(a) + cos^4(a) это 1 — 2sin^2(a)cos^2(a), значит будет 1 — 2sin^2(a)cos^2(a) — sin^2(a)cos^2(a) = 1 — 3sin^2(a)cos^2(a) Можно ещё 3sin^2(a)cos^2(a) представить в виде (3/4) * 4sin^2(a)cos^2(a) = (3/4)*(2sin(a)cos(a))^2 = (3/4)*sin^2(2a) и окончательно sin^6(a) + cos^6(a) = 1 — (3/4)*sin^2(2a) Так же и sin^4(a) + cos^4(a) = 1 — (1/2)*sin^2(2a)

sin^4(a) + cos^4(a) = 0.25(1 — cos(2a))^2 + 0.25(1 + cos(2a))^2 = 0.25 — 0.5cos(2a) + 0.25cos^2(2a) + 0.25 + 0.5cos(2a) + 0.25cos^2(2a) = 0.5 + 0.5cos^2(2a) = 0.5(1 + 0.5 + 0.5cos(4a)) = 0.75 + 0.25cos(4a) — так можно представить

Ответ. (sin(a))^4+(cos(a))^4+2*(sin(a)*cos(a))^2-2*(sin(a)*cos(a))^2 =((sin(a))^2+(cos(a))^2)^2-2*(sin(a)*cos(a))^2=1-0,5*(sin(2*a))^2; (sin(a))^6+(cos(a))^6=((sin(a))^2+(cos(a))^2)*((sin(a))^4+(cos(a))^4-(sin(a)*cos(a))^2)=((sin(a))^4+(cos(a))^4-3*(sin(a)*cos(a))^2+2*(sin(a)*cos(a))^2=((sin(a))^2+(cos(a))^2)^2-3*(sin(a)*cos(a))^2=1-0,75*(sin(2*a))^2;

touch.otvet.mail.ru

Mathway | Популярные задачи

1 Найти точное значение sin(30)
2 Найти точное значение sin(45)
3 Найти точное значение sin(60)
4 Найти точное значение sin(30 град. )
5 Найти точное значение sin(60 град. )
6 Найти точное значение tan(30 град. )
7 Найти точное значение arcsin(-1)
8 Найти точное значение sin(pi/6)
9 Найти точное значение cos(pi/4)
10 Найти точное значение sin(45 град. )
11 Найти точное значение sin(pi/3)
12 Найти точное значение arctan(-1)
13 Найти точное значение cos(45 град. )
14 Найти точное значение cos(30 град. )
15 Найти точное значение tan(60)
16 Найти точное значение csc(45 град. )
17 Найти точное значение tan(60 град. )
18 Найти точное значение sec(30 град. )
19 Преобразовать из радианов в градусы
(3pi)/4
20 График y=sin(x)
21 Преобразовать из радианов в градусы pi/6
22 Найти точное значение cos(60 град. )
23 Найти точное значение cos(150)
24 Найти точное значение tan(45)
25 Найти точное значение sin(30)
26 Найти точное значение sin(60)
27 Найти точное значение cos(pi/2)
28 Найти точное значение tan(45 град. )
29 График y=sin(x)
30 Найти точное значение arctan(- квадратный корень 3)
31 Найти точное значение csc(60 град. )
32 Найти точное значение sec(45 град. )
33 Найти точное значение csc(30 град. )
34 Найти точное значение sin(0)
35 Найти точное значение sin(120)
36 Найти точное значение cos(90)
37 Преобразовать из радианов в градусы pi/3
38 Найти точное значение sin(45)
39 Найти точное значение tan(30)
40 Преобразовать из градусов в радианы 45
41 Найти точное значение tan(60)
42 Упростить квадратный корень x^2
43 Найти точное значение cos(45)
44 Упростить sin(theta)^2+cos(theta)^2
45 Преобразовать из радианов в градусы pi/6
46 Найти точное значение cot(30 град. )
47 Найти точное значение arccos(-1)
48 Найти точное значение arctan(0)
49 График y=cos(x)
50 Найти точное значение cot(60 град. )
51 Преобразовать из градусов в радианы 30
52 Упростить ( квадратный корень x+ квадратный корень 2)^2
53 Преобразовать из радианов в градусы (2pi)/3
54 Найти точное значение sin((5pi)/3)
55 Упростить 1/( кубический корень от x^4)
56 Найти точное значение sin((3pi)/4)
57 Найти точное значение tan(pi/2)
58 Найти угол А tri{}{90}{}{}{}{}
59 Найти точное значение sin(300)
60 Найти точное значение cos(30)
61 Найти точное значение cos(60)
62 Найти точное значение cos(0)
63 Найти точное значение arctan( квадратный корень 3)
64 Найти точное значение cos(135)
65 Найти точное значение cos((5pi)/3)
66 Найти точное значение cos(210)
67 Найти точное значение sec(60 град. )
68 Найти точное значение sin(300 град. )
69 Преобразовать из градусов в радианы 135
70 Преобразовать из градусов в радианы 150
71 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/6
72 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/3
73 Преобразовать из градусов в радианы 89 град.
74 Преобразовать из градусов в радианы 60
75 Найти точное значение sin(135 град. )
76 Найти точное значение sin(150)
77 Найти точное значение sin(240 град. )
78 Найти точное значение cot(45 град. )
79 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/4
80 Упростить 1/( кубический корень от x^8)
81 Найти точное значение sin(225)
82 Найти точное значение sin(240)
83 Найти точное значение cos(150 град. )
84 Найти точное значение tan(45)
85 Вычислить sin(30 град. )
86 Найти точное значение sec(0)
87 Упростить arcsin(-( квадратный корень 2)/2)
88 Найти точное значение cos((5pi)/6)
89 Найти точное значение csc(30)
90 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень 2)/2)
91 Найти точное значение tan((5pi)/3)
92 Найти точное значение tan(0)
93 Вычислить sin(60 град. )
94 Найти точное значение arctan(-( квадратный корень 3)/3)
95 Преобразовать из радианов в градусы (3pi)/4
96 Вычислить arcsin(-1)
97 Найти точное значение sin((7pi)/4)
98 Найти точное значение arcsin(-1/2)
99 Найти точное значение sin((4pi)/3)
100 Найти точное значение csc(45)

www.mathway.com

Mathway | Популярные задачи

1 Найти точное значение sin(30)
2 Найти точное значение sin(45)
3 Найти точное значение sin(60)
4 Найти точное значение sin(30 град. )
5 Найти точное значение sin(60 град. )
6 Найти точное значение tan(30 град. )
7 Найти точное значение arcsin(-1)
8 Найти точное значение sin(pi/6)
9 Найти точное значение cos(pi/4)
10 Найти точное значение sin(45 град. )
11 Найти точное значение sin(pi/3)
12 Найти точное значение arctan(-1)
13 Найти точное значение cos(45 град. )
14 Найти точное значение cos(30 град. )
15 Найти точное значение tan(60)
16 Найти точное значение csc(45 град. )
17 Найти точное значение tan(60 град. )
18 Найти точное значение sec(30 град. )
19 Преобразовать из радианов в градусы (3pi)/4
20 График y=sin(x)
21 Преобразовать из радианов в градусы pi/6
22 Найти точное значение cos(60 град. )
23 Найти точное значение cos(150)
24 Найти точное значение tan(45)
25 Найти точное значение sin(30)
26 Найти точное значение sin(60)
27 Найти точное значение cos(pi/2)
28 Найти точное значение tan(45 град. )
29 График y=sin(x)
30 Найти точное значение arctan(- квадратный корень 3)
31 Найти точное значение csc(60 град. )
32 Найти точное значение sec(45 град. )
33 Найти точное значение csc(30 град. )
34 Найти точное значение sin(0)
35 Найти точное значение
sin(120)
36 Найти точное значение cos(90)
37 Преобразовать из радианов в градусы pi/3
38 Найти точное значение sin(45)
39 Найти точное значение tan(30)
40 Преобразовать из градусов в радианы 45
41 Найти точное значение tan(60)
42 Упростить квадратный корень x^2
43 Найти точное значение cos(45)
44 Упростить sin(theta)^2+cos(theta)^2
45 Преобразовать из радианов в градусы pi/6
46 Найти точное значение cot(30 град. )
47 Найти точное значение arccos(-1)
48 Найти точное значение arctan(0)
49 График y=cos(x)
50 Найти точное значение cot(60 град. )
51 Преобразовать из градусов в радианы 30
52 Упростить ( квадратный корень x+ квадратный корень 2)^2
53 Преобразовать из радианов в градусы (2pi)/3
54 Найти точное значение sin((5pi)/3)
55 Упростить 1/( кубический корень от x^4)
56 Найти точное значение sin((3pi)/4)
57 Найти точное значение tan(pi/2)
58 Найти угол А tri{}{90}{}{}{}{}
59 Найти точное значение sin(300)
60 Найти точное значение cos(30)
61 Найти точное значение cos(60)
62 Найти точное значение cos(0)
63 Найти точное значение arctan( квадратный корень 3)
64 Найти точное значение cos(135)
65 Найти точное значение cos((5pi)/3)
66 Найти точное значение cos(210)
67 Найти точное значение sec(60 град. )
68 Найти точное значение sin(300 град. )
69 Преобразовать из градусов в радианы 135
70 Преобразовать из градусов в радианы 150
71 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/6
72 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/3
73 Преобразовать из градусов в радианы 89 град.
74 Преобразовать из градусов в радианы 60
75 Найти точное значение sin(135 град. )
76 Найти точное значение sin(150)
77 Найти точное значение sin(240 град. )
78 Найти точное значение cot(45 град. )
79 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/4
80 Упростить 1/( кубический корень от x^8)
81 Найти точное значение sin(225)
82 Найти точное значение sin(240)
83 Найти точное значение cos(150 град. )
84 Найти точное значение tan(45)
85 Вычислить sin(30 град. )
86 Найти точное значение sec(0)
87 Упростить arcsin(-( квадратный корень 2)/2)
88 Найти точное значение cos((5pi)/6)
89 Найти точное значение csc(30)
90 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень 2)/2)
91 Найти точное значение tan((5pi)/3)
92 Найти точное значение tan(0)
93 Вычислить sin(60 град. )
94 Найти точное значение arctan(-( квадратный корень 3)/3)
95 Преобразовать из радианов в градусы (3pi)/4
96 Вычислить arcsin(-1)
97 Найти точное значение sin((7pi)/4)
98 Найти точное значение arcsin(-1/2)
99 Найти точное значение sin((4pi)/3)
100 Найти точное значение csc(45)

www.mathway.com

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.