sin^4 a – cos^4 a = – cos 2a
Задание.
Доказать тождество:
sin^4 a — cos^4 a = — cos 2a.
Доказательство.
При доказательстве тождеств принято преобразовывать одну из его частей к такому виду, какой имеет вторая часть. Мы будем преобразовывать левую часть к виду правой части. Если в результате получим одинаковые выражения в обеих частях, значит тождество доказано.
Запишем тождество:
В левой части равенства находится разность четвертых степеней двух функций от одного аргумента. Распишем это выражение как разность квадратов:
Теперь применим к этой разности формулу сокращенного умножения и распишем по ней:
Во втором множителе видим сумму квадратов функций синус и косинус, которая по основному тригонометрическому тождеству равна единице. Запишем:
Далее рассмотрим оставшуюся в левой части равенства разность квадратов. Снова обратимся к тригонометрическим формулам, среди которых обратим внимание на формулу косинуса двойного угла:
Выразим из этой формулы нужную нам разность квадратов синуса и косинуса и получим:
Подставим полученное выражение в рассматриваемое равенство:
Тождество доказано.
ru.solverbook.com
Ответы@Mail.Ru: Как разложить: sin^4(a)+cos^4(a) и sin^6(a)+cos^6(a) ?
Всё правильно — по сумме кубов. Надо только учесть, что sin^6(a) и cos^6(a) — это кубы. Будет sin^6(a) + cos^6(a) = (sin^2(a) + cos^2(a)) (sin^4(a) — sin^2(a)cos^2(a) + cos^4(a))ю Первыя скобка — это 1 (основное тригонометрическое тождество) . Остаётся sin^4(a) + cos^4(a) — sin^2(a)cos^2(a) Теперь разложим sin^4(a) + cos^4(a). Для этого прибавим и отнимем 2sin^2(a)cos^2(a), чтобы был полный квадрат sin^4(a) + cos^4(a) = sin^4(a) + 2sin^2(a)cos^2(a) + cos^4(a) — 2sin^2(a)cos^2(a) = (sin^2(a) + cos^2(a)^2 — 2sin^2(a)cos^2(a). То, что под первой скобкой — это всё таже единица, в квадрате она даст единицу, значит будет 1 — 2sin^2(a)cos^2(a) Осталось разложить sin^6(a) + cos^6(a) = sin^4(a) + cos^4(a) — sin^2(a)cos^2(a). Здесь sin^4(a) + cos^4(a) это 1 — 2sin^2(a)cos^2(a), значит будет 1 — 2sin^2(a)cos^2(a) — sin^2(a)cos^2(a) = 1 — 3sin^2(a)cos^2(a) Можно ещё 3sin^2(a)cos^2(a) представить в виде (3/4) * 4sin^2(a)cos^2(a) = (3/4)*(2sin(a)cos(a))^2 = (3/4)*sin^2(2a) и окончательно sin^6(a) + cos^6(a) = 1 — (3/4)*sin^2(2a) Так же и sin^4(a) + cos^4(a) = 1 — (1/2)*sin^2(2a)
sin^4(a) + cos^4(a) = 0.25(1 — cos(2a))^2 + 0.25(1 + cos(2a))^2 = 0.25 — 0.5cos(2a) + 0.25cos^2(2a) + 0.25 + 0.5cos(2a) + 0.25cos^2(2a) = 0.5 + 0.5cos^2(2a) = 0.5(1 + 0.5 + 0.5cos(4a)) = 0.75 + 0.25cos(4a) — так можно представить
Ответ. (sin(a))^4+(cos(a))^4+2*(sin(a)*cos(a))^2-2*(sin(a)*cos(a))^2 =((sin(a))^2+(cos(a))^2)^2-2*(sin(a)*cos(a))^2=1-0,5*(sin(2*a))^2; (sin(a))^6+(cos(a))^6=((sin(a))^2+(cos(a))^2)*((sin(a))^4+(cos(a))^4-(sin(a)*cos(a))^2)=((sin(a))^4+(cos(a))^4-3*(sin(a)*cos(a))^2+2*(sin(a)*cos(a))^2=((sin(a))^2+(cos(a))^2)^2-3*(sin(a)*cos(a))^2=1-0,75*(sin(2*a))^2;
touch.otvet.mail.ru
1 | Найти точное значение | sin(30) | |
2 | Найти точное значение | sin(45) | |
3 | Найти точное значение | sin(60) | |
4 | Найти точное значение | sin(30 град. ) | |
5 | Найти точное значение | sin(60 град. ) | |
6 | Найти точное значение | tan(30 град. ) | |
7 | Найти точное значение | arcsin(-1) | |
8 | Найти точное значение | sin(pi/6) | |
9 | Найти точное значение | cos(pi/4) | |
10 | Найти точное значение | sin(45 град. ) | |
11 | Найти точное значение | sin(pi/3) | |
12 | Найти точное значение | arctan(-1) | |
13 | Найти точное значение | cos(45 град. ) | |
14 | Найти точное значение | cos(30 град. ) | |
15 | Найти точное значение | tan(60) | |
16 | Найти точное значение | csc(45 град. ) | |
17 | Найти точное значение | tan(60 град. ) | |
18 | Найти точное значение | sec(30 град. ) | |
19 | Преобразовать из радианов в градусы | ||
20 | График | y=sin(x) | |
21 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/6 | |
22 | Найти точное значение | cos(60 град. ) | |
23 | Найти точное значение | cos(150) | |
24 | Найти точное значение | tan(45) | |
25 | Найти точное значение | sin(30) | |
26 | Найти точное значение | sin(60) | |
27 | Найти точное значение | cos(pi/2) | |
28 | Найти точное значение | tan(45 град. ) | |
29 | График | y=sin(x) | |
30 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень 3) | |
31 | Найти точное значение | csc(60 град. ) | |
32 | Найти точное значение | sec(45 град. ) | |
33 | Найти точное значение | csc(30 град. ) | |
34 | Найти точное значение | sin(0) | |
35 | Найти точное значение | sin(120) | |
36 | Найти точное значение | cos(90) | |
37 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/3 | |
38 | Найти точное значение | sin(45) | |
39 | Найти точное значение | tan(30) | |
40 | Преобразовать из градусов в радианы | 45 | |
41 | Найти точное значение | tan(60) | |
42 | Упростить | квадратный корень x^2 | |
43 | Найти точное значение | cos(45) | |
44 | Упростить | sin(theta)^2+cos(theta)^2 | |
45 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/6 | |
46 | Найти точное значение | cot(30 град. ) | |
47 | Найти точное значение | arccos(-1) | |
48 | Найти точное значение | arctan(0) | |
49 | График | y=cos(x) | |
50 | Найти точное значение | cot(60 град. ) | |
51 | Преобразовать из градусов в радианы | 30 | |
52 | Упростить | ( квадратный корень x+ квадратный корень 2)^2 | |
53 | Преобразовать из радианов в градусы | (2pi)/3 | |
54 | Найти точное значение | sin((5pi)/3) | |
55 | Упростить | 1/( кубический корень от x^4) | |
56 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
57 | Найти точное значение | tan(pi/2) | |
58 | Найти угол А | tri{}{90}{}{}{}{} | |
59 | Найти точное значение | sin(300) | |
60 | Найти точное значение | cos(30) | |
61 | Найти точное значение | cos(60) | |
62 | Найти точное значение | cos(0) | |
63 | Найти точное значение | arctan( квадратный корень 3) | |
64 | Найти точное значение | cos(135) | |
65 | Найти точное значение | cos((5pi)/3) | |
66 | Найти точное значение | cos(210) | |
67 | Найти точное значение | sec(60 град. ) | |
68 | Найти точное значение | sin(300 град. ) | |
69 | Преобразовать из градусов в радианы | 135 | |
70 | Преобразовать из градусов в радианы | 150 | |
71 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/6 | |
72 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/3 | |
73 | Преобразовать из градусов в радианы | 89 град. | |
74 | Преобразовать из градусов в радианы | 60 | |
75 | Найти точное значение | sin(135 град. ) | |
76 | Найти точное значение | sin(150) | |
77 | Найти точное значение | sin(240 град. ) | |
78 | Найти точное значение | cot(45 град. ) | |
79 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/4 | |
80 | Упростить | 1/( кубический корень от x^8) | |
81 | Найти точное значение | sin(225) | |
82 | Найти точное значение | sin(240) | |
83 | Найти точное значение | cos(150 град. ) | |
84 | Найти точное значение | tan(45) | |
85 | Вычислить | sin(30 град. ) | |
86 | Найти точное значение | sec(0) | |
87 | Упростить | arcsin(-( квадратный корень 2)/2) | |
88 | Найти точное значение | cos((5pi)/6) | |
89 | Найти точное значение | csc(30) | |
90 | Найти точное значение | arcsin(( квадратный корень 2)/2) | |
91 | Найти точное значение | tan((5pi)/3) | |
92 | Найти точное значение | tan(0) | |
93 | Вычислить | sin(60 град. ) | |
94 | Найти точное значение | arctan(-( квадратный корень 3)/3) | |
95 | Преобразовать из радианов в градусы | (3pi)/4 | |
96 | Вычислить | arcsin(-1) | |
97 | Найти точное значение | sin((7pi)/4) | |
98 | Найти точное значение | arcsin(-1/2) | |
99 | Найти точное значение | sin((4pi)/3) | |
100 | Найти точное значение | csc(45) |
www.mathway.com
1 | Найти точное значение | sin(30) | |
2 | Найти точное значение | sin(45) | |
3 | Найти точное значение | sin(60) | |
4 | Найти точное значение | sin(30 град. ) | |
5 | Найти точное значение | sin(60 град. ) | |
6 | Найти точное значение | tan(30 град. ) | |
7 | Найти точное значение | arcsin(-1) | |
8 | Найти точное значение | sin(pi/6) | |
9 | Найти точное значение | cos(pi/4) | |
10 | Найти точное значение | sin(45 град. ) | |
11 | Найти точное значение | sin(pi/3) | |
12 | Найти точное значение | arctan(-1) | |
13 | Найти точное значение | cos(45 град. ) | |
14 | Найти точное значение | cos(30 град. ) | |
15 | Найти точное значение | tan(60) | |
16 | Найти точное значение | csc(45 град. ) | |
17 | Найти точное значение | tan(60 град. ) | |
18 | Найти точное значение | sec(30 град. ) | |
19 | Преобразовать из радианов в градусы | (3pi)/4 | |
20 | График | y=sin(x) | |
21 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/6 | |
22 | Найти точное значение | cos(60 град. ) | |
23 | Найти точное значение | cos(150) | |
24 | Найти точное значение | tan(45) | |
25 | Найти точное значение | sin(30) | |
26 | Найти точное значение | sin(60) | |
27 | Найти точное значение | cos(pi/2) | |
28 | Найти точное значение | tan(45 град. ) | |
29 | График | y=sin(x) | |
30 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень 3) | |
31 | Найти точное значение | csc(60 град. ) | |
32 | Найти точное значение | sec(45 град. ) | |
33 | Найти точное значение | csc(30 град. ) | |
34 | Найти точное значение | sin(0) | |
35 | Найти точное значение | sin(120) | |
36 | Найти точное значение | cos(90) | |
37 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/3 | |
38 | Найти точное значение | sin(45) | |
39 | Найти точное значение | tan(30) | |
40 | Преобразовать из градусов в радианы | 45 | |
41 | Найти точное значение | tan(60) | |
42 | Упростить | квадратный корень x^2 | |
43 | Найти точное значение | cos(45) | |
44 | Упростить | sin(theta)^2+cos(theta)^2 | |
45 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/6 | |
46 | Найти точное значение | cot(30 град. ) | |
47 | Найти точное значение | arccos(-1) | |
48 | Найти точное значение | arctan(0) | |
49 | График | y=cos(x) | |
50 | Найти точное значение | cot(60 град. ) | |
51 | Преобразовать из градусов в радианы | 30 | |
52 | Упростить | ( квадратный корень x+ квадратный корень 2)^2 | |
53 | Преобразовать из радианов в градусы | (2pi)/3 | |
54 | Найти точное значение | sin((5pi)/3) | |
55 | Упростить | 1/( кубический корень от x^4) | |
56 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
57 | Найти точное значение | tan(pi/2) | |
58 | Найти угол А | tri{}{90}{}{}{}{} | |
59 | Найти точное значение | sin(300) | |
60 | Найти точное значение | cos(30) | |
61 | Найти точное значение | cos(60) | |
62 | Найти точное значение | cos(0) | |
63 | Найти точное значение | arctan( квадратный корень 3) | |
64 | Найти точное значение | cos(135) | |
65 | Найти точное значение | cos((5pi)/3) | |
66 | Найти точное значение | cos(210) | |
67 | Найти точное значение | sec(60 град. ) | |
68 | Найти точное значение | sin(300 град. ) | |
69 | Преобразовать из градусов в радианы | 135 | |
70 | Преобразовать из градусов в радианы | 150 | |
71 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/6 | |
72 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/3 | |
73 | Преобразовать из градусов в радианы | 89 град. | |
74 | Преобразовать из градусов в радианы | 60 | |
75 | Найти точное значение | sin(135 град. ) | |
76 | Найти точное значение | sin(150) | |
77 | Найти точное значение | sin(240 град. ) | |
78 | Найти точное значение | cot(45 град. ) | |
79 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/4 | |
80 | Упростить | 1/( кубический корень от x^8) | |
81 | Найти точное значение | sin(225) | |
82 | Найти точное значение | sin(240) | |
83 | Найти точное значение | cos(150 град. ) | |
84 | Найти точное значение | tan(45) | |
85 | Вычислить | sin(30 град. ) | |
86 | Найти точное значение | sec(0) | |
87 | Упростить | arcsin(-( квадратный корень 2)/2) | |
88 | Найти точное значение | cos((5pi)/6) | |
89 | Найти точное значение | csc(30) | |
90 | Найти точное значение | arcsin(( квадратный корень 2)/2) | |
91 | Найти точное значение | tan((5pi)/3) | |
92 | Найти точное значение | tan(0) | |
93 | Вычислить | sin(60 град. ) | |
94 | Найти точное значение | arctan(-( квадратный корень 3)/3) | |
95 | Преобразовать из радианов в градусы | (3pi)/4 | |
96 | Вычислить | arcsin(-1) | |
97 | Найти точное значение | sin((7pi)/4) | |
98 | Найти точное значение | arcsin(-1/2) | |
99 | Найти точное значение | sin((4pi)/3) | |
100 | Найти точное значение | csc(45) |
www.mathway.com