Тригонометрический круг Википедия
Единичная окружность — окружность с радиусом 1 и центром в начале координат. Понятие единичной окружности обобщается до n{\displaystyle n}-мерного пространства (n>2{\displaystyle n>2}), в таком случае говорят о «единичной сфере».
Для координат всех точек на окружности, согласно теореме Пифагора, выполняется равенство x2+y2=1{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}.
Тригонометрические функции[ | ]
Все тригонометрические функции угла θ могут быть сконструированы геометрически при помощи единичной окружности.С помощью единичной окружности могут быть наглядно описаны тригонометрические функции (в контексте такого описания единичную окружность иногда называют «тригонометрическим кругом», что не слишком удачно, так как рассматривается именно окружность, а не круг).
Синус и косинус могут быть описаны следующим образом: если соединить любую точку (x,y){\displaystyle (x,y)} на единичной окружности с началом координат (0,0){\displaystyle (0,0)}, получается отрезок, находящийся под углом α{\displaystyle \alpha } относительно положительной полуоси абсцисс. Тогда действительно:
- cosα=x{\displaystyle \cos \alpha =x},
- sinα=y{\displaystyle \sin \alpha =y}.
При подстановке этих значений в уравнение окружности x2+y2=1{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1} получается:
- cos2α+sin2α=1{\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha =1}.
(Используется следующая общепринятая нотация: cos2x=(cosx)2{\displaystyle \cos ^{2}x=(\cos x)^{2}}.)
Тут же наглядно описывается периодичность тригонометрических функций, так как соответствующее углу положение отрезка не зависит от количества «полных оборотов»:
- sin(x+2πk)=sin(
ru-wiki.ru
Тригонометрический круг Википедия
Единичная окружность — окружность с радиусом 1 и центром в начале координат. Понятие единичной окружности обобщается до n{\displaystyle n}-мерного пространства (n>2{\displaystyle n>2}), в таком случае говорят о «единичной сфере».
Для координат всех точек на окружности, согласно теореме Пифагора, выполняется равенство x2+y2=1{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}.
Тригонометрические функции
Все тригонометрические функции угла θ могут быть сконструированы геометрически при помощи единичной окружности.С помощью единичной окружности могут быть наглядно описаны тригонометрические функции (в контексте такого описания единичную окружность иногда называют «тригонометрическим кругом», что не слишком удачно, так как рассматривается именно окружность, а не круг).
Синус и косинус могут быть описаны следующим образом: если соединить любую точку (x,y){\displaystyle (x,y)} на единичной окружности с началом координат (0,0){\displaystyle (0,0)}, получается отрезок, находящийся под углом α{\displaystyle \alpha } относительно положительной полуоси абсцисс. Тогда действительно:
- cosα=x{\displaystyle \cos \alpha =x},
- sinα=y{\displaystyle \sin \alpha =y}.
При подстановке этих значений в уравнение окружности x2+y2=1{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1} получается:
- cos2α+sin2α=1{\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha =1}.
(Используется следующая общепринятая нотация: cos2x=(cosx)2{\displaystyle \cos ^{2}x=(\cos x)^{2}}.)
Тут же наглядно описывается периодичность тригонометрических функций, так как соответствующее углу положение отрезка не зависит от количества «полных оборотов»:
- sin(x+2πk)=sin(x){\displaystyle \sin(x+2\pi k)=\sin(x)}
- cos(x+2πk)=cos(x){\displaystyle \cos(x+2\pi k)=\cos(x)}
для всех целых чисел k{\displaystyle k}, то есть для k∈Z{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }.
Комплексная плоскость
В комплексной плоскости единичная окружность — это следующее множество G⊂C{\displaystyle G\subset \mathbb {C} }:
- G={z:Re{z}2+Im{z}2=1}={z:z=eiϕ,0≤ϕ<2π}{\displaystyle G=\{z:\mathrm {Re} \{z\}^{2}+\mathrm {Im} \{z\}^{2}=1\}=\{z:z=e^{i\phi },0\leq \phi <2\pi \}}
Множество G{\displaystyle G} является подгруппой группы комплексных чисел по умножению, её нейтральный элемент — это ei0=1{\displaystyle e^{i0}=1}).
См. также
wikiredia.ru
Тригонометрический круг Вики
Единичная окружность — окружность с радиусом 1 и центром в начале координат. Понятие единичной окружности обобщается до n{\displaystyle n}-мерного пространства (n>2{\displaystyle n>2}), в таком случае говорят о «единичной сфере».
Для координат всех точек на окружности, согласно теореме Пифагора, выполняется равенство x2+y2=1{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}.
Тригонометрические функции[ | код]
Все тригонометрические функции угла θ могут быть сконструированы геометрически при помощи единичной окружности.С помощью единичной окружности могут быть наглядно описаны тригонометрические функции (в контексте такого описания единичную окружность иногда называют «тригонометрическим кругом», что не слишком удачно, так как рассматривается именно окружность, а не круг).
Синус и косинус могут быть описаны следующим образом: если соединить любую точку (x,y){\displaystyle (x,y)} на единичной окружности с началом координат (0,0){\displaystyle (0,0)}, получается отрезок, находящийся под углом α{\displaystyle \alpha } относительно положительной полуоси абсцисс. Тогда действительно:
- cosα=x{\displaystyle \cos \alpha =x},
- sinα=y{\displaystyle \sin \alpha =y}.
При подстановке этих значений в уравнение окружности x2+y2=1{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1} получается:
- cos2α+sin2α=1{\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha =1}.
(Используется следующая общепринятая нотация: cos2x=(cosx)2{\displaystyle \cos ^{2}x=(\cos x)^{2}}.)
Тут же наглядно описывается периодичность тригонометрических функций, так как соответствующее углу положение отрезка не зависит от количества «полных оборотов»:
- sin(x+2πk)=sin(x){\displaystyle \sin(x+2\pi k)=\sin(x)}
- cos(x+2πk)=cos(x){\displaystyle \cos(x+2\pi k)=\cos(x)}
для всех целых чисел k{\displaystyle k}, то есть для k∈Z{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }.
Комплексная плоскость[ | код]
В комплексной плоскости единичная окружность — это следующее множество G⊂C{\displaystyle G\subset \mathbb {C} }:
- G={z:Re{z}2+Im{z}2=1}={z:z=eiϕ,0≤ϕ<2π}{\displaystyle G=\{z:\mathrm {Re} \{z\}^{2}+\mathrm {Im} \{z\}^{2}=1\}=\{z:z=e^{i\phi },0\leq \phi <2\pi \}}
Множество G{\displaystyle G} является подгруппой группы комплексных чисел по умножению, её нейтральный элемент — это ei0=1{\displaystyle e^{i0}=1}).
См. также[ | код]
ru.wikibedia.ru