Sin корень из 2 x 1 – Решите уравнение sqrt(2)*sin(x)=1 (квадратный корень из (2) умножить на синус от (х) равно 1)

Решите уравнение cos(2*x)+sqrt(2)*sin(x)+1=0 (косинус от (2 умножить на х) плюс квадратный корень из (2) умножить на синус от (х) плюс 1 равно 0)

Дано уравнение
$$\sqrt{2} \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (2 x \right )} + 1 = 0$$
преобразуем
$$\sqrt{2} \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (2 x \right )} + 1 = 0$$
$$- 2 \sin^{2}{\left (x \right )} + \sqrt{2} \sin{\left (x \right )} + 2 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида
a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = -2$$
$$b = \sqrt{2}$$
$$c = 2$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c = 
(sqrt(2))^2 - 4 * (-2) * (2) = 18

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = — \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$w_{2} = \sqrt{2}$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, где n — любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (- \frac{\sqrt{2}}{2} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n — \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\sqrt{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\sqrt{2} \right )}$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (- \frac{\sqrt{2}}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{4}$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi — \operatorname{asin}{\left (\sqrt{2} \right )}$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi — \operatorname{asin}{\left (\sqrt{2} \right )}$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Mathway | Популярные задачи

1 Найти точное значение sin(30)
2 Найти точное значение
sin(45)
3 Найти точное значение sin(60)
4 Найти точное значение sin(30 град. )
5 Найти точное значение sin(60 град. )
6 Найти точное значение tan(30 град. )
7 Найти точное значение arcsin(-1)
8 Найти точное значение sin(pi/6)
9 Найти точное значение
cos(pi/4)
10 Найти точное значение sin(45 град. )
11 Найти точное значение sin(pi/3)
12 Найти точное значение arctan(-1)
13 Найти точное значение cos(45 град. )
14 Найти точное значение cos(30 град. )
15 Найти точное значение tan(60)
16 Найти точное значение
csc(45 град. )
17 Найти точное значение tan(60 град. )
18 Найти точное значение sec(30 град. )
19 Преобразовать из радианов в градусы (3pi)/4
20 График y=sin(x)
21 Преобразовать из радианов в градусы pi/6
22 Найти точное значение cos(60 град. )
23 Найти точное значение
cos(150)
24 Найти точное значение tan(45)
25 Найти точное значение sin(30)
26 Найти точное значение sin(60)
27 Найти точное значение cos(pi/2)
28 Найти точное значение tan(45 град. )
29 График y=sin(x)
30 Найти точное значение arctan(- квадратный корень 3)
31 Найти точное значение csc(60 град. )
32 Найти точное значение sec(45 град. )
33 Найти точное значение csc(30 град. )
34 Найти точное значение sin(0)
35 Найти точное значение sin(120)
36 Найти точное значение cos(90)
37 Преобразовать из радианов в градусы
pi/3
38 Найти точное значение sin(45)
39 Найти точное значение tan(30)
40 Преобразовать из градусов в радианы 45
41 Найти точное значение tan(60)
42 Упростить квадратный корень x^2
43 Найти точное значение cos(45)
44 Упростить sin(theta)^2+cos(theta)^2
45 Преобразовать из радианов в градусы pi/6
46 Найти точное значение cot(30 град. )
47 Найти точное значение arccos(-1)
48 Найти точное значение arctan(0)
49 График y=cos(x)
50 Найти точное значение cot(60 град. )
51 Преобразовать из градусов в радианы 30
52 Упростить ( квадратный корень x+ квадратный корень 2)^2
53 Преобразовать из радианов в градусы (2pi)/3
54 Найти точное значение sin((5pi)/3)
55 Упростить 1/( кубический корень от x^4)
56 Найти точное значение sin((3pi)/4)
57 Найти точное значение tan(pi/2)
58 Найти угол А tri{}{90}{}{}{}{}
59 Найти точное значение sin(300)
60 Найти точное значение cos(30)
61 Найти точное значение cos(60)
62 Найти точное значение cos(0)
63 Найти точное значение arctan( квадратный корень 3)
64 Найти точное значение cos(135)
65 Найти точное значение cos((5pi)/3)
66 Найти точное значение cos(210)
67 Найти точное значение sec(60 град. )
68 Найти точное значение sin(300 град. )
69 Преобразовать из градусов в радианы 135
70 Преобразовать из градусов в радианы 150
71 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/6
72 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/3
73 Преобразовать из градусов в радианы 89 град.
74 Преобразовать из градусов в радианы 60
75 Найти точное значение sin(135 град. )
76 Найти точное значение sin(150)
77 Найти точное значение sin(240 град. )
78 Найти точное значение cot(45 град. )
79 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/4
80 Упростить 1/( кубический корень от x^8)
81 Найти точное значение sin(225)
82 Найти точное значение sin(240)
83 Найти точное значение cos(150 град. )
84 Найти точное значение tan(45)
85 Вычислить sin(30 град. )
86 Найти точное значение sec(0)
87 Упростить arcsin(-( квадратный корень 2)/2)
88 Найти точное значение cos((5pi)/6)
89 Найти точное значение csc(30)
90 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень 2)/2)
91 Найти точное значение tan((5pi)/3)
92 Найти точное значение tan(0)
93 Вычислить sin(60 град. )
94 Найти точное значение arctan(-( квадратный корень 3)/3)
95 Преобразовать из радианов в градусы (3pi)/4
96 Вычислить arcsin(-1)
97 Найти точное значение sin((7pi)/4)
98 Найти точное значение arcsin(-1/2)
99 Найти точное значение sin((4pi)/3)
100 Найти точное значение csc(45)

www.mathway.com

Решите неравенство sqrt(2)*sin(x-pi*1/4)+1>0 (квадратный корень из (2) умножить на синус от (х минус число пи умножить на 1 делить на 4) плюс 1 больше 0)

Дано неравенство:
$$\sqrt{2} \sin{\left (x — \frac{\pi}{4} \right )} + 1 > 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sqrt{2} \sin{\left (x — \frac{\pi}{4} \right )} + 1 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sqrt{2} \sin{\left (x — \frac{\pi}{4} \right )} + 1 = 0$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Перенесём 1 в правую часть ур-ния
с изменением знака при 1

Получим:
$$\sqrt{2} \sin{\left (x — \frac{\pi}{4} \right )} = -1$$
Разделим обе части ур-ния на -sqrt(2)

Ур-ние превратится в
$$\cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Это ур-ние преобразуется в
$$x + \frac{\pi}{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )}$$
$$x + \frac{\pi}{4} = \pi n — \pi + \operatorname{acos}{\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )}$$
Или
$$x + \frac{\pi}{4} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x + \frac{\pi}{4} = \pi n — \frac{3 \pi}{4}$$
, где n — любое целое число
Перенесём
$$\frac{\pi}{4}$$
в правую часть ур-ния
с противоположным знаком, итого:
$$x = \pi n$$
$$x = \pi n — \pi$$
$$x_{1} = \pi n$$
$$x_{2} = \pi n — \pi$$
$$x_{1} = \pi n$$
$$x_{2} = \pi n — \pi$$
Данные корни
$$x_{1} = \pi n$$
$$x_{2} = \pi n — \pi$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n + — \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n — \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sqrt{2} \sin{\left (x — \frac{\pi}{4} \right )} + 1 > 0$$
  ___    /              pi\        
\/ 2 *sin|pi*n - 1/10 - --| + 1 > 0
         \              4 /        
      ___    /1    pi       \    
1 - \/ 2 *sin|-- + -- - pi*n| > 0
             \10   4        /    

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x
 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x $$x > \pi n — \pi$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Решите неравенство sqrt(2)*sin(pi*1/4+x*1/2)>=1 (квадратный корень из (2) умножить на синус от (число пи умножить на 1 делить на 4 плюс х умножить на 1 делить на 2) больше или равно 1)

Дано неравенство:
$$\sqrt{2} \sin{\left (\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right )} \geq 1$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sqrt{2} \sin{\left (\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right )} = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sqrt{2} \sin{\left (\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right )} = 1$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Разделим обе части ур-ния на sqrt(2)

Ур-ние превратится в
$$\sin{\left (\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right )} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Это ур-ние преобразуется в
$$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )}$$
$$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )} + \pi$$
Или
$$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
, где n — любое целое число
Перенесём
$$\frac{\pi}{4}$$
в правую часть ур-ния
с противоположным знаком, итого:
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n$$
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$\frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 4 \pi n$$
$$x_{2} = 4 \pi n + \pi$$
$$x_{1} = 4 \pi n$$
$$x_{2} = 4 \pi n + \pi$$
Данные корни
$$x_{1} = 4 \pi n$$
$$x_{2} = 4 \pi n + \pi$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
$$4 \pi n + — \frac{1}{10}$$
=
$$4 \pi n — \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sqrt{2} \sin{\left (\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right )} \geq 1$$
$$\sqrt{2} \sin{\left (\frac{1}{2} \left(4 \pi n + — \frac{1}{10}\right) + \frac{\pi}{4} \right )} \geq 1$$
  ___    /  1    pi         \     
\/ 2 *sin|- -- + -- + 2*pi*n| >= 1
         \  20   4          /     

но
  ___    /  1    pi         \    
\/ 2 *sin|- -- + -- + 2*pi*n| 
Тогда
$$x \leq 4 \pi n$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq 4 \pi n \wedge x \leq 4 \pi n + \pi$$
         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2

www.kontrolnaya-rabota.ru

(sqrt(2)*cos(x)-2*cos(pi*1/4-x))*1/(2*sin(pi*1/6+x)-sqrt(3)*sin(x))+sqrt(2)*tan(x) если x=-1 (упростите выражение)

Решение

  ___               /pi    \               
\/ 2 *cos(x) - 2*cos|-- - x|               
                    \4     /     ___       
---------------------------- + \/ 2 *tan(x)
     /pi    \     ___                      
2*sin|-- + x| - \/ 3 *sin(x)               
     \6     /                              

$$\frac{\sqrt{2} \cos{\left (x \right )} — 2 \cos{\left (- x + \frac{\pi}{4} \right )}}{- \sqrt{3} \sin{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x + \frac{\pi}{6} \right )}} + \sqrt{2} \tan{\left (x \right )}$$

Подстановка условия

[LaTeX]

(sqrt(2)*cos(x) - 2*cos(pi/4 - x))/(2*sin(pi/6 + x) - sqrt(3)*sin(x)) + sqrt(2)*tan(x) при x = -1
(sqrt(2)*cos(x) - 2*cos(pi/4 - x))/(2*sin(pi/6 + x) - sqrt(3)*sin(x)) + sqrt(2)*tan(x)

$$\frac{\sqrt{2} \cos{\left (x \right )} — 2 \cos{\left (- x + \frac{\pi}{4} \right )}}{- \sqrt{3} \sin{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x + \frac{\pi}{6} \right )}} + \sqrt{2} \tan{\left (x \right )}$$

(sqrt(2)*cos((-1)) - 2*cos(pi/4 - (-1)))/(2*sin(pi/6 + (-1)) - sqrt(3)*sin((-1))) + sqrt(2)*tan((-1))

$$\frac{\sqrt{2} \cos{\left ((-1) \right )} — 2 \cos{\left (- (-1) + \frac{\pi}{4} \right )}}{- \sqrt{3} \sin{\left ((-1) \right )} + 2 \sin{\left ((-1) + \frac{\pi}{6} \right )}} + \sqrt{2} \tan{\left ((-1) \right )}$$

(sqrt(2)*cos(-1) - 2*cos(pi/4 - (-1)))/(2*sin(pi/6 - 1) - sqrt(3)*sin(-1)) + sqrt(2)*tan(-1)

$$\sqrt{2} \tan{\left (-1 \right )} + \frac{- 2 \cos{\left (\frac{\pi}{4} — -1 \right )} + \sqrt{2} \cos{\left (-1 \right )}}{2 \sin{\left (-1 + \frac{\pi}{6} \right )} — \sqrt{3} \sin{\left (-1 \right )}}$$

(-2*cos(1 + pi/4) + sqrt(2)*cos(1))/(2*cos(1 + pi/3) + sqrt(3)*sin(1)) - sqrt(2)*tan(1)

$$- \sqrt{2} \tan{\left (1 \right )} + \frac{- 2 \cos{\left (\frac{\pi}{4} + 1 \right )} + \sqrt{2} \cos{\left (1 \right )}}{2 \cos{\left (1 + \frac{\pi}{3} \right )} + \sqrt{3} \sin{\left (1 \right )}}$$

                      /    pi\     ___       
               - 2*sin|x + --| + \/ 2 *cos(x)
  ___                 \    4 /               
\/ 2 *tan(x) + ------------------------------
                     /    pi\     ___        
                2*sin|x + --| - \/ 3 *sin(x) 
                     \    6 /                

$$\sqrt{2} \tan{\left (x \right )} + \frac{- 2 \sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )} + \sqrt{2} \cos{\left (x \right )}}{- \sqrt{3} \sin{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x + \frac{\pi}{6} \right )}}$$

Численный ответ

[LaTeX]

1.4142135623731*tan(x) + (1.4142135623731*cos(x) - 2.0*cos(pi/4 - x))/(2.0*sin(pi/6 + x) - 1.73205080756888*sin(x))
Рациональный знаменатель

[LaTeX]

     /    pi\    /    pi\     ___                     ___    2/    pi\              ___           /    pi\       ___           /    pi\       ___    2          
4*sin|x + --|*sin|x + --| - \/ 6 *cos(x)*sin(x) - 4*\/ 2 *sin |x + --|*tan(x) - 2*\/ 2 *cos(x)*sin|x + --| + 2*\/ 3 *sin(x)*sin|x + --| + 3*\/ 2 *sin (x)*tan(x)
     \    4 /    \    6 /                                     \    6 /                            \    6 /                     \    4 /                         
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                         2/    pi\        2                                                                     
                                                                  - 4*sin |x + --| + 3*sin (x)                                                                  
                                                                          \    6 /                                                                              

$$\frac{1}{3 \sin^{2}{\left (x \right )} — 4 \sin^{2}{\left (x + \frac{\pi}{6} \right )}} \left(3 \sqrt{2} \sin^{2}{\left (x \right )} \tan{\left (x \right )} + 2 \sqrt{3} \sin{\left (x \right )} \sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )} — \sqrt{6} \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} — 4 \sqrt{2} \sin^{2}{\left (x + \frac{\pi}{6} \right )} \tan{\left (x \right )} + 4 \sin{\left (x + \frac{\pi}{6} \right )} \sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )} — 2 \sqrt{2} \sin{\left (x + \frac{\pi}{6} \right )} \cos{\left (x \right )}\right)$$

Объединение рациональных выражений

[LaTeX]

       /pi - 4*x\     ___            ___ /     /pi + 6*x\     ___       \       
- 2*cos|--------| + \/ 2 *cos(x) + \/ 2 *|2*sin|--------| - \/ 3 *sin(x)|*tan(x)
       \   4    /                        \     \   6    /               /       
--------------------------------------------------------------------------------
                              /pi + 6*x\     ___                                
                         2*sin|--------| - \/ 3 *sin(x)                         
                              \   6    /                                        

$$\frac{1}{- \sqrt{3} \sin{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (\frac{1}{6} \left(6 x + \pi\right) \right )}} \left(\sqrt{2} \left(- \sqrt{3} \sin{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (\frac{1}{6} \left(6 x + \pi\right) \right )}\right) \tan{\left (x \right )} + \sqrt{2} \cos{\left (x \right )} — 2 \cos{\left (\frac{1}{4} \left(- 4 x + \pi\right) \right )}\right)$$

Общее упрощение

[LaTeX]

$$0$$

Собрать выражение

[LaTeX]

                           /    pi\                                       
                      2*sin|x + --|                     ___               
  ___                      \    4 /                   \/ 2 *cos(x)        
\/ 2 *tan(x) - ---------------------------- + ----------------------------
                    /    pi\     ___               /    pi\     ___       
               2*sin|x + --| - \/ 3 *sin(x)   2*sin|x + --| - \/ 3 *sin(x)
                    \    6 /                       \    6 /               

$$\sqrt{2} \tan{\left (x \right )} — \frac{2 \sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}}{- \sqrt{3} \sin{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x + \frac{\pi}{6} \right )}} + \frac{\sqrt{2} \cos{\left (x \right )}}{- \sqrt{3} \sin{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x + \frac{\pi}{6} \right )}}$$

Общий знаменатель

[LaTeX]

                      /    pi\     ___       
               - 2*sin|x + --| + \/ 2 *cos(x)
  ___                 \    4 /               
\/ 2 *tan(x) + ------------------------------
                     /    pi\     ___        
                2*sin|x + --| - \/ 3 *sin(x) 
                     \    6 /                

$$\sqrt{2} \tan{\left (x \right )} + \frac{- 2 \sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )} + \sqrt{2} \cos{\left (x \right )}}{- \sqrt{3} \sin{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x + \frac{\pi}{6} \right )}}$$

Тригонометрическая часть

[LaTeX]

$$0$$

Комбинаторика

[LaTeX]

       /    pi\     ___            ___                     ___    /    pi\       
- 2*sin|x + --| + \/ 2 *cos(x) - \/ 6 *sin(x)*tan(x) + 2*\/ 2 *sin|x + --|*tan(x)
       \    4 /                                                   \    6 /       
---------------------------------------------------------------------------------
                                /    pi\     ___                                 
                           2*sin|x + --| - \/ 3 *sin(x)                          
                                \    6 /                                         

$$\frac{1}{- \sqrt{3} \sin{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x + \frac{\pi}{6} \right )}} \left(- \sqrt{6} \sin{\left (x \right )} \tan{\left (x \right )} + 2 \sqrt{2} \sin{\left (x + \frac{\pi}{6} \right )} \tan{\left (x \right )} — 2 \sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )} + \sqrt{2} \cos{\left (x \right )}\right)$$

Раскрыть выражение

[LaTeX]

                 ___       
  ___          \/ 2 *sin(x)
\/ 2 *tan(x) - ------------
                  cos(x)   

$$- \frac{\sqrt{2} \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} + \sqrt{2} \tan{\left (x \right )}$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Решите неравенство sin(x/2)>sqrt(2)*1/2 (синус от (х делить на 2) больше квадратный корень из (2) умножить на 1 делить на 2)

Дано неравенство:
$$\sin{\left (\frac{x}{2} \right )} > \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left (\frac{x}{2} \right )} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left (\frac{x}{2} \right )} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )}$$
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )} + \pi$$
Или
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
, где n — любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$\frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 4 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 4 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{1} = 4 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 4 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = 4 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 4 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
$$4 \pi n + \frac{\pi}{2} + — \frac{1}{10}$$
=
$$4 \pi n — \frac{1}{10} + \frac{\pi}{2}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left (\frac{x}{2} \right )} > \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\sin{\left (\frac{1}{2} \left(4 \pi n + \frac{\pi}{2} + — \frac{1}{10}\right) \right )} > \frac{\sqrt{2}}{2}$$
                            ___
   /  1    pi         \   \/ 2 
sin|- -- + -- + 2*pi*n| > -----
   \  20   4          /     2  
                          

Тогда
$$x не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > 4 \pi n + \frac{\pi}{2} \wedge x
         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2

www.kontrolnaya-rabota.ru

Решите неравенство sin(8+x)

Дано неравенство:
$$\sin{\left (x + 8 \right )} Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left (x + 8 \right )} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left (x + 8 \right )} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x + 8 = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{3}}{2} \right )}$$
$$x + 8 = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{3}}{2} \right )} + \pi$$
Или
$$x + 8 = 2 \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x + 8 = 2 \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
, где n — любое целое число
Перенесём
$$8$$
в правую часть ур-ния
с противоположным знаком, итого:
$$x = 2 \pi n — 8 + \frac{\pi}{3}$$
$$x = 2 \pi n — 8 + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{1} = 2 \pi n — 8 + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = 2 \pi n — 8 + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{1} = 2 \pi n — 8 + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = 2 \pi n — 8 + \frac{2 \pi}{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = 2 \pi n — 8 + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = 2 \pi n — 8 + \frac{2 \pi}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n — 8 + \frac{\pi}{3} + — \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n — \frac{81}{10} + \frac{\pi}{3}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left (x + 8 \right )} $$\sin{\left (2 \pi n — 8 + \frac{\pi}{3} + — \frac{1}{10} + 8 \right )}
                            ___
   /  1    pi         \   \/ 3 
sin|- -- + -- + 2*pi*n| 
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x
 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x $$x > 2 \pi n - 8 + \frac{2 \pi}{3}$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.