Решите уравнение cos(2*x)+sqrt(2)*sin(x)+1=0 (косинус от (2 умножить на х) плюс квадратный корень из (2) умножить на синус от (х) плюс 1 равно 0)
Дано уравнение$$\sqrt{2} \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (2 x \right )} + 1 = 0$$
преобразуем
$$\sqrt{2} \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (2 x \right )} + 1 = 0$$
$$- 2 \sin^{2}{\left (x \right )} + \sqrt{2} \sin{\left (x \right )} + 2 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида
a*w^2 + b*w + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = -2$$
$$b = \sqrt{2}$$
$$c = 2$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(sqrt(2))^2 - 4 * (-2) * (2) = 18
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$w_{1} = — \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$w_{2} = \sqrt{2}$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, где n — любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (- \frac{\sqrt{2}}{2} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n — \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\sqrt{2} \right )}$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (- \frac{\sqrt{2}}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{4}$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi — \operatorname{asin}{\left (\sqrt{2} \right )}$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi — \operatorname{asin}{\left (\sqrt{2} \right )}$$
www.kontrolnaya-rabota.ru
| 1 | Найти точное значение | sin(30) | |
| 2 | Найти точное значение | sin(45) | |
| 3 | Найти точное значение | sin(60) | |
| 4 | Найти точное значение | sin(30 град. ) | |
| 5 | Найти точное значение | sin(60 град. ) | |
| 6 | Найти точное значение | tan(30 град. ) | |
| 7 | Найти точное значение | arcsin(-1) | |
| 8 | Найти точное значение | sin(pi/6) | |
| 9 | Найти точное значение | ||
| 10 | Найти точное значение | sin(45 град. ) | |
| 11 | Найти точное значение | sin(pi/3) | |
| 12 | Найти точное значение | arctan(-1) | |
| 13 | Найти точное значение | cos(45 град. ) | |
| 14 | Найти точное значение | cos(30 град. ) | |
| 15 | Найти точное значение | tan(60) | |
| 16 | Найти точное значение | csc(45 град. ) | |
| 17 | Найти точное значение | tan(60 град. ) | |
| 18 | Найти точное значение | sec(30 град. ) | |
| 19 | Преобразовать из радианов в градусы | (3pi)/4 | |
| 20 | График | y=sin(x) | |
| 21 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/6 | |
| 22 | Найти точное значение | cos(60 град. ) | |
| 23 | Найти точное значение | ||
| 24 | Найти точное значение | tan(45) | |
| 25 | Найти точное значение | sin(30) | |
| 26 | Найти точное значение | sin(60) | |
| 27 | Найти точное значение | cos(pi/2) | |
| 28 | Найти точное значение | tan(45 град. ) | |
| 29 | График | y=sin(x) | |
| 30 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень 3) | |
| 31 | Найти точное значение | csc(60 град. ) | |
| 32 | Найти точное значение | sec(45 град. ) | |
| 33 | Найти точное значение | csc(30 град. ) | |
| 34 | Найти точное значение | sin(0) | |
| 35 | Найти точное значение | sin(120) | |
| 36 | Найти точное значение | cos(90) | |
| 37 | Преобразовать из радианов в градусы | ||
| 38 | Найти точное значение | sin(45) | |
| 39 | Найти точное значение | tan(30) | |
| 40 | Преобразовать из градусов в радианы | 45 | |
| 41 | Найти точное значение | tan(60) | |
| 42 | Упростить | квадратный корень x^2 | |
| 43 | Найти точное значение | cos(45) | |
| 44 | Упростить | sin(theta)^2+cos(theta)^2 | |
| 45 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/6 | |
| 46 | Найти точное значение | cot(30 град. ) | |
| 47 | Найти точное значение | arccos(-1) | |
| 48 | Найти точное значение | arctan(0) | |
| 49 | График | y=cos(x) | |
| 50 | Найти точное значение | cot(60 град. ) | |
| 51 | Преобразовать из градусов в радианы | 30 | |
| 52 | Упростить | ( квадратный корень x+ квадратный корень 2)^2 | |
| 53 | Преобразовать из радианов в градусы | (2pi)/3 | |
| 54 | Найти точное значение | sin((5pi)/3) | |
| 55 | Упростить | 1/( кубический корень от x^4) | |
| 56 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
| 57 | Найти точное значение | tan(pi/2) | |
| 58 | Найти угол А | tri{}{90}{}{}{}{} | |
| 59 | Найти точное значение | sin(300) | |
| 60 | Найти точное значение | cos(30) | |
| 61 | Найти точное значение | cos(60) | |
| 62 | Найти точное значение | cos(0) | |
| 63 | Найти точное значение | arctan( квадратный корень 3) | |
| 64 | Найти точное значение | cos(135) | |
| 65 | Найти точное значение | cos((5pi)/3) | |
| 66 | Найти точное значение | cos(210) | |
| 67 | Найти точное значение | sec(60 град. ) | |
| 68 | Найти точное значение | sin(300 град. ) | |
| 69 | Преобразовать из градусов в радианы | 135 | |
| 70 | Преобразовать из градусов в радианы | 150 | |
| 71 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/6 | |
| 72 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/3 | |
| 73 | Преобразовать из градусов в радианы | 89 град. | |
| 74 | Преобразовать из градусов в радианы | 60 | |
| 75 | Найти точное значение | sin(135 град. ) | |
| 76 | Найти точное значение | sin(150) | |
| 77 | Найти точное значение | sin(240 град. ) | |
| 78 | Найти точное значение | cot(45 град. ) | |
| 79 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/4 | |
| 80 | Упростить | 1/( кубический корень от x^8) | |
| 81 | Найти точное значение | sin(225) | |
| 82 | Найти точное значение | sin(240) | |
| 83 | Найти точное значение | cos(150 град. ) | |
| 84 | Найти точное значение | tan(45) | |
| 85 | Вычислить | sin(30 град. ) | |
| 86 | Найти точное значение | sec(0) | |
| 87 | Упростить | arcsin(-( квадратный корень 2)/2) | |
| 88 | Найти точное значение | cos((5pi)/6) | |
| 89 | Найти точное значение | csc(30) | |
| 90 | Найти точное значение | arcsin(( квадратный корень 2)/2) | |
| 91 | Найти точное значение | tan((5pi)/3) | |
| 92 | Найти точное значение | tan(0) | |
| 93 | Вычислить | sin(60 град. ) | |
| 94 | Найти точное значение | arctan(-( квадратный корень 3)/3) | |
| 95 | Преобразовать из радианов в градусы | (3pi)/4 | |
| 96 | Вычислить | arcsin(-1) | |
| 97 | Найти точное значение | sin((7pi)/4) | |
| 98 | Найти точное значение | arcsin(-1/2) | |
| 99 | Найти точное значение | sin((4pi)/3) | |
| 100 | Найти точное значение | csc(45) |
www.mathway.com
Решите неравенство sqrt(2)*sin(x-pi*1/4)+1>0 (квадратный корень из (2) умножить на синус от (х минус число пи умножить на 1 делить на 4) плюс 1 больше 0)
Дано неравенство:$$\sqrt{2} \sin{\left (x — \frac{\pi}{4} \right )} + 1 > 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sqrt{2} \sin{\left (x — \frac{\pi}{4} \right )} + 1 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sqrt{2} \sin{\left (x — \frac{\pi}{4} \right )} + 1 = 0$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Перенесём 1 в правую часть ур-ния
с изменением знака при 1
Получим:
$$\sqrt{2} \sin{\left (x — \frac{\pi}{4} \right )} = -1$$
Разделим обе части ур-ния на -sqrt(2)
Ур-ние превратится в
$$\cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Это ур-ние преобразуется в
$$x + \frac{\pi}{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )}$$
$$x + \frac{\pi}{4} = \pi n — \pi + \operatorname{acos}{\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )}$$
Или
$$x + \frac{\pi}{4} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x + \frac{\pi}{4} = \pi n — \frac{3 \pi}{4}$$
, где n — любое целое число
Перенесём
$$\frac{\pi}{4}$$
в правую часть ур-ния
с противоположным знаком, итого:
$$x = \pi n$$
$$x = \pi n — \pi$$
$$x_{1} = \pi n$$
$$x_{2} = \pi n — \pi$$
$$x_{1} = \pi n$$
$$x_{2} = \pi n — \pi$$
Данные корни
$$x_{1} = \pi n$$
$$x_{2} = \pi n — \pi$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n + — \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n — \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sqrt{2} \sin{\left (x — \frac{\pi}{4} \right )} + 1 > 0$$
___ / pi\
\/ 2 *sin|pi*n - 1/10 - --| + 1 > 0
\ 4 / ___ /1 pi \
1 - \/ 2 *sin|-- + -- - pi*n| > 0
\10 4 / значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x
_____ _____
\ /
-------ο-------ο-------
x1 x2Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x $$x > \pi n — \pi$$
www.kontrolnaya-rabota.ru
Решите неравенство sqrt(2)*sin(pi*1/4+x*1/2)>=1 (квадратный корень из (2) умножить на синус от (число пи умножить на 1 делить на 4 плюс х умножить на 1 делить на 2) больше или равно 1)
Дано неравенство:$$\sqrt{2} \sin{\left (\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right )} \geq 1$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sqrt{2} \sin{\left (\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right )} = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sqrt{2} \sin{\left (\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right )} = 1$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Разделим обе части ур-ния на sqrt(2)
Ур-ние превратится в
$$\sin{\left (\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right )} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Это ур-ние преобразуется в
$$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )}$$
$$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )} + \pi$$
Или
$$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
, где n — любое целое число
Перенесём
$$\frac{\pi}{4}$$
в правую часть ур-ния
с противоположным знаком, итого:
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n$$
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$\frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 4 \pi n$$
$$x_{2} = 4 \pi n + \pi$$
$$x_{1} = 4 \pi n$$
$$x_{2} = 4 \pi n + \pi$$
Данные корни
$$x_{1} = 4 \pi n$$
$$x_{2} = 4 \pi n + \pi$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
$$4 \pi n + — \frac{1}{10}$$
=
$$4 \pi n — \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sqrt{2} \sin{\left (\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right )} \geq 1$$
$$\sqrt{2} \sin{\left (\frac{1}{2} \left(4 \pi n + — \frac{1}{10}\right) + \frac{\pi}{4} \right )} \geq 1$$
___ / 1 pi \
\/ 2 *sin|- -- + -- + 2*pi*n| >= 1
\ 20 4 / но
___ / 1 pi \ \/ 2 *sin|- -- + -- + 2*pi*n|
Тогда
$$x \leq 4 \pi n$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq 4 \pi n \wedge x \leq 4 \pi n + \pi$$_____ / \ -------•-------•------- x1 x2
www.kontrolnaya-rabota.ru
(sqrt(2)*cos(x)-2*cos(pi*1/4-x))*1/(2*sin(pi*1/6+x)-sqrt(3)*sin(x))+sqrt(2)*tan(x) если x=-1 (упростите выражение)
Решение
___ /pi \
\/ 2 *cos(x) - 2*cos|-- - x|
\4 / ___
---------------------------- + \/ 2 *tan(x)
/pi \ ___
2*sin|-- + x| - \/ 3 *sin(x)
\6 / $$\frac{\sqrt{2} \cos{\left (x \right )} — 2 \cos{\left (- x + \frac{\pi}{4} \right )}}{- \sqrt{3} \sin{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x + \frac{\pi}{6} \right )}} + \sqrt{2} \tan{\left (x \right )}$$
Подстановка условия[LaTeX]
(sqrt(2)*cos(x) - 2*cos(pi/4 - x))/(2*sin(pi/6 + x) - sqrt(3)*sin(x)) + sqrt(2)*tan(x) при x = -1
(sqrt(2)*cos(x) - 2*cos(pi/4 - x))/(2*sin(pi/6 + x) - sqrt(3)*sin(x)) + sqrt(2)*tan(x)
$$\frac{\sqrt{2} \cos{\left (x \right )} — 2 \cos{\left (- x + \frac{\pi}{4} \right )}}{- \sqrt{3} \sin{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x + \frac{\pi}{6} \right )}} + \sqrt{2} \tan{\left (x \right )}$$
(sqrt(2)*cos((-1)) - 2*cos(pi/4 - (-1)))/(2*sin(pi/6 + (-1)) - sqrt(3)*sin((-1))) + sqrt(2)*tan((-1))
$$\frac{\sqrt{2} \cos{\left ((-1) \right )} — 2 \cos{\left (- (-1) + \frac{\pi}{4} \right )}}{- \sqrt{3} \sin{\left ((-1) \right )} + 2 \sin{\left ((-1) + \frac{\pi}{6} \right )}} + \sqrt{2} \tan{\left ((-1) \right )}$$
(sqrt(2)*cos(-1) - 2*cos(pi/4 - (-1)))/(2*sin(pi/6 - 1) - sqrt(3)*sin(-1)) + sqrt(2)*tan(-1)
$$\sqrt{2} \tan{\left (-1 \right )} + \frac{- 2 \cos{\left (\frac{\pi}{4} — -1 \right )} + \sqrt{2} \cos{\left (-1 \right )}}{2 \sin{\left (-1 + \frac{\pi}{6} \right )} — \sqrt{3} \sin{\left (-1 \right )}}$$
(-2*cos(1 + pi/4) + sqrt(2)*cos(1))/(2*cos(1 + pi/3) + sqrt(3)*sin(1)) - sqrt(2)*tan(1)
$$- \sqrt{2} \tan{\left (1 \right )} + \frac{- 2 \cos{\left (\frac{\pi}{4} + 1 \right )} + \sqrt{2} \cos{\left (1 \right )}}{2 \cos{\left (1 + \frac{\pi}{3} \right )} + \sqrt{3} \sin{\left (1 \right )}}$$
/ pi\ ___
- 2*sin|x + --| + \/ 2 *cos(x)
___ \ 4 /
\/ 2 *tan(x) + ------------------------------
/ pi\ ___
2*sin|x + --| - \/ 3 *sin(x)
\ 6 / $$\sqrt{2} \tan{\left (x \right )} + \frac{- 2 \sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )} + \sqrt{2} \cos{\left (x \right )}}{- \sqrt{3} \sin{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x + \frac{\pi}{6} \right )}}$$
Численный ответ[LaTeX]
1.4142135623731*tan(x) + (1.4142135623731*cos(x) - 2.0*cos(pi/4 - x))/(2.0*sin(pi/6 + x) - 1.73205080756888*sin(x))
[LaTeX]
/ pi\ / pi\ ___ ___ 2/ pi\ ___ / pi\ ___ / pi\ ___ 2
4*sin|x + --|*sin|x + --| - \/ 6 *cos(x)*sin(x) - 4*\/ 2 *sin |x + --|*tan(x) - 2*\/ 2 *cos(x)*sin|x + --| + 2*\/ 3 *sin(x)*sin|x + --| + 3*\/ 2 *sin (x)*tan(x)
\ 4 / \ 6 / \ 6 / \ 6 / \ 4 /
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2/ pi\ 2
- 4*sin |x + --| + 3*sin (x)
\ 6 / $$\frac{1}{3 \sin^{2}{\left (x \right )} — 4 \sin^{2}{\left (x + \frac{\pi}{6} \right )}} \left(3 \sqrt{2} \sin^{2}{\left (x \right )} \tan{\left (x \right )} + 2 \sqrt{3} \sin{\left (x \right )} \sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )} — \sqrt{6} \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} — 4 \sqrt{2} \sin^{2}{\left (x + \frac{\pi}{6} \right )} \tan{\left (x \right )} + 4 \sin{\left (x + \frac{\pi}{6} \right )} \sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )} — 2 \sqrt{2} \sin{\left (x + \frac{\pi}{6} \right )} \cos{\left (x \right )}\right)$$
Объединение рациональных выражений[LaTeX]
/pi - 4*x\ ___ ___ / /pi + 6*x\ ___ \
- 2*cos|--------| + \/ 2 *cos(x) + \/ 2 *|2*sin|--------| - \/ 3 *sin(x)|*tan(x)
\ 4 / \ \ 6 / /
--------------------------------------------------------------------------------
/pi + 6*x\ ___
2*sin|--------| - \/ 3 *sin(x)
\ 6 / $$\frac{1}{- \sqrt{3} \sin{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (\frac{1}{6} \left(6 x + \pi\right) \right )}} \left(\sqrt{2} \left(- \sqrt{3} \sin{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (\frac{1}{6} \left(6 x + \pi\right) \right )}\right) \tan{\left (x \right )} + \sqrt{2} \cos{\left (x \right )} — 2 \cos{\left (\frac{1}{4} \left(- 4 x + \pi\right) \right )}\right)$$
Общее упрощение[LaTeX]
$$0$$
Собрать выражение[LaTeX]
/ pi\
2*sin|x + --| ___
___ \ 4 / \/ 2 *cos(x)
\/ 2 *tan(x) - ---------------------------- + ----------------------------
/ pi\ ___ / pi\ ___
2*sin|x + --| - \/ 3 *sin(x) 2*sin|x + --| - \/ 3 *sin(x)
\ 6 / \ 6 / $$\sqrt{2} \tan{\left (x \right )} — \frac{2 \sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}}{- \sqrt{3} \sin{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x + \frac{\pi}{6} \right )}} + \frac{\sqrt{2} \cos{\left (x \right )}}{- \sqrt{3} \sin{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x + \frac{\pi}{6} \right )}}$$
Общий знаменатель[LaTeX]
/ pi\ ___
- 2*sin|x + --| + \/ 2 *cos(x)
___ \ 4 /
\/ 2 *tan(x) + ------------------------------
/ pi\ ___
2*sin|x + --| - \/ 3 *sin(x)
\ 6 / $$\sqrt{2} \tan{\left (x \right )} + \frac{- 2 \sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )} + \sqrt{2} \cos{\left (x \right )}}{- \sqrt{3} \sin{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x + \frac{\pi}{6} \right )}}$$
Тригонометрическая часть[LaTeX]
$$0$$
Комбинаторика[LaTeX]
/ pi\ ___ ___ ___ / pi\
- 2*sin|x + --| + \/ 2 *cos(x) - \/ 6 *sin(x)*tan(x) + 2*\/ 2 *sin|x + --|*tan(x)
\ 4 / \ 6 /
---------------------------------------------------------------------------------
/ pi\ ___
2*sin|x + --| - \/ 3 *sin(x)
\ 6 / $$\frac{1}{- \sqrt{3} \sin{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x + \frac{\pi}{6} \right )}} \left(- \sqrt{6} \sin{\left (x \right )} \tan{\left (x \right )} + 2 \sqrt{2} \sin{\left (x + \frac{\pi}{6} \right )} \tan{\left (x \right )} — 2 \sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )} + \sqrt{2} \cos{\left (x \right )}\right)$$
Раскрыть выражение[LaTeX]
___
___ \/ 2 *sin(x)
\/ 2 *tan(x) - ------------
cos(x) $$- \frac{\sqrt{2} \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} + \sqrt{2} \tan{\left (x \right )}$$
www.kontrolnaya-rabota.ru
Решите неравенство sin(x/2)>sqrt(2)*1/2 (синус от (х делить на 2) больше квадратный корень из (2) умножить на 1 делить на 2)
Дано неравенство:$$\sin{\left (\frac{x}{2} \right )} > \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left (\frac{x}{2} \right )} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left (\frac{x}{2} \right )} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )}$$
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )} + \pi$$
Или
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
, где n — любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$\frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 4 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 4 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{1} = 4 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 4 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = 4 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 4 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
$$4 \pi n + \frac{\pi}{2} + — \frac{1}{10}$$
=
$$4 \pi n — \frac{1}{10} + \frac{\pi}{2}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left (\frac{x}{2} \right )} > \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\sin{\left (\frac{1}{2} \left(4 \pi n + \frac{\pi}{2} + — \frac{1}{10}\right) \right )} > \frac{\sqrt{2}}{2}$$
___
/ 1 pi \ \/ 2
sin|- -- + -- + 2*pi*n| > -----
\ 20 4 / 2
Тогда
$$x не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > 4 \pi n + \frac{\pi}{2} \wedge x
_____
/ \
-------ο-------ο-------
x1 x2www.kontrolnaya-rabota.ru
Решите неравенство sin(8+x)
Дано неравенство:$$\sin{\left (x + 8 \right )} Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left (x + 8 \right )} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left (x + 8 \right )} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x + 8 = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{3}}{2} \right )}$$
$$x + 8 = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{3}}{2} \right )} + \pi$$
Или
$$x + 8 = 2 \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x + 8 = 2 \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
, где n — любое целое число
Перенесём
$$8$$
в правую часть ур-ния
с противоположным знаком, итого:
$$x = 2 \pi n — 8 + \frac{\pi}{3}$$
$$x = 2 \pi n — 8 + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{1} = 2 \pi n — 8 + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = 2 \pi n — 8 + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{1} = 2 \pi n — 8 + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = 2 \pi n — 8 + \frac{2 \pi}{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = 2 \pi n — 8 + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = 2 \pi n — 8 + \frac{2 \pi}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n — 8 + \frac{\pi}{3} + — \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n — \frac{81}{10} + \frac{\pi}{3}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left (x + 8 \right )} $$\sin{\left (2 \pi n — 8 + \frac{\pi}{3} + — \frac{1}{10} + 8 \right )}
___ / 1 pi \ \/ 3 sin|- -- + -- + 2*pi*n|
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x_____ _____ \ / -------ο-------ο------- x1 x2
Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x $$x > 2 \pi n - 8 + \frac{2 \pi}{3}$$
www.kontrolnaya-rabota.ru