Решить по формулам крамера систему уравнений – Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Система уравнений по формулам Крамера

Задание № 1

Решить систему уравнений:

1) по формулам Крамера

2) с помощью обратной матрицы

3) методом Гаусса

Решение

найдем определитель матрицы

1) методом Крамера

найдем определители

найдем значения

; ;

2) метод обратной матрицы

транспонированная матрица

найдем алгебраические дополнения

; ; ; ; ; ; ; ; ;

матрица из дополнений

3) методом Гаусса

построим расширенную матрицу

приведем матрицу к треугольному виду

разделим первое уравнение на 3 и вычтем второе

умножим первое уравнение на 5/3 вычтем третье

Второе уравнение умножим на 3, третье уравнение умножим на 3

второе уравнение умножаем на 4/11 вычитаем третье.

Первое уравнение разделим на 3

Второе уравнение разделим на -11

третье уравнение разделим на 159/11

полученной матрице соответствует система уравнений

решаем уравнение снизу вверх

решение системы

Задание № 2

Координаты вершин пирамиды А(1, -4, 0), В(5, 0, -2), С(3, 7, -10), Д(1, -2, 1) – вершины пирамиды. Найти:

1) записать векторы АВ, АС, АД в системе орт и найти их длины

2) найти угол между векторами АВ и АС

3) найти проекцию вектора АД на вектор АВ

4) найти площадь грани АВС

5) найти объем пирамиды АВСД

Решение

1. записать векторы

в системе орт и найти их длины.

Произвольный вектор может быть представлен в системе орт i, j, k следующей формулой

, где — проекции вектора а на соответствующие координатные оси. Если даны точки и , то проекции вектора на координатные оси находятся по формулам ; ;

расстояние между двумя точками

и определяется по формуле

запишем вектор

; ; ;

длина АВ будет равна

запишем вектор

; ; ;

длина АС будет равна

запишем вектор

; ; ;

длина АД будет равна

2. найти угол между векторами

;

косинус угла между двумя векторами равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их модулей.

модуль вектора

равен

модуль вектора

равен

скалярное произведение векторов

Таким образом,

, угол А=36,86°

3. найти проекцию вектора

на вектор ;

Проекция вектора

на вектор равна скалярному произведению этих векторов, деленному на модуль вектора

скалярное произведение векторов

4. найти объем пирамиды ABCД

Объем пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на ребрах

Объем параллелепипеда, построенного на трех некомпланарных векторах

, , , равен абсолютной величине их смешанного произведения

Объем пирамиды равен

Задание № 3

Найти указанные пределы

а)

б)

— бесконечно малые

в)

mirznanii.com

Практическая работа «Решение систем линейных уравнений третьего порядка методом Крамера»

Практическая работа

«Решение систем линейных уравнений третьего порядка методом Крамера»

Цели работы:

• расширить представление о методах решения СЛУ и отработать алгоритм решения СЛУ методом Крамора;

• развивать логическое мышление студентов, умение находить рациональное решение задачи;

• воспитывать у студентов аккуратность и культуру письменной математической речи при оформлении ими своего решения.

Основной теоретический материал.

Метод Крамера . Применение для систем линейных уравнений.

Задана система N линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с  неизвестными, коэффициентами при которых являются элементы матрицы , а свободными членами — числа

Первый индекс возле коэффициентов указывает в каком уравнении находится коэффициент, а второй — при котором из неизвестным он находится.

Если определитель матрицы не равен нулю

то система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение. Решением системы линейных алгебраических уравнений называется такая упорядоченная совокупность  чисел , которая при превращает каждое из уравнений системы в правильную равенство. Если правые части всех уравнений системы равны нулю, то систему уравнений называют однородной. В случае, когда некоторые из них отличны от нуля – неоднородной Если система линейных алгебраических уравнений имеет хоть одно решение, то она называется совместной, в противном случае — несовместимой. Если решение системы единственное, то система линейных уравнений называется определенной. В случае, когда решение совместной системы не единственное, систему уравнений называют неопределенной. Две системы линейных уравнений называются эквивалентными (или равносильными), если все решения одной системы является решениями второй, и наоборот. Эквивалентны (или равносильны) системы получаем с помощью эквивалентных преобразований.

Эквивалентные преобразования СЛАУ

1) перестановка местами уравнений;

2) умножение (или деление) уравнений на отличное от нуля число;

3) добавление к некоторого уравнения другого уравнения, умноженного на произвольное, отличное от нуля число.

Решение СЛАУ можно найти разными способами, например , по формулам Крамера (метод Крамера)

Теорема Крамера.  Если определитель системы  линейных алгебраических уравнений с  неизвестными отличен от нуля то эта система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера: — определители, образованные с  заменой -го столбца, столбцом из свободных членов.

Если , а хотя бы один из  отличен от нуля, то СЛАУ решений не имеет. Если же , то СЛАУ имеет множество решений.

Задача 1.

Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Решить систему методом Крамера

Решение.

Найдем определитель матрицы коэффициентов при неизвестных

Так как , то заданная система уравнений совместная и имеет единственное решение. Вычислим определители:

По формулам Крамера находим неизвестные

Итак единственное решение системы.

Задача 2.

Дана система четырех линейных алгебраических уравнений. Решить систему методом Крамера.

Решение.

Найдем определитель матрицы коэффициентов при неизвестных. Для этого разложим его по первой строке.

Найдем составляющие определителя:

Подставим найденные значения в определитель

Детерминант , следовательно система уравнений совместная и имеет единственное решение. Вычислим определители по формулам Крамера:

Разложим каждый из определителей по столбцу в котором есть больше нулей.

По формулам Крамера находим

Решение системы 

Задания для самостоятельного решения:

ВАРИАНТ 1 Решите систему уравнений по формулам Крамера

ВАРИАНТ 2

1)

2)

₃₎

Критерии оценивания:

Работа оценивается на «3»,если: самостоятельно полностью и верно решена одна из систем.

Работа оценивается на «4»,если: самостоятельно полностью и верно решены любые две системы.

Работа оценивается на «5»,если: самостоятельно полностью и верно решены три системы.

infourok.ru

Теорема Крамера, формула и примеры

Пусть задана система уравнений с неизвестными

   

– матрица этой системы, а – столбец свободных членов

   

Если определитель матрицы системы , то системы линейных уравнений (1) имеет единственное решение, которое вычисляется по формулам

   

где – определители матриц, которые получаются из матрицы заменой -го столбца на столбец свободных членов .

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com