Система уравнений решение – Система уравнений. Подробная теория с примерами.

Системы уравнений. Способы решения систем уравнений

Система уравнений – это группа уравнений, в которых одни и те же неизвестные подразумевают одни те же числа. Чтобы показать что уравнения рассматриваются как система, слева от них ставится фигурная скобка:

	x — 4y = 2
	3x — 2y = 16

Решить систему уравнений – это значит найти общие решения для всех уравнений системы или убедится что решения нет.

Чтобы решить систему уравнений нужно исключить одно неизвестное, то есть из двух уравнений с двумя неизвестными составить одно уравнение с одним неизвестным. Исключить одно из неизвестных можно тремя способами: подстановкой, сравнением, сложением или вычитанием.

Способ подстановки

Чтобы решить систему уравнений способом подстановки, нужно в одном из уравнений выразить одно неизвестное через другое и результат подставить в другое уравнение, которое после этого будет содержать только одно неизвестное. Затем находим значение этого неизвестного и подставляем его в первое уравнение, после этого находим значение второго неизвестного.

Рассмотрим решение системы уравнений:

	x — 4y = 2
	3x — 2y = 16

Сначала найдём чему равен x в первом уравнении, для этого перенесём все члены уравнения, не содержащие неизвестное x, в правую часть:

x — 4y = 2

x = 2 + 4y

Так как x, на основании определения системы уравнений, имеет такое же значение и во втором уравнении, то подставляем его значение во второе уравнение и получаем уравнение с одним неизвестным:

3x	— 2y = 16
3(2 + 4y)	— 2y = 16

Решаем полученное уравнение, чтобы найти чему равен y. Как решать уравнения с одним неизвестным вы можете посмотреть в соответствующей теме.

3(2 + 4y) — 2y = 16

6 + 12y — 2y = 16

6 + 10y = 16

10y = 16 — 6

10y = 10

y = 10 : 10

y = 1

Мы определили что y = 1, теперь, для нахождения численного значения x, подставим значение y в преобразованное первое уравнение, где мы ранее нашли какому выражению равен x:

x = 2 + 4y = 2 + 4 · 1 = 2 + 4 = 6

Ответ: x = 6, y = 1.

Способ сравнения

Способ сравнения – это частный случай подстановки. Чтобы решить систему уравнений способом сравнения, нужно в обоих уравнениях найти какому выражению будет равно одно и тоже неизвестное и приравнять полученные выражения друг к другу. Получившееся в результате уравнение позволяет узнать значение одного неизвестного, с помощью этого значения затем вычисляется значение второго неизвестного.

Например, для решение системы:

	x — 4y = 2
	3x — 2y = 16

найдём в обоих уравнениях чему равен y (можно сделать и наоборот – найти чему равен x):

x — 4y = 2	3x — 2y = 16
-4y = 2 — x	-2y = 16 — 3x
y = (2 — x) : — 4	y = (16 — 3x) : -2

Составляем из полученных выражений уравнение:

Решаем уравнение, чтобы узнать значение x:

2 — x  · (-4) =  16 — 3x  · (-4) -4 -2

2 — x = 32 — 6x

2 — x + 6x = 32 — 2

5x = 30

x = 30 : 5

x = 6

Теперь подставляем значение x в первое или второе уравнение системы и находим значение y:

x — 4y = 2	3x — 2y = 16
6 — 4y = 2	3 · 6 — 2y = 16
-4y = 2 — 6	-2y = 16 — 18
-4y = -4	-2y = -2
y = 1	y = 1

Ответ: x = 6, y = 1.

Способ сложения или вычитания

Чтобы решить систему уравнений способом сложения, нужно составить из двух уравнений одно, сложив левые и правые части, при этом одно из неизвестных должно быть исключено из полученного уравнения. Неизвестное можно исключить уравняв при нём коэффициенты в обоих уравнениях.

Рассмотрим систему:

	x — 4y = 2
	3x — 2y = 16

Уравняем коэффициенты при неизвестном y, умножив все члены второго уравнения на -2:

(3x — 2y) · -2 = 16 · -2

-6x + 4y = -32

получим:

	x — 4y = 2
	-6x + 4y = -32

Теперь сложим по частям оба уравнения, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:

+	x  —  4y = 2
	-6x + 4y = -32
	-5x         = -30

Находим значение x (x = 6). Теперь подставив значение x в любое уравнение системы, найдём y = 1.

Если уравнять коэффициенты у x, то для исключения этого неизвестного нужно было бы вычесть одно уравнение из другого.

Уравняем коэффициенты при неизвестном x, умножив все члены первого уравнения на 3:

(x — 4y) · 3 = 2 · 3

3x — 12y = 6

получим:

	3x — 12y = 6
	3x — 2y = 16

Теперь вычтем по частям второе уравнение из первого, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:

—	3x  —  12y = 6
	3x  —   2y = 16
	-10y = -10

Находим значение

y (y = 1). Теперь подставив значение y в любое уравнение системы, найдём x = 6:

3x — 2y = 16

3x — 2 · 1 = 16

3x — 2 = 16

3x = 16 + 2

3x = 18

x = 18 : 3

x = 6

Ответ: x = 6, y = 1.

Для решения системы уравнений, рассмотренной выше, был использован способ сложения, который основан на следующем свойстве:

Любое уравнение системы можно заменить на уравнение, получаемое путём сложения (или вычитания) уравнений, входящих в систему. При этом получается система уравнений, имеющая те же решения, что и исходная.

naobumium.info

Метод сложения в системе уравнений

23 октября 2015

Этим видео я начинаю цикл уроков, посвящённых системам уравнений. Сегодня мы поговорим о решении систем линейных уравнений методом сложения — это один из самых простых способов, но одновременно и один из самых эффективных.

Способ сложения состоит из трёх простых шагов:

1. Посмотреть на систему и выбрать переменную, у которой в каждом уравнении стоят одинаковые (либо противоположные) коэффициенты;
2. Выполнить алгебраическое вычитание (для противоположных чисел — сложение) уравнений друг из друга, после чего привести подобные слагаемые;
3. Решить новое уравнение, получившееся после второго шага.

Если всё сделать правильно, то на выходе мы получим одно-единственное уравнение с одной переменной — решить его не составит труда. Затем останется лишь подставить найденный корень в исходную система и получить окончательный ответ.

Однако на практике всё не так просто. Причин тому несколько:

• Решение уравнений способом сложения подразумевает, что во всех строчках должны присутствовать переменные с одинаковыми/противоположными коэффициентами. А что делать, если это требование не выполняется?
• Далеко не всегда после сложения/вычитания уравнений указанным способом мы получим красивую конструкцию, которая легко решается. Возможно ли как-то упростить выкладки и ускорить вычисления?

Чтобы получить ответ на эти вопросы, а заодно разобраться с несколькими дополнительными тонкостями, на которых «заваливаются» многие ученики, смотрите мой видеоурок:

Этим уроком мы начинаем цикл лекций, посвященный системам уравнений. А начнем мы из самых простых из них, а именно из те, которые содержат два уравнения и две переменных. Каждое из них будет являться линейным. 

Системы — это материал 7-го класса, но этот урок также будет полезен старшеклассникам, которые хотят освежить свои знания в этой теме.

Вообще, существует два метода решения подобных систем:

1. Метод сложения;
2. Метод выражения одной переменной через другую.

Сегодня мы займемся именно первым методом — будем применять способ вычитания и сложения. Но для этого нужно понимать следующий факт: как только у вас есть два или более уравнений, вы вправе взять любые два из них и сложить друг с другом. Складываются они почленно, т.е. «иксы» складываются с «иксами» и приводятся подобные, «игреки» с «игреками» — вновь приводятся подобные, а то, что стоит справа от знака равенства, также складывается друг с другом, и там тоже приводятся подобные.

Результатами подобных махинаций будет новое уравнение, которое, если и имеет корни, то они обязательно будут находиться среди корней исходного уравнения. Поэтому наша задача — сделать вычитание или сложение таким образом, чтобы или $x$, или $y$ исчез.

Как этого добиться и каким инструментом для этого пользоваться — об этом мы сейчас и поговорим.

Решение легких задач с применением способа сложения

Итак, учимся применять метод сложения на примере двух простейших выражений.

Задача № 1

\[\left\{ \begin{align}& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end{align} \right.\]

Заметим, что у $y$ коэффициент в первом уравнении $-4$, а во втором — $+4$. Они взаимно противоположны, поэтому логично предположить, что если мы их сложим, то в полученной сумме «игреки» взаимно уничтожатся. Складываем и получаем:

\[12x=24\]

Решаем простейшую конструкцию:

\[x=2\]

Прекрасно, мы нашли «икс». Что теперь с ним делать? Мы вправе подставить его в любое из уравнений. Подставим в первое:

\[5\cdot 2-4y=22\]

\[10-4y=22\]

Решаем:

\[-4y=22-10\]

\[-4y=12\left| :\left( -4 \right) \right.\]

\[y=-3\]

Ответ: $\left( 2;-3 \right)$.

Задача № 2

\[\left\{ \begin{align}& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end{align} \right.\]

Здесь полностью аналогичная ситуация, только уже с «иксами». Сложим их:

\[0-10y=-30\]

Мы получили простейшее линейное уравнение, давайте решим его:

\[y=3\]

Теперь давайте найдем $x$:

\[6x-11\cdot 3=-5\]

\[6x=-51+33\]

\[6x=-18\]

\[x=-3\]

Ответ: $\left( -3;3 \right)$.

Важные моменты

Итак, только что мы решили две простейших системы линейных уравнений методом сложения. Еще раз ключевые моменты:

1. Если есть противоположные коэффициенты при одной из переменных, то необходимо сложить все переменные в уравнении. В этом случае одна из них уничтожится.
2. Найденную переменную подставляем в любое из уравнений системы, чтобы найти вторую.
3. Окончательную запись ответа можно представить по-разному. Например, так — $x=…,y=…$, или в виде координаты точек — $\left( …;… \right)$. Второй вариант предпочтительней. Главное помнить, что первой координатой идет $x$, а второй — $y$.
4. Правило записывать ответ в виде координат точки применимо не всегда. Например, его нельзя использовать, когда в роли переменных выступают не $x$ и $y$, а, к примеру, $a$ и $b$.

В следующих задачах мы рассмотрим прием вычитания, когда коэффициенты не противоположны.

Решение легких задач с применением метода вычитания

Задача № 1

\[\left\{ \begin{align}& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end{align} \right.\]

Заметим, что противоположных коэффициентов здесь нет, однако есть одинаковые. Поэтому вычитаем из первого уравнения второе:

\[10x-\left( -6x \right)-3y-\left( -3y \right)=5-\left( -27 \right)\]

\[10x+6x-3y+3y=5+27\]

\[16x=32\left| :16 \right.\]

\[x=2\]

Теперь подставляем значение $x$ в любое из уравнений системы. Давайте в первое:

\[10\cdot 2-3y=5\]

\[20-5=3y\]

\[15=3y\]

\[y=5\]

Ответ: $\left( 2;5 \right)$.

Задача № 2

\[\left\{ \begin{align}& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end{align} \right.\]

Мы снова видим одинаковый коэффициент $5$ при $x$ в первом и во втором уравнении. Поэтому логично предположить, что нужно из первого уравнения вычесть второе:

\[0+6y=-22+4\]

\[6y=-18\left| :6 \right.\]

\[y=-3\]

Одну переменную мы вычислили. Теперь давайте найдем вторую, например, подставив значение $y$ во вторую конструкцию:

\[5x-2\cdot \left( -3 \right)=-4\]

\[5x+6=-4\]

\[5x=-4-6\]

\[5x=-10\left| :5 \right.\]

\[x=-2\]

Ответ: $\left( -3;-2 \right)$.

Нюансы решения

Итак, что мы видим? По существу, схема ничем не отличается от решения предыдущих систем. Отличие только в том, что мы уравнения не складываем, а вычитаем. Мы проводим алгебраическое вычитание.

Другими словами, как только вы видите систему, состоящую из двух уравнений с двумя неизвестными, первое, на что вам необходимо посмотреть — это на коэффициенты. Если они где-либо одинаковые, уравнения вычитаются, а если они противоположные — применяется метод сложения. Всегда это делается для того, чтобы одна из них исчезла, и в итогом уравнении, которая осталась после вычитания, осталась бы только одна переменная.

Разумеется, это еще не все. Сейчас мы рассмотрим системы, в которых уравнения вообще несогласованны. Т.е. нет в них таких переменных, которые были бы либо одинаковые, либо противоположные. В этом случае для решения таких систем применяется дополнительный прием, а именно домножение каждого из уравнений на специальный коэффициент. Как найти его и как решать вообще такие системы, сейчас мы об этом и поговорим.

Решение задач методом домножения на коэффициент

Пример № 1

\[\left\{ \begin{align}& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end{align} \right.\]

Мы видим, что ни при $x$, ни при $y$ коэффициенты не только не взаимно противоположны, но и вообще никак не соотносятся с другим уравнением. Эти коэффициенты никак не исчезнут, даже если мы сложим или вычтем уравнения друг из друга. Поэтому необходимо применить домножение. Давайте попытаемся избавиться от переменной $y$. Для этого мы домножим первое уравнение на коэффициент при $y$ из второго уравнения, а второе уравнение — при $y$ из первого уравнения, при этом не трогая знак. Умножаем и получаем новую систему:

\[\left\{ \begin{align}& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end{align} \right.\]

Смотрим на нее: при $y$ противоположные коэффициенты. В такой ситуации необходимо применять метод сложения. Сложим:

\[37x=148\]

\[x=4\]

Теперь необходимо найти $y$. Для этого подставим $x$ в первое выражение:

\[5\cdot 4-9y=38\]

\[20-9y=38\]

\[-9y=18\left| :\left( -9 \right) \right.\]

\[y=-2\]

Ответ: $\left( 4;-2 \right)$.

Пример № 2

\[\left\{ \begin{align}& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end{align} \right.\]

Вновь коэффициенты ни при одной из переменных не согласованы. Домножим на коэффициенты при $y$:

\[\left\{ \begin{align}& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end{align} \right.\]

\[\left\{ \begin{align}& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end{align} \right.\]

Наша новая система равносильна предыдущей, однако коэффициенты при $y$ являются взаимно противоположными, и поэтому здесь легко применить метод сложения:

\[118x=-136\]

\[x=-2\]

Теперь найдем $y$, подставив $x$ в первое уравнение:

\[11\cdot \left( -2 \right)+4y=-18\]

\[-22+4y=-18\]

\[4y=4\]

\[y=1\]

Ответ: $\left( -2;1 \right)$.

Нюансы решения

Ключевое правило здесь следующее: всегда умножаем лишь на положительные числа — это избавит вас от глупых и обидных ошибок, связанных с изменением знаков. А вообще, схема решения довольно проста:

1. Смотрим на систему и анализируем каждое уравнение.
2. Если мы видим, что ни при $y$, ни при $x$ коэффициенты не согласованы, т.е. они не являются ни равными, ни противоположными, то делаем следующее: выбираем переменную, от которой нужно избавиться, а затем смотрим на коэффициенты при этих уравнениях. Если первое уравнение домножим на коэффициент из второго, а второе, соответственное, домножим на коэффициент из первого, то в итоге мы получим систему, которая полностью равносильна предыдущей, и коэффициенты при $y$ будут согласованы. Все наши действия или преобразования направлены лишь на то, чтобы получить одну переменную в одном уравнении.
3. Находим одну переменную.
4. Подставляем найденную переменную в одно из двух уравнений системы и находим вторую.
5. Записываем ответ в виде координаты точек, если у нас переменные $x$ и $y$.

Но даже в таком нехитром алгоритме есть свои тонкости, например, коэффициенты при $x$ или $y$ могут быть дробями и прочими «некрасивыми» числами. Эти случаи мы сейчас рассмотрим отдельно, потому что в них можно действовать несколько иначе, чем по стандартному алгоритму.

Решение задач с дробными числами

Пример № 1

\[\left\{ \begin{align}& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\end{align} \right.\]

Для начала заметим, что во втором уравнении присутствуют дроби. Но заметим, что можно разделить $4$ на $0,8$. Получим $5$. Давайте второе уравнение домножим на $5$:

\[\left\{ \begin{align}& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end{align} \right.\]

Вычитаем уравнения друг из друга:

\[0-15,5n=62\]

\[n=\frac{65}{-15,5}=-\frac{124}{31}=-4\]

$n$ мы нашли, теперь посчитаем $m$:

\[4m-3\cdot \left( -4 \right)=32\]

\[4m+12=32\]

\[4m=20\]

\[m=5\]

Ответ: $n=-4;m=5$

Пример № 2

\[\left\{ \begin{align}& 2,5p+1,5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end{align} \right.\]

Здесь, как и в предыдущей системе, присутствуют дробные коэффициенты, однако ни при одной из переменных коэффициенты в целое число раз друг в друга не укладываются. Поэтому используем стандартный алгоритм. Избавится от $p$:

\[\left\{ \begin{align}& 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\\end{align} \right.\]

Применяем метод вычитания:

\[15,5k=-31\]

\[k=-\frac{31}{15,5}=-\frac{62}{31}=-2\]

Давайте найдем $p$, подставив $k$ во вторую конструкцию:

\[2p-5\cdot \left( -2 \right)=2\]

\[2p-5\cdot \left( -2 \right)=2\]

\[2p+10=2\]

\[2p=-8\]

\[p=-4\]

Ответ: $p=-4;k=-2$.

Нюансы решения

Вот и вся оптимизация. В первом уравнении мы не стали домножать вообще ни на что, а второе уравнение домножили на $5$. В итоге мы получили согласованное и даже одинаковое уравнение при первой переменной. Во второй системе мы действовали по стандартному алгоритму.

Но как найти числа, на которые необходимо домножать уравнения? Ведь если домножать на дробные числа, мы получим новые дроби. Поэтому дроби необходимо домножить на число, которое бы дало новое целое число, а уже после этого домножать переменные на коэффициенты, следуя стандартному алгоритму.

В заключение хотел бы обратить ваше внимание на формат записи ответа. Как я уже и говорил, поскольку здесь у нас тут не $x$ и $y$, а другие значения, мы пользуемся нестандартной записью вида:

\[n=-4\]

\[m=5\]

Решение сложных систем уравнений

В качестве заключительного аккорда к сегодняшнему видеоуроку давайте рассмотрим пару действительно сложных систем. Их сложность будет состоять в том, что в них и слева, и справа будут стоять переменные. Поэтому для их решения нам придется применять предварительную обработку.

Система № 1

\[\left\{ \begin{align}& 3\left( 2x-y \right)+5=-2\left( x+3y \right)+4 \\& 6\left( y+1 \right)-1=5\left( 2x-1 \right)+8 \\\end{align} \right.\]

Каждое уравнение несет в себе определенную сложность. Поэтому с каждым выражением давайте поступим как с обычной линейной конструкцией.

Первая:

\[3\left( 2x-y \right)+5=-2\left( x+3y \right)+4\]

\[6x-3y+5=-2x-6y+4\]

\[6x-3y+2x+6y=4-5\]

\[8x+3y=-1\]

Вторая:

\[6\left( y+1 \right)-1=5\left( 2x-1 \right)+8\]

\[6y+6-1=10x-5+8\]

\[6y-10x=-5+8-6+1\]

\[-10x+6y=-2\]

Итого мы получим окончательную систему, которая равносильна исходной:

\[\left\{ \begin{align}& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end{align} \right.\]

Посмотрим на коэффициенты при $y$: $3$ укладывается в $6$ два раза, поэтому домножим первое уравнение на $2$:

\[\left\{ \begin{align}& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end{align} \right.\]

Коэффициенты при $y$ теперь равны, поэтому вычитаем из первого уравнения второе: $$

\[26x=0\]

\[x=0\]

Теперь найдем $y$:

\[3y=-1\]

\[y=-\frac{1}{3}\]

Ответ: $\left( 0;-\frac{1}{3} \right)$

Система № 2

\[\left\{ \begin{align}& 4\left( a-3b \right)-2a=3\left( b+4 \right)-11 \\& -3\left( b-2a \right)-12=2\left( a-5 \right)+b \\\end{align} \right.\]

Преобразуем первое выражение:

\[4\left( a-3b \right)-2a=3\left( b+4 \right)-11\]

\[4a-12b-2a=3b+12-11\]

\[4a-12b-2a-3b=12-11\]

\[2a-15b=1\]

Разбираемся со вторым:

\[-3\left( b-2a \right)-12=2\left( a-5 \right)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

\[4a-4b=2\]

Итого, наша первоначальная система примет такой вид:

\[\left\{ \begin{align}& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end{align} \right.\]

Посмотрев на коэффициенты при $a$, мы видим, что первое уравнение нужно домножить на $2$:

\[\left\{ \begin{align}& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end{align} \right.\]

Вычитаем из первой конструкции вторую:

\[0-26b=0\]

\[-26b=0\]

\[b=0\]

Теперь найдем $a$:

\[2a-0=1\]

\[a=\frac{1}{2}\]

Ответ: $\left( a=\frac{1}{2};b=0 \right)$.

Вот и все. Надеюсь, этот видеоурок поможет вам разобраться в этой нелегкой теме, а именно в решении систем простых линейных уравнений. Дальше еще будет много уроков, посвященных этой теме: мы разберем более сложные примеры, где переменных будет больше, а сами уравнения уже будут нелинейными. До новых встреч!

Смотрите также:

1. Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №5
2. Решение ЕГЭ-2011: вариант 1, часть B
3. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 10 (без логарифмов)
4. Как решать задачи про смеси и сплавы
5. Задача B5: площадь фигуры без клеток

www.berdov.com

определение, виды, примеры решения, что это такое

Статья знакомит с таким понятием, как определение системы уравнений и ее решением. Будут рассмотрены часто встречающиеся случаи решений систем. Приведенные примеры помогут подробно пояснить решение.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Определение системы уравнений

Чтобы перейти к определению системы уравнений, необходимо обратить внимание на два момента: вид записи и ее смысл. Чтобы понять это, нужно подробно остановиться на каждом из видов, тогда сможем прийти к определению систем уравнений.

Например, возьмем два уравнения 2·x+y=−3 и x=5, после чего объединим фигурной скобкой такого плана:

2·x+y=-3,x=5.

Уравнения, объединенные фигурной скобкой, считаются записями систем уравнений. Они задают множества решений уравнений данной системы. Каждое решение должно являться решением всех заданных уравнений.

Другими словами это означает, что любые решения первого уравнения будут решениями всех уравнений, объединенных системой.

Определение 1

Системы уравнений – это некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой, имеющих множество решений уравнений, которые одновременно являются решениями для всей системы.

Основные виды систем уравнений

Видов уравнений достаточно много, как систем уравнений. Для того, чтобы было удобно решать и изучать их, подразделяют на группы по определенным характеристикам. Это поможет в рассмотрении систем уравнений отдельных видов.

Для начала уравнения классифицируются по количеству уравнений. Если уравнение одно, то оно является обычным уравнением, если их более, тогда имеем дело с системой, состоящей из двух или более уравнений.

Другая классификация затрагивает число переменных. Когда количество переменных 1, говорят, что имеем дело с системой уравнений с одной неизвестной, когда 2 – с двумя переменными. Рассмотрим пример

x+y=5,2·x-3·y=1

Очевидно, что система уравнений включает в себя две переменные х и у.

При записи таких уравнений считается число всех переменных, имеющихся в записи. Их наличие в каждом уравнении необязательно. Хотя бы одно уравнение должно иметь одну переменную. Рассмотрим пример системы уравнений

2x=11,x-3·z2=0,27·x+y-z=-3

Данная система имеет 3 переменные х, у, z. Первое уравнение имеет явный

zaochnik.com

StudyPort.Ru — Система уравнений. Решения системы

Системой уравнений называется совокупность уравнений, для которых нужно найти значения неизвестных, удовлетворяющие одновременно всем уравнениям системы.

Значения неизвестных, удовлетворяющие одновременно всем уравнением системы называются решениями системы.

 

Примеры систем уравнений:

Системы уравнений могут состоять из двух и более уравнений и содержать одну и более переменных. Система уравнений может не иметь решений, иметь несколько решений, иметь бесконечное множество решений. Система уравнений, не имеющая решений, называется несовместной.

В школьной программе изучаются системы, содержащие две переменных.

Для решения различных видов систем разработано много различных методов решения, но   в рамках школьного курса рассматриваются два основных метода.

Первый метод заключается в том, что мы в одном из уравнений выражаем одну переменную через другую. Полученное выражение, подставляем во второе уравнение вместо этой переменной и получаем уравнение с одной неизвестной. Это уравнение с одной неизвестной решаем известными нам способами.

Второй метод заключается в том, что мы умножаем одно из уравнений на подходящее число так, чтобы, сложив это уравнение с другим, исключить одну переменную и получить уравнение с одной неизвестной.    

 

Примеры решения систем уравнений.

1. Решить систему уравнений 

Решим эту систему обоими методами – ответ должен получиться одинаковый.

 

Первый метод.

Выразим во втором уравнении y через x:

Подставим это выражение в первое уравнение вместо y:

Решим верхнее уравнение с одной неизвестной:

Мы нашли два возможных значения для первой переменной. Теперь найдем соответствующие значения для второй:

y₁ = -(3x+x₁²) = -(3+2²) = -7; y₂ = -(3x+x₂²) = -(3+(-2)²) = -7

Ответ: {(2;-7), (-2;-7)}.

 

Второй метод.

Сложим первое уравнение со вторым – должен исключиться у:

Решением верхнего уравнения будет два значения х:  x₁ = 2; x₂ = -2.

Мы нашли два возможных значения для первой переменной. Теперь найдем соответствующие значения для второй, решив второе уравнение, подставив в него вместо х его значения:

-2²-y₁ = 3, -y₁ = 7, y₁ = -7;

-(-2)²-y₂ = 3, -y₂ = 7, y₂ = -7.

Ответ: {(2;-7), (-2;-7)}.

studyport.ru

Системы уравнений, решению систем линейных уравнений

Понятие системы и ее розвязків

Определение: Если ставится задача найти все общие развязки двух (или более) уравнений с одной или несколькими переменными, то говорят, что надо розвязати систему уравнений.

Определение: Розвязком системы — такое значение переменной или такой упорядоченный набор значений зміниих, что удовлетворяет сразу всем уравнениям системы, то есть розвязком системы двух или более уравнений с неизвестными называется такое упорядоченное множество множество чисел, при подстановке которых в систему вместо неизвестных все уравнения превращаются в верные числовые равенства.

Определение: Розвязати систему уравнений — найти все ее развязки или доказать, что их нет.

Если система не имеет решения, то она несовместима.

Примеры систем

— система двух уравнений с двумя переменными

Пара то есть —решение системы

— система трех уравнений с тремя переменными

Тройка то есть — один из розвязків системы

Схема решению систем уравнений

Графический метод

1. Выполняем равносильные преобразования, так, чтобы было удобно построить график функции. Например:
2. Строим графики.
3. Находим точки пересечения графиков. Координаты этих точек и есть розвязком данной системы уравнений.

Метод подстановки

1. Из одного уравнения системы выражаем одну переменную через другую, всегда выбираем удобную переменную. Например, из уравнения выражаем переменную а не наоборот.
2. Найденное значение подставляем в другое уравнение системы и получаем уравнение с одной переменной.
3. Розвязуємо полученное уравнение
4. Найденное значение подставляем в выраженное уравнение, и находим значение второй переменной.

Метод сложения

1. Урівнюємо коэффициенты при одной из переменных путем по членного умножения обоих уравнений на множители, подобранные соответствующим образом.
2. Добавляем (или отнимаем) почленно два уравнения системы, тем самым исключается одна переменная.
3. Розвязуємо полученное уравнение.
4. Подставляем найденное значение переменной в любое из исходных уравнений.

Примеры решению систем уравнений

Решению графическим методом

Пример 1

Розвяжіть уравнения:

Решения:

Строим графики

Построив графики увидим, что графики пересекаются в точке

Ответ:

Решению методом подстановки

Пример 2

Розвяжіть уравнения:

Решения:

Из первого уравнения выражаем А полученное выражение подставляем во второе уравнение системы:

Полученное значение подставляем в выражение

Ответ:

Решению методом добавления

Пример 3

Розвяжіть уравнения:

Решения:

Должны избавиться от переменной Умножаем почленно первое уравнение системы на 3, а второе – на 2.

Добавляем почленно уравнение и получаем:

Находим значение из первого уравнения системы:

Ответ:

Замечание: В методе добавления можно умножать не только на положительные числа, а и на отрицательные.

Каким способом розвязувати систему уравнений решать только Вам.

cubens.com

«Методы решения систем уравнений». Факультатив по математике

Разделы: Математика

---

При планировании внеклассной работы, ставлю перед собой цель: вызвать интерес учащихся к предмету. Факультативы способствуют развитию математического кругозора, творческих способностей учащегося, привитию навыков самостоятельной работы и тем самым повышению качества математической подготовки учащегося.

Данный факультатив провела в 9 классе после изучения темы, как повторительно-обобщающий, позволяющий не только обобщить и закрепить полученные знания. На это занятие приглашены 10 участников 7 класса, в котором я работаю (из них 2 содокладчика).

Тема: “Методы решения систем уравнений”.

Тип урока – пресс-конференция.

Цели:

1. поиск различных способов и методов решения систем уравнений, умение выступать перед аудиторией с подготовленными сообщениями.
2. стимулирование творческого мышления нестандартными методами.
3. обобщение и систематизация знаний учащихся по данной теме, приучать работе со справочной и дополнительной литературой.
4. развитие математического мышления, взаимовыручки, взаимопомощи, умению вести культурную дискуссию, правильной математической речи.
5. воспитание чувства ответственности.

Оборудование: плакаты, таблицы, схема, карточки — смотри Приложение 1

Председатель: учитель

Экспертная группа: учитель, родитель, ученик.

Повестка (план конференции):

1. Сообщение 1. Из истории решения систем уравнения   /Оглоблина О./ 9 класс
2. Сообщение 2. Решение систем методом подстановки   /Хохлов Д./ 9 класс
3. Сообщение 3. Системы симметричных уравнений   /Троянова К./ 9 класс
4. Сообщение 4. Системы линейных уравнений с параметрами  /Заблоцкий Н./ 7 класс
5. Сообщение 5. Геометрические приемы решения систем уравнений  /Кравец В./ 9 класс
6. Сообщение 6. Метод Крамера или метод определителей  /Трифонова Е./ 9 класс

Решение (Заключение)

Творческая работа – выпуск стенгазеты “Вести с конференции”

1 сообщение

Из истории решения систем уравнений.

Издавна применялось исключение неизвестных из линейных уравнений. В XVII — XVIII в.в. приемы исключения разрабатывали Ферма, Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Безу, Лагранж (портреты находятся на стенде в кабинете).

В современной записи система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет вид:

Решение этой системы выражается формулами

Благодаря методу координат, созданному в XVII в. Ферма и Декартом, стало возможным решать системы уравнений графически.

В древневавилонских текстах, написанных в III – II тысячелетиях до н.э., содержится немало задач, решаемых с помощью составления систем уравнений, в которые входят и уравнения второй степени. Например, Задача № 20. Площади двух своих квадратов я сложил: 25. Сторона второго квадрата равна стороны первого и еще 5. Соответствующая система уравнений в современной записи имеет вид:

Для решения системы (1) вавилонский автор возводит во втором уравнении у в квадрат, получаем у² = х² + х + 25,

подставив, получаем 1х² + 6 х = , решая уравнение, находим х, затем у.

Диофант, который не имел обозначений для многих неизвестных, прилагал немало усилий для выбора неизвестного таким образом, чтобы свести решение системы к решению одного уравнения.

Задача 21. “Найти два натуральных числа, зная, что их сумма = 20, а сумма их квадратов 208”.

Задачу так же решали составлением системы уравнений,

но решал Диофант, выбирая в качестве неизвестного половину разности искомых чисел, т.е.

Далее

x² + y² = (z + 10)² + (10 – z)² = 2z² + 200, а по условию =208

2z² + 200 = 208

z = ± 2 z = — 2- не уд. услов. задачи

поэтому, если z = 2 x = 12, а у = 8.

2 сообщение

Решение систем методом подстановки.

С системами уравнений мы познакомились в курсе алгебры 7-го класса, но это были системы специального вида – системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Алгоритм, который был выработан в 7 классе, вполне пригоден для решения систем любых двух уравнений с двумя переменными х и у.

1. Выразить у через х из одного уравнения системы.
2. Подставить полученное выражение вместо у в другое уравнение системы.
3. Решить полученное уравнение относительно х.
4. Подставить поочередно каждый из найденных на 3 шаге корней уравнения вместо х в выражение у через х, полученное на первом шаге.
5. Записать ответ в виде пар значений (х;у).

Покажу как работает этот метод при решении более сложных систем. /Кравец В./

х² – ху – 2у² = 0

решим полученное уравнение относительно х

Д = у2 — 4•1 (- 2у2) = 9у2 , = 3 | y |

3 сообщение

Решение систем симметрических уравнений.

1)

Существует универсальный метод решения: вводится подстановка

Преобразуем первое уравнение системы, прибавив к обеим частям ху

х² + ху + ху + у² = 4 + ху

х² + 2ху + у² = 4 + ху

( х + у)² = 4 + ху

Получим систему

Применим универсальную подстановку

Рассмотрим решение еще одной системы

( х + у)⁵ = х⁵ + 5х⁴у + 10х³у² + 10х²у³ + 5ху⁴ + у⁵ = ( х⁵ + у⁵) + 5ху (х³ + у³) + 10х²у²(х + у)

х³ + у³ = ( х + у)³ – 3ху ( х + у), используем формулу (2)

5⁵ = 275 + 5z • 5³ – 15z² •5 + 10z² + 5 / : 25

5³ = 11 + 25z – 3z² + 2z², z² – 25z + 114 = 0

Д = 169, z₁ = 19 z₂ = 6

4 докладчик

Системы линейных уравнений с параметром

Напомню на примерах три случая:

а) когда коэффициенты при х и у не пропорциональны

б) когда коэффициенты все пропорциональны

в) коэффициенты при х пропорциональны коэффициентам при у, но не пропорциональны свободным членам.

Эти знания необходимы при решении следующих заданий:

*Определите все значения параметра а, при которых система уравнений

Решение

5 сообщение

Геометрический прием решения систем уравнений

Решение

По теореме обратной теореме Пифагора, из уравнения х² + у² =3² , числа х и у являются катетами АBD ( D – прямой) с гипотенузой АВ = 3.

Рассматривая второе уравнение у² + z² = 16, построим BDC, где у и z – катеты, а ВС = 4 – гипотенуза.

Третье уравнение y² = xz подсказывает, что число у есть среднее пропорциональное чисел х и z.

По теореме обратной теореме о пропорциональных отрезках АВС = 90⁰

АС = ( х + z ) = = 5,

Тогда AB² = AD • AC, 9 = х • 5, х =

BC² = DC • AC, 16 = z • 5, z =

BD² = y² = x • z =·

BD = = y.

Такой прием дает потерю корней, легко убедиться,

что х = ± 9/5; у = ± 12/5; z = ± 16/5.

Для данной системы задания могут быть и другие.

Например, чему равно значение выражения

ху + уz ; х + у + z; х + у; х + z;

6 сообщение

Метод Крамера

Система вида называется системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными, где а₁; а₂; в₁; в₂; с₁ и с₂ – числа. И а₁² + в₁² ? 0 а₂² + в₂² ? 0.

Одним из основных методов решения данной системы является метод Крамера или метод определителей. По коэффициентам данной системы составляем три определителя: (главный), _х – определитель неизвестного х; _у – определитель неизвестного у.

* Решить систему

*Найдите все значения параметра b, при которых система имеет единственное решение

Творческая работа по карточкам взаимотренажера “Рисуем координатами”.

Решите системы и постройте фигуру по координатам.

Конференция закончилась. Я верю, что у вас появилось желание попробовать свои силы в решении систем. Возьмите задания и приступайте к творческой работе.

А теперь наступило время оформить следующий выпуск математический газеты “Вести с конференции”.

Список литературы

1. Г.И. Глейзер “История математики в школе”

2. И.Я. Депман “За страницами учебника алгебры”

3. М.Л. Галицкий А.М.Гольдман “Сборник задач по алгебре 8-9”

4. А.Г. Мордкович “Алгебра 9”. “Алгебра 7”

5. Ю.Н. Макарычев “Алгебра 9”. “Алгебра 7”

Приложение

15.02.2005

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

No related posts.