Системы уравнений метод крамера – Метод Крамера, примеры решений

Метод Крамера

Метод Крамера предназначен для решения тех систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), у которых определитель матрицы системы отличен от нуля. Естественно, при этом подразумевается, что матрица системы квадратна (понятие определителя существует только для квадратных матриц). Решение системы уравнений методом Крамера проходит за три шага простого алгоритма:

1. Составить определитель матрицы системы (его называют также определителем системы), и убедиться, что он не равен нулю, т.е. $\Delta\neq 0$.
2. Для каждой переменной $x_i$($i=\overline{1,n}$) необходимо составить определитель $\Delta_{x_i}$, полученный из определителя $\Delta$ заменой i-го столбца столбцом свободных членов заданной СЛАУ.
3. Найти значения неизвестных по формуле $x_i=\frac{\Delta_{x_{i}}}{\Delta}$ ($i=\overline{1,n}$).

Перед переходом к чтению примеров рекомендую ознакомиться с правилами вычисления определителей второго и третьего порядка, изложенными здесь.

Пример №1

Решить СЛАУ $\left\{\begin{aligned} & 3x_1+2x_2=-11;\\ & -x_1+5x_2=15. \end{aligned}\right.$ методом Крамера.

Решение

Матрица системы такова: $ A=\left( \begin{array} {cc} 3 & 2\\ -1 & 5 \end{array} \right) $. Определитель этой матрицы $\Delta=\left| \begin{array} {cc} 3 & 2\\ -1 & 5 \end{array}\right|=3\cdot 5-2\cdot(-1)=17$. Как вычисляется определитель второго порядка можете глянуть здесь.

Так как определитель системы не равен нулю, то продолжаем решение методом Крамера. Вычислим значения двух определителей: $\Delta_{x_1}$ и $\Delta_{x_2}$. Определитель $\Delta_{x_1}$ получаем из определителя $\Delta=\left| \begin{array} {cc} 3 & 2\\ -1 & 5 \end{array}\right|$ заменой первого столбца (именно первый столбец содержит коэффициенты при $x_1$) столбцом свободных членов $\left(\begin{array} {c} -11\\ 15\end{array}\right)$:

$$ \Delta_{x_1}=\left|\begin{array}{cc}-11&2\\15&5\end{array}\right|=-55-30=-85. $$

Аналогично, заменяя второй столбец в $\Delta=\left|\begin{array}{cc}3&2\\-1&5\end{array}\right|$ столбцом свободных членов, получим:

$$ \Delta_{x_2}=\left|\begin{array} {cc} 3 & -11\\ -1 & 15\end{array}\right|=45-11=34. $$

Теперь можно найти значения неизвестных $x_1$ и $x_2$.

$$x_1=\frac{\Delta_{x_1}}{\Delta}=\frac{-85}{17}=-5;\;x_2=\frac{\Delta_{x_2}}{\Delta}=\frac{34}{17}=2.$$

В принципе, можно ещё проверить, правильно ли решена система методом Крамера. Подставим в заданную СЛАУ $x_1=-5$, $x_2=2$:

$$\left\{\begin{aligned} & 3x_1+2x_2=3\cdot(-5)+2\cdot{2}=-11;\\ & -x_1+5x_2=-(-5)+5\cdot{2}=15. \end{aligned}\right.$$

Проверка пройдена, решение системы уравнений методом Крамера найдено верно. Осталось лишь записать ответ.

Ответ: $x_1=-5$, $x_2=2$.

Пример №2

Решить СЛАУ $ \left\{\begin{aligned} & 2x_1+x_2-x_3=3;\\ & 3x_1+2x_2+2x_3=-7;\\ & x_1+x_3=-2. \end{aligned} \right.$, используя метод Крамера.

Решение

Определитель системы: $\Delta=\left| \begin{array} {ccc} 2 & 1 & -1\\ 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right|=4+2+2-3=5$. Как вычисляется определитель третьего порядка можете глянуть здесь.

Заменяя первый столбец в $\Delta$ столбцом свободных членов, получим $\Delta_{x_1}$:

$$ \Delta_{x_1}=\left| \begin{array} {ccc} 3 & 1 & -1\\ -7 & 2 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \end{array}\right|=6-4-4+7=5. $$

Заменяя второй столбец в $\Delta$ столбцом свободных членов, получим $\Delta_{x_2}$:

$$ \Delta_{x_2}=\left| \begin{array} {ccc} 2 & 3 & -1\\ 3 & -7 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right|=-14+6+6-7-9+8=-10. $$

Заменяя третий столбец в $\Delta$ столбцом свободных членов, получим $\Delta_{x_3}$:

$$ \Delta_{x_3}=\left| \begin{array} {ccc} 2 & 1 & 3\\ 3 & 2 & -7 \\ 1 & 0 & -2 \end{array}\right|=-8-7-6+6=-15. $$

Учитывая все вышеизложенное, имеем:

$$ x_1=\frac{\Delta_{x_1}}{\Delta}=\frac{5}{5}=1;\; x_2=\frac{\Delta_{x_2}}{\Delta}=\frac{-10}{5}=-2; \; x_3=\frac{\Delta_{x_3}}{\Delta}=\frac{-15}{5}=-3. $$

Метод Крамера завершён. Можно проверить, верно ли решена система уравнений методом Крамера, подставив значения $x_1=1$, $x_2=-2$ и $x_3=-3$ в заданную СЛАУ:

$$\left\{\begin{aligned} & 2x_1+x_2-x_3=2\cdot{1}+(-2)-(-3)=3;\\ & 3x_1+2x_2+2x_3=3\cdot{1}+2\cdot(-2)+2\cdot(-3)=-7;\\ & x_1+x_3=1+(-3)=-2. \end{aligned} \right.$$

Проверка пройдена, решение системы уравнений методом Крамера найдено верно.

Ответ: $x_1=1$, $x_2=-2$, $x_3=-3$.

Пример №3

Решить СЛАУ $\left\{\begin{aligned} & 2x_1+3x_2-x_3=15;\\ & -9x_1-2x_2+5x_3=-7. \end{aligned}\right.$ используя метод Крамера.

Решение

Матрица системы $ \left( \begin{array} {ccc} 2 & 3 & -1\\ -9 & -2 & 5 \end{array} \right) $ не является квадратной. Однако это вовсе не означает, что решение системы уравнений методом Крамера невозможно. Преобразуем заданную СЛАУ, перенеся переменную $x_3$ в правые части уравнений:

$$ \left \{ \begin{aligned} & 2x_1+3x_2=x_3+15;\\ & -9x_1-2x_2=-5x_3-7. \end{aligned} \right. $$

Теперь матрица системы $ \left( \begin{array} {cc} 2 & 3 \\ -9 & -2 \end{array} \right) $ стала квадратной, и определитель её $\Delta=\left| \begin{array} {cc} 2 & 3\\ -9 & -2 \end{array}\right|=-4+27=23$ не равен нулю. Применим метод Крамера аналогично предыдущим примерам:

Ответ можно записать в таком виде: $\left\{\begin{aligned} & x_1=\frac{13x_3-9}{23};\\ & x_2=\frac{-x_3+121}{23};\\ & x_3\in R. \end{aligned}\right.$ Переменные $x_1$, $x_2$ – базисные (в иной терминологии – основные), а переменная $x_3$ – свободная (в иной терминологии – неосновная). Проверка, при необходимости, проводится так же, как и в предыдущих примерах.

Примечание

В подобных примерах возможна ситуация, когда после переноса переменной (или переменных) в правые части уравнений, определитель системы равняется нулю. В этом случае можно перенести в правую часть иную переменную (или переменные). Например, рассмотрим СЛАУ $\left\{\begin{aligned} & 2x_1-5x_2+10x_3=14;\\ & -4x_1+10x_2-7x_3=5. \end{aligned}\right.$. Если перенести в правые части уравнений $x_3$, получим: $ \left\{\begin{aligned} &2x_1-5x_2=-10x_3+14;\\ &-4x_1+10x_2=7x_3+5. \end{aligned}\right.$. Определитель данной системы $\Delta=\left| \begin{array} {cc} 2 & -5\\ -4 & 10 \end{array}\right|=20-20=0$. Однако если перенести в правые части уравнений переменную $x_2$, то получим систему $ \left\{\begin{aligned} &2x_1+10x_3=5x_2+14;\\ &-4x_1-7x_3=-10x_2+5. \end{aligned}\right.$, определитель которой $\Delta=\left| \begin{array} {cc} 2 & 10\\ -4 & -7 \end{array}\right|=-14+40=26$ не равен нулю. Дальнейшее решение аналогично рассмотренному в примере №3.

Пример №4

Решить СЛАУ $\left\{\begin{aligned} &x_1-5x_2-x_3-2x_4+3x_5=0;\\ &2x_1-6x_2+x_3-4x_4-2x_5=0; \\ &-x_1+4x_2+5x_3-3x_4=0. \end{aligned}\right.$ методом Крамера.

Решение

Матрица системы $\left(\begin{array} {ccccc} 1 & -5 & -1 & -2 & 3 \\ 2 & -6 & 1 & -4 & -2 \\ -1 & 4 & 5 & -3 & 0 \end{array}\right)$ не является квадратной. Преобразуем заданную СЛАУ, перенеся переменные $x_4$, $x_5$ в правые части уравнений, и применим метод Крамера:

$$ \left\{\begin{aligned} & x_1-5x_2-x_3=2x_4-3x_5;\\ & 2x_1-6x_2+x_3=4x_4+2x_5; \\ & -x_1+4x_2+5x_3=3x_4. \end{aligned}\right.$$

Ответ таков: $\left\{\begin{aligned} & x_1=\frac{-17x_4+144x_5}{19};\\ & x_2=\frac{-15x_4+41x_5}{19};\\ & x_3=\frac{20x_4-4x_5}{19}; \\ & x_4\in R; \; x_5\in R. \end{aligned}\right.$ Переменные $x_1$, $x_2$, $x_3$ – базисные, переменные $x_4$, $x_5$ – свободные.

Естественно, что применение метода Крамера в случаях вроде того, что рассмотрен в примере №4, не всегда оправдано с точки зрения временных затрат. Мы ведь не можем гарантировать, что после переноса каких-либо переменных в правые части уравнений, определитель системы не будет равен нулю. А перебирать различные варианты – слишком долгий процесс. Гораздо удобнее в таком случае применить метод Гаусса. Я привёл пример №4 лишь с одной целью – показать, что метод Крамера применим вне зависимости от содержимого правых частей уравнений заданной СЛАУ (числа, переменные, функции – не имеет значения). Главное, чтобы определитель матрицы системы был отличен от нуля.

math1.ru

Метод Крамера

Пусть дана система трех линейных уравнений:

(1)

Для решения системы линейных уравнений методом Крамера из коэффициентов при неизвестных составляется главный определитель системы . Для системы (1) главный определитель имеет вид

.

Далее составляются определители по переменным ,,. Для этого в главном определителе вместо столбца коэффициентов при соответствующей переменной записывается столбец свободных членов, то есть

, ,.

Тогда решение системы находится по формулам Крамера

, ,

Следует отметить, что система имеет единственное решение , если главный определитель.Если же и = 0,= 0,= 0, то система имеет бесчисленное множество решений, найти которые по формулам Крамера нельзя. Если же и 0, или0,или0, то система уравнений несовместна, то есть решений не имеет.

Пример

Решить систему уравнений методом Крамера:

Решение:

1) Составим и вычислим главный определитель системы, состоящий из коэффициентов при неизвестных.

.

Следовательно, система имеет единственное решение.

2) Составим и вычислим вспомогательные определители, заменяя соответствующий столбец в  столбцом из свободных членов.

По формулам Крамера находим неизвестные:

, ,.

Сделаем проверку, чтобы убедиться в правильности решения

, т.е. .

, т.е.

, т.е.

Ответ: .

Пример

Решить систему уравнений методом Крамера:

Решение:

1) Составим и вычислим главный определитель системы из коэффициентов при неизвестных:

.

Следовательно, система не имеет единственного решения.

2) Составим и вычислим вспомогательные определители, заменяя соответствующий столбец в  столбцом из свободных членов:

.

, , следовательно, система несовместна.

Ответ: система несовместна.

Метод Гаусса

Метод Гаусса состоит из двух этапов. Первый этап заключается в последовательном исключении переменных из уравнений системы при помощи действий, не нарушающих равносильности системы. Например, рассмотрим два первых уравнения системы (1).

(1)

Необходимо путем сложения этих двух уравнений получить уравнение, в котором отсутствует переменная . Умножим первое уравнение на, а второе на () и сложим полученные уравнения

+

Заменим коэффициент перед y, z и свободный член на ,исоответственно, получим новую пару уравнений

Заметим, что во втором уравнении отсутствует переменная x.

Проведя аналогичные действия над первым и третьим уравнениями системы (1), а затем над полученными в результате сложения вторым и третьим уравнениями, преобразуем систему (1) к виду

(2)

Такой результат возможен, если система имеет единственное решение. В этом случае решение находится при помощи обратного хода метода Гаусса (второй этап). Из последнего уравнения системы (2) находим неизвестную переменную z, затем из второго уравнения находим y, а x соответственно из первого, подставляя в них уже найденные неизвестные.

Иногда в результате сложения двух уравнений суммарное уравнение может принять один из видов:

А) , где. Это означает, что решаемая система несовместна.

Б) , то есть. Такое уравнение исключается из системы, в результате число уравнений в системе становится меньше, чем число переменных, и система имеет бесчисленное множество решений, нахождение которых будет показано на примере.

Пример

Решить систему методом Гаусса:

Решение:

Рассмотрим следующий способ осуществления первого этапа решения методом Гаусса. Запишем три строки коэффициентов при неизвестных и свободных членов, соответствующих трем уравнениям системы. Свободные члены отделим от коэффициентов вертикальной линией, а под третьей строкой проведем горизонтальную прямую.

Первую строку, которая соответствует первому уравнению системы, обведем – коэффициенты в этом уравнении останутся неизменными. Вместо второй строки (уравнения) надо получить строку (уравнение), где коэффициент при равен нулю. Для этого все числа первой строки умножим на (–2) и сложим с соответствующими числами второй строки. Полученные суммы запишем под горизонтальной чертой (четвертая строка). Для того чтобы вместо третьей строки (уравнения) также получить строку (уравнение), в которой коэффициент приравен нулю, умножим все числа первой строки на (–5) и сложим с соответствующими числами третьей строки. Полученные суммы запишем пятой строкой и проведем под ней новую горизонтальную черту. Четвертую строку (или пятую – по выбору) обведем. Выбирается строка с меньшими коэффициентами. В этой строке коэффициенты останутся неизменными. Вместо пятой строки надо получить строку, где уже два коэффициента равны нулю. Умножим четвертую строку на 3 и сложим с пятой. Сумму запишем под горизонтальной чертой (шестая строка) и обведем ее.

Все описанные действия изображены в таблице 1 при помощи арифметических знаков и стрелок. Обведенные в таблице строки запишем снова в виде уравнений (3) и, применив обратный ход метода Гаусса, найдем значения переменных x, y и z.

Таблица 1

1	1	-2	6	*(-2)	*(-5)
2	3	-7	16
5	2	1	16
0	1	-3	4	*( 3)
0	-3	11	-14
0	0	2	-2

Восстанавливаем систему уравнений, полученную в результате наших преобразований:

(3)

Обратный ход метода Гаусса

Из третьего уравнения находим.

Во второе уравнение системы подставим найденное значение, получимили.

Из первого уравнения , подставляя уже найденные значения переменных, получаем, то есть.

Чтобы убедиться в правильности решения, проверку необходимо сделать во всех трех уравнениях системы.

Проверка:

, получим

, получим

, получим

значит, система решена верно.

Ответ: ,,.

Пример

Решить систему методом Гаусса:

Решение:

Порядок действий в этом примере аналогичен порядку в предыдущем примере, а конкретные действия указаны в таблице 2.

Таблица2

2	2	1	1	*(-3)	*(-5)
3	5	-2	0	*2
5	3	6	-2	*2
0	4	-7	-3
0	-4	7	-9
0	0	0	-12

В результате преобразований получим уравнение вида , следовательно, заданная система несовместна.

Ответ: система несовместна.

Пример

Решить систему методом Гаусса:

Решение:

Таблица 3

1	2	-1	0	*(-2)	*(-4)
2	-1	3	1
4	3	1	1
0	-5	5	1	*(-1)
0	-5	5	1
0	0	0	0

В результате преобразований получим уравнение вида , которое исключается из рассмотрения. Таким образом, имеем систему уравнений, в которой число неизвестных 3, а число уравнений 2.

Система имеет бесчисленное множество решений. Чтобы отыскать эти решения, введем одну свободную переменную. (Число свободных переменных всегда равно разности между числом неизвестных и числом уравнений, оставшихся после преобразования системы. В нашем случае 3 – 2 = 1).

Пусть – свободная переменная.

Тогда из второго уравнения найдем , откуда, а затем найдемx из первого уравнения или.

Таким образом, ;;.

Сделаем проверку в уравнениях, которые не участвовали в нахождении и, то есть во втором и в третьем уравнениях первоначальной системы.

Проверка:

или , получаем.

или , получаем.

Система решена верно. Давая произвольной постоянной различные значения, будем получать различные значенияx, y и z.

Ответ: ;;.

21

studfiles.net

Лекция 3 СЛУ Метод Крамера

6

Лекция 3. Системы линейных уравнений.

метод Крамера

Содержание

1. Основные определения.

2. Метод Крамера (определителей) решения систем линейных уравнений.

1. Основные определения

• Системой линейных уравнений снеизвестными называется совокупность уравнений, в каждом из которых неизвестные присутствуют в первой степени:

где числа — коэффициенты при неизвестных,- номер уравнения,- номер неизвестной,— свободные члены.

,

который при подстановке в каждое уравнение системы вместо неизвестных соответственно обращает их в верные равенства.

• Решить СЛУ – это значит указать все решения системы, то есть такие наборы значений неизвестных, которые обращают уравнения системы в тождества.

Система линейных уравнений называется:

а) совместной, если она имеет хотя бы одно решение;

б) несовместной, если она не имеет решений;

в) определенной, если она имеет единственное решение;

г) неопределенной, если она имеет бесконечное множество решений;

д) однородной, если все свободные члены равны нулю ;

е) неоднородной, если есть .

2. Метод Крамера (определителей) решения систем линейных уравнений

Правило (метод) Крамера применяется к системам, у которых число уравнений равно числу неизвестных. Этот метод использует определители.

2.1. Число уравнений и неизвестных равно 2

Рассмотрим систему линейных уравнений

Вычисляются определители:

_, ,.

Здесь

— определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных;

— это определитель, полученный из определителя заменой столбца коэффициентов прина столбец свободных членов;

— это определитель, полученный из определителя заменой столбца коэффициентов прина столбец свободных членов.

1. Если , тосистема совместная и определенная, то есть имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

.

2. Если , а хотя бы один из определителей,отличен от нуля, тосистема не имеет решений (несовместная).

3. Если , тосистема имеет бесконечно много решений (совместная и неопределенная).

Пример 1. Решить с помощью метода Крамера систему уравнений

Решение

, поэтому СЛУ имеет единственное решение.

, .

Тогда ;.

Ответ: система уравнений совместна и определенна, ее единственное решение .

Пример 2. Решить с помощью метода Крамера систему уравнений

.

Решение

Определитель системы равен нулю: , однако один из вспомогательных определителей не равен нулю:, значит, СЛУ не имеет решений, то есть СЛУнесовместная.

Пример 3. Решить с помощью метода Крамера систему уравнений

Решение

, ,.

Поэтому система имеет бесконечно много решений.

Разделив коэффициенты 2-го уравнения на 3, получим: Оставим только одно из этих уравнений:.

Выразим через:, значение— любое действительное число. Это и есть выражение дляобщего решения СЛУ. Ответ можно записать так: , где.

Придавая различные значения, будем получать бесконечное множествочастных решений. Например, при получими первое частное решение. Приполучими второе частное решение, и так далее.

2.2. Число уравнений и неизвестных равно 3

Рассмотрим СЛУ

Вычисляются определители:

, ,

, .

1. Если , то системаимеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

, .

2. Если , а хотя бы один из определителей,,отличен от нуля, тосистема не имеет решений.

3.Если , то системаимеет бесконечно много решений.

Пример 4. Решить систему линейных уравнений _.

Составим определитель из коэффициентов при неизвестных и вычислим его: ,

значит, СЛУ имеет единственное решение.

Найдем вспомогательные определители и значения неизвестных.

Ответ: Система совместная и определенная, единственное решение .

Рассмотрим пример, в котором СЛУ имеет бесконечное множество решений, и они будут найдены с применением формул Крамера.

Пример 5. Решить СЛУ

Решение

Вычислим определитель системы:

Заметим, что третье уравнение системы равно сумме первых двух уравнений, т.е. зависит от первых двух уравнений.

Отбросив третье уравнение, получим равносильную систему двух уравнений с тремя неизвестными:

Оставим в левой части системы те неизвестные, коэффициенты при которых образуют определитель, не равный нулю.

Например, коэффициенты при иобразуют определитель. Поэтому оставим в левой части уравнений слагаемые си, а слагаемые сперенесем в правую часть с противоположным знаком.

Неизвестное назовем свободным, а неизвестные и— базисными неизвестными.

Запишем систему в виде и применим к ней правило Крамера:

;

Выражение

—

общее решение неопределенной СЛУ, где — любое действительное число.

Из общего решения можно получить частные решения, если придать свободной неизвестной какое-то конкретное значение.

Например, пусть , тогда; тогда частное решение. И так далее.

Контрольные вопросы

1. Запишите общий вид системы 2 линейных уравнений с тремя неизвестными.

2. Что называется решением СЛУ?

3. Что значит «решить систему линейных уравнений»?

4. Какие системы линейных уравнений называются совместными и несовместными?

5. При каком условии система линейных уравнений снеизвестными имеет единственное решение?

6. Напишите формулы Крамера для решения системы линейных уравнений. В каком случае они применимы?

7. Как, зная общее решение, записать частное решение неопределенной системы?

studfiles.net

1.3. Системы линейных уравнений. Метод Крамера

Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными

(1.3)

Используя определители 3-го порядка, решение такой системы можно записать в таком виде:

(1.4)

если 0. Здесь

(1.5)

Это есть формулы Крамерарешения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Пример 1.6.Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель основной матрицы системы:

Поскольку 0, то для нахождения решения системы можно применить метод Крамера. Вычислим остальные определители:

Тогда

Проверка:

Следовательно, решение найдено правильно.

Теорема Крамера.Квадратная система линейных неоднородных уравнений n-го порядка с отличным от нуля определителем основной матрицы системы (0) имеет одно и только одно решение, и это решение вычисляется по формулам:

где  – определитель основной матрицы, _i – определитель матрицы, полученной из основной, заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Отметим, что если =0, то правило Крамера не применимо. Это означает, что система либо вообще не имеет решений, либо имеет бесконечное множество решений.

1.4. Матричный метод. Обратная матрица

Матрица А^–1называетсяобратнойматрицей по отношению к матрицеА, если выполняется равенствоAA^–1=A^–1A=E. Только квадратные матрицы могут иметь обратные. Однако не каждая квадратная матрица имеет обратную. Для того чтобы матрицаАимела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля:detA0.

Пример 1.7.Решить систему линейных уравнений матричным методом (при помощи обратной матрицы).

Решение. Запишем исходную систему уравнений в матричном виде:

.

Тогда решение можно формально записать в виде:

.

Таким образом, чтобы найти решение системы, нужно вычислить обратную матрицу

.

Найдем ее

1) Вычисляем определитель исходной матрицы: .

2) Транспонируем матрицу .

3) Находим все алгебраические дополнения транспонированной матрицы:

4) Составляем присоединенную матрицу, для этого вместо элементов транспонированной матрицы ставим найденные алгебраические дополнения:

5) Записываем обратную матрицу, для этого все элементы присоединенной матрицы делим на определитель исходной матрицы:

.

6) Сделаем проверку:

.

Следовательно, обратная матрица найдена правильно.

Теперь, используя найденную обратную матрицу можно найти решение исходной системы:

.

1.5. Метод Гаусса

Рассмотрим произвольную систему линейных уравнений

(1.5)

В общем случае nm.

Задача теории систем линейных уравнений состоит в том, чтобы найти все решения системы. При этом возможны три случая. 1) Система вообще не имеет решений. Системы линейных уравнений, не имеющие ни одного решения, называются несовместными. 2) Система имеет хотя бы одно решение. такие системы называютсясовместными. 3) Система имеет только одно решение. Такие системы называютсяопределёнными.

Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных)заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система приводится к эквивалентной системе ступенчатого вида. Рассмотрим метод Гаусса на конкретных примерах.

Пример 1.8. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Решение.Выпишем расширенную матрицу системы, а затем при помощи элементарных преобразований строк приведем ее к треугольному виду:

.

Теперь выписываем соответствующую укороченную систему уравнений. Из последнего уравнения находим значение z и подставляем его во второе уравнение. После этого из второго уравнения находим y. Найденные значения y и z подставляем в первое уравнение, из которого затем находим значение x:

Эта тройка чисел будет являться единственным решением системы.

Пример 1.9.Решить систему методом Гаусса:

Решение. Выписываем и преобразуем расширенную матрицу системы

Записываем упрощенную систему уравнений:

Здесь, в последнем уравнении получилось, что 0=4, т.е. противоречие. Следовательно, система не имеет решения, т.е. она несовместна.

Пример 1.10. Найти общее решение методом Гаусса

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы, а затем при помощи элементарных преобразований строк приведем ее трапециевидной форме:

-1

4

3

3

:15

.

Теперь выписываем соответствующую укороченную систему уравнений:

Пусть переменные x₄ и x₅ будут свободными, тогда переменные x₁, x₂ и x₃ будут основными (или базисными). Их мы оставим в левой части:

Разрешая эту систему относительно x₁, x₂ и x₃ получим

Это есть общее решение системы. Запишем это решение в параметрическом виде. Пусть x₄=a и x₅=5b. Тогда общее решение системы запишется в виде:

Давая числам a и b различные значения, будем получать частные решения. Например, если a=0, b=1, то x₁=–7, x₂=–2, x₃=4, x₄=0, x₅=5.

studfiles.net

Примеры решений: Метод Крамера

Пример 1. Решить систему уравнений методом Крамера

Решение: 

Составим и вычислим сначала главный определитель этой системы:

Так как , то система имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера:

где получаются из определителя путем замены 1-го, 2-го или 3-го столбца, соответственно, на столбец свободных членов.

Таким образом:

Итак, — единственное решение.

 

Пример 2. Решить систему уравнений методом Крамера

Решение: 

Составим главный определитель этой системы:

Используя свойства определителя, создадим в первом столбце нули. Для этого

• Вторую и третью строку оставим без изменеий, 
• Умножим вторую строку на -2 и добавим к первой
• Умножим вторую строку на -1 и добавим к четвертой

После этих преобразований значение определителя не изменится, но он наберет следующий вид

Теперь, воспользовавшись определением определителя и разложив его по элементам четвертого столбца, получим:

 

Итак, главный определитель системы уравнений отличен от нуля. По правилу Крамера такая система имеет единственное решение. Найдем его. Для этого создадим и вычислим еще четыре определители:

anet.lectra.me

Решение методом Крамера системы линейных уравнений 3-4-го порядка

Решать системы линейных алгебраических уравнений второго, третьего, изредка четвертого порядка методом Крамера достаточно часто придется студентам младших курсов учебы при изучении основ линейной алгебры. Для большинства студентов стационарной формы учебы такие задания не являются сложными, однако кто выбрал заочную учебу или дистанционную, или пропустил по определенным причинам практические занятия, вычисления выглядят непонятными и тяжелыми. Чтобы исправить такую ситуацию в данной статье будут приведены наиболее распространены примеры данной темы и схема их решения. Если Вы хорошо поймете принцип их решения, то на практике у Вас не будет трудностей с подобными заданиями.

Для начала выберем задание из сборника задач Дубовика В.П., Юрика І.І. «Высшая математика».

————————————

Примеры

Решить систему линейных алгебраических уравнений.

1) (1. 153)

2) (4. 165)

3) (4. 174)

Решение.

1) В случае двух уравнений решение можно получить более простым способом. Выражаемый из второго уравнения

и подставим в первое

Раскрыв скобки, сгруппируем подобные слагаемые

Отсюда получим решение

Переменнуюнайдем подстановкой в любое из уравнений

Таким образом решением системы двух уравнений будут следующие значения

Поскольку цель статьи научить студентов решать по методике Крамера то решим данный пример и етим методом.

Для этого выпишем систему линейных уравнений в виде

Найдем детерминант основной части

Для вычисления вспомогательных определителей ставим столбец свободных членов на место первой строки для и на место второй для . В результате получим

Подставим найденные значения в формулы Крамера

и найдем неизвестные

Из рассмотренного примера видим что вычисление при двух уравнениях с двумя неизвестными достаточно простые.

2) Запишем систему трех алгебраических уравнений в удобном для решения виде

Найдем детерминант системы по правилу треугольников

Для вычисления дополнительных определителей подставляем столбец свободных членов на место первого, второго и третьего столбцов. В результате получим

Вычисляем неизвестные за формулами Крамера

Для данного примера нахождения решения также не слишком сложно, хотя по сравнению с системой двух уравнений вычислений заметно прибавилось.

3) Записываем систему уравнений четвертого порядка в виде

Находим главный определитель системы. При вычислении детерминантов четвертого порядка их необходимо раскладывать за строками или столбцами у каторых больше всего нулей. Поскольку в данном случае нулей главный определитель не имеет то разложим его за первой строкой

и найдем соответствующие детермиінанты третьего порядка

Подставим найденные значения в определитель

По такой же схеме вычисляем вспомогательные определители, напомню лишь, что они образуются заменой столбца в главном определителе на столбец свободных членов (обозначен черным цветом). Я не буду приводить детальных излаганий, однако Вы можете проверить, что детерминанты примут значение

Подставив в формулы Крамера, после вычислений будем иметь

На этом пример решено.

Системы четырех линейных уравнений наиболее трудоемкие в вычислениях, для вычисления их решения нужно решать 5*4 определители третьего порядка, в то время как системы трех уравнений лиш 4. Будьте внимательные при вычислениях ведь самая малая ошибка может иметь следствием неверный результат.

———————————————-

Посмотреть материалы:

yukhym.com

Решение системы линейных уравнений (метод Крамера)

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто решить систему линейных уравнений (СЛУ) методом Крамера.

Для того чтобы решить систему линейных уравнений методом Крамера, выберите количество неизвестных величин: 2345

Заполните систему линейных уравнений

Для изменения в уравнении знаков с «+» на «-» вводите отрицательные числа. Если в вашем уравнение отсутствует какой-то коэффициент, то на его месте в калькуляторе введите ноль. Вводить можно числа или дроби. Например: 1.5 или 1/7 или -1/4 и т.д.

Решить систему

Воспользуйтесь также:
Решение системы линейных уравнений (метод подстановки)
Решение системы линейных уравнений (метод Гаусса)
Решение системы линейных уравнений (матричный метод)

Решение системы линейных уравнений методом Крамера

Метод Крамера

Метод Крамера — это метод решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (то есть в случае, когда система уравнений имеет единственное решение). Основным математическим действием при решении системы уравнения методом Крамера является вычисление определителей матриц размерностью n (где n — количество уравнений в системе).

На нашем сайте вы можете решать системы уравнений методом Крамера в режиме онлайн. При этом решение вы получаете мгновенно, и оно является полным и подробным. При решении системы уравнений нужно находить определители нескольких разных матриц. Для сокращения решения эта операция упрощена (выдаётся лишь результат). Но вы можете при необходимости получить полное решение нахождения детерминанта матрицы. Соответствующий калькулятор имеется на нашем ресурсе.

matematikam.ru