Следствие таблица истинности – Основы логики. Логические операции и таблицы истинности

Штрих Шеффера

Штрих Шеффера — это логическое выражение, которое можно записать в виде «не (А и Б)». Здесь две переменные, и два действия. Конъюнкция в скобках, значит, она выполняется первой. В таблице будет шапка и четыре строки со значениями переменных, а также четыре столбца. Заполним таблицу:

Отрицание конъюнкции выглядит как дизъюнкция отрицаний. Это можно проверить, если составить таблицу истинности для выражения «не А или не Б». Проделайте это самостоятельно и обратите внимание, что здесь будет уже три операции.

Стрелка Пирса

Рассматривая Стрелку Пирса, которая представляет собой отрицание дизъюнкции «не (А или Б)», сравним её с конъюнкцией отрицаний «не А и не Б». Заполним две таблицы:

Значения выражений совпали. Изучив два эти примера, можно прийти к выводу, как раскрывать скобки после отрицания: отрицание применяется ко всем переменным в скобках, конъюнкция меняется на дизъюнкцию, а дизъюнкция — на конъюнкцию.

Определение эквивалентности

Про утверждения А и Б можно сказать, что они эквивалентны, тогда и только тогда, когда из А следует Б и из Б следует А. Запишем это как логическое выражение и построим для него таблицу истинности. «(А эквивалентно Б) эквивалентно (из А следует Б) и (из Б следует А)».

Здесь две переменных и пять действий. Строим таблицу:

В последнем столбце все значения истинные. Это значит, что приведенное определение эквивалентности верно при любых значениях А и Б. Значит, оно всегда истинно. Именно так с помощью таблицы истинности можно проверить корректность любых определений и логических построений.

liveposts.ru

iMath Wiki — Алгебра логики. Основные логические операции и их таблицы истинности. Основные законы алгебры логики.

Мы выяснили, как информация представляется в памяти вычислительных устройств и установили алгоритмы проведения операций над этими представлениями.

Теперь, давайте попробуем разобраться, как именно реализуются операции над двоичными представлениями. Для этого, для начала, нам придется разобраться с алгеброй логики.

Алгебра логики является частью дискретной математики – раздела математики, изучающего свойства структур конечного характера.

Сама алгебра логики изучает свойства функций, у которых значения как аргументов, так и самих функций ограничены двумя значениями, например, \(\{0,1\}\).

Отцом алгебры логики считается английский математик Джордж Буль (1815-1864), поэтому алгебру логики иногда называют булевой алгеброй.

Долгое время алгебра логики была известна лишь узкому кругу специалистов, и только в 1938 году американский математик Клод Шеннон (1916-2001), стоявший у истоков современной информатики, показал, что алгебра логики применима для описания самых разных процессов, в том числе релейных и транзисторных схем.

Исследования в области алгебры логики связаны с формальной логикой, а точнее, с понятием высказывания. Высказывание – это некое лексическое образование, которое устанавливает свойства и взаимосвязи между объектами. Высказывания могут быть истинными, если они адекватно описывают объекты, или ложными в противном случае.

Так, примерами высказываний могут служить такие фразы, как “сегодня идет дождь”, или “завтра я не пойду в институт”.

Определение истинности высказывания не всегда тривиально. Так, например:

Великая теорема Ферма

Для любого натурального числа \(n>2\) уравнение \[ a^n + b^n = c^n\] Не имеет решений в целых ненулевых числах \(a,\,b,\,c\)

Как известно, сформулированная Пьером Ферма в 1637 году, была окончательно доказана только в 1994.

Введем не совсем формальное, но достаточное для наших целей определение

Высказывание

это языковое образование, в отношении которого имеет смысл говорить о его истинности или ложности.

Это определение было предложено Аристотелем.

Проблема языковых образований в рамках алгебры логики в том, что они могут иметь весьма своеобразную структуру. Например, фраза “это высказывание является ложным” не может считаться высказыванием, поскольку бессмысленно говорить о его истинности или ложности. Причиной парадокса является структура фразы: она ссылается сама на себя. Подобные парадоксы могут быть устранены введением следующего определения:

Элементарное высказывание

это такое высказывание, никакая часть которого не является высказыванием.

Следует заметить, что высказыванием в строгом смысле является только утверждение о конкретных объектах. Если речь идет о неких переменных, например, “x – рациональное число”, то мы говорим о неких функциях, имеющих значение “истина” или “ложь”. Такие функции называются предикатами.

Так же следует заметить, что алгебра логики отвлекается от смыслового содержания высказываний, и занимается скорее связями между высказываниями. Если мы договоримся считать за аксиому, что “солнце светит ночью”, то есть, договоримся что это высказывание истинно, то в рамках нашей аксиоматики сможем делать какие-то обоснованные выводы. Эти выводы, конечно, не будут иметь много общего с действительностью.

Примерами таких отвлеченных, на первый взгляд, систем, может служить, например, геометрия Лобачевского, которая имеет не слишком много общего с нашим псевдоевклидовым пространством.

Различные языковые связки, такие, как “не”, “если …, то …”, “или”, “и”, и т.п. позволяют строить из элементарных высказываний более сложные.

В алгебре логики существуют соответствующие подобным связкам операции.

Введем некоторые из них.

Конъюнкция, или логическое умножение

логическая операция, ставящая в соответствие двум элементарным высказываниям новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

Конъюнкция обозначается различными способами, в частности, амперсандом \(a \,\&\,b\), точкой \(a \cdot b\), или “крышкой” \(a \wedge b\), и соответствует языковой связке “и”. Мы будем в основном использовать амперсанд.

Поскольку оба исходных высказывания имеют по два возможных значения, и конъюнкция имеет два возможных значения, мы можем записать это определение в виде таблицы истинности:

Дизъюнкция, или логическое сложение

логическая операция, ставящая в соответствие двум элементарным высказываниям новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда хотя бы одно из исходных высказываний истинно.

Дизъюнкция соответствует союзу “или”, и обозначается плюсом \(a+b\), или “галочкой” \(a\vee b\). Мы будем использовать в основном второй вариант.

Таблица истинности дизъюнкции, по определению:

Строгая дизъюнкция, или сложение по модулю 2

логическая операция, ставящая в соответствие двум элементарным высказываниям новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда только одно из исходных высказываний истинно.

Строгая дизъюнкция соответствует связке “либо …, либо …”, и обозначается плюсом в кружочке \(a\oplus b\), или треугольником \(a\vartriangle b\). Будем в основном пользоваться первым обозначением.

Таблица истинности, по определению:

Импликация

логическая операция, ставящая в соответствие двум элементарным высказываниям новое высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда первое из исходных высказываний (условие) истинно, а второе (следствие) – ложно.

Импликация соответствует связке “если …, то …”, и обозначается стрелкой \(a \rightarrow b\), или \(a \Rightarrow b\)

Таблица истинности, по определению:

Импликация, на первый взгляд, имеет не очевидное определение: как вдруг из ложных условий получается истинное следствие. Однако, в математике это никакая не новость. Например, возьмем очевидно ложное утверждение “один равен двум”:

\[1 = 2\] \[2 = 1\]

Складывая эти равенства, получим очевидно истинный результат:

\[3=3.\]

С другой стороны, из заведомо истинных посылок формально нельзя вывести ложный результат (конечно, человеческий фактор никто не отменял, но человеческий фактор выходит за пределы рассмотрения формальной логики).

Эквивалентность

логическая операция, ставящая в соответствие двум элементарным высказываниям новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.

Эквивалентность соответствует связке “тогда и только тогда, когда”, и обозначается \(a \Leftrightarrow b\), или \(a \equiv b\), или \(a \sim b\), или \(a \leftrightarrow b\). Будем в основном пользоваться первыми двумя обозначениями.

Таблица истинности, по определению:

Инверсия, или отрицание

логическая операция, ставящая в соответствие элементарному высказыванию новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, исходное ложно.

Инверсия соответствует связке “не”, и обозначается \(\neg a\), или \(\;\overline{a}\;\), или \(!a\). Будем в основном пользоваться первыми двумя обозначениями.

Таблица истинности, по определению:

В заключение, таблица истинности основных логических операций:

Законы алгебры логики

Введем некоторые определения, аналогичные алгебре действительных чисел, для алгебры логики.

Логическая переменная

Переменная, значением которой может быть любое высказывание. Обозначать будем маленькими латинскими буквами.

Логическая формула

любая переменная, а так же любая из констант “0” (“ложь”) и “1” (“истина”)

Любая комбинация логических формул, составленная с помощью логических операций.

Эквивалентные формулы

такие формулы, которые зависят от одного и того же набора переменных, и при одинаковых значениях этих переменных, формулы так же имеют одинаковые значения. Обозначать будем знаком равенства.

Существуют следующие “законы” алгебры логики, определяющие некий набор эквивалентных формул:

Законы коммутативности

\[x \,\&\,y = y \,\&\,x\] \[x \vee y = y\vee x\]

Законы ассоциативности

\[ (x \,\&\,y) \,\&\,z = x \,\&\,(y \,\&\,z)\] \[ (x \vee y) \vee z = x \vee(y \vee z)\]

Законы поглощения

\[x\vee 0 = x\] \[x\,\&\,1 = x\]

Законы дистрибутивности

\[ x\,\&\,(y\vee z) = (x\,\&\,y) \vee(x\,\&\,z)\] \[ x\vee(y\,\&\,z) = (x \vee y) \,\&\,(x\vee z)\]

Закон противоречия

\[ x \,\&\,\;\overline{x}\; = 0\]

Закон исключения третьего

\[ x \vee\;\overline{x}\; = 1\]

Закон равносильности

\[ x \,\&\,x = x\] \[ x \vee x = x \]

Закон двойного отрицания

\[\;\overline{\;\overline{x}\;}\; = x \]

Законы де Моргана

\[ \;\overline{x\,\&\,y}\; = \;\overline{x}\; \vee\;\overline{y}\; \] \[ \;\overline{x\vee y}\; = \;\overline{x}\; \,\&\,\;\overline{y}\; \]

Законы поглощения

\[ x\vee(x\,\&\,y) = x\] \[ x\,\&\,(x\vee y) = x\]

Все перечисленные законы элементарно доказываются составлением таблиц истинности.

Например, первый закон де Моргана:

3 и 6 столбец одинаковы, следовательно, соответствующие формулы эквивалентны.

Введем еще одно определение

Тавтология

логическая формула, которая всегда истинна.

Например, тавтологией является формула, выражающая закон исключения третьего.

Оказывается, алгебра логики хорошо подходит для решения логических задач. Решение логических задач, конечно, умеренно бессмысленное времяпрепровождение (исключая случаи, когда на их примере рассматриваются более сложные вопросы), однако это хороший способ поработать с алгеброй логики и осмыслить основные концепции.

Итак, формальный способ решения логических задач:

1. Из условий задачи выделяются простые высказывания и обозначаются как логические переменные.
2. Условия задачи записываются в виде логических формул
3. Составляется единое логическое выражение, соответствующее условию задачи. По условию задачи оно является истинным.
4. Полученное выражение упрощается, либо составляется таблица истинности для него (либо и то, и другое)
5. Выбирается решение задачи (случаи, когда условие истинно)
6. Решение формулируется в исходных терминах задачи.

Пример: (источник)

На весеннем фестивале, четыре садовника показывали выращенные ими розы.

Всего розы были четырех цветов и у каждого садовника было по две розы.

Известно, что

• У первого была желтая роза
• У второго не было красной розы
• У третьего была синяя роза, но не было зеленой
• У одного из садовников с зеленой розой не было красной
• Ни у одного из садовников с желтой розой не было зеленой
• Ни у кого нет роз двух одинаковых цветов

Введем переменные, в которых название переменной соответствует цвету, а индекс – садовнику (номеру). Это автоматически учитывает условие “Ни у кого нет роз двух одинаковых цветов”. Тогда условия задачи запишутся в виде:

• \(y_1\)
• \(\;\overline{r_2}\;\)
• \(b_3 \,\&\,\;\overline{g_3}\;\)
• \((g_1\rightarrow\;\overline{r_1}\;) \oplus(g_2\rightarrow\;\overline{r_2}\;)\oplus(g_3\rightarrow\;\overline{r_3}\;)\oplus(g_4\rightarrow\;\overline{r_4}\;)\)
• \((y_1\rightarrow\;\overline{g_1}\;) \,\&\,(y_2\rightarrow\;\overline{g_2}\;)\,\&\,(y_3\rightarrow\;\overline{g_3}\;)\,\&\,(y_4\rightarrow\;\overline{g_4}\;)\)

Дополнительно, у каждого садовника по условиям задачи по две розы: Поэтому, если у садовника есть розы двух цветов, то роз двух других цветов у него нет. Учтем подразумеваемые импликации постфактум.

Далее для простоты записи, амперсанды опускаются (если между переменными нет ничего – значит там амперсанд). В случае отсутствия скобок, сначала применяется конъюнкция, потом все остальное.

Рассматривая последнее условие:

\((y_1\rightarrow\;\overline{g_1}\;) (y_2\rightarrow\;\overline{g_2}\;)(y_3\rightarrow\;\overline{g_3}\;)(y_4\rightarrow\;\overline{g_4}\;)\)

Первая импликация истинна, только если \(\;\overline{g_1}\;\) истинно. Предпоследняя импликация истинна всегда, \(\;\overline{g_3}\;\). Можем переписать в виде:

\(y_1 \;\overline{g_1}\; (y_2\rightarrow\;\overline{g_2}\;) (y_4\rightarrow\;\overline{g_4}\;)\)

Рассмотрим предпоследнее условие

\[ (g_1 \rightarrow\;\overline{r_1}\;) \oplus(g_2 \rightarrow\;\overline{r_2}\;) \oplus(g_3 \rightarrow\;\overline{r_3}\;) \oplus(g_4 \rightarrow\;\overline{r_4}\;) \]

Первая импликация всегда истинна, поскольку \(\;\overline{g_1}\;\), вторая всегда истинна, поскольку \(\;\overline{r_2}\;\), третья всегда истинна, поскольку \(\;\overline{g_3}\;\). Получаем:

\[ 1 \oplus 1 \oplus 1 \oplus(g_4 \rightarrow\;\overline{r_4}\;) \]

\[ 1 \oplus(g_4 \rightarrow\;\overline{r_4}\;) \]

Легко показать, что \(1 \oplus x = \;\overline{x}\;\). Тогда условие принимает вид

\[ \;\overline{g_4 \rightarrow\;\overline{r_4}\;}\; \]

Импликацию можно представить в виде \(x \rightarrow y = \;\overline{x}\; \vee y\)

Применяя закон де Моргана,

\[ r_4 g_4 \]

Записывая все условия вместе:

\[ y_1 \;\overline{g_1}\; \;\overline{r_2}\; (\;\overline{y_2}\; \vee\;\overline{g_2}\;) (\;\overline{y_4}\; \vee\;\overline{g_4}\;) b_3 \;\overline{g_3}\; g_4 r_4 \]

Учитывая \(g_4 (\;\overline{y_4}\; \vee\;\overline{g_4}\;) = g_4 \;\overline{y_4}\;\),

\[ y_1 \;\overline{g_1}\; \;\overline{r_2}\; (\;\overline{y_2}\; \vee\;\overline{g_2}\;) b_3 \;\overline{g_3}\; \;\overline{y_4}\; g_4 r_4 \]

Известно, что зеленые розы должны быть у двух садовников:

\[ \;\overline{g_1}\; \;\overline{g_2}\; g_3 g_4 \vee\;\overline{g_1}\; g_2 \;\overline{g_3}\; g_4 \vee\;\overline{g_1}\; g_2 g_3 \;\overline{g_4}\; \vee g_1 \;\overline{g_2}\; \;\overline{g_3}\; g_4 \vee g_1 \;\overline{g_2}\; g_3 \;\overline{g_4}\; \vee g_1 g_2 \;\overline{g_3}\; \;\overline{g_4}\; \]

А так как \(\;\overline{g_3}\;\) и \(\;\overline{g_1}\;\)

\[ \;\overline{g_1}\; g_2 \;\overline{g_3}\; g_4 \]

Получаем \(g_2\), тогда \(g_2 (\;\overline{y_2}\; \vee\;\overline{g_2}\;) = g_2 \;\overline{y_2}\;\)

Аналогично для желтых:

\[ y_1 \;\overline{y_2}\; y_3 \;\overline{y_4}\; \]

Получаем \(y_3\). Поскольку \(y_3 b_3\), можно утверждать \(\;\overline{r_3}\; \;\overline{g_3}\;\)

Для красных тогда:

\[ r_1 \;\overline{r_2}\; \;\overline{r_3}\; r_4 \]

Получаем \(r_1\). Поскольку \(r_1 y_1\), можем утверждать \(\;\overline{b_1}\; \;\overline{g_1}\;\)

Для синих:

\[ \;\overline{b_1}\; b_2 b_3 \;\overline{b_4}\; \]

Получаем \(b_2\).

Итого

\[ y_1 r_1 g_2 b_2 b_3 y_3 g_4 r_4 \]

wiki.livid.pp.ru

Таблицы истинности логических операций

Глоссарий, определения логики

Высказывание — это повествовательное предложение, про которое можно определенно сказать истинно оно или ложно (истина (логическая 1), ложь (логический 0)).

Логические операции — мыслительные действия, результатом которых является изменение содержания или объема понятий, а также образование новых понятий.

Логическое выражение — устное утверждение или запись, в которое, наряду с постоянными величинами, обязательно входят переменные величины (объекты). В зависимости от значений этих переменных величин (объектов) логическое выражение может принимать одно из двух возможных значений: истина (логическая 1) или ложь (логический 0).

Сложное логическое выражение — логическое выражение, состоящее из одного или нескольких простых логических выражений (или сложных логических выражений), соединенных с помощью логических операций.

Таблица истинности — это таблица, в которой отражены все значения логической функции при всех возможных значениях, входящих в неё логически
Под «логической функцией» в данном случае понимается функция, у которой значения переменных (параметров функции) и значение самой функции выражают логическую истинность. Например, в двузначной логике они могут принимать значения «истина» либо «ложь» (true либоfalse, 1 либо 0).

1) Логическое умножение или конъюнкция:

Конъюнкция — это сложное логическое выражение, которое считается истинным в том и только том случае, когда оба простых выражения являются истинными, во всех остальных случаях данное сложеное выражение ложно.
Обозначение: F = A & B.

Таблица истинности для конъюнкции

2) Логическое сложение или дизъюнкция:

Дизъюнкция — это сложное логическое выражение, которое истинно, если хотя бы одно из простых логических выражений истинно и ложно тогда и только тогда, когда оба простых логических выраженныя ложны.
Обозначение: F = A + B.

Таблица истинности для дизъюнкции

3) Логическое отрицание или инверсия:

Инверсия — это сложное логическое выражение, если исходное логическое выражение истинно, то результат отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное логическое выражение ложно, то результат отрицания будет истинным. Другими простыми слова, данная операция означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО.

Таблица истинности для инверсии

4) Логическое следование или импликация:

Импликация — это сложное логическое выражение, которое истинно во всех случаях, кроме как из истины следует ложь. Тоесть данная логическая операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием (А), а второе (В) является следствием.

Таблица истинности для импликации

5) Логическая равнозначность или эквивалентность:

Эквивалентность — это сложное логическое выражение, которое является истинным тогда и только тогда, когда оба простых логических выражения имеют одинаковую истинность.

Таблица истинности для эквивалентности

Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении

1. Инверсия;
2. Конъюнкция;
3. Дизъюнкция;
4. Импликация;
5. Эквивалентность.

Для изменения указанного порядка выполнения логических операций используются скобки.

Основные законы и постулаты алгебры логики и их реализация на логических элементах

Алгебра логики – раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.

Для преобразования функции в АЛ используется ряд законов и тождеств, основные из которых приведены ниже.(первое для ИЛИ, второе для И)

Коммутативные (переместительные) законы

Ассоциативные (сочетательные) законы:

Дистрибутивные (распределительные) законы

Законы повторения:

Законы инверсии (двойственности):

Законы отрицания:

Закон двойного отрицания:

Закон поглощения:

Закон склеивания:

Правила операций с константами:

Дополнительные тождества:

infopedia.su

Таблицы истинности

Значение истинности сложных суждений определяется с помощью таблиц истинности, где буквы a, b, c – переменные, обозначающие простые суждения; буква «и» обозначает истину, а «л» — ложь.

Также возможно обозначать истину нулём «0», а ложь единицей «1».

1.КОНЪЮНКЦИЯ а ˄ b или а & b

Конъюнкция будет истинна в том и только в том случае, если суждения а и bоба истинны.

2.ДизъюнкциЯа ˅ b

Сложное суждение истинно, если истинно хотя бы одно из составляющих его простых суждений, и ложно, если оба простых суждения ложны.

3.Строгаядизъюнкция

Сложное суждение истинно, если истинно лишь одно из составляющих его простых суждений, так как элементы сложной дизъюнкции исключают друг друга.

4.Импликация a → b

Сложное суждение, соединённое импликацией, ложно только в одном случае: если основание (первое суждение) истинно, а следствие (второе суждение) ложно.

5.ЭКВИВАЛЕНЦИЯ a ↔ b или a ≡ b

Сложное суждение, соединённое эквиваленцией, истинно только в тех случаях, когда составляющие его простыtсуждения, либо оба истинны, либо оба ложны.

6.ОТРИЦАНИЕ~а или¬а или~b ;¬b ;

Если аистинно, то его отрицание ложно. Еслиаложно, тоне-а(~а) – истинно.

Если bистинно, то его отрицание ложно. Еслиbложно, тоне—b(~b) – истинно.

Если отрицание стоит внутри суждения перед связкой «есть», то мы имеем дело с простым отрицательным суждением типа «Черепахи не летают». Если же отрицание присоединяется к суждению снаружи – «Неверно, что черепахи летают», то мы имеем дело с логической связкой, преобразующей простое суждение в сложное.

Если знак отрицания стоит непосредственно перед аилиb, то есть~а; ~b, то отрицание применяется только к одному суждению.

Если знак отрицания стоит перед скобкой ~(a → b), то отрицанию будет подвержена операция, указанная в скобках. В данном примере, ̶ это отрицание импликации. Сначала выполняется импликация, затем результат подвергается отрицанию.

Выполнима та формула, которая может принимать по крайней мере одно значение «истина».

Тождественно-истинная формула та, которая при любых комбинациях значений для входящих в неё переменных принимают значение «истина» (иначе она называется законом логики).

Тождественно-ложная формулата, которая принимает только значение «ложь» (иначе ‒ противоречие).

!!! Следует помнить, что логику интересует не содержание, а исключительно форма мысли!

Устанавливать истинность сложных суждений в логике, опираясь на здравый смысл или жизненный опыт, или обращение к действительности, ̶ неправильно!

Формально-логические связки не в состоянии учитывать многих смысловых оттенков естественного языка. Значения истинности некоторых сложных суждений достаточно близки к здравому смыслу, но другие могут показаться странными. Поэтому то, то с точки зрения содержания может выглядеть непривычно, с точки зрения формы будет являться правильным.

studfiles.net