Порядок действий в математике, последовательность выполнения умножения, сложения, деления, вычитания, правила очередности арифметических действий
Основные операции в математике
Базовыми формами вычисления являются:- Сложение +
- Умножение х или ∗
- Вычитание —
- Деление ÷ или /
15 — 3 + 7 = 19
При наличии скобок сначала выполняется действие, в них заключенное.15 — (3 + 7) = 5
При появлении знаков или первыми выполняются они, лишь затем сложение или вычитание.2 + 2 х 2 = 2 + 4 = 6
2 + 2 ÷ 2 = 2 + 1 = 3
Скобки могут частично ослабить эти правила, так как действие в них заключенное всегда выполняется в первую очередь.(2 + 2) х 2 = 4 х 2 = 8
(2 + 2) ÷ 2 = 4 ÷ 2 = 2
Если в скобки заключено сложное выражение, внутри них работают стандартные правила.(5 + 3 х 2) — 4 = (5 + 6) — 4 = 11 — 4 = 7
При появлении двух и более знаков или нужно учитывать их очередность.5 х 2 — 8 ÷ 4 = 10 — 2 = 8
Решение примеров с множественными скобками
Вариант 1:5 + 8 ÷ 2 + 3 х (15 — 6 х 2 + 1) + 3 х (6 — 4) = ?
Распишем все расчеты поэтапно:- 6 х 2 = 12
- 15 — 12 + 1 = 4
- 6 — 4 = 2
- 8 ÷ 2=4
5 + 4 + 3 х 4 + 3 х 2 = ?
Снова расписываем:- 3 х 4 = 12
- 3 х 2 = 6
- 6 ÷ 2 = 3
- 10 — 3 х 3 = 10 — 9 = 1
- 5 + 2 = 7
- 11 — 7 = 4
- 50 — 4 = 46
- 46 х 4 = 184
Законы сложения и умножения Также описывают общие принципы проведения вычислений.
Переместительный:a + b = a + b
Сочетательный:(a + b) + c = a + (b + c)
a х (b х c) = (a х b) х c
Распределительный:
a х (b + c)=a х b + a х c
(a + b) х c= a х c + b х c
Законы нуля:a + 0 = a
a х 0=0
Правило единицы:a х 1 = a
Знание этих законов поможет проводить необходимые вычисления быстрее.Важно! В случае замены + и х на — и ÷ соответственно эти правила перестают действовать.Несмотря на легкость понимания, очередность выполнения операций жизненно важна, так как все сложные формулы (логарифмы, интегралы и так далее) по сути представляют собой сокращенную форму написания длинной цепи простых вычислений. Чтобы закрепить материал статьи, рекомендуем посмотреть видео ниже. Рекомендуем посмотреть видео о порядке дейсивий в математике
nauka.club
Сложение, вычитание, умножение и деление. ереместительное, сочетательное свойства. Примеры решение задач.
Арифметические операции
Сложение:
Умножение:
Вычитание:
Деление:
Переместительное свойство
Это свойство относится только к двум операциям: сложение и умножение, так как только в этих операциях каждое из слагаемых или множителей имеет одинаковое значение.
Cочетательное свойство.
Следующее свойство – сочетательное. Это свойство рассматривается для сложения и умножения.
Переместительное и сочетательное свойства для сложения и умножения позволяют объединять слагаемые и множители в группы, менять их местами. Эти свойства позволяют считать быстрее и без ошибок.
Распределительные свойства
Следующие свойства раcпределительные. Они показывают, как можно вычислить выражение, если в нем используются операция умножение вместе со сложением или вычитанием (распределяют порядок вычисления):
Противоположный элемент
Нейтральный элемент – 0.
Ноль — это нейтральный элемент относительно сложения целых чисел:
Также обрати внимание на порядок действий, если скобки не расставлены. Итак, у нас есть 4 операции, они выполняются в следующем порядке:
- Умножение и деление – в порядке следования слева направо;
- Сложение и вычитание – в порядке следования слева направо.
- При наличии скобок сначала выполняются действия в скобках в указанном выше порядке, а затем все остальные действия вне скобок опять же с соблюдением указанного выше порядка.
Задача 1. Вычислить \(-55+(-7)+18+7.\)
Решение.
- Воспользуемся переместительным свойством для удобства вычисления: \(-7+7-55+18\)
- \(-7\) и \(7\) противоположные элементы, итого: \(-55+18=-37\)
Ответ:\(-37\)
Задача 1. Вычислить \((-7+9)+7*2-56\).
- Первое действие выполняем в скобках и умножение: \(2+ 7*2\)
- выполняем умножение, затем сложение и вычитание: \(2+14-56=16-56=-40.\)
Ответ:\(-40.\)
Запишись на бесплатный пробный урок тут и разберись с тем, что тебе непонятно.
Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
myalfaschool.ru4.10. Как производятся арифметические операции в позиционных системах счисления? (Сложение, Вычитание, Умножение, Деление)
Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны — это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы.
Сложение
Таблицы сложения легко составить, используя Правило Счета.
| Сложение в двоичной системе | Сложение в восьмеричной системе |
Сложение в шестнадцатиричной системе
При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.
Пример 1. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.
| Шестнадцатеричная: F16+616
|
Ответ: 15+6 = 2110 = 101012 = 258 = 1516.
Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду: |
Пример 2. Сложим числа 15, 7 и 3.
| Шестнадцатеричная: F16+716+316
|
Ответ: 5+7+3 = 2510 = 110012 = 318 = 1916.
Проверка:
|
Пример 3. Сложим числа 141,5 и 59,75.
Ответ: 141,5 + 59,75 = 201,2510 = 11001001,012 = 311,28 = C9,416
Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:
311,28 = 3*82 + 1
- 81 + 1*80 + 2*8-1 = 201,25
C9,416 = 12*161 + 9*160 + 4*16-1 = 201,25 Вычитание
Пример 4. Вычтем единицу из чисел 102, 108 и 1016
Пример 5. Вычтем единицу из чисел 1002, 1008 и 10016.
Пример 6. Вычтем число 59,75 из числа 201,25.
Ответ: 201,2510 — 59,7510 = 141,510 = 10001101,12 = 215,48 = 8D,816.
Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду:
215,48 = 2*82 + 1*81 + 5*80 + 4*8-1 = 141,5;
8D,816 = 8*161 + D*160 + 8*16-1 = 141,5.
Умножение
Выполняя умножение многозначных чисел в различных
позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм
перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и
сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих
рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.
| Умножение в двоичной системе | Умножение в восьмеричной системе |
Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.
Пример 7. Перемножим числа 5 и 6.
Ответ: 5*6 = 3010 = 111102 = 368.
Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:
111102 = 24 + 23 + 22 + 21 = 30;
368 = 3•81 + 6•80 = 30.
Пример 8. Перемножим числа 115 и 51.
Ответ: 115*51 = 586510 = 10110111010012 = 133518.
Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:
10110111010012 = 212 + 210 + 29 + 27 + 26 + 25 + 23 + 20 = 5865;
133518 = 1*84 + 3*83 + 3*82 + 5*81 + 1*80 = 5865.
Деление
Деление в любой позиционной системе счисления
производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной
системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь
очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.
Пример 9. Разделим число 30 на число 6.
Ответ: 30 : 6 = 510 = 1012 = 58.
Пример 10. Разделим число 5865 на число 115.
Восьмеричная: 133518 :1638
Ответ: 5865 : 115 = 5110 = 1100112 = 638.
Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:
1100112 = 25 + 24 + 21 + 20 = 51; 638 = 6*81 + 3*80 = 51.
Пример 11. Разделим число 35 на число 14.
Восьмеричная: 438 : 168
Ответ: 35 : 14 = 2,510 = 10,12 = 2,48.
Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:
10,12 = 21 + 2 -1 = 2,5;
2,48 = 2*80 + 4*8-1 = 2,5.
www.examen.ru
Комплексные числа. Сложение, вычитание, умножение, деление комплексных чисел. Тригонометрическая форма представления, формула Муавра и корень n-ной степени из комплексного числа
Комплексные числа. Сложение, вычитание, умножение, деление комплексных чисел. Формулы. Тригонометрическая форма представления, формула Муавра и корень n-ной степени из комплексного числа.
Комплексные числа — это минимальное расширение множества привычных нам действительных чисел. Их принципиальное отличие в том, что появляется элемент, который в квадрате дает -1, т.е. i, или мнимая единица.
i 2= — 1
Любое комплексное число состоит из двух частей: вещественной и мнимой:
Таким образом видно, что множество действительных чисел совпадает с множеством комплексных чисел с нулевой мнимой частью.
Самая популярная модель множества комплексных чисел — это обычная плоскость. Первая координата каждой точки будет её вещественной частью, а вторая -мнимой. Тогда в роли самих комплексных чисел бдут выступать вектора с началом в точке (0,0).
Операции над комплексными числами.
На самом деле, если брать в расчет модель множества комплексных чисел, интуитивно понятно, что сложение (вычитание) и умножение двух комплексных числе производятся так же как соответственные операции над векторами. Причем имеется в виду векторное произведение векторов, потому что результатом этой операции является опять же вектор.
1.1 Сложение.
(Как видно, данная операции в точности соответствует покоординатному сложению векторов)
1.2 Вычитание, аналогично, производится по следующему правилу:
.
2. Умножение.
(см. векторное произведение векторов)
3. Деление.
Определяется просто как обратная операция к умножению.
Тригонометрическая форма.
Модулем комплексного числа z называется следующая величина:
,
очевидно, что это, опять же, просто модуль (длина) вектора {a,b}.
Чаще всего модуль комплексного числа обозначается как ρ.
|
Если представлять каждое комплексное число a+bi как вектор началом в точке (0,0) и концом в точке (a,b), то можно ввести еще одно понятие — угол, который этот вектор образует с положительным направлением оси х, то есть «правый» угол, который получается с осью х. (см. рисунок справа). Величина этого ула в радианах называется аргументом комплексного числа и обозначается : arg z. |
Оказывается, что
z = ρ(cosφ+isinφ) .
Непосредственно из тригонометрической формы записи комплексного числа вытекают следующие формулы:
Последнюю формулу называют Формулой Муавра. Непосредственно из нее выводится формула корня n-ной степени из комплексного числа:
таким образом, существует n корней n-ной степени из комплексного числа z.
tehtab.ru
Сложение, вычитание, умножение и деление в Excel
Редактор таблиц Microsoft Excel имеет очень широкий набор возможностей для решения задач самой разной сложности в различных сферах деятельности. Именно благодаря этому Эксель стал таким популярным среди пользователей по всему миру. Одним из базовых навыков работы с программой является проведение простейших вычислений и математических операций. В этой статье подробно разберём, как выполнять сложение, вычитание, умножение и деление в Excel. Давайте же начнём! Поехали!
Математические операции выполняются без использования калькулятора
Все расчёты в Экселе основаны на построении простых формул, с помощью которых программа и будет производить вычисления. Для начала необходимо создать таблицу со значениями. Обратите внимание на то, что каждая ячейка таблицы имеет свой адрес, который определяется буквой и цифрой. Каждая буква соответствует столбцу, а каждая цифра — строке.
Начнём с самых простых операций — сложения и вычитания. Для сложения чисел можно использовать, так называемую функцию «Автосумма». Ей удобно пользоваться в случаях, когда необходимо посчитать сумму чисел, которые стоят подряд в одной строке, столбце либо в выделенной вами области. Чтобы воспользоваться этим инструментом, перейдите во вкладку «Формулы». Там вы обнаружите кнопку «Автосумма». Выделив участок таблицы со значениями, которые нужно сложить, кликните по кнопке «Автосумма». После этого появится отдельная ячейка, содержащая результат вычисления. Это был первый подход.
Второй подход заключается в том, что формула для расчёта вводится вручную. Допустим, перед вами стоит задача вычислить сумму чисел, разбросанных по таблице. Для этого сделайте активной (кликните по ней левой кнопкой мыши) ячейку, в которую желаете поместить результат вычисления. Затем поставьте знак «=» и по очереди вводите адрес каждой ячейки, содержимое которой нужно просуммировать, не забывая ставить знак «+» между ними. К примеру, у вас должно получиться: «=A1+B7+C2+B3+E5». После того как будет введён адрес последней ячейки, нажмите на клавиатуре «Enter» и вы получите сумму всех отмеченных чисел. Необязательно вводить каждый адрес вручную. Достаточно кликнуть по определённой ячейке и в поле для формул сразу отобразится её адрес, ставьте после него «+» и переходите к следующей.
Существует ещё один подход — использование функции «Специальная вставка». Этот способ удобен тем, что позволяет суммировать данные из нескольких отдельных таблиц, при условии, что все их графы одинаковые. Для начала создайте сводную таблицу, в которую вы будете вставлять скопированные данные. Выделите числа одной таблицы и вставьте их в сводную, далее поступите так же со значениями второй таблицы, только в этот раз кликните по ячейке правой кнопкой мыши и выберите пункт «Специальная вставка». В открывшемся окне в разделе «Вставить» отметьте «Значения», а в разделе «Операция» выберите сложить. В результате все данные просуммируются.
Вычитание в Excel выполняется таким же способом, как и сложение. Вам понадобится ввести формулу, указав необходимые ячейки, только вместо знака «+» между адресами ставится «–».
Чтобы умножить числа в Экселе, напишите формулу, отмечая нужные данные и ставя между ними знак «*». Формула будет иметь следующий вид: «=A3*A7*B2».
Деление производится аналогичным образом, только используется знак «/». Также вы можете выполнять несколько арифметический операций сразу. Формулы строятся по математическим правилам. Например: «=(B2-B4)*E8/(A1+D1)*D4». Построенная вами формула может быть любой сложности, главное, не забывать основные математические правила, чтобы расчёт был выполнен верно.
Владея навыками простых арифметических вычислений в программе Microsoft Excel, вы уже сможете упростить себе процесс решения некоторых задач и сэкономить время. Эксель позволяет решать сложные уравнения, выполнять инженерный и статистический анализ. Постепенно овладевая базовыми функциями и инструментами программы, вы научитесь выполнять всё больше операций в редакторе Excel. Пишите в комментариях помогла ли вам статья разобраться с возникшими вопросами и делитесь своим опытом с другими пользователями.
nastroyvse.ru
Ответы@Mail.Ru: Напишите что первое: умножение, деление, вычитание, сложение.
Если в примере есть скобки, то первоначально выполняются действия в скобках. Порядок действий: 1) умножение и деление; 2) сложение и вычитание.
умножение, деление, вычитание, сложение.
сначала числа умножаются и делятся, и только потом складываются и вычитаются
ну вообще зависит от примера.
touch.otvet.mail.ru
Правила сложения, вычитания, умножения чисел | fizmat.by
Тестирование онлайн
Сложение и вычитание
Сложение чисел
Результат сложения двух или более чисел называется суммой, а сами числа — слагаемыми.
Сумма двух отрицательных чисел. Складываем числа, аналогично положительным, записываем результат со знаком «минус». Например, (-6)+(-5,3)=-(6+5,3)=-11,3.
От перестановки мест слагаемых сумма не изменяется a+b=b+a.
Вычитание чисел
Результат действия называется разностью. Сами числа — уменьшаемое и вычитаемое.
Сложение положительного и отрицательного числа — это не что иное, как вычитание! Мало кто задумывается, что вычитание 7-2 можно представить в виде 7+(-2), получили сложение отрицательного и положительного числа. Для того, чтобы сложить два числа с противоположными знаками, необходимо от большего числа вычесть меньшее, а знак суммы должен совпадать со знаком большего числа.
Например, —8+3=—(8-3)=—5; или -7+45=+(45-7)=+38=38.
Умножение чисел
Результат умножения двух или более чисел называется произведением, а сами числа — множителями.
Умножить число а на b — значит найти сумму b слагаемых, каждое из которых равно a.
Например,
Произведение двух чисел одного знака есть число положительное. Например,
Произведение двух чисел с разными знаками есть число отрицательное. Например,
От перестановки множителей значение произведения не изменяется ab=ba.
1) Для любых натуральных чисел a и b верно равенство a+b=b+a. Это свойство называют переместительным (коммутативным) законом сложения, который формулируется так: от перестановки слагаемых значение суммы не изменяется.
2) Для любых натуральных a, b и c верно равенство (a+b)+с=a+(b+с). Это свойство называется сочетательным (ассоциативным) законом сложения, который формулируется так: значение суммы не изменится, если какую-либо группу слагаемых заменить их суммой.
1) Для любых натуральных чисел a и b верно равенство ab=ba. Это свойство называют переместительным законом умножения, который формулируется так: от перестановки множителей значение произведения не изменяется.
2) Для любых натуральных a, b и c верно равенство (ab)с=a(bс). Это свойство называют сочетательным законом умножения, который формулируется так: значение произведения не изменится, если какую-либо группу множителей заменить их произведением.
3) При любых значениях a, b и c верно равенство (a+b)с=aс+bс. Это свойство называют распределительным (дистрибутивным) законом умножения (относительно сложения), который формулируется так: чтобы умножить сумму на число, достаточно умножить каждое слагаемое на это число и сложить полученные произведения. Аналогично можно записать: (a-b)с=aс-bс.
fizmat.by