Собственные числа и собственные векторы матрицы онлайн – Собственные векторы матрицы | Онлайн калькулятор

Линейные операторы собственные векторы линейных операторов. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора

— Линейная алгебра

Пусть — линейное преобразование n-мерного линейного пространства V . Ненулевой вектор \boldsymbol{s} линейного пространства V , удовлетворяющий условию

\mathcal{A}(\boldsymbol{s})=\lambda\cdot \boldsymbol{s},

называется собственным вектором линейного преобразования \mathcal{A} . Число \lambda в равенстве (9.5) называется собственным значением преобразования \mathcal{A} . Говорят, что собственный вектор соответствует (принадлежит) собственному значению \lambda . Если пространство V вещественное (комплексное), то собственное значение \lambda — действительное (комплексное) число.

Множество всех собственных значений линейного преобразования называется его спектром .

Поясним геометрический смысл собственных векторов. Ненулевой вектор s является собственным для преобразования \mathcal{A} , если его образ \mathcal{A} (\boldsymbol{s}) коллинеарен прообразу \boldsymbol{s} . Другими словами, если \boldsymbol{s} — собственный вектор, то преобразование \mathcal{A} имеет одномерное инвариантное подпространство . Справедливо и обратное утверждение.

В самом деле, пусть собственный вектор \boldsymbol{s} соответствует некоторому собственному значению \lambda . Любой вектор \boldsymbol{v} из \operatorname{Lin}(\boldsymbol{s}) имеет вид \boldsymbol{v}=\alpha \boldsymbol{s} , где \alpha — любое число из заданного поля. Найдем образ этого вектора

\mathcal{A}(\boldsymbol{v})= \mathcal{A}(\alpha \boldsymbol{s})= \alpha\cdot \mathcal{A}(\boldsymbol{s})= \alpha\cdot \lambda\cdot \boldsymbol{s}\in \operatorname{Lin} (\boldsymbol{s}).

Следовательно, \mathcal{A}(\boldsymbol{v})\in \operatorname{Lin}(\boldsymbol{s}) для любого вектора \boldsymbol{v}\in \operatorname{Lin}(\boldsymbol{s}) , т.е. подпространство \operatorname{Lin}(\boldsymbol{s}) инвариантно относительно преобразования \mathcal{A} . Размерность подпространства \operatorname{Lin} (\boldsymbol{s}) равна единице, так как \boldsymbol{s}\ne \boldsymbol{o} по определению.

Обратное утверждение доказывается, проводя рассуждения в обратном порядке.

Связь собственных векторов линейного преобразования (оператора) и его матрицы

Ранее рассматривались собственные векторы и собственные значения матрицы. Напомним, что собственным вектором квадратной матрицы A n-го порядка называется ненулевой числовой столбец s=\begin{pmatrix}s_1&\cdots&s_{n}\end{pmatrix}^T , удовлетворяющий условию (7.13):

A\cdot s=\lambda\cdot s.

Число \lambda в (9.6) называется собственным значением матрицы A . При этом считалось, что собственное значение \lambda и числа s_i~(i=1,\ldots,n) принадлежат полю комплексных чисел.

Эти понятия связаны с собственными векторами и собственными значениями линейного преобразования.

Теорема 9.3 о собственных векторах линейного преобразования и его матрицы. Пусть \mathcal{A}\colon V\to V — линейное преобразование n-мерного линейного пространства V с базисом . Тогда собственное значение \lambda и координатный столбец {s} собственного вектора \boldsymbol{s} преобразования \mathcal{A} являются собственным значением и собственным вектором матрицы A этого преобразования, определенной относительно базиса \boldsymbol{e}_1,\ldots, \boldsymbol{e}_n , т.е.

\mathcal{A}(\boldsymbol{s})=\lambda\cdot \boldsymbol{s}\quad \Rightarrow\quad A\cdot s=\lambda\cdot s, где \boldsymbol{s}=s_1 \boldsymbol{e}_1+\ldots+s_n \boldsymbol{e}_n,~ s=\begin{pmatrix}s_1&\cdots& s_n\end{pmatrix}^T.

Обратное утверждение справедливо при дополнительных условиях: если столбец s=\begin{pmatrix} s_1&\cdots&s_n\end{pmatrix}^T и число \lambda являются собственным вектором и собственным значением матрицы A , причем числа s_1,\ldots,s_n,\lambda принадлежат тому же числовому полю, над которым определено линейное пространство V , то вектор \boldsymbol{s}=s_1 \boldsymbol{e}_1+ \ldots+s_n \boldsymbol{e}_n и число \lambda являются собственным вектором и собственным значением линейного преобразования \mathcal{A}\colon V\to V с матрицей A в базисе \boldsymbol{e}_1,\ldots,\boldsymbol{e}_n .

В самом деле, условие (9.5) в координатной форме имеет вид (9.6), что совпадает с определением (7.13) собственного вектора матрицы. Наоборот, из равенства (9.6) следует равенство (9.5) при условии, что векторы и \lambda\cdot \boldsymbol{s} определены, т.е. числа s_1,\ldots,s_n, \lambda принадлежат тому же числовому полю, над которым определено линейное пространство.

Напомним, что нахождение собственных значений матрицы сводится к решению ее характеристического уравнения \Delta_A(\lambda)=0 , где \Delta_A(\lambda)=\det(A-\lambda E) — характеристический многочлен матрицы A . Для линейного преобразования введем аналогичные понятия.

Характеристическим многочленом линейного преобразования \mathcal{A}\colon V\to V n-мерного линейного пространства называется характеристический многочлен матрицы A этого преобразования, найденной относительно любого базиса пространства V .

Уравнение называется характеристическим уравнением линейного преобразования .

Преобразование \mathcal{A}-\lambda\mathcal{E} называется характеристическим для линейного преобразования \mathcal{A}\colon V\to V .

Замечания 9.4

1. Характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от базиса, в котором найдена матрица преобразования.

В самом деле, матрицы \mathop{A}\limits_{(\boldsymbol{e})} и \mathop{A}\limits_{(\boldsymbol{f})} линейного преобразования \mathcal{A} в базисах (\boldsymbol{e})= (\boldsymbol{e}_1,\ldots, \boldsymbol{e}_n) и (\boldsymbol{f})=(\boldsymbol{f}_1,\ldots,\boldsymbol{f}_n) являются, согласно (9.4), подобными: \nathop{A}\limits_{(\boldsymbol{f})}=S^{-1}\mathop{A}\limits_{(\boldsymbol{e})}S , где S — матрица перехода от базиса (\boldsymbol{e}) к базису (\boldsymbol{f}) . Как показано ранее, характеристические многочлены подобных матриц совпадают (см. свойство 3). Поэтому для характеристического многочлена преобразования \mathcal{A} можно использовать обозначение \Delta_{\mathcal{A}}(\lambda) , не указывая матрицу этого преобразования.

2. Из теоремы 9.3 следует, что любой комплексный (действительный, рациональный) корень характеристического уравнения является собственным значением линейного преобразования \mathcal{A}\colon V\to V линейного пространства V , определенного над полем комплексных (действительных, рациональных) чисел.

3. Из теоремы 9.3 следует, что любое линейное преобразование к

radiobud.ru

Правило Крамера (Лекция №15)

СИСТЕМА ОДНОРОДНЫХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Системой однородных линейных уравнений называется система вида

Ясно, что в этой случае , т.к. все элементы одного из столбцов в этих определителях равны нулю.

Так как неизвестные находятся по формулам , то в случае, когда Δ ≠ 0, система имеет единственное нулевое решение x = y = z = 0. Однако, во многих задачах интересен вопрос о том, имеет ли однородная система решения отличные от нулевого.

Теорема. Для того, чтобы система линейных однородных уравнений имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы Δ ≠ 0.

Итак, если определитель Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение. Если же Δ ≠ 0, то система линейных однородных уравнений имеет бесконечное множество решений.

Примеры.

1. , а значит x=y=z=0.

СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ МАТРИЦЫ

Пусть задана квадратная матрица , X – некоторая матрица–столбец, высота которой совпадает с порядком матрицы A. .

Во многих задачах приходится рассматривать уравнение относительно X

,

где λ – некоторое число. Понятно, что при любом λ это уравнение имеет нулевое решение .

Число λ, при котором это уравнение имеет ненулевые решения, называется собственным значением матрицы A, а X при таком λ называется собственным вектором матрицы A.

Найдём собственный вектор матрицы A. Поскольку E∙X = X, то матричное уравнение можно переписать в виде или . В развёрнутом виде это уравнение можно переписать в виде системы линейных уравнений. Действительно .

И, следовательно,

Итак, получили систему однородных линейных уравнений для определения координат x₁, x₂, x₃ вектора X. Чтобы система имела ненулевые решения необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, т.е.

Это уравнение 3-ей степени относительно λ. Оно называется характеристическим уравнением матрицы A и служит для определения собственных значений λ.

Каждому собственному значению λ соответствует собственный вектор X, координаты которого определяются из системы при соответствующем значении λ.

Примеры.

1. Найти собственные векторы и соответствующие им собственные значения матрицы .

   Составим характеристическое уравнение и найдём собственные значения

   1. При λ₁ = –1 получаем систему уравнений

      Если x₁ = t, то, где tÎR.

   2. Если λ₂ = 5

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. ПОНЯТИЕ ВЕКТРОРА

При изучении различных разделов физики встречаются величины, которые полностью определяются заданием их численных значений, например, длина, площадь, масса, температура и т.д. Такие величины называются скалярными. Однако, кроме них встречаются и величины, для определения которых, кроме численного значения, необходимо знать также их направление в пространстве, например, сила, действующая на тело, скорость и ускорение тела при его движении в пространстве, напряжённость магнитного поля в данной точке пространства и т.д. Такие величины называются векторными.

Введём строгое определение.

Направленным отрезком назовём отрезок, относительно концов которого известно, какой из них первый, а какой второй.

Вектором называется направленный отрезок, имеющий определённую длину, т.е. это отрезок определённой длины, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало, а вторая – за конец. Если

A – начало вектора, B – его конец, то вектор обозначается символом, кроме того, вектор часто обозначается одной буквой . На рисунке вектор обозначается отрезком, а его направление стрелкой.

Модулем или длиной вектора называют длину определяющего его направленного отрезка. Обозначается || или ||.

К векторам будем относить и так называемый нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают. Он обозначается . Нулевой вектор не имеет определенного направления и модуль его равен нулю ||=0.

Векторы и называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. При этом если векторы и одинаково направлены, будем писать , противоположно .

Векторы, расположенные на прямых, параллельных одной и той же плоскости, называются компланарными.

Два вектора и называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и равны по длине. В этом случае пишут .

Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, помещая его начало в любую точку пространства.

Например.

1. Если дан вектор , то, выбрав любую точку , можем построить вектор , равный данному, и притом только один, или, как говорят, перенести вектор в точку .
   
2. Если рассмотреть квадрат ABCD, то на основанииопределения равенства векторов, мы можем написать и , но , , хотя все они имеют одинаковую длину.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ

1. Умножение вектора на число.

   Произведением вектора на число λ называется новый вектор такой, что:

   1. ;
   2. вектор коллинеарен вектору ;
   3. векторы и направлены одинаково, если λ>0 и противоположно, если λ< 0. (Если λ=0, то из условия 1 следует, что ).

   Произведение вектора на число λ обозначается .

   Например, есть вектор, направленный в ту же сторону, что и вектор , и имеющий длину, вдвое меньшую, чем вектор .

   Введённая операция обладает следующими свойствами:

   1. Для любых чисел a и b и вектора выполняется равенство .

      Действительно, векторы, стоящие в обеих частях равенства имеют одинаковую длину . Кроме того, ясно, что они одинаково направлены, т.к. их направление совпадает с направлением вектором , если a и b одного знака, и противоположно направлению , если a и b разных знаков.

   2. Пусть дан вектор . Для любого коллинеарного ему вектора найдётся и притом только одно число l, удовлетворяющее равенству .

      Доказательство свойства 2:

      1. Пусть . Рассмотрим вектор . Очевидно, . Кроме того , поэтому . Из этих двух свойств следует, что , а значит .
      2. Аналогично, если . Тогда .

         Единственность числа λ следует из того, что при умножении вектора на два разных числа, получаем два разных вектора.

2. Сложение векторов.

   Пусть и – два произвольных вектора. Возьмём произвольную точку O и построим вектор . После этого из точки A отложим вектор . Вектор , соединяющий начало первого вектора c концом второго , называется суммой этих векторов и обозначается .

   Сформулированное определение сложения векторов называют правилом параллелограмма, так как ту же самую сумму векторов можно получить следующим образом. Отложим от точки O векторы и . Построим на этих векторах параллелограмм ОАВС. Так как векторы , то вектор , являющийся диагональю параллелограмма, проведённой из вершины O, будет очевидно суммой векторов .

   Легко проверить следующие свойства сложения векторов.

   1. Ясно, что прибавление нулевого вектора к некоторому вектору ā не меняет вектора , т.е. .
   2. Сложение векторов коммутативно, т.е. .

      Это свойство сразу следует из правила параллелограмма.

   3. Сложение векторов ассоциативно, т.е. для любых трёх векторов . Поэтому сумму трёх векторов часто записывают просто .

      Сумму трёх векторов можно получить следующим образом. Из произвольной точки O откладывается вектор, равный первому вектору. К его концу присоединяется начало второго, к концу второго – начало третьего. Вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего, будет суммой данных векторов. Аналогично строится сумма любого конечного числа векторов.

   4. Для любого числа λ и любых векторов и .

      Заметим, что при умножении векторов на число λ меняются только размеры векторов, т.е. масштаб чертежа, фигуры остаются подобными. Поэтому, так как векторы образуют стороны и диагональ параллелограмма, то, умножив все члены на λ, т.е. изменив лишь размеры векторов одинаковым образом, мы получим снова параллелограмм, а значит, сохранится равенство .
   5. Для любых чисел a и b и любого вектора выполняется равенство .
3. Разность векторов.

   Вектор, коллинеарный данному вектору , равный ему по длине и противоположно направленный, называется противоположным вектором для вектора и обозначается . Противоположный вектор можно рассматривать как результат умножения вектора на число λ = –1: .

   Разностью двух векторов и называется вектор , равный сумме векторов и , т.е. .

   Очевидно, что , для любого вектора .

   Легко показать, что .

   Действительно,

   Таким образом, если .

   Из определения суммы двух векторов вытекает правило построения вектора разности. Откладываем векторы и из общей точки O. Чтобы найти вектор-разность, нужно к добавить вектор или . Тогда . Вектор , соединяющий концы векторов и и направленный от «вычитаемого» к «уменьшаемому» (т.е. от второго вектора к первому), и будет разностью . Действительно, по правилу сложения векторов или .

   Таким образом, если на векторах и , отложенных из общей точки O, построить параллелограмм OACB, то вектор , совпадающий с одной диагональю параллелограмма, равен сумме , а вектор , совпадающий с другой диагональю, равен разности .

toehelp.ru

Как найти собственные векторы и собственные значения для матриц

При рассмотрении данного вопроса следует запомнить, что все используемые объекты – это векторы , причем n-мерные. При их записи не применяются никакие отличительные знаки, соответствующие типичным векторам.

Инструкция

1. Число k называют собственным значением (числом) матрицы А, если существует вектор х такой, что Ax=kx. (1)При этом вектор х именуется собственным вектором матрицы А, соответствующим числу k.В пространстве R^n (см. рис.1) матрица А имеет вид как на рисунке.

2. Нужно поставить задачу нахождения собственных чисел и векторов матрицы А. Пускай личный вектор x задан координатами. В матричной форме он запишется матрицей-столбцом, тот, что для комфорта следует представить транспонированной строкой. X=(x1,x2,…,xn)^T.Исходя из (1), Aх-kх=0 либо Aх-kEх=0, где E – единичная матрица (единицы расположены на основное диагонали, все остальное элементы – нули). Тогда (А-kE)х=0. (2)

3. Выражение (2) является системой линейных однородных алгебраических уравнений, которая имеет ненулевое решение (личный вектор). Следственно основный определитель системы (2) равен нулю, то есть |А-kE|=0. (3) Последнее равенство касательно собственного значения k именуется характеристическим уравнением матрицы А и в развернутом виде имеет вид (см. рис.2).

4. Это алгебраическое уравнение n-й степени. Действительные корни характеристического уравнения являются собственными числами (значениями) матрицы А.

5. Подставляя корень k характеристического уравнения в систему (2), получают однородную систему линейных уравнений с вырожденной матрицей (ее определитель равен нулю). Всякое ненулевое решение этой системы представляет собой личный вектор матрицы А, соответствующий данному собственному числу k (то есть корню характеристического уравнения).

6. Пример. Обнаружить личные значения и векторы матрицы А (см. рис 3).Решение. Характеристическое уравнение представлено на рис. 3. Раскройте определитель и обнаружьте личные числа матрицы, которые являются корнями данного уравнения (3-k)(-1-k)-5=0, (k-3)(k+1)-5=0, k^2-2k-8=0.Его корни k1=4, k2=-2

7. а) Личные векторы, соответствующие k1=4, находятся, через решение системы (A-4kE)х=0. При этом требуется каждого одно ее уравнение, потому что определитель системы заведомо равен нулю. Если положить х=(x1, x2)^T, то первое уравнение системы (1-4)x1+x2=0, -3×1+x2=0. Если предположить, что х1=1 (только не нуль), то х2=3. Потому что ненулевых решений у однородной системы с вырожденной матрицей сколь желательно много, то все уйма собственных векторов, соответствующих первому собственному числу х =С1(1, 3), C1=const.

8. б) Обнаружьте личные векторы, соответствующие k2=-2. При решении системы (A+2kE)х=0, ее первое уравнение (3+2)х1+х2=0, 5х1+х2=0.Если положить х1=1, то х2=-5. Соответственные личные векторы х =С2(1, 3), C2=const. Всеобщее уйма всех собственных векторов заданной матрицы: х =С1(1, 3)+ С2(1, 3).

jprosto.ru