Сомнительные числа – .

О приближённых вычислениях

19

1. Числа точные и приближённые

При обработке физического эксперимента надо различать точныеиприближённыечисла.

Точными числами являются числовые коэффициенты и показатели степени в формулах; коэффициенты, отражающие кратность и дольность единиц измерения; числа, заданные определениями, и другие. Например, точными являются: коэффициент 4/3 и показатель степени 3 в формуле объёма шара ; реперная точка термодинамической температур-ной шкалы – температура тройной точки воды Т = 273,16 К; показатель пре-ломления вакуума n = 1 и другие.

Погрешность точных чисел равна нулю.

К приближенным числам относятся: результаты измерений различ-ных величин; округленные значения точных чисел; табличные значения математических, физических, химических величин; иррациональные чис-ла и другие. Например, приближенными числами будут: измеренная с по-мощью амперметра сила тока в цепи

I = 42,8 мА; ускорение силы тяжести g = 9,8 м/с²; постоянная Больцмана k = 1,3810^-23 Дж/К; число  = 3,14; 2 = 1,41; 1n 10 = 2,30; sin 15°= 0,259.

2. Значащие цифры

Значащими цифрами числа называются все его цифры, в том числе и нули, если они не расположены в начале числа. Так, числа 3,1416; 5,09410⁵; 0,0172 имеют соответственно пять, четыре и три значащие циф-ры. Можно сказать иначе: первое число — пятизначное, второе – четырех-значное, третье — трехзначное.

Значащей цифра называется потому, что она является представи-телем того или иного разряда или, как говорят, означает соответствующий десятичный разряд. Так, в приближенном числе 4,50 цифра 4 означает разряд единиц, цифра 5 – разряд десятых долей, цифра 0 – разряд сотых долей. Тысячные и другие более мелкие доли неизвестны, поэтому соот-ветствующие разряды не означены никакими цифрами.

В точных числах (в отличие от приближенных) представители неоз-наченных разрядов известны – это нули. Следует предостеречь от часто допускаемой при вычисленнях ошибки, когда это положение неправо-мерно переносится и на приближенные числа. В случае точных чисел чис-ла 4,5 и 4,50 совершенно равноценны, а в случае приближенных нет: пер-вое содержит две значащие цифры, второе – три, в первом числе сотые доли неизвестны, во втором известны – их нуль.

Нули, стоящие в начале числа, не являются значащими. Например, в приближенном числе 0,0172 только три значащие цифры. Первые два нуля являются незначащими, так как играют вспомогательную роль: слу-жат для указания соответствующих десятичных разрядов последующими цифрами (цифрами 1, 7 и 2). Такое указание можно осуществить другими способами, обходясь без нулей в начале числа, например, записав его в нормальной форме: 0,0172=1,7210^—

².

В нормальной форме первую значащую цифру приближенного числа ставят в разряд единиц, а остальные (общее их количество, естественно, сохраняется) – в десятичных разрядах после запятой. Полученное число умножается на множитель вида 10ⁿ, где п — целое положительное или от-рицательное число. Например, число 1980 в нормальной форме запишется в виде 1,98010³.

3. Верные, сомнительные и неверные цифры

Приближенные числа, полученные в вычислениях, определенные из таблиц или найденные другими способами, содержат различное количес-тво значащих цифр, среди которых имеются верные,сомнительныеиневерныецифры.

Верными цифрами приближенного числа называются п первых цифр, если абсолютная погрешность числа не превышает половины еди-ницы разряда n-й цифры. Например, в приближенных числах 1406±2; 512,9±1,2; (82,4±0,8) 10³ верными соответственно являются три, две и одна первые значащие цифры. Следовательно, количество верных цифр в при-ближенном числе однозначно определяется его абсолютной погреш-ностью.

Цифра, стоящая за последней верной, является не вполне точно опре-деленной (в ней содержится погрешность) и поэтому называется сомни-тельной. В некоторых случаях сомнительных цифр может быть две. В приведенном выше примере сомнительными соответственно являются од-на, две и две последние значащие цифры. Сомнительные цифры прибли-женного числа так же, как и верные, определяются его абсолютной по-грешностью.

Все цифры приближенного числа, стоящие после последней сомни-тельной, являются неверными. Действительно, поскольку эта сомни-тельная цифра не может быть определена точно, то цифры последующих более низких разрядов невозможно найти и даже оценить. Поэтому невер-ные цифры не содержат реальной информации, бессмысленны и должны быть отброшены (с использованием правил округления). Например, в при-ближенном числе 406,59±2 пять значащих цифр. Из них две первые вер-ные, третья сомнительная, а две последние неверные. Поэтому правиль-ной будет запись: 407±2. В случае приближенного числа 210,324+1,2 сле-дует писать 210,3±1,2.

studfiles.net

П р и м е р 1. Найти верные и сомнительные цифры в записи приближенного числа 21,327, если абсолютная погрешность составляет 0,032.

• Вычисляем =21,327+0,032=21,359 и =21,327 –0.032=21,295. Сравнивая полученные числа, устанавливаем, что цифры 2 и 1 – верные, а цифры 3, 2 и 7 – сомнительные. •

П р и м е р 2. В приближенном числе 26,48 сохранить только верные цифры, если его абсолютная погрешность составляет 0,04.

• Аналогично примеру 1 устанавливаем, что цифры 2 и 6 – верные, а 4 и 8 – сомнительные. Округляя число, получим 26,5, в котором все цифры верные (такая запись числа будет указывать на его предельную абсолютную погрешность равную 0,05, что больше 0,04). • ругляя число, получим 26,5, котором все цифры верные (при такой записи числа его предельная абсолютная пкущая (хорда) (рис.

В вычислительной практике используют также термин число верных (значащих) десятичных знаков (цифр) числа. Под этим понимают число верных цифр после десятичной запятой, не считая нули, стоящие впереди. Так, например, если в числе 0,000304 все цифры верны, то говорят, что оно имеет три верных знака (нули, стоящие слева, не считаются).

Запись приближенных чисел, при которой все цифры должны быть верными, нужно использовать лишь в тех случаях, когда затруднительно указывать наряду с самими числами их погрешности.

Погрешности результатов арифметических операций. Пусть и – две приближенные величины, и – их абсолютные, а – относительные погрешности, соответственно. Тогда строгий учет погрешностей результатов вычислений может быть произведен при помощи следующих формул:

· ,

т. е. при сложении приближенных величин их абсолютные погрешности складываются;

.

При сложении приближенных величин относительная погрешность суммы будет заключена между наибольшей и наименьшей относительными погрешностями слагаемых.

 

· ,

т. е., как и при сложении, абсолютные погрешности при вычитании приближенных величин складываются;

.

Из последней формулы следует, что если уменьшаемое значительно больше вычитаемого, то знаменатель последней дроби будет близок к , а сама дробь близка к . В этом случае ситуация будет мало отличаться от той, которая имела бы место при сложении этих приближенных величин. Совершенно другая картина получается, если уменьшаемое и вычитаемое имеют близкие значения. В этом случае знаменатель дроби будет очень мал и, следовательно, дробь будет очень велика, что может привести к большой потере верных знаков. Поэтому там, где это возможно, надо стараться избегать вычитания близких по абсолютной величине чисел (например, за счет некоторого преобразования расчетных формул).

· ,

,

 

Т. е. при умножении приближенных величин их относительные погрешности складываются.

· ,

,



infopedia.su

PRAKTIChESKAYa_RABOTA_1

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №1.

ТЕМА: ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙ.

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Сформировать у студентов знания, умения и навыки работы с

приближенными числами в применении формул погрешностей элементарных

действий и функций.

2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Изучить теоретическую часть. Выполнить задания, соответствующие

номеру Вашего варианта, и продемонстрируйте их преподавателю.

2. Оформите отчет по лабораторной работе, который должен содержать:

• титульный лист;

• исходные данные варианта;

• решения задач;

• результаты решений задач.

3. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Задача 1.

1. Определить. Какое равенство точнее: или

Решение: находим значения данных выражений с большим числом десятичных знаков: Затем вычисляем предельные абсолютные погрешности, округляя их с избытком:

Предельные абсолютные погрешности составляют

Так как , то равенствоболее точное.

2. а) Округлить сомнительные цифры числа 72,353(

   0,026), оставив верные знаки в узком смысле.

Решение:Пусть 72,353(0,026)=а. Согласно условию, погрешность. Это значит, что в числе 72,353 верными в узком смысле являются цифры 7,2,3 . По правилам округления чисел найдем приближенное значение числа, сохранив десятые доли:

;

Полученная погрешность больше 0,05; значит, нужно уменьшить число цифр в приближенном числе до двух:

;

Так как , то обе оставшиеся цифры верны в узком смысле.

б) Округлить сомнительные цифры числа 2,3544, =0,2%, оставив верные знаки в широком смысле.

Решение: Пустьа=2,3544;=0,2%; тогдаВ данномчисле верными в широком смысле являются три цифры, поэтому округляем его, сохраняя эти три цифры:

;

Значит, в округленном числе 2,35 все три цифры верны в широком смысле

3. а) Найти предельные абсолютные погрешности и относительные погрешности числа 0,4257, если они имеют только верные цифры в узком смысле.

Решение: Так как все четыре цифры числаа=0,4257 верны в узком смысле, то абсолютная погрешность, а относительная погрешность

б) Найти предельные абсолютные и относительные погрешности числа 12, 384, если они имеют только верные цифры в широком смысле.

Решение: Так как все пять цифр числаа=12,384 верны в широком смысле, то;

4. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ НА ЗАЩИТЕ РАБОТЫ

1. Что такое абсолютная и относительная погрешности?

2. Как классифицируются погрешности?

3. Что значит верная цифра?

5. ЗАДАНИЕ

Задача 1

1. Определить, какое равенство точнее.

2. Округлить сомнительные цифры числа, оставив верные знаки:

а) в узком смысле;

б) в широком смысле.

Определить абсолютную погрешность результата.

3. Найти предельные абсолютные и относительные погрешности чисел, если они имеют только верные цифры:

а) в узком смысле;

б) в широком смысле.

Варианты

3

studfiles.net

Задание 1. Верные цифры

Вариант 1 1) 2) а) б) 3) а) 0,2387; б) 42,884.	Вариант 2 1) 2) а) б) 3) а) 3,751; б) 0,537.
Вариант 3 1) 2) а) б) 3) а) 11,445; б) 2,043.	Вариант 4 1) 2) а) б) 3) а) 2,3445; б) 0,745.
Вариант 5 1) 2) а) б) 3) а) 8,345; б) 0,288.	Вариант 6 1) 2) а) б) 3) а) 12,45; б) 3,4453.
Вариант 7 1) 2) а) б) 3) а) 0,374; б) 4,348.	Вариант 8 1) 2) а) б) 3) а) 20,43; б) 0,576.
Вариант 9 1) 2) а) б) 3) а) 41,72; б) 0,678.	Вариант 10 1) 2) а) б) 3) а) 5,634; б) 0,0748.
Вариант 11 1) 2) а) б) 3) а) 18,357; б) 2,16.	Вариант 12 1) 2) а) б) 3) а) 0,5746; б) 236,58.
Вариант 13 1) 2) а) б) 3) а) 14,862; б) 8,73.	Вариант 14 1) 2) а) б) 3) а) 0,3648; б) 21,7.
Вариант 15 1) 2) а) б) 3) а) 2,4516; б) 0,863.	Вариант 16 1) 2) а) б) 3) а) 62,74; б) 0,389.
Вариант 17 1) 2) а) б) 3) а) 5,6432; б) 0,00858.	Вариант 18 1) 2) а) б) 3) а) 0,0384; б) 63,745.
Вариант 19 1) 2) а) б) 3) а) 12,688; б) 4,636.	Вариант 20 1) 2) а) б) 3) а) 6,743; б) 0,543.
Вариант 21 1) 2) а) б) 3) а) 15,644; б) 6,125.	Вариант 22 1) 2) а) б) 3) а) 0,3825; б) 24,6.
Вариант 23 1) 2) а) б) 3) а) 16,383; б) 5,734.	Вариант 24 1) 2) а) б) 3) а) 0,573; б) 3,6761.
Вариант 25 1) 2) а) б) 3) а) 18,275; б) 0,00644.	Вариант 26 1) 2) а) б) 3) а) 3,425; б) 7,38.
Вариант 27 1) 2) а) б) 3) а) 3,75; б) 6,8343.	Вариант 28 1) 2) а) б) 3) а) 3,643; б) 72,385.
Вариант 29 1) 2) а) б) 3) а) 26,3; б) 4,8556.	Вариант 30 1) 2) а) б) 3) а) 43,813; б) 0,645.

studfiles.net

1.2 Действия с приближенными числами

1.2.1 Верные, неверные и сомнительные цифры

Результатами измерений или математических операций с приближенными числами являются числа, которые могут содержать верные, сомнительные и неверные цифры. Верной цифрой обычно называют такую, погрешность которой не превышает половины единицы ее разряда. Сомнительная цифра – следующая за верной. Неверными считаются цифры, которые стоят справа от сомнительной (или двух сомнительных). Неверные цифры принято отбрасывать путем округления.

1.2.2 Правила округления

1. Если первая отбрасываемая цифра меньше пяти, то последняя сохраняемая цифра не изменяется (0,14380,14).

2. Если первая отбрасываемая цифра больше пяти или равна пяти, но за ней стоят цифры отличные от нуля, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу (0,14780,15; 0,14520,15).

3. Если отбрасывается одна цифра пять, а следующие цифры – нули или неизвестны, то последняя сохраняемая цифра не изменяется, если она четная, и увеличивается на единицу, если она нечетная (42,8542,8; 42,7542,8).

1.2.3 Экспоненциальная форма записи чисел

При выполнении расчетов часто используют экспоненциальную (показательную) форму записи чисел в виде

, где М – мантисса числа, Е – порядок.

Если мантисса числа записана так, что в разряде единиц стоит цифра от 1 до 9, а все остальные цифры – в десятичных разрядах после запятой, то говорят, что число представлено в нормализованном виде. Например, число 0,000314 в экспоненциальной форме с нормализованной мантиссой записывают в виде , число 2483 – в виде.

1.2.4 Количество значащих цифр в числе

К значащим относят все верные и сомнительные цифры. К незначащим – нули слева и те нули справа, которые заменяют отброшенные путем округления или неизвестные цифры. Например, в числе 0,00401 – 3 значащие цифры; в числе 8400 – 4 значащие цифры.

Чтобы избежать недоразумений, не следует писать нули вместо отброшенных или неизвестных цифр. В этом случае принято использовать экспоненциальную форму записи чисел. Так число 8400, если оно имеет две значащие цифры, следует записать, например, как илии т.п.

Для того чтобы можно было судить о точности приближенного числа, его необходимо записывать так, чтобы оно не содержало неверных цифр. Если по каким-то причинам неверные цифры не отброшены, они считаются незначащими.

1.2.5 Точность числа

Точностью приближенного числа называют единицу разряда последней справа значащей цифры. Например, у числа 0,418 – точность 0,001, у числа 0,58 – точность 0,01.

1.2.6 Точность расчетов

При обработке результатов измерений обычно используют микрокалькулятор или персональный компьютер, которые позволяют существенно сократить затраты времени на вычисления. Однако результаты расчетов, выполненных с помощью вычислительной техники, необходимо анализировать, так как не все цифры, которые будут получены, могут быть значащими. Проиллюстрируем это примером. Предположим, что необходимо выполнить расчеты по формуле

,

где a = 1,3 м/с²; t = 12,1 с.

В этой формуле число 2 – точное, а физические величины (ускоре-ние a и время t) являются числами приближенными, так как получены путем измерений. После подстановки числовых значений в расчетную формулу и вычислений получаем такой результат:

.

Однако в полученном числе не все цифры являются достоверными. Действительно, в исходных данных последние значащие цифры являются сомнительными, так как могли быть получены, например, путем округления. Исходные значения величин могли быть такими: a = 1,34 м/с²; t = 12,14 с или a = 1,26 м/с²; t = 12,06 с. В результате вычислений могли быть, соответственно, получены такие результаты:

или .

Сравнение результатов показывает, что они отличаются уже вторыми знаками слева. Следовательно, верным является только первый знак, второй – сомнительным. Остальные цифры не несут никакой информации и могут лишь ввести в заблуждение относительно высокой точности полученного результата. С учетом этого в рассмотренном примере результат следует округлить до двух значащих цифр, то есть считать, что S ≈ 95 м.

При выполнении математических операций с приближенными числами необходимо соблюдать несколько правил.

1. При сложении и вычитании результат округляют так, чтобы он не имел значащих цифр в тех разрядах, которые отсутствуют хотя бы в одном из слагаемых. Например:

.

2. При умножении и делении результат должен содержать столько значащих цифр, сколько их имеется в исходном числе с наименьшим количеством таких цифр. Например:

.

3. При возведении в степень или извлечении корня любой степени, логарифмировании или вычислении какой-либо стандартной функции результат записывают с тем же количеством значащих цифр, что содержит аргумент.

4. Для того чтобы исключить накопление погрешностей за счет округления, в промежуточных расчетах принято сохранять один лишний знак, который отбрасывают при записи окончательного результата.

studfiles.net

Лекция на тему «Результат измерений – приближённое число. Математические действия с приближёнными числами. Нормализованный вид приближённого числа. Значащие и сомнительные цифры.»

1.2. Результат измерений – приближённое число. Математические действия с приближёнными числами. Нормализованный вид приближённого числа. Значащие и сомнительные цифры.

Прямое измерение. Два подхода к прямому измерению. Нормальное (тауссовское) распределение. Доверительная вероятность.

Результат любого измерения – приближённое число, представляющее измеряемое свойство объекта с некоторой неопределённостью, связанной как со свойством прибора, так и со свойством объекта измерений.

Например, расстояние между пластинами плоского конденсатора, или – между стенами квартиры.

Для измерения расстояния между стенами используется лазерный дальномер, погрешность измерения которого составляет ∆= 0,001 ммк. Результаты измерения будут отличаться друг от друга на единицы милиметров по причине непаралельности стенок. Поэтому результат измерения – некоторый интервал, внутри которого находится искомая величина: ( 7,342 – 7,354)м = 0,012 0,012: 2 = 0,006

число (7,348 + 0,006) м

0,006 – погрешность числа. Нанометр (10^-9) милимикрон (ммк).

Итак: результат эксперимента – приближённое число, т.е. число, содержащее сомнительные цифры. В приведённом примере цифры милиметрового разряда.

Подробнее о приближённых числах:

1. Число в десятичной системе представляет собой совокупность цифр разных разрядов – 1.единицы, десятки, сотни, тысячи;

2.десятичные, тысячные, сотые, десятые доли.

2. Число содержит верные и сомнительные цифры.

Число сомнительных цифр не должно превышать двух: в примере с измерением расстояния между стенами – верных цифр две: 7,3, сомнительных две: 0,042 – 0,054.

Нельзя изменять число верных и сомнительных цифр математическим преобразованием или переходом к должным и кратным единицам.

Например: 1,32А=>0,02 – сомнительная цифра.

В милиамперах это число = 1,32 10³ мА, но не 1,320мА, т.к. здесь 0 — сомнительная цифра, а 2 перешла в разряд верных.

3. Нормализованный вид приближённого числа – наиболее удобная форма представления приближённого числа в таблицах:

производная форма нормализования

342

3,42 10²

0,0576

5,76 10^-2

0,0100

1,10 10^-2

4. Значащие цифры в приближённом числе – верные цифры и одна сомнительная. Нули впереди числа не являются значащими, а после числа они значащие (в нормализованном виде нулей впереди числа нет, а сзади значащие).

5. Точность приближённого числа оценивается количеством значащих цифр: отношение последней значащей цифры к числу, выраженное в процентах:

342 => Ɛ = = % ~ 1%

34 => Ɛ = = % ~ 10%

342,4 => Ɛ = = % ~ 0,1%

В учебных лабораториях результаты измерений не могут выражаться

4-х значными числами.

Прямое измерение.

Нормальное распределение результата измерения.

Прямое измерение – измерение, результаты которого определяются используемым прибором.

Существует два подхода к измерению, которые, по существу по математической природе являются единым подходом.

Рассмотрим подробнее оба подхода:

1. Один объект измерения (например, параметр R, L, C конкретной цепи, длина конкретного стержня и т.п.) и много различных, но выполненных по требованиям ГОСТа приборов. Каждое измерение будет выполнено однократно одним прибором.

Вопрос – будут ли показания приборов одинаковы?

Ответ – да, U= 2,1 В, т.е. с точностью до двух значащих цифр показания вольтметров одинаковы;

нет, U= 2,12 – 2,18 В, т.е. с точностью до трёх значащих цифр показания вольтметров разные (третья цифра принимает различные значения).

Особенно наглядно это представлено на цифровом приборе: на одной шкале будет высвечена цифра 2,1 В, на другой – 2,1…., третья цифра будет неустойчиво разная, её значения будут от 2 до 8.

2. Один прибор, с помощью которого производится измерение некоторого свойства различных объектов, выполненных с едиными требованиями в соответствии с ГОСТом. Например, частота в цепи переменного тока промышленной частоты, напряжение на разных участках городской линии электропередачи, длина карандаша в коробке и т.п.

Будут ли результаты измерений одинаковы?

Ответ такой же, как и в первом случае п.1.

Проблема не в подходе, а в понятии «одинаковость».

Свойство «одинаковых объектов»: они подчиняются закону нормального распределения, для которого справедливы следующие утверждения.

1. Число объектов № достаточно велико (математически: N→∞), при малом N свойства распределения нарушаются.

2. Свойство объекта Х характеризуется его средним арифметическим значением ˂Х>, определяемым по формуле:

˂Х> = _N

при N→∞ ˂Х>- математическое ожидание, при N достаточно большом ˂Х> = Х_{Н.В. ;} Х_Н.В – наиболее вероятное значение.

3. Малые и большие отклонения в разные стороны от среднего равновероятны.

4. Малых отклонений много, чем больше величина отклонения, тем реже оно встречается.

infourok.ru

Вычислительная математика как часть математики, страница 2

1. Теория погрешностей

Как правило, методами вычислительной математики строится приближенное решение задачи, поэтому возникает вопрос об оценке погрешности. То есть насколько сильно найденное нами приближенное решение отличается от точного решения.

Основной вопрос вычислительной математики – это вопрос о погрешности полученного числового результата.

Источники погрешности

В процессе решения задач вычислительной математики возникают следующие погрешности:

погрешность математической модели и погрешность исходных данных;

погрешность численного метода;

погрешность вычислений на ЭВМ.

Рекомендуемая литература: /3,5,6/.

1.1. Абсолютная и относительная погрешности

Приближенным числом  a называется число, незначительно отличающееся от точного числа a₀ и заменяющее его в расчетах. Модуль разности между ними:  – погрешность приближенного числа a.

Отметим, что число a₀ нам не известно и погрешность приближенного числа мы вычислить не можем. Для оценки погрешности вводятся абсолютная и относительная погрешности.

Абсолютной погрешностью приближенного числа a называется величина Da, удовлетворяющая   неравенству .

Относительной погрешностью da приближенного числа a называется отношение абсолютной погрешности Da к абсолютной величине числа a, то есть:

.

Относительная погрешность обычно выражается в процентах: da´100 %.

Абсолютная и относительная погрешности указываются в записи чисел следующим образом: .

Пример

 x = 3.14 (1 ± 0.005%).

1.2. Верные значащие цифры числа

Значащие цифры  десятичного числа – это все его цифры, начиная с первой ненулевой слева.

Пример 1

x = 0.002036,    цифры 2036 являются значащими;

x = 2.27×10⁶,      значащими цифрами являются цифры 2, 2, 7;

x = 2270000,     все цифры этого числа являются значащими.

Значащая цифра в записи числа верна, если абсолютная погрешность числа меньше или равна пяти единицам разряда, следующего за этой цифрой.

Пример 2

Определить, сколько верных значащих цифр содержит число:

x = 0.002306 ± 0.00001.

Для определения числа верных значащих цифр запишем x и Dx таким образом, чтобы легко было сравнить разряды этих чисел:

x     = 0.002306, абсолютная погрешность Dx = 0.00001.

x     = 0.002306,

Dx   = 0.00001.

Третья значащая цифра (0) не может быть верной, так как она одного порядка с погрешностью. Верными могут быть цифры, которые стоят перед ней (2, 3). Цифра 3 будет верной, если Dx £ 0.00005. В нашем случае это условие выполнено, следовательно, 2, 3 – верные значащие цифры.

Цифры в записи числа, следующие за верными, называются сомнительными.

Пример 3

x     = 1.121 ± 0.003;

x     = 1.121;

Dx   = 0.003.

В числе x = 1.121 три верные значащие цифры (1, 1, 2) и одна сомнительная (1).

Пример 4

x     = 0.002306 ± 0.00007;

x     = 0.002306;

Dx   = 0.00007.

В числе x = 0.002306 одна верная значащая цифра (2), три сомнительные (3, 0, 6).

Пример 5

x     = 12.3 ± 0.5;

x     = 12.3;

Dx   =   0.5.

В числе x = 12.3 три значащие цифры, две верные значащие цифры (1, 2), одна сомнительная (3).

Пример 6

x     = 12.3 ± 0.8;

x     = 12.3;

Dx   =   0.8.

В числе x = 12.3 одна верная значащая цифра (1), две сомнительные (2, 3).

При записи абсолютной и относительной погрешностей используют, как правило, одну-две значащие цифры. Приближенные числа принято записывать следующим образом: сначала записывают все верные значащие цифры, затем одну-две сомнительные. То есть в записи приближенного числа, как правило, число значащих цифр на одну-две больше, чем число верных значащих цифр.

Практическое правило. Одна верная значащая цифра в записи числа соответствует приблизительно относительной погрешности 10 %. И наоборот, относительная погрешность 10 % соответствует приблизительно одной верной значащей цифре. Две верные значащие цифры соответствуют относительной погрешности 1 %, три верные значащие цифры – относительной погрешности 0.1 %.

1.3. Особенности математических вычислений на ЭВМ

ЭВМ – это машина с конечной памятью, состоящей из слов конечной длины. Возникает проблема представления бесконечного множества чисел конечным множеством чисел, представимых в ЭВМ.

vunivere.ru