Степенные пределы – , . — Таловская средняя школа

Содержание

2.7. Предел показательно-степенной функции

Напомним, что функция y =u(x)v(x) ,u(x)> 0 , основание и показатель степени которой являются функциями, зависящими от переменнойx , называетсяпоказательно-степенной.Пользуясь тождествомeln N = N и свойст-

вом логарифмической функции ln (N n )= n lnN , представим показательно-

степенную функцию в виде u(x)v(x) = eln u(x)v( x) =ev(x) ln u(x) . В силу непрерывности показательной функции по формуле (2.6) получаем:

	lim v(x) lnu(x)	, a .	(2.10)
lim u(x)v(x)= lim ev(x) lnu(x)= ex→a
x→a	x→a

Таким образом, нахождение исходного предела сводится к нахождению

предела lim v(x) lnu (x).Показательно-степенныевыражения в пределе мо-

x→a

гут порождать три типа неопределенности: 1∞, 00 ,∞0 . Для раскрытия неоп-

ределенности 1∞ можно использовать второй замечательный предел

lim (1+ x)x = e .

x→0

Правила вычисления lim u(x)v(x) :

x→a

1. Если функции u (x) иv(x) имеют приx →a конечные пределы, то

справедливо соотношение

lim u(x)v(x)

x→a

lim v(x)

= limu(x)x→a . (2.11)

x→a

2. Во всех остальных случаях рекомендуется перейти к основанию e по

формуле (2.10), вычислить предел lim v(x)lnu (x) и воспользоваться свойст-

x→a

вами показательной функции y = ex .


				2		sin x
					−2x +3	x .
Пример 2.28. Вычислить	lim		x
				2
	x→0				−3x +2
		x

Решение. Так как основание и показатель степени имеют приx →0 ко-

нечные пределы:

lim

−2x +3

lim

sin x

=1, то по формуле (2.10) по-

−3x +2

x→0x2

x→0

лучаем:

sin x

−2x +3

xlim→0

3 1

lim

x→0

−3x +2

x→0x

Пример 2.29. Вычислить

lim

2x +1

x→±∞

x −1

Решение. Согласно формуле (2.7)

lim

2x +1

= 2 . Пользуясь свойства-

x→±∞

x −1

ми показательной функции с основанием, большим единицы: lim 2x =+∞ и

x→+∞

lim 2x = 0 , окончательно получаем:

x→−∞

lim	2x +1 x		lim	2x +1 x
		= +∞ и			= 0 .
x→+∞	x −1		x→−∞	x −1

x −1 x−1

Пример 2.30. Вычислить lim . x→1 x2 −1

Решение. Найдем пределы основания и показателя степени приx →1:

lim

x −1

= lim

x −1

= lim

;

lim

= ∞.

(x −1)(x +1)

x→1×2 −1

x→1

x→1x +1

x→1x −1

Однако поведение показательной функции на бесконечности существенно зависит от знака бесконечно удаленной точки. Для показательной функ-

ции с основанием, меньшим единицы, имеем: lim	1	x
	2		= 0 и
x→+∞

	1	x		1	при x →1. Если
lim			= +∞. Проанализируем поведение функции
	2			x −1
x→−∞

x стремится к 1 справа, т. е. оставаясь все время больше 1,			то разность x −1
стремится		к нулю, также оставаясь положительной.	Следовательно,
lim	1	= +∞. При стремленииx к 1 слеваx будет меньше 1, а разность

x→1+0x −1

x −1

стремится

нулю,

оставаясь

отрицательной. В этом слу-

чае

lim

= −∞. Тогда предел исходнойпоказательно-степеннойфунк-

x→1−0x −1

ции будет зависеть от того, с какой стороны x приближается к 1:

x −1

lim

x−1

= 0 и

lim

x−1

= +∞.

−1

x→1+0x

x→1−0

−1

Пример 2.31. Вычислить

3x +1x

lim

x→∞

3x −2

Решение. Неопределенность 1∞ можно раскрыть, не прибегая к формуле (2.10), а пользуясь вторым замечательным пределом. Воспользуемся свойст-

вом показательной функции (ax )y = ax y и преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, следующим образом:

3x−2

3x +1

3x−2.

lim

lim 1 +

lim

1 +

x→∞

3x −2

x→∞

3x −2

x→∞

3x −2

По второму замечательному пределу (2.9) имеем:

3x−2

y =

, y →0

lim (1+ y)

lim 1

3x −2

x→∞

y→0

Кроме того,

lim

=1. Тогда по формуле (2.11) окончательно полу-

x→∞3x−2

чаем:

3x−2 xlim→∞

3x +1

3x−2

lim

lim 1 +

= e1 =e

x→∞3x −2

x→∞

3x −2

Список литературы

1.Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: В 2 ч. М.: Айрис Пресс, 2006. Ч. 1.

2.Комплексные числа и многочлены: Методические указания к решению задач / Сост.: М. Н. Абрамова, Е. А. Толкачева, А. И. Куприянов. СПб.: Изд-воСПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2007.

Содержание
1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ………………………………………………………………………………	3
1.1. Окрестность точки ……………………………………………………………………………….	3
1.2. Предел функции в точке. Непрерывность функции в точке …………………..	4
1.3. Предел функции на бесконечности……………………………………………………….	5
1.4. Бесконечно большая и бесконечно малая функции ……………………………….	6
1.5. Односторонние пределы……………………………………………………………………….	7
1.6. Элементарные функции………………………………………………………………………..	7
2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ…………………………………………………………………	11
2.1. Правила предельного перехода …………………………………………………………..	11
2.2. Предел дробно-рациональнойфункции……………………………………………….	14
2.3. Предел функций, содержащих иррациональные выражения………………..	18
2.4. Замечательные пределы. Эквивалентные бесконечно малые функции..	21
2.5. Пределы, содержащие тригонометрические функции………………………….	25
2.6. Пределы выражений, содержащих показательную,
логарифмическую и степенную функции……………………………………………	27
2.7. Предел показательно-степеннойфункции …………………………………………..	29
Список литературы …………………………………………………………………………………..	31

Редактор И. Г. Скачек

__________________________________________________________________

Подписано в печать Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. л. 2.0.

Гарнитура «Times». Тираж 250 экз. Заказ

__________________________________________________________________

Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ» 197376, С.-Петербург,Проф. Попова, 5

studfiles.net

Вычисление пределов степенно-показательных функций

Пусть функции изаданы на множествеи функцияна нем положительна. Функция

называется степенно — показательной.

Предположим, что – точка сгущения множестваи существуют конечные пределы

где . Нужно найти

Воспользовавшись тождествами , запишем исходное выражение в виде

В силу теоремы 6.1 получим

При заданных значениях пределов будем иметь

Из проведенного рассуждения видно, что предположение о существовании конечных пределов иможно отбросить. Действительно, для нахождения предела выражениядостаточно знать предел произведения(конечный или бесконечный).

1) Пусть . Тогда.

2) Если , то.

3) Если , то.

Заметим, что произведение может оказаться неопределенностью типа. Тогда и исходное выражениепредставляет собой неопределенность. Перечислим возникающие здесь неопределенности.

1) Если , то вычисление пределаприводит к неопределенности типа.

2) Если , то вычисление пределаприводит к неопределенности типа.

3) Если , то вычисление пределаприводит к неопределенности типа.

Во всех указанных случаях (,,) можно раскрыть неопределенностьв показателе степени, преобразуя ее к типуи используя соответствующие эквивалентные бесконечно малые.

Замечание 8.3.Приведенные выше рассуждения справедливы и для вычисления предела степенно-показательной функции в бесконечно удаленной точке:.

Пример 8.2.Вычислить.

Решение.Здесь,, поэтому имеем неопределенность типа. Преобразуем выражение под знаком предела:

В показателе степени имеем неопределенность типа . Заменойприна эквивалентную бесконечно малуюраскрываем ее:

Таким образом,

Замечание 8.4.Аналогично доказывается равенство.

Пределы

образуют две формы одного и того же равенства, которое также является замечательным пределоми часто служат определением числа.

Задачи к §8

Задача 1.Вычислить.

Решение. Здесь имеем неопределенность типа. Преобразуем числитель дроби к форме произведения:

Затем заменим бесконечно малую в точке функциюэквивалентной бесконечно малой.

Тогда получим

Ответ:.

Задача 2.Вычислить.

Решение.Здесь возникает неопределенность типа. Преобразуем знаменатель, воспользовавшись свойствами логарифмической функции, и выделим в аргументе логарифма слагаемое, равное 1:

Заменим бесконечно малую в точке функциюэквивалентной бесконечно малой. Числитель разложим на множители:

Тогда получим:

Ответ: .

Задача 3.Вычислить.

Решение.Здесь возникает неопределенность типа. Представим числитель в виде:

Затем заменим его эквивалентной бесконечно малой в точке функцией.

Функцию в точкетоже заменим на эквивалентную бесконечно малую.

Тогда

Ответ: .

Задача 4.Вычислить.

Решение.Здесь возникает неопределенность типа. Представим числитель в виде:

Затем заменим его эквивалентной бесконечно малой в точке функцией.

Преобразуем знаменатель:

и заменим его на эквивалентную бесконечно малую . Тогда получим

Ответ: .

Задача 5.Вычислить.

Решение.Здесь возникает неопределенность типа. Числительможно заменить эквивалентной бесконечно малой.

Чтобы воспользоваться соотношением (8.4), преобразуем знаменатель:

и заменим его эквивалентной бесконечно малой .

Тогда

Ответ: .

Задача 6.Вычислить.

Решение.Здесь имеем неопределенность типа. Чтобы применить к выражениюсоотношение (8.3), представим его в виде:

и заменим бесконечно малую функцию эквивалентной бесконечно малой. Знаменатель же представим в виде:

и, используя соотношения (8.2) и (8.8), заменим его эквивалентной бесконечно малой . Учитывая проведенные выкладки и соотношение (8.4), получим:

Ответ: .

Задача 7.Вычислить.

Решение.Здесь имеем неопределенность типа. Используя ряд приемов, примененных в задачах 1–7, получим

Ответ: .

Задача 8.Вычислить.

Решение.Здесь имеем неопределенность типа. Используя ряд приемов, примененных в задачах 1–7 и формулы приведения для тригонометрических функций, получим

Ответ: .

Задача 9.Вычислить.

Решение.Здесь имеем неопределенность типа. Чтобы применить к числителю соотношение (8.2), преобразуем его следующим образом:

Теперь числитель согласно соотношению (8.2) можно заменить эквивалентной бесконечно малой .

Преобразуем знаменатель

Заменяем, используя соотношение (8.1), эквивалентной бесконечно малой.

Тогда

Ответ: .

Задача 10.Вычислить.

Решение.Здесь имеем неопределенность типа. Используя приемы, описанные выше, получим

Ответ:.

Задача 11.Вычислить.

Решение.Здесь имеем неопределенность типа. Используя теоремы 6.2 и 6.1, получим

Получили неопределенность типа . Преобразуем выражение с помощью формул приведения, затем переходим к эквивалентным бесконечно малым. В итоге получим

Ответ:.

Задача 12.Вычислить.

Решение.Здесь имеем неопределенность типа. Выделимв основании степени:

Заметим, что при.

Справедлива цепочка равенств

Заменяя логарифм эквивалентной бесконечно малой согласно соотношению (8.2) и используя замечание 6.4 для раскрытия неопределенности, получим

Ответ:.

Задача 13^⁴.Вычислить.

Решение.Здесь имеем неопределенность типа. Введем переменную. Если, то.

Выделим в основании степени:

тогда

Заметим, что при. Заменим функциюэквивалентной бесконечно малой, будем иметь

Используя теорему 7.3, окончательно получим

Ответ:.

Задача 14.Вычислить.

Решение.Здесь возникает неопределенность типа. Поскольку

вычислим сначала . Мы имеем дело с неопределенностью типа.

Воспользовавшись последовательно соотношениями (8.2) и (8.1), будем иметь

Ответ:.

Задача 15.Вычислить.

Решение.Здесь возникает неопределенность типа. Воспользуемся формулой

Вычислим предел, стоящий в показателе степени. Для этого требуется раскрыть неопределенность типа . Преобразуем ее в неопределенность типаи воспользуемся эквивалентностью бесконечно малых:

Ответ:.

Задача 16.Вычислить.

Решение.Здесь возникает неопределенность типа. Преобразуем исходное предельное выражение

Вычислим предел, стоящий в показателе степени.

Ответ:.

studfiles.net

предел показательной функции | Математика

Рассмотрим два следствия из 2-го замечательного предела, с помощью которых можно найти предел показательной функции, в том числе, предел экспоненты.

Эти формулы можно применять и для случаев, когда на месте x стоит f(x), при условии, что при x→0, f(x)→0:

Проиллюстрируем, как найти предел показательной функции, в частности, предел экспоненты, на примерах.

Найти предел функции:

Сокращаем дробь на x. Получаем в числителе выражение вида (Ia), а значит, можем применить это следствие из 2-го замечательного предела:

Здесь мы вычли и прибавили единицу, поэтому в итоге значение выражения, стоящего в числителе, не изменилось.

Выносим общий множитель x за скобки и сокращаем на него:

В числителе получили выражения вида (Ia) и (IIа)

В числителе — выражение вида (Ia), в знаменателе — 1й замечательный предел:

www.matematika.uznateshe.ru

6.4. Вычисление предела степенно – показательной функции

Раскрытие неопределенностей вида , ,

Используя определение степенно – показательной функции и непрерывность экспоненты, раскрытие неопределённостей перечисленных видов можно привести к раскрытию неопределённостей стандартных видов , , . В самом деле :

;

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Решение.

Пример 4.

Решение.

Пример 5.

Решение.

Пример 6.

Решение.

Пример 7.

Решение.

< Предыдущая		Следующая >

matica.org.ua

15. Пределы степенно-показательных функций.

(x)=|(x-a)|^p

(x)=|(x-a)|^q

Если p>qто(x) б.м. более выс. пор-ка

Если (x) одного порядка с (x-a)ⁿ|(x) б.м. пор-каnв т.А

(x)=3x²-x⁵б.м. в О

(x)=5x²+x⁷б.м. в О

16. Рациональные, алгебраические, трансцендентные, элементарные функции. Гиперболические функции.

1) Рациональные ф-ции-ф-ции f(x), представимые в виде, гдеP(x) иQ(x) – многочлены (Q(x) не нулевой многочлен). Ф-цияf(x) определена во всех точках числовой оси, кроме тех её точек, в которых знаменательQ(x) обращается в ноль.

Th. Многочлен непрерывен на всей числовой оси.

Th. Рациональная ф-ция, гдеP(x) иQ(x) – многочлены, непрерывна во всех точках числовой оси, в которыхQ(x)0.

Это следует из непр-ти многочленов P(x) иQ(x) на всей числовой оси и непрер-ти частного непрер-ых ф-ций во всех точках, в кот-х знам-ль не обр-ся в нуль.

2) Алгебраические ф-ции- ф-ции кот-е можно получить из констант, из +, -, *, /, обратной, суперпозиции.

Алгебр-е +sinx, +e^x

элем-е ф-ции

3) Трансцедентные ф-ции- элем-ые ф-ции, не явл-ся рацион-ми или иррацион-ми. (не явл. алг-ми)

Иррац-е ф-ции, т.е. такие ф-ции, не явл-ся рацион-ми, кот-е могут быть заданы композицией конечного числа рациональных ф-ций, степ-х ф-ций с рацион-ми показателями и 4-х арифмет-х действий.

4) Элем-е. Ф-ция: линейная y=c(с-постоянная), степеннаяy=x^,R, показательнаяy=a^x,a>0, логарифмическаяy=log_ax,a>0,a1, тригонометрические ф-цииy=sinx,y=cosx,y=tgx,y=ctgxи обратные тригонометрические ф-цииy=arcsinx,y=arccosx,y=arctgx,y=arcctgxназываются основными элементарными ф-циями.

Всякая ф-ция f, кот-я может быть задана с пом-ю формулыy=f(x), содержащей лишь конечное число арифмет-х опер-й над основными элемент-ми ф-циями и композицией, называется элементарной ф-цией.

Th. Каждая элементарная ф-ция непр-на в обл-ти своего опред-я.

5) Нередко в мат. анализе встреч-ся ф-ции . Они имеют специальные названия: первая из них назыв-ся гиперболический синус и обозначаетсяshx, а вторая — гиперболический косинусchx. Таким образом,

Эти ф-ции обладают некоторыми свойствами, похожими на св-ва обычных (круговых) синусов и косинусов, например,

Эпитет «гиперболический» в названии ф-ций (1) и (2) объясняется тем что, уравнения

x=acht,y=asht,a>0, -<t<+, явл-ся, в силу формулы (3), параметрическими уравнениями правой ветви гиперболыx²-y²=a², подобно тому, как уравнения

x=acost,y=asint, 0t2, являются параметрическими уравнениями окружностиx²+y²=a².

17. Дифференцируемость функции. Определение производной. Непрерывность дифференцируемой функции.

Опр1. Функцияf(x) называется дифференцируемой в данной точкеx , если приращениеyэтой функции в точкеx, соответствующее приращению аргументаx, может быть представлено в виде

где A– некоторое число, не зависящее отx, а— функция аргументаx, являющаяся бесконечно малой приx0.

Т.к. произведение двух бесконечно малых x является бесконечно малой более высокого порядка, чем x, то можно определение переписать ;(А = f ’(x)).

Th. Чтобы f(x) была дифференцируема в т.x, необх. и дост., чтобы он в этой точке имела производную.

A=y’(x)

1) y’(x)-сущ-ет.

∆y(x)=y’(x)∙∆x+(∆x)

2) Пусть ф-ция диф-ма

∆y=A∙∆x+(∆x) |:∆x

y’(x)=A

Опр2.Производной ф-иейy=f(x) в точке хназ. предел прих0 отношения приращения ф-ии в этой точке к приращению аргумента (при условии что этот предел существует)

Обозначение:.

По определению =lim.

Ф-ия , имеющая производную в каждой точке интервала (а,в) наз. дифференцируемой в этом интервале. Операция нахождения производной ф-ии наз. дифференцированием.

Нахождение производной с помощью определения наз. непосредственным дифференцированием.

Предл. Если ф-ция y(x) дифф-а в т.х. то она непр-на

∆y=A∙∆x+(∆x)

∆x→0

Замеч. Обратное утверждение не верно, ф-ция может быть непр-на, но не дифф-а.

y=|x| x=0

y(0)=0

∆y=|∆x|

∆y=y(0+∆x)-y(0)

не=> она не дифф-ма.

studfiles.net

15. Пределы степенно-показательных функций.

(x)=|(x-a)|^p

(x)=|(x-a)|^q

Если p>qто(x) б.м. более выс. пор-ка

Если (x) одного порядка с (x-a)ⁿ|(x) б.м. пор-каnв т.А

(x)=3x²-x⁵б.м. в О

(x)=5x²+x⁷б.м. в О

16. Рациональные, алгебраические, трансцендентные, элементарные функции. Гиперболические функции.

Th. Многочлен непрерывен на всей числовой оси.

Th. Рациональная ф-ция, гдеP(x) иQ(x) – многочлены, непрерывна во всех точках числовой оси, в которыхQ(x)0.

2) Алгебраические ф-ции- ф-ции кот-е можно получить из констант, из +, -, *, /, обратной, суперпозиции.

Алгебр-е +sinx, +e^x

элем-е ф-ции

3) Трансцедентные ф-ции- элем-ые ф-ции, не явл-ся рацион-ми или иррацион-ми. (не явл. алг-ми)

Th. Каждая элементарная ф-ция непр-на в обл-ти своего опред-я.

Эти ф-ции обладают некоторыми свойствами, похожими на св-ва обычных (круговых) синусов и косинусов, например,

Эпитет «гиперболический» в названии ф-ций (1) и (2) объясняется тем что, уравнения

x=acost,y=asint, 0t2, являются параметрическими уравнениями окружностиx²+y²=a².

17. Дифференцируемость функции. Определение производной. Непрерывность дифференцируемой функции.

где A– некоторое число, не зависящее отx, а— функция аргументаx, являющаяся бесконечно малой приx0.

Th. Чтобы f(x) была дифференцируема в т.x, необх. и дост., чтобы он в этой точке имела производную.

A=y’(x)

1) y’(x)-сущ-ет.

∆y(x)=y’(x)∙∆x+(∆x)

2) Пусть ф-ция диф-ма

∆y=A∙∆x+(∆x) |:∆x

y’(x)=A

Обозначение:.

По определению =lim.

Нахождение производной с помощью определения наз. непосредственным дифференцированием.

Предл. Если ф-ция y(x) дифф-а в т.х. то она непр-на

∆y=A∙∆x+(∆x)

∆x→0

Замеч. Обратное утверждение не верно, ф-ция может быть непр-на, но не дифф-а.

y=|x| x=0

y(0)=0

∆y=|∆x|

∆y=y(0+∆x)-y(0)

не=> она не дифф-ма.

studfiles.net

15. Пределы степенно-показательных функций.

(x)=|(x-a)|^p

(x)=|(x-a)|^q

Если p>q то (x) б.м. более выс. пор-ка

Если (x) одного порядка с (x-a)ⁿ | (x) б.м. пор-ка n в т.А

(x)=3x²-x⁵б.м. в О

(x)=5x²+x⁷б.м. в О

16. Рациональные, алгебраические, трансцендентные, элементарные функции. Гиперболические функции.

1) Рациональные ф-ции-ф-ции f(x), представимые в виде , гдеP(x) и Q(x) – многочлены (Q(x) не нулевой многочлен). Ф-ция f(x) определена во всех точках числовой оси, кроме тех её точек, в которых знаменатель Q(x) обращается в ноль.

Th. Многочлен непрерывен на всей числовой оси.

Th. Рациональная ф-ция, гдеP(x) и Q(x) – многочлены, непрерывна во всех точках числовой оси, в которых Q(x)0.

Это следует из непр-ти многочленов P(x) и Q(x) на всей числовой оси и непрер-ти частного непрер-ых ф-ций во всех точках, в кот-х знам-ль не обр-ся в нуль.

2) Алгебраические ф-ции- ф-ции кот-е можно получить из констант, из +, -, *, /, обратной, суперпозиции.

Алгебр-е +sinx, + e^x

элем-е ф-ции

3) Трансцедентные ф-ции- элем-ые ф-ции, не явл-ся рацион-ми или иррацион-ми. (не явл. алг-ми)

4) Элем-е. Ф-ция: линейная y=c (с-постоянная), степенная y=x^, R, показательная y=a^x, a>0, логарифмическая y=log_ax, a>0, a1, тригонометрические ф-ции y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx и обратные тригонометрические ф-ции y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx называются основными элементарными ф-циями.

Всякая ф-ция f, кот-я может быть задана с пом-ю формулы y=f(x), содержащей лишь конечное число арифмет-х опер-й над основными элемент-ми ф-циями и композицией, называется элементарной ф-цией.

Th. Каждая элементарная ф-ция непр-на в обл-ти своего опред-я.

Эти ф-ции обладают некоторыми свойствами, похожими на св-ва обычных (круговых) синусов и косинусов, например,

Эпитет «гиперболический» в названии ф-ций (1) и (2) объясняется тем что, уравнения

x=a cht, y=a sht, a>0, -<t<+, явл-ся, в силу формулы (3), параметрическими уравнениями правой ветви гиперболы x²-y²=a², подобно тому, как уравнения

x=a cost, y=a sint, 0t2, являются параметрическими уравнениями окружности x²+y²=a².

17. Дифференцируемость функции. Определение производной. Непрерывность дифференцируемой функции.

Опр1. Функция f(x) называется дифференцируемой в данной точке x , если приращение y этой функции в точке x, соответствующее приращению аргумента x, может быть представлено в виде

где A – некоторое число, не зависящее от x, а — функция аргументаx, являющаяся бесконечно малой при x  0.

Th. Чтобы f(x) была дифференцируема в т.x, необх. и дост., чтобы он в этой точке имела производную.

A=y’(x)

1) y’(x)-сущ-ет.

∆y(x)=y’(x)∙∆x+(∆x)

2) Пусть ф-ция диф-ма

∆y=A∙∆x+(∆x) |:∆x

y’(x)=A

Опр2. Производной ф-ией y=f(x) в точке хназ. предел прих0 отношения приращения ф-ии в этой точке к приращению аргумента (при условии что этот предел существует)