Сумма всех сторон параллелограмма – Параллелограмм. Формулы, признаки и свойства параллелограмма

Содержание

Сумма квадратов диагоналей | Треугольники

Теорема. (Свойства диагоналей параллелограмма).

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

   

Так как противолежащие стороны параллелограмма равны: AB=CD, AD=BC, то сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его смежных сторон:

   

 

 

Дано:

ABCD — параллелограмм,

AC и BD — диагонали.

 

Доказать:

   

Доказательство:

I споссоб.

 

1) Опустим перпендикуляры BK и CF на прямую, содержащую сторону AD.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник BDK.

По теореме Пифагора

   

3) Аналогично, из прямоугольного треугольника ACF

   

4) Сложим почленно полученные равенства:

   

BK=CF (как высоты параллелограмма, проведенные к одной стороне), поэтому

   

5) Из прямоугольного треугольника ABK по теореме Пифагора

   

6) KD=AD-AK, AF=AD+FD, поэтому

   

   

7) BK=CF, AB=CD. Значит, прямоугольные треугольники ABK и DCF равны (по катету и гипотенузе).

Следовательно, их соответствующие стороны равны: AK=DF. Отсюда,

   

   

Раскрываем скобки:

   

   

   

Упрощаем

   

   

Что и требовалось доказать.

II способ.

Свойство диагоналей параллелограмма можно рассматривать как следствие из теоремы косинусов.

Этот способ доказательства будет рассмотрен в следующий раз.

www.treugolniki.ru

Параллелограмм — СПИШИ У АНТОШКИ

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.


На рисунке изображен параллелограмм АВCD

AB||CD и BC||AD противоположные стороны

∠DAB = ∠BCD, ∠ABC = ∠CDA

Признаки параллелограмма

Четырехугольник ABCD будет параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны (AB||CD, AB = CD (или BC||AD, BC = AD), то этот четырехугольник — параллелограмм.

2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны (AB = CD, BC = AD), то этот четырехугольник – параллелограмм.

3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам (AO = OC, BO = OD), то этот четырехугольник – параллелограмм.

4. Если  четырехугольнике противоположные углы попарно равны (∠DAB = ∠BCD, ∠ABC = ∠CDA), то этот четырехугольник – параллелограмм.

5. Если сумма углов четырехугольника прилегающих к любой стороне равна 180°:

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°, то этот четырехугольник – параллелограмм.

6. Если в четырехугольнике сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон:

AC2 + BD2 = AB2 + BC2 + CD2 + AD2, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Свойства параллелограмма

Квадрат, прямоугольник и ромб — есть параллелограммом. Поэтому паралллелограмм обладает свойствами этих геометрических фигур.
1. Противоположные стороны параллелограмма имеют одинаковую длину:

AB = CD = а, BC = AD = b

2. Противоположные стороны параллелограмма параллельны:

AB||CD, BC||AD

3. Противоположные углы параллелограмма одинаковые:

∠ABC = ∠CDA, ∠BCD = ∠DAB

4. Cумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;

5. Сумма углов параллелограмма равна 360°:

∠1+ ∠2+ ∠3 + ∠4= 360°

6. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:

d12 + d22 = 2a2 + 2b2 

7. Каждая диагональ делит параллелограмма на два равных треугольника

7. Две диагональ делят параллелограмм на две пары равных треугольников

8. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делят друг друга пополам

9. Точка пересечения диагоналей называется центром симметрии параллелограмма

10. Биссектрисы противоположных углов параллелограмма всегда параллельны

11. Биссектрисы соседних углов параллелограмма всегда пересекаются под прямым углом (90°)

Диагонали параллелограмма

 

Диагональю параллелограмма называется любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов параллелограмма.

Параллелограмм имеет две диагонали — длинную d1, и короткую — d2

Если параллелограмм имеет равные стороны, то диагонали параллелограмма будут равны.

Формулы определения длины диагонали параллелограмма:

1. Формулы диагоналей параллелограмма через стороны и косинус угла β (по теореме косинусов)

d1 = √(a2 + b2 — 2ab·cosβ)

d2 = √(a2 + b2 + 2ab·cosβ)

2. Формулы диагоналей параллелограмма через стороны и косинус угла α (по теореме косинусов)

d1 = √(a2 + b2 + 2ab·cosα)

d2 = √(a2 + b2 — 2ab·cosα)

3. Формула диагонали параллелограмма через две стороны и известную другую диагональ:

d1 = √(2a2 + 2b2 — d22)

Периметр параллелограмма

 Периметром параллелограмма называется сумма длин всех сторон параллелограмма.

Формулы определения длины периметра параллелограмма:

1. Формула периметра параллелограмма через стороны параллелограмма:

P = 2a + 2b = 2(a + b)

2. Формула периметра параллелограмма через одну сторону и две диагонали:

P = 2a + √(2d12 + 2d22 — 4a2)

P = 2b + √(2d12 + 2d22 — 4b2)

Площадь параллелограмма

Площадью параллелограмма называется пространство ограниченный сторонами параллелограмма, т.е. в пределах периметра параллелограмма.

Формулы определения площади параллелограмма:


1. Формула площади параллелограмма через сторону и высоту, проведенную к этой стороне:

S = a · ha

S = b · hb

2. Формула площади параллелограмма через две стороны и синус угла между ними:

S = ab sinα

S = ab sinβ

3. Формула площади параллелограмма через две диагонали и синус угла между ними:

S =  0.5 d22  d22 sinα

spishy-u-antoshki.ru

Как доказать, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сум… — Учеба и наука

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

   

 

Так как противолежащие стороны параллелограмма равны: AB=CD, AD=BC, то сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его смежных сторон:

   

 

 

Дано:

ABCD — параллелограмм,

AC и BD — диагонали.

 

Доказать:

   

Доказательство:

I споссоб.

 

1) Опустим перпендикуляры BK и CF на прямую, содержащую сторону AD.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник BDK.

По теореме Пифагора

   

3) Аналогично, из прямоугольного треугольника ACF

   

4) Сложим почленно полученные равенства:

   

BK=CF (как высоты параллелограмма, проведенные к одной стороне), поэтому

   

5) Из прямоугольного треугольника ABK по теореме Пифагора

   

6) KD=AD-AK, AF=AD+FD, поэтому

   

   

7) BK=CF, AB=CD. Значит, прямоугольные треугольники ABK и DCF равны (по катету и гипотенузе).

Следовательно, их соответствующие стороны равны: AK=DF. Отсюда,

   

   

Раскрываем скобки:

   

   

   

Упрощаем

   

   

Что и требовалось доказать.

www.liveexpert.ru

свойства и признаки, площадь, диагональ, правило для сторон и формула для суммы углов

Как в евклидовой геометрии точка и прямая — главные элементы теории плоскостей, так и параллелограмм является одной из ключевых фигур выпуклых четырехугольников. Из него, как нитки из клубка, втекают понятия «прямоугольника», «квадрата», «ромба» и других геометрических величин.

Вконтакте

Facebook

Twitter

Мой мир

Определение параллелограмма

 Выпуклый четырехугольник, состоящий из отрезков, каждая пара из которых параллельна, известен в геометрии как параллелограмм.

Как выглядит классический параллелограмм изображает четырехугольник ABCD. Стороны называются основаниями (AB, BC, CD и AD), перпендикуляр, проведенный из любой вершины на противоположную этой вершине сторону, — высотой (BE и BF), линии AC и BD — диагоналями.

  

Внимание! Квадрат, ромб и прямоугольник — это частные случаи параллелограмма.

Стороны и углы: особенности соотношения

 Ключевые свойства, по большому счету, предопределены самим обозначением, их доказывает теорема. Эти характеристики следующие:

  1. Стороны, которые являются противоположными, — попарно одинаковые.
  2. Углы, расположенные противоположно друг другу — попарно равны.

Доказательство: рассмотрим ∆ABC и ∆ADC, которые получаются вследствие разделения четырехугольника ABCD прямой AC. ∠BCA=∠CAD и ∠BAC=∠ACD, поскольку AC для них общая (вертикальные углы для BC||AD и AB||CD, соответственно). Из этого следует: ∆ABC = ∆ADC (второй признак равенства треугольников).

Отрезки AB и BC в ∆ABC попарно соответствуют линиям CD и AD в ∆ADC, что означает их тождество: AB = CD, BC = AD. Таким образом, ∠B соответствует ∠D и они равны. Так как ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, которые так же попарно одинаковые, то ∠A = ∠C. Свойство доказано.

Характеристики диагоналей фигуры

 Основной признак этих линий параллелограмма: точка пересечения разделяет их пополам.

Доказательство: пусть т. Е — это точка пересечения диагоналей AC и BD фигуры ABCD. Они образуют два соизмеримых треугольника — ∆ABE и ∆CDE.

AB=CD, так как они противоположные. Согласно правилу параллельных прямых и секущей, ∠ABE = ∠CDE и ∠BAE = ∠DCE.

По второму признаку равенства ∆ABE = ∆CDE. Это означает, что элементы ∆ABE и ∆CDE: AE = CE, BE = DE и при этом они соразмерные части AC и BD. Свойство доказано.

Особенности смежных углов

 У смежных сторон сумма углов равна 180°, поскольку они лежат по одну сторону параллельных линий и секущей. Для четырехугольника ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Свойства биссектрисы:

  1. биссектрисы, опущенные на одну сторону, являются перпендикулярными;
  2. противолежащие вершины имеют параллельные биссектрисы;
  3. треугольник, полученный проведением биссектрисы, будет равнобедренным.

Определение характерных черт параллелограмма по теореме

Признаки этой фигуры вытекают из ее основной теоремы, которая гласит следующее: четырехугольник считается параллелограммом в том случае, если его диагонали пересекаются, а эта точка разделяет их на равные отрезки.

Доказательство: пусть в т. Е прямые AC и BD четырехугольника ABCD пересекаются. Так как ∠AED = ∠BEC, а AE+CE=AC BE+DE=BD, то ∆AED = ∆BEC (по первому признаку равенства треугольников). То есть ∠EAD = ∠ECB. Они также являются внутренними перекрестными углами секущей AC для прямых AD и BC. Таким образом, по определению параллельности — AD || BC. Аналогичное свойство линий BC и CD выводится также. Теорема доказана.

Вычисление площади фигуры

 Площадь этой фигуры находится несколькими методами, одним из самых простых: умножения высоты и основания, к которому она проведена.

Доказательство: проведем перпендикуляры BE и CF из вершин B и C. ∆ABE и ∆DCF — равные, поскольку AB = CD и BE = CF. ABCD — равновеликий с прямоугольником EBCF, так как они состоят и соразмерных фигур: SABE и SEBCD, а также SDCF и SEBCD. Из этого следует, что площадь этой геометрической фигуры находится так же как и прямоугольника:

SABCD = SEBCF = BE×BC=BE×AD.

Для определения общей формулы площади параллелограмма обозначим высоту как hb, а сторону — b. Соответственно:

Другие способы нахождения площади

 Вычисления площади через стороны параллелограмма и угол, который они образуют, — второй известный метод.

,

где:

Sпр-ма — площадь;

a и b — его стороны

α — угол между отрезками a и b.

Этот способ практически основывается на первом, но в случае, если высота неизвестна. Перпендикуляр всегда отрезает прямоугольный треугольник, параметры которого находятся тригонометрическими тождествами, то есть . Преобразуя соотношение, получаем  . В уравнении первого способа заменяем высоту этим произведением и получаем доказательство справедливости этой формулы.

Через диагонали параллелограмма и угол, который они создают при пересечении, также можно найти площадь.

Доказательство: AC и BD пересекаясь, образуют четыре треугольника: ABE, BEC, CDE и AED. Их сумма равна площади этого четырехугольника.

Площадь каждого из этих ∆ можно найти за выражением , где a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Поскольку  , то в расчетах используется единое значение синуса. То есть  . Поскольку AE+CE=AC= d1 и BE+DE=BD= d2, формула площади сводится до:

.

Применение в векторной алгебре

 Особенности составляющих частей этого четырехугольника нашли применение в векторной алгебре, а именно: сложении двух векторов. Правило параллелограмма утверждает, что если заданные векторы  и   не коллинеарны, то их сумма будет равна диагонали этой фигуры, основания которой соответствуют этим векторам.

Доказательство: из произвольно выбранного начала — т. о. — строим векторы  и . Далее строим параллелограмм ОАСВ, где отрезки OA и OB — стороны. Таким образом, ОС лежит на векторе  или сумме .

Формулы для вычисления параметров параллелограмма

Тождества приведены при следующих условиях:

  1. a и b, α — стороны и угол между ними;
  2. d1 и d2 , γ — диагонали и угол в точке их пересечения;
  3. ha и hb — высоты, опущенные на стороны a и b;

 

Важно! Способов вычисления параметров этой фигуры значительно больше, однако, почти все из них вытекают или из ее свойств, или преобразуются друг из друга.

Геометрия 8 класс. Параллелограмм, свойства параллелограмма

Признаки параллелограмма

Вывод

 

Параллелограмм как одна из ключевых фигур геометрии находит применение в жизни, например, в строительстве при подсчете площади участка или других измерений. Поэтому знания об отличительных признаках и способах вычисления различных его параметров могут пригодится в любой момент жизни.

uchim.guru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.