Свойства тригонометрической функции – . , .

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Тригонометрия

Знаки тригонометрических функций

      Знаки чисел

sin α ,   cos α ,   tg α ,   ctg α

определяются тем, в каком квадранте (четверти) координатной плоскости   Oxy   лежит луч   OM   (рисунки 1, 2, 3, 4).

Рис.1. Знак sin αРис.2. Знак cos α
Рис.3. Знак tg αРис.4. Знак ctg α

Периодичность тригонометрических функций. Полупериодичность синуса и косинуса

      Рассмотрим рисунок 5.

Рис.5

      Если луч OM1, изображенный на рисунке 5, повернуть по ходу или против хода часов на полный угол (360 градусов или 2π радиан), то он совместится с самим собой. Следовательно, справедливы формулы:

sin (α° + 360°) = sin α°,   cos (α° + 360°) = cos α°,

sin (α° – 360°) = sin α°,   cos (α° – 360°) = cos α°,

а также формулы:

sin (α + 2π) = sin α ,   cos (α + 2π) = cos α ,

sin (α – 2π) = sin α,   cos (α – 2π) = cos α .

      Поворачивая луч  OM1 на полный угол по ходу или против хода часов n раз ( 360n градусов или 2nπ радиан), получаем следующие формулы:

      Таким образом, в случае, когда углы измеряются в градусах, периодами синуса и косинуса являются углы   360° n, .

      В случае, когда углы измеряются в радианах, периодами синуса и косинуса являются числа   2nπ, .

      В случае, когда углы измеряются в градусах, наименьшим положительным периодом синуса и косинуса является угол 360°.

      В случае, когда углы измеряются в радианах, наименьшим положительным периодом синуса и косинуса является число 2π .

      Теперь рассмотрим рисунок 6.

Рис.6

      Если луч OM1, изображенный на рисунке 6, повернуть по ходу или против хода часов на развернутый угол (180 градусов или π радиан), то он совместится с лучом OM2 . Следовательно, справедливы формулы:

sin (α° + 180°) = – sin α°,   cos (α° + 180°) = – cos α°,

sin (α° – 180°) = – sin α°,   cos (α° – 180°) = – cos α°,

а также формулы:

sin (α + π) = – sin α ,   cos (α + π) = – cos α ,

sin (α – π) = – sin α,   cos (α – π) = – cos α.

      Полученные формулы описывают свойство полупериодичности синуса и косинуса.

      Таким образом, в случае, когда углы измеряются в градусах, угол 180° является полупериодом синуса и косинуса.

      В случае, когда углы измеряются в радианах, полупериодом синуса и косинуса является число π.

      Следствие. Поскольку

то справедливы формулы:

      Таким образом, в случае, когда углы измеряются в градусах, периодами тангенса и котангенса являются углы 180° n,

      В случае, когда углы измеряются в радианах, периодами тангенса и котангенса являются числа   nπ, .

      В случае, когда углы измеряются в градусах, наименьшим положительным периодом тангенса и котангенса является угол 180°.

      В случае, когда углы измеряются в радианах, наименьшим положительным периодом тангенса и котангенса являются число π.

Четность тригонометрических функций

      Рассмотрим рисунок 7.

Рис.7

      На этом рисунке

      Следовательно, справедливы формулы:

sin ( – α ) = – sin α ,   cos ( – α ) = cos α ,

откуда вытекают формулы:

tg ( – α ) = – tg α ,   ctg ( – α ) = – ctg α .

      Таким образом, косинус – четная функция, а синус, тангенс и котангенс – нечетные функции.

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

Свойства тригонометрических функций

III. Актуализация знаний.

Используя прием «Путешествие по галерее» переходим к новой теме. Реферат «История возникновения тригонометрии».

Что означает в переводе с греческого слово «тригонометрия». Слово «тригонон» — треугольник, а слово «метрезис» или «метрео» – измеряю, значит тригонометрия – это «измерение треугольников». Тригонометрия дает методы решения реальных задач, возникающих в физике, электротехнике, астрономии, геодезии, картографии и других науках. В своем развитии она прошла две стадии. Изначально тригонометрия возникла в античном мире и развивалась в тесной связи с астрономией. Тригонометрические знания были нужны для определения положения небесных светил, составления карты звездного неба, предсказания солнечных затмений, расчетов траекторий комет и т.п. В средневековое время она развивалась благодаря потребностям географии, геодезии, военного дела. Тригонометрия приобрела современный вид, наиболее удобный для решения задач в 18 веке в трудах Леонардо Эйлера. Эйлер внёс огромный вклад в изучении свойств тригонометрических функции.

И на этом тема нашего урока «Свойства тригонометрических функции».

Постановка цели урока (изучить тему, научиться использовать свойства при решении задач).

Из определения тригометрических функции следует, что знаки «+» и «-» каждой функции зависят от того в какой координатной четверти лежит его конец.

Знаки тригонометрических функции можно указать также в виде таблицы.

Например:

1. Определите знак tg, если tgα0, cosα

2. Определите знак произведения:

А) (положительный)

Б) (отрицательный)

Так как значение тригонометрических функции принимают те же значения и при полном обороте, они называются периодическими функциями. Отсюда при нахождении значений угла больше 3600 применяем данные формулы.

Например:

Вычислите: cos4200=

До сих пор мы рассматривали тригонометрические функции, где . Теперь перейдём к рассмотрению формулы, которая выражает тригонометрические функций отрицательного аргумента через значения тригонометрических функций с положительным аргументом. Для этого в прямоугольной координатной системе, возьмём окружность с центром в начале координат и с радиусом ОР.

Если радиус повернёт против часовой стрелки, он займёт положение ОРα, если по часовой стрелке, то займёт положение ОР.

Здесь одинаковые абсциссы и противоположные ординаты. Отсюда, если координаты ОРα(х;у), то координаты точки ОР(х;-у). Значит

Запишем это в виде формулы следующим образом:

Определение:

Если изменение знака аргумента влечёт за собой и изменение знака функции, то функция называется нечетной, а если знак не изменился, то функция называется четной. Следовательно: синус, тангенс, котангенс являются нечетными функциями. Косинус является четной функцией.

Например:

Найдите значения выражений:

Cos(-π)+2sin(-π/6)=

compedu.ru

Тригонометрические функции, их свойства и графики.

Количество просмотров публикации Тригонометрические функции, их свойства и графики. — 1838

Функция синус y = sin(x).

Изобразим график функции синус, его называют «синусоида».

Свойства функции синус y = sinx:

  1. Областью определœения: .
  2. Область значений:
  3. Наименьший положительный период функции синуса равен .
  4. Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел.
  5. Функция синус — нечетная.
  6. Функция убывает при , возрастает при .
  7. Функция синус имеет локальные максимумы в точках , локальные минимумы в точках .
  8. Функция y = sinx вогнутая при , выпуклая при .
  9. Координаты точек перегиба .
  10. Асимптот нет.

Функция косинус y = cos(x).

График функции косинус (его называют «косинусоида») имеет вид:

Свойства функции косинус

y = cosx:

1.Область определœения функции косинус: .

2.Область значений: .

3.Наименьший положительный период функции косинус равен .

4.Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел.

5.Функция косинус — четная.

6.Функция убывает при , возрастает при .

7.Функция y = cosx имеет локальные максимумы в точках , локальные минимумы в точках .

8.Функция вогнутая при , выпуклая при .

9.Координаты точек перегиба .

10.Асимптот нет.

Функция тангенс y = tg(x).

График функции тангенс (его называют «тангенсоида») имеет вид:

Свойства функции тангенс y = tgx:

1.Область определœения функции тангенс: , где ,

Z – множество целых чисел.

2.Область значений функции тангенс: .

3.Наименьший положительный период функции тангенс равен .

4.Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел.

5.Функция тангенс — нечетная.

6.Функция возрастает при .

7.Функция вогнутая при ,

выпуклая при .

8.Координаты точек перегиба .

9.Наклонных и горизонтальных асимптот нет.

Функция котангенс y = ctg(x).

Изобразим график функции котангенс (его называют «котангенсоида»):

Свойства функции котангенс y = ctgx:

1.Область определœения: , где , Z – множество целых чисел.

2.Область значений: .

3.Наименьший положительный период функции котангенс равен .

4.Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел.

5.Функция нечетная.

6.Функция котангенс убывает при .

7.Функция котангенс вогнутая при , выпуклая при .

8.Координаты точек перегиба .

9.Наклонных и горизонтальных асимптот нет.

referatwork.ru

Свойства тригонометрических функций: гармонические колебания

 

Рассмотрим свойства тригонометрических функций, их особенности и отличия друг от друга.

Функция sin(x)

1. Область определения: R

2. Область значений: [-1;1]

3. Нечетная.

4. Наименьший положительный период: 2*pi

5. Координаты точек пересечения графика функции с осью Ох: (pi*n; 0)

6. Координаты точек пересечения графика функции с осью Оу: (0;0)

7. Промежутки, на которых функция положительна: (2*pi*n; pi+2*pi*n)

8. Промежутки, на которых функция отрицательна: (-pi + 2*pi*n; 2*pi*n)

9. Промежутки возрастания: [-pi/2 +2*pi*n; pi/2 +2*pi*n]

10. Промежутки убывания: [pi/2 +2*pi*n; 3*pi/2 +2*pi*n]

11. Точки минимума: -pi/2 +2*pi*n

12. Минимумы функции: -1

13. Точки максимума: pi/2 +2*pi*n

14. Максимумы функции: 1

Функция cos(x)

1. Область определения: R

2. Область значений: [-1;1]

3. Четная

4. Наименьший положительный период: 2*pi

5. Координаты точек пересечения графика функции с осью Ох: (pi/2 +pi*n; 0)

6. Координаты точек пересечения графика функции с осью Оу: (0;1)

7. Промежутки, на которых функция положительна: (-pi/2 +2*pi*n; pi/2 +2*pi*n)

8. Промежутки, на которых функция отрицательна: (pi/2 +2*pi*n; 3*pi/2 +2*pi*n)

9. Промежутки возрастания: [-pi + 2*pi*n; 2*pi*n]

10. Промежутки убывания: [2*pi*n; pi+2*pi*n]

11. Точки минимума: pi+2*pi*n

12. Минимумы функции: -1

13. Точки максимума: 2*pi*n

14. Максимумы функции: 2*pi*n

Функция tg(x)

1. Область определения: (-pi/2 +pi*n; pi/2 +pi*n)

2. Область значений: R

3. Нечетная

4. Наименьший положительный период: pi

5. Координаты точек пересечения графика функции с осью Ох: (pi*n; 0)

6. Координаты точек пересечения графика функции с осью Оу: (0;0)

7. Промежутки, на которых функция положительна: (pi*n; pi/2 +pi*n)

8. Промежутки, на которых функция отрицательна: (-pi/2 +pi*n; pi*n)

9. Промежутки возрастания: (-pi/2 + pi*n; pi/2 + pi*n)

10. Промежутки убывания: нет

11. Точки минимума: нет

12. Минимумы функции: нет

13. Точки максимума: нет

14. Максимумы функции: нет

Функция ctg(x)

1. Область определения: (pi*n; pi +pi*n)

2. Область значений: R

3. Нечетная

4. Наименьший положительный период: pi

5. Координаты точек пересечения графика функции с осью Ох: (pi/2 + pi*n; 0)

6. Координаты точек пересечения графика функции с осью Оу: нет

7. Промежутки, на которых функция положительна: (pi*n; pi/2 +pi*n)

8. Промежутки, на которых функция отрицательна: (-pi/2 +pi*n; pi*n)

9. Промежутки возрастания: нет

10. Промежутки убывания: (pi*n; pi +pi*n)

11. Точки минимума: нет

12. Минимумы функции: нет

13. Точки максимума: нет

14. Максимумы функции: нет

Гармонические колебания

Колебания, которые происходят согласно следующим законам

f(t) = A*cos(w*t+f),

f(t) = A*sin(w*t+f),

называются гармоническими.

Здесь A – амплитуда колебания, w – циклическая частота, f – начальная фаза колебания. Время, за которое совершается одно полное колебание, называется периодом. Период гармонических колебаний равен 2*pi/w.

Графиками гармонических колебаний будут косинусоида и синусоида. Примером гармонических колебаний, являются колебания шарика подвешенного на пружине.

Нужна помощь в учебе?



Предыдущая тема: Периодичность тригонометрических функций: четные и нечетные
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspРешение простейших тригонометрических уравнений: графики и примеры

Все неприличные комментарии будут удаляться.

www.nado5.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.