Таблица поверхности второго порядка – Уравнения поверхностей второго порядка (Таблица)

Уравнения поверхностей второго порядка


Эллипсоид

a, b, c — полуоси

 


 



Сфера
(частный случай эллипсоида)

 


 



Однополостный гиперболоид

c — действительная полуось,
a и b — мнимые полуоси


 


Двуполостный гиперболоид

c — действительная полуось,
a и b — мнимые полуоси


 


Конус

Вершина конуса в начале координат, направляющая кривая — эллипс с полуосями а и b, плоскость которого находится на расстоянии с от начала координат

 

 


Эллиптический параболоид

 


 


Гиперболический параболоид

 


 


Эллиптический цилиндр

a и b — полуоси


 


Гиперболический цилиндр


 


Параболический цилиндр

p — фокальный параметр


osiktakan.ru

§15. Поверхности второго порядка.

Поверхностью второго порядка называют совокупность точек пространства, координаты которых x,y,zудовлетворяют уравнению

Коэффициенты могут принимать любые действительные значения и удовлетворяют условию.

Для определения вида поверхности второго порядка необходимо ее уравнение привести к виду, не содержащему произведений координат. Этого можно достичь соответствующим выбором системы координат.

называют квадратичной формой. Матрицу

,

где , называют матрицей квадратичной формы. Вектор, удовлетворяющий условиюназывают собственным вектором матрицы А,- собственным значением.

Каждая матрица квадратичной формы имеет три взаимно ортогональных собственных вектора. Если единичные векторы собственных векторов матрицы А принять за единичные векторы новой системы координат, то в выражении квадратичной формы коэффициенты при произведениях обратятся в ноль и форма примет вид:

.

Присоединяя к ней линейную часть общего уравнения поверхности второго порядка и выделяя полные квадраты, получим каноническое уравнение поверхности второго порядка.

Пример 24.Привести к каноническому виду уравнение поверхности:

3x2+5y2+3z2– 2xy+ 2xz– 2yz-12x– 10 = 0.

Решение.

Составим матрицу А:

.

Найдем собственные векторы:

Полученная система имеет ненулевые решения, если ее определитель равен нулю, т.е.

Раскрывая определитель, получим:

.

Отсюда находим: .

При получим систему уравнений:

Решив систему, получим первый собственный вектор . Единичный векторсобственного векторабудет:.

При получим

При получим.

Записывая координаты единичных векторов в соответствующие столбцы, получим матрицу преобразования S:

Отсюда получим формулы преобразования координат:

Подставим значения ,ив уравнение поверхности:

или

Перепишем уравнение в виде:

Дополнив выражение в каждой скобке до полного квадрата, получим:

Совершив параллельный перенос осей координат и разделив на 24 обе части уравнения, получим

Это уравнение описывает поверхность, называемую эллипсоидом.

Классификация поверхностей второго порядка.

Применяя преобразование координат, уравнение поверхности второго порядка всегда можно привести к виду:

.

В зависимости от величины и знаков коэффициентов ,,,,,имогут представиться следующие частные случаи уравнений поверхностей второго порядка.

Таблица 1.

1. Эллипсоиды:

трехосный эллипсоид,

мнимый эллипсоид

точка

2

. Гиперболоиды:

1)однополостные гиперболоиды

2)двуполостные гиперболоиды

3. Конусы:

4. Параболоиды:

1)эллиптические параболоиды

2)гиперболические параболоиды

5. Цилиндры

1)эллиптические цилиндры

2)гиперболические цилиндры

3)- параболические цилиндры

6. Пары плоскостей:

1)- пары пересекающихся плоскостей

2)- пары параллельных плоскостей

3)- пары совпадающих плоскостей

§16. Преобразование декартовых координат.

Известно, что положение точки М некоторого пространства Vможно однозначно определить, задав координатыx,yиzэтой точки относительно некоторой системы координатOXYZ. Выбор системы координат – произвольный. Очевидно, что в одной системе координатXOYZточка М будет иметь координаты М(x;y;z), а в другой системеX’O’Y’Z’ точка М будет иметь другие координаты М(x’;y’;z’). Естественно возникает задача: зная координаты точки М в одной системе координат, выразить через них координаты той же точки М относительно другой системы.

Задача сводится к нахождению трех функций:

позволяющих однозначно определить координаты точки М относительно одной системы координат, зная их относительно другой системы. Если системы XOYZиX’O’Y’Z’ - прямоугольные декартовы системы координат, то формулы перехода от одной системы координат к другой системе имеют вид:

где точка - начало координат новой системыX’O’Y’Z’;- направляющие косинусы углов, составленных единичными векторами новой и старой систем координат. Если система координат определена на плоскости, то формулы преобразования имеют вид:

.

Если , то есть начало новой системы координат совпадает с началом старой системы, то формулы преобразования имеют вид:

и определяют поворот системы.

Если единичные векторы старой и новой систем коллинеарны, то получим преобразование параллельного переноса:

На плоскости преобразования поворота и параллельного переноса имеют вид:

Общее преобразование можно рассматривать как суперпозицию параллельного переноса и поворота системы координат. Справедливо фундаментальное утверждение: каковы бы ни были две произвольные прямоугольные декартовы системы координат, координаты x,y,zлюбой точки пространства относительно одной системы являются линейными функциями координатx’,y’,z’ той же точки относительно другой системы.

studfiles.net

§15. Поверхности второго порядка.

Поверхностью второго порядка называют совокупность точек пространства, координаты которых x,y,zудовлетворяют уравнению

Коэффициенты могут принимать любые действительные значения и удовлетворяют условию.

Для определения вида поверхности второго порядка необходимо ее уравнение привести к виду, не содержащему произведений координат. Этого можно достичь соответствующим выбором системы координат.

называют квадратичной формой. Матрицу

,

где , называют матрицей квадратичной формы. Вектор, удовлетворяющий условиюназывают собственным вектором матрицы А,- собственным значением.

Каждая матрица квадратичной формы имеет три взаимно ортогональных собственных вектора. Если единичные векторы собственных векторов матрицы А принять за единичные векторы новой системы координат, то в выражении квадратичной формы коэффициенты при произведениях обратятся в ноль и форма примет вид:

.

Присоединяя к ней линейную часть общего уравнения поверхности второго порядка и выделяя полные квадраты, получим каноническое уравнение поверхности второго порядка.

Пример 24.Привести к каноническому виду уравнение поверхности:

3x2+5y2+3z2– 2xy+ 2xz– 2yz-12x– 10 = 0.

Решение.

Составим матрицу А:

.

Найдем собственные векторы:

Полученная система имеет ненулевые решения, если ее определитель равен нулю, т.е.

Раскрывая определитель, получим:

.

Отсюда находим: .

При получим систему уравнений:

Решив систему, получим первый собственный вектор . Единичный векторсобственного векторабудет:.

При получим

При получим.

Записывая координаты единичных векторов в соответствующие столбцы, получим матрицу преобразования S:

Отсюда получим формулы преобразования координат:

Подставим значения ,ив уравнение поверхности:

или

Перепишем уравнение в виде:

Дополнив выражение в каждой скобке до полного квадрата, получим:

Совершив параллельный перенос осей координат и разделив на 24 обе части уравнения, получим

Это уравнение описывает поверхность, называемую эллипсоидом.

Классификация поверхностей второго порядка.

Применяя преобразование координат, уравнение поверхности второго порядка всегда можно привести к виду:

.

В зависимости от величины и знаков коэффициентов ,,,,,имогут представиться следующие частные случаи уравнений поверхностей второго порядка.

Таблица 1.

1. Эллипсоиды:

трехосный эллипсоид,

мнимый эллипсоид

точка

2. Гиперболоиды:

1)однополостные гиперболоиды

2)двуполостные гиперболоиды

3. Конусы:

4. Параболоиды:

1)эллиптические параболоиды

2)гиперболические параболоиды

5. Цилиндры

1)эллиптические цилиндры

2)гиперболические цилиндры

3)- параболические цилиндры

6. Пары плоскостей:

1)- пары пересекающихся плоскостей

2)- пары параллельных плоскостей

3)- пары совпадающих плоскостей

§16. Преобразование декартовых координат.

Известно, что положение точки М некоторого пространства Vможно однозначно определить, задав координатыx,yиzэтой точки относительно некоторой системы координатOXYZ. Выбор системы координат – произвольный. Очевидно, что в одной системе координатXOYZточка М будет иметь координаты М(x;y;z), а в другой системеX’O’Y’Z’ точка М будет иметь другие координаты М(x’;y’;z’). Естественно возникает задача: зная координаты точки М в одной системе координат, выразить через них координаты той же точки М относительно другой системы.

Задача сводится к нахождению трех функций:

позволяющих однозначно определить координаты точки М относительно одной системы координат, зная их относительно другой системы. Если системы XOYZиX’O’Y’Z’ - прямоугольные декартовы системы координат, то формулы перехода от одной системы координат к другой системе имеют вид:

где точка - начало координат новой системыX’O’Y’Z’;- направляющие косинусы углов, составленных единичными векторами новой и старой систем координат. Если система координат определена на плоскости, то формулы преобразования имеют вид:

.

Если , то есть начало новой системы координат совпадает с началом старой системы, то формулы преобразования имеют вид:

и определяют поворот системы.

Если единичные векторы старой и новой систем коллинеарны, то получим преобразование параллельного переноса:

На плоскости преобразования поворота и параллельного переноса имеют вид:

Общее преобразование можно рассматривать как суперпозицию параллельного переноса и поворота системы координат. Справедливо фундаментальное утверждение: каковы бы ни были две произвольные прямоугольные декартовы системы координат, координаты x,y,zлюбой точки пространства относительно одной системы являются линейными функциями координатx’,y’,z’ той же точки относительно другой системы.

studfiles.net

§15. Поверхности второго порядка.

Поверхностью второго порядка называют совокупность точек пространства, координаты которых x,y,zудовлетворяют уравнению

Коэффициенты могут принимать любые действительные значения и удовлетворяют условию.

Для определения вида поверхности второго порядка необходимо ее уравнение привести к виду, не содержащему произведений координат. Этого можно достичь соответствующим выбором системы координат.

называют квадратичной формой. Матрицу

,

где , называют матрицей квадратичной формы. Вектор, удовлетворяющий условиюназывают собственным вектором матрицы А,- собственным значением.

Каждая матрица квадратичной формы имеет три взаимно ортогональных собственных вектора. Если единичные векторы собственных векторов матрицы А принять за единичные векторы новой системы координат, то в выражении квадратичной формы коэффициенты при произведениях обратятся в ноль и форма примет вид:

.

Присоединяя к ней линейную часть общего уравнения поверхности второго порядка и выделяя полные квадраты, получим каноническое уравнение поверхности второго порядка.

Пример 24.Привести к каноническому виду уравнение поверхности:

3x2+5y2+3z2– 2xy+ 2xz– 2yz-12x– 10 = 0.

Решение.

Составим матрицу А:

.

Найдем собственные векторы:

Полученная система имеет ненулевые решения, если ее определитель равен нулю, т.е.

Раскрывая определитель, получим:

.

Отсюда находим: .

При получим систему уравнений:

Решив систему, получим первый собственный вектор . Единичный векторсобственного векторабудет:.

При получим

При получим.

Записывая координаты единичных векторов в соответствующие столбцы, получим матрицу преобразования S:

Отсюда получим формулы преобразования координат:

Подставим значения ,ив уравнение поверхности:

или

Перепишем уравнение в виде:

Дополнив выражение в каждой скобке до полного квадрата, получим:

Совершив параллельный перенос осей координат и разделив на 24 обе части уравнения, получим

Это уравнение описывает поверхность, называемую эллипсоидом.

Классификация поверхностей второго порядка.

Применяя преобразование координат, уравнение поверхности второго порядка всегда можно привести к виду:

.

В зависимости от величины и знаков коэффициентов ,,,,,имогут представиться следующие частные случаи уравнений поверхностей второго порядка.

Таблица 1.

1. Эллипсоиды:

трехосный эллипсоид,

мнимый эллипсоид

точка

2. Гиперболоиды:

1)однополостные гиперболоиды

2)двуполостные гиперболоиды

3. Конусы:

4. Параболоиды:

1)эллиптические параболоиды

2)гиперболические параболоиды

5. Цилиндры

1)эллиптические цилиндры

2)гиперболические цилиндры

3)- параболические цилиндры

6. Пары плоскостей:

1)- пары пересекающихся плоскостей

2)- пары параллельных плоскостей

3)- пары совпадающих плоскостей

§16. Преобразование декартовых координат.

Известно, что положение точки М некоторого пространства Vможно однозначно определить, задав координатыx,yиzэтой точки относительно некоторой системы координатOXYZ. Выбор системы координат – произвольный. Очевидно, что в одной системе координатXOYZточка М будет иметь координаты М(x;y;z), а в другой системеX’O’Y’Z’ точка М будет иметь другие координаты М(x’;y’;z’). Естественно возникает задача: зная координаты точки М в одной системе координат, выразить через них координаты той же точки М относительно другой системы.

Задача сводится к нахождению трех функций:

позволяющих однозначно определить координаты точки М относительно одной системы координат, зная их относительно другой системы. Если системы XOYZиX’O’Y’Z’ - прямоугольные декартовы системы координат, то формулы перехода от одной системы координат к другой системе имеют вид:

где точка - начало координат новой системыX’O’Y’Z’;- направляющие косинусы углов, составленных единичными векторами новой и старой систем координат. Если система координат определена на плоскости, то формулы преобразования имеют вид:

.

Если , то есть начало новой системы координат совпадает с началом старой системы, то формулы преобразования имеют вид:

и определяют поворот системы.

Если единичные векторы старой и новой систем коллинеарны, то получим преобразование параллельного переноса:

На плоскости преобразования поворота и параллельного переноса имеют вид:

Общее преобразование можно рассматривать как суперпозицию параллельного переноса и поворота системы координат. Справедливо фундаментальное утверждение: каковы бы ни были две произвольные прямоугольные декартовы системы координат, координаты x,y,zлюбой точки пространства относительно одной системы являются линейными функциями координатx’,y’,z’ той же точки относительно другой системы.

studfiles.net

Поверхности второго порядка.


⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5

Поверхностью второго порядка называют совокупность точек пространства, координаты которых x, y, z удовлетворяют уравнению

Коэффициенты могут принимать любые действительные значения и удовлетворяют условию .

Для определения вида поверхности второго порядка необходимо ее уравнение привести к виду, не содержащему произведений координат. Этого можно достичь соответствующим выбором системы координат.

называют квадратичной формой. Матрицу

,

где , называют матрицей квадратичной формы. Вектор , удовлетворяющий условию называют собственным вектором матрицы А, - собственным значением.

Каждая матрица квадратичной формы имеет три взаимно ортогональных собственных вектора. Если единичные векторы собственных векторов матрицы А принять за единичные векторы новой системы координат, то в выражении квадратичной формы коэффициенты при произведениях обратятся в ноль и форма примет вид:

.

Присоединяя к ней линейную часть общего уравнения поверхности второго порядка и выделяя полные квадраты, получим каноническое уравнение поверхности второго порядка.

 

Пример 24. Привести к каноническому виду уравнение поверхности:

3x2 +5y2 +3z2 – 2xy + 2xz – 2yz -12x – 10 = 0.

Решение.

Составим матрицу А:

.

Найдем собственные векторы:

Полученная система имеет ненулевые решения, если ее определитель равен нулю, т.е.

Раскрывая определитель, получим:

.

Отсюда находим: .

При получим систему уравнений:

Решив систему, получим первый собственный вектор . Единичный вектор собственного вектора будет: .

При получим

При получим .

Записывая координаты единичных векторов в соответствующие столбцы, получим матрицу преобразования S:

Отсюда получим формулы преобразования координат:

 

Подставим значения , и в уравнение поверхности:

или

Перепишем уравнение в виде:

Дополнив выражение в каждой скобке до полного квадрата, получим:

Совершив параллельный перенос осей координат и разделив на 24 обе части уравнения, получим

Это уравнение описывает поверхность, называемую эллипсоидом.

Классификация поверхностей второго порядка.

Применяя преобразование координат, уравнение поверхности второго порядка всегда можно привести к виду:

.

В зависимости от величины и знаков коэффициентов , , , , , и могут представиться следующие частные случаи уравнений поверхностей второго порядка.

Таблица 1.

1. Эллипсоиды:

трехосный эллипсоид,

мнимый эллипсоид

точка

2. Гиперболоиды:

1) однополостные гиперболоиды

2) двуполостные гиперболоиды

 

3. Конусы:

4. Параболоиды:

1) эллиптические параболоиды

2) гиперболические параболоиды

5. Цилиндры

1) эллиптические цилиндры

 

2) гиперболические цилиндры

3) - параболические цилиндры

6. Пары плоскостей:

1) - пары пересекающихся плоскостей

2) - пары параллельных плоскостей

3) - пары совпадающих плоскостей

§16. Преобразование декартовых координат.

Известно, что положение точки М некоторого пространства V можно однозначно определить, задав координаты x, y и z этой точки относительно некоторой системы координат OXYZ. Выбор системы координат – произвольный. Очевидно, что в одной системе координат XOYZ точка М будет иметь координаты М(x; y; z), а в другой системе X’O’Y’Z’ точка М будет иметь другие координаты М(x’; y’; z’). Естественно возникает задача: зная координаты точки М в одной системе координат, выразить через них координаты той же точки М относительно другой системы.

Задача сводится к нахождению трех функций:

позволяющих однозначно определить координаты точки М относительно одной системы координат, зная их относительно другой системы. Если системы XOYZ и X’O’Y’Z’ - прямоугольные декартовы системы координат, то формулы перехода от одной системы координат к другой системе имеют вид:

где точка - начало координат новой системы X’O’Y’Z’; - направляющие косинусы углов, составленных единичными векторами новой и старой систем координат. Если система координат определена на плоскости, то формулы преобразования имеют вид:

.

Если , то есть начало новой системы координат совпадает с началом старой системы, то формулы преобразования имеют вид:

и определяют поворот системы.

Если единичные векторы старой и новой систем коллинеарны, то получим преобразование параллельного переноса:

На плоскости преобразования поворота и параллельного переноса имеют вид:

Общее преобразование можно рассматривать как суперпозицию параллельного переноса и поворота системы координат. Справедливо фундаментальное утверждение: каковы бы ни были две произвольные прямоугольные декартовы системы координат, координаты x, y, z любой точки пространства относительно одной системы являются линейными функциями координат x’, y’, z’ той же точки относительно другой системы.

 

Полярная система координат.

Определение положения точки М с помощью декартовых координат не является единственным способом. Пусть дана некоторая плоскость. Выберем на ней точку О, из нее проведем луч ОЕ. На этом луче выберем единицу масштаба. Тогда любая точка М плоскости будет однозначно определена, если известно ее расстояние от точки О, то есть длина отрезка ОМ, и угол φ, образованный лучом ОЕ и отрезком ОМ. Пара чисел и называется полярными координатами точки М: φ – полярный угол, ρ – полярный радиус, луч ОЕ – полярная ось, точка О – полюс. Угол φ считается положительным, если он отсчитывается от полярной оси в направлении, противоположном направлению часовой стрелки. Область изменения полярных координат определяется системой неравенств: .

Если полюс полярной системы координат совместить с началом некоторой декартовой системы, заданной на той же плоскости, а полярную ось направить по оси ОХ, то полярные координаты и некоторой точки М будут связаны с декартовыми координатами х и у следующими соотношениями:

Если известны полярные координаты и , то декартовы координаты х и у точки М вычисляются по формулам:

Пример 25. Найти полярные координаты точки М(1; - ), если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось - с положительным направлением оси абсцисс.

Решение.

Имеем

угол находится в четвертой четверти, то есть

Ответ: М( ).

 

 

Расчётно-графическая работа

«Линейная алгебра и аналитическая геометрия»

Задание 1. Найти область решения системы неравенств. Сделать чертеж.

1. 2. 3.

 

4. 5. 6.

 

7. 8. 9.

 

10. 11. 12.

 

13. 14. 15.

 

16. 17. 18.

 

19. 20. 21.

 

22. 23. 24.

 

25.

Задание 2. Решить систему уравнений двумя способами:

1) методом Гаусса;

2) матричным методом.

Задание 3. Дана пирамида . Найти:

1) угол между ребрами и ;

2) уравнение плоскости ;

3) уравнение и длину высоты, опущенной из вершины на грань ;

4) угол между ребром и гранью ;

5) объем пирамиды ;

6) площадь грани. Сделать чертеж.

 

Задание 4. Даны векторы и в некотором базисе.

Показать, что векторы и образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

 

Задание 5. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду. Сделать чертеж. Найти координаты вершин и фокусов. Построить директрисы кривой .

Задание 6. Дано комплексное число . Записать комплексное число в алгебраической и тригонометрической формах. Найти все корни уравнения . Результаты изобразить схематически.

 

 

 

 

 

 

Задание 7. Найти собственные векторы линейного преобразования, приводящего квадратичную форму к каноническому виду. Установить вид кривой и сделать чертеж.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

 

 

Пример выполнения варианта расчетно-графической работы.

Задание 1.Найти область решения системы неравенств. Сделать чертеж.

Решение.

Заменим в данной системе каждое неравенство равенством. По полученным уравнениям построим прямые. Каждая прямая разделит плоскость на две полуплоскости, в одной из которых выполняется неравенство, в другой - нет. Часть плоскости, в которой выполняются все неравенства и есть область решения.

Рис.1

 

Ответ. Областью решения служит четырехугольник ABCD.

 

Задание 2.Решить систему уравнений двумя способами:

1) Методом Гауcса

2) Матричным методом.

Решение.

Вычислить определитель системы ∆:

∆= =

 

Следовательно, система имеет единственное решение.

Решим систему методом Гаусса. Составим расширенную матрицу, и, применяя элементарные преобразования, приведем ее к диагональному виду

 

 

Проверка:

 

 

Решим систему матричным методом. Составим обратную матрицу А-1.

Вычислим алгебраическое дополнение Аίj:

 

Ответ:

Задание 3.Дана пирамида : , , , .

Найти:

1)угол между ребрами и .

2)уравнение плоскости ;

3)уравнение и длину высоты, опущенной из вершины на грань ;

4)угол между ребром и гранью ;

5)объем пирамиды;

6)площадь грани . Сделать чертеж.

Решение.

1)Найти координаты векторов и :


Рекомендуемые страницы:

lektsia.com

Классификация поверхностей второго порядка — Мегаобучалка

 

Определение. Поверхностью второго порядка в пространстве будем называть множество точек, которое в некоторой декартовой системе координат может быть задано алгебраическим уравнением второго порядка, то есть уравнением вида

a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2b1x + 2b2y + 2b3z + c = 0 (*), где a112 + a222 + a332 + a122 + a132 + a232 ≠ 0.

 

Лемма (о корректности определения).

Понятие поверхности второго порядка не зависит от выбора декартовой системы координат, то есть если некоторое множество задается алгебраическим уравнением второго порядка в некоторой декартовой системе координат, то и в любой другой декартовой системе координат это множество задается алгебраическим уравнением второго порядка.

Доказательство.

Аналогично случаю кривых второго порядка

 

Теорема (о классификации поверхностей второго порядка) (Без доказательства)

Для любой поверхности второго порядка существует декартова система координат такая, что уравнение данной кривой в этой системе будет иметь один из следующих видов (и других поверхностей второго порядка не существует):

№ п.п. уравнение название
= 1, a > 0, b > 0, c > 0 эллипсоид
= 0, a > 0, b > 0, c > 0 точка (начало координат O (0, 0 ,0)
= -1, a > 0, b > 0, c > 0 Æ
= 1, a > 0, b > 0, c > 0 однополостный гиперболоид
= 0, a > 0, b > 0, c > 0 конус
= -1, a > 0, b > 0, c > 0 двуполостный гиперболоид
= 0, a > 0, b > 0 эллиптический параболоид
= 0, a > 0, b > 0 гиперболический параболоид
, a > 0, b > 0 эллиптический цилиндр
, a > 0, b > 0 прямая (ось (Oz))
, a > 0, b > 0 Æ
, a > 0, b > 0 гиперболический цилиндр
, a > 0, b > 0 две пересекающиеся плоскости ( )
, a > 0 параболический цилиндр
, a > 0 две параллельные плоскости ( )
, a > 0 плоскость ( )
, a > 0 Æ

 

 

Определение. Уравнения, указанные в таблице теоремы классификации, принято называть каноническими уравнениями поверхностей второго порядка.

 

Определение. Сечением поверхности второго порядка будем называть пересечение этой поверхности и некоторой плоскости.



 

Лемма. Любое сечение поверхности второго порядка - это кривая второго порядка.

Доказательство.

1) Рассмотрим сечение поверхности, заданной уравнением (*) плоскостью z = 0.

Ясно, что в плоскости z = 0 мы получим кривую второго порядка, заданную уравнением a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2b1x + 2b2y + c = 0.

2) Рассмотрим сечение поверхности второго порядка плоскостью a.

Существует преобразование декартовой системы координат такое, что плоскость a будет задаваться в новой системе координат уравнением z = 0 (то есть плоскость a будет совпадать с плоскостью (Oxy)). Так что сечение поверхности второго порядка плоскостью a будет так же кривой второго порядка.

 

Замечание. Факт, изложенный в предыдущей лемме, лежит в основе изучения поверхностей второго порядка методом сечений. По тому, какие сечения мы можем получить, можно составить представление о форме поверхности.

megaobuchalka.ru

Лекция 18. Поверхности второго порядка

Лекции по алгебре и геометрии. Семестр 1.

Лекция 18. Поверхности второго порядка.

Краткое содержание: эллипсоид, конус, однополостный гиперболоид, двуполостный гиперболоид, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид.

Глава 17. Поверхности второго порядка.

п.1. Определение поверхности второго порядка.

Определение. Поверхностью второго порядка называется ГМТ пространства М(х, у, z), координаты которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени с тремя неизвестными:

. (1)

п.2. Канонические уравнения поверхностей.

Мы примем без доказательства тот факт, что для любой поверхности второго порядка существует такая ПДСК в которой ее уравнение будет иметь наиболее простой вид. Такое уравнение поверхности называется каноническим, а соответствующая система координат называется канонической для данной поверхности.

Теорема. Уравнение любой поверхности второго порядка можно привести к каноническому виду.

п.3. Классификация поверхностей второго порядка по виду канонического уравнения.

1) Эллипсоид: .

2) Мнимый эллипсоид: .

3) Конус: .

4) Мнимый конус: .

5) Однополостный гиперболоид: .

6) Двуполостный гиперболоид: .

7) Эллиптический параболоид: ,.

8) Гиперболический параболоид: ,

9) Эллиптический цилиндр: .

10) Мнимый эллиптический цилиндр: .

11) Пара мнимых пересекающихся плоскостей:

или или.

12) Гиперболический цилиндр: .

13) Пара пересекающихся плоскостей:

или или.

14) Параболический цилиндр: .

15) Пара параллельных плоскостей:

или .

16) Пара мнимых параллельных плоскостей:

или .

17) Сдвоенная плоскость: .

Замечание. Как легко видеть, мнимым поверхностям не удовлетворяют координаты ни одной точки вещественного пространства, а мнимому конусу удовлетворяет единственная точка – начало координат.

п.4. Метод сечений исследования формы поверхности.

studfiles.net

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *