Улитка паскаля в полярных координатах построение – . . .

Улитка Паскаля

Улитка Паскаля – плоская кривая. Ее можно определить как геометрическое место точек М и М1, расположенных на прямых пучка с центром в точке О, лежащей на данной окружности радиуса R, и находящихся на равном расстоянии а по обе стороны от точки пересечения Р прямых пучка с окружностью – см. рис., – где а < 2R. Улитка Паскаля изображена на нем красной линией.
Уравнение улитки Паскаля в полярных координатах имеет вид:

ρ = 2 Rcosφ + a,

где φ – полярный угол радиуса-вектора текущей точки.
Если а = 2R, то петля улитки Паскаля (сплошная линия внутри данной окружности на рис.) стягивается в точку, и улитка Паскаля вырождается в кардиоиду.

Если a > 2R, улитка Паскаля не имеет общих точек с данной окружностью (см. рис.).
В прямоугольных декартовых координатах улитка Паскаля имеет уравнение
(х2

+ у2 – 2Rx)2a2(x2 + y2) = 0.
Поэтому она является алгебраической кривой четвертого порядка.
Как видно из рисунков, улитка Паскаля симметрична относительно оси абсцисс, начало координат при а > 2R – двойная точка; при а < 2R – узловая точка; при а = 2R – точка возврата I рода.
Площадь S, ограниченную улиткой Паскаля, можно подсчитать по формуле

;

при этом в случае а < 2R площадь внутренней петли считается по этой формуле дважды.
Улитка Паскаля – конхоида окружности диаметра 2R; она же –  частный случай декартова овала; она же – эпитрохоида.

Кривая названа в честь знаменитого французского ученого Б. Паскаля, изучавшего ее в первой половине XVII в.

school-collection.edu.ru

Плоские кривые — лемнискаты, циклоиды, гипоциклоиды, цепная линия, трохоида

ЛЕМНИСКАТЫ
Уравнение в полярных координатах:
r2 = a2cos2θ

Уравнение в прямоугольных координатах:
(x2 + y2)2 = a2(x2 — y2)

Угол между AB’ или A’B и осью x = 45o

Площадь одной петли = a2/2

ЦИКЛОИДА
Уравнения в параметрической форме:

Площадь одной дуги = 3πa2

Длина дуги одной арки = 8a

Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиусом а, которая катится вдоль оси х.

ГИПОЦИКЛОИДЫ С ЧЕТЫРЬМЯ ОСТРИЯМИ
Уравнение в прямоугольных координатах:
x2/3 + y2/3 = a2/3

Уравнения в параметрической форме:

Площадь, ограниченная кривой = 3πa2/8

Длина дуги целой кривой = 6a

Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиусом a/4, которая катится внутри окружности радиусом a.

КАРДИОИДА
Уравнение: r = a(1 + cosθ)

Площадь, ограниченная кривой = 3πa2/2

Длина дуги кривой = 8a

Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиусом a, которая катится снаружи окружности радиусом a. Эта кривая также является частным случаем улитки Паскаля.

ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ
Уравнение:
y = a(ex/a + e-x/a)/2 = acosh(x/a)

Это кривая, по которой бы повисла цепь, подвешенная вертикально от точки А к В.

ТРЕХЛЕПЕСТКОВАЯ РОЗА
Уравнение: r = acos3θ

Уравнение r = acos3θ подобно кривой, полученной вращением против часовой стрелки по кривой 30o или π/6 радиан.

В общем, r = acosnθ или r = asinnθ имеет n лепестков если n является нечетным.

ЧЕТЫРЕХЛЕПЕСТКОВАЯ РОЗА
Уравнение: r = acos2θ

Уравнение r = asin2θ подобно кривой, полученной вращением против часовой стрелки по кривой 45o или π/4 радиан.

В общем r = acosnθ или r = asinnθ имеет 2n лепестков если n — четное.

ЭПИЦИКЛОИДА
Параметрические уравнения:

Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиуса b, когда она катится по внешней стороне окружности радиусом а. Кардиоида является частным случаем эпициклоиды.

ОБЩАЯ ГИПОЦИКЛОИДА
Параметрические уравнения:

Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиуса b, когда она катится по внешней стороне окружности радиусом а.

Если b = a/4, кривая является гипоциклоидой с четырьмя остриями.

ТРОХОИДА
Параметрические уравнения:

Это кривая, описываемая точкой Р на дистанции b от центра окружности с радиусом а, когда она катится по оси x.
Если b укороченной циклоидой.
Если b > a, кривая имеет форму, показанную на рис. 11-11 и называется троходой.
Если b = a, кривая есть циклоидой.

ТРАКТРИСА
Параметрические уравнения:

Это кривая, описываемая конечной точкой Р натянутой струны длиной PQ, когда другой конец Q перемещается вдоль оси х.

ВЕРЗЬЕРА (ВЕРЗИЕРА) АНЬЕЗИ (ИНОГДА ЛОКОН АНЬЕЗИ)
Уравнение в прямоугольных координатах: y = 8a3/(x2 + 4a2)

Параметрические уравнения:

В. На рисунке переменная линия OA пересекающая y = 2a и круг с радиусом a с центром (0,a) в A и B соотвественно. Любая точка P на «локоне» определяется построением линий, параллельных к осям x и y, и через B и A соответственно и определяющие точку пересечения P.

ДЕКАРТОВ ЛИСТ
Уравнение в прямоугольных координатах:
x3 + y3 = 3axy

Параметрические уравнения:

Площадь петли 3a2/2

Уравнение асимптоты: x + y + a = 0.

www.math10.com

Кардиоида и улитка Паскаля

При написании статьи использовались материалы сайта arbuz.ferghana.ru

Кардиоида (Cardioid)

Если использовать две окружности с одинаковыми радиусами и вращать одну вокруг другой, то получится кардиоида (греч.кардиа — сердце) — по мнению математиков, получаемая кривая отдаленно напоминает сердце

Формула r = 2a(1 + cos(theta)) рисует кардиоиду

Лимакона или Улитка Паскаля (Limacon of Pascal)

А как поведут себя кривые, если брать точку не самой катящейся окружности, а внутри ее, сместив в сторону от центра? Тогда мы получим кривую, получившуюся название Улитка Паскаля или лимакона

Лимакона была открыта французским математиком Этьеном Паскалем (отцом знаменитого ученого Блеза Паскаля)

Формула r = b + 2a cos(theta) рисует лимакону (улитку Паскаля)

При b = 2a лимакона становится кардиодидом

Эффекты с кривыми

Итак, мы знаем формулы окружности, кардиоиды и улитки Паскаля. Видно, что формулы весьма схожи, осталось объединить их в один цикл для получения первого эффекта

Dim x As Single, y As Single, b As Single
Dim twoPi As Single, I As Single, R As Single
Dim col
Cls
twoPi = Atn(1) * 8
Scale (-25, 25)-(25, -25)

For b = 0 To 8 Step 2
For I = 0 To twoPi Step 0.01
  R = b + 6 * Cos(I)
  x = R * Cos(I)
  y = R * Sin(I)
  DrawWidth = 3
  col = RGB(255 - 30 * b, 128 + (-1) ^ (b * 1) * b * 60, b * 110)
Line (x, y)-Step(0, 0), col, BF

Next I
Next b

В нашем примере a — величина постоянная, а b меняется в цикле от b=0 до b=8. Вы видите, как меньшая петля вырождается в точку, а большая удваивает свой радиус, превращаясь в кардиоиду.

Доработаем рисунок. Изменим чуточку программу и получим красивый узор

   Cls
    pi = 4 * Atn(1)
    scal = 15
    a = 140
    DrawWidth = 8
    For l = 0 To 200 Step 13
    For t = 0 To 360 Step 0.25
    tt = t * pi / 180
    x = a * Cos(tt) * Cos(tt) + l * Cos(tt)
    y = a * Cos(tt) * Sin(tt) + l * Sin(tt)
    red = 255 - 250 * Sin(0.31 * l)
    green = 255 - 250 * Sin(0.3 * l)
    blue = 255 - 250 * Sin(0.29 * l)
    Col = RGB(red, green, blue)
    If l Mod 2 = 0 Then
      Col = RGB(0, 0, 0)
    Else
      Col = RGB(255, l, 255 - l)
    End If
    Line (x + 190, y + 250)-Step(ss, ss), Col, BF
    PSet (x + 190, y + 250), Col
 
    Next t
    Next l

Конхоида

Представим Улитку Паскаля как конхоиду. Не углубляясь в теорию кривых, дадим такое нестрогое определение: конхоида — это геометрическое место точек, полученное перемещением каждой точки первоначальной кривой вдоль определенным образом заданных поверхностей. Для Улитки Паскаля первоначальной кривой служит самая обычная окружность, а переносятся точки вдоль линий, проходящих через точку, лежащую на этой окружности. Поясним графически. На рисунке мы выбираем на окружности неподвижную точку Р и переменную точку М, которую мы сдвигаем вдоль линии, соединяющей точки Р и М на какое-то фиксированное расстояние а.

Полученные семейства точек и есть конхоида окружности относительно фиксированной точки. Программа позволяет получить ожидаемые картинки. Сначала назначим а=0.25R. (Постепенно увеличивайте эту величину). Обратите внимание на необходимость сделать два оборота (центральный угол, он же переменная f от 0 до 720 градусов) — один сдвигает точки наружу, а второй оборот — внутрь окружности. Основная тонкость переход от центрального угла окружности, по которому мы проходим в цикле (переменные f в градусах или t в радианах), к углу линии, соединяющей постоянную точку с текущей на окружности c горизонтальной осью (переменная alfa)

    Form1.ScaleMode = vbPixels
    Cls
    pi = 4 * Atn(1)
    scal = 15
    'радиус окружности
    R = 90
   ' точка на окружности
   ' в качестве разделителя используйте запятую для русской версии!
   a = CSng(Text1.Text) * R

'    a = 1.5 * r
'    делаем оборот
    For f = 1 To 720 Step 5
    t = f * pi / 180
    x = R * (1 + Cos(t))
    y = R * Sin(t)
    alfa = 0
    If x > 0 Then alfa = Atn(y / x)
    If f 

Педальная кривая

Определение педальной кривой для первоначальной давать не будем, сразу перейдем к делу. В текущей точке окружности (пробегаемой в цикле по всей окружности) проведем касательную линию, а потом из фиксированной точки (в нашем случае лежащей на окружности) проводим перпендикуляр к этой касательной. Совокупность этих перпендикуляров огибает, как вы уже догадались, кардиоиду. Это в частном случае расположения фиксированной точки на окружности, при смещении этой точки внутрь окружности или наружу ее получим все семейство Улитки Паскаля. В приведенной программе все также счетчик цикла f центральный угол в градусах, t он же в радианах, beta угол наклона касательной в соответствующей точке цикла, k тангенс этого угла. Уравнение лини, как известно, y=kx+b, для каждой касательной находим b=y-kx. Для взаимно перпендикулярных прямых k1=-1/k, а b1=0 так как все перпендикуляры проходят через точку у которой y= 0. Решая совместно уравнения касательной и перпендикуляра к ней, находим координаты точки пересечения и рисуем в них маленький красный кружок. Эти кружки и нарисуют нам педальную кривую к окружности относительно точки.

    Cls
    Form1.ScaleMode = vbPixels
    pi = 4 * Atn(1)
    scal = 15
    r = 180
    a = 0 * r
    DrawWidth = 1
    Circle (190 + r, 250), r, RGB(0, 0, 200)
    For f = 1 To 720 Step 3
    t = f * pi / 180
    x = r * (1 + Cos(t))
    y = r * Sin(t)
    beta = pi / 2 + t
    k = Tan(beta)
    b = y - k * x
    k1 = -1 / k
    b1 = k1 * a
    X1 = (b1 - b) / (k - k1)
    Y1 = k1 * X1 + b1
    red = 255
    green = 0
    blue = 0
    col = RGB(red, green, blue)
    Circle (X1 + 190, Y1 + 250), 3, col ' Точка пересечения красная
    Circle (x + 190, y + 250), 3, RGB(0, 155, 150) 'Точка на круге голубая
    Line (190 - a, 250)-(X1 + 190, Y1 + 250), RGB(0, 155, 0)
    Line (x + 190, y + 250)-(X1 + 190, Y1 + 250), RGB(0, 55, 150)
    Next f

Создание шедевров

Будем брать точки все на той же нашей окружности, ставить в них иголку циркуля и рисовать новые окружности так, чтобы они все проходили через все ту же фиксированную точку на окружности. Общая огибающая (так называемая энвелопа) к полученным окружностям будет конечно, все уже догадались кардиоидой. А при смещении фиксированной точки получим всю гамму Улиток Паскаля. Этот процесс иллюстрирует картинка и программа, нарисовавшая ее. Маленькими черными кружками отмечены лежащие на исходной окружности точки центры проводимых окружностей. Здесь а смешение фиксированной точки для ваших экспериментов, пока равно нулю. Главное в этой программе посчитать радиус рисуемой в каждой точке цикла окружности, хотя для этого достаточно теоремы Пифагора, надо только уметь ее применить к месту. Как вы уже заметили, расцветка красивая, цвет окружностей меняется в течение цикла. Достаточно всего лишь уменьшить шаг цикла и мы получим красивую картину.

    Form1.ScaleMode = vbPixels
    Cls
    pi = 4 * Atn(1)
    scal = 15
    r = 90
    a = 0 * r
    DrawWidth = 3
    ' попробуйте уменьшить шаг
    For f = 1 To 360 Step 18
    t = f * pi / 180 + pi
    x = r * (1 + Cos(t))
    y = r * Sin(t)
    rr = Sqr((x - a) ^ 2 + y ^ 2)
    red = 255 - 0.6 * f
    green = 0.6 * f
    blue = Abs(Int(0.0005 * f * (360 - f))) ^ 2
    col = RGB(red, green, blue)
    Circle (190 + x, 250 + y), rr, col
    Circle (x + 190, y + 250), 4, RGB(0, 0, 0)
    Next f

Теперь нас отделяет от создания шедевра один маленький шаг делаем толщину линии побольше (например, 55 пикселей) и раскрашиваем каждый четный круг в желтый цвет, а нечетный в черный. И получаем шедевр поп-арта, которому позавидовал бы сам Малевич.

    Form1.ScaleMode = vbPixels
    Cls
    pi = 4 * Atn(1)
    scal = 5
    r = 88
    a = 0 * r
    DrawWidth = 55
    For f = 1 To 360 Step 17
    t = f * pi / 180 + pi
    x = r * (1 + Cos(t))
    y = r * Sin(t)
    rr = Sqr((x - a) ^ 2 + y ^ 2)
    If f Mod 2 = 0 Then
    col = RGB(255, 255, 10)
    Else: col = RGB(0, 0, 0)
    End If
    Circle (190 + x, 260 + y), rr, col
    Next f

Продолжим наши опыты. Для текущей точки на окружности выделяем центральный угол с горизонтальной осью, под таким же углом проводим луч из фиксированной точки (все той же, на окружности), до пересечения с окружностью. Точку пересечения луча с окружностью соединяем с первоначальной точкой и находим середину полученной хорды. Вы будете смеяться, но эти середины хорд лежат на Улитке Паскаля.

Текущий центральный угол нам выделять не надо мы и так от него в цикле все и строим. Единственный технический момент нахождение точки пересечения окружности и линии, проходящей через фиксированную точку (параллельно радиусу, проведенному в текущую точку). Для нахождения координат точки пересечения линии, проходящей через фиксированную точку и окружности, надо совместно решить их уравнения. Уравнение линии y=kx+b, причем b=0 так как точка лежит на оси x, а k=tan(t), где t угол наклона линии в радианах. А уравнение окружности (x-r)2+y2=r2 так как центр сдвинут на величину r относительно начала координат, проходящего через фиксированную точку. Исключив y и решив относительно x, получим x=2r/(1-k2). Подставив это значение в уравнение линии, получим y точки на круге. А уж зная координаты двух точек найти координаты середины соединяющего их отрезка совсем просто они равны полусумме координат точек. Все это и реализовано в приведенной программе.

    Form1.ScaleMode = vbPixels
    Cls
    pi = 4 * Atn(1)
    R = 200
    DrawWidth = 2
    Circle (190 + R, 250), R, RGB(0, 0, 200)
    x3 = 2 * R: y3 = 0
    For f = 1 To 360 Step 6
    t = f * pi / 180
    x = R * (1 + Cos(t))
    y = R * Sin(t)
    k = Tan(t)
    X1 = 2 * R / (1 + k ^ 2)
    Y1 = k * X1
    X2 = (X1 + x) / 2:
    Y2 = (Y1 + y) / 2
    DrawWidth = 2
    Circle (X1 + 190, Y1 + 250), 4, RGB(0, 0, 250)
    Circle (x + 190, y + 250), 4, RGB(0, 205, 0)
    Circle (X2 + 190, Y2 + 250), 4, RGB(250, 0, 0)
    Line (X2 + 190, Y2 + 250)-(x3 + 190, y3 + 250), RGB(250, 0, 0)
    DrawWidth = 1
    Line (190, 250)-(X1 + 190, Y1 + 250), RGB(0, 0, 250)
    Line (190 + R, 250)-(x + 190, y + 250), RGB(0, 205, 0)
    x3 = X2:
    y3 = Y2
    Next f

Попробуем рассмотреть распространение волн и найти закономерности. Если мы заглянем в круглый зал и крикнем, то наверняка будут точки, в которые звук наш прилетит громче, чем в какие-то другие. Во всяком случае, мы можем построить модель распространения волн в такой комнате, или, что тоже самое, лучей в окружности, причем, будем рассматривать только первый отраженный луч. Вы, даже не читая дальше, поспорите, что отраженные лучи дадут кардиоиду. И будете совершенно правы! Из уважения к читателям программу не привожу после стольких тренировок не написать ее просто неприлично. Единственное, что нужно помнить, что угол падения равен углу отражения и что внутренний угол вдвое меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Паутина

Любителям математических картинок известна так называемая паутина. На окружности берутся точки с определенным шагом, и каждая из них соединяется с такой же точкой, но сдвинутой по фазе в какое-то число раз (n). Это число можно задавать или брать случайным образом. Точки пересечения хорд сливаются в муаровый узор самых замысловатых форм. Идея так притягательна, что настоятельно рекомендую всем попробовать реализовать ее самостоятельно, чтобы поиграть с параметрами и насладиться эффектами. При n= 1 не нарисуется ничего, так как начальные и конечные точки линий совпадают, зато при увеличении n будут появляться фигуры с узлами, причем количество узлов равно n-1. Нас же особенно интересует случай для n= 2, при этом нарисуется фигура, хорошо уже изученная нами кардиоида. При n= 3 так называемая нефроида с двумя узлами. Если n-1 делитель числа 360, то картинка проявляет некоторую упорядоченность. Приводим картинки для значений n= 2 (наша любимая кардиоида)

Form1.ScaleMode = vbPixels
n = 2
xx = 380
yy = 380
R = 240
P = 3.1415926
Cls
For I = 0 To 360 Step 1
T = I * P / 180
x = R * Cos(T)
y = R * Sin(T)
X2 = R * Cos(n * T)
Y2 = R * Sin(n * T)
c = 255 / 360
Line (x + xx, y + yy)-(X2 + xx, Y2 + yy), RGB(0, 0, 0)
Next I

Использование таймера

Чтобы не вводить каждый раз вручную значения n, а поручить эту работу компьютеру, то можно наблюдать интересный калейдоскоп узоров

Dim a As Double

Private Sub Form_Load()

Форма1.WindowState = 2
a = 0
End Sub

Private Sub Timer1_Timer()
xx = 380
yy = 380
R = 330
P = 3.1415926
a = a + 0.03
Cls
For i = 0 To 360 Step 2
T = i * P / 180
x = R * Cos(T)
y = R * Sin(T)
X2 = R * Cos(a * T)
Y2 = R * Sin(a * T)
c = 255 / 360
Line (x + xx, y + yy)-(X2 + xx, Y2 + yy), RGB(0, 0, 0)
Next i
End Sub

www.rusproject.narod.ru

Улитка Паскаля Википедия

Три улитки Паскаля, конхоиды чёрной окружности: зелёная a>ℓ{\displaystyle a>\ell }, красная (кардиоида) a=ℓ{\displaystyle a=\ell } и синяя a<ℓ{\displaystyle a<\ell } Анимация подеры окружности

Улитка Паскаля ― плоская кривая определённого типа. Названа по имени Этьена Паскаля (отца Блеза Паскаля), впервые рассмотревшего её.

Уравнения

Уравнение в прямоугольных координатах:

(x2+y2+ay)2=ℓ2(x2+y2){\displaystyle (x^{2}+y^{2}+ay)^{2}=\ell ^{2}(x^{2}+y^{2})}

в полярных координатах:

ρ=ℓ−asin⁡ϕ.{\displaystyle \rho =\ell -a\sin \phi .}

Параметрическое:

x=2R⋅cos⁡(t)−h⋅cos⁡(2t){\displaystyle x=2R\cdot \cos(t)-h\cdot \cos(2t)}
y=2R⋅sin⁡(t)−h⋅sin⁡(2t){\displaystyle y=2R\cdot \sin(t)-h\cdot \sin(2t)}


Здесь a — диаметр исходной окружности, а l — расстояние, на которое смещается точка вдоль радиус-вектора (см. конхоида).

При этом начало координат является

  • узловой точкой при a>ℓ{\displaystyle a>\ell }.
  • точкой возврата при a=ℓ{\displaystyle a=\ell } (в этом случае Улитка Паскаля называется кардиоидой).
  • двойной точкой при a<ℓ{\displaystyle a<\ell }.

В случае ℓ=a2{\displaystyle \ell ={\frac {a}{2}}} улитка Паскаля также называется трисектри́са (также триссектри́са). Такое название она получила из за того, что если на плоскости задана трисектриса, то трисекцию угла можно построить с помощью циркуля и линейки. Уравнение трисектрисы:

z=b(eit+e2it)=be3it2(eit2+e−it2)=2bcos⁡t2e3it2{\displaystyle z=b(e^{it}+e^{2it})=be^{3it \over 2}(e^{it \over 2}+e^{-it \over 2})=2b\cos {t \over 2}e^{3it \over 2}},

В полярных координатах:

r=2bcos⁡θ3{\displaystyle r=2b\cos {\theta \over 3}}
Построение улитки Паскаля.

Свойства

  • Улитка Паскаля является плоской алгебраической кривой 4-го порядка.
  • Улитка Паскаля является обобщением кардиоиды
  • Улитка Паскаля является подерой окружности.
  • Улитка Паскаля является конхоидой окружности относительно точки на окружности.
  • Улитка Паскаля является частным случаем Декартова овала.
  • Улитка Паскаля является частным случаем эпитрохоиды.
  • Улитка Паскаля является примером эквихордной кривой.
  • Длина дуги выражается эллиптическим интегралом 2-го рода.
  • Площадь, ограниченная улиткой Паскаля:
    S=πa22+πℓ2{\displaystyle S={\frac {\pi a^{2}}{2}}+\pi \ell ^{2}}
при a>ℓ{\displaystyle a>\ell } площадь внутренней петли при вычислении по этой формуле считается дважды.

Литература

  • Улитка Паскаля // Ужи — Фидель. — М. : Советская энциклопедия, 1956. — С. 188-189. — (Большая советская энциклопедия : [в 51 т.] / гл. ред. Б. А. Введенский ; 1949—1958, т. 44).
Кривые
Определения
  • Аналитическая
  • Жордана
  • Канторова
  • Урысона
  • Уникурсальная
  • Рациональная нормальная
  • Овал
  • Овоид
  • Длина
  • Кривизна
Преобразованные
  • Эволюта
  • Эвольвента
    • окружности
  • Подера
  • Антиподера
  • Параллельная (эквидистанта)
  • Двойственная
  • Конхоида
    • Никомеда, Слюза
  • Инверсия
  • Циссоида
Неплоские
  • Вивиани
  • Винтовая линия
  • Линия откоса
  • Локсодрома
  • Ортодромия
  • Пространственная кардиоида
  • Клелия[en]
Плоские
алгебраические
Конические сечения
  • Гипербола
  • Парабола
  • Эллипс
    • Окружность
  • Прямая
3-й порядок
Эллиптические
  • Эллиптическая кривая
  • Эллиптические функции Якоби
  • Эллиптический интеграл
  • Эллиптические функции
Другие
  • Верзьера Аньези
  • Декартов лист
  • Кубика
    • Трисектриса Маклорена
    • Чирнгауза
  • Офиурида
  • Полукубическая парабола
  • Строфоида
  • Трезубец
  • Циссоида Диокла
4-й порядок
  • Каппа
  • Кардиоида
  • Уатта
  • Персея
  • Овал Декарта
Лемнискаты
  • Бернулли
    • Овал Кассини
  • Бута
  • Жероно
Аппроксимационные
  • Сплайн
    • B-сплайн
  • Кубический
  • Моносплайн
  • Сглаживающий
  • Совершенный
  • Эрмита)
  • Безье
Циклоидальные
  • Кардиоида
  • Нефроида
  • Дельтоида
  • Астроида
  • Улитка Паскаля
Другие
  • Кривая Ферма
  • Кубическая
Плоские
трансцендентные
Спирали
  • Архимедова
    • Ферма
  • Галилея
  • Гиперболическая
  • «Жезл»
  • Золотая
  • Клотоида
  • Логарифмическая
  • Синусоидальная
Циклоидальные
  • Циклоида
  • Эпициклоида
  • Гипоциклоида
  • Трохоида
    • Удлинённая
    • Укороченная циклоида
  • Эпитрохоида
    • Удлинённая
    • Укороченная эпициклоида
  • («Роза», Квадрифолий)
  • Гипотрохоида
  • Квазитрохоида
  • Скорейшего спуска (Брахистохрона, дуга циклоиды)
Другие
  • Квадратриса
  • Кохлеоида
  • Погони
    • Трактриса
  • Трохоида
  • Цепная линия
    • перевёрнутая арочная
  • Постоянной ширины
  • Синусоида
  • Рибокура
  • Суперформула
    • Суперэллипс)
  • Треугольник Рёло
    • многоугольник)
  • Фигуры Лиссажу
Фрактальные
Простые
  • Гильберта
  • Госпера
  • Кривая дракона
  • Коха
  • Леви
  • Минковского
  • Пеано
  • Серпинского
Топологические
  • Салфетка Серпинского
  • Ковёр Серпинского
  • Губка Менгера
  • Круговой фрактал
  • Сетка Аполлония

wikiredia.ru

Улитка Паскаля — Википедия

Три улитки Паскаля, конхоиды чёрной окружности: зелёная a>ℓ{\displaystyle a>\ell }, красная (кардиоида) a=ℓ{\displaystyle a=\ell } и синяя a<ℓ{\displaystyle a<\ell } Анимация подеры окружности

Улитка Паскаля ― плоская кривая определённого типа. Названа по имени Этьена Паскаля (отца Блеза Паскаля), впервые рассмотревшего её.

Уравнения

Уравнение в прямоугольных координатах:

(x2+y2+ay)2=ℓ2(x2+y2){\displaystyle (x^{2}+y^{2}+ay)^{2}=\ell ^{2}(x^{2}+y^{2})}

в полярных координатах:

ρ=ℓ−asin⁡ϕ.{\displaystyle \rho =\ell -a\sin \phi .}

Параметрическое:

x=2R⋅cos⁡(t)−h⋅cos⁡(2t){\displaystyle x=2R\cdot \cos(t)-h\cdot \cos(2t)}
y=2R⋅sin⁡(t)−h⋅sin⁡(2t){\displaystyle y=2R\cdot \sin(t)-h\cdot \sin(2t)}


Здесь a — диаметр исходной окружности, а l — расстояние, на которое смещается точка вдоль радиус-вектора (см. конхоида).

При этом начало координат является

  • узловой точкой при a>ℓ{\displaystyle a>\ell }.
  • точкой возврата при a=ℓ{\displaystyle a=\ell } (в этом случае Улитка Паскаля называется кардиоидой).
  • двойной точкой при a<ℓ{\displaystyle a<\ell }.

В случае ℓ=a2{\displaystyle \ell ={\frac {a}{2}}} улитка Паскаля также называется трисектри́са (также триссектри́са). Такое название она получила из за того, что если на плоскости задана трисектриса, то трисекцию угла можно построить с помощью циркуля и линейки. Уравнение трисектрисы:

z=b(eit+e2it)=be3it2(eit2+e−it2)=2bcos⁡t2e3it2{\displaystyle z=b(e^{it}+e^{2it})=be^{3it \over 2}(e^{it \over 2}+e^{-it \over 2})=2b\cos {t \over 2}e^{3it \over 2}},

В полярных координатах:

r=2bcos⁡θ3{\displaystyle r=2b\cos {\theta \over 3}}
Построение улитки Паскаля.

Свойства

  • Улитка Паскаля является плоской алгебраической кривой 4-го порядка.
  • Улитка Паскаля является обобщением кардиоиды
  • Улитка Паскаля является подерой окружности.
  • Улитка Паскаля является конхоидой окружности относительно точки на окружности.
  • Улитка Паскаля является частным случаем Декартова овала.
  • Улитка Паскаля является частным случаем эпитрохоиды.
  • Улитка Паскаля является примером эквихордной кривой.
  • Длина дуги выражается эллиптическим интегралом 2-го рода.
  • Площадь, ограниченная улиткой Паскаля:
    S=πa22+πℓ2{\displaystyle S={\frac {\pi a^{2}}{2}}+\pi \ell ^{2}}
при a>ℓ{\displaystyle a>\ell } площадь внутренней петли при вычислении по этой формуле считается дважды.

Видео по теме

Литература

  • Улитка Паскаля // Ужи — Фидель. — М. : Советская энциклопедия, 1956. — С. 188-189. — (Большая советская энциклопедия : [в 51 т.] / гл. ред. Б. А. Введенский ; 1949—1958, т. 44).
Кривые
Определения
  • Аналитическая
  • Жордана
  • Канторова
  • Урысона
  • Уникурсальная
  • Рациональная нормальная
  • Овал
  • Овоид
  • Длина
  • Кривизна
Преобразованные
  • Эволюта
  • Эвольвента
    • окружности
  • Подера
  • Антиподера
  • Параллельная (эквидистанта)
  • Двойственная
  • Конхоида
    • Никомеда, Слюза
  • Инверсия
  • Циссоида
Неплоские
  • Вивиани
  • Винтовая линия
  • Линия откоса
  • Локсодрома
  • Ортодромия
  • Пространственная кардиоида
  • Клелия[en]
Плоские
алгебраические
Конические сечения
  • Гипербола
  • Парабола
  • Эллипс
    • Окружность
  • Прямая
3-й порядок
Эллиптические
  • Эллиптическая кривая
  • Эллиптические функции Якоби
  • Эллиптический интеграл
  • Эллиптические функции
Другие
  • Верзьера Аньези
  • Декартов лист
  • Кубика
    • Трисектриса Маклорена
    • Чирнгауза
  • Офиурида
  • Полукубическая парабола
  • Строфоида
  • Трезубец
  • Циссоида Диокла
4-й порядок
  • Каппа
  • Кардиоида
  • Уатта
  • Персея
  • Овал Декарта
Лемнискаты
  • Бернулли
    • Овал Кассини
  • Бута
  • Жероно
Аппроксимационные
  • Сплайн
    • B-сплайн
  • Кубический
  • Моносплайн
  • Сглаживающий
  • Совершенный
  • Эрмита)
  • Безье
Циклоидальные
  • Кардиоида
  • Нефроида
  • Дельтоида
  • Астроида
  • Улитка Паскаля
Другие
  • Кривая Ферма
  • Кубическая
Плоские
трансцендентные
Спирали
  • Архимедова
    • Ферма
  • Галилея
  • Гиперболическая
  • «Жезл»
  • Золотая
  • Клотоида
  • Логарифмическая
  • Синусоидальная
Циклоидальные
  • Циклоида
  • Эпициклоида
  • Гипоциклоида
  • Трохоида
    • Удлинённая
    • Укороченная циклоида
  • Эпитрохоида
    • Удлинённая
    • Укороченная эпициклоида
  • («Роза», Квадрифолий)
  • Гипотрохоида
  • Квазитрохоида
  • Скорейшего спуска (Брахистохрона, дуга циклоиды)
Другие
  • Квадратриса
  • Кохлеоида
  • Погони
    • Трактриса
  • Трохоида
  • Цепная линия
    • перевёрнутая арочная
  • Постоянной ширины
  • Синусоида
  • Рибокура
  • Суперформула
    • Суперэллипс)
  • Треугольник Рёло
    • многоугольник)
  • Фигуры Лиссажу
Фрактальные
Простые
  • Гильберта
  • Госпера
  • Кривая дракона
  • Коха
  • Леви
  • Минковского
  • Пеано
  • Серпинского
Топологические
  • Салфетка Серпинского
  • Ковёр Серпинского
  • Губка Менгера
  • Круговой фрактал
  • Сетка Аполлония

wiki2.red

Улитка паскаля Википедия

Три улитки Паскаля, конхоиды чёрной окружности: зелёная a>ℓ{\displaystyle a>\ell }, красная (кардиоида) a=ℓ{\displaystyle a=\ell } и синяя a<ℓ{\displaystyle a<\ell } Анимация подеры окружности

Улитка Паскаля ― плоская кривая определённого типа. Названа по имени Этьена Паскаля (отца Блеза Паскаля), впервые рассмотревшего её.

Уравнения

Уравнение в прямоугольных координатах:

(x2+y2+ay)2=ℓ2(x2+y2){\displaystyle (x^{2}+y^{2}+ay)^{2}=\ell ^{2}(x^{2}+y^{2})}

в полярных координатах:

ρ=ℓ−asin⁡ϕ.{\displaystyle \rho =\ell -a\sin \phi .}

Параметрическое:

x=2R⋅cos⁡(t)−h⋅cos⁡(2t){\displaystyle x=2R\cdot \cos(t)-h\cdot \cos(2t)}
y=2R⋅sin⁡(t)−h⋅sin⁡(2t){\displaystyle y=2R\cdot \sin(t)-h\cdot \sin(2t)}


Здесь a — диаметр исходной окружности, а l — расстояние, на которое смещается точка вдоль радиус-вектора (см. конхоида).

При этом начало координат является

  • узловой точкой при a>ℓ{\displaystyle a>\ell }.
  • точкой возврата при a=ℓ{\displaystyle a=\ell } (в этом случае Улитка Паскаля называется кардиоидой).
  • двойной точкой при a<ℓ{\displaystyle a<\ell }.

В случае ℓ=a2{\displaystyle \ell ={\frac {a}{2}}} улитка Паскаля также называется трисектри́са (также триссектри́са). Такое название она получила из за того, что если на плоскости задана трисектриса, то трисекцию угла можно построить с помощью циркуля и линейки. Уравнение трисектрисы:

z=b(eit+e2it)=be3it2(eit2+e−it2)=2bcos⁡t2e3it2{\displaystyle z=b(e^{it}+e^{2it})=be^{3it \over 2}(e^{it \over 2}+e^{-it \over 2})=2b\cos {t \over 2}e^{3it \over 2}},

В полярных координатах:

r=2bcos⁡θ3{\displaystyle r=2b\cos {\theta \over 3}}
Построение улитки Паскаля.

Свойства

  • Улитка Паскаля является плоской алгебраической кривой 4-го порядка.
  • Улитка Паскаля является обобщением кардиоиды
  • Улитка Паскаля является подерой окружности.
  • Улитка Паскаля является конхоидой окружности относительно точки на окружности.
  • Улитка Паскаля является частным случаем Декартова овала.
  • Улитка Паскаля является частным случаем эпитрохоиды.
  • Улитка Паскаля является примером эквихордной кривой.
  • Длина дуги выражается эллиптическим интегралом 2-го рода.
  • Площадь, ограниченная улиткой Паскаля:
    S=πa22+πℓ2{\displaystyle S={\frac {\pi a^{2}}{2}}+\pi \ell ^{2}}
при a>ℓ{\displaystyle a>\ell } площадь внутренней петли при вычислении по этой формуле считается дважды.

Литература

  • Улитка Паскаля // Ужи — Фидель. — М. : Советская энциклопедия, 1956. — С. 188-189. — (Большая советская энциклопедия : [в 51 т.] / гл. ред. Б. А. Введенский ; 1949—1958, т. 44).
Кривые
Определения
  • Аналитическая
  • Жордана
  • Канторова
  • Урысона
  • Уникурсальная
  • Рациональная нормальная
  • Овал
  • Овоид
  • Длина
  • Кривизна
Преобразованные
  • Эволюта
  • Эвольвента
    • окружности
  • Подера
  • Антиподера
  • Параллельная (эквидистанта)
  • Двойственная
  • Конхоида
    • Никомеда, Слюза
  • Инверсия
  • Циссоида
Неплоские
  • Вивиани
  • Винтовая линия
  • Линия откоса
  • Локсодрома
  • Ортодромия
  • Пространственная кардиоида
  • Клелия[en]
Плоские
алгебраические
Конические сечения
  • Гипербола
  • Парабола
  • Эллипс
    • Окружность
  • Прямая
3-й порядок
Эллиптические
  • Эллиптическая кривая
  • Эллиптические функции Якоби
  • Эллиптический интеграл
  • Эллиптические функции
Другие
  • Верзьера Аньези
  • Декартов лист
  • Кубика
    • Трисектриса Маклорена
    • Чирнгауза
  • Офиурида
  • Полукубическая парабола
  • Строфоида
  • Трезубец
  • Циссоида Диокла
4-й порядок
  • Каппа
  • Кардиоида
  • Уатта
  • Персея
  • Овал Декарта
Лемнискаты
  • Бернулли
    • Овал Кассини
  • Бута
  • Жероно
Аппроксимационные
  • Сплайн
    • B-сплайн
  • Кубический
  • Моносплайн
  • Сглаживающий
  • Совершенный
  • Эрмита)
  • Безье
Циклоидальные
  • Кардиоида
  • Нефроида
  • Дельтоида
  • Астроида
  • Улитка Паскаля
Другие
  • Кривая Ферма
  • Кубическая
Плоские
трансцендентные
Спирали
  • Архимедова
    • Ферма
  • Галилея
  • Гиперболическая
  • «Жезл»
  • Золотая
  • Клотоида
  • Логарифмическая
  • Синусоидальная
Циклоидальные
  • Циклоида
  • Эпициклоида
  • Гипоциклоида
  • Трохоида
    • Удлинённая
    • Укороченная циклоида
  • Эпитрохоида
    • Удлинённая
    • Укороченная эпициклоида
  • («Роза», Квадрифолий)
  • Гипотрохоида
  • Квазитрохоида
  • Скорейшего спуска (Брахистохрона, дуга циклоиды)
Другие
  • Квадратриса
  • Кохлеоида
  • Погони
    • Трактриса
  • Трохоида
  • Цепная линия
    • перевёрнутая арочная
  • Постоянной ширины
  • Синусоида
  • Рибокура
  • Суперформула
    • Суперэллипс)
  • Треугольник Рёло
    • многоугольник)
  • Фигуры Лиссажу
Фрактальные
Простые
  • Гильберта
  • Госпера
  • Кривая дракона
  • Коха
  • Леви
  • Минковского
  • Пеано
  • Серпинского
Топологические
  • Салфетка Серпинского
  • Ковёр Серпинского
  • Губка Менгера
  • Круговой фрактал
  • Сетка Аполлония

wikiredia.ru

Паскаля улитка Википедия

Три улитки Паскаля, конхоиды чёрной окружности: зелёная a>ℓ{\displaystyle a>\ell }, красная (кардиоида) a=ℓ{\displaystyle a=\ell } и синяя a<ℓ{\displaystyle a<\ell } Анимация подеры окружности

Улитка Паскаля ― плоская кривая определённого типа. Названа по имени Этьена Паскаля (отца Блеза Паскаля), впервые рассмотревшего её.

Уравнения

Уравнение в прямоугольных координатах:

(x2+y2+ay)2=ℓ2(x2+y2){\displaystyle (x^{2}+y^{2}+ay)^{2}=\ell ^{2}(x^{2}+y^{2})}

в полярных координатах:

ρ=ℓ−asin⁡ϕ.{\displaystyle \rho =\ell -a\sin \phi .}

Параметрическое:

x=2R⋅cos⁡(t)−h⋅cos⁡(2t){\displaystyle x=2R\cdot \cos(t)-h\cdot \cos(2t)}
y=2R⋅sin⁡(t)−h⋅sin⁡(2t){\displaystyle y=2R\cdot \sin(t)-h\cdot \sin(2t)}


Здесь a — диаметр исходной окружности, а l — расстояние, на которое смещается точка вдоль радиус-вектора (см. конхоида).

При этом начало координат является

  • узловой точкой при a>ℓ{\displaystyle a>\ell }.
  • точкой возврата при a=ℓ{\displaystyle a=\ell } (в этом случае Улитка Паскаля называется кардиоидой).
  • двойной точкой при a<ℓ{\displaystyle a<\ell }.

В случае ℓ=a2{\displaystyle \ell ={\frac {a}{2}}} улитка Паскаля также называется трисектри́са (также триссектри́са). Такое название она получила из за того, что если на плоскости задана трисектриса, то трисекцию угла можно построить с помощью циркуля и линейки. Уравнение трисектрисы:

z=b(eit+e2it)=be3it2(eit2+e−it2)=2bcos⁡t2e3it2{\displaystyle z=b(e^{it}+e^{2it})=be^{3it \over 2}(e^{it \over 2}+e^{-it \over 2})=2b\cos {t \over 2}e^{3it \over 2}},

В полярных координатах:

r=2bcos⁡θ3{\displaystyle r=2b\cos {\theta \over 3}}
Построение улитки Паскаля.

Свойства

  • Улитка Паскаля является плоской алгебраической кривой 4-го порядка.
  • Улитка Паскаля является обобщением кардиоиды
  • Улитка Паскаля является подерой окружности.
  • Улитка Паскаля является конхоидой окружности относительно точки на окружности.
  • Улитка Паскаля является частным случаем Декартова овала.
  • Улитка Паскаля является частным случаем эпитрохоиды.
  • Улитка Паскаля является примером эквихордной кривой.
  • Длина дуги выражается эллиптическим интегралом 2-го рода.
  • Площадь, ограниченная улиткой Паскаля:
    S=πa22+πℓ2{\displaystyle S={\frac {\pi a^{2}}{2}}+\pi \ell ^{2}}
при a>ℓ{\displaystyle a>\ell } площадь внутренней петли при вычислении по этой формуле считается дважды.

Литература

  • Улитка Паскаля // Ужи — Фидель. — М. : Советская энциклопедия, 1956. — С. 188-189. — (Большая советская энциклопедия : [в 51 т.] / гл. ред. Б. А. Введенский ; 1949—1958, т. 44).
Кривые
Определения
  • Аналитическая
  • Жордана
  • Канторова
  • Урысона
  • Уникурсальная
  • Рациональная нормальная
  • Овал
  • Овоид
  • Длина
  • Кривизна
Преобразованные
  • Эволюта
  • Эвольвента
    • окружности
  • Подера
  • Антиподера
  • Параллельная (эквидистанта)
  • Двойственная
  • Конхоида
    • Никомеда, Слюза
  • Инверсия
  • Циссоида
Неплоские
  • Вивиани
  • Винтовая линия
  • Линия откоса
  • Локсодрома
  • Ортодромия
  • Пространственная кардиоида
  • Клелия[en]
Плоские
алгебраические
Конические сечения
  • Гипербола
  • Парабола
  • Эллипс
    • Окружность
  • Прямая
3-й порядок
Эллиптические
  • Эллиптическая кривая
  • Эллиптические функции Якоби
  • Эллиптический интеграл
  • Эллиптические функции
Другие
  • Верзьера Аньези
  • Декартов лист
  • Кубика
    • Трисектриса Маклорена
    • Чирнгауза
  • Офиурида
  • Полукубическая парабола
  • Строфоида
  • Трезубец
  • Циссоида Диокла
4-й порядок
  • Каппа
  • Кардиоида
  • Уатта
  • Персея
  • Овал Декарта
Лемнискаты
  • Бернулли
    • Овал Кассини
  • Бута
  • Жероно
Аппроксимационные
  • Сплайн
    • B-сплайн
  • Кубический
  • Моносплайн
  • Сглаживающий
  • Совершенный
  • Эрмита)
  • Безье
Циклоидальные
  • Кардиоида
  • Нефроида
  • Дельтоида
  • Астроида
  • Улитка Паскаля
Другие
  • Кривая Ферма
  • Кубическая
Плоские
трансцендентные
Спирали
  • Архимедова
    • Ферма
  • Галилея
  • Гиперболическая
  • «Жезл»
  • Золотая
  • Клотоида
  • Логарифмическая
  • Синусоидальная
Циклоидальные
  • Циклоида
  • Эпициклоида
  • Гипоциклоида
  • Трохоида
    • Удлинённая
    • Укороченная циклоида
  • Эпитрохоида
    • Удлинённая
    • Укороченная эпициклоида
  • («Роза», Квадрифолий)
  • Гипотрохоида
  • Квазитрохоида
  • Скорейшего спуска (Брахистохрона, дуга циклоиды)
Другие
  • Квадратриса
  • Кохлеоида
  • Погони
    • Трактриса
  • Трохоида
  • Цепная линия
    • перевёрнутая арочная
  • Постоянной ширины
  • Синусоида
  • Рибокура
  • Суперформула
    • Суперэллипс)
  • Треугольник Рёло
    • многоугольник)
  • Фигуры Лиссажу
Фрактальные
Простые
  • Гильберта
  • Госпера
  • Кривая дракона
  • Коха
  • Леви
  • Минковского
  • Пеано
  • Серпинского
Топологические
  • Салфетка Серпинского
  • Ковёр Серпинского
  • Губка Менгера
  • Круговой фрактал
  • Сетка Аполлония

wikiredia.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *