Умножение чисел со степенями с разными основаниями и разными степенями – «Как перемножить степени с разными основаниями в виде чисел? » – Яндекс.Знатоки

Содержание

Как умножать и делить степени? Что делают при умножении и делении степеней?

Если говорить простыми словами, то возведение числа в степень - это операция, при которой число многократно умножается само на себя.

Здесь число a - это основание степени, а число n - это показатель степени.


Умножение степеней.

При умножении степеней их основания могут совпадать, а могут различаться.

_

Сначала рассмотрим, как умножать степени с одинаковыми основаниями.

Для этого нужно сложить показатели степеней, а основания оставить без изменений.

Здесь a - основание степеней, а n и m - показатели.

Например:

6² * 6³ = 6^5 = 7776.

Проверить эту формулу очень легко - достаточно возвести в степень каждый множитель, а затем перемножить полученные числа.

6² * 6³ = (6*6) * (6*6*6) = 36 * 216 = 7776.

_

Теперь об умножении степеней с разными основаниями.

Здесь возможны 3 варианта:

1) Основания степеней различаются, но показатели совпадают.

В этом случае нужно перемножить основания и возвести их в указанную степень.

Например:

5³ * 6³ = (5 * 6)³ = 30³ = 27000.

2) Основания и показатели различаются, но имеется возможность привести степени к одному основанию.

Например:

9² * 81².

Здесь 81 можно представить в виде 9².

Поэтому 81² = (9²)² = 9^4 (при возведении степени в степень показатели перемножаются).

В итогу получим, что 9² * 81² = 9^2 * 9^4 = 9^6 = 531441.

3) Основания и показатели различаются, но можно привести данные степени к одному показателю.

Например:

5² * 8^4.

8^4 можно представить как 8² * 8².

Поэтому:

5² * 8^4 = 5² * 8² * 8² = (5*8*8)² = 320² = 102400.

4) Основания и показатели различаются, возможность приведения степеней к одному основанию и показателю отсутствует.

Например:

3² * 7³.

Основания и показатели в этом случае являются простыми числами. Поэтому здесь единственный вариант - возводить в степень каждый множитель отдельно, а затем перемножать результаты.

3² * 7³ = 9 * 343 = 3087.


Деление степеней.

Здесь всё по аналогии с умножением - основания степеней бывают одинаковыми, а бывают разными.

_

Если вы выполняете деление степеней с одинаковыми основаниями, то нужно делать следующее:

Основания оставить без изменений, а показатели степеней отнять друг от друга.

Например:

7³ : 7² = 7^1 = 7.

Проверка выполняется описанным выше способом:

7³ : 7² = 343 : 49 = 7.

_

Что касается деления степеней с разными основаниями, то здесь все принципы будут аналогичны умножению.

Если основания и показатели степеней - простые числа, то нужно отдельно возводить в степень делимое и делитель.

В ином случае степени можно привести либо к одному основанию, либо к одному показателю.

Вот несколько примеров:

4² : 2^4 = 4² : (2²)² = 4² : 4² = 1.

10³ : 5³ = (10 : 5)³ = 2³ = 8.

9³ : 2^6 = 9³ : (2³ * 2³) = 4,5³ : 2³ = 2,25³ = 11,390625.

www.bolshoyvopros.ru

Умножение и деление чисел со степенями

Если вам нужно возвести какое-то конкретное число в степень, можете воспользоваться таблицей степеней натуральных чисел от 2 до 25 по алгебре. А сейчас мы более подробно остановимся на свойствах степеней.

Экспоненциальные числа открывают большие возможности, они позволяют нам преобразовать умножение в сложение, а складывать гораздо легче, чем умножать.

Например, нам надо умножить 16 на 64. Произведение от умножения этих двух чисел равно 1024. Но 16 – это 4×4, а 64 – это 4х4х4. То есть 16 на 64=4x4x4x4x4, что также равно 1024.

Число 16 можно представить также в виде 2х2х2х2, а 64 как 2х2х2х2х2х2, и если произвести умножение, мы опять получим 1024.

А теперь используем правило возведения числа в степень. 16=4

2, или 24, 64=43, или 26, в то же время 1024=64=45, или 210.

Следовательно, нашу задачу можно записать по-другому: 42х43=45 или 24х26=210, и каждый раз мы получаем 1024.

Мы можем решить ряд аналогичных примеров и увидим, что умножение чисел со степенями сводится к сложению показателей степени, или экспонент, разумеется, при том условии, что основания сомножителей равны.

Таким образом, мы можем, не производя умножения, сразу сказать, что 24х22х214=220.

Это правило справедливо также и при делении чисел со степенями, но в этом случае экспонента делителя вычитается из экспоненты делимого. Таким образом, 25:23=22, что в обычных числах равно 32:8=4, то есть 22. Подведем итоги:

amх an=am+n, am: an=am-n, где m и n — целые числа.

С первого взгляда может показаться, что такое

умножение и деление чисел со степенями не очень удобно, ведь сначала надо представить число в экспоненциальной форме. Нетрудно представить в такой форме числа 8 и 16, то есть 23 и 24, но как это сделать с числами 7 и 17? Или как поступать в тех случаях, когда число можно представить в экспоненциальной форме, но основания экспоненциальных выражений чисел сильно различаются. Например, 8×9 – это 23х32, и в этом случае мы не можем суммировать экспоненты. Ни 25 и ни 35 не являются ответом, ответ также не лежит в интервале между этими двумя числами.

Тогда стоит ли вообще возиться с этим методом? Безусловно стоит. Он дает огром­ные преимущества, особенно при сложных и трудоемких вычислениях.

Для того чтобы легче было двигаться дальше, давайте подробнее рассмотрим понятие экспоненты и попробуем дать ей более обобщенное толкование.

До сих пор мы считали, что экспонента – это количество одинаковых сомножителей. В этом случае минимальная величина экспоненты – это 2. Однако если мы производим операцию деления чисел, или вычитания экспонент, то можем получить также число меньше 2, значит, старое определение нас больше не может устроить. Подробнее читайте в следующей статье.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка...

matemonline.com

Как умножать степени | Алгебра

Как умножать степени? Какие степени можно перемножить, а какие — нет? Как число умножить на степень?

В алгебре найти произведение степеней можно в двух случаях:

1) если степени имеют одинаковые основания;

2) если степени имеют одинаковые показатели.

При умножении степеней с одинаковыми основаниями надо основание оставить прежним, а показатели — сложить:

   

При умножении степеней с одинаковыми показателями общий показатель можно вынести за скобки:

   

Рассмотрим, как умножать степени, на конкретных примерах.

   

Единицу в показателе степени не пишут, но при умножении степеней — учитывают:

   

При умножении количество степеней может быть любое. Следует помнить, что перед буквой знак умножения можно не писать:

   

   

   

   

В выражениях возведение в степень выполняется в первую очередь.

Если нужно число умножить на степень, сначала следует выполнить возведение в степень, а уже потом — умножение:

   

   

www.algebraclass.ru

Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями

Умножение степеней с одинаковыми основаниями

При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются.

Рассмотрим, почему показатели складываются. Во-первых, возведение в степень - это сокращённая запись умножения:

23 = 2 · 2 · 2

Во-вторых, умножение числа самого на себя, имеющего при этом разные степени, означает, что это число берётся сомножителем столько раз, сколько указывают показатели степеней:

23 · 22(2 · 2 · 2) · (2 · 2) = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25
3 множ.2 множ.5 множ.

Из примера становится понятно, что при сложении показателей степеней, мы получаем общую сумму сомножителей, поэтому для любого выражения будет верна формула:

ax · ay = ax+y

Примеры умножения степеней

Пример 1. Запишите в виде степени:

n3n5

Решение:

n3n5 = n3 + 5 = n8

Пример 2. Упростите:

xy2z3x4y5z6

Решение: чтобы легче было провести умножение степеней с одинаковыми основаниями можно сначала сгруппировать степени по основаниям:

(xx4)(y2y5)(z3z6)

Теперь выполним умножение степеней:

(xx4)(y2y5)(z3z6) = (x1 + 4)(y2 + 5)(z3 + 6) = x5y7z9

Следовательно:

xy2z3x4y5z6 = x5y7z9

Пример 3. Выполните умножение:

а) nxn5;      б) xxn;      в) amam

Решение:

а) nxn5 = nx + 5              
б) xxn = xn + 1                
в) amam = am + m = a2m

Пример 4. Упростите выражение:

а) -a2 · (-a)2 &middot a;      б) -(-

a)2 · (-a) &middot a

Решение:

а) -a2 · (-a)2 &middot a = -a2 · a2 &middot a = -(a2a2a) = -(a2 + 2 + 1) = -a5
б) -(-a)2 · (-a) &middot a = -a2 · (-a) &middot a = a3 &middot a = a4

Деление степеней с одинаковыми основаниями

При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Рассмотрим частное двух степеней с одинаковыми основаниями:

n12 : n5

где n – это число не равное нулю, так как на 0 делить нельзя. Запишем частное в виде дроби:

Представим n12 в виде произведения n7 · n5, тогда числитель и знаменатель дроби можно будет сократить на общий множитель

n5:

n12 = n7 · n5 =  n7
n5n5

Верность совершённого действия легко проверить с помощью умножения:

n7 · n5 = n7+5 = n12

Следовательно, общая формула для деления степеней с одинаковым основанием будет выглядеть так:

ax : ay = ax-y

Примеры деления степеней

Пример 1. Частное степеней замените степенью с тем же основанием:

а) a5;      б) m18
am10

Решение:

а) a5 = a4 · a = a4
a a

б) m18 = m8 · m10 = m8
m10 m10

Пример 2. Выполните деление:

а) x7 : x2;      б) n10 : n5;      в) a30 : a10

Решение:

а) x7 : x2 = x7 - 2 = x5         
б) n10 : n5 = n10 - 5 = n5     
в) a30 : a10 = a30 - 10 = a20

Пример 3. Чему равно значение выражения:

а) an ;      б) mx ;      в) b5 · b8
a2mb3

Решение:



в) b5 · b8 = b2 · b3 · b8 = b2 · b8 = b10
b3b3

naobumium.info

Правила умножения степеней с разным основанием — Коллегия адвокатов

Как умножать степени

Как умножать степени? Какие степени можно перемножить, а какие — нет? Как число умножить на степень?

В алгебре найти произведение степеней можно в двух случаях:

1) если степени имеют одинаковые основания;

2) если степени имеют одинаковые показатели.

При умножении степеней с одинаковыми основаниями надо основание оставить прежним, а показатели — сложить:

При умножении степеней с одинаковыми показателями общий показатель можно вынести за скобки:

Рассмотрим, как умножать степени, на конкретных примерах.

Единицу в показателе степени не пишут, но при умножении степеней — учитывают:

При умножении количество степеней может быть любое. Следует помнить, что перед буквой знак умножения можно не писать:

В выражениях возведение в степень выполняется в первую очередь.

Если нужно число умножить на степень, сначала следует выполнить возведение в степень, а уже потом — умножение:

www.algebraclass.ru

Сложение, вычитание, умножение, и деление степеней

Сложение и вычитание степеней

Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками.

Так, сумма a 3 и b 2 есть a 3 + b 2 .
Сумма a 3 — b n и h 5 -d 4 есть a 3 — b n + h 5 — d 4 .

Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.

Так, сумма 2a 2 и 3a 2 равна 5a 2 .

Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.

Но степени различных переменных и различные степени одинаковых переменных, должны слагаться их сложением с их знаками.

Так, сумма a 2 и a 3 есть сумма a 2 + a 3 .

Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.

Сумма a 3 b n и 3a 5 b 6 есть a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.

Или:
2a 4 — (-6a 4 ) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a — h) 6 — 2(a — h) 6 = 3(a — h) 6

Умножение степеней

Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.

Так, результат умножения a 3 на b 2 равен a 3 b 2 или aaabb.

Или:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.
Выражение примет вид: a 5 b 5 y 3 .

Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат — это число (переменная) со степенью, равной сумме степеней слагаемых.

Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Здесь 5 — это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.

Так, a n .a m = a m+n .

Для a n , a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;

И a m , берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;

Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.

Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Или:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h — y) n ⋅ (b + h — y) = (b + h — y) n+1

Умножьте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3 ) ⋅ (x — y).
Ответ: x 4 — y 4 .
Умножьте (x 3 + x — 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых — отрицательные.

1. Так, a -2 .a -3 = a -5 . Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Если a + b умножаются на a — b, результат будет равен a 2 — b 2 : то есть

Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.

Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат, результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой степени.

Так, (a — y).(a + y) = a 2 — y 2 .
(a 2 — y 2 )⋅(a 2 + y 2 ) = a 4 — y 4 .
(a 4 — y 4 )⋅(a 4 + y 4 ) = a 8 — y 8 .

Деление степеней

Числа со степенями могут быть поделены, как и другие числа, путем отнимая от делимого делителя, или размещением их в форме дроби.

Таким образом a 3 b 2 делённое на b 2 , равно a 3 .

Запись a 5 , делённого на a 3 , выглядит как $\frac$. Но это равно a 2 . В ряде чисел
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
любое число может быть поделено на другое, а показатель степени будет равен разнице показателей делимых чисел.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются..

Так, y 3 :y 2 = y 3-2 = y 1 . То есть, $\frac= y$.

И a n+1 :a = a n+1-1 = a n . То есть $\frac = a^n$.

Или:
y 2m : y m = y m
8a n+m : 4a m = 2a n
12(b + y) n : 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Правило также справедливо и для чисел с отрицательными значениями степеней.
Результат деления a -5 на a -3 , равен a -2 .
Также, $\frac : \frac = \frac.\frac= \frac= \frac$.

h 2 :h -1 = h 2+1 = h 3 или $h^2:\frac = h^2.\frac= h^3$

Необходимо очень хорошо усвоить умножение и деление степеней, так как такие операции очень широко применяются в алгебре.

Примеры решения примеров с дробями, содержащими числа со степенями

1. Уменьшите показатели степеней в $\frac$ Ответ: $\frac$.

2. Уменьшите показатели степеней в $\frac$. Ответ: $\frac$ или 2x.

3. Уменьшите показатели степеней a 2 /a 3 и a -3 /a -4 и приведите к общему знаменателю.
a 2 .a -4 есть a -2 первый числитель.
a 3 .a -3 есть a 0 = 1, второй числитель.
a 3 .a -4 есть a -1 , общий числитель.
После упрощения: a -2 /a -1 и 1/a -1 .

4. Уменьшите показатели степеней 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и приведите к общему знаменателю.
Ответ: 2a 3 /5a 7 и 5a 5 /5a 7 или 2a 3 /5a 2 и 5/5a 2 .

5. Умножьте (a 3 + b)/b 4 на (a — b)/3.

6. Умножьте (a 5 + 1)/x 2 на (b 2 — 1)/(x + a).

7. Умножьте b 4 /a -2 на h -3 /x и a n /y -3 .

8. Разделите a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Ответ: a/y.

www.math20.com

Свойства степени

Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.

Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.

Свойство № 1
Произведение степеней

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.

a m · a n = a m + n , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.

Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

  • Упростить выражение.
    b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
  • Представить в виде степени.
    6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17
  • Представить в виде степени.
    (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
  • Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями . Оно не относится к их сложению.

    Нельзя заменять сумму (3 3 + 3 2 ) на 3 5 . Это понятно, если
    посчитать (3 3 + 3 2 ) = (27 + 9) = 36 , а 3 5 = 243

    Свойство № 2
    Частное степеней

    При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

  • Записать частное в виде степени
    (2b) 5 : (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
  • Вычислить.

    = 11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44
    Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.
    3 8 : t = 3 4

    Ответ: t = 3 4 = 81

    Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

      Пример. Упростить выражение.
      4 5m + 6 · 4 m + 2 : 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2 : 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

    Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.

    = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

    Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.

    Нельзя заменять разность (4 3 −4 2 ) на 4 1 . Это понятно, если посчитать (4 3 −4 2 ) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4

    Свойство № 3
    Возведение степени в степень

    При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.

    (a n ) m = a n · m , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.

    • Пример.
      (a 4 ) 6 = a 4 · 6 = a 24
    • Пример. Представить 3 20 в виде степени с основанием 3 2 .
    • По свойству возведения степени в степень известно, что при возведении в степень показатели перемножаются, значит:

      Свойства 4
      Степень произведения

      При возведении степени в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель и результаты перемножаются.

      (a · b) n = a n · b n , где « a », « b » — любые рациональные числа; « n » — любое натуральное число.

    • Пример 1.
      (6 · a 2 · b 3 · c ) 2 = 6 2 · a 2 · 2 · b 3 · 2 · с 1 · 2 = 36 a 4 · b 6 · с 2
    • Пример 2.
      (−x 2 · y) 6 = ( (−1) 6 · x 2 · 6 · y 1 · 6 ) = x 12 · y 6

    Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.

    (a n · b n )= (a · b) n

    То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

  • Пример. Вычислить.
    2 4 · 5 4 = (2 · 5) 4 = 10 4 = 10 000
  • Пример. Вычислить.
    0,5 16 · 2 16 = (0,5 · 2) 16 = 1
  • В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.

    Например, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216

    Пример возведения в степень десятичной дроби.

    4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4

    Свойства 5
    Степень частного (дроби)

    Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

    (a : b) n = a n : b n , где « a », « b » — любые рациональные числа, b ≠ 0, n — любое натуральное число.

  • Пример. Представить выражение в виде частного степеней.
    (5 : 3) 12 = 5 12 : 3 12
  • Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.

    math-prosto.ru

    Степени и корни

    Операции со степенями и корнями. Степень с отрицательным ,

    нулевым и дробным показателем. О выражениях, не имеющих смысла.

    Операции со степенями.

    1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются :

    a m · a n = a m + n .

    2. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются .

    3. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.

    4. Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):

    ( a / b ) n = a n / b n .

    5. При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

    Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.

    П р и м е р . ( 2 · 3 · 5 / 15 ) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

    Операции с корнями. Во всех нижеприведенных формулах символ означает арифметический корень (подкоренное выражение положительно).

    1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:

    2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

    3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:

    4. Если увеличить степень корня в m раз и одновременно возвести в m -ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:

    5. Если уменьшить степень корня в m раз и одновременно извлечь корень m -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:

    Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным, нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.

    Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной велечине отрицательного показателя:

    Т еперь формула a m : a n = a m — n может быть использована не только при m , большем, чем n , но и при m , меньшем, чем n .

    П р и м е р . a 4 : a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

    Если мы хотим, чтобы формула a m : a n = a mn была справедлива при m = n , нам необходимо определение нулевой степени.

    Степень с нулевым показателем. Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.

    П р и м е р ы . 2 0 = 1, ( 5 ) 0 = 1, ( 3 / 5 ) 0 = 1.

    Степень с дробным показателем. Для того, чтобы возвести действительное число а в степень m / n , нужно извлечь корень n –ой степени из m -ой степени этого числа а :

    О выражениях, не имеющих смысла. Есть несколько таких выражений.

    где a ≠ 0 , не существует .

    В самом деле, если предположить, что x – некоторое число, то в соответствии с определением операции деления имеем: a = 0· x, т.e. a = 0, что противоречит условию: a ≠ 0

    любое число.

    В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x, то согласно определению операции деления имеем: 0 = 0 · x . Но это равенство имеет место при любом числе x, что и требовалось доказать.

    Если считать, что правила действий со степенями распространяются и на степени с нулевым основанием, то

    0 0 — любое число.

    Р е ш е н и е . Рассмотрим три основных случая:

    1) x = 0 это значение не удовлетворяет данному уравнению

    2) при x > 0 получаем: x / x = 1, т.e. 1 = 1, откуда следует,

    что x – любое число; но принимая во внимание, что в

    нашем случае x > 0 , ответом является x > 0 ;

    www.bymath.net

    Правила умножения степеней с разным основанием

    СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ,

    СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ IV

    § 69. Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями

    Теорема 1. Чтобы перемножить степени с одинаковыми основаниями, достаточно показатели степеней сложить, а основание оставить прежним, то есть

    Доказательство. По определению степени

    2 2 • 2 3 = 2 5 = 32; (—3) • (—3) 3 = (—3 ) 4 = 81.

    Мы рассмотрели произведение двух степеней. На самом же деле доказанное свойство верно для любого числа степеней с одинаковыми основаниями.

    Теорема 2. Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, когда показатель делимого больше показателя делителя, достаточно из показателя делимого вычесть показатель делителя, а основание оставить прежним, то есть при т > п

    (a =/= 0)

    Доказательство. Напомним, что частным от деления одного числа на другое называется число, которое при умножении на делитель дает делимое. Поэтому доказать формулу , где a =/= 0, это все равно, что доказать формулу

    Если т > п, то число т — п будет натуральным; следовательно, по теореме 1

    Теорема 2 доказана.

    Следует обратить внимание на то, что формула

    доказана нами лишь в предположении, что т > п. Поэтому из доказанного пока нельзя делать, например, таких выводов:

    К тому же степени с отрицательными показателями нами еще не рассматривались и мы пока что не знаем, какой смысл можно придать выражению 3 2 .

    Теорема 3. Чтобы возвести степень в степень, достаточно перемножить показатели, оставив основание степени прежним, то есть

    Доказательство. Используя определение степени и теорему 1 этого параграфа, получаем:

    что и требовалось доказать.

    Например, (2 3 ) 2 = 2 6 = 64;

    518 (Устно.) Определить х из уравнений:

    1) 2 • 2 2 • 2 3 • 2 4 • 2 5 • 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 • 4 4 • 4 6 • 4 8 • 4 10 = 2 x ;

    2) 3 • 3 3 • 3 5 • 3 7 • 3 9 = 3 x ; 4) 1 /5 • 1 /25 • 1 /125 • 1 /625 = 1 / 5 x .

    519. (У с т н о.) Упростить:

    520. (У с т н о.) Упростить:

    521. Данные выражения представить в виде степеней с одинаковыми основаниями:

    1) 32 и 64; 3) 8 5 и 16 3 ; 5) 4 100 и 32 50 ;

    2) —1000 и 100; 4) —27 и —243; 6) 81 75 • 8 200 и 3 600 • 4 150 .

    oldskola1.narod.ru

    112ak.ru

    Материал по математике "Умножение и деление степеней"

    Умножение и деление степеней

    Цель урока: научится производить действия со степенями числа.

    Для начала вспомним понятие «степень числа». Выражение вида


    можно записать как.

    an


    Справедливо так же обратное:


    это равенство называется запись степени в виде произведения, оно поможет нам определить, каким образом умножать и делить степени.

    Запомните:
    a – основание степени,
    n – показатель степени.
    Если n = 1, значит, число а взяли один раз и соответственно

    a1.
    Если n=0, то a0 =1

    почему так происходит мы сможем выяснить, когда познакомимся с правилами умножения и деления степеней.

    Умножение

    a) если умножаются степени с одинаковым основанием:
    Что бы an умножить на am запишем степени в виде произведения:



    видно что число а взяли n+m раз, соответственно

    an •am = an + m


    Пример:
    23• 22= 25=32

    Это свойство удобно использовать, что бы упростить работу по возведению числа в большую степень:

    27=23•24=8•16=128

    б) если умножаются степени с разным основанием, но одинаковым показателем
    Что бы an •am запишем через произведение.

    Если поменять множители местами и посчитать получившиеся пары получим

    что, согласно определению степени числа, равно (a•b) n

    an•bn= (a•b)n

    Пример:
    32• 22= 2(3•2)2=62=36

    2. Деление.

    a) Основание степени одинаковое, показатели разные.

    Пока что мы будем рассматривать только деление степени с большим показателем на деление степени с меньшим показателем.

    Итак, нам надо an÷am где n › m
    Записываем степени в виде произведения


    для удобства деление запишем в виде простой дроби

    теперь сокращаем дробь.

    Получается:

    an÷am = an-m

    Это свойство поможет объяснить ситуацию с возведением числа в нулевую степень. Допустим, что n=m тогда

    a0=an-n=an÷an=1
    Примеры:

    33÷32=33-2=31=3

    22÷22=22-2=20=1

    б)Основания степени разные, показатели одинаковые.

    Пусть нам надо an÷ bn запишем степени чисел в виде произведения

    Представим деление в виде простой дроби

    используя свойство дробей разобьем большую дробь на произведение маленьких, получим:


    Соответственно:

    an÷bn=(a÷b)n

    Пример:

    43/23=(4/2)3=23=8

    videouroki.net

    Умножение степеней с одинаковыми основаниями . Видеоурок. Алгебра 7 Класс

    На этом уроке мы изучим умножение степеней с одинаковыми основаниями. Вначале вспомним определение степени и сформулируем теорему о справедливости равенства . Затем приведем примеры ее применения на конкретных числах и докажем ее. Также мы применим теорему для решения различных задач.

    Тема: Степень с натуральным показателем и ее свойства

    Урок: Умножение степеней с одинаковыми основаниями (формула )

    Основные определения:

    Здесь a - основание степени,

     n - показатель степени,

    - n-ая степень числа.

    Теорема 1. Для любого числа а и любых натуральных n и k справедливо равенство:

    По-иному: если а – любое число; n и k натуральные числа, то:

    Отсюда правило 1:

    При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, основание остается неизменным.

    Разъясняющие примеры:

    1)

    2)

    Вывод: частные случаи подтвердили правильность теоремы №1. Докажем ее в общем случае, то есть для любого а и любых натуральных n и k.

    Дано число а – любое; числа n и k – натуральные. Доказать: 

    Доказательство основано на определении степени.

    То есть 

    Пример 1: Представьте в виде степени.

    Для решения следующих примеров воспользуемся теоремой 1.

    а)  

    б) 

    в)

    г)

    д) 

    е)

    ж)

    Здесь использовано обобщение:

    з)

    и)

    к) 

    л)

    м) 

    Пример 2: Вычислите (можно использовать таблицу основных степеней).

    а)  (по таблице)

    б)

    Пример 3: Запишите в виде степени с основанием 2.

    а)  

    б)

    в)

    г)

    Пример 4: Определите знак числа:

    , а – отрицательное, так как показатель степени при -13 нечетный.

    По-иному:

    Пример 5: Замените (·) степенью числа с основанием r:

    Имеем  , то есть .

    Список рекомендованной литературы

    1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

    2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ 

    3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

     

    Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

    1. Школьный помощник (Источник).

    2. Testent.ru (Источник).

    3. Математика-повторение (Источник).

     

    Рекомендованное домашнее задание

    1. Представьте в виде степени:

    а)      б)       в) г)        д)

    2.  Вычислите:

    а)       б)  

    3. Запишите в виде степени с основанием 2:

    а)       б)

    4. Определите знак числа:

    а)

    5. Замените (·) степенью числа с основанием r:

    а) r· (·) = r15;      б) (·) · r5 = r6

    interneturok.ru

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *