Уравнение деление – Калькулятор онлайн — Деление многочлена на многочлен (двучлен) столбиком (уголком) (с подробным решением)

Кубические уравнения. Метод деления в столбик. Примеры *

Определение

 

Рассмотрим произвольное уравнение вида

\[a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0=0 \qquad \qquad (1)\]

где \(a_n, a_{n-1},\dots,a_0\) – некоторые числа, причем \(a_n\ne 0\), называемое алгебраическим уравнением (с одной переменной) \(n\)-ой степени.

 

Обозначим \(P_n(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0\). Таким образом, сокращенно уравнение \((1)\) можно записать в виде \(P_n(x)=0\).

 

Замечание

 

Заметим, что квадратное уравнение — это алгебраическое уравнение, степень которого равна \(2\), а линейное — степень которого равна \(1\).
Таким образом, все свойства алгебраических уравнений верны и для квадратных уравнений, и для линейных.

 

Теорема

 

Если уравнение \((1)\) имеет корень \(x=x_0\), то оно равносильно уравнению

\[(x-x_0)\cdot P_{n-1}(x)=0\]

где \(P_{n-1}(x)\) – некоторый многочлен степени \(n-1\).

 

Для того, чтобы найти \(P_{n-1}(x)\), необходимо найти частное от деления многочлена \(P_n(x)\) на \((x-x_0)\)
(т.к. \(P_n(x)=(x-x_0)\cdot P_{n-1}(x)\)).

 

Следствие: количество корней уравнения

 

Любое алгебраическое уравнение степени \(n\) может иметь не более \(n\) корней.

 

Замечание

 

В частности, квадратное уравнение действительно имеет всегда не более двух корней: два, один (или два совпадающих) или ни одного корня.

 

Для того, чтобы найти частное от деления одного многочлена на другой, удобно пользоваться следующим способом, который мы рассмотрим на примере.

 

Пример

 

Известно, что \(x=2\) является корнем уравнения \(2x^3-9x^2+x^4-x+6=0\). Найдите частное от деления \(2x^3-9x^2+x^4-x+6\) на \(x-2\).

 

Решение.
Будем делить многочлен на многочлен в столбик. Запишем

\[\begin{array}{rr|l} x^4+2x^3-9x^2-x+6&&\negthickspace\underline{\qquad x-2 \qquad}\\ &&\\ \end{array}\]

Заметим, что записывать слагаемые в делимом необходимо по убыванию их степеней: в данном случае сначала \(x^4\), затем \(2x^3\) и т.д.
Подбирать слагаемые в частном будем таким образом, чтобы при вычитании уничтожить сначала четвертую степень, затем третью и т.д.
Т.к. делитель \(x-2\) состоит из двух слагаемых, то при делении в столбик будем сносить по два слагаемых.

 

Посмотрим, на что необходимо домножить \(x-2\), чтобы после вычитания из \(x^4+2x^3\) полученного многочлена уничтожилось слагаемое \(x^4\,\).
На \(x^3\). Тогда после вычитания \(x^4+2x^3-x^3(x-2)\) останется \(4x^3\). Снесем слагаемое \(-9x^2\):

\[\begin{array}{rr|l} x^4+2x^3-9x^2-x+6&&\negthickspace\underline{\qquad x-2 \qquad}\\ \underline{x^4-2x^3\,} \phantom{000000000000}&&\negthickspace \quad x^3\\[-3pt] 4x^3 -9x^2\phantom{0000000}&&\\ \end{array}\]

Теперь посмотрим, на что необходимо домножить \(x-2\), чтобы после вычитания из \(4x^3-9x^2\) полученного многочлена уничтожилось слагаемое \(4x^3\).
На \(4x^2\): \(\quad 4x^3-9x^2-4x^2(x-2)=-x^2\).
Опять снесем следующее слагаемое \(-x\):

 

\[\begin{array}{rr|l} x^4+2x^3-9x^2-x+6&&\negthickspace\underline{\qquad x-2 \qquad}\\ \underline{x^4-2x^3\,} \phantom{000000000000}&&\negthickspace \quad x^3+4x^2\\[-3pt] 4x^3 -9x^2\phantom{0000000}&&\\ \underline{4x^3 — 8x^2\,}\;\phantom{000000}&&\\[-3pt] -x^2 — x\phantom{000}\;&&\\ \end{array}\]

Рассуждая аналогично, определяем, что третье слагаемое в частном должно быть \(-x\)

\[\begin{array}{rr|l} x^4+2x^3-9x^2-x+6\phantom{0}&&\negthickspace\underline{\qquad x-2 \qquad}\\ \underline{x^4-2x^3\,} \phantom{0000000000000}&&\negthickspace \quad x^3+4x^2-x\\[-3pt] 4x^3 -9x^2\phantom{00000000}&&\\ \underline{4x^3 — 8x^2\,}\phantom{0000000}\;\;&&\\[-3pt] -x^2 — \,x\phantom{0000}\;&&\\ \underline{-x^2+2x}\,\phantom{000}\;&&\\[-3pt] -\;3x+6&&\\ \end{array}\]

Четвертое слагаемое в частном должно быть \(-3\):

\[\begin{array}{rr|l} x^4+2x^3-9x^2-x+6\phantom{0}&&\negthickspace\underline{\qquad x-2 \qquad}\\ \underline{x^4-2x^3\,} \phantom{0000000000000}&&\negthickspace \quad x^3+4x^2-x-3\\[-3pt] 4x^3 -9x^2\phantom{00000000}&&\\ \underline{4x^3 — 8x^2\,}\phantom{0000000}\;\;&&\\[-3pt] -x^2 — \,x\phantom{0000}\;&&\\ \underline{-x^2+2x}\,\phantom{000}\;&&\\[-3pt] -\;3x+6&&\\ \underline{-\;3x+6}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\]

Таким образом, можно сказать, что \(x^4+2x^3-9x^2-x+6=(x-2)(x^3+4x^2-x-3)\).

 

Замечание

 

1) Если \(x=x_0\) действительно является корнем уравнения, то после такого деления в остатке должен быть \(0\). В противном случае это означает, что деление в столбик выполнено неверно.

 

2) Если многочлен делится без остатка (то есть остаток равен \(0\)) на \(x+a\), то он также будет делиться без остатка на \(c(x+a)\) для любого числа \(c\ne 0\). Например, в нашем случае, если бы мы поделили многочлен, к примеру, на \(2x-4\), то получили бы в частном \(\frac12 x^3+2x^2-\frac12x-\frac32\).
Заметим, что также происходит и с числами: если мы разделим \(10\) на \(2\), то получим \(5\); а если разделим \(10\) на \(3\cdot 2\), то получим \(\frac53\).

 

3) Деление в столбик помогает найти другие корни уравнения: теперь для того, чтобы найти остальные корни уравнения \(x^4+2x^3-9x^2-x+6=0\), необходимо найти корни уравнения \(x^3+4x^2-x-3=0\).
Поэтому рассмотрим несколько фактов, часто помогающих подобрать корни алгебраического уравнения.

 

Теорема

 

Если число \(x=1\) является корнем уравнения \((1)\), то сумма всех коэффициентов уравнения равна нулю:

\[a_n+a_{n-1}+\dots+a_1+a_0=0\]

Доказательство

 

Действительно, так как \(x=1\) является корнем уравнения \((1)\), то после подстановки \(x=1\) в него мы получим верное равенство. Так как \(1\) в любой степени равен \(1\), то слева мы действительно получим сумму коэффициентов \(a_i\), которая будет равна нулю.

 

Пример

 

У уравнения \(x^2-6x+5=0\) сумма коэффициентов равна нулю: \(1-6+5=0\). Следовательно, \(x=1\) является корнем этого уравнения. Это можно проверить просто подстановкой: \(1^2-6\cdot 1+5=0\quad\Leftrightarrow\quad 0=0\).

 

Теорема

 

Если число \(x=-1\) является корнем уравнения \((1)\), то сумма коэффициентов при четных степенях \(x\) равна сумме коэффициентов при нечетных степенях \(x\).

 

Доказательство

 

1) Пусть \(n\) – четное. Подставим \(x=-1\):

\(a_n\cdot (-1)^n+a_{n-1}\cdot (-1)^{n-1}+a_{n-2}\cdot (-1)^{n-2}+\dots+a_1\cdot (-1)+a_0=0 \quad\Rightarrow\)   \(a_n-a_{n-1}+a_{n-2}-\dots-a_1+a_0=0 \quad \Rightarrow\)   \(a_n+a_{n-2}+\dots+a_0=a_{n-1}+a_{n-3}+\dots+a_1\)

 

2) Случай, когда \(n\) – нечетное, доказывается аналогично.

 

Пример

 

В уравнении \(x^3+2x^2-8x+5=0\) сумма коэффициентов равна нулю:

\[1+2-8+5=0\]

Значит, число \(x=1\) является корнем данного уравнения.

 

Можно разделить в столбик \(x^3+2x^2-8x+5\) на \(x-1\):

\[\begin{array}{rr|l} x^3+2x^2-8x+5&&\negthickspace\underline{\qquad x-1 \qquad}\\ \underline{x^3-\ x^2\,} \phantom{00000000}&&\negthickspace \quad x^2 + 3x -5\\[-3pt] 3x^2 — 8x\,\phantom{000}&&\\ \underline{3x^2 — 3x\,}\phantom{000}&&\\[-3pt] -5x + 5&&\\ \underline{-5x +5}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\]

Таким образом, \(x^3+2x^2-8x+5=(x-1)(x^2 + 3x -5)\). Значит, остальные корни исходного уравнения — это корни уравнения \(x^2+3x-5=0\).

 

А это \(x_{1,2}=-\dfrac 32\pm \dfrac{\sqrt{29}}2\).

 

Таким образом мы нашли все корни исходного уравнения.

 

Пример

 

В уравнении \(x^3-x^2+x+3=0\) сумма коэффициентов при четных степенях \(-1+3=2\), а при нечетных: \(1+1=2\). Таким образом, число \(x=-1\) является корнем данного уравнения.

 

Можно разделить в столбик \(x^3-x^2+x+3\) на \(x+1\):

\[\begin{array}{rr|l} x^3-\,x^2+ \ x+3\phantom{0}&&\negthickspace\underline{\qquad x+1 \qquad}\\ \underline{x^3+x^2\;} \phantom{00000000}&&\negthickspace \quad x^2 -2x +3\\[-3pt] -2x^2 + x\phantom{0000}&&\\ \underline{-2x^2 -\! 2x}\,\phantom{000}&&\\[-3pt] 3x + 3&&\\ \underline{3x +3}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\]

Таким образом, \(x^3-x^2+x+3=(x+1)(x^2 — 2x +3)\). Значит, остальные корни исходного уравнения — это корни уравнения \(x^2-2x+3=0\).
Но это уравнение не имеет корней (\(D<0\)), значит, исходное уравнение имеет всего один корень \(x=-1\).

 

Замечание

 

Подбор корней таким образом, деление в столбик и разложение многочлена на множители помогают найти корни уравнения.

 

Существует еще одна очень важная теорема, позволяющая подобрать рациональный корень алгебраического уравнения, если таковой имеется.

 

Теорема

 

Если алгебраическое уравнение

\[a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0=0,\] где \(a_n, \dots, a_0\) — целые числа,
имеет рациональный корень \(x=\dfrac pq\), то число \(p\) является делителем свободного члена \(a_0\), а число \(q\) — делителем старшего коэффициента \(a_n\).

 

Пример

 

Рассмотрим уравнение \(2x^4-5x^3-x^2-5x-3=0\).

 

В данном случае \(a_0=-3, a_n=2\). Делители числа \(-3\) — это \(\pm 1, \pm 3\). Делители числа \(2\) – это \(\pm 1, \pm 2\). Комбинируя из полученных делителей дроби, получаем все возможные варианты рациональных корней:

\[\pm 1, \ \pm \dfrac12, \ \pm 3, \ \pm\dfrac32\]

По предыдущим теоремам можно быстро понять, что \(\pm1\) не являются корнями. Подставив \(x=-\dfrac12\) в уравнение, получим:

\[2\cdot \dfrac1{16}+5\cdot \dfrac18-\dfrac 14+5\cdot \dfrac12-3=0 \quad \Leftrightarrow \quad 0=0\]

Значит, число \(x=-\frac12\) является корнем уравнения.

 

Можно перебрать остальные варианты: таким образом мы найдем еще один рациональный корень уравнения \(x=3\). Значит, уравнение можно представить в виде

\[\left(x+\frac12\right)(x-3)\cdot Q_2(x)=0 \quad \text{или}\quad (2x+1)(x-3)\cdot P_2(x)=0\] (тогда \(P_2(x)=\frac12 Q_2(x)\)). Заметим, что второй вид записи уравнения более удобный, т.к. нам не придется при делении в столбик работать с дробями.

 

После деления в столбик \(2x^4-5x^3-x^2-5x-3\) на \((2x+1)(x-3)=2x^2-5x-3\):

\[\begin{array}{rr|l} 2x^4-5x^3-\ x^2-5x-3\phantom{0}&&\negthickspace\underline{\qquad 2x^2-5x-3 \qquad}\\ \underline{2x^4-5x^3-3x^2\;} \phantom{00000000}&&\negthickspace \qquad x^2+0x+1\\[-3pt] 0x^3 +2x^2-5x\phantom{0000}&&\\ \underline{0x^3 + 0x^2+0x}\phantom{0000}&&\\[-3pt] 2x^2 — 5x-3\,&&\\ \underline{2x^2-5x-3}\;&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\]

получим, что \(P_2(x)=x^2+1\). Данный многочлен не имеет корней, значит, уравнение имеет только два корня: \(x=-\frac12\) и \(x=3\).

 

Замечание

 

Заметим, что если, пользуясь предыдущей схемой, не удалось подобрать рациональный корень уравнения, это вовсе не значит, что уравнение не имеет корней.
Например, уравнение \(x^3-2=0\) имеет корень — это \(x=\sqrt[3]2\), и он не рациональный.
Для подбора иррациональных корней не существует универсального алгоритма.

 

Пример

 

Найдите корни уравнения \(4x^3-3x^2-\frac{23}6x-1=0\).

 

Заметим, что в данном уравнении не все коэффициенты – целые числа (коэффициент при \(x\) равен \(-\frac{23}6\)). Но мы можем преобразовать данное уравнение к нужному нам виду: необходимо умножить правую и левую части уравнения на \(6\):

\[24x^3-18x^2-23x-6=0\]
Делители свободного члена: \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\).
Делители старшего коэффициента: \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24\).
Получилось достаточно много \(:)\)
Выпишем некоторые возможные рациональные корни уравнения:

\[\pm 1, \ \pm \dfrac12, \ \pm \dfrac13, \ \pm \dfrac 16, \ \pm\dfrac18, \ \pm2, \ \pm\dfrac23, \ \pm \dfrac14, \ \pm3\quad \text{\small{и т.д.}}\]

Перебирая варианты, убеждаемся, что \(\frac32\) подходит. Значит, многочлен \(24x^3-18x^2-23x-6\) должен без остатка поделиться на \(x-\frac32\). Для удобства разделим на \(2(x-\frac32)=2x-3\) (чтобы не работать с дробями):

\[\begin{array}{rr|l} 24x^3-18x^2-23x-6\phantom{0}&&\negthickspace\underline{\qquad 2x-3 \qquad}\\ \underline{24x^3-36x^2}\;\; \phantom{000000000}&&\negthickspace \quad 12x^2 +9x +2\\[-3pt] 18x^2 -23x\phantom{0000}&&\\ \underline{18x^2 -27x}\,\;\phantom{000}&&\\[-3pt] 4x -6&&\\ \underline{4x -6}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\]

Таким образом, \(24x^3-18x^2-23x-6=(2x-3)(12x^2 +9x +2)\). Уравнение \(12x^2 +9x +2=0\) в свою очередь корней не имеет. Значит, \(x=\frac32\) – единственный корень исходного уравнения.

 

Теорема

 

Любой многочлен \(P_n(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0\) можно разложить на произведение множителей: линейных (\(ax+b, a\ne 0\)) и квадратичных (\(cx^2+px+q, c\ne 0\)) с отрицательным дискриминантом.

 

Следствие

 

Кубическое уравнение \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) всегда имеет как минимум один вещественный корень, т.к. его левую часть всегда можно представить как

\[Ax^3+Bx^2+Cx+D=A(x+r)(x^2+px+q)=0\]

Замечание

 

На самом деле, такой вывод можно сделать о любом алгебраическом уравнении нечетной степени. Но, как правило, в школьном курсе математики крайне редко встречаются уравнения степени выше \(4\).

shkolkovo.net

Урок математики по теме «Деление дробей в уравнениях»

Разделы: Математика

---

Форма урока: объяснение нового материала.

Цели урока:

• Обучающая: выработать навыки учащихся умножать и делить обыкновенные дроби, решать и оформлять задачи на уравнения.
• Воспитательная: воспитывать самостоятельность, аккуратность
• Развивающая: развивать внимание, математическую речь, вычислительные навыки учащихся,  интерес к математике.

Ожидаемые результаты: дети научаться решать задачи и уравнения на дроби.

Этапы урока	Время (мин)	Слайды
Организационный момент.	2	Слайд 1
Устная работа и повторение ранее изученного	8	Слайды 2, 3, 4, 5,6
Формирование новых знаний и умений	10	Слайды 7, 8
Физкультминутка	2	Слайды 9, 10
Закрепление нового материала	5	Слайд 11
Проверка знаний (с/р)	10	Слайд 12
Постановка домашнего задания	1	Слайд 13
Подведение итогов урока	2

ХОД УРОКА

I. Организационный этап

– Здравствуйте, мы проведем сегодня урок по теме «Деление дробей в уравнених». Откройте тетради, запишите число, классная работа и тему урока.
Целью нашего урока является закрепление и проверка умений умножать и делить обыкновенные дроби, а также повторить навыки решения задач и уравнений.

II. Устный опрос учащихся

Чтобы умным в жизни стать
Надо дроби изучать

1) Переведите смешанную дробь в неправильную (Приложение 1, слайд 3)

2) Выделите целую часть (Приложение 1, слайд 4)

3) Умножьте дроби (Приложение 1, слайд 5)

– Повторим правило умножения двух дробей: Чтобы умножить дробь на дробь нужно перемножить их числители и знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе знаменателем.

4) Выполните деление (в тетрадях с последующей взаимопроверкой, сосед у соседа) (Приложение 1, слайд 6)

– Повторим правило деления двух дробей: Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

III. Формирование новых знаний и  умений

– При изучении темы деление большое значение имеет умение решать уравнения. Рассмотрим пример и запишем его в тетрадь. (Приложение 1, слайд 7)

– Чтобы решить уравнение необходимо определить какой компонент в уравнении является неизвестным.
– Какой?
– 1 множитель
– Правильно! Чтобы найти неизвестный множитель, что нужно сделать?
– Чтобы найти неизвестный множитель необходимо произведение разделить на известный множитель.
– Находим корень уравнения, выполняя деление. Выполним проверку и запишем ответ.

– А теперь давайте проверим ваше умение решать задачи.

№ 597 (Приложение 1, слайд 7)

– Сколько всего прошел лыжник ? (26 км)
– Сколько километров прошел в первый день?  (неизвестно)
– Сколько километров прошел во второй день?  (неизвестно)
– Какую величину, с какой сравнивают?
– Что возьмем за х?
– Как найти дробь от числа?
– Сколько километров прошел за два дня?
– Как найти?
– Составим уравнение.

– 14 км лыжник прошел во второй день

26 – 14 = 12 км лыжник прошел в первый день.

№  598 (Приложение 1, слайд 8)

– Вспомним что такое 1% (одна сотая)
– Какой дробью запишем 75% (75/100 = 3/4)
– Сколько грибов собрала белка? (неизвестно)
– Сколько грибов собрал бельчонок? (неизвестно)
– Какую величину, с какой сравнивают?
– Что обозначим за икс?
– Как найти дробь от числа?

– Сколько собрали вместе белка и бельчонок?
– Составим уравнение.

200 грибов собрала белка
350 – 200 = 150 грибов собрал бельчонок

IV. Физкультминутка

– Встаем и выполняем несколько упражнений.

А теперь, ребята, встали,
Быстро руки вверх подняли,
В стороны, вперёд, назад
Повернулись вправо, влево,
Тихо сели, вновь за дело.

V. Закрепление нового материала

№ 594

– Сколько собрал Митя?
– Сколько собрал Коля?
– Какую величину, с какой сравнивают?
– Что обозначим за икс?
– Как найти дробь от числа?
– Сколько собрали вместе мальчики?

28 грибов собрал Митя

64 – 28 = 36 грибов собрал Коля

VI. «Математический выбор»

Уравнения, оцениваемые в 3 балла:                           Уравнения, оцениваемые в 5 баллов:

1)                                                                      1)

2)                                                                       2)

3)                                                                    3)  

4)                                                                  4)

Уравнения, оцениваемые в 6 баллов:

1)

2)

3)

4)

Оценки: 5 – 12 баллов; 4 – 9 баллов; 3 – 6 баллов.

Каждый выбирает себе уравнения по «плечу».

Учитель во время работы оценивает учеников.

VII. Итог урока

– С каким настроением вы сегодня работали на уроке?
– Какая задача для вас была самой интересной?
– Ребята чему мы научились на сегодняшнем уроке?
– Как найти часть от числа?
– Как найти неизвестный множитель?

Оценки за урок.

VIII. Домашнее задание

– С листов решить любые три уравнения, из тех которые не решали в классе.

7.04.2010

Поделиться страницей:

urok.1sept.ru

Деление . решение уравнений

Деление. Решение уравнений.

Цели урока:

— продолжить формирование навыков деления многозначных чисел при решении уравнений, навыков устного счета;

— знать: правила нахождения компонентов деления и умножения;

— уметь: применять правила нахождения неизвестных компонентов уравнения, выполнять проверку уравнения для заданного корня, оформлять решение уравнения;

— развивать речь учащихся, умение работать в парах, развивать навык самостоятельной работы;

— коррекция развития психофизических функций (память, внимание, мышление и т. д. )

— воспитывать культуру общения, математическую грамотность и интереса к предмету;

Оборудование: плакаты, компьютер, карточки для самостоятельной работы, листок контроля, кроссворд.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Актуализация темы. (фронтальная работа)

Что называют делением?

(действие, с помощью которого по произведению и одному из множителей находят другой множитель)

Назовите компоненты деления?

(делимое, делитель, частное)

Как называют число, которое делят?

Что такое делитель?

(число на которое делят)

Как называют результат деления?

(частное)

Какие свойства деления вы знаете?

(свойства: : на 1; : на само себя; : на 0)

3. Устный счет.

Повторение таблицы умножения. Устная работа.

4. Изучение новой темы. 

Делимое

36

? 48

35

?  72

Делитель

? 4

21

?  7

12

Частное

9

4

5

6

Задание. Заполним таблицу…

Вопросы:

1). Как найти неизвестный делитель?

(надо делимое разделить на частное)

2). Как найти неизвестное делимое?

(надо частное умножить на делитель)

3) Как найти неизвестный множитель?

(надо произведение разделить на другой множитель)

Решение кодированных уравнений.

Вызов учащихся к доске, индивидуальная работа.

Задание. Решите уравнения и угадайте слово:

1) 320 : x = 10 (32 — З)

2) 390 :у = 13 (30 – А)

3) х : 21 = 23 (483 – Д)

4) 3у + 64 = 124 (20 — А)

5) 50 – 4х = 18 (8 – Ч)

6) 6х = 180 (30 – А)

20

16

32

483

50

8

А

Е

З

Д

Н

Ч

Должно получиться слово – Задача.

Физкультминутка.

Если ответ правильный – хлопок над головой, если неправильный – подпрыгиваем.

Работа по учебнику.

Задание. Решение задачи на составление уравнения. Стр. 77. № 489 а

 Х – задуманное число. Х : 5 – 2 = 8

 Х = 50

Самостоятельная работа.

Работа по карточкам, по вариантам. (индивидуальная работа)

1 вариант.

1. Решите уравнение:

а) 144 ∙ х = 576 (х = 4)

б) 121 : у = 11 (у = 11)

в) n : 8 = 35 (n = 200)

2. Решите задачу. Петя задумал число. Это число он умножил на 9 и к полученному результату прибавил 40.

Получилось 76. Какое число задумал Петя? (4)

2 вариант.

1. Решите уравнение:

а) у ∙ 27 = 54 (у = 2)

б) m : 19 = 34 (m = 646)

в) 144 : х = 12 (х = 12)

2. Решите задачу. Витя задумал число. Это число он увеличил в 4 раза и к полученному результату прибавил 18.

Получилось 54. Какое число задумал Витя? (9)

Дополнительное задание. Решение кроссворда.

Весь материал — в документе.

infourok.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Алгебра

      Напомним, что разделить натуральное число   a   на натуральное число   b   – это значит представить число   a   в виде:

a = bc + r ,

где частное   c   и остаток   r   – целые неотрицательные числа, причем остаток   r   удовлетворяет неравенству:

      Если друг на друга делить многочлены, то возникает похожая ситуация.

      Действительно, при выполнении над многочленами операций сложения, вычитания и умножения результатом всегда будет многочлен. В частности, при перемножении двух многочленов, отличных от нуля, степень произведения будет равна сумме степеней сомножителей.

      Однако в результате деления многочленов многочлен получается далеко не всегда.

      Говорят, что один многочлен нацело (без остатка) делится на другой многочлен, если результатом деления является многочлен.

      Если же один многочлен не делится нацело на другой многочлен, то всегда можно выполнить деление многочленов с остатком, в результате которого и частное, и остаток будут многочленами.

      Определение. Разделить многочлен   a(x)   на многочлен   b(x)   с остатком – это значит представить многочлен   a(x)   в виде

a(x) = b(x) c(x) + r(x) ,

где многочлен   c(x)   – частное, а многочлен   r(x)   – остаток, причем, степень остатка удовлетворяет неравенству:

      Очень важно отметить, что формула

a(x) = b(x) c(x) + r(x)

является тождеством, т.е. равенством, справедливым при всех значениях переменной   x .

      При делении (с остатком или без остатка) многочлена на многочлен меньшей степени в частном получается многочлен, степень которого равна разности степеней делимого и делителя.

      Один из способов деления многочленов с остатком – это деление многочленов «уголком», что представляет собой полную аналогию с тем, как это происходит при делении целых чисел.

      К описанию этого способа деления многочленов мы сейчас и переходим.

      Пример. Заранее расположив многочлены по убывающим степеням переменной, разделим многочлен

2x⁴ – x³ + 5x² – 8x + 1

на многочлен

x² – x + 1 .

      Решение. Опишем алгоритм деления многочленов «уголком» по шагам:

1. Делим первый член делимого   2x⁴   на первый член делителя   x².   Получаем первый член частного   2x² .
2. Умножаем первый член частного   2x²   на делитель   x² – x + 1,   а результат умножения

2x⁴ – 2x³ + 2x²

пишем под делимым   2x⁴ – x³ + 5x² – 8x + 1 .

3. Вычитаем из делимого написанный под ним многочлен. Получаем первый остаток

x³ + 3x²– 8x .

Если бы этот остаток был равен нулю, или был многочленом, степень которого меньше, чем степень делителя ( в данном случае меньше   2),   то процесс деления был бы закончен. Однако это не так, и деление продолжается.

4. Делим первый член остатка   x³   на первый член делителя   x² .   Получаем второй член частного   x .
5. Умножаем второй член частного   x   на делитель    x² – x + 1 ,    а результат умножения

x³ – x² + x

пишем под первым остатком   x³ + 3x²– 8x .

6. Вычитаем из первого остатка написанный под ним многочлен. Получаем второй остаток

4x² – 9x + 1 .

Если бы этот остаток был бы равен нулю, или был многочленом, степень которого меньше, чем степень делителя, то процесс деления был бы закончен. Однако это не так, и деление продолжается.

7. Делим первый член второго остатка   4x²   на первый член делителя   x² .   Получаем третий член частного   4.
8. Умножаем третий член частного   4   на делитель   x² – x + 1 ,   а результат умножения

4x² – 4x + 4

пишем под вторым остатком.

9. Вычитаем из второго остатка написанный под ним многочлен. Получаем третий остаток

   – 5x – 3 .

   Степень этого остатка равна   1,   что меньше, чем степень делителя. Следовательно, процесс деления закончен.

10. Таким образом,

2x⁴ – x³ + 5x² – 8x + 1 =
= (x² – x + 1) (2x² + x +
+ 4) – 5x – 3 ,

где

      Запись изложенного процесса деления многочленов «уголком» имеет следующий вид:

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными». Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

Многочлен. Деление многочлена на многочлен

Определение: Многочленом от одной переменной — это многочлен вида где — числовые коэффициенты.

Определение: Если то этот многочлен называется многочленом -ой степени относительно переменной .

Член называется старшим членом многочлена a — его свободным членом.

— многочлен третьей степени.

Тождественно равные многочлены от одной переменной

Определение: Два многочлена называются тождественно равными, если они принимают равные значения при всех значениях переменной.

Свойства тождественного равенства многочленов от одной переменной

1. Если многочлен тождественно равен нулю (то есть приобретает нулевых значений при всех значениях ), то все его коэффициенты равны нулю.
2. Если два многочлена тождественно равны (то есть приобретают одинаковые значения при всех значениях ), то они совпадают (то есть их степени равны и коэффициенты при одинаковых степенях равны).

Деление многочлена на многочлен

Определение: Если для двух многочленов можно найти такой многочлен , , то говорят, что делится на .

Пример

Поскольку, , то многочлен делится на многочлен

Деление многочлена на многочлен з остачею

Определение: Многочлен делится на многочлен з остачею, если можно найти пару многочленов , что , причем степень остатка меньше степени .

Если остаток , то многочлен делится на многочлен без остатка)

Пример

,

Деление многочлена на многочлен «уголком»

Правило деления многочленов от одной переменной

1. Разместить члены многочленов с нисходящими степенями переменной.
2. Разделить старший член делимого на старший член делителя.
3. Полученный результат умножить на делитель и это произведение вычесть из делимого.
4. С полученной разницей выполняют аналогичную операцию: делят ее старший член на старший член делителя и полученный результат вновь умножают на делитель и так далее. Этот процесс продолжают дать, пока не получат остатка в ноль (если один многочлен делится на другой) или пока у остатка не получат многочлен, степень которого меньше степени делителя.

Теорема Непре

Остаток от деления многочлена на двочлен равна

Следствие: Если — корень многочлена (то есть ), то этот многочлен делится без остатка на .

Пример

Остаток от деления многочлена на двочлен равна , то есть делится на без остатка.

Поделив на «уголком» или по схеме Горнера, получаем:

cubens.com

Деление многочлена на многочлен онлайн

Рассматривается деление произвольных многочленов (полиномов) друг на друга с выделением остатка от деления. Метод применяемый в данной статье, коренным образом отличается от других калькуляторов  подобного типа, которые используют метод «в столбик».  Несомненно для студентов и учеников, которые только только начали изучать эту тему, метод «в столбик» намного нагляднее и проще.

Но для вычислений, где необходима повышенная точность и скорость расчетов, используется обобщенный метод Горнера, главное отличие которого, что в процессе вычислений не используется функция деления, которая  вносит погрешности в окончательный расчет.

 Калькулятор созданный мной, прекрасно работает и в поле комплесных чисел, что несомненно повысит  эффективность его использования.

Обобщенный метод деления мы рассмотрим чуть позже в этом же материале, а сейчас, несколько примеров.

Разделить многочлен  на 

ввод коэффициентов будет вот такой 

 

а результат  от деления 

 

Еще один пример на деление комплексных многочленов. Хотелось найти примеры в интернете, но видимо никто так и не освещал эту тему: ни примеров, ни решений.

Ну тогда…

«Кто тут в цари крайний? Никого? Так я первый буду»(с)

Делим полином вида 

на полином 

Вводим в первое поле 1 i -1 -i 1 i -1 (Это коэффициенты первого полинома)

Во второе поле 1 i -i -1 i (Это коэффициенты второго полинома)

И получаем ответ

В дальнейшем здесь или отдельной статьей, напишу, какие закономерности можно находить при делении многочленов.

А также раз мы может делить многочлены, то мы можем находить и его НОД

НОД двух многочленов. Greatest Common Factor (GCF) 

Удачных расчетов!

• Диофантовое уравнение с тремя неизвестными >>

abakbot.ru

Деление уравнения 2–5 степеней

Деление уравнения 2–5 степени на полином — это метод разложения многочлена на множители. Такое разложение необходимо для упрощения алгебраических выражений, решения уравнений 3-ей и выше степени, а также для разложения дробно-рациональных функций на простейшие дроби.

Теоретическая основа

В целом разложение полиномов на множители требуется для решения уравнений третьей степени и выше. Алгебраическая теория позволяет это сделать следующим способом. Основная теорема алгебры гласит, что любой полином n-ной степени имеет по крайней мере один действительный или комплексный корень. Мы можем легко найти этот корень, если полином является линейным или квадратным, однако если выражение имеет большую степень, то задача значительно усложняется.

В некоторых удачных случаях мы можем использовать формулы сокращенного умножения, однако такая удача — это скорее исключение, ведь данные формулы не применимы для многочленов выше третьей степени. В таких ситуациях нам на помощь приходит теорема Безу.

Теорема Безу гласит, что при делении полинома P(x) на двучлен Q(x) = x − b остаток от деления s = P(a). Простыми словами это означает, что при делении некоторого полинома на многочлен вида x − b, остаток от этого деления равен значению функции в точке b. Однако для разложения полинома на множители используется не сама теорема, а следствие из нее. Если P(x) делится на Q(x) без остатка, то число bявляется корнем выражения.

Если мы поделим полином на бином без остатка, то сможем разложить выражение на множители. Следовательно, для этого нам надо найти хотя бы один корень полинома b и разделить выражение на бином x − b. После этого мы получим произведение полиномов низшей степени. При желании операцию можно повторить и разложить полином на несколько многочленов, что значительно упростит поиск корней.

Таким образом, для разложения полинома на множители требуется найти один из корней b, выразить двучлен Q(x) = x − b и разделить многочлен на Q(x).

Поиск корня b

Мы можем предположить любое значение корня, однако на практике первым делом проверяют значения 1 и -1. Для этого нам помогут два простых правила:

• если сумма коэффициентов полинома равна нулю, то один из корней равен 1;
• если сумма коэффициентов при четных степенях икса равна сумме коэффициентов при нечетных, то один из корней полинома равен -1.

Давайте проверим на примере. Пусть есть многочлен вида:

3x⁴ + 2x³ − 8x² + 2x + 1

Вычислим сумму коэффициентов: 3 + 2 − 8 + 2 + 1 = 0. Очевидно, что если вместо иксов подставить единицу, то мы получим аналогичное равенство.

Проверим второе правило. Возьмем полином вида:

3x⁴ + 4x³ + 2x² + 2x + 1

Коэффициенты при четных степенях дают в сумме 3 + 2 + 1 = 6. Коэффициенты при нечетных: 4 + 2 = 6. Если вместо иксов подставить -1, то шестерки взаимно уничтожатся и превратятся в ноль. Очевидно, что -1 является корнем данного полинома. Обратите внимание, что в данном случае 1 – это все равно что 1x⁰, поэтому свободный член учитывается как коэффициент икса в четной степени.

Если же 1 и -1 не подходят, то используем теорему Виета, которая в данном случае звучит следующим образом: если корни многочлена являются целыми числами, то они одновременно являются и делителями его свободного члена. Это означает, что целочисленный корень полинома без остатка делит его свободный член, то есть коэффициент без икса.

Таким образом, для поиска целочисленного корня требуется разложить свободный член на множители и поочередно подставлять найденные значения вместо иксов. Если при подстановке коэффициента значение полинома станет равно нулю, то данное значение и есть корень уравнения. Рассмотрим следующий полином:

x⁴ + x³ − 11x² − 5x + 30

Свободный член 30 имеет следующие делители: ±1, ±2, ±3, ±5, ±6, ±10, ±15, ±30. Теперь постепенно подставляем данные числа вместо иксов. В итоге уравнение превращается в ноль при значениях 2, ±3 и 5, которые и являются корнями данного уравнения. Из теоремы Безу вытекает, что данный многочлен без остатка делится на выражения типа x − 2 или x + 3.

Деление многочлена на Q(x)

Деление многочлена на бином Q(x) проще всего осуществить в столбик. Рассмотрим схему деления в столбик на простом примере. Возьмем полином

2x³ − 3x² + 5x − 14

и разделим его на бином x − 2.

Деление в столбик происходит в три этапа:

• разделим самый первый элемент многочлена на старший член бинома, то есть 2x³ / x = 2x², запишем 2x² как первый член частного;
• умножим результат на бином, то есть 2x² × (x − 2) = 2x³ − 4x²;
• вычтем полученное выражение из многочлена (2x³ − 3x² + 5x − 14) − (2x³ − 4x²) = x² + 5x − 14.

Теперь требуется повторить предыдущие пункты, но уже для полинома x² + 5x − 14:

• разделим x² на x, в результате получим x как второй член частного;
• умножим x на бином и получим x × (x − 2) = x² − 2x;
• вычислим разницу (x² + 5x − 14) − (x² − 2x) = 7x − 14.

Еще раз повторим этот круг, но для полинома 7x − 14:

• разделим 7x на x, получим 7 как третий элемент частного;
• умножим 7 на делитель, получим 7x − 14;
• вычислим разницу (7x − 14) − (7x − 14) = 0.

На этом цикл деления окончен. Выпишем наши элементы в строчку и получим частное без остатка 2x² + x+ 7. Это означает, что полином вида 2x³ − 3x² + 5x − 14 мы можем представить как произведение (x − 2) × (2x² + x + 7).

Мы все вычисления провели вручную, однако разделить многочлен на бином можно и в режиме онлайн. Наша программа позволяет делить многочлены от 2 до 5 степени на биномы вида ax + b. Для этого требуется выбрать степень полинома, ввести коэффициенты в соответствующие ячейки и сделать один клик мышкой. Важно указать коэффициенты с соответствующими знаками, так как в программе по умолчанию установлены плюсы. В результате калькулятор выдаст ответ вида

R(x) = P(x) / Q(x) – s,

где s — остаток от деления.

Заключение

Наш калькулятор позволяет быстро и без проблем разделить многочлен на бином для разложения выражения на множители. Такая операция может понадобиться школьникам и студентам при решении уравнений 3-5 степени или для разложения дробно-рациональных функций в сумму простых дробей.

bbf.ru