Уравнения с 4 степенью – Решение уравнений четвертой степени

Уравнение четвёртой степени — это… Что такое Уравнение четвёртой степени?

Уравнение четвёртой степени — в математике алгебраическое уравнение вида:

Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любом значении коэффициентов).

Так как является многочленом чётной степени, она имеет один и тот же предел при стремлении к плюс и к минус бесконечности. Если , то функция возрастает до плюс бесконечности с обеих сторон, таким образом, функция имеет глобальный минимум. Аналогично, если , то функция убывает до минус бесконечности с обеих сторон, таким образом, функция имеет глобальный максимум

Теорема Виета для уравнения четвертой степени

Корни уравнения четвертой степени связаны с коэффициентами следующим образом:

История

Уравнения четвёртой степени впервые были рассмотрены древнеиндийскими математиками между IV в. до н. э. и II в. н. э.

Лодовико Феррари приписывается получение решения уравнения четвёртой степени в 1540, но его работа опиралась на решение кубического уравнения, которого у него не было, поэтому сразу это решение не было опубликовано,

[1] а было опубликовано только в 1545 вместе с решением кубического уравнения наставника Феррари — Джероламо Кардано в книге «Великое искусство»^[2].

То, что это наибольшая степень уравнения, для которого можно указать общую формулу решения было доказано в теореме Абеля — Руффини в 1824. Записки, оставленные Галуа до смерти на дуэли, позже привели к элегантной теории корней многочленов, одним из результатов которой была эта теорема.^[3]

Решения

Решение Декарта — Эйлера

В уравнение четвёртой степени:

Сделаем подстановку , получим уравнение в следующем виде (оно называется «неполным»):

где

Корни такого уравнения равны одному из следующих выражений:

в которых сочетания знаков выбираются таким образом, чтобы выполнялось следующее соотношение:

причём  — это корни кубического уравнения

Решение Феррари

Если уравнение 4-й степени вида , то решение может быть найдено по методу Феррари. Если  — произвольный корень кубического уравнения

(2)

(резольвенты основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений

где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом.

См. также

Примечания

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — Наука, 2003. — 832 с. — 5000 экз. — ISBN 5-8114-0485-9

Ссылки

veter.academic.ru

Уравнения четвертой степени — Уравнения — Математика — Каталог статей

Уравнения четвертой степени

Метод решения уравнений четвертой степени нашел в

XVI в. Лудовико Феррари, ученик Джероламо Кардано. Он так и называется – метод Феррари.

            Как и при решении кубического и квадратного уравнений, в уравнении четвертой степени

x⁴+px³ +qx²+ix+s = 0

можно избавиться от члена px³ подстановкой x = y-p/4 . Поэтому будем считать, что коэффициент при кубе неизвестного равен нулю:

. x⁴ax²+bx+c = 0

  Идея Феррари состояла в том, чтобы представить уравнение в виде A² =  B² , где левая часть – квадрат выражения A = x² + s, а правая часть – квадрат линейного уравнения B от X, коэффициенты которого зависят от  S . После этого останется решить два квадратных уравнения: A= Bи A =-B  и . Конечно, такое представление возможно только при специальном выборе параметра s. Удобно взять s в виде a/2+p, тогда уравнение перепишется так:

                              .                              (15)

Правая часть этого уравнения – квадратный трехчлен от x. Полным квадратом он будет тогда, когда его дискриминант равен нулю, т.е.

, или

  b² = 2t(4t² + a² -4c)

Это уравнение называется резольвентным (т.е. «разрешающим»). Относительно t оно кубическое, и формула Кардано позволяет найти какой-нибудь его корень t₀. При t = t₀ правая часть уравнения (15) принимает вид

,

а само уравнение сводится к двум квадратным:

.

Их корни и дают все решения исходного уравнения.

            Решим для примера уравнение

.x⁴-10x²+8x+5=0

            Здесь удобнее будет воспользоваться не готовыми формулами, а самой идеей решения. Перепишем уравнение в виде

x⁴-10x²+8x-5 

и добавим к обеим частям выражение 2sx²+s², чтобы в левой части образовался полный квадрат:

.(x²+s)² = (10+2s)·x²+8x+s²-5

Теперь приравняем к нулю дискриминант правой части уравнения: 16-(10-2s)·(s²-5) =0

или, после упрощения,

.s³+5s²-5s-33=0

Один из корней полученного уравнения можно угадать, перебрав делители  свободного члена: s₀ = -3. После подстановки этого значения получим уравнение

 (x²-3)² = 4x²+8x+4 = 4·(x+1)²,

откуда x²-3 = ±2·(x+1). Корни образовавшихся квадратных уравнений —  и   . Разумеется, в общем случае могут получиться и комплексные корни.

alexlat.ucoz.ru

Уравнение четвертой степени — это… Что такое Уравнение четвертой степени?



Уравнение четвертой степени

Уравнение четвёртой степени — в математике алгебраическое уравнение вида:

.

Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любом значении коэффициентов).

Решения

Решение Декарта — Эйлера

Сделав подстановку , получим уравнение в следующем виде (он называется «неполным»):

y⁴ + py² + qy + r = 0.

Корни y₁, y₂, y₃, y₄ такого уравнения равны одному из следующих выражений:

в которых сочетания знаков выбираются таким образом, чтобы выполнялось следующее соотношение:

,

причём z₁, z₂ и z₃ — это корни кубического уравнения

Решение Феррари

Основная статья: Метод Феррари

Представим уравнение четвёртой степени в виде:

Ax⁴ + Bx³ + Cx² + Dx + E = 0,

Его решение может быть найдено из следующих выражений:

если β = 0, решив u⁴ + αu² + γ = 0 и, сделав подстановку , найдём корни:

.

, (любой знак квадратного корня подойдёт)

, (три комплексных корня, один из которых подойдёт)

Два ±_s должны иметь одинаковый знак, ±_t — независимы. Для того, чтобы найти все корни, надо найти x для знаковых комбинаций ±_s,±_t = +,+ для +,− для −,+ для −,−. Двойные корни появятся два раза, тройные корни — три раза и корни четвёртого порядка — четыре раза. Порядок корней зависит от того, какой из кубических корней

U выбран.

См. также

Литература

• Корн Г., Корн Т. (1974) Справочник по математике.

Ссылки

Wikimedia Foundation. 2010.

• Уравнение состояния газа Ван-дер-Ваальса
• Уравнение третьей степени

Смотреть что такое «Уравнение четвертой степени» в других словарях:

• уравнение четвертой степени — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN quartic equation …   Справочник технического переводчика

• Уравнение четвёртой степени — График многочлена 4 ой степени с четырьмя корнями и тремя критическими точками. Уравнение четвёртой степени  в математике алгебраическое уравнение вида: Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой… …   Википедия

• Возвратное уравнение четвёртой степени — Уравнение вида: anxn + an − 1xn − 1 + … + a1x + a0 = 0 называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, то есть если an − k = ak, при k = 0, 1, …, n. Содержание 1 Уравнение четвёртой степени …   Википедия

• БИКВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ — в котором неизвестный член в четвертой степени. Полный словарь иностранных слов, вошедших в употребление в русском языке. Попов М., 1907. БИКВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ от лат. bis, дважды, и quadratum, квадрат. Уравнение, в котором наибольшая степень… …   Словарь иностранных слов русского языка

• Алгебра — вместе с арифметикой есть наука о числах и через посредство чисел о величинах вообще. Не занимаясь изучением свойств каких нибудь определенных, конкретных величин, обе эти науки исследуют свойства отвлеченных величин как таковых, независимо от… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

• ПОЛЕТА ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА — совокупность прикладных знаний, позволяющих авиационным инженерам на занятий в области аэродинамики, проблем прочности, двигателестроения и динамики полета летательных аппаратов (т.е. теории) создать новый летательный аппарат или улучшить… …   Энциклопедия Кольера

• МАТЕМАТИКИ ИСТОРИЯ — Самой древней математической деятельностью был счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов, сопоставляя им различные части тела, главным образом… …   Энциклопедия Кольера

• Важнейшие открытия в физике — История технологий По периодам и регионам: Неолитическая революция Древние технологии Египта Наука и технологии древней Индии Наука и технологии древнего Китая Технологии Древней Греции Технологии Древнего Рима Технологии исламского мира… …   Википедия

• УРАВНЕНИЯ — Уравнением называется математическое соотношение, выражающее равенство двух алгебраических выражений. Если равенство справедливо для любых допустимых значений входящих в него неизвестных, то оно называется тождеством; например, соотношение вида… …   Энциклопедия Кольера

• Теорема Абеля — Теорема Абеля  Руффини утверждает, что общее уравнение степени при неразрешимо в радикалах. Содержание 1 Подробности …   Википедия

dic.academic.ru

Расчет квадратного, кубического и 4 степени уравнения онлайн

Вы ввели следующее выражение

Результат решения заданного уравнения

         Линейные уравнения — те самые «цветочки» математического анализа, которые любой школьник и студент обязан щелкать, как земляные орешки. Уравнения первого порядка, квадратные, кубические, уравнения четвертой степени — все они относятся к азам математики, не знать которые — преступление для взрослого человека. Но когда таких расчетов сотни и приходится выполнять их очень быстро, возникает желание как-то автоматизировать сей процесс. Например, вбивать в онлайновый калькулятор только коэффициенты и радоваться вычисленным машиной корням. Для этого и предназначен данный раздел нашего позитивного бота АБАК.

        Чтобы не заблудиться в уравнениях и не удивляться, откуда взялись на экране ложные результаты, стоит вспомнить теоретическую подоплеку каждого из обсуждаемых уравнений. 

       Уравнение первой степени с единственной переменной — это равенство вида , где х — искомое число, а  и { -определенные действительные (!) числа. Если a = b = 0, то в качестве решения уравнения выступает любое число, если оба этих числа приравнены к нулю, у уравнения решений нет, а если a и b существуют, то  уравнение начинает называться линейным, и 

         Святая простота линейного уравнения первой степени плавно перетекает в такой же простой дискриминант для квадратного уравнения: , вычисляемый по формуле . С первого взгляда формула выглядит страшновато — еще один повод обратить внимание на АБАК, который требует указания одних только действительных коэффициентов a, b, c и сам выдает множество решений.

        Кубические уравнения  уже имеют все шансы испугать непосвященного в математику человека, так как ему придется заменой  привести исходное уравнение к каноническому виду  , где числом  выступает выражение  , а  заменит громоздкий трехчлен . Корни нового уравнения с заменой  на  вычисляются вот так

.

 

АБАК благополучно прячет от пользователя все эти тонкости, выдавая красивое решение с нужной точностью (см. вкладка «Примеры»).

Решение уравнения четвертой степени будет еще сложнее и поэтому в рамках этого проекты мы его не рассматриваем подробно.

Кстати можно решить и обратную задачу,  по известным корням многочлена узнать  общий вид этого многочлена. Для этого необходимо воспользоваться материалом Создание полинома (многочлена) одной переменной онлайн

Итак, решить любое из описанных уравнений с помощью карандаша, бумаги и знаний, разумеется, можно. Но гораздо быстрее и точнее призвать на помощь наш надежный, как скала, АБАК, чтобы оставаться спокойным за правильность найденных им корней. 

Выдает все корни, в том числе и комплексные значения.

вида 

Хотелось бы обратить Ваше внимание что есть сервис(Решение уравнений методом Ньютона онлайн) которое позволяет Вам узнавать корень произвольного уравнения, который Вы только сможете придумать.

А также для тех кто хочет решить квадратное уравнение с комплексными коэффициентами то могут  обратится по адресу Квадратное уравнение с комплексными коэффициентами

Синтаксис 

Jabber:  ur <элементы уравнения>

WEB:  <элементы уравнения>

Элементы уравнения должны быть действительными числами

Элементы уравнения вводятся по принципу слева направо, от элемента с более высокой степенью переменной х, к более низкой.

Каждый элемент уравнения должен быть разделен пробелами.

Если в строке будет встречен любой символ не являющийся числовым, то он будет автоматически заменен на нуль.

Здесь есть понятие точности вычислений.

Точность обозначается знаком #число

где число от 1 до 9 — количество знаков после запятой.

Примеры 

 Пример1:

 ur  2 -4 2.3 1

Решаем уравнение:    
Один действительный, и два мнимых корня
-0.2797
1.1398:0.6988
1.1398:-0.6988

Если нужна точность с 9-ью знаками после запятой то пишем

ur  2 -4 2.3 1 #9

Решаем уравнение:  

Один действительный, и два мнимых корня
-0.279699722
1.139849861:0.698837372
1.139849861:-0.698837372

---

Уравнение четвертой степени:

ur 1 2 -3 4 -5

Решаем уравнение:  

Первый корень 0.1308+1.1482i
Второй корень 0.1308-1.1482i
Третий корень 1.1103+0i
Четвертый корень -3.3719-0i

---

ur 1 0 0 0 4 #6

Решаем уравнение:  

Первый корень 1.000000+1i
Второй корень 1.000000-1i
Третий корень -1.000000+1i
Четвертый корень -1.000000-1i

• Расчет произвольного числа ряда Фибоначчи онлайн >>

abakbot.ru

Уравнение четвёртой степени — это… Что такое Уравнение четвёртой степени?

Уравнение четвёртой степени — в математике алгебраическое уравнение вида:

Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любом значении коэффициентов).

Так как является многочленом чётной степени, она имеет один и тот же предел при стремлении к плюс и к минус бесконечности. Если , то функция возрастает до плюс бесконечности с обеих сторон, таким образом, функция имеет глобальный минимум. Аналогично, если , то функция убывает до минус бесконечности с обеих сторон, таким образом, функция имеет глобальный максимум

Теорема Виета для уравнения четвертой степени

Корни уравнения четвертой степени связаны с коэффициентами следующим образом:

История

Уравнения четвёртой степени впервые были рассмотрены древнеиндийскими математиками между IV в. до н. э. и II в. н. э.

Лодовико Феррари приписывается получение решения уравнения четвёртой степени в 1540, но его работа опиралась на решение кубического уравнения, которого у него не было, поэтому сразу это решение не было опубликовано,^[1] а было опубликовано только в 1545 вместе с решением кубического уравнения наставника Феррари — Джероламо Кардано в книге «Великое искусство»^[2].

То, что это наибольшая степень уравнения, для которого можно указать общую формулу решения было доказано в теореме Абеля — Руффини в 1824. Записки, оставленные Галуа до смерти на дуэли, позже привели к элегантной теории корней многочленов, одним из результатов которой была эта теорема.^[3]

Решения

Решение Декарта — Эйлера

В уравнение четвёртой степени:

Сделаем подстановку , получим уравнение в следующем виде (оно называется «неполным»):

где

Корни такого уравнения равны одному из следующих выражений:

в которых сочетания знаков выбираются таким образом, чтобы выполнялось следующее соотношение:

причём  — это корни кубического уравнения

Решение Феррари

Если уравнение 4-й степени вида , то решение может быть найдено по методу Феррари. Если  — произвольный корень кубического уравнения

(2)

(резольвенты основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений

где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом.

См. также

Примечания

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — Наука, 2003. — 832 с. — 5000 экз. — ISBN 5-8114-0485-9

Ссылки

dic.academic.ru

Точное решение уравнения четвёртой степени.



Точное решение уравнения четвёртой степени.

Введите коэффициенты f₀, f₁, f₂, f₃, f₄ уравнения четвёртой степени f₄ x⁴ + f₃ x³ + f₂ x² + f₁ x + f₀ = 0 и нажмите кнопку Решить

---

---

Введите четыре рациональных корня уравнения f₄ x⁴ + f₃ x³ + f₂ x²+ f₁ x + f₀ = 0 в виде дроби или ввиде десятичной дроби для вычисления коэффициентов f₀, f₁, f₂, f₃, f₄ уравнения.

---

Введите два рациональных и один комплексный корень уравнения f₄ x⁴ + f₃ x³ + f₂ x²+ f₁ x + f₀ = 0 в виде дроби или ввиде десятичной дроби для вычисления коэффициентов f₀, f₁, f₂, f₃, f₄ уравнения.

---

Введите два комплексных корня уравнения f₄ x⁴ + f₃ x³ + f₂ x²+ f₁ x + f₀ = 0 в виде дроби или ввиде десятичной дроби для вычисления коэффициентов f₀, f₁, f₂, f₃, f₄ уравнения.

---

Введите три рациональных корня уравнения f₃ x³ + f₂ x²+ f₁ x + f₀ = 0 в виде дроби или ввиде десятичной дроби для вычисления коэффициентов f₀, f₁, f₂, f₃ кубического уравнения.

---

Введите один рациональный и один комплексный корень уравнения f₃ x³ + f₂ x²+ f₁ x + f₀ = 0 для вычисления коэффициентов f₀, f₁, f₂, f₃ кубического уравнения.

---

Длина числителей и знаменателей случайных рациональных корней в цифрах.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Длина случайных целых корней в цифрах.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Заданная точность сокращения квадратных корней

.

Не ставьте в это поле большое значение, если не хотите, чтобы ваш браузер завис на долгое время. При значении 10000 даже при очень больших значениях коэффициентов браузер зависнет всего на минуту. Работа по сокращению корня будет остановлена, как только длина строки корня станет меньше квадрата данной величины.

На главную страницу

ateist.spb.ru

Уравнение четвёртой степени — Википедия

Уравнение четвёртой степени — в математике алгебраическое уравнение вида:

Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любом значении коэффициентов).

Так как является многочленом чётной степени, она имеет один и тот же предел при стремлении к плюс и к минус бесконечности. Если , то функция возрастает до плюс бесконечности с обеих сторон, таким образом, функция имеет глобальный минимум. Аналогично, если , то функция убывает до минус бесконечности с обеих сторон, таким образом, функция имеет глобальный максимум

Теорема Виета для уравнения четвёртой степени[править]

Корни уравнения четвёртой степени связаны с коэффициентами следующим образом:

Уравнения четвёртой степени впервые были рассмотрены древнеиндийскими математиками между IV в. до н. э. и II в. н. э.

Лодовико Феррари приписывается получение решения уравнения четвёртой степени в 1540-м, но его работа опиралась на решение кубического уравнения, которого у него не было, поэтому сразу это решение не было опубликовано,^[1] а было опубликовано только в 1545 вместе с решением кубического уравнения наставника Феррари — Джероламо Кардано в книге «Великое искусство»^[2].

То, что это наибольшая степень уравнения, для которого можно указать общую формулу решения, было доказано в теореме Абеля — Руффини в 1824. Записки, оставленные Галуа, позже привели к элегантной теории корней многочленов, одним из результатов которой была эта теорема.^[3]

Через резольвенту[править]

Решение уравнения четвёртой степени

сводится к решению кубической резольвенты

Корни резольвенты связаны с корнями исходного уравнения (которые и нужно найти) следующими соотношениями:

Корни резольвенты могут быть решены по формуле Кардано. Три формулы соотношений между и вместе с исходным уравнением дают систему из 4-х алгебраических уравнений с 4-мя неизвестными, которая легко решается.

Решение Декарта — Эйлера[править]

В уравнении четвёртой степени

сделаем подстановку , получим уравнение в следующем виде (оно называется «неполным»):

где

Корни такого уравнения равны одному из следующих выражений:

в которых сочетания знаков выбираются таким образом, чтобы выполнялось следующее соотношение:

причём  — это корни кубического уравнения

Решение Феррари[править]

Решение уравнения четвёртой степени вида может быть найдено по методу Феррари. Если  — произвольный корень кубического уравнения

(2)

(резольвенты основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений

где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом.

Биквадратное уравнение[править]

Биквадратное уравнение^[4] — уравнение четвёртой степени вида , где  — заданные комплексные числа и . Подстановкой оно сводится к квадратному уравнению относительно .

Четыре его корня находятся по формуле

Возвратные уравнения четвёртой степени[править]

Возвратное уравнение четвёртой степени является также относительно легко решаемым: для такого, что , решение находится приведением к виду:

,

После замены ищется решение квадратного уравнения , а затем — квадратного уравнения .

1. ↑ Ferrari biography
2. ↑ «Великое искусство» (Ars magna, 1545)
3. ↑ Ян Стюарт, Теория Галуа, издание третье (Chapman & Hall/CRC Mathematics, 2004) (англ.)
4. ↑ В литературе до середины XX века биквадратным также могли называть уравнение четвёртой степени общего вида

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — Наука, 2003. — 832 с. — 5000 экз. — ISBN 5-8114-0485-9.

www.wiki-wiki.ru