Векторы решение задач – Примеры решения задач с векторами

Примеры решения задач с векторами

Примеры решения задач с векторами

Вектора применяются во многих науках, таких как: математика, физика, геометрия и многих других прикладных науках. На практике, они позволяют не делать лишних операций и сократить время выполнения задач. Поэтому, будущим специалистам очень важно понять теорию векторов и научиться решать задачи с ними.

Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по векторам, прочитать все определения и свойства. Список тем находится в правом меню.

Координаты вектора

Теоретический материал по теме — координаты вектора.

Пример

Запись означает, что векторимеет следующие координаты: абсцисса равна 5, ордината равна -2.

Пример

Задание. Заданы векторы и. Найти координаты вектора

Решение.

Пример

Задание. Вектор . Найти координаты вектора

Решение.

Пример

Задание. Найти координаты вектора , если

Решение.

Длина (модуль) вектора

Теоретический материал по теме — длина вектора.

Пример

Задание. Найти длину вектора

Решение. Используя формулу, получаем:

Пример

Задание. Найти длину вектора

Решение. Используя формулу, получаем:

Угол между векторами

Теоретический материал по теме — угол между векторами.

Пример

Задание. Известно, что скалярное произведение двух векторов , а их длины. Найти угол между векторамии.

Решение.

Косинус искомого угла:

Пример

Задание. Найти угол между векторами и

Решение. Косинус искомого угла

Пример

Задание. Найти угол между векторами и

Решение. Косинус искомого угла:

Разложение вектора по ортам координатных осей

Теоретический материал по теме — разложение вектора по ортам.

Пример

Задание. Зная разложения вектора по базисной системе векторов:, записать координаты этого вектора в пространстве.

Решение. Коэффициенты при ортах и есть координатами вектора, поэтому из того, что , получаем, что

Пример

Задание.

Вектор задан своими координатами:. Записать разложение данного вектора по ортам осей координат.

Решение. Координаты вектора — это коэффициенты при ортах координатных осей в разложении вектора по базисной системе векторов, поэтому искомое разложение:

Скалярное произведение векторов

Теоретический материал по теме — скалярное произведение векторов.

Пример

Задание. Вычислить скалярное произведение векторов и, если их длины соответственно равны 2 и 3, а угол между ними 60°.

Решение. Так как из условия ,, а, то

Пример

Задание. Найти скалярное произведение векторов и

Решение. Скалярное произведение

Векторное произведение векторов

Теоретический материал по теме — векторное произведение векторов.

Пример

Задание. Найти векторное произведение векторов и

Решение. Составляем определитель и вычисляем его:

Смешанное произведение векторов

Теоретический материал по теме — смешанное произведение векторов.

Пример

Задание. Вычислить объем пирамиды, построенной на векторах ,,

Решение. Найдем смешанное произведение заданных векторов, для это составим определитель, по строкам которого запишем координаты векторов ,и:

studfiles.net

Примеры решения задач с векторами — энциклопедический справочник и словарь для студента от А до Я

Векторы используются во многих науках, таких как: математика, физика, геометрия и многие другие прикладные науки. На практике они позволяют не выполнять ненужных операций и сокращают время на выполнение задач. Поэтому для будущих специалистов очень важно понять теорию векторов и научиться решать с ними проблемы.

Прежде чем изучать примеры решения проблем, советуем вам изучить теоретический материал по векторам, прочитать все определения и свойства. Список тем находится в правом меню.

Векторные координаты

пример

Запись \(\ \overline{a}=(5 ;-2) \) означает, что вектор \(\ \overline{a} \) имеет следующие координаты: абсцисса равна 5, ордината равна -2.

пример

  • Задание.

    Векторы и дан \(\ \overline{a}=(-3 ; 5) \) и \(\ \overline{b}=(0 ;-1) \) . Найти векторные координаты \(\ \overline{c}=\overline{a}+\overline{b} \)

  • Решение.

    \(\ \overline{c}=\overline{a}+\overline{b}=(-3 ; 5)+(0 ;-1)=(-3+0 ; 5+(-1))=(-3 ; 4) \)

    Пример

  • Задание.

    Вектор \(\ \overline{a}=(3 ;-2) \) Найти векторные координаты \(\ 2 \overline{a} \)

  • Решение.

    \(\ 2 \overline{a}=2 \cdot(3 ;-2)=(2 \cdot 3 ; 2 \cdot(-2))=(6 ;-4) \)

    Пример

  • Задание.

    Найти координаты вектора \(\ \overline{A B} \), если \(\ A(-4 ; 2), B(1 ;-3) \)

  • Решение.

    \(\ \overline{A B}=(1-(-4) ;-3-2)=(5 ;-5) \)

    Длина (модуль) вектора

    пример

  • Задание.

    Найти длину вектора \(\ \overline{a}=(-4 ; 3) \)

  • Решение.

    Используя формулу, получаем:

    \(\ |\overline{a}|=\sqrt{(-4)^{2}+3^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5 \)

    Пример

  • Задание.

    Найти длину вектора\(\ \overline{a}=(1 ; 0 ;-4) \)

  • Решение.

    Используя формулу, получаем:

    \(\ |\overline{a}|=\sqrt{1^{2}+0^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{1+0+16}=\sqrt{17} \)

    Угол между векторами

    пример

  • Задание.

    Известно, что скалярное произведение двух векторов \(\ (\overline{a} ; \overline{b})=2 \) и их длины \(\ |\overline{a}|=2,|\overline{b}|=2 \). Найти угол между векторами \(\ \overline{a} \) и \(\ \overline{b} \).

  • Решение.

    Косинус необходимого угла:

    \(\ \cos (\overline{a}, \overline{b})=\frac{(\overline{a} ; \overline{b})}{|\overline{a}| \cdot|\overline{b}|}=\frac{2}{2 \cdot 2}=\frac{1}{2} \Rightarrow(\overline{a}, \overline{b})=60^{\circ} \)

    Пример

  • Задание.

    Найти угол между векторами \(\ \overline{a}=(1 ; \sqrt{3}) \) и \(\ \overline{b}=(1 ; 0) \)

  • Решение.

    Косинус желаемого угла

    \(\ \cos (\overline{a}, \tilde{b})=\frac{1 \cdot 1+\sqrt{3} \cdot 0}{\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}} \cdot \sqrt{1^{2}+0^{2}}}=\frac{1}{2} \)

    \(\ (\overline{a}, \overline{b})=\arccos \frac{1}{2}=60^{\circ} \)

    Разложение вектора по ортам координатных осей

    пример

  • Задание.

    Зная разложение вектора \(\ \overline{a} \) на базисной системе векторов: \(\ \overline{a}=3 \overline{i}-\overline{k} \)запишите координаты этого вектора в пространстве.

  • Решение.

    Коэффициенты ортов являются координатами вектора, поэтому из того, что \(\ \overline{a}=3 \overline{i}-0 \cdot \overline{j}-\overline{k} \) мы получаем \(\ \overline{a}=(3 ; 0 ;-1) \)

    Пример

  • Задание.

    Вектор \(\ \overline{a} \) определяется его координатами: \(\ \overline{a}=(2 ;-1 ; 5) \) запишите разложение этого вектора по осям осей.

  • Решение.

    Координаты вектора представляют собой коэффициенты по осям координатных осей при разложении вектора в основную систему векторов, поэтому требуется разложение:

    \(\ \overline{a}=2 \overline{i}-\overline{j}+5 \overline{k} \)

    Скалярное произведение векторов

    Пример

  • Задание.

    Рассчитайте скалярное произведение векторов \(\ \overline{a} \) и \(\ \overline{b} \) , если их длины равны 2 и 3 соответственно, а угол между ними равен 60 °.

  • Решение.

    С условием \(\ |\overline{a}|=2,|\overline{b}|=3 \), а \(\ (\widehat{a}, \overline{b})=60^{\circ} \) затем \(\ \overline{a} \cdot \overline{b}=(\overline{a}, \overline{b})=2 \cdot 3 \cdot \cos 60^{\circ}=6 \cdot \frac{1}{2}=3 \)

    Пример

  • Задание.

    Найти скалярное произведение векторов \(\ \overline{a}=(3 ;-1) \) и \(\ \overline{b}=(-2 ; 7) \)

  • Решение.

    Скалярное произведение

    \(\ \overline{a} \overline{b}=3 \cdot(-2)+(-1) \cdot 7=-6-7=-13 \) Векторное произведение векторов пример

  • Задание.

    Найти векторное произведение векторов \(\ \overline{a}=(6 ; 7 ; 10) \) и \(\ \overline{b}=(8 ; 5 ; 9) \)

  • Решение.

    Составляем определитель и вычисляем его:

    \(\ \overline{a} \times \overline{b}=\left| \begin{array}{ccc}{\overline{i}} & {\overline{j}} & {\overline{k}} \\ {6} & {7} & {10} \\ {8} & {5} & {9}\end{array}\right|=\overline{i} \left| \begin{array}{cc}{7} & {10} \\ {5} & {9}\end{array}\right|-\overline{j} \left| \begin{array}{cc}{6} & {10} \\ {8} & {9}\end{array}\right|+\overline{k} \left| \begin{array}{cc}{6} & {7} \\ {8} & {5}\end{array}\right|= \)

    \(\ =\overline{i}(7 \cdot 9-5 \cdot 10)-\overline{j}(6 \cdot 9-8 \cdot 10)+\overline{k}(6 \cdot 5-8 \cdot 7)= \)

    \(\ =13 \overline{i}+26 \overline{j}-26 \overline{k}=(13 ; 26 ;-26) \)

    Смешанное произведение векторов

    Пример

  • Задание.

    Рассчитать объем пирамиды, построенной на векторах \(\ \overline{a}=(2 ; 3 ; 5), \overline{b}=(1 ; 4 ; 4), c=(3 ; 5 ; 7) \)

  • Решение.

    Мы находим смешанное произведение указанных векторов, для этого составляем определитель, в строки которого записываем координаты векторов \(\ \overline{a}, \overline{b} \) и \(\ \overline{c} \):

    \(\ (\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})=\left| \begin{array}{ccc}{2} & {3} & {5} \\ {1} & {4} & {4} \\ {3} & {5} & {7}\end{array}\right|=2 \cdot 4 \cdot 7+1 \cdot 5 \cdot 5+3 \cdot 4 \cdot 3- \)

    \(\ -3 \cdot 4 \cdot 5-5 \cdot 4 \cdot 2-1 \cdot 3 \cdot 7=-4 \)

    \(\ V_{\mathrm{пир}}=\frac{1}{6}|(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})|=\frac{1}{6} \cdot 4=\frac{2}{3}(\mathrm{куб} . \mathrm{ед.}) \)

  • sciterm.ru

    В5. Вектора. Подготовка к егэ по математике

    В этой статье работаем с Задачами №3 ЕГЭ по математике, которые связаны с векторами.

    Смотрите в других статьях разбор Задач №3, в которых фигурирует:

    – треугольник;
    – прямоугольник;
    – ромб;
    – параллелограмм;
    – произвольный четырехугольник;
    – трапеция;
    – многоугольник;
    – круг;
    – координатная плоскость;

    Видеоразбор задач

    Задача 1. Найдите длину вектора .

    Решение: + показать

    Задача 2. Найдите квадрат длины вектора .

    Решение: + показать

    Длина вектора – есть длина отрезка, его изображающего.

    Квадрат длины отрезка несложно найти по т. Пифагора:

    Ответ: 40. 

    Задача 3. Стороны правильного треугольника ABC равны . Найдите длину вектора .

    Решение: + показать

    Задача 4. Стороны правильного треугольника  равны 35. Найдите скалярное произведение векторов   и .

    Решение: + показать

    Скалярное произведение векторов есть произведение длин векторов на косинус угла между ними.

    В нашем случае длины векторов равны 35, а угол между ними (так как треугольник правильный)

    Ответ: 612,5. 

    Задача 5. Вектор   с началом в точке   имеет координаты . Найдите абсциссу точки .

    Решение: + показать

    Координаты вектора равны разности координат конца вектора и его начала. Пусть координаты точки . Тогда  и

    Нас интересует только абсцисса точки. Она равна

    Ответ: 12. 

    Задача 6. Найдите сумму координат вектора .

    Решение: + показать

    Задача 7. Найдите квадрат длины вектора .

    Решение: + показать

    Задача 8. Найдите скалярное произведение векторов  и .

    Решение: + показать

    Задача 9. Найдите угол между векторами  и . Ответ дайте в градусах.

    Решение: + показать

     

    Переменка –>+ показать

    А вам доводилось встречать такого водителя маршрутного такси?

     

    Вы можете пройти тест по Задачам №3, вектора.

    egemaximum.ru

    1. Основные понятия векторной алгебры; примеры решения задач.

    Основные понятия включают в себя: понятие вектора, разложение вектора по другим векторам, модуль вектора, скалярное произведение, векторное произведение и смешанное произведение, а также их приложения для решения задач.

    Пример 1. Задание. Разложить вектор по векторам

    Прежде чем привести решение задачи напомним понятие линейной зависимости системы векторов.

    Рассмотрим систему векторов и составим равенство вида:

    –постоянные величины. Если это равенство выполняется только при одновременном равенстве нулю всех ,

    , тогда система векторов называется линейно независимой , в противном случае – система векторов линейно зависима, то есть один вектор можно представить в виде линейной комбинации других векторов.

    . Разделим левую и правую части равенства на , получим:

    то есть вектор представлен в виде линейной комбинации.

    Решение.

    Разложить вектор по векторамэто значит представить его в виде линейной комбинации– искомые числа.

    Представим линейную комбинацию в координатной форме

    И получим систему линейных уравнений

    Решение системы имеет вид:

    Следовательно:

    Пример 2.

    Напомним понятие длины вектора (модуля вектора)

    Если , то

    –называется длиной вектора.

    Рассмотрим свойство скалярного произведения: , то есть.

    Задание.

    Найти длину вектора , если

    Решение. Имеем

    Пример 3.

    Напомним определение коллинеарности двух векторов отличных от нуля: два вектораназываются коллинеарными, если, где– некоторый постоянный множитель.

    Задание.

    Найти вектор , коллинеарный векторуи удовлетворяющий условию: скалярное произведение векторов.

    Решение.

    Запишем условие коллинеарности двух векторов и полученный векторподставим в условие

    Следовательно .

    Пример 4.

    Напомним определение скалярного произведения векторов:

    .

    Задание.

    Вычислить проекцию вектора

    на направление вектора, если

    Решение.

    Обозначим , тогда

    , отсюда

    Ответ:

    Пример 5.

    Пусть . Напомним, что векторное произведение двух векторовиравно:

    Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

    Задание.

    Найти площадь треугольника

    Решение.

    Построим параллелограмм на векторах(рис. 1):

    рис. 1

    Пример 6.

    Задание.

    Найти вектор , перпендикулярный векторами образующий с осьютупой угол, если.

    Решение.

    Если , тогда векторперпендикулярен векторам.

    Найдем вектор :

    Так как

    тоже перпендикулярен, следовательно вектораи— коллинеарны. Запишем условие коллинеарности векторов:,

    По условию , то есть

    Так как вектор образует с осьютупой угол, то его проекция на осьдолжна быть отрицательной.

    Отсюда

    Пример 7.

    Рассмотрим вектор . Вектор

    образует с осями координат углы, аназываются направляющими косинусами, при этом

    Задание.

    Найти направляющие косинусы вектора силы , приложенной в точке, и момент этой силы относительно точки.

    Решение.

    Найдем направляющие косинусы вектора силы:

    Момент силы определим как векторное произведение вектора на вектор. Имеем

    Пример 8.

    Напомним формулу смешанного произведения трех векторов

    Известно, что модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

    Задача.

    Найти длину высоты пирамиды, опущенной из вершины (рис. 2), если ее вершины

    Решение.

    рис. 2

    Найдем векторы:

    Объем пирамиды, построенной на векторах , равен одной шестой модуля смешанного произведения этих векторов.

    , где – высота пирамиды, а площадь прямоугольника, построенного на векторах

    равна одной второй векторного произведения.

    Вычислим смешанное произведение векторов

    Отсюда пирамиды

    Вычислим векторное произведение векторов:

    Найдем высоту пирамиды:

    studfiles.net

    Решение задач с применением векторов. Видеоурок. Геометрия 10 Класс

    На данном уроке мы решим достаточно сложную задачу двумя способами – геометрически и при помощи векторов. Мы покажем возможности того и другого способов, а также вспомним важные геометрические факты и свойства векторов.

    Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Векторы и координаты»

    Тема: Векторы в пространстве

    Урок: Решение задач с применением векторов (продолжение)

    В тетраэдре ABCD M и N – точки пересечения медиан граней ADB и BDC. Доказать, что . Найти отношение

    Решение:

    Рис. 1. Иллюстрация к задаче 1

    Решим задачу векторным методом. Для начала вводим тройку некомпланарных векторов, пусть . Мы знаем, что теперь любые векторы в пространстве можно выразить через три выбранных вектора, при чем единственным образом. Выразим вектор

    Мы применили свойство точки пересечения медиан треугольника – она делит каждую медиану в отношении два к одному, считая от вершины.

    Выразим векторы  и .

    Аналогичным образом

    Имеем:

    Теперь выразим вектор :

    Очевидна связь между векторами:  или

    Очевиден ответ на поставленный вопрос: прямые MN и АС параллельны, т. к. векторы  и  коллинеарны; отношение  составляет .

    Теперь решим эту же задачу геометрическим способом, опираясь на свойства точки пересечения медиан треугольника.

    Рассмотрим треугольники  и . Эти треугольники подобны. В них:

    Мы применили свойство точки пересечения медиан треугольника – она делит каждую медиану в отношении два к одному, считая от вершины.

    Кроме того, треугольники имеют общий угол .

    Из подобия треугольников вытекает параллельность соответствующих сторон:

    Кроме того:

    Рассмотрим треугольник , в нем  – средняя линия, т. к. точки  и  основания медиан граней ADB и BDC. Согласно свойству средней линии:

    Имеем:

    Ответ получен такой же, как и при решении векторным методом.

    Итак, была рассмотрена и решена задача о тетраэдре. Решена двумя методами – с помощью векторов, что позволило повторить известную нам теорию о векторах, и геометрически – основываясь на свойствах основных элементов треугольника.

     

    Список литературы

    1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
    2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
    3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

     

    Домашнее задание

    1. докажите, что треугольник, вершинами которого являются точки пересечения медиан боковых граней тетраэдра, подобен основанию тетраэдра.
    2. высоты АМ и DN правильного тетраэдра ABCD пересекаются в точке К. Разложите векторы  по векторам
    3. в тетраэдре ABCD медианы грани BCD пересекаются в точке О. Докажите, что длина отрезка АО меньше одной трети суммы длин ребер с общей вершиной А.

     

    Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

    1. Интернет-портал Cleverstudents.ru (Источник).
    2. Интернет-портал Ppt4web.ru (Источник).
    3. Математическая интернет-энциклопедия (Источник).

    interneturok.ru

    8 класс. Геометрия. Векторы. Применение векторов к решению задач. — Векторы. Повторение теории. Решение задач с применением векторов.

    Комментарии преподавателя

     По­вто­ре­ние тео­рии. За­да­чи

    На­пом­ним, что су­ще­ству­ют такие фи­зи­че­ские ве­ли­чи­ны, для ко­то­рых важна не толь­ко ве­ли­чи­на, но и на­прав­ле­ние. Такие ве­ли­чи­ны на­зы­ва­ют­ся век­тор­ны­ми, или век­то­ра­ми, и обо­зна­ча­ют­ся они на­прав­лен­ным от­рез­ком, то есть таким от­рез­ком, у ко­то­ро­го от­ме­че­ны на­ча­ло и конец. Вве­де­но было по­ня­тие кол­ли­не­ар­ных век­то­ров, то есть таких, ко­то­рые лежат либо на одной пря­мой, либо на па­рал­лель­ных пря­мых.

    Мы рас­смат­ри­ва­ем век­тор, ко­то­рый можно от­ло­жить от любой точки, за­дан­ный век­тор от про­из­воль­но вы­бран­ной точки можно от­ло­жить един­ствен­ным об­ра­зом.

    Было вве­де­но по­ня­тие рав­ных век­то­ров – это такие со­на­прав­лен­ные век­то­ры, длины ко­то­рых равны. Со­на­прав­лен­ны­ми на­зы­ва­ют­ся кол­ли­не­ар­ные век­то­ры, на­прав­лен­ные в одну сто­ро­ну.

    Были вве­де­ны пра­ви­ла тре­уголь­ни­ка и па­рал­ле­ло­грам­ма – пра­ви­ла сло­же­ния век­то­ров.

    За­да­ны два век­то­ра – век­то­ры  и . Най­дем сумму этих двух век­то­ров . Для этого от­ло­жим из неко­то­рой точки А век­тор .  – на­прав­лен­ный от­ре­зок, точка А – его на­ча­ло, а точка В – конец. Из точки В от­ло­жим век­тор . Тогда век­тор  на­зы­ва­ют сум­мой за­дан­ных век­то­ров:  – пра­ви­ло тре­уголь­ни­ка (см. Рис. 1).

    Рис. 1

    За­да­но два век­то­ра – век­то­ры  и . Най­дем сумму этих двух век­то­ров  по пра­ви­лу па­рал­ле­ло­грам­ма.

    От­кла­ды­ва­ем из точки А век­тор  и век­тор  (см. Рис. 2). На от­ло­жен­ных век­то­рах можно по­стро­ить па­рал­ле­ло­грамм. Из точки В от­кла­ды­ва­ем век­тор , век­то­ры  и  равны, сто­ро­ны ВС и

    Рис. 2

    АВ1 па­рал­лель­ны. Ана­ло­гич­но па­рал­лель­ны и сто­ро­ны АВ и В1С, таким об­ра­зом, мы по­лу­чи­ли па­рал­ле­ло­грамм. АС – диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма. 

    Для сло­же­ния несколь­ких век­то­ров при­ме­ня­ют пра­ви­ло мно­го­уголь­ни­ка (см. Рис. 3). Нужно из про­из­воль­ной точки от­ло­жить пер­вый век­тор, из его конца от­ло­жить вто­рой век­тор, из конца вто­ро­го век­то­ра от­ло­жить тре­тий и так далее, когда все век­то­ры от­ло­же­ны – со­еди­нить на­чаль­ную точку с кон­цом по­след­не­го век­то­ра, в итоге по­лу­чит­ся сумма несколь­ких век­то­ров.

    Рис. 3

    Кроме того, мы рас­смот­ре­ли по­ня­тие об­рат­но­го век­то­ра – век­то­ра, име­ю­ще­го такую же длину, как за­дан­ный, но ему про­ти­во­на­прав­лен­но­го.

    При­мер 1 – за­да­ча 747: вы­пи­ши­те пары кол­ли­не­ар­ных со­на­прав­лен­ных век­то­ров, ко­то­рые опре­де­ля­ют­ся сто­ро­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма; ука­жи­те про­ти­во­по­лож­но на­прав­лен­ные век­то­ры;

    Задан па­рал­ле­ло­грамм MNPQ (см. Рис. 4). Вы­пи­шем пары кол­ли­не­ар­ных век­то­ров. В первую оче­редь это век­то­ры  и . Они не толь­ко кол­ли­не­ар­ные, но и рав­ные, т.к. они со­на­прав­ле­ны, и длины их равны по свой­ству па­рал­ле­ло­грам­ма (в па­рал­ле­ло­грам­ме про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны равны). Сле­ду­ю­щая пара . Ана­ло­гич­но

    Рис. 4

    вы­пи­шем кол­ли­не­ар­ные век­то­ры вто­рой пары сто­рон: 

    www.kursoteka.ru

    8 класс. Геометрия. Векторы. Применение векторов к решению задач. — Векторы. Повторение теории. Решение задач с применением векторов.

    Комментарии преподавателя

     По­вто­ре­ние тео­рии. За­да­чи

    На­пом­ним, что су­ще­ству­ют такие фи­зи­че­ские ве­ли­чи­ны, для ко­то­рых важна не толь­ко ве­ли­чи­на, но и на­прав­ле­ние. Такие ве­ли­чи­ны на­зы­ва­ют­ся век­тор­ны­ми, или век­то­ра­ми, и обо­зна­ча­ют­ся они на­прав­лен­ным от­рез­ком, то есть таким от­рез­ком, у ко­то­ро­го от­ме­че­ны на­ча­ло и конец. Вве­де­но было по­ня­тие кол­ли­не­ар­ных век­то­ров, то есть таких, ко­то­рые лежат либо на одной пря­мой, либо на па­рал­лель­ных пря­мых.

    Мы рас­смат­ри­ва­ем век­тор, ко­то­рый можно от­ло­жить от любой точки, за­дан­ный век­тор от про­из­воль­но вы­бран­ной точки можно от­ло­жить един­ствен­ным об­ра­зом.

    Было вве­де­но по­ня­тие рав­ных век­то­ров – это такие со­на­прав­лен­ные век­то­ры, длины ко­то­рых равны. Со­на­прав­лен­ны­ми на­зы­ва­ют­ся кол­ли­не­ар­ные век­то­ры, на­прав­лен­ные в одну сто­ро­ну.

    Были вве­де­ны пра­ви­ла тре­уголь­ни­ка и па­рал­ле­ло­грам­ма – пра­ви­ла сло­же­ния век­то­ров.

    За­да­ны два век­то­ра – век­то­ры  и . Най­дем сумму этих двух век­то­ров . Для этого от­ло­жим из неко­то­рой точки А век­тор .  – на­прав­лен­ный от­ре­зок, точка А – его на­ча­ло, а точка В – конец. Из точки В от­ло­жим век­тор . Тогда век­тор  на­зы­ва­ют сум­мой за­дан­ных век­то­ров:  – пра­ви­ло тре­уголь­ни­ка (см. Рис. 1).

    Рис. 1

    За­да­но два век­то­ра – век­то­ры  и . Най­дем сумму этих двух век­то­ров  по пра­ви­лу па­рал­ле­ло­грам­ма.

    От­кла­ды­ва­ем из точки А век­тор  и век­тор  (см. Рис. 2). На от­ло­жен­ных век­то­рах можно по­стро­ить па­рал­ле­ло­грамм. Из точки В от­кла­ды­ва­ем век­тор , век­то­ры  и  равны, сто­ро­ны ВС и

    Рис. 2

    АВ1 па­рал­лель­ны. Ана­ло­гич­но па­рал­лель­ны и сто­ро­ны АВ и В1С, таким об­ра­зом, мы по­лу­чи­ли па­рал­ле­ло­грамм. АС – диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма. 

    Для сло­же­ния несколь­ких век­то­ров при­ме­ня­ют пра­ви­ло мно­го­уголь­ни­ка (см. Рис. 3). Нужно из про­из­воль­ной точки от­ло­жить пер­вый век­тор, из его конца от­ло­жить вто­рой век­тор, из конца вто­ро­го век­то­ра от­ло­жить тре­тий и так далее, когда все век­то­ры от­ло­же­ны – со­еди­нить на­чаль­ную точку с кон­цом по­след­не­го век­то­ра, в итоге по­лу­чит­ся сумма несколь­ких век­то­ров.

    Рис. 3

    Кроме того, мы рас­смот­ре­ли по­ня­тие об­рат­но­го век­то­ра – век­то­ра, име­ю­ще­го такую же длину, как за­дан­ный, но ему про­ти­во­на­прав­лен­но­го.

    При­мер 1 – за­да­ча 747: вы­пи­ши­те пары кол­ли­не­ар­ных со­на­прав­лен­ных век­то­ров, ко­то­рые опре­де­ля­ют­ся сто­ро­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма; ука­жи­те про­ти­во­по­лож­но на­прав­лен­ные век­то­ры;

    Задан па­рал­ле­ло­грамм MNPQ (см. Рис. 4). Вы­пи­шем пары кол­ли­не­ар­ных век­то­ров. В первую оче­редь это век­то­ры  и . Они не толь­ко кол­ли­не­ар­ные, но и рав­ные, т.к. они со­на­прав­ле­ны, и длины их равны по свой­ству па­рал­ле­ло­грам­ма (в па­рал­ле­ло­грам­ме про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны равны). Сле­ду­ю­щая пара . Ана­ло­гич­но

    Рис. 4

    вы­пи­шем кол­ли­не­ар­ные век­то­ры вто­рой пары сто­рон: ; .

    Про­ти­во­по­лож­но на­прав­лен­ные век­то­ры: , , , .

    При­мер 2 – за­да­ча 756: на­чер­ти­те по­пар­но некол­ли­не­ар­ные век­то­ры ,  и . По­строй­те век­то­ры ;; ;.

    Для вы­пол­не­ния дан­но­го за­

    www.kursoteka.ru

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *