Види матриць. Операції додаванння,віднімання, транспонування, множення
Матрицями називають математичні об’єкти, які мають вигляд таблиць з числовими елементами. Ці елементи обрамляють круглими дужками, а самі матриці позначають великими латинськими літерами.
В складних числових розрахунках можна зустріти трьох вимірні матриці (у вигляді кубиків) та багатовимірні. Однак Ви їх при здобутті вищої освіти зустрічати точно не будете, тому далі мова піде тільки про знайомі для більшості матриці. Горизонталі елементи матриці називають елементами рядків, вертикальні – відповідно елементами стовпців. В позначеннях розмірності матриці першим йде індекс який вказує кількість рядків, другий кількість стовпців. Наприклад, запис вказує на те, що матриця має 4 рядки і 5 стовпців.
ВИДИ МАТРИЦЬ
В залежності від розмірності та вмісту матриці поділяють на
1) Квадратні та прямокутні матриці . Наприклад,
– прямокутна матриця;
– квадратна матриця.
2) Одинична матриця – по головній діагоналі одиниці, решта всі елементи рівні нулеві. Позначають великою латинською літерою E.
Для прикладу, матриця
є одиничною матрицею третього порядку.
3) Діагональна – елементи поза головною діагоналлю нульові, на головній – будь-які. Наприкалад, матриця
4) Симетрична матриця – елементи такої матриці симетричні відносно головної діагоналі .
5) Верхня трикутна (нижня трикутна ) матриця – елементи під діагоналлю (над діагоналлю) в таких матрицях нульові. Наприклад,
Верхня трикутна –
Нижня трикутна
У випадку, коли елементи головної діагональні в трикутній матриці одиничні її називають унітрикутною
ОПЕРАЦІЇ НАД МАТРИЦЯМИ
Основними операціями над матрицями є додавання, віднімання, множення, транспонування. Щоб легше Вам було зрозуміти правила ми наведемо короткі приклади.
Сумою (різницею) двох матриць називають матрицю, елементи якої утворюються попарним додаванням (відніманням) елементів матриць. Для прикладу, додавання двох матриць
та їх різниця
Слід зазначити, що додавати та віднімати можна лише матриці однакових розмірів, тобто кількість рядків першої матриці має дорівнювати кількості рядків другої, те саме стосується і стовпців. Однак кількість рядків і стовпців матриць може не співпадати, тобто сумувати та шукати різниці можна як для квадратних матриць так і для прямокутних.
Транспонуванням матриці називають впорядковану заміну рядків матриці стовпцями і позначають .
На практиці транспонування матриці виглядає наступним чином
Вибирайте, що Вам візуально зрозуміліше – обидва варіанти дають правильний результат.
Властивості операцій транспонування матриць запишемо в матричному вигляді
1)
2)
3)
Результатом множення матриці на число буде матриця , елементи якої збільшені в разів порівняно з , тобто .
Множення (добуток) двох матриць знаходять за правилом, яке можна застосувати лише до матриць в яких кількості стовпців першої та рядків другої матриці співпадають . В результаті отримують матрицю , розмірності кількості рядків першої на стовпців другої з елементами , які рівні сумі попарних добутків елементів -го рядка першої матриці, на елемент -го стовпця другої матриці.
На перший погляд складне і запутане правило досить легко пояснити на практиці. Нехай маємо дві матриці
Елементи рядків першої і стовпців другої позначимо в різні кольори для того, щоб Вам наочніше продемонструвати правило множення матриць. Умова рівності кількості стовпців першої матриці = кількості рядків другої виконується ().
Виконуємо обчислення елементів добутку матриць
Записуючи матрицю в табличному вигляді
легко переконатися, що утворена матриця має розмірність – кількості рядків першої матриці на – кількість стовпців другої (про що і було сказано в правилі). За тими ж правилами знаходять добутки квадратних і прямокутних матриць великих розмірів, кількість обчислень при цьому зростає.
Додавання та множення матриць можна охарактеризувати властивостями:
1) – комутативність
2) – асоціативність
3)
Для будь якої ненульової матриці існує протилежна матриця
4) Константу можна виносити за правилом
5) Асоціативність множення
6)
Множення матриць не є комутативною операцією, тобто
Комутативність має місце лише у випадку коли матриці – квадратні і одна з них є оберненою до іншої, але про це мова піде в наступних статтях. Зараз постарайтеся розібратися з наведеним матеріалом, він стане Вам в нагоді при вивченні складніших операцій з матрицями.
Вас може зацікавити:
yukhym.com
Матриці і визначники
Дисципліна: Вища математикаТема: Матриці та визначники
Поняття матриці
При вивченні питань, пов’язаних з дією над векторами, а також при вивченні систем лінійних рівнянь доводиться мати справу з таблицями з чисел, які називаються матрицями.
Визначення. Матрицею називається прямокутна таблиця з чисел, що містить рядків і стовпців.
Числа і називаються порядками матриці. Якщо , То матриця називається квадратної. Для позначення матриці користуються або вертикальними подвійними рисками, або круглими дужками:
або .
Для короткого позначення матриці може бути використана і одна буква, наприклад, . Крім того, замість всієї таблиці може бути написано: , Де ; .
Числа називаються елементами матриці, — Номер рядка, — Номер стовпця.
Для квадратної матриці вводиться поняття головної та побічної діагоналі: головна діагональ йде з верхнього лівого кута в нижній правий; побічна — з верхнього правого в нижній лівий.
Ранг матриці. Еквівалентні матриці
Дана прямокутна матриця:
Виділимо в цій матриці k довільних рядків і k довільних стовпців (k Ј m, k Ј n).
Визначення. Визначник k-го порядку, складений з елементів матриці A, розташованих на перетині виділених рядків і стовпців, називається мінором k-го порядку матриці A. Матриця A має C km * C kn миноров k-го порядку.
Визначення. Розглянемо всілякі мінори матриці A, відмінні від нуля. Рангом матриці A називається найбільший порядок відмінних від нуля мінорів цієї матриці. Якщо всі елементи матриці дорівнюють нулю, то ранг цієї матриці приймають рівним нулю.
Визначення. Всякий відмінний від нуля мінор матриці, порядок якого дорівнює рангу цієї матриці, називається базисним мінором матриці.
Ранг матриці A будемо позначати через r (A). Якщо r (A) = r (B), то матриці A і B називаються еквівалентними.
Корисно мати на увазі, що ранг матриці не змінюється від елементарних перетворень. Під елементарними перетвореннями розуміються:
1) заміна рядків стовпцями, а стовпців відповідними строками;
2) перестановка рядків матриці;
3) викреслення рядка, всі елементи якої дорівнюють нулю;
4) множення будь-якого рядка на число, відмінне від нуля;
5) додаток до елементів одного рядка відповідних елементів іншого рядка.
Дії над матрицями
Визначення. Дві матриці називаються рівними, якщо вони мають однакові порядки і всі їх відповідні елементи збігаються.
Визначення. Сумою двох матриць ( ) І ( ) Однакових порядків називається матриця ( ) Того ж порядку, елементи якої дорівнюють .
На листі ця дія може бути записано так: . Операція складання володіє, очевидно, звичайними властивостями: переставних ; Сполучним .
Визначення. Твором матриці на число називається матриця , Елементи якої дорівнюють .
Множення матриці на число може бути записано: або .
Ця операція має такі властивості: сполучним щодо числового множника ; Розподільчим щодо суми матриць ; Розподільчим щодо суми чисел .
Після перших двох дій необхідно відзначити, що віднімання матриць проводиться аналогічно складанню, а розподіл матриці на число може бути визначене як множення на зворотне число.
Визначення. Твором матриці ( ), Що має порядок , На матрицю ( ), Що має порядок , Називається матриця ( ), Що має порядок , Елементи якої дорівнюють , Де .
Записується цю дію так . Зі сказаного вище випливає, що для знаходження елемента , У творі необхідно попарно перемножити всі відповідні елементи -Го рядка матриці на елементи -Го стовпця матриці , А потім все це скласти. З визначення також випливає, що для множення двох матриць необхідно, щоб число стовпців матриці було рівне числу рядків матриці . Звідси випливає, що одночасно твір і існує лише в тому випадку, коли число стовпців дорівнює числу рядків , А число стовпців дорівнює числу рядків . У цьому випадку і будуть квадратними матрицями, але різних порядків. Щоб обидва твори були однакового порядку, необхідно, щоб і були квадратними матрицями однакового порядку.
Твір матриць має властивості: сочетательное ; Розподільне . Переставних властивістю в загальному випадку твір матриць не володіє. Воно виконується лише в деяких випадках.
Серед квадратних матриць необхідно виділити важливий клас діагональних матриць.
Визначення. Діагональної називається квадратна матриця, всі елементи якої, розташовані поза головної діагоналі, дорівнюють 0:
.
У тому випадку, якщо , То для будь-квадратної матриці порядку справедливо . Дійсно, для отримуємо . Для — . Звідси, .
Серед діагональних матриць з рівними один одному елементами особливе місце займають дві матриці: одинична і нульова. У одиничної матриці , Позначається вона — , Біля нульової , Позначається вона — .
Як було показано , . Перемноживши ці матриці, можна переконатися, що ; . Таким чином, матриці і виконують ту ж роль, що й 1 і 0 серед чисел. Взагалі нульової називають будь-яку матрицю, елементи якої дорівнюють нулю.
Поняття визначника
Вище було показано, що матриця — це прямокутна таблиця, складена з чисел. Особливе місце серед матриць займають квадратні матриці. Розглянемо довільну квадратну матрицю порядку або просто :
| (3.1.1) |
Визначення. Чисельна характеристика квадратної матриці називається її визначником.
Розглянемо матрицю першого порядку .
Визначення. Чисельної характеристики матриці першого порядку, тобто визначником першого порядку, називається величина її елемента .
Позначається визначник одним із символів .
Розглянемо матрицю другого порядку .
Визначення. Визначником другого порядку, відповідним матриці другого порядку, називається число, рівне .
Позначається визначник одним із символів
| (3.1.2) |
Оскільки одна з форм позначення визначника і позначення матриці мають багато спільного (записується таблиця з чисел), то так само, як і в матриці, говорять про стовпцях, рядках і елементах визначника.
Після того як розглянуті визначники 1-го і 2-го порядків, можна перейти до поняття визначника будь-якого порядку. Але перед цим введемо поняття мінору.
Визначення. Мінором будь-якого елементу квадратної матриці порядку називається визначник порядку , Відповідний тієї матриці, яка виходить з первісної в результаті викреслювання -Го рядка і -Го стовпця, на перетині яких стоїть елемент .
Зазвичай мінор елемента позначається .
Визначення. Визначником порядку , Відповідним матриці порядку , Називається число, рівне .
Позначається визначник одним із символів
| (3.1.3) |
.
У наведеному правилі обчислення визначника фігурує лише перший рядок. Виникає питання, а чи не можна обчислити визначник, використовуючи елементи інших рядків?
Теорема. Який би не був номер рядка ( ), Для визначника -Го порядку справедлива формула , Звана розкладанням цього визначника по -Ої рядку.
Неважко помітити, що в цьому формулюванні ступінь за (-1) дорівнює сумі номерів рядка та стовпця, на перетині яких стоїть елемент .
Доведемо цю теорему для . У цьому випадку може бути одно тільки 2, так як входить в основне визначення величини визначника. Отже:
.
Отримане вираження збігається з тим, яке було надане у визначенні, отже, для визначника 2-го порядку теорема доведена.
Для довільного дана теорема доводиться методом математичної індукції.
Отже, показано, що визначник може бути розкладений по будь-якому рядку. Виникає питання, а чи не можна зробити те ж саме, використавши довільний стовпець.
Теорема. Який би не був номер стовпця ( ), Для визначника -Го порядку справедлива формула , Звана розкладанням цього визначника по -Му стовпцю.
Доведемо теорему для :
.
Цей вираз дорівнює величині визначника, введеної за визначенням.
Отже, на підставі теорем можна сказати, що для обчислення визначника -Го порядку необхідно його розкласти по довільному рядку або стовпцю.
На закінчення введемо ще одне визначення.
Визначення. Алгебраїчні доповнення даного елемента визначника -Го порядку називається число, рівне , Яке позначається .
Значить, алгебраїчне доповнення відрізняється від відповідного мінору тільки лише знаком. Тепер величину визначника можна обчислити за допомогою формул:
.
Література
1. Лобоцький Н.Л. Основи вищої математики. Мінськ, «Вища школа», 1973.
2. Мінорскій В.П. Збірник задач з вищої математики.
3. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Короткий курс вищої математики. М., «Наука», 1986.
4. Гмурман В.Є. Теорія ймовірностей і математична статистика. М., «Вища школа» вид. 5, 1977.
5. Гмурман В.Є. Керівництво вирішення задач з теорії ймовірностей і математичній статистиці. М., «Вища школа» вид. 2.
6. Баврін І.І. Вища математика — 1980 р .3
7. Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун Матричні обчислення. — М.: Світ, 1999.
8. Беллмана Р. Введення в теорію матриць. — М.: Світ, 1969.
9. Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць (2-е видання). — М.: Наука, 1966.
10. Ланкастер П. Теорія матриць. — М.: Наука, 1973.
11. Соколов М. П. Просторові матриці та їх застосування. — М.: ГІФМЛ, 1960.
ua-referat.com
Вища математика
Багато уваги і часу в навчанні студентів з точних і прикладних спеціальностей виділено курсу вищої математики. Вона потрібна економістам, прикладникам, механікам, статистам, фінансистам, логістам і т. д. Сама по собі математика розвиває вміння аналізувати і приймати оптимальні рішення, покращує інтуіцію, логіку, дисципліну.
На одних факультетах курс вищої математики більш розширений, на інших більш стислий і спрощений під потрібні задачі зі спеціальності. Та в кожному з випадків вона присутня і більшості студентів потрібна при здобутті вищої освіти.
В даній добірці статтей розділу Ви знайдете потрібну інформацію в наступних категоріях:
Важливіі задачі для заочників молодших курсів навчання про трикутник на площині та тетраедр в просторі Ви знайдете в розділі Вектори. Тут також є задачі на відшукання відстані до прямої, між прямими, умови паралельності та перпендикулярності, кут між прямими в просторі та на площині, лінії другого порядку.
Категорія Матриці й визначники лише назвою багато чого розказує. Тут Ви навчитеся транспонувати матриці, шукати їх ранг, обчислювати обернену матрицю. Все це допоможе розв’язувати Системи лінійних рівнянь. В категорії наведені приклади використання відомих методів на практиці, які зустрічаються в навчанні і дозволяють швидко знайти розв’язок.
При моделюванні та дослідженні процесів, які оточують нас не обійтися без Диференціювання і Інтегрування функцій. Наведені основні правила та методи, які дозволяють швидко відшукати потрібний інтеграл та похідну. Підібрані приклади на кожну статтю познайомлять Вас з усіма необхідними методами та способами розрахунку задач.
В категорії Ряди наведені основні правила за якими досліджують їх збіжність та показано на прикладах де і коли їх застосовувати. Приклади будуть цікавими та помічними студентам на практичних заняттях. І ще ряд категорій, без яких не обходиться вивчення курсу добре висвітлені в наведених статтях. Тож вибирайте, що цікавить Вас на даному етапі навчання та переходьте до вивчення теоретичного та практичного матеріалу.
Маю надію, що і Ви захочете взяти участь в роботі сайту. Наповнення категорій новими і корисними для Вас статтями не така і легка справа, та вимагає багато часу на розв’язання, перевірку, оформлення цікавих задач. Тому просьба до всіх студентів та випускників надсилати при можливості навчальні матеріали, контрольні, тести і т.д. В такий спосіб Ви допоможете не тільки сайту, а й майбутнім поколінням студентів.
yukhym.com
Обернена матриця. Приклади обчислення
Знаходження оберненої матриці є важливою складовою в розділі лінійної алгебри. З допомогою таких матриць, якщо вони існують, можна швидко знайти розв’язок системи лінійних рівнянь або обчислити матричне рівняння A*X=B.
Матриця A-1 називається оберненою до матриці A, якщо виконуються наступні рівностіЯкщо визначник матриці A відмінний від нуля, то матрицю називають неособливою або невиродженою. Для того, щоб матриця мала обернену необхідно і достатньо, щоб вона була невиродженою.
АЛГОРИТМ ЗНАХОДЖЕННЯ ОБЕРНЕНОЇ МАТРИЦІ
Нехай маємо квадратну матрицюі потрібно знайти обернену до неї. Для цього потрібно виконати наступні дії:
1. Знайти визначник матриці . Якщо він не рівний нулю то виконуємо наступні дії. В іншому випадку дана матриця вироджена і для неї не існує оберненої.
2. Знайти алгебраїчні доповнення елементів матриці A. Вони рівні мінорам, помноженим на (-1)i+j в степені суми рядка і стовпця, для якого шукаємо.
3. Скласти матрицю з алгебраїчних доповнень елементів матриці A та протранспонувати її. Ця матриця називається приєднаною або союзною і позначається «А з хвиькою» .
4. Поділити приєднану матрицю на детермінант . Отримана матриця буде оберненою та задовільнятиме властивостям, які викладені на початку статті.
Розглянемо приклади обчислення оберненої матриці.
Приклад 1. Знайти матрицю, обернену до матриці (Дубовик В.П., Юрик І.І. «Вища математика. Збірник задач»)
1) (1.127)
Розв’язок. Обчислюємо визначник матриці
Так як детермінант не рівний нулю (), то обернена матриця існує. Знаходимо матрицю, складену з алгебраїчних доповнень
Матриця доповнень набуде вигляду
Транспонуємо її і отримуємо приєднану
Поділимо матрицю на визначник і отримаємо обернену
Бачимо, що у випадку, коли визначник рівний одиниці приєднана і обернена матриці співпадають.
2) (1.130)
Розв’язок. Рахуємо визначник матриці 3 порядку
Знаходимо матрицю алгебраїчних доповнень . Для наглядності ми випасали як це робити через мінори (детермінанти) другого порядку
Кінцевий вигляд матриці доповнень наступний
Протранспонувавши її, знайдемо союзну матрицю
Далі знаходимо обернену матрицю
Посідовність дій досить проста, головне тут навчитися знаходити мінори, а вже через них алгебраїчні доповнення.
3) (1.133)
Розв’язок. Обчислимо детермінант матриці 4 порядку. Для цього розкладемо його за першим рядком (містить два нульові елементи). В результаті отримаємо два відмінні від нуля доданки
Знаходимо матрицю алгебраїчних доповнень . Розклад визначника проводимо по рядках і стовпцях, в яких найбільше нульових елементів (позначені чорним кольором).
Ми тільки що знайшли 16 мінорів-визначників третього порядку. Знак перед визначником перетворює мінор в алгебраїчне доповнення.
Записуємо результати обчислень в матрицю доповнень
Протранспонувавши її, знаходимо приєднану матрицю
Оскільки визначник головної матриці рівний одиниці, то обернена матриця співпадає з приєднаною. Даний приклад повністю розв’язано.
Якщо у Вас в результаті обчислень виходить неправильна відповідь, то математичний калькулятор YukhymCalc допоможе перевірити правильність зроблених обчислень (завдяки можливості виводу всіх проміжних операцій). Також Ви можете перевірити правильність інших дій з матрицями (множення, обчислення визначників). Фрагмент меню калькулятора зображено на рисунку нижче. Тож завантажуйте його та користуйтеся на здоров’я.
При обчисленнях оберненої матриці найтиповішими є помилки пов’язані з неправильними знаками при обчисленні визначника та матриці доповнень. Будьте уважними в таких випадках і не допускайте помилок !
Вас може зацікавити:
yukhym.com
Визначник матриці 3×3
Знайти визначник матриці 3*3 можна швидко за правилом трикутника
Визначники позначають наступними знаками det(A), |A|, delta
Далі наведені приклади обчислення визначників.
Приклад 1. Знайти визначник матриці
Розв’язання: Застосовуємо правило трикутника для знаходження визначника
Визначник рівний 11.
Наведена схема стане Вам в нагоді для обчислення визначника матриці 3*3. Все що Вам потрібно – підставити свої значення
Приклад 2. Обчислити визначник матриці
Розв’язання: З метою навчити Вас чогось нового, знайдемо визначник матриці за правилом Саррюса.Схема обчислень приведена вище, тому копіювати її не будемо, а лише розпишемо в деталях. Для цього дописуємо до стандартного визначника два перші стовпці і виконуємо наступні розрахунки .
Обчислення не сладні, і тут допустити помилку набагато складніше ніж в правилі трикутника. Там Ви можете помилитися з розміщенням трикутника, зі знаком, а в правилі Саррюса все набагато спрощено.
Приклад 3. Знайти визначник матриці 3*3
Розв’язання: Застосовуємо правило трикутника для знаходження визначника
Детермінант рівний -161.
Приклад 4. Обчислити визначник матриці
Розв’язання: Знаходимо визначник матриці 3*3 за правилом трикутників
В результаті отримаємо десятку.
Приклад 5. Знайти визначник матриці
Розв’язання: Матриця має декілька нульових елементів. Такі матриці ще називають розрідженими. Для зменшення кількості операцій обчислимо визначник через алгебраїчні доповнення до другого рядка або стовпця .
Простіше вже не може бути. Це набагато зручніше, ніж виписувати 6 добутків, чотири з ких дадуть нуль.
Приклад 6. Довести, що визначник матриці А рівний 3.
Розв’язання: Матриця містить два нульових елементи, тому можемо знайти визначник через алгебраїчні доповнення. Розкладемо визначник за елементами першого стовпця.
Визначник рівний 3, що і треба було доказати.
Приклад 7. Знайти визначник матриці
Розв’язання: Детермінант матриці обчислюємо через алгебраїчні доповнення першого рядка або третього стовпця. Виконуємо розрахунки
Визначник рівний 39.
Приклад 8. При яких значеннях параметра а визначник матриці рівний нулеві
Розв’язання: Завдання з параметром — це вже новий рівень обчислень, тому вивчайте схему.
За правилом трикутників знаходимо визначник
За умовою прирівнюємо визначник до нуля та знаходимо параметр
Є два параметри при яких визначник перетворюється в нуль a=-3;a=3.
Приклад 9. Знайти визначник матриці
Розв’язання: Обчислимо визначник матриці за правилом трикутників та через алгебраїчні доповнення. За першою схемою отримаємо
Тепер розкладемо за допомогою алгебраїчних доповнень, наприклад, за третім стовпцем. Він зручний тим, що містить найбільші елементи матриці. Знаходимо визначник
Порівнянням кількості розрахунків переконуємося, що в таких випадках доцільніше використовувати правило трикутників. Обчислення простіші і менша ймовірність зробити помилку.
Для розріджених матриць чи більшого порядку блочних вартує застосовувати розклад визначника за рядком чи стовпцем.
І наостанок бонус від нас – матричний калькулятор YukhymCalc.
З його допомогою Ви легко перевірите правильність виконання основних операцій з матрицями, а також зможете знайти визначник матриці та обернену матрицю. Для матриць 3*3 використовується правило трикутників, для 4*4 – розклад визначника через елементи першого рядка. Меню досить просте та інтуїтивно зрозуміле не ті.
Визначник 7 завдання через матричний калькулятор матиме наступний виглядьки студенту, а й школяру.
Перевага матричного калькулятора перед іншими, зокрема онлайн –калькуляторами, в тому, що Ви бачите всі проміжні операції. А це важливо для перевірки та контролю помилок.
Використовуйте наведені схеми обчислень визначників у навчанні. Якщо виникають труднощі в обчисленнях та є можливість, то можете перевірити знайдені визначники калькулятором. Завантажити матричний калькулятор YukhymCalc Ви можете без реєстрації за цим посиланням.
Вас може зацікавити:
yukhym.com
Види матриць
Навігація по сторінці:
Означення.
Квадратною матрицею називається матриця, у якої кількість рядків дорівнює кількості стовпців (розміру n×n), число n називається порядком матриці.Приклад.
| 4 | 1 | -7 | — квадратна матриця розміру 3×3 | ||
| -1 | 0 | 2 | |||
| 4 | 6 | 7 |
Означення.
Нульовою матрицею називається матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю, тобто aij = 0, ∀i, j.Приклад.
| 0 | 0 | 0 | — нульова матриця | ||
| 0 | 0 | 0 |
Означення.
Вектор-рядок матриця, яка складається з одного рядка.Приклад.
| 1 | 4 | -5 | — вектор-рядок |
Означення.
Вектор-стовпчик матриця, яка складається з одного стовпчика.Приклад.
| 8 | — вектор-стовпчик | ||
| -7 | |||
| 3 |
Означення.
Діагональною матрицею називається квадратна матриця, всі елементи якої, що знаходяться не на головній діагоналі, дорівнюють нулю.Приклад діагональної матриці.
| 4 | 0 | 0 | — діагональні елементи довільніне діагональні елементи рівні нулю | ||
| 0 | 5 | 0 | |||
| 0 | 0 | 0 |
Означення.
Одиничною матрицею називається діагональна матриці, діагональні елементи якої дорівнюють 1. Позначення. Одиничну матрицю зазвичай позначають символом E.Приклад одиничної матриці.
| E = | 1 | 0 | 0 | — діагональні елементи дорівнюють 1не діагональні елементи дорівнюють нулю | ||
| 0 | 1 | 0 | ||||
| 0 | 0 | 1 |
Означення.
Верхньо трикутною матрицею називається матриця, всі елементи якої нижче головної діагоналі дорівнюють нулю.Приклад верхньо трикутної матриці.
| 7 | -6 | 0 | ||
| 0 | 1 | 6 | ||
| 0 | 0 | 0 |
Означення.
Нижньо трикутною матрицею називається матриця, всі елементи якої вище головної діагоналі дорівнюють нулю.| 7 | 0 | 0 | ||
| 6 | 1 | 0 | ||
| -2 | 0 | 5 |
N.B. Діагональна матриця — матриця, яка одночасно є верхньо трикутною та нижньо трикутною.
Означення.
Ступінчастою матрицею називається матриця, яка задовольняє наступним умовам:- якщо матриця містить нульовий рядок, то всі рядки, розміщені під ним, також нульові;
- якщо перший ненульовий елемент деякого рядка розташовано в стовпчику з номером i, і наступний рядок не нульовий, то перший ненульовий елемент наступного рядка має знаходитись в стовпці з номером більшим, ніж i.
Приклади ступінчастих матриць.
|
|
Підготовка до ДПА по темах.
Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!
ua.onlinemschool.com
Програма з курсу «Вища, математика» Матриці. Визначники матриць. Системи рівнянь першої степені
Програма
з курсу «Вища, математика»
Матриці. Визначники матриць. Системи рівнянь першої степені.
Основні поняття. Визначники матриць другого та третього порядків. Визначники матриць вищих порядків та їх властивості. Розв’язок системи «n» рівнянь з «n» невідомими, правило Крамера. Розв’язок і дослідження систем рівнянь першої степені методом повного виключення. Ранг матриці, теорема про сумісність систем рівнянь першого степеня. Основні операції з матрицями. Обернена матриця, розв’язок матричних рівнянь.
^
Основні поняття. Лінійні операції над векторами. Лінійна залежність і лінійна незалежність системи векторів. Розклад вектора по базису. Проекція вектора на вісь. Прямокутна декартова система координат у просторі. Ділення відрізка в заданому відношенні. Скалярний добуток векторів та його властивості. Векторний добуток векторів та його властивості. Змішаний добуток векторів та його властивості. Лінійний простір. Евклідів простір. Приклади.
^
Взаємовідповідність між геометричними образами та рівняннями. Різні види рівняння прямої на площині. Пряма лінія в просторі. Різні види рівняння площини. Криві другого порядку: еліпс, гіпербола, парабола та дослідження їх форми. Перетворення координат на площині та їх застосування до спрощення рівняння кривих 2-го порядку. Циліндричні поверхні о твірними, паралельними координатним осям. Поверхні другого порядку. Полярна система координат на площині. Циліндрична та сферична системи координат в просторі.
^
Змінні та сталі величини. Множини та операції над ними. Дійсні числа, їх основні властивості і геометричне представлення. Грані числових множин. Абсолютна величина числа.
^
Поняття збіжних послідовностей. Основні властивості збіжних послідовностей. Нескінченно малі та нескінченно великі послідовності. Обмежені та необмежені послідовності. Основні властивості нескінченно малих послідовностей. Граничний перехід в нерівностях. Визначення та ознака збіжності монотонних послідовностей. Число «e». Лема Больцано-Вейерштрасса. Теорема про вкладені відрізки. Ознака Коші збіжності послідовності.
^
Визначення, способи заданна функції та їх класифікація. Побудова графіків. Границя функції та теореми про границі. Перша і друга визначна границя. Нескінченно малі, нескінченно великі функції та їх порівняння. Еквівалентність нескінченно малих.
Обчислення границі функції.
Неперервність функції. Неперервність деяких елементарних функцій. Визначення та класифікація точок розриву. Кусково-неперервні функції. Основні властивості неперервних функцій: 1-а теорема Больцано-Коші, 2-а теорема Больцано-Коші, 1-а теорема Вейерштраса. Поняття рівномірної неперервності функції. Теорема Кантора. Визначення та існування оберненої функції.
^
Означення похідної. Геометричний і механічний зміст похідної. Приклади безпосереднього знаходження похідних елементарних функцій. Таблиця похідних. Найпростіші правила обчислення похідних. Похідна оберненої функції. Гіперболічні функції, їх властивості та графіки. Похідні гіперболічних функцій. Односторонні і нескінченні похідні. Приклади неіснування похідної та її розрив. Логарифмічна похідна. Похідна неявної функції та функції, заданої параметричне. Поняття диференційовності функції. Зв’язок між поняттями диференційовності та неперервності. Визначення, геометричний зміст диференціалу і його зв’язок із похідною. Основні правила знаходження диференціала. Інваріантність форми диференціала. Наближені обчислення за допомогою диференціалу. Похідні та диференціали вищих порядків. Загальні формули для похідних любого порядку. Формула Лейбніца. Порушення інваріантності форми для диференціалів вищих порядків. Основні теореми диференціального числення: Ферма, Ролля, Лагранжа, Коші та їх застосування. Розкриття невизначеностей. Правило Лопіталя. Формула Тейлора. Обчислення границь за допомогою формули Тейлора. Застосування формули Тейлора у наближених обчисленнях. Дослідження функцій за допомогою похідних та побудова графіків. Ознаки зростання та спадання функції. Точки локального екстремума. Необхідна і достатня ознаки локального екстемуму. Дослідження функції на екстремум за допомогою похідних вищих порядків. Випуклість кривої. Точки перегибу. Асимптоти кривих. Загальна схема дослідження функцій та побудова їх графіків.
^
Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла. Основні властивості невизначених інтегралів. Таблиця основних інтегралів. Основні методи інтегрування: безпосереднє інтегрування, заміна змінної, по частинах. Інтегрування раціональних та ірраціональних функцій. Інтегрування деяких тригонометричних виразів.
Визначений інтеграл.
Задачі, які приводять до визначеного інтегралу та його визначення. Умови існування визначеного інтегралу. Суми Дарбу та їх властивості. Основні властивості визначеного інтегралу. Інтеграл із змінною верхнею границею. Теорема Барроу. Формула Ньютона-Лейбніца. Спосіб інтегрування по частинах і заміною змінної у визначеному інтегралі. Чисельні методи наближеного обчислення визначеного інтегралу. Деякі геометричні та фізичні застосування визначеного інтегралу.
^ Інтеграл по нескінченному проміжку. Інтеграл від необмеженої функції. Ознака збіжності невласних інтегралів.
Функції багатьох змінних.
Арифметичний n-вимірний простір. Поняття функції багатьох змінних. Границя функції. Неперервність. Частинні похідні. Необхідні та достатні умови диференційовності функції. Похідна складної функції. Частинні похідні вищих порядків. Повний приріст та повний диференціал функції. Елементи теорії наближених обчислень. Дотична до просторової кривої. Дотична площина і нормаль до поверхні. Диференціал вищих порядків. Екстремум функції багатьох змінних. Формула Тейлора. Умовний екстремум.
Кратні інтеграли.
Поняття подвійного інтегралу, його властивості та обчислення. Поняття потрійного інтегралу, його властивості та обчислення. Визначення криволінійних інтегралів їх властивості та обчислення. Формула Гріна. Умови незалежності криволінійного інтегралу від шляху. Визначення поверхневих інтегралів, їх властивості та обчислення. Формули Остроградського, Стокса. Диференціальні операції другого порядку. Застосування подвійного, потрійного, криволінійних та поверхневих інтегралів.
Диференціальні рівняння.
Рівняння 1-го порядку. Основні поняття. Графічний метод побудови інтегральних кривих. Рівняння зі змінними, що розділяються. Однорідні рівняння. Лінійні рівняння. Рівняння Бернулі. Рівняння в повних диференціалах. Теорема існування та однозначності розв’язку. Особливі точки та особливі розв’язки рівняння 1-го порядку. Задачі на складання диференціальних рівнянь. Диференціальні рівняння вищих порядків. Найпростіші (інтегровні) типи диференціальних рівнянь вищих порядків. Лінійні однорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами. Неоднорідні лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку. Системи диференціальних рівнянь. Основні поняття. Методи інтегрування нормальних систем. Лінійні однорідні і неоднорідні системи.
^
Поняття числового ряду. Основні властивості рядів. Необхідна умова збіжності ряду. Ряди з додатними членами. Достатні умови збіжності рядів. Ознака Д’аламбера. Радикальна ознака Коші. Інтегральна ознака Коші. Знакоперемінені ряди. Абсолютна та умовна збіжність рядів. Функціональні ряди і властивості рівномірно збіжних рядів. Степеневі ряди. Теорема Абеля. Властивості степеневих рядів. Розклад функцій в степеневі ряди. Ряд Тейлора, Деякі застосування степеневих рядів.
^
Модуль і аргумент комплексного числа. Алгебраїчна, тригонометрична і показникові форми комплексного числа. Операції над комплексними числами. Формула Муавра. Числові ряди з комплексними членами. Степеневі ряди з комплексними членами. Формула Ейлера.
Література
[1] Г.М. Фихтенгольц Основы математического анализа, — М., Наука, Т.1-2, 1968.
[2] С.М. Никольский Курс математического анализа, — М., Наука, Т.1-2, 1983.
[3] В.С. Щипачев Высшая математика, — М., Высшая школа, 1985.
[4] Н.С. Пискунов Дифференциальное и интегральное исчисление, — М., Наука, Т.1-2,1964.
[5] А.Ф. Бермант, И.Г. Араманович Краткий курс математического анализа, — М., Наука, 1973.
[6] Я.С. Бугров, С.М. Никольский Дифференциальное и интегральное исчисление, — М., Наука, 1980.
[7] Я.С. Бугров, С.М. Никольский Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии, — М., Наука, 1980.
[8] А.Г. Курош Курс высшей алгебры, — М., Наука, 1975.
[9] О.В. Мантуров, Н.М. Матвеев Курс высшей математики, — М., Высшая школа, 1986.
[10] П.Е. Данко, А.Г. Кожевников, А.Г. Попов Высшая математика в упражнениях и задачах, — М., Высшая школа, 1986.
[11] Г.Л. Кулініч, Л.О. Максименко, В.В. Плахотнік, Г.Й. Призва ^ К., Либідь, 1992, 288с.
[12] І.П. Васильченко, В.Я. Данилов, А.І. Лобанов, Є.Ю. Таран Вища математика: основні означення, приклади і задачі: Навч. посібник. У двох частинах. Частина 2, — К., Либідь, 1992, 256с.
[13] Г.Н. Берман Сборник задач по курсу математического анализа, —М., Наука, 1977.
[14] Д.Ф. Клетеник Сборник задач по аналитической геометрии, — М., Наука,1972.
[15] Р.С. Гутер, А.Р. Янпольский Дифференциальные уравнения, — М., Высшая школа, 1976.
zavantag.com