Возвести матрицу в квадрат – Возведение матрицы в степень | Мозган калькулятор онлайн

Возведение матрицы в степень. Вычисление результатов выражений с матрицами.

Здесь мы продолжим начатую в первой части тему операций над матрицами и разберём пару примеров, в которых потребуется применять несколько операций сразу.

Возведение матрицы в степень.

Пусть k – целое неотрицательное число. Для любой квадратной матрицы $A_{n\times n}$ имеем: $$ A^k=\underbrace{A\cdot A\cdot \ldots \cdot A}_{k \; раз} $$

При этом полагаем, что $A^0=E$, где $E$ – единичная матрица соответствующего порядка.

Пример №4

Задана матрица $ A=\left(\begin{array} {cc} 1 & 2 \\ -1 & -3 \end{array} \right)$. Найти матрицы $A^2$ и $A^6$.

Решение

Согласно определению $A^2=A\cdot A$, т.е. для нахождения $A^2$ нам просто нужно умножить матрицу $A$ саму на себя. Операция умножения матриц рассматривалась в первой части темы, поэтому тут просто запишем процесс решения без подробных пояснений:

$$ A^2=A\cdot A=\left(\begin{array} {cc} 1 & 2 \\ -1 & -3 \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {cc} 1 & 2 \\ -1 & -3 \end{array} \right)= \left(\begin{array} {cc} 1\cdot 1+2\cdot (-1) & 1\cdot 2+2\cdot (-3) \\ -1\cdot 1+(-3)\cdot (-1) & -1\cdot 2+(-3)\cdot (-3) \end{array} \right)= \left(\begin{array} {cc} -1 & -4 \\ 2 & 7 \end{array} \right). $$

Чтобы найти матрицу $A^6$ у нас есть два варианта. Вариант первый: банально продолжить домножать $A^2$ на матрицу $A$:

$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A. $$

Однако можно пойти несколько более простым путём, используя свойство ассоциативности умножения матриц. Расставим скобки в выражении для $A^6$:

$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A=A^2\cdot (A\cdot A)\cdot (A\cdot A)=A^2\cdot A^2\cdot A^2. $$

Если при решении первым способом потребовалось бы четыре операции умножения, то для второго способа – лишь две. Поэтому пойдём вторым путём:

$$ A^6=A^2\cdot A^2\cdot A^2=\left(\begin{array} {cc} -1 & -4 \\ 2 & 7 \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {cc} -1 & -4 \\ 2 & 7 \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {cc} -1 & -4 \\ 2 & 7 \end{array} \right)=\\= \left(\begin{array} {cc} -1\cdot (-1)+(-4)\cdot 2 & -1\cdot (-4)+(-4)\cdot 7 \\ 2\cdot (-1)+7\cdot 2 & 2\cdot (-4)+7\cdot 7 \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {cc} -1 & -4 \\ 2 & 7 \end{array} \right)= \left(\begin{array} {cc} -7 & -24 \\ 12 & 41 \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {cc} -1 & -4 \\ 2 & 7 \end{array} \right)=\\= \left(\begin{array} {cc} -7\cdot(-1)+(-24)\cdot 2 & -7\cdot (-4)+(-24)\cdot 7 \\ 12\cdot (-1)+41\cdot 2 & 12\cdot (-4)+41\cdot 7 \end{array} \right)= \left(\begin{array} {cc} -41 & -140 \\ 70 & 239 \end{array} \right). $$

Ответ: $A^2=\left(\begin{array} {cc} -1 & -4 \\ 2 & 7 \end{array} \right)$, $A^6=\left(\begin{array} {cc} -41 & -140 \\ 70 & 239 \end{array} \right)$.

Пример №5

Заданы матрицы $ A=\left(\begin{array} {cccc} 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \end{array} \right)$, $ B=\left(\begin{array} {ccc} -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \end{array} \right)$, $ C=\left(\begin{array} {ccc} -5 & -20 & 13 \\ 10 & 12 & 9 \\ 3 & -15 & 8 \end{array} \right)$. Найти матрицу $D=2AB-3C^T+7E$.

Решение

Вычисление матрицы $D$ начнем с нахождения результата произведения $AB$. Матрицы $A$ и $B$ можно перемножать, так как количество столбцов матрицы $A$ равно количеству строк матрицы $B$. Обозначим $F=AB$. При этом матрица $F$ будет иметь три столбца и три строки, т.е. будет квадратной (если этот вывод кажется неочевидным, посмотрите описание умножения матриц в первой части этой темы). Найдем матрицу $F$, вычислив все её элементы:

$$ F=A\cdot B=\left(\begin{array} {cccc} 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {ccc} -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \end{array} \right)\\ \begin{aligned} & f_{11}=1\cdot (-9)+0\cdot 2+(-1)\cdot 0+2\cdot 1=-7; \\ & f_{12}=1\cdot 1+0\cdot (-1)+(-1)\cdot (-2)+2\cdot 5=13; \\ & f_{13}=1\cdot 0+0\cdot 4+(-1)\cdot 3+2\cdot 0=-3;\\ \\ & f_{21}=3\cdot (-9)+(-2)\cdot 2+5\cdot 0+0\cdot 1=-31;\\ & f_{22}=3\cdot 1+(-2)\cdot (-1)+5\cdot (-2)+0\cdot 5=-5;\\ & f_{23}=3\cdot 0+(-2)\cdot 4+5\cdot 3+0\cdot 0=7;\\ \\ & f_{31}=-1\cdot (-9)+4\cdot 2+(-3)\cdot 0+6\cdot 1=23; \\ & f_{32}=-1\cdot 1+4\cdot (-1)+(-3)\cdot (-2)+6\cdot 5=31;\\ & f_{33}=-1\cdot 0+4\cdot 4+(-3)\cdot 3+6\cdot 0=7. \end{aligned} $$

Итак, $F=\left(\begin{array} {ccc} -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end{array} \right)$. Пойдём далее. Матрица $C^T$ – транспонированная матрица для матрицы $C$, т.е. $ C^T=\left(\begin{array} {ccc} -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end{array} \right) $. Что же касаемо матрицы $E$, то это есть единичная матрица. В данном случае порядок этой матрицы равен трём, т.е. $E=\left(\begin{array} {ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$.

В принципе, мы и дальше можем идти пошагово, но оставшееся выражение лучше рассматривать целиком, не отвлекаясь на вспомогательные действия. По сути, нам остались лишь операции умножения матриц на число, а также операции сложения и вычитания.

$$ D=2AB-3C^T+7E=2\cdot \left(\begin{array} {ccc} -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end{array} \right)-3\cdot \left(\begin{array} {ccc} -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end{array} \right)+7\cdot \left(\begin{array} {ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) $$

Умножим матрицы в правой части равенства на соответствующие числа (т.е. на 2, 3 и 7):

$$ 2\cdot \left(\begin{array} {ccc} -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end{array} \right)-3\cdot \left(\begin{array} {ccc} -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end{array} \right)+7\cdot \left(\begin{array} {ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)=\\= \left(\begin{array} {ccc} -14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end{array} \right)-\left(\begin{array} {ccc} -15 & 13 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end{array} \right)+\left(\begin{array} {ccc} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{array} \right) $$

Выполним последние действия: вычитание и сложение:

$$ \left(\begin{array} {ccc} -14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end{array} \right)-\left(\begin{array} {ccc} -15 & 30 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end{array} \right)+\left(\begin{array} {ccc} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{array} \right)=\\ =\left(\begin{array} {ccc} -14-(-15)+7 & 26-30+0 & -6-9+0 \\ -62-(-60)+0 & -10-36+7 & 14-(-45)+0 \\ 46-39+0 & 62-27+0 & 14-24+7 \end{array} \right)= \left(\begin{array} {ccc} 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end{array} \right). $$

Задача решена, $D=\left(\begin{array} {ccc} 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end{array} \right)$.

Ответ: $D=\left(\begin{array} {ccc} 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end{array} \right)$.

Пример №6

Пусть $f(x)=2x^2+3x-9$ и матрица $ A=\left(\begin{array} {cc} -3 & 1 \\ 5 & 0 \end{array} \right) $. Найти значение $f(A)$.

Решение

Если $f(x)=2x^2+3x-9$, то под $f(A)$ понимают матрицу:

$$ f(A)=2A^2+3A-9E. $$

Именно так определяется многочлен от матрицы. Итак, нам нужно подставить матрицу $A$ в выражение для $f(A)$ и получить результат. Так как все действия были подробно разобраны ранее, то тут я просто приведу решение. Если процесс выполнения операции $A^2=A\cdot A$ для вас неясен, то советую глянуть описание умножения матриц в первой части этой темы.

$$ f(A)=2A^2+3A-9E=2A\cdot A+3A-9E=2 \left(\begin{array} {cc} -3 & 1 \\ 5 & 0 \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {cc} -3 & 1 \\ 5 & 0 \end{array} \right)+3 \left(\begin{array} {cc} -3 & 1 \\ 5 & 0 \end{array} \right)-9\left(\begin{array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)=\\ =2 \left(\begin{array} {cc} (-3)\cdot(-3)+1\cdot 5 & (-3)\cdot 1+1\cdot 0 \\ 5\cdot(-3)+0\cdot 5 & 5\cdot 1+0\cdot 0 \end{array} \right)+3 \left(\begin{array} {cc} -3 & 1 \\ 5 & 0 \end{array} \right)-9\left(\begin{array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)=\\ =2 \left(\begin{array} {cc} 14 & -3 \\ -15 & 5 \end{array} \right)+3 \left(\begin{array} {cc} -3 & 1 \\ 5 & 0 \end{array} \right)-9\left(\begin{array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) =\left(\begin{array} {cc} 28 & -6 \\ -30 & 10 \end{array} \right)+\left(\begin{array} {cc} -9 & 3 \\ 15 & 0 \end{array} \right)-\left(\begin{array} {cc} 9 & 0 \\ 0 & 9 \end{array} \right)=\left(\begin{array} {cc} 10 & -3 \\ -15 & 1 \end{array} \right). $$

Ответ: $f(A)=\left(\begin{array} {cc} 10 & -3 \\ -15 & 1 \end{array} \right)$.

math1.ru

Как возвести матрицу в куб и более высокие степени?

Поиск Лекций

Данные операции также определены только для квадратных матриц. Чтобы возвести квадратную матрицу в куб, нужно вычислить произведение:

Фактически это частный случай умножения трёх матриц, по свойству ассоциативности матричного умножения: . А матрица, умноженная сама на себя – это квадрат матрицы:

Таким образом, получаем рабочую формулу:

То есть задание выполняется в два шага: сначала матрицу необходимо возвести в квадрат, а затем полученную матрицу умножить на матрицу .

Пример 8

Возвести матрицу в куб.

Это небольшая задачка для самостоятельного решения.

Возведение матрицы в четвёртую степень проводится закономерным образом:

Используя ассоциативность матричного умножения, выведем две рабочие формулы. Во-первых: – это произведение трёх матриц.

1) . Иными словами, сначала находим , затем домножаем его на «бэ» – получаем куб, и, наконец, выполняем умножение ещё раз – будет четвёртая степень.

2) Но существует решение на шаг короче: . То есть, на первом шаге находим квадрат и, минуя куб, выполняем умножение

Дополнительное задание к Примеру 8:

Возвести матрицу в четвёртую степень.

Как только что отмечалось, сделать это можно двумя способами:

1) Коль скоро известен куб, то выполняем умножение .

2) Однако, если по условию задачи требуется возвести матрицу только в четвёртую степень, то путь выгодно сократить – найти квадрат матрицы и воспользоваться формулой .

Оба варианта решения и ответ – в конце урока.

Аналогично матрица возводится в пятую и более высокие степени. Из практического опыта могу сказать, что иногда попадаются примеры на возведение в 4-ю степень, а вот уже пятой степени что-то не припомню. Но на всякий случай приведу оптимальный алгоритм:

1) находим ;
2) находим ;
3) возводим матрицу в пятую степень: .

Вот, пожалуй, и все основные свойства матричных операций, которые могут пригодиться в практических задачах.

Во втором разделе урока ожидается не менее пёстрая тусовка.

 

Матричные выражения

Повторим обычные школьные выражения с числами. Числовое выражение состоит из чисел, знаков математических действий и скобок, например: . При расчётах справедлив знакомый алгебраический приоритет: сначала учитываются скобки, затем выполняется возведение в степень / извлечение корней, потом умножение / делениеи в последнюю очередь – сложение /вычитание.

Если числовое выражение имеет смысл, то результат его вычисления является числом, например:

Матричные выражения устроены практически так же! С тем отличием, что главными действующими лицами выступают матрицы. Плюс некоторые специфические матричные операции, такие, как транспонирование и нахождение обратной матрицы.

Рассмотрим матричное выражение , где – некоторые матрицы. В данном матричном выражении три слагаемых и операции сложения/вычитания выполняются в последнюю очередь.

В первом слагаемом сначала нужно транспонировать матрицу «бэ»: , потом выполнить умножение и внести «двойку» в полученную матрицу. Обратите внимание, что операция транспонирования имеет более высокий приоритет, чем умножение. Скобки, как и в числовых выражениях, меняют порядок действий: – тут сначала выполняется умножение , потом полученная матрица транспонируется и умножается на 2.

Во втором слагаемом в первую очередь выполняется матричное умножение , и обратная матрица находится уже от произведения. Если скобки убрать: , то сначала необходимо найти обратную матрицу , а затем перемножить матрицы: .

Нахождение обратной матрицы также имеет приоритет перед умножением.

С третьим слагаемым всё очевидно: возводим матрицу в куб и вносим «пятёрку» в полученную матрицу.


Рекомендуемые страницы:

Поиск по сайту

poisk-ru.ru

Возведение матрицы в степень, онлайн калькулятор

Наш онлайн калькулятор помогаем возводить квадратные матрицы в степень всего за несколько минут. Для возведения матрицы в натуральную степень выберите ее размер, заполните все элементы матрицы и степень, в которую ходите возвести (2, 3, 4 и т.д.) и нажмите кнопку «Вычислить» — калькулятор выдаст решение и ответ! Калькулятор автоматически перемножит матрицу саму на себя нужное количество раз и выдаст точный ответ.

Заполните элементы матрицы и степень   Решили сегодня: раз, всего раз
Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Как возвести матрицу в степень онлайн

Следует заметить, что данной операции поддаются только квадратные матрицы. Равное число строк и столбцов – обязательное условие для возведения матрицы в степень. В ходе вычисления матрица будет помножена сама на себя требуемое количество раз.

Данный онлайн калькулятор предназначен для выполнения операции возведения матрицы в степень. Благодаря его использованию вы не только быстро справитесь с данной задачей, но и получите наглядное и развёрнутое представление о самом ходе вычисления. Это поможет лучше закрепить материал, полученный в теории. Увидев перед собой детальный алгоритм расчётов, вы лучше поймёте все его тонкости и впоследствии сможете не допускать ошибок в ручном вычислении. Кроме того, никогда не будет лишним перепроверить свои расчёты, и это тоже лучше всего осуществлять здесь.

Для того, чтобы возвести матрицу в степень онлайн, понадобится ряд простых действий. Первым делом укажите размер матрицы, нажав на иконки «+» или «-» слева от неё. Затем в поле матрицы введите числа. Также нужно указать степень, в которую возводится матрица. А далее вам остаётся лишь кликнуть на кнопку: «Вычислить» в нижней части поля. Полученный результат будет достоверным и точным, если вы внимательно и правильно ввели все значения. Вместе с ним вам будет предоставлена детальная расшифровка решения.

ru.solverbook.com

Как возвести матрицу в квадрат

Содержание

  1. Инструкция

Матрица — это двумерный массив чисел. С такими массивами производят обычные арифметические операции (сложение, умножение, возведение в степень), но трактуются эти операции иначе, чем такие же с обычными числами. Так будет неверным при возведении матрицы в квадрат возвести в квадрат все ее элементы.

Инструкция

  • По сути возведение в степень для матриц определяется через операцию умножения матриц. Поскольку для умножения одной матрицы на другую необходимо, чтобы количество строк первого сомножителя совпадало с количеством столбцов второго, то для возведения в степень это условие еще более ужесточается. В степень можно возводить только квадратные матрицы.
  • Чтобы возвести матрицу во вторую степень, найти ее квадрат, надо матрицу умножить на саму себя. При этом матрица-результат будет состоять из элементов a[i,j] таких, что a[i,j] есть сумма поэлементного произведения i-той строки первого сомножителя на j-ый столбец второго сомножителя. На примере это будет более понятно.
  • Итак, требуется найти квадрат матрицы, представленной на рисунке. Она квадратная (размер ее 3 на 3), поэтому ее можно возвести в квадрат.
  • Для возведения матрицы в квадрат умножьте ее на такую же. Посчитайте элементы матрицы-произведения, обозначим их b[i,j], а элементы исходной матрицы — a[i,j].b[1,1] = a[1,1]*a[1,1] + a[1,2]*a[2,1] + a[1,3]*a[3,1] = 1*1 + 2*2 + (-1)*2 = 3b[1,2] = a[1,1]*a[1,2] + a[1,2]*a[2,2] + a[1,3]*a[3,2] = 1*2 + 2*(-1) + (-1)*1 = -1b[1,3] = a[1,1]*a[1,3] + a[1,2]*a[2,3] + a[1,3]*a[3,3] = 1*(-1) + 2*1 + (-1)*(-1) = 2
    b[2,1] = a[2,1]*a[1,1] + a[2,2]*a[2,1] + a[2,3]*a[3,1] = 2*1 + (-1)*2 + 1*2 = 2b[2,2] = a[2,1]*a[1,2] + a[2,2]*a[2,2] + a[2,3]*a[3,2] = 2*2 + (-1)*(-1) + 1*1 = 6b[2,3] = a[2,1]*a[1,3] + a[2,2]*a[2,3] + a[2,3]*a[3,3] = 2*(-1) + (-1)*1 + 1*(-1) = -4
    b[3,1] = a[3,1]*a[1,1] + a[3,2]*a[2,1] + a[3,3]*a[3,1] = 2*1 + 1*2 + (-1)*2 = 2b[3,2] = a[3,1]*a[1,2] + a[3,2]*a[2,2] + a[3,3]*a[3,2] = 2*2 + 1*(-1) + (-1)*1 = 2b[3,3] = a[3,1]*a[1,3] + a[3,2]*a[2,3] + a[3,3]*a[3,3] = 2*(-1) + 1*1 + (-1)*(-1) = 0

completerepair.ru

Как возвести матрицу в квадрат?

Как возвести матрицу в квадрат?

Операция определена только для квадратных матриц – «два на два», «три на три» и т.д.

Возвести квадратную матрицу в квадрат – это значит, умножить её саму на себя:

Пример 3

Возвести в квадрат матрицу

Решение: пример рутинный, и чтобы извлечь максимальную пользу, давайте закрепим очень распространённый случай умножения двух матриц «три на три»:

Строки первой матрицы – это столы в ресторане, а цветные столбцы второй матрицы – официанты. Сначала столы обслуживает красный официант, затем зелёный официант, и под конец застолья – синий официант. Тааак, хватит прикалываться, он не голубой =)

Это действительно удобный мысленный приём, который можно использовать на практике – последовательно (слева направо) перебираем столбцы второй матрицы и «пристраиваем» их к каждой строке первой матрицы.

Ответ:

Возведение матрицы в куб и более высокие степени разберём позже.


Дата добавления: 2015-08-27; просмотров: 199 | Нарушение авторских прав


Как вычислить определитель? | Свойства определителя. Понижение порядка определителя | Эффективные методы вычисления определителя | Свойства определителя | При транспонировании матрицы величина её определителя не меняется | Если две строки (или два столбца) определителя поменять местами, то определитель сменит знак | Из строки (столбца) определителя можно вынести общий множитель | Если две строки (столбца) определителя пропорциональны (как частный случай – одинаковы), то данный определитель равен нулю | К строке определителя можно прибавить другую строку, умноженную на ненулевое число. При этом величина определителя не изменится | К столбцу определителя можно прибавить другой столбец, умноженный на ненулевое число. При этом величина определителя не изменится |
mybiblioteka.su — 2015-2019 год. (0.004 сек.)

mybiblioteka.su

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *