Вычислить переходя к полярным координатам двойной интеграл – ?

Содержание

9.Замена переменных в двойном интеграле. Переход к полярным координатам.

Для упрощения вычисления двойного интеграла часто применяют метод подстановки, то есть водят новые переменные. Пусть требуется вычислить двойной интеграл по Д ∫∫_Дf(x, y) dxdy, произведём замену по формулам. x=φ(u, v) y=Ψ(u,v) при этом область Д є плоскость xoy переходя в область G є пл. uov. Вычислим определитель который наз. якобиан. J = |ðx/ðu ðx/ðv

ðy/ðu ðy/ðv|

тогда справедлива формула замены переменной ∫∫_Дf(x, y) dxdy= ∫∫_Gf

(φ(u,v), Ψ(u,v))|J| dudv (1)

Наиболее распространенная система при вычисления двойного интеграла это полярные координаты (r, φ). Связь декартовых координат и полярных выражается формулами. x=r*cosφ, z≥0; y=r*sinφ, 0≤φ≤2π

Пологая u=r, v=φ; вычислим якобиан:

J = |ðx/ðr ðx/ðφ = |cosφ – r*sinφ = r*cos²φ+r*sin²φ=r; J=r; cos²φ+r*sin²φ=1

ðy/ðr ðy/ðφ| sinφ r*cosφ|

Формула замен переменных будет иметь вид ∫∫_L

f(x, y) dxdy= ∫∫_Gf(r,φ)*r drdφ

Область G в полярных координатах ограничена лучами φ=λ, φ=β и кривыми r=r₁(φ)r=r₂(φ). Область G правильная, т.к. лучь выходящий из полюса пересекает её границу не более чем в 2(·). Двойной интеграл в полярных сводят к повторному. ∫∫_G f(r,y)*rdr*dφ = ∫^β_λdu ∫ ^r²⁽^φ⁾ _r₁₍_φ_). f(r, φ) *rdr(2)

Внешний интеграл всегда по φ в полярных координатах.

Замечание:

1)Переход к полярным координатам полезен когда под интегральная функция имеет вид f(x²+y²), а область интегрирования есть круг, сектор, кольцо и т.д.

2)На практике преобразование области Д в область G не выполняют, а совмещают декартову и полярную системы координат и находят нужные пределы по r и φ.

10.Геометрические и физические приложения двойного интеграла.

1.Объём тела – из геометрического смысла двойного интеграла известно, что V тела =0. Vт=∫∫_Дf(x, y) dxdy (3)

Д – проекции тела на плоскость xoy.

2.Площадь плоской фигуры; Если в формуле (3) f(x, y)=1

, то цилиндрическое тело превращается в прямой цилиндр с высотой H=1, V такого тела = площади основания Д, то есть ∫∫_Дdxdy=S_Дв полярных координатах

∫∫_Дrdrdφ=S_Д

3.Масса плоской пластинки из физического смысла двойного интеграла известно, что m=∫∫_Дγ(x, y) dxdy, где γ(x, y) – поверхностная плотность пластины.

4.Статические моменты и координаты центра тяжести плоской фигуры. Статические моменты фигуры Д относительно осей ох и

оу =(Sx=∫∫_Дy*γ(x, y) dxdy, Sy=∫∫_Дx*γ(x, y) dxdy); где γ(x, y)

Координаты центра масс фигуры Д= x_c=Sy/m; y_c=Sx/m.

Применение двойного интеграла не исчерпывается приведенными формулами они значительно шире.

11.Тройной интеграл. Основные понятия, свойства тройного интеграла.

Теория тройного интеграла аналогично теории двойного интеграла поэтому рассмотрим её сокращённо. Пусть в замкнутой области V пространство охyz заданно непрерывна функция трёх переменных u=f(x, y, z):

1)Разобьем область V на n – частей Vi=i=1nˉ

2)Выберем в них произвольную (·) Mi (xi, y1, zi)

3)Вычислим значение функции u в (·)(Mi)=f(xi, yi, zi).

4)Составим интегральную сумму Σⁿ_n₌₁f(xi, yi, zi)*ΔVi, где ΔVi – объём элементарной области Vi.

Если сущ. предел экспериментальной суммы при n→∞ и он не зависит от выбора (·)Mi, то он наз. тройным интегралом от функции u=f(x,y.z), по области V. Обозначим: ∫∫∫_Vf(x, y

, z)dxdydz=lim_n_→∞Σⁿ_i₌₁f(xi,yi,zi)*ΔVi (1)

Свойства тройного интеграла: обладает тем же свойствами, что и двойной.

1)∫∫∫_Vс*f(x, y, z)dxdydz=с∫∫∫_Vf*dxdydz обозначим dxdydz=dv

2)∫∫∫_V(f+g)dv=.∫∫∫_Vf*dv+∫∫∫_Vg*dv

3)∫∫∫_Vf*dv = =.∫∫∫_V₁f*dv+∫∫∫_V₂g*dv = V=V1UV2

4)если f (

x,y,z)≥0, то ∫∫∫_Vf*dv≥0

5)∫∫∫_Vdv = V – объём тела V.

6) Теорема о среднем сущ. токая (·) M₀ (x₀, y₀, z₀) Є тему V, что ∫∫∫_Vfdv = f(x₀, y₀, z₀) * Vт,

Vт – объём тела.

studfiles.net

Двойной интеграл в полярных координатах

Пусть в двойном интеграле

(1)

при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая

x = r cos j, y = r sin j. (2)

Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки DSi с помощью координатных линий r = ri (окружности) и j = ji (лучи) (рис.1). Введем обозначения:

Drj = rj+1 — rj,

Dji = ji+1 — ji

Так как окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейки DSi с точностью до бесконечно малых высшего порядка малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями rjDji и Drj; поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна:

DSi = rj Dji Drj (3)

Что касается ячеек DSij неправильной формы, примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.

В качестве точки Mij$Sij для простоты выберем вершину ячейки DSij с полярными координатами rj и ji. Тогда декартовые координаты точки Mij равны:

xij = rj cos ji, yij = rj sin ji.

Иследовательно,

f(xij,yij) = f(rj cos ji, rj sin ji) (3′)

Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым

интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому учитывая формулы (3) и (3′),

получаем:

(4)

где d — максимальный диаметр ячеек DSij и сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области S. С другой стороны, величины ji и rj суть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскости Ojr. Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции

f(r cosj, r sinj)r,

соответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами Dji и Dri. Следовательно

(5)

Сравнивая формулы (4) и (5), получим окончательно

(6)

Выражение

dS = rdjdr

называется двумерным элементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координаты x и y заменить по формулам (2), а вместо элемента площади dS подставить выражение (7).

Для вычисления двойного интеграла (6) его нужно заменить повторным. Пусть область интегрирования S определяется неравенствами

Где r1(j), r1(j) — однозначные непрерывные функции на отрезке [a,b]. (рис 2).

Имеем

(8)

Где

F(r,j) = rf(rcosj, rsinj)

Пример 1.

Переходя к полярным координатам j и r, вычислить двойной интегралГде S — первая четверть круга радиуса R=1, с центром в точке О(0,0) (рис 3).

Так как

то применяя формулу (6),
получим

Область S определена

Неравенствами

Поэтому на основании формулы (8) имеем

Пример 2.

В интеграле

(9)

перейти к полярным координатам.

Область интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми y=0, y=x, x=1 (рис 4).

В полярных координатах уравнения

этих прямых записываются

следующим образом: j=0,

j=p/4, rcosj=1 и,

следовательно, область S

определяется неравенствами

Отсюда на основании формул

(6) и(8), учитывая, что

имеем

mirznanii.com

Двойной интеграл в полярных координатах — Интегралы — Математика — Каталог статей

Двойной интеграл в полярных координатах

Пусть в двойном интеграле

(1)

при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая

x = r cos j, y = r sin j. (2)

Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки DSi с помощью координатных линий r = ri (окружности) и j = ji (лучи) (рис.1)..

Введем обозначения:

Drj = rj+1 — rj,

Dji = ji+1 — ji

Так как окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейки DSi с точностью до бесконечно малых высшего порядка

малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями rjDji и Drj; поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна:

DSi = rj Dji Drj (3)

Что касается ячеек DSij неправильной формы, примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.

В качестве точки Mij $ Sij для простоты выберем вершину ячейки DSij с полярными координатами rj и ji. Тогда декартовые координаты точки Mij равны:

xij = rj cos ji, yij = rj sin ji.

И следовательно,

f(xij,yij) = f(rj cos ji, rj sin ji) (3′)

Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому учитывая формулы (3) и (3′), получаем:

(4)

где d — максимальный диаметр ячеек DSij и сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области S. С другой стороны, величины ji и rj суть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскости Ojr. Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции

f(r cosj, r sinj)r,

соответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами Dji и Dri. Следовательно

(5)

Сравнивая формулы (4) и (5), получим окончательно(6)

Выражение

dS = r dj dr

Где r1(j), r1(j) — однозначные непрерывные функции на отрезке [a,b]. (рис 2).

Имеем

Где

F(r,j) = rf(r cosj, r sinj)

Пример 1.

Переходя к полярным координатам j и r, вычислить двойной интеграл

Где S — первая четверть круга радиуса R=1, с центром в точке О(0,0) (рис 3).

Так как

то применяя формулу (6),

получим

Область S определена

Неравенствами

Поэтому на основании формулы (8) имеем

Пример 2.

В интеграле(9) перейти к полярным координатам.

Область интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми y=0, y=x, x=1 (рис 4).

В полярных координатах уравнения этих прямых записываются следующим образом: j=0,

j=p/4, r cosj=1 и,

следовательно, область S

определяется неравенствами

Отсюда на основании формул (6) и(8), учитывая, что

alexlat.ucoz.ru

1.2 Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Требуется вычислить двойной интеграл , где функцияz=f(x,y)≥0 непрерывна в областиD . Как мы выяснили двойной интеграл выражает объём цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностьюz=f(x,y).

Согласно методу параллельных сечений , гдеS(x)-площадь сечения плоскостью, перпендикулярной осиОх ,х=а ,х=b — уравнение плоскостей, ограничивающих данное тело.

Положим сначала, что область D представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную прямымих=а ,х=b и кривыми,(рис. 4). Функцииинепрерывны идля всех.

Определение. Область Dназываетсяправильнойв направлении осиOy, если любая прямая параллельная осиOy , пересекает границу области не более, чем в двух точках.

Точка — точка входа,

— точка выхода.

Рис. 4

Построим сечение цилиндрического тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох :х=const,

. В сечении получим криволинейную трапециюABCD , ограниченную линиями, гдех=const,z=0 ,

(рис. 5).

Площадь S(x)этой трапеции находим с помощью определённого интеграла

Далее, так как это равенство записывают в виде(1.2.1)

Рис. 5

Т.о. согласно формуле (1.2.1) вычисления двойного интеграла сводятся к последовательному вычислению двух определённых интегралов.

Правую часть формулы (1.2.1) называют двукратным интегралом от функции f(x,y) по областиD. При этом называется внутренним интегралом.

Для вычисления двукратного интеграла сначала берём внутренний интеграл, считаяx— постоянным, затем берём внешний интеграл, т.е. результат первого интегрирования интегрируем поxв пределах отадоb .

Если область Dограничена прямымиy=c, y=d (c<d) , кривыми,причёмдля, т.е. областьD— правильная в направлении осиOx(рис. 6). То, рассекая тело плоскостьюy=const , аналогично получим

Рис. 6

(1.2.2)

Здесь при вычислении внутреннего интеграла считаем y—const

Замечания.

1) Формулы (1.2.1) и (1.2.2) справедливы в случае, когда f(x,y)<0 .

2) Если область Dправильная в обоих направлениях, то двойной интеграл можно вычислять как по формуле 1.2.1, так и по формуле 1.2.2.

3) Если область D не является правильной ни поxни поy , то для сведения двойного интеграла к повторным ее следует разбить на части , правильные в направлении осиOxили осиOy.

4) Полезно помнить, что внешние пределы в двукратном интеграле всегда постоянны , а внутренние, как правило, переменные.

Пример:

Вычислить двойной интеграл ,,.

Решение:

Строим область интегрирования (рис. 7). В данном примере удобнее вычислять интеграл по формуле (1.2.2), в направлении оси Ох.

Рис. 7

Вычисляем внутренний интеграл, y—const

Полученную функцию интегрируем по х

Можно было воспользоваться формулой (1.2.1), но для этого область D следует разбить на две областиD₁иD₂(рис. 8).

Рис. 8

Вычислить самостоятельно двойные интегралы в правой части. Получить тот же результат 29/20.

1.3 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах

Для упрощения вычисления двойного интеграла часто применяют метод подстановки, т.е. вводят новые переменные под знаком двойного интеграла.

Введём новые переменные , пусть и, функцииφиψимеют в некоторой областиплоскостиОuvнепрерывные частные производные.

Функциональный определитель

— называется определителем Якоби или якобианом.

Если функция непрерывна в областиD , а якобиан, то справедлива формула замены переменных в двойном интеграле

Рассмотрим частный случай: замену декартовых координат хиу полярными координатамиr и φ. Прямоугольные и полярные координаты связаны формулами

В качестве uиvвозьмём полярные координатыr и φ. Составим Якобиан преобразованияu=r, v=φ.

Формула замены переменных x, y в полярных координатах будет иметь вид

— область в полярной системе координат, соответствует области Dв декартовой системе координат.

Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах применяют тоже правило сведения его к двукратному интегралу

Рис. 9

сли область

(рис.9) ограниченна лучамиφ=αиφ=β, гдеα<βи кривыми

, где, для любого, т.е. область

-правильная: то двойной интеграл в полярной системе координат вычисляется по следующей формуле

Внутренний интеграл берётся при условии, что φ- константа.

Замечание:

1) переход к полярным координатам полезен, когда подынтегральная функция имеет вид ; областьD — есть круг, кольцо или часть таковых;

2) на практике переход к полярным координатам осуществляется путём замены . Уравнения линий, ограничивающих областьD, так же преобразуются к полярным координатам.

Пределы интегрирования по rи φ находят, совместив декартову и полярную системы координат.

Пример: Вычислить

D:(рис. 10)

Решение:

Переходим к полярным координатам

Область D в полярной системе координат :

Рис. 10

Подынтегральная функция в полярной системе координат:

Вычисляем интеграл

studfiles.net

3.Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. Приложения двойного интеграла. Пример.

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах:

Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах применяют тоже правило сведения его к двукратному интегралу.

Если область ограничена лучами и , где и кривыми и , где , т.е. область правильная, то:

Пример:

Вычислить , где область – круг

Перейдем из декартовой системы координат в полярную:

Область в полярной системе координат определяется неравенствами .

Область – круг, преобразовывается в область — прямоугольник. Поэтому:

Приложения двойного интеграла:

1)Объем тела:

, где – уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху.

2)Площадь плоской фигуры:

– в декартовой системе координат

– в полярной системе координат

3)Масса плоской фигуры:

4)Статические моменты:

– относительно оси

5)Момент инерции плоской фигуры

– относительно оси

Пример:

Найти объем тела ограниченного, поверхностями и .

Данное тело ограничено двумя параболоидами.

Из системы находим линии пересечения: , .

Искомый объем равен разности объемов двух цилиндрических тел с одним основанием (круг ) и ограниченных сверху соответственно поверхностями и . Тогда:

Перейдем к полярным координатам:

itm-x18.narod.ru