ДИАМЕТРЫ И ХОРДЫ | Математика
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР
ДИАМЕТРЫ И ХОРДЫ
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР
Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве
Ниже посмотрите текст для быстрого ознакомления(формулы отображаются не корректно):
61. На основании определения, данного в п. 19а, сказанное в п. 9
может быть сформулировано так:
Теорема. Всякий диаметр служит осью симметрии для
окружности и для круга.
Отсюда видно, что окружность имеет бесчисленное множество
осей симметрииг
ДИАМЕТРЫ И ХОРДЫ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР
62. Хордой называется отрезок, соединяющий концы дуги окружности.
Эта дуга, как говорят, стягивается хордой. Следует заметить,
что всякая хорда стягивает две различные дуги — одну меньшую, а
другую большую полуокружности (или обе равные полуокружности,
если хорда есть диаметр).
63. Теорема. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту
хорду и каждую из стягиваемых ею дуг на две равные части.
АВ, служит осью симметрии, с одной стороны, окружности, а с другой
стороны, — равнобедренного треугольника ОАВ\ следовательно,
он является осью симметрии и для образованной ими фигуры в целом.
Следствие. Каждые два из пяти следующих условий:
1°. быгь перпендикулярным хорде,
2°. проходить через центр,
3°. проходить через середину хорды,
4°, 5°. проходить через середину одной из двух стягиваемых дуг, —
определяют прямую.
Все определённые таким образом прямые сливаются в одну.
Геометрическое место середин ряда параллельных хорд есть
диаметр, перпендикулярный к этим хордам.
Касательная параллельна тем хордам, которые делятся диаметром,
проведённым в точку касания, на две равные части.
Теорема. Две дуги окружности, заключённые между двумя
параллельными прямыми, равны (черт. 64).
Действительно, эти дуги симметричны друг с другом относительно
64. Теорема. Если в плоскости окружности дана некоторая
точка Pf то из всех точек, лежащих на окружности, точка, наиболее
близкая к Р, и точка, наиболее удалённая от Р, представляют
собой основание нормалей к окружности (п. 60), проходящих
через точку Р.
Если А —та из двух точек, которая расположена на полупрямой
ОР, а В — та точка, которая лежит на противоположной полупрямой
(черт. 65 и 66), то расстояние РА равно разности ОР и
радиуса, а расстояние РВ — сумме тех же длин. Следовательно, любая
70ДИАМЕТРЫ И ХОРДЫ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР
точка М окружности находится от точки Рна расстоянии, большем РА
и меньшем РВ, как третья сторона треугольника ОРМ.
Расстояние РМ постоянно увеличивается, когда точка М описывает
окружность, перемещаясь из А в В, потому что сторона РМ
треугольника ОРМ лежит против угла, который всё время увеличивается
Следствие. Диаметр есть наибольшая хорда окружности.
Если, в самом деле, совместить точку Р с точкой А, то хорда РМ
будет, очевидно, меньше диаметра РВ.
65. Теорема. В одном круге или в двух равных кругах:
1°. равным дугам соответствуют равные хорды, и обратно;
2°. из двух неравных дуг, меньших полуокружности, большая
дуга соответствует большей хорде.
1°. Если мы совместим две равные дуги, совмещая их концы, то
совместятся и хорды.
Обратно, если хорды равны, то центральные углы равны по
третьему признаку равенства треугольников, и, следовательно, дуги
также равны.
2°. Если дуга АВ меньше дуги А!ВТ (черт. 67) и, следовательно,
угол АОВ меньше угла АтОВт, то хорда АВ будет меньше А!В’, как
это показывает теорема п. 28, применённая к треугольникам ОАВ
и ОА!В\
66. Теорема. В одном и том же круге или в двух равных
1°. две равные хорды одинаково удалены от центра, и обратно;
2°. из двух неравных хорд большая менее удалена от центра.
1°. Две равные хорды в одном и том же круге соответствуют
двум равным дугам; достаточно наложить друг на друга эти две дуги,
чтобы убедиться, что середины обеих хорд находятся на одинаковом
расстоянии от центра.
Обратно, если две хорды АВ и А’В’ круга О (черт. 68) одинаково
отстоят от центра, прямоугольные треугольники ОНА и ОН А’ имеют
равные гипотенузы и равные катеты О Н — О Н ] следовательно, Н А —
= НА’ и АВ — АГВГ.
71 ДИАМЕТРЫ И ХОРДЫ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР
2°. Предположим, что хорда АВ больше хорды А’В’ (черт. 69).
Отсюда следует, что угол АОВ больше угла АгОВ\ и если опустить
перпендикуляры ОН и ОН’, то угол АОН больше угла А’ОНг.
Но в таком случае угол О АН, являющийся дополнением первого
угла, меньше угла ОАтНг, представляющего собой дополнение второго.
равные гипотенузы и неравные острые углы, откуда следует (п. 35),
что 0#<0#’.
67. Представим себе хорду ММГ (черт. 70), которая перемещается
таким образом, что расстояние её от центра, вначале меньшее радиуса,
увеличивается и становится равным
этому радиусу. Предположим для определённости,
что эта хорда перемещается,
оставаясь перпендикулярной к определённому
диаметру ОА.
Длина ММГ уменьшается по мере того,
как хорда приближается к касательной
в точке А, на основании предыдущей
теоремы, и точку М можно взять настолько
близко к точке А (иначе говоря хорду,
настолько близко к касательной), что
эта длина будет сколь угодно малой, так
как ЛШ'<2ЖА.
Мы видим, что точки М и М! безгранично приближаются одна
к другой и стремятся слиться с точкой А; мы выражаем это обстоятельство
следующими словами: касательная имеет с окружностью
выражения позволяет проще сформулировать некоторые теоремы.
УПРАЖНЕНИЯ.
50. Окружность проходит через две данные точки А и В. Пусть С —
одна из точек, в которой эта окружность встречает данную прямую, перпендикулярную
к прямой АВ. Найти геометрическое место точек, диаметрально-
противоположных точке С, если окружность, изменяясь, всё время
проходит через точки Л и 5 (использовать упражнение 34).
51. Если разделить £орду на три равные части и соединить с центром
точки деления, то соответствующий центральный угол не разделится на три
равные части (доказать).
Какая из трёх частей угла будет наибольшей (использовать упражнение
7)? Обобщить на случай большего числа частей.
52. Если две хорды на одной окружности равны между собой, то расстояния
от точки пересечения этих хорд или их продолжений до концов той и
другой хорды соответственно равны между собой (доказать).
имеющих данную длину.
54. Найти наименьшую хорду окружности, которую можно провести
через данную точку, находящуюся внутри этой окружности.
72 ДИАМЕТРЫ И ХОРДЫ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР
ДИАМЕТРЫ И ХОРДЫmatematika.advandcash.biz
может ли хорда быть диаметром?
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром. Вывод?)
Может. Диаметр это самая большая хорда окружностидиаметр и есть самая большая хорда
может ли хорда быть кривой?
touch.otvet.mail.ru
диаметр и хорда окружности составляют угол в 30 градусов. Зная что радиус равен 6 см, найти диаметр и хорду?
угол между хордой и катетом напротив 30-градусного угла равен 90 градусов (это по свойству одному, да, есть такое, но долго расписывать) . от этого плясать и получается, чтодругой угол равен 60град, а катет напротив 30-градусного угла равен половине гипотенузы, следователно равен 6, далее по теор. Пифагора находите хорду, которая в нашем случае является катетом прямоугольного треуг-ка.Проводим радиус к другому концу хорды. Получился равнобедренный треугольник. Ответ: 6 корней из 3 см.
d=2r=12, хорда явл. катетом прямоугольного треугольника с углами 30 и 60, образованного диаметром 12 см и двумя хордами, одна из которых равна половине d, 6 см. вторая хорда = корень квадратный из (12х12-6х6) = корень кв. из 108 = 10,39230484541326
touch.otvet.mail.ru