Якобиан в сферических координатах – 5. Криволинейные системы координат в трехмерном пространстве

5. Криволинейные системы координат в трехмерном пространстве

1. Цилиндрическая система координат

Цилиндрические координаты точки Р(ρ,φ,z) – это полярные координаты ρ, φ проекции этой точки на плоскость Оху и апликата данной точки z (рис.10).

Рис.10 Рис.11

Формулы перехода от цилиндрических координат к декартовым можно задать следующим образом:

x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z. (24)

2. Сферическая система координат

В сферических координатах положение точки в пространстве определяется линейной координатой ρ – расстоянием от точки до начала декартовой системы координат (или полюса сферической системы), φ – полярным углом между положительной полуосью Ох и проекцией точки на плоскость Оху, и θ – углом между положительной полуосью оси Оz и отрезком OP (рис.11). При этом

Зададим формулы перехода от сферических координат к декартовым:

x = ρ sinθ cosφ, y = ρ sinθ sinφ, z = ρ cosθ. (25)

6. Якобиан и его геометрический смысл

Рассмотрим общий случай замены переменных в двойном интеграле. Пусть в плоскости О

ху дана область D, ограниченная линией L. Предположим, что х и у являются однозначными и непрерывно дифференцируемыми функциями новых переменных u и v:

x = φ(u, v), y = ψ(u, v). (26)

Рассмотрим прямоугольную систему координат Оuv, точка Р΄(u, v) которой соответствует точке Р(х, у) из области D. Все такие точки образуют в плоскости Оuv область D΄, ограниченную линией L΄. Можно сказать, что формулы (26) устанавливают взаимно однозначное соответствие между точками областей D и D΄. При этом линиям u = const и v = const в плоскости Оuv будут соответствовать некоторые

линии в плоскости Оху.

Рис. 12 .

Рассмотрим в плоскости Оuv прямоугольную площадку ΔS΄, ограниченную прямыми u = const, u+Δu = const, v = const и v+Δv = const. Ей будет соответствовать криволинейная площадка ΔS в плоскости Оху (рис.12). Площади рассматриваемых площадок тоже будем обозначать ΔS΄ и ΔS. При этом ΔS΄ = Δu Δv. Найдем площадь ΔS. Обозначим вершины этого криволинейного четырехугольника Р₁, Р₂, Р₃, Р₄, где

P₁(x₁, y₁), x₁

= φ(u, v), y₁ = ψ(u, v);

P₂(x₂, y₂), x₂ = φ(u+Δu, v), y₂ = ψ(u+Δu, v);

P₃(x₃, y₃), x₃ = φ(u+Δu, v+Δv), y₃ = ψ(u+Δu, v+Δv);

P₄(x₄, y₄), x₄ = φ(u, v+Δv), y₄ = ψ(u, v+Δv).

Заменим малые приращения Δu и Δv соответствующими дифференциалами. Тогда

При этом четырехугольник Р₁ Р₂ Р₃ Р₄ можно считать параллелограммом и определить его площадь по формуле из аналитической геометрии:

(27)

Определение 6. Определитель называетсяфункциональным определителем или якобианом функций φ(х, у) и ψ(х, у).

Другая форма записи якобиана:

Переходя к пределу при в равенстве (27), получим геометрический смысл якобиана:

, (28)

то есть модуль якобиана есть предел отношения площадей бесконечно малых площадок ΔS и ΔS΄.

Замечание. Аналогичным образом можно определить понятие якобиана и его геометрический смысл для п-мерного пространства: если

x₁ = φ₁(u₁, u₂,…,u_n), x₂ = φ₂(u₁, u₂,…,u_n),…, x_n = φ(u₁, u₂,…, u_n), то

(29)

При этом модуль якобиана дает предел отношения «объемов» малых областей пространств х₁, х₂,…, х_п и u₁, u₂,…, u_n .

7. Замена переменных в кратных интегралах

Исследуем общий случай замены переменных на примере двойного интеграла.

Пусть в области D задана непрерывная функция z = f(x,y), каждому значению которой соответствует то же самое значение функции z = F(u, v) в области D΄, где

F(u, v) = f(φ(u, v), ψ(u, v)). (30)

Рассмотрим интегральную сумму

где интегральная сумма справа берется по области D΄

(здесь ). Переходя к пределу при , получимформулу преобразования координат в двойном интеграле:

(31)

Аналогичным образом можно вывести подобную формулу для тройного интеграла:

(32)

где x = φ(u, v, w),

y = ψ(u, v, w), z = χ(u, v, w),

, (33)

а область V пространства Оxyz отображается в область V΄ пространства Ouvw.

Переход к цилиндрическим и сферическим координатам

в тройном интеграле

Найдем, используя формулы (25), (26) и (33), якобианы перехода от декартовых координат к цилиндрическим и сферическим:

1. для цилиндрических координат

(34)

2. для сферических координат

(35)

Тогда формулы перехода к цилиндрическим или сферическим координатам в тройном интеграле будут выглядеть так:

, (36)

где смысл обозначений понятен из предыдущего текста.

Пример 5.

Вычислим интеграл от функции по области, ограниченной поверхностями ­x² + y² = 1, y = 0, y = x, z = 0, z = 1.

Пример 6.

Пусть подынтегральная функция u = 1, а область интегрирования – шар радиуса R с центром в начале координат. Тогда

.

studfiles.net

Переход к сферическим координатам в тройном интеграле. Примеры решения задач

Переход к сферическим координатам в тройном интеграле

Задача
Вычислить тройной интеграл , перейдя к сферической системе координат, где V-часть области, ограниченной поверхностями , , , , лежащая выше плоскости .

Решение
Область интегрирования – это часть шара , лежащая выше плоскости  в первом октанте.
Если область интегрирования ограничена сферической поверхностью, то переход к сферическим координатам, как правило, значительно облегчает вычисление интеграла.

В сферической системе координат, центр которой совпадает с началом декартовой системы координат, каждой точке  с декартовыми координатами  соответствуют сферические координаты , где r – длина вектора ,  – угол между вектором  и положительным направлением оси ,  – угол между вектором  и положительным направлением оси .
Переменные  могут принимать следующие значения: , , .
Формулы перехода от декартовой системы координат к
сферической системе координат имеют вид
Якобиан перехода .
Следовательно,
.
Уравнениям границ области в декартовых координатах будут соответствовать уравнения в сферических координатах:   ,    

или ,   ;   .

Следовательно, для области : , ,  

Задачи 2. Найти объем тела, заданного неравенствами

Сферическая система координат:

www.matem96.ru

2. Сферические координаты в Rn. Их ортогональность

Сферические координаты в задаются отображением

,

.

Найдем касательные векторы и коэффициенты Ламе

………….

Убеждаемся в ортогональности сферических координат и вычисляем Якобиан:

,

.

3. Вычисление объема n-мерного шара

Имеем

— объем шара радиуса . Переход к повторному интегралу дает

.

Пусть . Получим рекуррентную формулу для:

Разбирая различные случаи, получим

если

Имеем

,

ЛЕКЦИЯ 12

Оператор Лапласа в ортогональных координатах. Оператор Лапласа в полярных координатах в R², цилиндрических и сферических

координатах в R³

1. Оператор Лапласа в ортогональных координатах

Дифференциальный оператор Лапласа второго порядка задается равенством

Тогда

— уравнение Лапласа.

Если — ортогональные координаты, то оператор Лапласа в новых координат примет следующий вид :

2. Оператор Лапласа в полярных координатах в R², цилиндрических и сферических координатах в R³

Оператор Лапласа в полярных координатах в :

.

Оператор Лапласа в цилиндрических координатах:

Оператор Лапласа в сферических координатах:

ЛЕКЦИЯ 13

Кратные несобственные интегралы 1-го и 2-го рода. Абсолютная сходимость. Признак сравнения. Сходимость кратных интегралов

1. Кратные несобственные интегралы 1-го. Абсолютная сходимость.

Признак сравнения

Пусть — неограниченная область,

, ,для любого.

Последовательность множеств изназывается-допустимой, если

1. ограничены, измеримы по Жордану,

2. ,,

3..

Пример : ,-допустимой последовательностью будет, например, последовательность шаров.

Число называется несобственным интегралом первого рода от функциипо неограниченной области, если для любой последовательности,-допустимых множеств, существует.

В случае сходимости значение несобственного интеграла полагается равным

Если сходится интеграл ,то говорят, что интеграл сходится абсолютно.

Теорема. Несобственный интеграл сходится— сходится.

Интеграл сходится последовательностьограниченная хотя бы для одной последовательности-допустимых множеств.

Эта теорема указывает на большую разницу между одномерным и многомерным случаями.

Признак сравнения можно записать в следующей форме.

Теорема. Пусть функции интегрируемы на любом измеримом по Жордану компакте, содержащемся в множестве и. Тогда

1. если несобственный интеграл сходится, то несобственный интеграл тожесходится;

2. если несобственный интеграл расходится, то несобственный интегралтоже расходится.

2. Сходимость кратных интегралов

Рассмотрим несобственный интеграл

.

При — сходится прии расходится при.

При ,

.

В полярной системе координат ,

.

При каких интеграл ограничен посходится.

Для исследования сходимости интеграла будем использовать сферическую систему координат

,

В ней

,

— ограничен сходится.

Здесь есть площадь поверхности сферы единичного радиуса.

При ,— объем шара радиуса,

Имеем .

3. Кратные несобственные интегралы 2-го рода. Абсолютная сходимость.

Признак сравнения

Пусть — измеримая по Жордану область,

, ,.

Последовательность множеств изназывается-допустимой , если

1. ограничены, измеримы по Жордану,

2. ,,

3..

Пример : ,-допустимой последовательностью будет , например, последовательность множеств.

Число называется несобственным интегралом второго рода от функциипо ограниченной области, если для любой последовательности,-допустимых множеств существует.

Если сходится интеграл ,то говорят, что интеграл сходится абсолютно.

Теорема. Несобственный интеграл сходится— сходится. Интеграл сходится последовательностьограниченная хотя бы для одной последовательности-допустимых множеств.

Признак сравнения можно записать в следующей форме.

Теорема. Пусть функции интегрируемы на любом измеримом по Жордану компакте, содержащемся в множестве и. Тогда имеем

1. если несобственный интеграл сходится, то несобственный интегралтоже сходится;

2. если несобственный интеграл расходится, то несобственный интегралтоже расходится.

studfiles.net

П.2.3. Вычисление тройного интеграла в сферических координатах.

 

Точка в трехмерном пространстве описывается тремя координатами (x,y,z) которые являются проекциями точки на оси Oх, Oу и Oz. Используем другой подход. Введем r — расстояние от начала координат до точки, j— угол поворота в плоскости Oxy, y — угол, который отсчитывают от плоскости Oxy. Сферические координаты (r,j,y) связаны с декартовыми координатами соотношениями , где 0£j<2p, -p/2£y£p/2, 0£r<+¥. Якобиан перехода к сферическим координатам равен (проверить самостоятельно). Тогда справедлива формула замены в тройном интеграле:

 

(20)

Сферические координаты удобно применять в случае, когда область интегрирования есть шар или его часть, так как уравнение его границы — сферы x²+y²+z²=R², где R— радиус сферы, в сферических координатах имеет вид r=R. Удобно также переходить и в случае, если подынтегральная функция содержит выражения вида x²+y²+z²=r².Если область G ограничена эллипсоидом x²/a²+y²/b²+z²/с²=1, то используют обобщенные сферические координаты , где якобиан . В этих координатах уравнение эллипсоида имеет простой вид r=1.

 

Пример 1: Вычислить , где G – шар .

Решение: Границей области G является сфера x²+y²+z²=1, уравнение которой в сферических координатах имеет вид r=1. Так как r – расстояние до начала координат, то для любой точки шара выполняется неравенство . Угол φ вводится в плоскости Oxy так же, как и в полярных координатах. Проекция шара на плоскость Oxy — круг, а для круга . Угол отклонения ψ от плоскости Oxy принимает наибольшее значение для точек, лежащих на оси Оz при z>0 и наименьшее значение на оси Oz при z<0. Поэтому для шара всегда . Таким образом, при переходе к сферическим координатам шар G преобразуется в область Ω, которая является прямоугольным параллелепипедом: , , .

 

Пример 2: Вычислить , где G – часть шара , лежащая в первом октанте (x>0, y>0, z>0).

Рис.40

Решение: Область G приведена на рис. 40. Как уже говорилось, для всех точек шара справедливо . Проекцией области G на плоскость Оху является часть круга, лежащего в первой четверти, поэтому . Угол ψ принимает в данной области наименьшее значение ψ=0 для точек координатной плоскости z=0 , а наибольшее значение для точек на оси Оz при z>0. Расставляем пределы интегрирования:

 

 

Пример 3: Вычислить тройной интеграл , если область G ограничена сферой .

Рис.41

Решение: Преобразуем уравнение сферы к каноническому виду, выделив полный квадрат по z: . Сфера с центром в точке (0,0,1/2) радиуса 1/2, касается начала координат и расположена выше координатной плоскости z=0 (рис. 41). Ее уравнение в сферических координатах имеет вид r=sinψ, так что для всех внутренних точек выполняется неравенство . Так как проекцией области G на плоскость Оху является круг, то .Угол отклонения ψ для данной области изменяется в пределах . Расставляем пределы интегрирования:

 

Пример 4: Перейти к сферическим координатам и вычислить , где G— объем, ограниченный поверхностями x²+y²=z², x²+y²+z²=a², z=0, x=0, y=0

 

Решение: Область G— это часть шара, лежащего в первом октанте и вырезанного конусом (рис.42).Как уже говорилось, для шара в первом октанте , , а угол ψ наименьшее значение принимает на поверхности конуса. Найдем его из уравнения конуса, преобразовав к сферическим координатам: r²(cos²φ+sin²φ)cos²ψ=r²sin²ψ или tgψ=1,откуда получаем .

Перейдем к сферическим координатам:

 

 

 

Рис.42 Рис.43

 

 

Пример 5: В интеграле перейти к сферическим координатам и расставить пределы интегрирования, если G – общая часть двух шаров и .

 

Решение: Область G приведена на рис.43. Из рисунка видно, что нижней границей области является сфера со смещенным центром, ее уравнение r=2Rsinψ, а верхней – сфера с центром в начале координат, уравнение которой r=R. Поэтому область G необходимо разбить на две области конической поверхностью, проходящей через линию пересечения двух сфер. Найдем ее уравнение: 2Rsinψ=R или sinψ=1/2 , откуда получаем . В первой области при координата r изменяется от 0 до 2Rsinψ, а во второй области при r изменяется от 0 до R. В обоих случаях , так как проекциями этих областей на плоскость Оху является круг. В итоге получаем

Замечание: При решении некоторых задач, например, связанных с радиолокацией, удобнее отсчитывать угол y не от плоскости Oху, а от оси Oz. Приведем данные координаты:

, где 0£j<2p, 0£y£p, 0£r<+¥, .

 



infopedia.su

Сферическая система координат — Википедия

Точка имеет три декартовых и три сферических координаты

Сферическую систему координат удобно определять, соотносясь с декартовой прямоугольной системой координат (см. рисунок):

Сферическими координатами называют систему координат для отображения геометрических свойств фигуры в трёх измерениях посредством задания трёх координат , где  — кратчайшее расстояние до начала координат, а и  — зенитный и азимутальный углы соответственно.

Понятия зенит и азимут широко используются в астрономии. Вообще зенит — это направление вертикального подъёма над произвольно выбранной точкой (точкой наблюдения), принадлежащей так называемой фундаментальной плоскости. В качестве фундаментальной плоскости в астрономии может быть выбрана плоскость, в которой лежит экватор, или плоскость, в которой лежит горизонт, или плоскость эклиптики и т. д., что порождает разные системы небесных координат. Азимут — угол между произвольно выбранным лучом фундаментальной плоскости с началом в точке наблюдения и другим лучом этой плоскости, имеющим общее начало с первым.

Применительно к нашему рисунку сферической системы координат, фундаментальная плоскость — это плоскость xy. Зенит — некая удалённая точка, лежащая на оси Z и видимая из начала координат. Азимут отсчитывается от оси X до проекции радиус-вектора r на плоскость xy. Это объясняет названия углов, как и то, что сферическая система координат может служить обобщением (пусть хотя бы и приближённым) множества видов систем небесных координат.

Три координаты определены как:

Угол называется зенитным, или полярным, или нормальным, а также он может быть назван английским словом colatitude, а угол  — азимутальным. Углы и не имеют значения при , а не имеет значения при (то есть при или ).

Такое соглашение установлено в стандарте (ISO 31-11</span>^ru_en). Кроме того может использоваться соглашение, когда вместо зенитного угла , используется угол между радиус-вектором точки r и плоскостью xy, равный  — . Он называется широтой и может быть обозначен той же буквой . Широта может изменяться в пределах . При этом соглашении углы и не имеют значения при , так же как и в первом случае, а не имеет значения при (то есть при или ).

Переход к другим системам координат[править]

Декартова система координат[править]

Если заданы сферические координаты точки, то переход к декартовым осуществляется по формулам:

Обратно, от декартовых к сферическим:

(здесь, конечно, требуется определенное естественное уточнение для значений вне первого октанта; то же для всех формул с арктангенсом здесь и ниже; впрочем, замена на соответствующую формулу с арккосинусом снимает этот вопрос в отношении координаты ).

Якобиан преобразования от декартовых к сферическим будет равен:

Таким образом, элемент объёма при переходе от декартовых к сферическим координатам будет выглядеть следующим образом:

Цилиндрическая система координат[править]

Если заданы сферические координаты точки, то переход к цилиндрическим осуществляется по формулам:

Обратно от цилиндрических к сферическим:

Якобиан преобразования от сферических к цилиндрическим:

Дифференциальные характеристики[править]

Вектор , проведённый из точки в точку , равен

где

ортогональные единичные векторы сферических координат в направлении увеличения , соответственно, а  — единичные векторы декартовых координат. Сферические координаты являются ортогональными, поэтому метрический тензор имеет в них диагональный вид:

• Квадрат дифференциала длины дуги:

Остальные равны нулю.

wp.wiki-wiki.ru

23. Переход к сферическим координатам

Формулы , , преобразуют сферические координаты точки M в декартовы координаты этой точки и переводят область (или ) изменения сферических координат на все пространство Oxyz.

Геометрически: R — радиус-ветор OM точки M; j — угол между осью Ox и проекцией радиус-вектора R на плоскость Oxy; y — угол между осью Oz и радиус-вектором R, отсчитываемый по ходу стрелки часов (рис.14.18).

Обратное преобразование имеет вид

, ,

,

Фиксируя в последних формулах , получим тройку координатных поверхностей: сферу, полуплоскость, полуконус, соответственно (рис.14.18).Якобиан преобразования

.

При переходе в тройном интеграле к сферическим координатам справедлива формула:

, (3.7)

Где W — область изменения сферических координат точек области V из Oxyz.

Пример 12. Вычислить тройной интеграл , где .

Ñ Область V ограничена полусферой и полуконусом (рис.14.18). Для удобства вычисления тройного интеграла перейдем к сферическим координатам по формулам: , при этом . Неравенства, описывающие V , преобразуются: а)

Б) .

Так как нет ограничений на , то . В итоге, область интегрирования в сферических координатах есть (этот же результат можно было усмотреть из чертежа). Тогда по формуле (3.7) =½повторный интеграл «расщепился» в произведение определенных интегралов ½=

=. #

Пример 13. Вычислить тройной интеграл , где V ограничена полусферой , цилиндром И плоскостью .

Ñ Тело V и проекция его на плоскость Oxy — круг радиуса R изображены на рис.14.19 и 14.20. Для вычисления I перейдем к цилиндрическим координатам по формулам . Поверхности, ограничивающие V преобразуются: а) , б) , в) Z=A . Так как нет ограничений на координату , то (или .Область интегрирования в цилиндрических координатах есть .

Тогда по формуле (3.6) = = == = ==. #

Задачи для самостоятельного решения

Перейти в тройном интеграле к цилиндрическим координатам или сферическим координатам и расставить пределы интегрирования:

52. V – область, находящаяся в первом октанте и ограниченная поверхностями , .

53. V – область, ограниченная поверхностями .

54. .

55. .

Перейдя к цилиндрическим или сферическим координатам, вычислить интегралы:

56. . 57. .

58. . 59. .

60. , где .

61. , где .

62. , где область V ограничена поверхностью .

< Предыдущая		Следующая >

matica.org.ua

Сферическая система координат — Википедия

Точка имеет три декартовых и три сферических координаты

Сферическую систему координат удобно определять, соотносясь с декартовой прямоугольной системой координат (см. рисунок):

Сферическими координатами называют систему координат для отображения геометрических свойств фигуры в трёх измерениях посредством задания трёх координат , где  — кратчайшее расстояние до начала координат, а и  — зенитный и азимутальный углы соответственно.

Понятия зенит и азимут широко используются в астрономии. Вообще зенит — это направление вертикального подъёма над произвольно выбранной точкой (точкой наблюдения), принадлежащей так называемой фундаментальной плоскости. В качестве фундаментальной плоскости в астрономии может быть выбрана плоскость, в которой лежит экватор, или плоскость, в которой лежит горизонт, или плоскость эклиптики и т. д., что порождает разные системы небесных координат. Азимут — угол между произвольно выбранным лучом фундаментальной плоскости с началом в точке наблюдения и другим лучом этой плоскости, имеющим общее начало с первым.

Применительно к нашему рисунку сферической системы координат, фундаментальная плоскость — это плоскость xy. Зенит — некая удалённая точка, лежащая на оси Z и видимая из начала координат. Азимут отсчитывается от оси X до проекции радиус-вектора r на плоскость xy. Это объясняет названия углов, как и то, что сферическая система координат может служить обобщением (пусть хотя бы и приближённым) множества видов систем небесных координат.

Три координаты определены как:

Угол называется зенитным, или полярным, или нормальным, а также он может быть назван английским словом colatitude, а угол  — азимутальным. Углы и не имеют значения при , а не имеет значения при (то есть при или ).

Такое соглашение установлено в стандарте (ISO 31-11</span>^ru_en). Кроме того может использоваться соглашение, когда вместо зенитного угла , используется угол между радиус-вектором точки r и плоскостью xy, равный  — . Он называется широтой и может быть обозначен той же буквой . Широта может изменяться в пределах . При этом соглашении углы и не имеют значения при , так же как и в первом случае, а не имеет значения при (то есть при или ).

Переход к другим системам координат[править]

Декартова система координат[править]

Если заданы сферические координаты точки, то переход к декартовым осуществляется по формулам:

Обратно, от декартовых к сферическим:

(здесь, конечно, требуется определенное естественное уточнение для значений вне первого октанта; то же для всех формул с арктангенсом здесь и ниже; впрочем, замена на соответствующую формулу с арккосинусом снимает этот вопрос в отношении координаты ).

Якобиан преобразования от декартовых к сферическим будет равен:

Таким образом, элемент объёма при переходе от декартовых к сферическим координатам будет выглядеть следующим образом:

Цилиндрическая система координат[править]

Если заданы сферические координаты точки, то переход к цилиндрическим осуществляется по формулам:

Обратно от цилиндрических к сферическим:

Якобиан преобразования от сферических к цилиндрическим:

Дифференциальные характеристики[править]

Вектор , проведённый из точки в точку , равен

где

ортогональные единичные векторы сферических координат в направлении увеличения , соответственно, а  — единичные векторы декартовых координат. Сферические координаты являются ортогональными, поэтому метрический тензор имеет в них диагональный вид:

• Квадрат дифференциала длины дуги:

Остальные равны нулю.

www.wiki-wiki.ru