Что дает минус на плюс в математике: Почему минус на минус всегда даёт плюс? – статья – Корпорация Российский учебник (издательство Дрофа – Вентана)

Докажем \(\влево(-2\вправо)\раз\влево(-3\вправо)=+6\).

По первому из правил мы должны сказать: \(\left(-2\right)\times 0 = 0\).

Переписав первый ноль, мы должны договориться, что: \(\влево(-2\вправо)\times \влево(3+\влево(-3\вправо)\вправо) = 0\).

При распределении мы также должны согласиться с тем, что: \(\влево(-2\вправо)\умножить на 3 + \влево(-2\направо)\раз\влево(-3\направо)=0\).

Это выглядит так: \(-6 + \влево(-2\вправо)\times\влево(-3\вправо)=0\).

Отсюда следует, что \(\влево(-2\вправо)\times\влево(-3\вправо)\) должно быть \(+6\).

УПРАЖНЕНИЕ: Создайте аналогичный аргумент, чтобы установить, что \(\left(-4\right)\times\left(-5\right)=+20\).

В контексте положительных целых чисел повторяется сложение.

В контексте положительных и отрицательных целых чисел я лично не знаю, что это такое, кроме математически согласованного набора операций, так что если \(a\) и \(b\) — положительные целые числа, тогда \(a\times \left(-b\right)=-ab\) и с логическими последствиями \(\left(-a\right)\times b = b \times \left(-a\right) =-ab\) и \(\left(-a\right)\times\left(-b\right) = ab\).

Люди пытаются придать всему этому конкретный смысл с моделями солдат, марширующих по числовым линиям, поворачивающих в разные стороны, системами прибыли и долга, работающими при плюсовых и минусовых температурах и так далее. Каждая модель хороша для иллюстрации НЕКОТОРЫХ аспектов арифметики отрицательных чисел, но не всех. Например, идея «убрать пять градусов холода — это то же самое, что добавить пять градусов тепла» может помочь некоторым объяснить, почему \(-\left(-5\right)\) должно равняться \(5\) , но само по себе это не объясняет, почему отрицательное, умноженное на отрицательное, называется положительным.

С педагогической точки зрения нам нужно отойти от того, чтобы ученик начал думать об умножении отрицательных чисел с помощью моделей, которые пытаются, но должны в какой-то момент потерпеть неудачу, «объяснить», что такое умножение отрицательных чисел. Вместо этого мы должны начать с обсуждения того, что, по нашему мнению, должно быть верным в отношении умножения в целом и как оно ведет себя. Раскрытие скобок с помощью модели площадей дает убедительную студенческую иллюстрацию того, что математика «хочет», чтобы отрицательные числа, умноженные на отрицательные, были положительными. (А для студентов, готовых к этому, аксиоматический подход завершает это.) Что на самом деле означает выражение «отрицательное, умноженное на отрицательное, становится положительным» — я понятия не имею. Я просто знаю, что это алгебраически непротиворечиво.

УПРАЖНЕНИЕ:  а) Докажите, что \(-a\) и \(\left(-1\right) \times a\) — одно и то же число. (СОВЕТ: \(a+\left(-1\right)\times a = 1\times a + \left(-1\right)\times a = \ldots\) .)

b) Если вы верите что \(-\left(-5\right) = 5\) объясняют, почему теперь следует, что \(\left(-1\right) \times \left(-1\right) = 1\).

Присоединяйтесь к обсуждению в Facebook и Twitter и поделитесь этой страницей, используя кнопки ниже.

Facebook

Twitter

абстрактная алгебра — Почему отрицательное умножение на отрицательное = положительное?

$\begingroup$

Это довольно мягко, но однажды я видел аналогию в Интернете, чтобы объяснить это.

Если вы снимаете человека, бегущего вперед ($+$), а затем воспроизводите фильм вперед ($+$), он все еще бежит вперед ($+$). Если вы воспроизведете фильм в обратном направлении ($-$), он покажется бегущим в обратном направлении ($-$), поэтому результат умножения положительного и отрицательного будет отрицательным. То же самое происходит, если вы снимаете человека, бегущего задом наперед ($-$) и воспроизводите его в обычном режиме ($+$), кажется, что он все еще бежит назад ($-$). Теперь, если вы снимаете человека, бегущего назад ($-$), и воспроизводите его в обратном направлении ($-$), кажется, что он бежит вперед ($+$). Уровень, до которого вы ускоряете перемотку, не имеет значения ($-3x$ или $-4x$), эти результаты остаются верными. $$\text{назад} \times \text{назад} = \text{вперед}$$ $$ \text{отрицательный} \times \text{отрицательный} = \text{положительный}$$ Это не идеально, но вводит понятие числовой прямой, по крайней мере, имеющей направления.

$\endgroup$

4

$\begingroup$

Неформальное обоснование $\text{positive} \times \text{negative} = \text{negative}$

Продолжите шаблон:

$$ \начать{массив}{г} 2 & \times & 3 & = & 6\\ 2 & \раз & 2 & = & 4\\ 2 & \times & 1 & = & 2\\ 2 & \times & 0 & = & 0\\ 2 & \times & -1 & = & ? & (\текст{Ответ} = -2 )\\ 2 & \times & -2 & = & ? & (\текст{Ответ} = -4)\\ 2 & \times & -3 & = & ? & (\текст{Ответ} = -6 )\\ \конец{массив} $$

Число в правой части продолжает уменьшаться на 2.

Неформальное обоснование $\text{negative} \times \text{negative} = \text{positive}$

Продолжите шаблон:

$ $ \начать{массив}{г} 2 & \times & -3 & = & -6\\ 1 & \times & -3 & = & -3\\ 0 & \times & -3 & = & 0\\ -1 & \times & -3 & = & ? & (\текст{Ответ} = 3 )\\ -2 & \times & -3 & = & ? & (\текст{Ответ} = 6 )\\ -3 & \times & -3 & = & ? & (\текст{Ответ} = 9)\\ \конец{массив} $$

Число справа постоянно увеличивается на 3.

$\endgroup$

9

$\begingroup$

Что ж, если бы я мог объяснить это кому-то интуитивно (или, по крайней мере, попытаться), я хотел бы провести аналогию с ходьбой по реальной линии, согласившись, что ходьба налево будет идти в отрицательном направлении и идти прямо в положительном направлении.

Затем я попытаюсь передать идею о том, что если вы умножаете два числа (предположим, что они целые, чтобы было проще представить), то произведение $2*3$ просто означает, что вы должны идти прямо (в положительном направлении) расстояние в 2$ (например, мили) три раза, то есть сначала вы проходите 2$ мили, затем еще 2$ мили и, наконец, еще 2$ мили вправо.

Теперь вы представляете, где вы находитесь? Ну, вы справа от начала координат, так что вы находитесь в положительной части. Но точно так же вы можете обыграть эту идею с негативом, умноженным на позитив.

Имея в виду тот же пример, что будет означать $-2*3$? Во-первых, предположим, что $-2$ просто указывает, что вам придется пройти налево расстояние в $2$ миль. Тогда сколько раз вы пройдете это расстояние? Так же, как и раньше, раз на $3$, и в конце концов вы окажетесь на $6$ миль левее исходной точки, так что вы окажетесь в отрицательной секции.

Наконец, вам нужно попытаться представить, что может означать $(-2)*(-3)$. Может быть, вы могли бы подумать о отрицательном знаке во втором факторе, означающем, что вы меняете направление, то есть заставляет вас развернуться и начать идти указанное расстояние. Таким образом, в этом случае $-2$ говорит вам пройти налево расстояние в $2$ миль, но $-3$ говорит вам сначала развернуться, а затем пройти $3$, умноженные на $2$ миль, в другом направлении, так что вы в конечном итоге пойдете вправо и закончите в точке, которая находится в $6$ милях справа от начала координат, так что вы окажетесь в положительном сечении, и $(-2)*(-3) = 6$.

Я не знаю, поможет ли это, но это единственный способ, которым я могу думать об этом в каком-то интуитивном смысле.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Кто-то недавно прислал мне это:

Я даю вам три купюры по 20 долларов: +3 * +20 = +\$60 для вас
Я даю вам три долга по 20 долларов: +3 * -20 = -\60 долларов для вас
Я беру от вас три купюры по 20 долларов: -3 * +20 = -\$60 для вас 9{\Large =\,0})(\color{#c00}{-y}) + xy = xy$

Эквивалентно, $ $ оценить $\rm\,\ \overline{(-x)(-y) \ +\ } \overline{ \underline {\color{#c00}{x(-y)}}}\underline{\phantom{(}\! +\,\color{#0a0}{xy}}\, $ в $\:\!2\:\!$ способами (обратите внимание на подчеркнутые термины $ = 0)$

Сказано больше концептуально $\rm (-x)(-y)\ $ и $\rm\ :\color{#0a0}{xy}\:$ являются аддитивными инверсиями $\rm\ \color{#c00}{x(-y)}\ $, поэтому они равны в силу единственности инверсий: $ $ т. е. если $\rm\,\color{#c00}a\,$ имеет две аддитивные обратные $\rm\,{-a}\,$ и $\rm\,\color{#0a0}{-a}, \,$ затем 9{\ large = \, 0} + \ color {# 0a0} {-a} \, = \, \ color {# 0a0} {-a} \ qquad $ $

Эквивалентно, $ $ оценить $ \ rm \ ,\ \overline{-a\, +\!\!} \overline{\phantom{+}\! \underline {\color{#c00}{a}}}\underline{\ + \color{#0a0}{-a}}\ $ $\,2\,$ способами (обратите внимание на подчеркнутые термины $ = 0 )$

В этом доказательстве Закона Знаков используются хорошо известные законы натуральных чисел (особенно распределительный закон ), поэтому, если мы потребуем, чтобы эти законы сохранялись в других «числовых» системах, то Закон Знаков является логическим следствием этих основных законов (абстрагированных от законов (положительных) целых чисел).

Эти фундаментальные законы «чисел» аксиоматизированы алгебраической структурой, известной как кольцо, и различными ее специализациями. Поскольку приведенное выше доказательство использует только кольцевых закона (в первую очередь дистрибутивного закона ), закон знаков выполняется в каждом кольце, например. кольца полиномов, степенные ряды, матрицы, дифференциальные операторы и т. д. На самом деле каждая нетривиальная кольцевая теорема (т. е. та, которая не вырождается в теорему о лежащей в основе аддитивной группе или мультипликативном моноиде) должна использовать дистрибутивный закон, поскольку это единственный закон, который связывает аддитивную и мультипликативную структуры, которые в совокупности образуют кольцевую структуру. Без дистрибутивного закона кольцо вырождается в множество с двумя совершенно не связанными между собой аддитивной и мультипликативной структурами. Итак, в каком-то смысле распределительный закон — это краеугольный камень кольцевой структуры.

Замечание $\ $ В более общем случае Закон знаков выполняется для любых нечетных функций под композицией, т.е. многочлены, все члены которых имеют нечетную степень. Действительно, у нас есть

$$\begin{align}\rm f(g)\ =\ (-f)\ (-g)\ =\:\! -(f(-g)) \iff\,&\rm \ f(-g)\ = -(f(g))\\ \rm \overset{ \large g(x)\,=\,x}\iff&\rm \ f(-x)\ = -f(x),\ \ \text{т. е. $\rm\:f\:$ нечетно} \end{align}\qquad$$

Обычно такие функции имеют только более слабую рядом с — кольцевая структура. В приведенном выше случае колец из дистрибутивности следует, что умножение линейно, следовательно, нечетно (рассматривая кольцо в стиле Кэли как кольцо эндоморфизмов своей абелевой аддитивной группы, т. е. представление каждого кольцевого элемента $\rm\r\$ линейным отображением $\rm\x\to r\x,\$ т. е. как $1$-мерная матрица).

$\endgroup$

5

$\begingroup$

Я думаю, что многие ответы либо слишком просты, либо слишком сильно отклоняются от математики. Просто помните, что умножение — это многократное сложение. При работе с отрицательными числами это становится повторным вычитанием.

Я бы просто сказал в этом контексте:

1. Уравнение: $$\begin{уравнение*}\begin{массив}{c} \фантом{\times9}2\\ \подчеркнуть{\раз\фантом{9}2}\\ \фантом{\times9}4\\ \end{массив}\end{уравнение*}$$ просто добавляет положительный $ 2 $, два раза.

2. Уравнение: $$\begin{уравнение*}\begin{массив}{c} \фантом{\times999}2\\ \подчеркнуть{\раз\фантом{1}-2}\\ \фантом{\times9}-4\\ \end{массив}\end{уравнение*}$$ это просто добавление положительных $2$, отрицательных два раза, что означает, что вместо добавления в положительном направлении вы добавляете в отрицательном направлении (вычитание).

   Вы также можете просто сказать, что добавляете $-2$ (или вычитаете $2$) два раза.

3. Уравнение: $$\begin{уравнение*}\begin{массив}{c} \фантом{\times9}-2\\ \подчеркнуть{\раз\фантом{1}-2}\\ \фантом{\times999}4\\ \end{массив}\end{уравнение*}$$ добавляет $-2$, минус два раза. Добавление $-2$ два раза дает диаграмму в (2). Поскольку вам нужно сложить с минусом два раза, вы измените направление сложения.

   Можно также сказать, что вы вычитаете $-2$ два раза.

$\endgroup$

5

$\begingroup$

Простой ответ: $$ (-а)б + аб = (-а)б + аб $$ $$(-a)b + ab = b(a-a) $$ $$(-a)b + ab = b(0) $$ $$(-a)b + ab = 0 $$ $$(-a)b = -ab $$ $$(-a)(-b) + (-ab) = (-a)(-b) + (-a)b $$ $$(-a)(-b) + (-ab) = (-a)(b-b) $$ $$(-a)(-b) + (-ab) = (-a)(0) $$ $$(-a)(-b) + (-ab) = 0 $$ $$*(-a)(-b) = аб $$ Надеюсь, это поможет (Кредит исчисления Майкла Спивака)

~ Алан

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Это действительно один из тех важных вопросов, которые заставляют многих людей говорить: «Математика — отстой!». На самом деле, для многих студентов математика потеряла смысл где-то в процессе. Медленно или драматично они сдавались на поле как безнадежно непонятном и сложном и вырастали взрослыми, которые, уверенные в том, что другие разделяют их опыт, небрежно заявляют: « Математика была просто не для меня » или « Я никогда не был хорош в этом. ” Обычно процесс идет постепенно, но для Рута Макнейл, поворотный момент был четко определен. В статью в Journal of Mathematical Behavior, она описал как это было:

Меня привлекла идея, что отрицательное число раз отрицательное число превращается в положительное количество. Это казалось (и до сих пор кажется) по своей сути маловероятно — контринтуитивно, как говорят математики. Я боролся с идеей того, что я себе представляю несколько недель, пытаясь получить разумное объяснение от моего учителя, моих одноклассников, моих родителей, любого- тело. Какие бы объяснения они ни предлагали, они не могли преодолеть мое сильное чувство, что умножение что-то усиливает, и, таким образом, два отрицательных числа умноженные вместе должны должным образом давать очень отрицательный результат. С тех пор мне предложили умеренно убедительное объяснение, в котором фигурирует фильм бассейн осушается, что возвращается назад- палаты через проектор. Однако в то время меня ничего не убедило. Самый здравый смысл все школьные предметы отказались от здравого смысла; Я был возмущен и сбит с толку.

Тем временем учебная программа продолжалась, и я мог видеть, что я не могу оставаться позади, застряв на отрицательном тивные времена отрицательные. я бы обратил внимание на следующая тема и единственный практический курс, открытый для Мне нужно было притвориться, что согласен с тем, что отрицательные времена отрицательные. тивное равно положительному. Книга и учитель и общее мнение выживших после алгебры так- общество было явно более могущественным, чем я. я капито- поздно Я сделал остальную часть алгебры, и геометрии, и тригонометрия; Я делал их в продвинутых разделах, и у меня часто возникало приятное чувство «ага!» когда я мог внезапно увидеть, как придет доказательство вне. Но под ней какая-то обида и затаилось предательство, и я не удивился и не встревожился из-за дальнейших глупостей моих учителей математики рукава… Интеллектуально я был свободен, и когда математика стала не нужна, я взял немецкий вместо.

---

В этом ответе я покажу, что: отрицательный $\times$ отрицательный $=$ положительный на самом деле совсем не противоречит здравому смыслу! Есть много способов, которые мы можем использовать, чтобы показать этот результат, но я хотел бы показать мой личный способ думать о последнем.

Представим, что мы сидим у дороги, а рядом с ней движется автомобиль с постоянной скоростью. У нас также есть часы, и поэтому мы можем измерять время.

Прежде чем двигаться дальше, мы должны сначала указать некоторые предположения, например, если автомобиль движется вправо, то его скорость будет положительной, а если он движется в левом направлении, то его скорость будет отрицательной.

Теперь представьте, что у вас есть видео с показанной выше сценой, и время положительно, если вы воспроизводите видео в обычном режиме, но отрицательно, если вы воспроизводите его в обратном порядке. Мы также знаем следующее: $$\rm Velocity=\dfrac{\rm Distance}{\rm Time}.$$ Находя расстояние, получаем: $$\rm Velocity\times{\rm Time}={\rm Distance}.$$ Здесь наступает важная часть, если машина движется в направлении $+$ и время воспроизведения видео положительное, т.е. видео воспроизводится нормально, то вы увидите, что машина движется в направлении $+$ и вы подсчитаете, что он перемещается на «положительное расстояние». Поэтому верно следующее: $$\rm положительный\times положительный=положительный.$$

Если машина движется в направлении $-$ и время воспроизведения видео положительное, т.е. видео воспроизводится нормально, то вы увидите, что машина движется в направлении $-$, тогда вы посчитаете, что он перемещается на «отрицательное расстояние». Таким образом: $$\rm отрицательное\раз положительное=отрицательное.$$

Если же автомобиль движется в направлении $+$, но время воспроизведения видео отрицательное, т.е. видео воспроизводится в обратном направлении, то вы увидите, что машина движется в направлении $-$, и вы подсчитаете, что она перемещается на «отрицательное расстояние». Таким образом: $$\rm положительное\times отрицательное=отрицательное.$$

Если машина движется в направлении $-$, но время воспроизведения видео отрицательное, т.е. видео воспроизводится в обратном направлении, вы увидите, что машина движется в направлении $+$! Таким образом, он перемещается на «положительное расстояние». И, следовательно,: }}}$$ Как вы уже убедились, нужно лишь немного воображения, чтобы понять смысл.

Надеюсь, это поможет.
С наилучшими пожеланиями, $\mathcal H$akim.

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Элементарную интуицию, стоящую за произведением двух отрицаний, можно представить следующим образом. У вас есть банковский счет. Вы оплачиваете 3 счета по 40 долларов каждый, на ваш счет зачисляется 3$ \cdot (-40) = -120$.

Противоположностью выставления счетов будет выставление счетов кому-то другому.

Итак, если вы выставите счет трем людям по 40 долларов каждому, на ваш счет будет добавлено $(-3) \cdot (-40)$. Это значение должно быть положительным, поскольку в результате вы получаете деньги.

$\endgroup$

$\begingroup$

Вот доказательство. Во-первых, для всех $x$ $x\cdot 0=x\cdot(0+0)=x\cdot 0 +x\cdot 0$. Вычитая $x\cdot0$ с каждой стороны, $x\cdot0=0$. Теперь для всех $x$ и $y$ $0=x\cdot0=x\cdot(-y+y)=x\cdot(-y)+x\cdot y$. Вычитая $x\cdot y$ с обеих сторон, $x\cdot(-y)=-(x\cdot y)$. Применяя это дважды вместе с тождеством $-(-a)=a$, $(-x)\cdot(-y)=-(-x)\cdot y=-(-(x\cdot y))=x \cdot у$.

Ваше доказательство неявно использует тот факт, что $-xy=(-x)y$, и предполагает, что есть только две возможности, $xy$ или $-xy$, а затем показывает, что последнее невозможно. Это кажется правдоподобным предположением, но я старался быть очень осторожным в своем доказательстве выше (таким образом, используя $-(x\cdot y)$, а не просто $-xy$, чтобы не путать с $(-x)\cdot y$ ).

У меня есть только смутное интуитивное представление, которое я, вероятно, не могу хорошо объяснить, но я иногда думаю об отрицательном числе, таком как $-5$, как о «$5$ в другом направлении», и поэтому умножаю на $-5$ означает «умножить на $5$ и изменить направление», т. е. знак. Это означает, что если вы умножаете $-5$ на отрицательное число, вы должны изменить его направление обратно на положительное.

$\endgroup$

0

$\begingroup$

Я всегда рассматривал отрицательные числа как «переворот» на числовой прямой.

Например, -2 то же самое, что и 2, но отражено с другой стороны от нуля.

Умножение тогда работает следующим образом:

2 x 3 не имеет переворотов, так что это просто 2×3 = 6.

-2 x 3 имеет один переворот, поэтому вы начинаете с 2×3 = 6, но с одним переворотом, так что получается -6 вместо.

2 x -3 то же самое, только один переворот, поэтому 2×3 = 6, но перевернутый до -6.

-2 x -3 имеет два переворота, поэтому вы начинаете с 2×3 = 6. Когда вы применяете два переворота, вы возвращаетесь к тому, с чего начали, потому что вы переворачиваете на отрицательное значение, а затем переворачиваете обратно. Значит -3 х -2 = 6,

$\endgroup$

$\begingroup$

Довольно хорошее объяснение состоит в том, что кто-то хочет, чтобы закон распределения работал вообще с положительными величинами, когда вы добавляете (меньшие) отрицательные величины: Если $x>a\ge0$ и $y>b\ge0$, то $$ (xa)(yb)=(x+(-a))(y+(-b))=xy+(-a)y+x(-b)+(-a)(-b) $$ Чтобы это всегда работало, нужно $(-a)y=-(ay)$ в случае $b=0$, $x(-b)=-xb$ в случае $a=0$ и $(- а)(-б)=аб$.

$\endgroup$

$\begingroup$

Я думаю, что x и y немного мешают; вы можете увидеть важные шаги, используя только 1 и -1. На самом деле вы показали, что (-1)(-1)=-1 приводит к противоречию. Если мы разделим на -1, то получим -1=1, что неверно!

Чтобы получить правильный ответ (-1)(-1)=1, нужно сделать еще пару шагов: Во-первых, вы должны согласиться с тем, что (1)+(-1)=0, (1)(-1)=- 1 и (0)(-1)=0.

Теперь умножим первое уравнение на (-1) и воспользуемся свойством распределения, чтобы получить (-1)(-1)+(-1)(1)=(-1)(0). Теперь упростим известные нам части, чтобы получить (-1)(-1)+(-1)=0. Решите для (-1)(-1), и вы получите (-1)(-1)=1.

Итак, мы должны иметь (-1)(-1)=1, если мы принимаем основные правила арифметики: 0 — аддитивная единица, 1 — мультипликативная единица, -1 — аддитивная обратная единице, а умножение распределяется по добавление.

Одним из физических объяснений отрицательного * отрицательного = положительного, которое людям часто нравится, является коэффициент умножения. Вы можете снимать человека, идущего вперед (положительный показатель) или задом наперёд (отрицательный показатель). Теперь воспроизведите фильм, но в обратном порядке (еще одна отрицательная скорость). Что вы увидите, если воспроизведете фильм о том, как кто-то идет задом наперёд? Вы видите человека, идущего вперед, потому что отрицательно*отрицательно=положительно!

$\endgroup$

$\begingroup$

Расширение действительных чисел до комплексной плоскости. Умножение на $-1$ — это поворот на $\pi$ радиан. Когда вы умножаете на два минуса, вы поворачиваете на $2\pi$. 🙂

$\endgroup$

$\begingroup$

Необходимо понимать, что этот закон нельзя доказать так же, как можно доказать законы положительной рациональной и интегральной арифметики. Причина этого в том, что у негативов нет никакого «внешнего» (внешнего по отношению к математике, т.е. доаксиоматическое, интуитивное, концептуальное, эмпирическое, физическое, и т. д. ) определение.

Например. Даже не вдаваясь в аксиомы Пеано, я могу доказать, что, где $a$ и $b$ — натуральные числа, $ab=ba$. Действительно, $ab$ — это просто процесс взятия $a$ наборов из $b$. Возьмем по одному элементу из каждого из этих наборов, сформировав таким образом набор из $a$ элементов. Повторите это $b$ раз: вы явно израсходуете ровно все элементы и получите $b$ наборов из $a$ элементов, другими словами, $ba$. Подобные неформальные (но вполне убедительные, разумные и, я бы сказал, неопровержимые) рассуждения можно использовать, скажем, для демонстрации правил обращения с положительными дробями.

Обратите внимание, что в приведенном выше абзаце я использовал тот факт, что как положительные целые числа, так и положительное целочисленное умножение имеют доаксиоматическое, «физическое» определение.

Спросите кого-нибудь, почему произведение двух отрицательных чисел положительно, и лучшее, что они могут сделать, это объяснить , а не доказать . «Ну, отрицательный вид означает «противоположное», поэтому сделать противоположное дважды означает сделать обычное, то есть положительное» не является доказательством, а просто объяснением, служащим для того, чтобы сделать общепринятую математическую аксиому менее удивительной. Другая распространенная начинается со слов «мы хотели бы, чтобы обычные свойства арифметики сохранялись, поэтому предположим, что они выполняются…», но затем остается объяснить, почему так важно, чтобы выполнялись обычные законы арифметики. Сам Эйлер в одной из первых глав своего учебника по алгебре дал следующие в высшей степени сомнительное обоснование. Обосновав $(-a)b=-(ab)$ аналогиями с долгами, он пишет:

Осталось решить случай, в котором — умножается на -; или, например, -a на -b. Что касается букв, на первый взгляд очевидно, что произведение будет ab; но сомнительно, чтобы знак + или знак — был поставлен перед ним, все, что мы знаем, это то, что это должен быть один или другой из этих знаков. Теперь я говорю, что это не может быть знак -: ибо -а на +b дает -ab, а -а на -b не может дать того же результата, что -а на +b…

При всем уважении к Эйлеру (особенно с учетом того, что это было задумано как вводный учебник), я думаю, мы можем согласиться с тем, что это довольно сомнительный с философской точки зрения аргумент.

Причина, по которой это невозможно, заключается в том, что не существует доаксиоматического определения того, чем на самом деле является отрицательное число или отрицательное умножение. О, вы, вероятно, могли бы придумать определение, включающее противоположные «направления» и понятия симметрии, но это было бы совершенно искусственным и вовсе не очевидно «лучшим» определением. На мой взгляд, негативы в конечном счете лучше всего понимать как чисто абстрактные объекты. Так уж получилось — и это весьма загадочно — что эти совершенно абстрактные законы расчета приводят к физически значимым результатам. Это было прекрасно выражено в 1778 году математиком Джоном Плейфером, когда он обращался к тогдашним спорным вопросам об отрицательных и комплексных числах:0003

Вот парадокс, который еще предстоит объяснить. Если операции этой воображаемой арифметики непонятны, то почему они не совсем бесполезны? Является ли исследование настолько механическим искусством, что его можно проводить с помощью определенных ручных операций? Или истина так легко открывается, что интеллект не нужен для успеха наших исследований?

Цитируется по книге «Отрицательная математика: как математические правила могут быть положительно изогнуты» Альберто А. Мартинеса.

Один из способов решения проблемы состоит в том, что отрицательных числа — это другое название для вычитания . Различия между вычитанием и сложением вынуждают нас, если мы отвергаем отрицания, создавать множество различных правил, охватывающих все различные возможности ($a — b$, $b — a$ и $a + b$, и если конкретная теорема или проблема включает более двух переменных, сложность усугубляется еще больше…). Идею отрицаний можно описать как понимание того, что вместо двух операций и одного типа числа у нас может быть одна операция и два вида числа . В самом деле, если вы начнете с некоторых совершенно физически значимых аксиом о вычитании, вы обнаружите, что закон $(-1)(-1)=1$, по-видимому, подразумевается в них. Подсказка: исходя из очень разумных аксиом $a(b-c)=ab-ac\ ,\ a — (b — c) = a — b + c$, рассмотрим произведение $(a-b)(c-d)$.

Но и это объяснение меня не вполне удовлетворяет. Я пришел к убеждению, что мое образование обмануло меня в том, насколько глубока идея отрицательных чисел, и я ожидаю, что они останутся озадаченными еще много лет. В любом случае, я надеюсь, что что-то из вышеперечисленного будет кому-то полезно.

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Возможно, можно получить некоторую интуицию, нанеся на числовую прямую положение каждого числа. Инверсия любого числа визуализируется путем зеркального отображения исходного графика. Таким образом, обратным положительному числу (точке справа от нуля) является отрицательное число (точка слева от нуля на том же расстоянии от нуля). Точно так же обратное отрицательному числу является положительным числом. Если мы согласимся с тем, что умножение числа на -1 — это то же самое, что и нахождение обратного числа, то мы увидим, что произведение двух отрицательных чисел должно быть положительным, потому что зеркальное отражение зеркального изображения — это исходное изображение. 9{-1}а\cточка б$$ $$(1)а\cdot б$$ $$=a\cdot b$$

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Я предпочитаю объяснение моего любимого математика В. И. Арнольда (на самом деле физика, поскольку, по его собственным словам, «математика есть часть физики» и «экспериментальная наука»). Я считаю, что это наиболее естественное (но полностью математическое) объяснение такого базового понятия, как умножение отрицательных чисел.

Это отрывок из замечательных мемуаров Арнольда «Вчера и давно» (3-е изд. , доступно на английском языке в Springer), полных всемирной истории, драмы и остроумного повествования. Перевод 2007 года на английский, я считаю, не самого лучшего качества, но пока единственный.

из рассказа Семья Арнольдов

Я столкнулся с настоящей трудностью со школьной математикой через несколько лет после таблицу умножения: нужно было выучить, что «минус умножить на минус будет плюс» Я хотел знать доказательство этого правила; Я никогда не мог выучить наизусть то, что неправильно понял. Я попросил отца объяснить, почему (—1) • (—2) = (+2). Он, будучи учеником великих алгебраистов С. О. Шатуновского и Э. Нётер, дал следующее «научное объяснение»: «Точка — сказал он, — что числа образуют поле такое, что дистрибутив закон (x+y)z=xz+yz выполняется. А если бы произведение минус на минус не имело был бы плюс, этот закон был бы нарушен».

Однако для меня это «дедуктивное» (фактически юридическое) объяснение ничего не докажешь — ну и что! Можно изучать любые аксиомы! С в этот день я сохранил здоровое отвращение натуралиста к аксиоматический метод с его немотивированными аксиомами.

Аксиомофил Рене Декарт утверждал, что «ни экспериментальные проверки что аксиомы отражают реальность, ни сравнение теоретических результатов с реальностью должны быть частью науки» (почему результаты должны соответствуют действительности, если исходные принципы не соответствуют Это?).

Еще один тезис декартовской теории и методов воспитания даже своеобразнее и современнее: «Надо запретить все прочие методы обучения кроме моего потому что только этот метод политкорректно : с моим чисто дедуктивным методом любой скучный ученик может обучаться так же успешно, как и самый одаренный , при этом с другими методами воображение и даже рисунки используются неизбежно, и по этой причине гении продвигаются быстрее чем балбесы ».

Вопреки дедуктивным теориям моего отца и Декарта, как десять лет, я начал думать о естественно-научном смысле правила знаков , и я пришел к следующему выводу. А действительное (положительное или отрицательное) число есть вектор на оси координаты (если число положительное, соответствующий вектор положительно направлена ​​вдоль этой оси).

Произведение двух чисел равно площади прямоугольника, стороны которого соответствуют этим числам (один вектор вдоль одной оси и другой вдоль перпендикулярной оси в плоскости). Дан прямоугольник упорядоченной парой векторов, обладает как часть плоскости определенная ориентация (поворот от одного вектора к другому может по часовой или против часовой стрелки). Вращение против часовой стрелки есть обычно считается положительным, и тогда вращение по часовой стрелке отрицательный. И, наконец, площадь параллелограмма (например, прямоугольник), порожденный двумя векторами х и х (снято в определенного порядка), исходящих из одной точки плоскости, считается быть положительным , если пара векторов (взятых в этом порядке) определяет положительная ориентация плоскости (и отрицательная, если поворот от направления вектора х к направлению вектора у отрицательный).

Таким образом, правило знаков — это не аксиома, взятая на ровном месте, а становится естественным свойством ориентации что легко проверить экспериментально.

из рассказа Аксиоматический метод

Моя первая проблема в школе была вызвана правилом умножения отрицательных чисел, и я попросил отца объяснить это своеобразное правило.

Он, как верный ученик Эмми Нётер (и, следовательно, Гильберта и Дедекинд) начал объяснять своему одиннадцатилетнему сыну принципы аксиоматической науки: определение выбирается таким, чтобы распределительная идентичность a(b+c)=ab+ac сохраняется.

Аксиоматический метод требует принятия любой аксиомы с надеяться, что его следствия будут плодотворными (вероятно, это может быть понял к тридцати годам, когда можно было бы читать и оцените «Анну Каренину»). Отец тоже ни слова не сказал о ориентированная площадь прямоугольника или около любой нематематической интерпретация знаков и продуктов.

Это «алгебраическое» объяснение не могло поколебать ни моего сердечного любовь к отцу или глубокое уважение к его науке. Но с тех пор время мне не нравился аксиоматический метод с его немотивированным определения. Вероятно, именно по этой причине к этому времени я получил привыкли разговаривать с неалгебраистами (вроде Л. И. Мандельштама, И. Тамм, П.С. Новиков, Э.Л. Файнберг, М.А. Леонтович, А.Г. Гурвич), которые относились к несведущему собеседнику с полным уважением и пытались объяснить нетривиальные идеи и факты различных наук, таких как как физика и биология, астрономия и радиолокация.

Отрицательные числа я понял год спустя, когда выводил «уравнение времени», учитывающее поправку на продолжительность суток, соответствующая времени года. Это невозможно объяснить алгебраистам, что их аксиоматический метод в основном бесполезна для студентов.

Надо спросить у детей: во сколько завтра будет прилив, если сегодня в 15:00? Это посильная задача, и она помогает детям понимать отрицательные числа лучше, чем алгебраические правила. Однажды я читал у античного автора (вероятно, у Геродота), что приливы «всегда бывают три и девять часов». Чтобы понять, что месячный вращение Луны вокруг Земли влияет на график приливов и отливов. нет необходимости жить рядом с океаном. Здесь не в аксиомах заложена истина математика.

$\endgroup$

4

$\begingroup$

Почему бы нам не рассказать историю ! Банда подлых Далтонов на свободе, но Эл Катчем идет по их следу и чуть не настигает их во время последнего ограбления. При выезде с парковки есть несколько вариантов:

• Эл быстр, справляется со своей задачей и ловит дальтоны,
• Машина Ала глохнет, и Далтоны убегают,
• Далтонам рано сообщают об этом и они убегают, или
• Машины Далтона глохнут, они захвачены, а город спасен.

Итого:

• положительный $\times$ положительный: Если хорошая вещь случается с хорошим человеком , это хорошо! 🙂
• отрицательный $\times$ положительный: Если плохая вещь случается с хорошим человеком , это плохо. 🙁
• положительный $\times$ отрицательный: Если хорошая вещь случается с плохим человеком , это тоже плохо. 🙁
• отрицательный $\times$ отрицательный: Но если плохая вещь случается с плохим человеком , это хорошо !! 🙂

$\endgroup$

11

$\begingroup$

Я бы объяснил это цифрами.

Во-первых, чтобы установить, что положительное, умноженное на отрицательное, равно отрицательному: $3 \times 2 = 6, 3 \times 1 = 3, 3 \times 0 = 0$. Обратите внимание, что в каждом случае, когда мы уменьшаем второй фактор на 1, продукт уменьшается на 3. Таким образом, для согласованности следующий продукт в шаблоне должен быть $0 — 3 = -3$. Следовательно, у нас есть $3 \times (-1) = -3, 3 \times (-2) = -6$, а также отрицательное значение для любого другого положительного числа, умноженное на отрицательное.

Во-вторых, чтобы установить, что отрицательное, умноженное на отрицательное, является положительным: теперь мы знаем, что $3 \times (-2) = -6, 2 \times (-2) = -4, 1 \times (-2) = — 2, 0 х (-2) = 0$. Обратите внимание, что в каждом случае, когда мы уменьшаем первый множитель на 1, произведение увеличивается на 2. Таким образом, для согласованности следующим произведением в шаблоне должно быть $0 + 2 = 2$. Следовательно, мы имеем $(-1) \times (-2) = 2, (-2) \times (-2) = 4$, а также положительное значение для любого другого отрицательного числа, умноженное на отрицательное.

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Я бы выбрал переворачивающее объяснение отрицательных чисел: умножение на отрицательное число переворачивает с положительного на отрицательное и с отрицательного на положительное.
Представьте, он понимает, что умножение на 1 не имеет значения, тогда все очень просто:
-1 * 1 = -1 может означать две вещи (для детей факт коммутативности умножения очевиден):
— либо сохраняет -1 как -1
— либо переворачивает +1 (положительное число) в отрицательную сторону

-1 * (-1), либо просто переворачивает обратно с отрицательной в положительную сторону.

Удачи

$\endgroup$

$\begingroup$

Если ваш сын имеет четкое представление о деньгах и знает, что такое кредитная карта, это может быть хорошим объяснением:

Представьте , что вы говорите своему сыну, что купите ему $\color{green}{\mathrm Подарочные сертификаты на {семь}}$ на сумму £$\color{green}{5}$ каждый и оплатите их кредитной картой. Объясните сыну, что теперь вы должны денег, и скажите, что это $7 \times -5=-\mathrm{£}35$. Не является частью вашего вопроса; но это покрывает случай $ \text{positive} \times \text{negative} = \text{negative}$.

Вы ужинаете со своим лучшим другом, когда приходит счет от кредитной компании. Когда ваш друг видит счет, он великодушно настаивает на том, чтобы оплатить его за вас. Теперь у вас есть подарочные купоны на £$\color{blue}{35}$, вы ничего не заплатили.

Итак, вы говорите своему сыну, что ваш лучший друг $\color{red}{\fbox{забрал}}$ семь $\color{red}{\fbox{debts}}$ из £5$ ($\color {red}{-7}\times\color{red}{-5}$), и это равняется выигрышу в £$\color{blue}{35}$.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Возможно, ваш ребенок познакомился со знаком минус с помощью слова напротив . Это отличный термин для использования в ваших разговорах. В самом деле, $a$ и $-a$ являются противоположностями в том смысле, что они являются аддитивными инверсиями. На числовой прямой противоположные числа зеркально отражены на расстоянии от нуля, что также обеспечивает хорошую визуальную помощь. Мы можем использовать этот термин для описания арифметических операций:

Число, противоположное трем, умноженным на пять, равно числу, противоположному числу 15. $$-3 \times 5 = -15$$

Противоположное число трижды, противоположное пяти, противоположно противоположному пятнадцати… что равно пятнадцати. $$-3 \times -5 = 15$$

Итак, мы можем использовать язык, чтобы лучше понимать отрицательные числа. А как насчет физического примера? Ну, вот симпатичный, который мне однажды рассказал друг. Немного наигранно, но думаю, что суть ясна. Вы также можете превратить это в демонстрацию.

Предположим, кубик льда снижает температуру напитка на $1$ градус.

Помещение трех кубиков льда в стакан понизит температуру на $3$ градуса, или $$ 3 \раз -1 = -3$$

Удаление двух кубиков льда повысит температуру на $2$ градуса, или $$ -2 \times -1 = 2$$

$\endgroup$

7

$\begingroup$

Проще всего объяснить, используя целые числа. Предположим, что $P$ — некоторое положительное число. Тогда $-P$ отрицательно. Теперь $-2P$ — это $P$, вычтенное из $-P$, поэтому оно по-прежнему отрицательно. Вычтите еще один $P$, и вы получите $-3P$, что по-прежнему отрицательно. Аналогично для $-4P, -5P$ и так далее. Таким образом, отрицательное время, положительное, является положительным. Та же идея для положительных времен отрицательных.

Когда дело доходит до отрицательного, умноженного на отрицательное, это немного сложнее… Но как насчет… $-P$ отрицательное, поэтому $-(-P)$ теперь положительное, переворачивая вокруг $0$. Таким образом, $-2(-P)$, добавленное к самому себе $-(-P)$, по-прежнему положительно. В общем, добавление $-(-P)$ к самому себе $Q$ раз дает $(-Q)(-P)$, что, следовательно, также положительно.

$\endgroup$

$\begingroup$

1. Объясните определение отрицательных чисел.
2. Укажите, что из определения $-x$ следует, что $-(-x) = x$.
3. Объясните, что $-x = (-1)\times x$.
4. Обратите внимание, что из (2) и (3) следует, что $(-1)\times(-1) = 1$.

$\endgroup$

4

$\begingroup$ 9{\circ}$ против часовой стрелки, чтобы умножить на $i$.

Но это уже другая история.

$\endgroup$

$\begingroup$

Символика: $$\begin{align*} -a \times -b &= (-1 \times a)\times (-1 \times b) \\ &= -1 \раз a \раз -1 \раз b \\ &= -1 \times -1 \times a \times b \\ &= (-1 \times -1) \times (a \times b) \\ &= а \ умножить на б. \end{align*}$$

Что происходит?:
Рассмотрим числовую прямую. Когда я умножаю что-то на $2$, я удваиваю расстояние от $0$. Это происходит независимо от того, является ли «что-то» положительным или отрицательным. Когда я умножаю что-то на $-2$, я удваиваю расстояние от $0$ до , а переворачиваю на другую сторону числовой прямой. Например, $-2 \times 3 : 3 \rightarrow 6 \rightarrow -6$. Если я начну с отрицательного числа, оно уже находится в отрицательной половине числовой строки и будет перевернуто на положительную половину: $-2 \times -3 : -3 \rightarrow -6 \rightarrow 6$.

То есть умножение на минус это то же самое, что два шага: умножение на вещь, как если бы она не имела минуса, затем применение знака минус. Об этом говорит символика выше: умножение на $-a$ равносильно умножению на $a$, затем на $-1$ и аналогично для $-b$. Но тогда два «переворота на другую половину числовой строки», два «$-1$», вызывают два переворота. Но два переворота что-то удаляют, а затем возвращают обратно к себе, так что два переворота на самом деле ничего не делают. Таким образом, $-1 \times -1$ равносильно ничегонеделанию или умножению на $1$. Вот почему в приведенных выше символах мы можем опустить «$-1 \times -1$» — это то же самое, что умножить на $1$.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Ну… это всегда имело смысл для меня (но я обнаружил, что это не имеет смысла для других)

A) Умножение — это сложение числа несколько раз.

1) Отрицательные числа — это числа, которые меньше нуля. Сокращение положительных чисел. Это античисла

Итак)i) положительное х положительное: сложите кучу положительных чисел положительное количество раз. Результат: Большой положительный прирост.

ii) положительное x отрицательное: добавьте кучу отрицательных античисел. Результатом является большое количество потенциальных отмен. Результат: отрицательный.

iii) отрицательное x положительное: возьмите кучу положительных чисел и уберите их. Результат: убыток; отрицательный.

iv) отрицательный x отрицательный: возьмите кучу античисел и уберите их. Убирая отнятие, остается вернуть вещи. Если вы аннигилируете аннигиляцию, результатом будет чистая прибыль: Результат: положительный.

$\endgroup$

$\begingroup$

Почему бы не посмотреть таблицу умножения? Давайте сделаем маленький, включая несколько отрицательных чисел. Конечно, вы можете сделать его больше, чтобы узоры были более четкими. Начнем с того, что мы уже знаем: $$\begin{массив}{|с|с|с|с|с|с|} \hline &\textbf{-2}& \textbf{-1} & \textbf{0} & \textbf{1} & \textbf{2} \\ \hline \textbf{-2} & & & & &\\ \hline \textbf{-1} & & & & & &\\ \hline \textbf{0} & & & 0 & 0 & 0\\ \hline \textbf{1} & & &0 &1 &2 \\ \hline \textbf{2} & & & 0& 2&4\\ \hline \end{массив}$$ Теперь давайте просто заметим, что третья строка (то есть первая заполненная единицей) постоянна — это просто набор нулей, поэтому мы должны расширить ее аналогичным образом. Четвертая строка, если читать справа налево, отсчитывает $2$, затем $1$, затем $0$, поэтому мы должны продолжать обратный отсчет, чтобы заполнить $-1$ и $-2$. Последняя строка отсчитывается по двое, поэтому она должна продолжаться до $-2$, а затем до $-4$. Давайте заполним это: $$\begin{массив}{|с|с|с|с|с|с|} \hline &\textbf{-2}& \textbf{-1} & \textbf{0} & \textbf{1} & \textbf{2} \\ \hline \textbf{-2} & & & & &\\ \hline \textbf{-1} & & & & & &\\ \hline \textbf{0} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \hline \textbf{1} & -2&-1 &0 &1 &2 \\ \hline \textbf{2} &-4 & -2& 0& 2&4\\ \hline \end{массив}$$ Если мы в каждом столбце проделаем то же самое, мы сможем заполнить таблицу. Например, первый столбец считает вверх на $2$, когда мы движемся вверх — он идет $-4$, затем $-2$, затем $0$, поэтому мы должны продолжать считать таким образом до $2$, затем $4$. Если мы применим те же рассуждения к каждому столбцу, мы можем заполнить всю таблицу $$\begin{массив}{|с|с|с|с|с|с|} \hline &\textbf{-2}& \textbf{-1} & \textbf{0} & \textbf{1} & \textbf{2} \\ \hline \textbf{-2} &4& 2& 0& -2& -4\\ \hline \textbf{-1} &2& 1& 0& -1& -2\\ \hline \textbf{0} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \hline \textbf{1} & -2&-1 &0 &1 &2 \\ \hline \textbf{2} &-4 & -2& 0& 2&4\\ \hline \end{массив}$$ И если мы проследим шаги, которые мы использовали для создания этой правильной таблицы, мы можем восстановить $(-1)\times (-1)=1$ следующим образом:

• Во-первых, заметим, что один раз что-то оставляет эту вещь неизменной. Итак, $1\times(-1)=-1$.

• Во-вторых, снова взглянув на таблицу, мы видим, что умножение на $(-1)$ «меняет» порядок нашего обычного счета — то есть $(-1)\times 2$ равно $-2$, тогда $( -1)\times 1$ — это еще один при $-1$ и $(-1)\times 0 =0$. Таким образом, когда мы получаем $(-1)\times (-1)$, мы должны быть на больше , чем $0$, поскольку $-1$ на один меньше , чем $0$.

Также может быть хорошо, чтобы смотрел на стол — это очень симметрично. Мы видим, например, во втором и четвертом столбцах (умножение на $1$ и $-1$) явное изменение порядка, что более или менее говорит нам о том, что на самом деле делает умножение на $-1$.

$\endgroup$

0

$\begingroup$

Ну, я думаю об этом так. У нас есть неотрицательные целые числа (0,1,2,3,4 и т. д.).

Мы вводим отрицательные числа и должны определить умножение с отрицательными числами, чтобы иметь внутреннюю согласованность.

Мы хотим сохранить свойство 0*что-либо = 0, отрицательное или положительное.

Мы также хотим сохранить дистрибутивную собственность.

Чтобы сохранить два вышеуказанных свойства, мы вынуждены определить произведение двух отрицательных чисел как положительное.

0*(-3) = 0

(5 + (-5))*(-3) = 0 (подставляю 5+ (-5) вместо нуля)

5*(-3) + (-5)*(-3) = 0 (распределительное свойство)

добавить 5*3 к обеим сторонам. 5*3 отменяется с помощью 5*(-3)

(-5)*(-3) = 5*3

$\endgroup$

Как умножать отрицательные числа

Как умножать отрицательные числа — ACT Math

—>

• Войти
• Биографии репетитора
• Подготовка к тесту

  СРЕДНЯЯ ШКОЛА

  • ACT Репетиторство
  • SAT Репетиторство
  • Репетиторство PSAT
  • ASPIRE Репетиторство
  • ШСАТ Репетиторство
  • Репетиторство STAAR

  ВЫСШАЯ ШКОЛА

  • Репетиторство MCAT
  • GRE Репетиторство
  • Репетиторство по программе LSAT
  • Репетиторство по GMAT

  К-8

  • Репетиторство AIMS
  • Репетиторство по HSPT
  • Репетиторство ISEE
  • Репетиторство по ISAT
  • Репетиторство по SSAT
  • Репетиторство STAAR

  Поиск 50+ тестов

• Академическое обучение

  репетиторство по математике

  • алгебра
  • Исчисление
  • Элементарная математика
  • Геометрия
  • Предварительное исчисление
  • Статистика
  • Тригонометрия

  репетиторство по естественным наукам

  • Анатомия
  • Биология
  • Химия
  • Физика
  • Физиология

  иностранные языки

  • французский
  • немецкий
  • Латинский
  • Китайский мандарин
  • Испанский

  начальное обучение

  • Чтение
  • Акустика
  • Элементарная математика

  прочее

  • Бухгалтерский учет
  • Информатика
  • Экономика
  • Английский
  • Финансы
  • История
  • Письмо
  • Лето

  Поиск по 350+ темам

• О
  • Обзор видео
  • Процесс выбора наставника
  • Онлайн-репетиторство
  • Мобильное обучение
  • Мгновенное обучение
  • Как мы работаем
  • Наша гарантия
  • Влияние репетиторства
  • Обзоры и отзывы
  • Освещение в СМИ
  • О преподавателях университета

Мы открыты в субботу и воскресенье!

Звоните прямо сейчас, чтобы записаться на обучение:

(888) 888-0446

Все математические ресурсы ACT

14 Диагностические тесты 767 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

ACT Math Help » Арифметика » Целые числа » Отрицательные числа » Как умножить отрицательные числа

Если a = –2 и b = –3, затем оцените ³ + B ²

Возможные ответы:

5

17

8

1

Правильный ответ:

1

Объяснение:

При умножении отрицательных чисел мы получаем отрицательный ответ, если умножается нечетное количество отрицательных чисел. Мы получаем положительный ответ, если умножаем четное число отрицательных чисел.

a ³ + b ² становится (–2) ³ + (–3) ² что равно –8 + 9 = 1

0 Сообщить об ошибке

Оценка:

–3 * –7

Возможные ответы:

–10

10

–21

21

4

Правильный Ответ:

21

9 . Объяснение:

Умножение отрицательного числа на другое отрицательное число дает положительное произведение.

Сообщить об ошибке

Оценить.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

 

Умножение отрицательного и положительного числа дает отрицательное произведение:

      

Сообщить об ошибке

Решить.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Отрицательное число, умноженное на положительное число, всегда будет отрицательным.

Отчет о ошибке

Оценка 3x ³ + x ² , если x = — 2

. 14

Правильный ответ:

– 20

Объяснение:

При умножении отрицательного числа нечетное число раз ответ будет отрицательным. При умножении отрицательного числа четное число раз ответ положительный. Также применяется порядок операций: Скобки, Экспоненты, Умножение и деление, Сложение и вычитание, слева направо. Мнемоника для запоминания порядка действий: «Пожалуйста, извините, моя дорогая тетя Салли».

3 ( — 2) ³ + ( — 2) ²

= 3 ( — 8) + (4)

= — 24 + 4

44444444444 = — 554 + 4

4444444444 = — 24 + 4

44444444 = — 24 + 4

844444444444 = — 24 + 4). 20

Отчет о ошибке

Упростить следующее выражение: (–4) (2) ( — 1) ( — 3)

Возможные ответы:

–24

–16

24

12

Правильный ответ:

–24

Объяснение:

Сначала мы умножаем –4 на 2. Перемножение отрицательного и положительного числа дает отрицательное число, поэтому (–4)(2) = –8. Отрицательное, умноженное на отрицательное, является положительным, поэтому (–8)(–1) = 8. (8)(–3) = –24.

Сообщить об ошибке

Оцените следующее:

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Умножение двух нечетных чисел всегда дает четное число. Просто умножьте два, как если бы они были четными. Таким образом

Сообщить об ошибке

Уведомление об авторских правах

Посмотреть репетиторов ACT по математике

Наташа Мохамед
Сертифицированный репетитор

Малабарский христианский колледж, бакалавр наук, математика. Учебный колледж Фарука, бакалавр педагогики, преподаватель математики…

View ACT Math Tutors

Josiah
Сертифицированный репетитор

Университет Миссури-Сент-Луис, бакалавр наук, мульти-/междисциплинарные исследования, общие.

Посмотреть ACT Репетиторы по математике

Woo
Сертифицированный преподаватель

Университет Сунгюнкван в Сеуле, Корея, бакалавр технических наук, металлургическая инженерия.

Все математические ресурсы ACT

14 диагностических тестов 767 практических тестов Вопрос дня Карточки Учитесь по концепции

Ресургоголик: умножение негатива

«Отрицательное, умноженное на отрицательное, становится положительным». Это трудно объяснить. Мы все учили его в школе и практиковали до беглой речи, но только после того, как нас спросят почему это работает, что мы остановимся и подумаем об этом.

Числовые линии и визуализации очень полезны при обучении сложению и вычитанию отрицательных чисел. А вот с умножением и делением не все так однозначно.

Давайте рассмотрим несколько подходов и ресурсов.

1 . Pattern Spotting
Нарисуйте стандартную таблицу умножения и расширьте ее, включив в нее отрицательные числа. Это простая схема, которую все учащиеся должны уметь заметить и продолжить. Предложите учащимся сделать это, используя упражнение Колина Фостера на странице 5 его главы «Отрицательные числа».

2. Сетки умножения
Возьмите два двузначных числа и умножьте их вместе, используя умножение сетки. Для простоты возьмем 12 x 11:

Здесь мы записали 12 как 10 + 2 и 11 как 10 + 1. Но было бы также хорошо, если бы мы выражали эти числа по-другому. Вместо этого давайте запишем 12 как 15 — 3 и 11 как 15 — 4. Мы должны получить тот же ответ:

Это работает, только если -3 x -4 = 12.

Обратите внимание, что это объяснение требует, чтобы учащиеся сначала поняли, что положительный х отрицательный = отрицательный. Это относительно просто объяснить с точки зрения многократного добавления.

3. Доказательство
Вот доказательство, ясное и доступное для нас, опытных математиков. Я не уверен, насколько это доступно для учащихся 7 класса, но оно того стоит.

a и b положительные

а + (-а) = 0

[а +(-а)]•b = 0•b

a•b + (-a)•b = 0

a•b положительный. Следовательно, (-a)•b отрицательно

б + (-б) = 0

(-а)•[б + (-б)] = (-а)•0

(-а)•б + (-а)•(-б) = 0

Поскольку (-a)•b отрицательно, мы заключаем, что (-a)•(-b) положительно.

Возможно, вместо формального доказательства начните с числового примера.

3 + (-3) = 0

Умножить все на -4

3(-4) + (-3)(-4) = 0(-4)  

-12 + (-3)(-4)  = 0  

(-3)(-4) должно равняться 12, чтобы это утверждение было верным.  

Дополнительная литература
Рекомендуется прочитать о теме, прежде чем преподавать ее, даже относительно простые темы, которые вы преподавали много раз ранее. Вот несколько полезных ссылок:

• На страницах часто задаваемых вопросов на Math Forum всегда можно найти интересные ответы: Почему отрицательное число, умноженное на отрицательное, является положительным?
• Мне нравятся эссе Джеймса Тантона из учебного плана: Почему отрицательное время становится отрицательным положительным?
• Я был вдохновлен на написание этого поста после просмотра отличного видео «Негатив, умноженный на негатив, это. ..» от Mathologer (мой новый любимый канал на YouTube!).
• Стоит прочитать «Историю отрицательных чисел» от NRICH.

Мне нравится этот клип из Stand and Deliver:

Здесь важна формулировка. «Отрицательное, умноженное на отрицательное, равно положительному» явно предпочтительнее, чем «два минуса дают плюс». Последнее сбивает с толку и может привести к неправильным представлениям. Пример распространенной ошибки показан ниже (взято с mathmistakes.org через Nix the Tricks).

Задачи и ресурсы
Вот несколько рекомендаций по ресурсам по этой теме:

• Мне очень нравится задание Дона Стюарда «Направленные пробелы в числах» — оно хорошо работает с любой группой года
• В MathsPad есть множество головоломок с отрицательными числами, включая арифмагоны (некоторые из этих ресурсов доступны только подписчикам)
В главе
• CIMT об отрицательных числах есть задания по умножению отрицательных чисел.

Колин Фостер предлагает вам попросить учеников составить десять умножений и десяти делений, каждое из которых дает ответ –8 (например, –2 × –2 × –2 или –1 × 8 и т. д.).

Возведение в квадрат и куб (и т.д.) отрицательных значений стоит обсудить — учащиеся должны заметить, что четная степень дает положительное значение (например, каково значение (-1) ¹⁰⁰ ?).

Возможно, стоит также изучить поведение калькулятора (например, некоторые калькуляторы требуют квадратных скобок при возведении в квадрат отрицательного значения). Важно, чтобы учащиеся знали, как правильно пользоваться калькулятором. Для этого есть отличный ресурс от MathsPad — Using a Calculator: Odd One Out.

К этой теме возвращаются в последующие годы, когда учащиеся практикуют замещение. Например, если a = 3, b = -2 и c = -5, найдите значения: abc; до н.э. ² ; (бк) ² ; а ² б ³ и так далее. Эта головоломка с заменой от mathsteaching. wordpress.com становится довольно сложной.

Сообщите мне, если вы используете интересный метод или ресурс для обучения умножению отрицательных чисел.

«Минус, умноженный на минус, дает плюс,
Причину этого нам не нужно обсуждать»
— Огден Нэш

Умножить или добавить сначала? Преподавание порядка действий Правила

Вернуться к форме

Математика

Фигурный посох

07 мая 2021 г.

9 мин Чтение

Когда учащиеся 3-х классов и старше сначала учатся складывать, вычитать, умножать, делить и работать с основными числовыми выражениями, они начинают с выполнения операций над двумя числами. Но что происходит, когда выражение требует нескольких операций? Например, вы сначала складываете или умножаете? А умножить или разделить? В этой статье объясняется, что такое порядок операций, и приводятся примеры, которые вы также можете использовать со студентами. Он также содержит два урока, которые помогут вам представить и развить эту концепцию.

Стандартный ключ:

• Выполнять арифметические операции, включая сложение, вычитание, умножение и деление в обычном порядке, независимо от того, есть скобки или нет. (Класс 3)

Порядок операций является примером очень процедурной математики. Легко запутаться, потому что это не столько концепция, которую вы осваиваете, сколько список правил, которые вы должны запомнить. Но не обманывайте себя, думая, что процедурные навыки не могут быть глубокими! В нем могут быть представлены сложные задачи, подходящие для старших школьников и созревшие для обсуждения в классе:

• Изменяется ли правило слева направо, когда умножение подразумевается, а не прописывается? (Например, \(3g\) или \(8(12)\) вместо \(3 \times g\) или \(8 \cdot 12\).)
• Где факториал попадает в порядок операций ?
• Что произойдет, если вы возвели один показатель степени в другой показатель степени, но скобок нет? (Обратите внимание, что этот урок не включает показатели, хотя, если учащиеся готовы, вы можете расширить свой урок, включив их. )

Что важнее в порядке операций?

Со временем математики пришли к соглашению о наборе правил, называемых порядком операций , чтобы определить, какую операцию выполнять первой. Когда выражение включает только четыре основные операции, действуют следующие правила:

1. Умножение и деление слева направо.
2. Сложение и вычитание слева направо.

При упрощении выражения, такого как \(12 \div 4 + 5 \times 3 — 6\), сначала вычислите \(12 \div 4\), поскольку порядок операций требует сначала вычисления любого умножения и деления (в зависимости от того, что произойдет сначала) слева направо перед оценкой сложения или вычитания. В данном случае это означает, что сначала нужно вычислить \(12 \div 4\), а затем \(5 \times 3\). Как только все умножение и деление завершены, продолжайте складывать или вычитать (в зависимости от того, что наступит раньше) слева направо. Шаги показаны ниже.