Что такое матрица в математике определение: для чего нужны, применение, кто придумал, история возникновения

Матрицы: определение и основные понятия.

Навигация по странице:

• Определение матрицы
• Обозначение матрицы
• Элементы матрицы
• Диагонали матрицы

Онлайн калькуляторы с матрицами.

Упражнения с матрицами.

Определение матрицы

Определение.

Матрицей размера n×m называется прямоугольная таблица специального вида, состоящая из n строк и m столбцов, заполненная числами.

Количество строк и столбцов задают размеры матрицы.

Обозначение

Матрица — это таблица данных, которая берется в круглые скобки:

A =		4	1	-7
		-1	0	2

Матрица обычно обозначаются заглавными буквами латинского алфавитв. Матрица содержащая n строк и m столбцов, называется матрицей размера n×m.

При необходимости размер матрицы записывается следующим образом: A_n×m.

Элементы матрицы

Элементы матрицы A обозначаются a_ij, где i — номер строки, в которой находится элемент, j — номер столбца.

Пример.

Элементы матрицы A_4×4:

A =		4	1	-7	2
		-1	0	2	44
		4	6	7	9
		11	3	1	5

a₁₁ = 4

Определение.

Строка матрицы называется нулевой, если все ее элементы равны нулю.

Определение.

Если хотя бы один из элементов строки матрицы не равен нулю, то строка называется

ненулевой.

не не нулевой столбец

Диагонали матрицы

Определение.

Главной диагональю матрицы называется диагональ, проведённая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний угол.

Определение.

Побочной диагональю матрицы называется диагональ, проведённая из левого нижнего угла матрицы в правый верхний угол.

Пример.

Демонстрация главной и побочной диагонали матрицы:

	0	1	-7		— главнаяпобочная диагональ
	0	0	2

	0	1	-7		— главнаяпобочная диагональ
	0	0	2
	8	2	9

Определение.

Следом матрицы называется сумма диагональных элементов матрицы.

Обозначение.

След матрицы обозначается trA = a₁₁ + a₂₂ + … + a_nn.

Онлайн калькуляторы с матрицами.

Упражнения с матрицами.

Основы высшей математики — Матрицы — Высшая математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

• Основные теоретические сведения
  • Матрицы
  • Обратная матрица
• Матрицы. Вся теория и задачи с решениями или ответами

 

Основные теоретические сведения

Матрицы

К оглавлению…

Матрицей называют прямоугольную таблицу, заполненную числами. Важнейшие характеристики матрицы – число строк и число столбцов. Если у матрицы одинаковое число строк и столбцов, ее называют квадратной. Обозначают матрицы большими латинскими буквами.

Сами числа называют элементами матрицы и характеризуют их положением в матрице, задавая номер строки и номер столбца и записывая их в виде двойного индекса, причем вначале записывают номер строки, а затем столбца. Например, a₁₄ есть элемент матрицы, стоящий в первой строке и четвертом столбце, a₃₂ стоит в третьей строке и втором столбце.

Главной диагональю квадратной матрицы называют элементы, имеющие одинаковые индексы, то есть те элементы, у которых номер строки совпадает с номером столбца. Побочная диагональ идет «перпендикулярно» главной диагонали.

Особую важность представляют собой так называемые единичные матрицы. Это квадратные матрицы, у которых на главной диагонали стоят 1, а все остальные числа равны 0. Обозначают единичные матрицы E. Матрицы называют равными, если у них равны число строк, число столбцов, и все элементы, имеющие одинаковые индексы, равны. Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны 0. Обозначается нулевая матрица О.

Простейшие действия с матрицами

1. Умножение матрицы на число.

Для этого необходимо умножить каждый элемент матрицы на данное число.

2. Сложение матриц. Складывать можно только матрицы одинакового размера, то есть имеющие одинаковое число строк и одинаковое число столбцов. При сложении матриц соответствующие их элементы складываются.

3. Транспонирование матрицы. При транспонировании у матрицы строки становятся столбцами и наоборот. Полученная матрица называется транспонированной и обозначается A^T. Для транспонирования матриц справедливы следующие свойства:

4. Умножение матриц. Для произведения матриц существуют следующие свойства:

• Умножать можно матрицы, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
• В результате получится матрица, число строк которой равно числу строк первой матрицы, а число столбцов равно числу столбцов второй матрицы.
• Умножение матриц некоммутативно. Это значит, что от перестановки местами матриц в произведении результат меняется. Более того, если можно посчитать произведение A∙B, это совсем не означает, что можно посчитать произведение B∙A.
• Пусть C = A∙B. Для определения элемента матрицы С, стоящего в i-той строке и k-том столбце необходимо взять i-тую строку первой умножаемой матрицы и k-тый столбец второй. Далее поочередно брать элементы этих строки и столбца и умножать их. Берем первый элемент из строки первой матрицы и умножаем на первый элемент столбца второй матрицы. Далее берем второй элемент строки первой матрицы и умножаем на второй элемент столбца второй матрицы и так далее. А потом все эти произведения надо сложить.

Свойства произведения матриц:

Определитель матрицы

Определителем (детерминантом) квадратной матрицы А называется число, которое обозначается detA, реже |A| или просто Δ, и вычисляется определённым образом. Для матрицы размера 1х1 определителем является сам единственный элемент матрицы. Для матрицы размера 2х2 определитель находят по следующей формуле:

Миноры и алгебраические дополнения

Рассмотрим матрицу А. Выберем в ней s строк и s столбцов. Составим квадратную матрицу из элементов, стоящих на пересечении полученных строк и столбцов. Минором матрицы А порядка s называют определитель полученной матрицы.

Рассмотрим квадратную матрицу А. Выберем в ней s строк и s столбцов. Дополнительным минором к минору порядка s называют определитель, составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания данных строк и столбцов.

Алгебраическим дополнением к элементу a_ik квадратной матрицы А называют дополнительный минор к этому элементу, умноженный на (–1)^i+k, где i+k есть сумма номеров строки и столбца элемента a_ik. Обозначают алгебраическое дополнение A_ik.

Вычисление определителя матрицы через алгебраические дополнения

Рассмотрим квадратную матрицу А. Для вычисления ее определителя необходимо выбрать любую ее строку или столбец и найти произведения каждого элемента этой строки или столбца на алгебраическое дополнение к нему. А дальше надо просуммировать все эти произведения.

Когда будете считать алгебраические дополнения, не забывайте про множитель (–1)^i+k. Чтобы счет был более простым, выбирайте ту строку или столбец матрицы, который содержит наибольшее число нулей.

Расчет алгебраического дополнения может сводиться к расчету определителя размером более чем 2х2. В этом случае такой расчет также нужно проводить через алгебраические дополнения, и так далее до тех пор, пока алгебраические дополнения, которые нужно будет считать, не станут размером 2х2, после чего воспользоваться формулой выше.

 

Обратная матрица

К оглавлению.

..

Рассмотрим квадратную матрицу А. Матрица A^–1 называется обратной к матрице А, если их произведения равны единичной матрице. Обратная матрица существует только для квадратных матриц. Обратная матрица существует, только если матрица А невырождена, то есть ее определитель не равен нулю. В противном случае обратную матрицу посчитать невозможно. Для построения обратной матрицы необходимо:

1. Найти определитель матрицы.
2. Найти алгебраическое дополнение для каждого элемента матрицы.
3. Построить матрицу из алгебраических дополнений и обязательно транспонировать ее. Часто про транспонирование забывают.
4. Разделить полученную матрицу на определитель исходной матрицы.

Таким образом, в случае, если матрица А имеет размер 3х3, обратная к ней матрица имеет вид:

 

Матрицы. Вся теория и задачи с решениями или ответами

К оглавлению…

Матрица | Определение, типы и факты

Ключевые люди:

Артур Кэли Нильс Фабиан Хельге фон Кох

Похожие темы:

обратимая матрица определитель квадратная матрица нулевая матрица элемент

Просмотреть весь связанный контент →

матрица , набор чисел, расположенных в строках и столбцах так, чтобы сформировать прямоугольный массив. Числа называются элементами или элементами матрицы. Матрицы имеют широкое применение в технике, физике, экономике и статистике, а также в различных разделах математики. Матрицы также имеют важные приложения в компьютерной графике, где они использовались для представления поворотов и других преобразований изображений.

Исторически сложилось так, что первой была распознана не матрица, а определенное число, связанное с квадратным массивом чисел, называемое определителем. Лишь постепенно возникло представление о матрице как об алгебраической сущности. Термин

матрица был введен английским математиком XIX века Джеймсом Сильвестром, но именно его друг, математик Артур Кэли, разработал алгебраический аспект матриц в двух статьях в 1850-х годах. Кейли впервые применил их к изучению систем линейных уравнений, где они до сих пор очень полезны. Они важны еще и потому, что, как признал Кейли, определенные наборы матриц образуют алгебраические системы, в которых справедливы многие обычные законы арифметики (например, ассоциативный и распределительный законы), но в которых другие законы (например, коммутативный закон) справедливы. недействительно.

Викторина «Британника»

Числа и математика

Если имеется м строк и n столбцов, матрица называется « м

на n » и записывается как « м × n ». Например,

— это матрица 2 × 3. Матрица с n строк и n столбцов называется квадратной матрицей порядка n . Обычное число можно рассматривать как матрицу 1 × 1; таким образом, 3 можно рассматривать как матрицу [3]. Матрица с одной строкой и n столбцов называется вектором-строкой, а матрица только с одним столбцом и n строками называется вектором-столбцом.

В общепринятых обозначениях заглавная буква обозначает матрицу, а соответствующая строчная буква с двойным нижним индексом описывает элемент матрицы. Таким образом, a _ij является элементом i -й строки и j -го столбца матрицы A . Если A — это матрица 2 × 3, показанная выше, то A ₁₁ = 1, A ₁₂ = 3, A ₁₃ = 8, A ₂₁ = 2, A

9 ₂₂ = 40060 = 2, A 9 ₂₂ = 40060 = A 2 ₂₂ = 40060 = 2, A ₂₂ = 40060. ₂₃ = 5. При определенных условиях матрицы можно складывать и умножать как отдельные сущности, что приводит к возникновению важных математических систем, известных как матричные алгебры.

Матрицы естественным образом встречаются в системах одновременных уравнений. В следующей системе для неизвестных x и y массив чисел представляет собой матрицу, элементами которой являются коэффициенты при неизвестных. Решение уравнений полностью зависит от этих чисел и от их конкретного расположения. Если бы 3 и 4 поменять местами, решение было бы другим.

Оформите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас

Две матрицы

A и B равны друг другу, если они имеют одинаковое количество строк и одинаковое количество столбцов и если a _ij = b _ij для каждого i и каждого j . If A and B are two m × n matrices, their sum S = A + B is the m × n matrix whose elements s _ij = а _ij + b _ij . То есть каждый элемент S равно сумме элементов в соответствующих позициях A и B .

Матрица A может быть умножена на обычное число c , которое называется скаляром. Произведение обозначается cA или Ac и представляет собой матрицу, элементами которой являются ca _ij .

Умножение матрицы A на матрицу B для получения матрицы C определяется только тогда, когда количество столбцов первой матрицы A равно количеству строк второй матрицы B . Для определения элемента c _ij , который находится в i -й строке и j -м столбце произведения, первый элемент в i -й строке A умножается на первый элемент в j -м столбце B , второй элемент в строке на второй элемент в столбце и так далее, пока последний элемент в строке не будет умножен на последний элемент столбца; сумма всех этих произведений дает элемент с _ij . В символах, для случая, когда A имеет m столбцов, а B имеет m строк, матрица C имеет столько строк, сколько A , и столько же столбцов, сколько B .

В отличие от умножения обычных чисел на и на , в котором ab всегда равно ba , умножение матриц A и B не является коммутативным. Однако он является ассоциативным и дистрибутивным по сравнению с сложением. То есть, когда операции возможны, всегда выполняются следующие уравнения: A ( до н.э. ) = ( AB ) C , A ( B + C ) = AB + AC и (122 + 2121212) AC и (122 + 212121212) AC и ( B + 212121212) AC и (122 + 212121212) . А = ВА + СА . Если матрицу 2 × 2 A , строками которой являются (2, 3) и (4, 5), умножить саму на себя, то произведение, обычно записываемое как A ² , имеет строки (16, 21) и ( 28, 37).

Матрица O , все элементы которой равны 0, называется нулевой или нулевой матрицей. Квадратная матрица Число с единицами на главной диагонали (от верхнего левого угла к нижнему правому) и нулями в остальных местах называется единичной или единичной матрицей. Его обозначают I или I _n , чтобы показать, что его порядок равен n . Если B — любая квадратная матрица, а I и O — единичная и нулевая матрицы одного порядка, всегда верно, что B + O = O + B = B и БИ = БИ = Б . Следовательно, O и I ведут себя как 0 и 1 в обычной арифметике. (На самом деле обычная арифметика — это частный случай матричной арифметики, в которой все матрицы имеют размер 1 × 1.)

Квадратная матрица A , в которой элементы a _ij отличны от нуля только тогда, когда i = j называется диагональной матрицей. Диагональные матрицы обладают тем особым свойством, что их умножение коммутативно; то есть для двух диагональных матриц А и В , АВ = ВА . След квадратной матрицы представляет собой сумму элементов на главной диагонали.

С каждой квадратной матрицей A связано число, известное как определитель A , обозначаемый det A . Например, для матрицы 2 × 2 det A = ad − bc . Квадратная матрица B называется невырожденной, если det B ≠ 0. Если B невырожденна, существует матрица, обратная B , обозначаемый B ^-1 , такой, что BB ^-1 = B ^-1 B = I 90. Уравнение AX = B , в котором A и B — известные матрицы, а X — неизвестная матрица, решается однозначно, если A — невырожденная матрица, тогда A 2 −1 существует, и обе части уравнения можно умножить на него слева: А ^-1 ( АХ ) = А ^-1 В . Теперь A ⁻¹ ( AX ) = ( A ⁻¹ A ) X = IX = X 9; следовательно, решение X = A ⁻¹ B . Система m линейных уравнений с n неизвестными всегда может быть выражена в виде матричного уравнения AX = B , в котором A — m × n матрица коэффициентов неизвестных, X — n × 1 матрица неизвестных, B — n × 1 матрица, содержащая числа на правая часть уравнения.

Проблема большого значения во многих областях науки заключается в следующем: по квадратной матрице A порядка n, найти n × 1 матрицу X, , называемую n -мерный вектор, такой что AX = cX . Здесь c — число, называемое собственным значением, а X — собственный вектор. Существование собственного вектора X с собственным значением c означает, что некоторое преобразование пространства, связанное с матрицей A , растягивает пространство в направлении вектора X на коэффициент c .

Эта статья была недавно отредактирована и обновлена ​​Эриком Грегерсеном.

Фрактал | математика | Britannica

Ключевые люди:

Бенуа Мандельброт Вацлав Серпинский Гастон Морис Джулия

Похожие темы:

Прокладка Серпинского фрактальная размерность фрактальная кривая Юлия сет множество Мандельброта

Просмотреть весь связанный контент →

фрактал , в математике любая из класса сложных геометрических фигур, которые обычно имеют «дробную размерность» — понятие, впервые введенное математиком Феликсом Хаусдорфом в 1918. Фракталы отличаются от простых фигур классической или евклидовой геометрии — квадрата, круга, сферы и т. д. Они способны описывать многие объекты неправильной формы или пространственно неоднородные явления в природе, такие как береговые линии и горные хребты. Термин фрактал , происходящий от латинского слова fractus («фрагментированный» или «сломанный»), был введен математиком польского происхождения Бенуа Б. Мандельбротом. См. анимацию фрактального множества Мандельброта.

Хотя ключевые понятия, связанные с фракталами, изучались математиками в течение многих лет, и многие примеры, такие как кривая Коха или «снежинка», были давно известны, Мандельброт был первым, кто указал, что фракталы могут быть идеальным инструментом в прикладных исследованиях. математика для моделирования самых разных явлений от физических объектов до поведения фондового рынка. С момента своего появления в 1975 году концепция фрактала породила новую систему геометрии, которая оказала значительное влияние на такие разнообразные области, как физическая химия, физиология и гидромеханика.

Викторина «Британника»

Числа и математика

Многие фракталы обладают свойством самоподобия, хотя бы приблизительно, если не точно. Самоподобный объект — это объект, составные части которого похожи на целое. Это повторение деталей или паттернов происходит в постепенно уменьшающихся масштабах и может, в случае чисто абстрактных объектов, продолжаться бесконечно, так что каждая часть каждой части при увеличении будет выглядеть в основном как фиксированная часть целого объекта. Фактически самоподобный объект остается инвариантным при изменении масштаба, т. е. обладает масштабной симметрией. Это фрактальное явление часто можно обнаружить в таких объектах, как снежинки и кора деревьев. Все естественные фракталы такого рода, а также некоторые математические самоподобные фракталы являются стохастическими, или случайными; таким образом, они масштабируются в статистическом смысле.

Еще одной ключевой характеристикой фрактала является математический параметр, называемый фрактальной размерностью. В отличие от евклидовой размерности, фрактальная размерность обычно выражается нецелым числом, то есть дробью, а не целым числом. Фрактальную размерность можно проиллюстрировать на конкретном примере: кривой снежинки, определенной Хельге фон Кохом в 1904 году. Это чисто математическая фигура с шестикратной симметрией, как и природная снежинка. Он самоподобн в том, что состоит из трех одинаковых частей, каждая из которых, в свою очередь, состоит из четырех частей, являющихся точными уменьшенными версиями целого. Из этого следует, что каждая из четырех частей сама состоит из четырех частей, которые являются уменьшенными версиями целого. Не было бы ничего удивительного, если бы коэффициент масштабирования также был равен четырем, поскольку это было бы верно для сегмента прямой или дуги окружности. Однако для кривой «снежинка» коэффициент масштабирования на каждом этапе равен трем. Фрактальная размерность, D , обозначает степень, в которую нужно возвести 3, чтобы произвести 4, т. е. 3 ^D = 4. Таким образом, размер кривой снежинки равен D  = log 4/log 3, или примерно 1,26. Фрактальная размерность является ключевым свойством и показателем сложности данной фигуры.

Фрактальная геометрия с ее концепциями самоподобия и нецелочисленной размерности находит все более широкое применение в статистической механике, особенно при работе с физическими системами, состоящими из, казалось бы, случайных элементов. Например, фрактальное моделирование использовалось для построения графика распределения скоплений галактик по Вселенной и для изучения проблем, связанных с турбулентностью жидкости.