ФУНКЦИЯ • Большая российская энциклопедия
ФУ́НКЦИЯ (от лат. functio – исполнение, осуществление), одно из основных понятий математики, означающее зависимость одних переменных величин от других. Слово «величина» в этом определении понимается в самом широком смысле: это может быть именованное число, отвлечённое число (действительное или комплексное), неск. чисел (т. е. точка пространства) и вообще элемент любого множества.
Действительная функция одного действительного переменного
В простейшем случае, когда величина – действительное число, понятие «Ф.» определяется следующим образом. Пусть каждому числу $x$ из заданного множества $E$ поставлено в соответствие число $y$, обозначаемое $y=f(x)$ (читается «игрек равен эф от икс»). Тогда говорят, что на множестве $E$ задана функция $y=f(x)$, $x∈E$. При этом употребляются следующие термины: $x$ – независимое переменное, или аргумент; $y$ – зависимое переменное, или функция; $E$ – множество значений, которые может принимать $x$, – область определения, или область задания Ф.
(областью определения Ф. может быть множество всех действительных чисел, интервал, отрезок и т. п.). Слова «поставлено в соответствие» означают, что указан определённый способ, по которому для каждого $x∈E$ находится значение $y=f(x)$. Этот способ в данном случае обозначен символом $f$. Для обозначения Ф. применяются и др. буквы, напр. $y=g(x)$, $y=F(x)$, $s=h(t)$, $v=φ(s)$.
Во всех случаях, когда употребляется термин «Ф.», подразумевается, если не оговорено противное, однозначная Ф., т. е. такое соответствие, при котором каждому значению аргумента $x$ соответствует только одно значение Ф. $y$. Если одному и тому же значению аргумента соответствует несколько (быть может, даже бесконечное множество) значений $y$, то $y=f(x)$ называется многозначной функцией аргумента $x$.
Способы задания функции
Аналитический способ задания функции
Наиболее распространён аналитич.
{2m}.$$
Графический способ задания функции
Распространён графич. способ задания Ф. Графиком Ф. $y=f(x)$, $y∈E$, называется множество точек плоскости с прямоугольными координатами $(x,y)$, где $x∈E$, $y=f(x)$. Графич. способ задания Ф. широко применяется на практике. Так, мн. процессы изменения одной величины в зависимости от другой исследуются с помощью кривых, записанных с помощью самопишущих приборов. Хотя график Ф. и не даёт возможности точного определения численных значений $x$ и $y$, он наглядно отражает качественное поведение Ф. (непрерывность, монотонность, максимумы и минимумы, точки перегиба и т. д.) и поэтому является важным средством исследования функции.
Табличный способ задания функции
При табличном способе задания Ф. задаётся в виде таблицы, в которой для каждого значения аргумента указывается соответствующее ему значение Ф.
Такой способ задания Ф. часто применяется в тех случаях, когда область определения состоит из конечного числа значений.
Действительная функция нескольких действительных переменных
Ф. от двух переменных определяется следующим образом. Рассматривается множество $E$ упорядоченных пар чисел $(x,y)$. Если каждой паре $(x,y)∈E$ поставлено в соответствие действительное число $z$, то говорят, что на множестве $E$ определена Ф. $z=f(x,y)$ от двух переменных $x$ и $y$. Т. к. каждой паре чисел $(x,y)$ соответствует на плоскости точка с координатами $(x,y)$, то Ф. $f(x,y)$ задана на множестве $E$ точек плоскости. График Ф. $z=f(x,y)$ можно изобразить в трёхмерном пространстве, где задана прямоугольная система координат $(x,y,z)$, в виде множества точек $(x,y,f(x,y))$, проекции которых на плоскость $(x,y)$ принадлежат множеству $E$. Напр., график функции $z=\sqrt{1-x^2-y^2},$ $x^2+y^2 ⩽ 1$, и имеется в виду арифметич.
корень, изображается верхней половиной шаровой поверхности радиуса 1 с центром в начале координат.
Аналогично можно рассматривать множество $E$, состоящее из упорядоченных систем $(x_1,x_2,…,x_n)$ из $n$ чисел, и Ф. $z=f(x_1,x_2,…,x_n)$ от $n$ переменных, определённую на множестве $E$.
Общее понятие функции
Пусть заданы множества $E$ и $E_1$ элементов любой природы и пусть каждому элементу $x∈E$ поставлен в соответствие элемент $y∈E_1$, обозначаемый $y=f(x)$. Тогда говорят, что задана функция $y=f(x)$, $x∈E$, что часто записывается как $f:\,E→E_1$.
Принята следующая терминология: $x$ – независимое переменное, или аргумент; $E$ – область определения Ф., каждый элемент $x∈E$ – значение аргумента; $y$ – зависимое переменное, или Ф., от аргумента $x$; $E_1$ – область значений Ф., каждый элемент $y∈E_1$ такой, что $y=f(x)$ для некоторого значения $x∈E$, называется значением функции.
2}$ отображает отрезок $–1 ⩽ x ⩽ 1$ на отрезок $0 ⩽ y ⩽ 1$.
Для Ф. $f(x)$ и $g(x)$ естественным образом определяются арифметич. операции: это Ф., принимающие (в тех случаях, когда это имеет смысл) значения $f(x)±g(x)$, $f(x)g(x)$, $f(x)/g(x)$.
Термин «Ф.» чаще всего используется только для обозначения числовой Ф. от одного или нескольких переменных (действительных или комплексных). В др. случаях, как правило, используются спец. термины: оператор, отображение, преобразование, функционал.
См. также Монотонная функция, Непрерывная функция, Периодическая функция, Специальные функции, Чётные и нечётные функции, Элементарные функции.
Исторический очерк
Как и остальные понятия математики, понятие Ф. сложилось не сразу, а прошло долгий путь развития. По существу, речь о функциональной зависимости и её графич. изображении идёт в работе П.
Ферма «Введение и изучение плоских и телесных мест» (1636, опубл. в 1679). Изучение линий по их уравнениям в «Геометрии» Р. Декарта (1637) также указывает на ясное представление о взаимной зависимости двух переменных величин. У англ. математика И. Барроу («Лекции по геометрии», 1670) в геометрич. форме устанавливается взаимная обратность действий дифференцирования и интегрирования (разумеется, без употребления самих этих терминов). Это свидетельствует о совершенно отчётливом владении понятием Ф. В геометрич. и механич. виде это понятие можно найти и у И. Ньютона. Однако термин «Ф.» впервые появляется лишь в 1692 у Г. Лейбница, и притом не совсем в современном его понимании. Лейбниц называет Ф. разл. отрезки, связанные с к.-л. кривой, напр. абсциссы её точек. В первом печатном курсе «Анализа бесконечно малых» франц. математика Г. Лопиталя (1696) термин «Ф.
» не употребляется.
Первое определение Ф. в смысле, близком к современному, встречается у И. Бернулли (1718): «Функция – это величина, составленная из переменной и постоянной». В основе этого не вполне отчётливого определения лежит идея задания Ф. аналитич. формулой. Та же идея выступает и в определении Л. Эйлера, данном им во «Введении в анализ бесконечных» (1748): «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств». На протяжении 18 в. отсутствовало достаточно ясное понимание различия между Ф. и её аналитич. выражением. С нач. 19 в. уже всё чаще и чаще определяют понятие Ф. без упоминания о её аналитич. выражении. Такие определения встречаются в работах Ж. Фурье (1822), Д. Дирихле (1829, 1837), Н. И. Лобачевского (1834).
Так сложилось совр. понятие Ф., свободное от упоминания о её аналитич. задании.
Математические функции — Visual Basic
- Статья
Методы System.Math класса предоставляют тригонометрические, логарифмические и другие распространенные математические функции.
В следующей таблице перечислены методы System.Math класса . Их можно использовать в программе Visual Basic:
| Метод .NET | Описание |
|---|---|
| Abs | Возвращает абсолютное значение числа. |
| Acos | Возвращает угол, косинус которого равен указанному числу. |
| Asin | Возвращает угол, синус которого равен указанному числу. |
| Atan | Возвращает угол, тангенс которого равен указанному числу. |
| Atan2 | Возвращает угол, тангенс которого равен отношению двух указанных чисел. |
| BigMul | Возвращает полное произведение двух 32-разрядных чисел. |
| Ceiling | Возвращает наименьшее целочисленное значение, которое больше или равно заданному Decimal или Double. |
| Cos | Возвращает косинус указанного угла. |
| Cosh | Возвращает гиперболический косинус указанного угла. |
| DivRem | Возвращает частное число двух 32-разрядных или 64-разрядных целых чисел со знаком, а также остаток в выходном параметре. |
| Exp | Возвращает e (основание естественных логарифмов), возведенное в указанную степень. |
| Floor | Возвращает наибольшее целое число, которое меньше или равно заданному Decimal числу.Double |
| IEEERemainder | Возвращает остаток, полученный в результате деления указанного числа на другое указанное число. |
| Log | Возвращает натуральный (базовый e) логарифм указанного числа или логарифм указанного числа в указанном основании. |
| Log10 | Возвращает логарифм с основанием 10 указанного числа. |
| Max | Возвращает большее из двух чисел. |
| Min | Возвращает меньшее из двух чисел. |
| Pow | Возвращает указанное число, возведенное в указанную степень. |
| Round | Decimal Возвращает значение или Double , округленное до ближайшего целочисленного значения или до указанного числа дробных цифр. |
| Sign | Integer Возвращает значение, указывающее знак числа. |
| Sin | Возвращает синус указанного угла. |
| Sinh | Возвращает гиперболический синус указанного угла. |
| Sqrt | Возвращает квадратный корень из указанного числа. |
| Tan | Возвращает тангенс указанного угла. |
| Tanh | Возвращает гиперболический тангенс указанного угла. |
| Truncate | Вычисляет целочисленную часть указанного Decimal числа или Double . |
В следующей System.Math таблице перечислены методы класса , которые не существуют в платформа .NET Framework но добавляются в .NET Standard или .NET Core:
| Метод .NET | Описание | Доступно в |
|---|---|---|
| Acosh | Возвращает угол, гиперболический косинус которого равен указанному числу. | Начиная с .NET Core 2.1 и .NET Standard 2.1 |
| Asinh | Возвращает угол, гиперболический синус которого равен указанному числу. | Начиная с .NET Core 2.1 и .NET Standard 2.1 |
| Atanh | Возвращает угол, гиперболический тангенс которого равен указанному числу. | Начиная с .NET Core 2.1 и .NET Standard 2.1 |
| BitDecrement | Возвращает ближайшее самое маленькое значение, которое меньше, чем x. | Начиная с .NET Core 3.0 |
| BitIncrement | Возвращает ближайшее самое большое значение, превышающее x. | Начиная с .NET Core 3.0 |
| Cbrt | Возвращает кубический корень из указанного числа. | Начиная с .NET Core 2.1 и .NET Standard 2.1 |
| Clamp | Возвращает value, ограниченное диапазоном от min до max включительно. | Начиная с .NET Core 2.0 и .NET Standard 2.1 |
| CopySign | Возвращает значение с величиной x и знаком y. | Начиная с .NET Core 3.0 |
| FusedMultiplyAdd | Возвращает значение (x * y) + z, округленное в рамках одной тернарной операции. | Начиная с .NET Core 3.0 |
| ILogB | Возвращает целочисленный логарифм с основанием 2 указанного числа. | Начиная с .NET Core 3.0 |
| Log2 | Возвращает логарифм с основанием 2 указанного числа. n, вычисленное эффективно. | Начиная с .NET Core 3.0 |
Чтобы использовать эти функции без квалификации, импортируйте System.Math пространство имен в проект, добавив следующий код в начало исходного файла:
Imports System.Math
Пример — Abs
В этом примере используется Abs метод класса для Math вычисления абсолютного значения числа.
Dim x As Double = Math.Abs(50.3) Dim y As Double = Math.Abs(-50.3) Console.WriteLine(x) Console.WriteLine(y) ' This example produces the following output: ' 50.3 ' 50.3
Пример — Atan
В этом примере используется Atan метод класса для Math вычисления значения pi.
Public Function GetPi() As Double
' Calculate the value of pi.
Return 4.0 * Math.Atan(1.0)
End Function
Примечание
Класс System.Math содержит поле константы Math.PI . Его можно использовать, а не вычислять.
Пример — Cos
В этом примере метод класса используется CosMath для возврата косинуса угла.
Public Function Sec(angle As Double) As Double
' Calculate the secant of angle, in radians.
Return 1.0 / Math.Cos(angle)
End Function
Пример — Exp
В этом примере используется Exp метод класса для Math возврата e, возведенного в степень.
Public Function Sinh(angle As Double) As Double
' Calculate hyperbolic sine of an angle, in radians.
Return (Math.Exp(angle) - Math.Exp(-angle)) / 2.0
End Function
Пример — журнал
В этом примере метод класса используется Log для Math возврата естественного логарифма числа.
Public Function Asinh(value As Double) As Double
' Calculate inverse hyperbolic sine, in radians.
Return Math.Log(value + Math.Sqrt(value * value + 1.0))
End Function
Пример — Циклический
В этом примере метод класса используется Round для Math округления числа до ближайшего целого числа.
Dim myVar2 As Double = Math.Round(2.8) Console.WriteLine(myVar2) ' The code produces the following output: ' 3
В этом примере используется Sign метод Math класса для определения знака числа.
Dim mySign1 As Integer = Math.Sign(12) Dim mySign2 As Integer = Math.Sign(-2.4) Dim mySign3 As Integer = Math.Sign(0) Console.WriteLine(mySign1) Console.WriteLine(mySign2) Console.WriteLine(mySign3) ' The code produces the following output: ' 1 ' -1 ' 0
Пример— Sin
В этом примере используется Sin метод Math класса для возврата синуса угла.
Public Function Csc(angle As Double) As Double
' Calculate cosecant of an angle, in radians.
Return 1.0 / Math.Sin(angle)
End Function
Пример. Sqrt
В этом примере метод класса используется SqrtMath для вычисления квадратного корня числа.
Dim mySqrt1 As Double = Math.Sqrt(4) Dim mySqrt2 As Double = Math.Sqrt(23) Dim mySqrt3 As Double = Math.Sqrt(0) Dim mySqrt4 As Double = Math.Sqrt(-4) Console.WriteLine(mySqrt1) Console.WriteLine(mySqrt2) Console.WriteLine(mySqrt3) Console.WriteLine(mySqrt4) ' The code produces the following output: ' 2 ' 4.79583152331272 ' 0 ' NaN
Пример. Tan
В этом примере метод класса используется Tan для Math возврата тангенсов угла.
Public Function Ctan(angle As Double) As Double
' Calculate cotangent of an angle, in radians.
Return 1.0 / Math.Tan(angle)
End Function
См. также раздел
- Rnd
- Randomize
- NaN
- Производные математические функции
- Арифметические операторы
Ось X и Y
Ось X и Y являются осями в декартовой системе координат. Вместе они образуют координатную плоскость, которая представляет собой пространство, в котором происходит двумерное графическое изображение.
В двумерном пространстве ось X является горизонтальной осью, а ось Y — вертикальной осью. Они представлены двумя числовыми линиями, которые пересекаются перпендикулярно в начале координат, расположенном в точке (0, 0), как показано на рисунке ниже.
Приведенное выше представление координатной плоскости является одной из самых основных форм, где каждая галочка на оси представляет собой 1 единицу. Стоит отметить, что оси могут быть помечены любым количеством способов, если каждая ось поддерживает постоянный интервал.
Например, вместо того, чтобы ось X считала вверх на 1, первая отметка справа от 0 может быть помечена как 2, последующая — как 4, а следующая — как 6. В этом случае расстояние между каждой отметкой представляет собой 2. единицы измерения. Ось Y в этом же примере может даже иметь деления, представляющие 3 единицы; ось X и ось Y не должны иметь одинаковый интервал между метками. Поэтому важно обращать внимание на маркировку осей, поскольку различия в выбранных интервалах осей могут существенно повлиять на форму данного графика.
Упорядоченные пары
Заданная точка на координатной плоскости обозначается с помощью так называемой упорядоченной пары. Упорядоченная пара — это пара значений, в которой первое значение указывает координату x, а второе — координату y. Упорядоченная пара записывается следующим образом:
(x, y)
, где x — значение x, а y — значение y. В упорядоченной паре значения x и y заключены в круглые скобки и разделены запятой. Обратите внимание, что причина, по которой она называется упорядоченной парой, заключается в том, что сначала должно идти значение x, а затем значение y.
Красные стрелки показывают, как мы движемся от начала координат к заданной точке координатной плоскости, как описано ниже.
- Для точки A переместитесь вправо на 3 единицы по оси x, чтобы получить координату x, равную 3, затем переместитесь на 4 единицы вверх по оси y, чтобы получить координату y, равную 4.
- Для точки B переместитесь на 4 единицы влево по оси x, чтобы получить координату x, равную -4. Поскольку вертикальное расстояние для перемещения по оси Y отсутствует, координата Y равна 0,
- Для точки C переместитесь на 4 единицы вправо по оси x, чтобы получить координату x, равную 4, затем переместитесь на 4 единицы вниз по оси y, чтобы получить координату y, равную -4.
Таким образом, чтобы нанести точку на координатную плоскость, нам просто нужно знать упорядоченную пару. Затем мы можем нанести точку, посчитав соответствующее количество единиц по осям x и y.
Как только мы научились рисовать точки на координатной плоскости, мы можем перейти к графическому изображению более сложных объектов, поскольку график прямой или какой-либо другой функции — это просто визуальное представление всех точек или упорядоченных пар, составляющих функцию.
Пересечение по осям x и y
Пересечение по оси x — это точка, в которой график пересекает ось x. Точно так же точка пересечения с осью y — это точка, в которой график пересекает ось y. Координата y точки пересечения с осью x всегда равна 0, а координата x точки пересечения с осью y всегда равна 0.
При заданном уравнении подстановка x = 0 и решение для y даст точку пересечения по оси y и включение в y = 0, и решение для x даст пересечение x.
Пример:
Найти координаты точек пересечения x и y графика y = 2x + 6,
Подставьте y = 0 в y = 2x + 6:
0 = 2x + 6
-6 = 2x
x = -3
Точка пересечения с х находится в точке (-3, 0).
Подставьте x = 0 в уравнение:
y = 2 × 0 + 6
y = 6
Точка пересечения y находится в точке (0, 6).
оси x и y на графике
30-DAY PROMIS | ПОЛУЧИТЕ 100% ВОЗВРАТ ДЕНЕГ*
*T&C ApplyLearnPracticeDownload
Оси x и y — две важные линии, составляющие график. График состоит из горизонтальной оси и вертикальной оси, на которых могут быть представлены данные. Точка может быть описана по горизонтали или по вертикали, что легко понять с помощью графика. Эти горизонтальные и вертикальные линии или оси на графике являются осью x и осью y соответственно. В этом мини-уроке мы узнаем об осях x и y, а также о том, что такое оси x и y в геометрии, а также решим несколько примеров.
| 1. | Определение осей X и Y |
| 2. | Уравнение для осей X и Y |
| 3. | Что важнее: ось X или ось Y? |
| 4. | Часто задаваемые вопросы по осям X и Y |
Определение осей X и Y
Любая точка на координатной плоскости хорошо определяется упорядоченной парой, где упорядоченная пара записывается как (координата x,координата y) или (x,y), где координата x представляет точку на оси x или перпендикулярное расстояние от оси y, а координата y представляет собой точку на оси y или перпендикулярное расстояние от оси x.
Оси X и Y — это оси, используемые в системах координат, образующих координатную плоскость. Горизонтальная ось представлена осью x, а вертикальная ось представлена осью y. Точка пересечения осей x и y называется началом координат и используется в качестве опорной точки для плоскости. Ось x также известна как абсцисса или график x, тогда как ось y также известна как график ординат или график y. На изображении ниже показано соответствующее представление.
Например: Население города с 2015 по 2020 год указано в таблице X и Y как:
| Годы | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Люди в миллионах | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 | 3 | 3,5 |
Чтобы найти любую точку на координатной плоскости, мы используем упорядоченную пару, где упорядоченная пара записывается как (x-координата, y-координата) или (x, y), где x-координата представляет точку на координатной плоскости.
ось x или перпендикулярное расстояние от оси y, а координата y представляет собой точку на оси y или перпендикулярное расстояние от оси x, поэтому сверху ясно, что ось x идет первой при записи упорядоченной пары в найти точку. Здесь мы видим, что расположение каждой точки на графике отмечено как упорядоченная пара, где ось x или координата x опережает ось y или координату y. Затем представить эти точки на диаграмме x и y, используя годы на оси x и соответствующее население на оси y как:
Уравнение для осей X и Y
Рассмотрим линейное уравнение y = 2x+1. Теперь, чтобы построить график этого уравнения, постройте таблицу с двумя столбцами для значений x и y. Чтобы нарисовать график координат по осям X и Y линейного уравнения, нам нужно нарисовать таблицу сетки по осям X и Y как минимум для двух точек.
| х | г |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 3 |
| 2 | 5 |
Теперь нарисуйте точки на графике, где значения x лежат на оси x, а соответствующие значения y лежат на оси y.
Затем соедините точки прямой линией, чтобы нарисовать график уравнения.
Что первично: ось X или ось Y?
Чтобы найти любую точку на координатной плоскости, мы используем упорядоченную пару, где упорядоченная пара записывается как (координата x,координата y) или (x,y), где координата x представляет точку на x- ось или перпендикулярное расстояние от оси y, а координата y представляет собой точку на оси y или перпендикулярное расстояние от оси x, поэтому сверху ясно, что ось x идет первой при записи упорядоченной пары для определения местоположения точка. Здесь мы видим, что расположение каждой точки на графике отмечено как упорядоченная пара, где ось x или координата x опережает ось y или координату y.
Важные примечания:
- Ось x также называется абсциссой.
- ось у также называется ординатой.
- На оси x и оси y имеется бесконечное количество точек.
- Начало — это точка пересечения осей X и Y.
Связанные темы
Ниже перечислены несколько интересных тем, связанных с осями x и y.
- Введение в графику
- Геометрия
- Полярные координаты
Примеры осей X и Y
Пример 1: Даниэль получил от учителя математическую задачу по осям X и Y, в которой он должен нанести точки (3,2) и (2,3) на график и провести линию, проходящую через эти точки . Можете ли вы определить точку пересечения с осью x?
Решение: Точки можно нанести на график, как показано.
Следовательно, линия пересекает ось x в точке (5,0).
Пример 2: Нанесите точки (0,2), (0,4,5) и (0,-3) в системе координат. Все ли точки лежат на прямой? Можно ли назвать линию?
Решение: Точки на графике показаны ниже.
Ясно, что точки лежат на прямой оси y.
перейти к слайдуперейти к слайду
Отличное обучение в старшей школе с использованием простых подсказок
Увлекаясь зубрежкой, вы, скорее всего, забудете понятия.
С Cuemath вы будете учиться визуально и будете удивлены результатами.
Записаться на бесплатный пробный урок
Практические вопросы по осям X и Y
перейти к слайдуперейти к слайду
Часто задаваемые вопросы по осям X и Y
Что такое 4 квадранта на графике?
Четыре квадранта или квадранты осей x и y следующие:
- Квадрант 1: это положительная сторона обеих осей x и y.
- Квадрант 2: это отрицательная сторона оси x и положительная сторона оси y.
- Квадрант 3: это отрицательная сторона обеих осей x и y.
- Квадрант 4: это отрицательная сторона оси Y и положительная сторона оси X.
Как нарисовать уравнение?
Чтобы построить уравнение, сначала создайте таблицу с двумя столбцами для значений x и y. Затем нарисуйте точки на графике, где значения x лежат на оси x, а соответствующие значения y лежат на оси y. Затем соедините точки, чтобы нарисовать график уравнения.