Факториал в математике: Факториал — урок. Алгебра, 9 класс.

Содержание

Факториал натурального числа n: как вычислить, формула

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

Факториал натурального числа n пишется как n! и считается как произведение всех натуральных чисел от 1 до n (включительно).

Для n > 0:

n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 … ⋅ n

Для n = 0:

0! = 1

Формула для определения факториала
Рекуррентная формула факториала
Формула Стирлинга
Таблица факториалов

Формула для определения факториала

Примеры:

1! = 1
2! = 1 ⋅ 2 = 2
3! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 6
4! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅4 = 24
5! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 120

Рекуррентная формула факториала

Примеры:

5! = 5 ⋅ (5 – 1)! = 5 ⋅ 4! = 5 ⋅ 24 = 120
7! = 7⋅ (7 – 1)! = 7 ⋅ 6! = 5 ⋅ 720 = 5040

Формула Стирлинга

Используется для приблизительного нахождения факториала.

Пример:

Таблица факториалов


Число n	Факториал n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40320
9	362880
10	3628800
11	3,991680×10⁷
12	4,790016×10⁸
13	6,227021×10⁹
14	8,717829×10¹⁰
15	1,307674×10¹²
16	2,092279×10¹³
17	3,556874×10¹⁴
18	6,402374×10¹⁵
19	1,216451×10¹⁷
20	2,432902×10¹⁸

microexcel. ru

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

Урок 3.

Рекурсивное погружение

Рекурсия в математике
- Факториал
- Последовательность Фибоначчи
Рекурсивный Кукарача
Что мы узнали

Переход на справку: «Кукарача»

Рекурсия в математике

— Вы меня не понимаете! — сказал утёнок.
— Если уж мы не понимаем, так кто тебя поймёт! Что ж, ты хочешь быть умнее кота и нашей госпожи, не говоря уже обо мне? Не дури, а будь благодарен за всё, что для тебя сделали! Тебя приютили, пригрели, ты попал в такое общество, в котором можешь кое-чему научиться.

Г.-Х. Андерсен

Петя. Математики любят рекурсию и пользуются ею при записи математических формул. Формулы получаются очень компактными. Хочу продемонстрировать тебе эту математическую привязанность на двух примерах.

Факториал

Факториал числа n (обозначается n!, читается «эн факториал») — это произведение всех натуральных чисел от 1 до n.

Например, 3! = 1·2·3 = 6.

Формулу для факториала можно записать так:

n! = 1·2·3·…·n

Это обычная, не рекурсивная формула. Читаем так: эн факториал есть произведение всех натуральных чисел от 1 до n (включая n).

Заметим, что произведение всех натуральных чисел от 1 до n, исключая n есть факториал числа на единицу меньшего n, то есть факториал числа (n-1). Получаем:

Отсюда получается формула, содержащая рекурсию:

Читается формула так: факториал числа n есть 1, если n=1, иначе (при n>1) он равен факториалу от числа (n-1) умноженному на n.

По этой формуле можно написать рекурсивную программу для исполнителя, который умеет работать с числами, и в СКИ которого есть команда возвращения числа из процедуры.

Команда	Как работает
ВЕРНУТЬ t	Возвращает из процедуры число t — свой параметр.

ЭТО Факториал(n) // Вычисление n! ЕСЛИ n=1 ТО ВЕРНУТЬ 1 ИНАЧЕ ВЕРНУТЬ Факториал(n-1)*n КОНЕЦ

Как видите, при выполнении этой процедуры она обращается сама к себе (рекурсия), но со значением входного параметра на 1 меньше исходного.

Посмотрим, как будет, например, выполняться команда Факториал(4). Условие ложно (4≠1), значит, работает ветвь ИНАЧЕ: ВЕРНУТЬ Факториал(3)*4. Но выполнить умножение пока нельзя. Сначала нужно выполнить команду Факториал(3), то есть снова вызвать ту же процедуру (рекурсия), но уже с параметром 3.

Смысл любой конечной рекурсии: свести сложную задачу к ней самой, но попроще, а ту к ещё более простой, и так до тех пор пока не получится простейшая задача, решаемая непосредственно.

Сводим
вычисление 4! к вычислению 3!,
вычисление 3! к вычислению 2!,
вычисление 2! к вычислению 1!,
а 1! вычисляем непосредственно, он равен 1.

Конечная рекурсия в программах выполняется в два прохода. На первом проходе, назовём его погружением, внутри процедуры вызывается она же сама, а в ней снова она же и так далее, а вычисления откладываются:

На втором проходе, назовём его всплытием, выполняются возвраты и вычисления:

Рекурсивное погружение выполняется до тех пор, пока не выполнится проверка на окончание рекурсии (в нашем случае n=1), затем начинается всплытие, которое продолжается, пока управление не получит первая процедура, стартовавшая рекурсию.

Последовательность Фибоначчи

О последовательности Фибоначчи уже упоминалось в третьей части курса, когда шёл разговор о золотом сечении.

Вы не забыли что это такое?

Дело в том, что всё, что кажется нам красивым, так или иначе связано с постоянным соотношением, которое приблизительно оценивается как 3:2, а более точно, как число φ (фи) равное 1,618 — это соотношение и называют золотым сечением.

О золотом сечении

Художники и фотографы, скульпторы и строители стараются в своих произведениях учитывать принцип золотого сечения.

Тело человека также подчиняется принципу золотого сечения. Посмотрите на эту схему. Если расстояние от пупка до ступней поделить на расстояние от макушки до пупка, получится число φ.

В той же пропорции находятся:

расстояние от шеи до пупка к длине головы;

расстояние от пупка до колен к расстоянию от колен до ступней;
высота лица к ширине лица;
ширина рта к ширине носа;
расстояние между зрачками к расстояние между бровями.

И много других размеров человеческого тела связаны друг с другом золотым соотношением.

В природе признаки золотого сечения обнаруживаются повсюду, от таких мелких форм, как атомные структуры, микрокапилляры мозга и молекулы ДНК, до таких огромных, как планетарные орбиты и галактики. Мозг и нервная система, музыкальная аранжировка, строение растений и животных — всюду обнаруживается знаменитое число φ

. Наука доказала, что в природе действительно существует всеобщий закон пропорций, и этот закон есть правило золотого сечения.

С золотым сечением напрямую связана последовательность чисел, известная как последовательность Фибоначчи:

Каждое число этой последовательности, кроме первых двух, равно сумме двух предыдущих: 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5… И, что интересно, отношение каждого члена последовательности к предыдущему даёт приближение к числу φ, чем дальше от начала последовательности, тем более точное:

Последовательность Фибоначчи названа так в честь учёного, который её открыл. Интересно, что Фибоначчи — это не имя, а прозвище, а настоящие имя — Леонардо Пизанский — крупный математик средневековой Европы, родился около 1170 года в итальянском городе Пиза (этот город, кстати, знаменит ещё и «падающей» пизанской башней, посмотрите в Интернете).

Последовательность Фибоначчи — это бесконечный список чисел, который принято обозначать заглавной английской буквой F.

По определению F₁=1 и F₂=1, а любой другой элемент F_n есть сумма двух предыдущих элементов. Получается:

По этим формулам можно написать рекурсивную программу с переключателем:

// Вычисление n-го члена последовательности Фибоначчи ЭТО F(n) ЕСЛИ n=1 ТО ВЕРНУТЬ 1 ИНАЧЕ ЕСЛИ n=2 ТО ВЕРНУТЬ 1 ИНАЧЕ ВЕРНУТЬ F(n-1)+F(n-2) КОНЕЦ

Как видите, при выполнении этой процедуры она обращается сама к себе при n>2 два раза, первый раз со значением входного параметра на 1 меньше исходного, второй раз со значением входного параметра на 2 меньше исходного.

Вот такая двойная получается рекурсия!

Посмотрите на схему погружения. Внутри процедуры она сама вызывается два раза, а сложение откладываются:

На этапе всплытия, выполняются возвраты и вычисления:

Рекурсивное погружение выполняется до тех пор, пока не выполнится проверка на окончание рекурсии (n=1 или n=2 ), затем начинается всплытие, которое продолжается, пока управление не получит первая процедура, стартовавшая рекурсию.

Рекурсивный Кукарача

— Ветер несёт нас прямо на север, — объявил Знайка. — Значит, обратно надо будет возвращаться на юг.

Н. Носов

Вернёмся от математики на поле Кукарачи и попробуем решить такую задачу.

Задача 1. Энергетические кубики. Каждый кубик в плотном ряду справа от Кукарачи содержит запас энергии достаточный для спуска на одну клетку вниз. Толкая кубик, Кукарача «заряжается» от него, и накопленные заряды может использовать после очистки поля от кубиков.

Спустить Кукарачу вниз на число клеток, равное исходному количеству кубиков. На рисунке показано возможное начальное состояние среды и соответствующее ей конечное.

Вася. Надо столкнуть кубики, затем спустится вниз. В главной процедуре получается 2 команды, первая описывается процедурой с циклом ПОКА (количество кубиков неизвестно), а вторая — процедурой с циклом ПОВТОРИ:

ЭТО Спуск Столкнуть_кубики Спуститься_вниз КОНЕЦ ЭТО Столкнуть_кубики Шаг ПОКА НЕ ПУСТО Шаг КОНЕЦ ЭТО Шаг ВНИЗ ВПРАВО ВВЕРХ КОНЕЦ ЭТО Спуститься_вниз ПОВТОРИ 4 ВНИЗ // ? КОНЕЦ

Почему ты пометил последнюю процедуру знаком вопроса?

Петя. Она будет правильно работать только в одном случае: когда исходно на поле стояло 4 кубика!

Вася. Получается так… Но я не знаю, как заставить Кукарачу сосчитать кубики!

Петя. Кукарача, действительно, не умеет считать, поэтому твоя программа не годится. Решить задачу поможет рекурсия!

ЭТО Спуск Шаг ЕСЛИ ПУСТО ТО СТОЯТЬ ИНАЧЕ { Спуск ВНИЗ } КОНЕЦ ЭТО Шаг ВНИЗ ВПРАВО ВВЕРХ КОНЕЦ

Посмотри на схему погружения. Процедура Спуск вызывает сама себя, если Кукарача толкает кубик (идём по ветви ИНАЧЕ), а выполнение команды ВНИЗ откладываются:

На этапе всплытия Кукарача выполняются возвраты и выполнение всех отложенных команд ВНИЗ:

Каждый раз, когда Кукарача толкает кубик, рекурсивно вызывается процедура Спуск, а выполнение команды ВНИЗ откладывается. Выполнение отложенных команд начинается после того, как кубики заканчиваются.

Вася. Получилось замечательно! Так как количество отложенных команд ВНИЗ равно числу кубиков, Кукарача точно выполнит условие задачи.

Петя. Процедуру Спуск можно записать короче:

ЭТО Спуск Шаг ЕСЛИ НЕ ПУСТО ТО { Спуск ВНИЗ } КОНЕЦ

Рекурсивное погружение заканчивается, когда исполнитель шагает в пустую клетку. Условие в команде ЕСЛИ становится ложным, выполнение процедуры завершается, и начинается рекурсивное всплытие:

Вася. Думаю, что правильной будет и такая запись:

ЭТО Спуск Шаг ЕСЛИ НЕ ПУСТО ТО Спуск ВНИЗ КОНЕЦ

Пока исполнитель толкает кубики, рекурсивно вызываем процедуру Спуск, откладывая выполнение команды ВНИЗ. На этапе всплытия все эти отложенные команды сработают.

Петя. В этом варианте команд ВНИЗ выполнится на одну больше, чем нужно. Посмотри:

Вася. Да, верно. Один раз команда ВНИЗ сработает на этапе погружения, когда исполнитель переходит в пустую клетку (Спуск уже не вызывается).

Получается, Кукарача шагнёт вниз даже тогда, когда на поле изначально нет кубиков.

Петя. Такой вариант кодирования тоже бывает полезен. Попробуй использовать его при решении такой задачи.

Задача 2. Прогулка (Е. П. Лилитко). Кукарача находится в верхней строке поля. Где-то под ним (в том же столбце) расположен кубик. Требуется спуститься к кубику (где бы он ни находился), подвинуть его один раз и вернуться к исходной позиции в верхнюю строку. Сообщение Не могу допускается только в том случае, если кубика не оказалось под Кукарачей.

Вася. Думаю, задача решается таким рекурсивным кодом:

ЭТО Прогулка ВНИЗ ЕСЛИ ПУСТО ТО Прогулка ВВЕРХ КОНЕЦ

Петя. Это правильная программа! Рекурсивное погружение заканчивается, когда исполнитель толкает кубик. Условие ложно, Прогулка не вызывается, выполняется последняя команда ВВЕРХ, и начинается всплытие.

На всплытии выполняются отложенные команды ВВЕРХ. В итоге вверх исполнитель шагнет столько раз, сколько шагнул вниз и окажется в исходной точке.

Смысл любой конечной рекурсии:
…
Поясните смысл выполнения конечной рекурсии на примере вычисления факториала числа n. Используйте при ответе следующую схему:
…
Конечная рекурсия в программах выполняется в два прохода: . .. и ….
Как работает рекурсивное погружение? Объясните по следующей схеме:
…
Как работает рекурсивное всплытие? Объясните по следующей схеме:
…

Как решить 6 факториала? – Обзоры Вики

Точно так же для чего факториалы используются в реальной жизни? Это очень полезно, когда мы пытаясь подсчитать, сколько различных порядков существует для вещей или сколько различных способов мы можем комбинировать вещи. Например, сколькими различными способами мы можем расположить n вещей? У нас есть n вариантов для первого действия.

Как вы делаете факториалы в математике? факториал в математике произведение всех положительных целых чисел, меньших или равных заданному положительному целому числу и обозначается этим целым числом и восклицательным знаком. Таким образом, факториал семь записывается как 7!, что означает 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7.

Где используются факториалы?

В математическом анализе факториалы используются в степенной ряд для экспоненциальной функции и других функций, и у них также есть приложения в алгебре, теории чисел, теории вероятностей и информатике.

тогда какова цель факториала? Факториал — это операция умножения любого натурального числа на все натуральные числа, которые меньше его, что дает нам математическое определение n! = n * (n – 1) * (n – 2) * (n – 3) …. Наконец, факториал используется для вопросов, которые просят вас выяснить, сколькими способами вы можете расположить или заказать определенное количество вещей.

Как работают факториалы? Проще говоря, факториальная функция говорит умножить все целые числа из выбранного числа на единицу. Говоря более математическим языком, факториал числа (n!) равен n(n-1). Например, если вы хотите вычислить факториал для четырех, вы должны написать: … = n*(n -1)!

Как решить 5 факториалов?

Чтобы найти факториал 5 или 5!, просто используйте формулу; то есть перемножьте все целые числа от 5 до 1. Когда мы используем формулу для нахождения 5!, мы получаем 120. Итак, 5! = 120.

Можно ли умножать факториалы? Факториалы, обозначаемые a. … Вы также можете умножить факториалы вручную. Самый простой способ сделать это — вычислить каждый факториал по отдельности, а затем перемножить их произведения вместе. Вы также можете использовать определенные правила факториалов для извлечения общих множителей, что может упростить процесс умножения.

Как сделать факториал без умножения?

Выполните следующие действия, чтобы решить проблему:

Инициализировать переменную и N.
Проведите итерацию от N-1 до 1, используя переменную i, и сделайте следующее: Инициализируйте переменную sum значением 0. Проведите итерацию от 0 до i-1, используя переменную j, и добавьте к сумме число ans. Прибавьте сумму к годам.
Распечатать ans.

Как решить 5 факториалов? Чтобы найти факториал 5 или 5!, просто используйте формулу; то есть перемножьте все целые числа от 5 до 1. Когда мы используем формулу для нахождения 5!, мы получаем 120. Итак, 5! = 120.

Можно ли факториалы факториалы?

Сравните факториалы в числителе и знаменателе. Расширьте больший факториал так, чтобы он включал меньшие в последовательности. Сократите общие множители между числителем и знаменателем. Упростите дальше, умножив или разделив оставшиеся выражения.

Умеете ли вы делить факториалы?

Разделение факториалов — это именно то, что он утверждает. Это задача на деление с факториалами в числителе и/или знаменателе. Например, следующее выражение представляет собой деление факториалов: 6! / 4!

Что такое факториал 1? Это по-прежнему считается способом организации, поэтому по определению нулевой факториал равен единице, как 1! равно единице, потому что существует только одно возможное расположение этого набора данных.

Кто изобрел факториал? Одним из самых основных понятий перестановок и комбинаций является использование факториальной записи. Используя понятие факториалов, многие сложные вещи упрощаются. Использование! был начат Кристиан Крамп в 1808 году.

В какой математике используются факториалы?

Факториальную функцию можно найти в различных областях математики, в том числе алгебра, математический анализ и комбинаторика. Начиная с 1200-х годов для подсчета перестановок использовались факториалы. Обозначение факториала (n!) было введено в начале 1800-х годов французским математиком Кристианом Крампом.

Что является примером факториала? Факториалы (!) произведения каждого целого числа от 1 до n. Другими словами, возьмите число и умножьте его на 1. Например: если n равно 3, то 3! 3 х 2 х 1 = 6.

Что такое факториальные дети?

Факториал целого числа n, записанный как n!, равен находится путем умножения n на все целые числа, меньшие его. Например, факториал числа 4 равен 24, потому что 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Следовательно, можно написать 4!

В каком классе вы изучаете факториалы? ИКЛ | факториалы | 7th класс математика

Всегда ли факториалы четны?

Факториал любого числа, кроме 1 и 0, всегда четно.

Как учить факториалы?

Тема урока: «Факториал числа».

5-й класс Тема урока: «Факториал числа». 5-й класс

Кирюхина Елена Станиславовна, учитель математики и информатики и ИКТ

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Класс: 5

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (302 кБ)

Цели:

Дидактические:
- ввести определение факториала числа;
- показать использование факториала при решении примеров.
Воспитательные:
- формирование системного мышления;
- создание у школьников положительной мотивации к выполнению умственной деятельности;
- повышение общей культуры учащихся.
Развивающие:
- развитие логического мышления, познавательного интереса учащихся;
- развитие внимания, памяти.

Тип урока – изучение нового материала с элементами закрепления.

Оборудование – презентация к уроку.

План урока:

Организационный момент – 1 мин.
Объяснение – 7 мин.
Закрепление – 33 мин.
Итог – 2 мин.
Постановка домашнего задания – 2 мин.

ХОД УРОКА

Этапы урока	Деятельность учителя	Деятельность учащихся
1. Организационый момент	Проверяется готовность учеников к уроку.
2. Объяснение (слайды 1-4).	Сегодня у нас с вами очень интересная тема «Факториал числа». Быль: «Однажды на экзамене…» Преподаватель: Прочитайте выражение: . Студент: Единица, деленная на два-а-а!.. Плюс единица, деленная на три-и-и!..Плюс единица, деленная на четы-ы-ыре!.. Преподаватель: Постойте, постойте…Почему вы кричите? Студент: Но там же написаны восклицательные знаки?!.. Давайте узнаем, что обозначает символ восклицательного знака в математике. Факториалом числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n: (n! читается: «эн факториал»).	Записывают тему урока в тетрадь. Записывают определение в тетрадь.
3. Закрепление (слайды 5-9).	Давайте решим следующие примеры: 1. Вычисли: 2!, 3!, 4!, 5!, 6!, 10!. 2. Сравни: , , . 3. Приведи к несократимому виду дроби: , , , , , . 4. Приведи дроби к наименьшему общему знаменателю: , , , . 5. Найди значение разностей: , , , . Запиши следующие две разности и найди их значение. Чему равна разность ?	Решают примеры, опираясь на введенное определение.
4. Итог	Итак, что такое факториал числа?	Отвечают на поставленный вопрос.
5. Постановка домашнего задания.	Придумайте 5 примеров с использованием факториала числа.	Записывают домашнее задание.

Использованная литература:

Дорофеев Г. В., Петерсон Л. Г. Математика. 5 класс. Часть 2.- М.: Издательство «Ювента», 2007.

5.05.2012

Как вычитать факториалы

Примеры решения факториалов

Рассмотрим примеры решения примеров с факториалами. Зная что такое факториал числа и основную формулу его нахождения, легко решить большинство примеров.

СУММА ФАКТОРИАЛОВ

Начнем с суммы факториалов чисел. В таких примерах, просто вычисляем значения и складываем их. Значения факториалов легко найти в таблице факториалов или можно воспользоваться калькулятором факториалов.

Рассмотрим следующую задачу.

Решение: 5! + 4! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 + 1 · 2 · 3 · 4 = 120 + 24 = 144

Ответ: 5! + 4! = 144

В этом примере, сначала находятся значения факториалов чисел 5 и 4, которые равны 120 и 24 соответственно. Затем они складываются. Всё просто!

ДЕЛЕНИЕ ФАКТОРИАЛОВ

При решении задач на деление факториалов нужно вспомнить формулу факториала. А именно: n! = n · (n-1)!.
Разберем пример задачи на деление факториалов.

Разложим факториал числителя на следующие множители: 56! = 56 · 55 · 54!, а далее сокращаем 54! в числителе и знаменателе. Получаем, 55 · 56.

Как быстро решать факториалы?

Точно так же, как вы вычисляете факториалы? Говоря более математическим языком, факториал числа (n!) равно n(n-1). Например, если вы хотите вычислить факториал для четырех, вы должны написать: 4! = 4 х 3 х 2 х 1 = 24.

Как решить 6 факториалов?

Какие есть 3 вида налогов?

Как найти среднюю точку между двумя точками?

Как вы делаете кадровые прогнозы?

Как найти начальную скорость, зная только время?

Как работают факториалы? факториал, в математике, произведение всех положительных целых чисел, меньших или равных данному положительному целому числу и обозначенных этим целым числом и восклицательным знаком. Таким образом, факториал семь записывается как 7 !, что означает 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7. Факториал нуль определяется как равный 1.

Во-вторых, можно ли умножать факториалы? Факториалы, обозначаемые a. … Вы также можете умножить факториалы вручную. Самый простой способ сделать это — вычислить каждый факториал по отдельности, а затем перемножить их произведения вместе. Вы также можете использовать определенные правила факториалов для извлечения общих множителей, что может упростить процесс умножения.

Как вы делаете факториалы в математике?

факториал в математике произведение всех положительных целых чисел, меньших или равных заданному положительному целому числу и обозначается этим целым числом и восклицательным знаком. Таким образом, факториал семь записывается как 7!, что означает 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7.

тогда как факториалы используются в реальной жизни? Это очень полезно, когда мы пытаемся подсчитайте, сколько существует различных заказов на вещи или сколько различных способов мы можем комбинировать вещи. Например, сколькими различными способами мы можем расположить n вещей? У нас есть n вариантов для первого.

Как решить 6 факториалов?

Насколько велик факториал 52?

52! является приблизительно 8.0658e67. Чтобы получить точное представление, просмотрите факториальную таблицу или попробуйте калькулятор «новой школы», который понимает длинные целые числа.

Как решить факториальные задачи?

Что такое формула nCr?

Формула комбинаций: nCr = n! / ((п — г)! р!) n = количество элементов.

В каком классе вы изучаете факториалы? ИКЛ | факториалы | 7th класс математика

Вы умеете вычитать факториалы?

Как учить факториалы?

Чему равно произведение 2 факториалов? единственный известный факториал, который является произведением двух факториалов: 10! =6!

Умеете ли вы распределять факториалы? Факторное распределение имеет место, когда набор переменных — независимые события. Другими словами, переменные вообще не взаимодействуют; Учитывая два события x и y, вероятность x не изменится, если вы умножите y. Следовательно, вероятность x при условии, что произошло y — P(x|y) — будет такой же, как P(x).

Кто изобрел факториал?

Одним из самых основных понятий перестановок и комбинаций является использование факториальной записи. Используя понятие факториалов, многие сложные вещи упрощаются. Использование! был начат Кристиан Крамп в 1808 году.

Что такое факториал 100 говорить? Приблизительное значение 100! является 9. 3326215443944E + 157. Количество завершающих нулей в 100! равно 24. Количество цифр в факториале 100 равно 158.

Какие приложения используют факториал?

отдельные объекты: есть. . В математическом анализе факториалы используются в степенных рядах для экспоненциальной функции и других функций, а также находят применение в алгебра, теория чисел, теория вероятностей и информатика.

Сколько стоит 8.06 е67? способами, которыми мы можем составить колоду карт. 52! чертовски большое число, равное 8.06e+67. 80,658,175,170,943,878,571,660,636,856,403,766,975,289,505,440,883,277,824,000,000,000,000 68 XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX, если быть точным. Это XNUMX-значный номер.

Что такое факториал 20?

Ответ: Факториал числа 20 равен 2432902008176640000.

Факториал n обозначается через n!

Факториал 52 верен? Количество возможных способов заказать колоду из 52 карт — 52! ‘(факториал 52), что означает умножение 52 на 51 by 50… вплоть до 1. 67 (8 с 67 0 после него), по сути, это означает, что случайно перетасованную колоду никто никогда не видел раньше и никогда больше не увидит. .

Объясните, пожалуйста, как складывать и вычитать факториалы. Вот пример: 7!-5!/6!

Чтобы вычесть факториал из факториала, никакого общего правила нет: всё, что можно сделать, это вынести за скобки общий множитель, ну например:

Тут ничего хитрого нет. Ну и получается, что нужно считать факториал только меньшего числа. С суммой всё получится аналогично.

Однако, если факториалы большие, это не сильно упростит ситуацию. Кроме того, все маленькие факториалы обычно легко запомнить наизусть, и просто вычесть одно число из другого. Я приведу здесь специально список маленьких факториалов, их нужно запомнить:

Дальше знать необязательно.
А в приведённом тобой примере, вообще-то, первое действие — деление. На всякий случай.

Калькулятор факториала

0
AC		+/-	÷
7	8	9	×
4	5	6	—
1	2	3	+
0	00	,	=

Введите целое неотрицательное число

Идет расчет …

Что такое факториал

Факториал целого неотрицательного числа n – есть произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно.

Факториал – является очень быстро растущей функцией, определенной на множестве натуральных чисел, включая ноль.

Факториал ноля равен единице 0! = 1.

Факториал обозначается при помощи восклицательного знака «!».

Скорость роста данной функции можно наглядно представить на следующих примерах:

3! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 6
5! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 120
15! ≈ 1.307674 × 10¹² = 1307674368000
36! ≈ 3.719933 × 10⁴¹ = 371993326789901217467999448150835200000000

Факториал используется в различных разделах математики, в частности в комбинаторике. При помощи факториала можно вычислить: число перестановок элементов, сочетания, размещения т.д.

Праймориал

Следует упомянуть о функции похожей на факториал – Праймориал.

Праймориал (примориал) – является последовательным произведение простых чисел, которые меньше или равны исходному числу.

Праймориал отличается от факториала тем, что праймориал является последовательным произведение простых чисел, а факториал — натуральных чисел.

Праймориал обозначается знаком p_n#, где n – количество первых простых чисел.

Приведем, таблицу простых чисел от 2 до 101

Таблица простых чисел от 2 до 101

101

Вычислим праймориал p₄#. Цифра 4 означает что необходимо перемножить первые 4 простых числа. Воспользуемся таблицей и произведем вычисления:
p₄# = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 210

Праймориал p₀# — не существует!

Вам могут также быть полезны следующие сервисы

Калькуляторы (Комбинаторика)

Калькулятор нахождения числа перестановок из n элементов

Калькулятор нахождения числа сочетаний из n элементов

Калькулятор нахождения числа размещений из n элементов

Калькуляторы линейная алгебра и аналитическая геометрия

Калькулятор сложения и вычитания матриц

Калькулятор умножения матриц

Калькулятор транспонирование матрицы

Калькулятор нахождения определителя (детерминанта) матрицы

Калькулятор нахождения обратной матрицы

Длина отрезка.

Онлайн калькулятор расстояния между точками

Онлайн калькулятор нахождения координат вектора по двум точкам

Калькулятор нахождения модуля (длины) вектора

Калькулятор сложения и вычитания векторов

Калькулятор скалярного произведения векторов через длину и косинус угла между векторами

Калькулятор скалярного произведения векторов через координаты

Калькулятор векторного произведения векторов через координаты

Калькулятор смешанного произведения векторов

Калькулятор умножения вектора на число

Калькулятор нахождения угла между векторами

Калькулятор проверки коллинеарности векторов

Калькулятор проверки компланарности векторов

Калькуляторы систем счисления

Калькулятор перевода чисел из арабских в римские и из римских в арабские

Калькулятор перевода чисел в различные системы счисления

Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления двоичных чисел

Системы счисления теория

N₂ | Двоичная система счисления

N₃ | Троичная система счисления

N₄ | Четырехичная система счисления

N₅ | Пятеричная система счисления

N₆ | Шестеричная система счисления

N₇ | Семеричная система счисления

N₈ | Восьмеричная система счисления

N₉ | Девятеричная система счисления

N₁₁ | Одиннадцатиричная система счисления

N₁₂ | Двенадцатеричная система счисления

N₁₃ | Тринадцатеричная система счисления

N₁₄ | Четырнадцатеричная система счисления

N₁₅ | Пятнадцатеричная система счисления

N₁₆ | Шестнадцатеричная система счисления

N₁₇ | Семнадцатеричная система счисления

N₁₈ | Восемнадцатеричная система счисления

N₁₉ | Девятнадцатеричная система счисления

N₂₀ | Двадцатеричная система счисления

N₂₁ | Двадцатиодноричная система счисления

N₂₂ | Двадцатидвухричная система счисления

N₂₃ | Двадцатитрехричная система счисления

N₂₄ | Двадцатичетырехричная система счисления

N₂₅ | Двадцатипятеричная система счисления

N₂₆ | Двадцатишестеричная система счисления

N₂₇ | Двадцатисемеричная система счисления

N₂₈ | Двадцативосьмеричная система счисления

N₂₉ | Двадцатидевятиричная система счисления

N₃₀ | Тридцатиричная система счисления

N₃₁ | Тридцатиодноричная система счисления

N₃₂ | Тридцатидвухричная система счисления

N₃₃ | Тридцатитрехричная система счисления

N₃₄ | Тридцатичетырехричная система счисления

N₃₅ | Тридцатипятиричная система счисления

N₃₆ | Тридцатишестиричная система счисления

Дроби

Калькулятор интервальных повторений

Учим дроби наглядно

Калькулятор сокращения дробей

Калькулятор преобразования неправильной дроби в смешанную

Калькулятор преобразования смешанной дроби в неправильную

Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления дробей

Калькулятор возведения дроби в степень

Калькулятор перевода десятичной дроби в обыкновенную

Калькулятор перевода обыкновенной дроби в десятичную

Калькулятор сравнения дробей

Калькулятор приведения дробей к общему знаменателю

Калькуляторы (тригонометрия)

Калькулятор синуса угла

Калькулятор косинуса угла

Калькулятор тангенса угла

Калькулятор котангенса угла

Калькулятор секанса угла

Калькулятор косеканса угла

Калькулятор арксинуса угла

Калькулятор арккосинуса угла

Калькулятор арктангенса угла

Калькулятор арккотангенса угла

Калькулятор арксеканса угла

Калькулятор арккосеканса угла

Калькулятор нахождения наименьшего угла

Калькулятор определения вида угла

Калькулятор смежных углов

Калькуляторы (Теория чисел)

Калькулятор выражений

Калькулятор со скобками

Калькулятор разложения числа на простые множители

Калькулятор НОД и НОК

Калькулятор НОД и НОК по алгоритму Евклида

Калькулятор НОД и НОК для любого количества чисел

Представление многозначных чисел в виде суммы разрядных слагаемых

Калькулятор деления числа в данном отношении

Калькулятор процентов

Калькулятор перевода числа с Е в десятичное

Калькулятор экспоненциальной записи чисел

Калькулятор нахождения факториала числа

Калькулятор нахождения логарифма числа

Калькулятор квадратных уравнений

Калькулятор остатка от деления

Калькулятор корней с решением

Калькулятор нахождения периода десятичной дроби

Калькулятор больших чисел

Калькулятор округления числа

Калькулятор свойств корней и степеней

Калькулятор комплексных чисел

Калькулятор среднего арифметического

Калькулятор арифметической прогрессии

Калькулятор геометрической прогрессии

Калькулятор модуля числа

Калькулятор абсолютной погрешности приближения

Калькулятор абсолютной погрешности

Калькулятор относительной погрешности

Калькуляторы площади геометрических фигур

Площадь квадрата

Площадь прямоугольника

КАЛЬКУЛЯТОРЫ ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ

Генератор Pdf с примерами

Тренажёры решения примеров

Тренажёр таблицы умножения

Тренажер счета для дошкольников

Тренажер счета на внимательность для дошкольников

Тренажер решения примеров на сложение, вычитание, умножение, деление.

Найди правильный ответ.

Тренажер решения примеров с разными действиями

Тренажёры решения столбиком

Тренажёр сложения столбиком

Тренажёр вычитания столбиком

Тренажёр умножения столбиком

Тренажёр деления столбиком с остатком

Калькуляторы решения столбиком

Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления столбиком

Калькулятор деления столбиком с остатком

Конвертеры величин

Конвертер единиц длины

Конвертер единиц скорости

Конвертер единиц ускорения

Цифры в текст

Калькуляторы (физика)

Механика

Калькулятор вычисления скорости, времени и расстояния

Калькулятор вычисления ускорения, скорости и перемещения

Калькулятор вычисления времени движения

Калькулятор времени

Второй закон Ньютона.

Калькулятор вычисления силы, массы и ускорения.

Закон всемирного тяготения. Калькулятор вычисления силы притяжения, массы и расстояния.

Импульс тела. Калькулятор вычисления импульса, массы и скорости

Импульс силы. Калькулятор вычисления импульса, силы и времени действия силы.

Вес тела. Калькулятор вычисления веса тела, массы и ускорения свободного падения

Оптика

Калькулятор отражения и преломления света

Электричество и магнетизм

Калькулятор Закона Ома

Калькулятор Закона Кулона

Калькулятор напряженности E электрического поля

Калькулятор нахождения точечного электрического заряда Q

Калькулятор нахождения силы F действующей на заряд q

Калькулятор вычисления расстояния r от заряда q

Калькулятор вычисления потенциальной энергии W заряда q

Калькулятор вычисления потенциала φ электростатического поля

Калькулятор вычисления электроемкости C проводника и сферы

Конденсаторы

Калькулятор вычисления электроемкости C плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления напряженности E электрического поля плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления напряжения U (разности потенциалов) плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления расстояния d между пластинами в плоском конденсаторе

Калькулятор вычисления площади пластины (обкладки) S в плоском конденсаторе

Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора

Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора.

Для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления объемной плотности энергии w электрического поля для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькуляторы по астрономии

Вес тела на других планетах

Ускорение свободного падения на планетах Солнечной системы и их спутниках

Генераторы

Генератор примеров по математике

Генератор случайных чисел

Генератор паролей

Факториал | Дюжина Вики | Fandom

В математике факториал положительного целого числа.

, обозначаемый

, является произведением всех положительных целых чисел, меньших или равных Template:Mvar. Например,

Значение 0! равно 1, согласно соглашению о пустом произведении.

Операция факториала встречается во многих областях математики, особенно в комбинаторике, алгебре и математическом анализе. Его самое простое использование — подсчет возможных различных последовательностей — перестановок —

отдельные объекты: есть

Функция факториала также может быть расширена до нецелочисленных аргументов, сохраняя при этом ее наиболее важные свойства; это включает в себя более продвинутую математику, особенно методы математического анализа.

Содержимое

1 Таблица значений
2 Определение
- 2.1 Фактор нуля
- 2.2 Факториал нецелого числа
3 Приложения

Таблица значений[]

Это выбранные члены факториальной последовательности, значения > 20! записываются в экспоненциальном представлении и округляются до 10 значащих цифр.


0	1
1	1
2	2
3	6
4	20
5	Х0
6	500
7	2 Е00
8	1Э 400
9	156 000
Х	1 270 000
Е	11 450 000
10	114 500 000
11	1 259 500 000
12	14 Х8Е Х00 000
13	191 529 600 000
14	2 41X E88 000 000
15	33 Х86 734 000 000
16	4EX 09X E00 000 000
17	7 X8E 383 500 000 000
18	111 ХХХ 198 400 000 000
19	1 Е04 0Е9 1Е7 000 000 000
1X	36 275 969 72Х 000 000 000
1Е	68Е 041 404 Х52 000 000 000
20	11 5Х0 828 098 Х40 000 000 000
30	3,789 X09 464 12 × 10 ³²
40	4,69X 128 83E 73 × 10 ⁴⁸
50	9,702 57X 114 20 × 10 ⁶³
60	1,649 42E 94E ХХ × 10 ⁸⁰
70	1,978 X87 570 6E × 10 ⁹⁹
80	E. 894 332 8E8 52 × 10 ^E6
83	3,845 27E 248 23 × 10 ¹⁰⁰
90	2,447 652 178 27 × 10 ¹¹⁵
X0	1,977 E26 887 95 × 10 ¹³⁴
E0	4,672 692 560 80 × 10 ¹⁵³
100	2.X10 EX1 516 50 × 10 ¹⁷³
200	X.581 X35 0XE 81 × 10 ³⁹¹
300	6,258 191 777 10 × 10 ⁶¹⁶
400	1,739 E34 723 E5 × 10 ⁸⁷⁷
500	1.EE3 226 EXE 9E × 10 ^E2X
536	E.370 463 766 4E × 10 ^{1 001}
600	1.090 525 435 91 × 10 ^{1 1E1}
700	3,259 2X0 904 8X × 10 ^{1 481}
800	1,864 X09 8E9 1X × 10 ^{1 75X}
900	1,8X7 123 575 22 × 10 ^{1 X42}
X00	5. 4E0 E88 62E X5 × 10 ^{2 130}
E00	X.373 X3X 427 34 × 10 ^{2 424}
1 000	3,288 37X XX0 39 × 10 ^{2 722}
3 9X9	2.303 X87 E81 15 × 10 ^{10 001}
10 000	4.3E1 613 493 EE × 10 ^{37 209}
2E 818	3,272 320 689 04 × 10 ^{100 002}
100 000	3.62E 367 978 48 × 10 ^{472 075}
250 X02	1.4E8 264 920 30 × 10 ^{1 000 000}
1 000 000	1,037 571 E51 99 × 10 ^{5 720 72E}

Определение[]

Факториальная функция определяется произведением

для целых чисел Template:Math. Это может быть записано в нотации продукта Pi как

Из этих формул можно вывести рекуррентное соотношение

Например, есть

и так далее.

Факториал нуля[]

Факториал нуля,

, равно 1.

Это определение объясняется несколькими причинами:

Для Template:Math определение Template:Math как продукта вообще не включает произведение чисел, и поэтому является примером более широкого соглашения о том, что произведение отсутствия множителей равно мультипликативному тождеству (см. пустое товар).
Существует ровно одна перестановка нулевых объектов (нечего переставлять, единственная перестановка — ничего не делать).
Это делает многие тождества в комбинаторике действительными для всех применимых размеров. Количество способов выбрать 0 элементов из пустого множества определяется биномиальным коэффициентом

В более общем смысле количество способов выбрать все элементы Template:Mvar из набора Template:Mvar равно

Это допускает компактную экспрессию многих формул, таких как экспоненциальная функция, в качестве серии мощности:

Это расширяет рецибирное отношение до 0,

. It Edge Recardrence Controdrue до 0,

777

It Advurrenge Confrotrue до 0,

. Факториал нецелого[]
Функция факториала также может быть определена для нецелых значений с использованием более сложной математики (гамма-функция Template:Math), подробно описанная в разделе ниже. Это более обобщенное определение используется продвинутыми калькуляторами и математическим программным обеспечением, таким как Maple, Mathematica или APL.
Applications[]
Хотя функция факториала уходит своими корнями в комбинаторику, формулы, включающие факториалы, встречаются во многих областях математики.
- Существуют различные способы организации различных объектов в последовательности, перестановки этих объектов. ^[1] ^[2]
- Часто факториалы появляются в знаменателе формулы для учета того факта, что порядок следует игнорировать. Классическим примером является подсчет комбинаций Template:Mvar (подмножеств элементов Template:Mvar) из набора с элементами Template:Mvar. Такую комбинацию можно получить, выбрав перестановку Template:Mvar: последовательно выбирая и удаляя один элемент набора, Template:Mvar раз, всего
возможностей. Это, однако, создает комбинации Template:Mvar в определенном порядке, который желательно игнорировать; поскольку каждая комбинация Template:Mvar получается в Template:Math разными способами, правильное количество комбинаций Template:Mvar равно
Это число известно как ^[3] как биномиальный коэффициент, потому что это также коэффициент Template:Math в Template:Math. Этот термин часто называют падающим факториалом (произносится « n к падающему k «).
- Факториалы встречаются в алгебре по разным причинам, например, через уже упомянутые коэффициенты биномиальной формулы, или через усреднение по перестановкам для симметризации некоторых операций.
- Факториалы также встречаются в исчислении; например, они встречаются в знаменателях членов формулы Тейлора, ^[4], где они используются в качестве условий компенсации из-за того, что производная Template:Mvarth от Template:Math эквивалентна Template:Math.
- Факториалы также широко используются в теории вероятностей ^[5] и теории чисел (см. ниже).
- Факториалы могут быть полезны для облегчения манипулирования выражениями. Например, количество перестановок Template:Mvar в Template:Mvar можно записать как
.
, хотя это неэффективно как средство вычисления этого числа, оно может служить для доказательства свойства симметрии ^[2] ^[3] биномиальных коэффициентов:
- Факториальная функция может быть показана, используя правило степени, как
, где Template:Math — это нотация Эйлера для производной Template:Mvarth от Template:Math. ^[6]
1. ↑ Template:Cite book
2. ↑ ^2.0 ^2.1 Шаблон:Cite book
3. ↑ ^3.0 ^3.1 Шаблон:Cite book
4. ↑ Шаблон: Cite web
5. ↑ Template:Cite book
6. ↑ Шаблон: Cite web
Контент сообщества доступен по лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.
Факториал | nool
Перейти к основному содержанию
Домашняя страница Технологического института Онтарио
nool
Введение
Факториал неотрицательного целого числа n обозначается: n! и представляет собой произведение всех положительных целых чисел, меньших или равных n . По определению 0!=1 и 1!=1.
Пример: Найдите 5!
Решение:
5! = (5)(4)(3)(2)(1)
= 120
Пример: Найдите 10!
Решение:
10! = (10)(9)(8)…(3)(2)(1)
= 3628800
Почему это важно?
Вы можете столкнуться с факториалами при изучении вероятности, рядов Тейлора (на уроках исчисления) или в курсе дискретной математики.
Использование калькулятора
Стандартный научный калькулятор должен иметь кнопку (обозначенную n !), которая вычисляет факториалы. В зависимости от вашего калькулятора вам может понадобиться нажать эту кнопку до или после ввода числа, факториал которого вы хотите найти. На некоторых калькуляторах вам, возможно, придется нажать «2 ^nd function», иногда обозначаемая как «INV». Чтобы убедиться, что вы правильно используете свой калькулятор, попробуйте найти 5!… вы должны получить ответ 120.

факториал — определение и значение
- Определение
- Связать
- Список
- Обсудить
- См.
- Услышать
- и Любовь
Определения
из Словаря английского языка American Heritage®, 5-е издание.
- существительное Произведение всех натуральных чисел от 1 до заданного числа.
- прилагательное Относящийся к фактору или факториалу.
из словаря века.
- Относится к фактору или фабрике; составляющий фабрику.
- В математика , относящаяся к фактору или факториалам. См. II.
- существительное В математика , продолженное произведение формы Fx, F ( x +1), F ( x +2), F ( x +3), … F ( x + n ), в котором каждый множитель после первого получается из предыдущего увеличением переменной на единицу.
из версии GNU Collaborative International Dictionary of English.
- прилагательное Фабрика или относящаяся к ней.
- прилагательное (математика) Связано с факториалами.
- сущ. Название, данное множителям непрерывного произведения, когда первые можно вывести из одной и той же функции F(x) последовательным приданием независимой переменной постоянного приращения или убывания h. Таким образом, произведение F(x).F(x + h).F(x + 2h) … F[x + (n-1)h] называется факториальным термином, а его несколько множителей называются факториалами.
- сущ. Произведение последовательных целых чисел от единицы до любого заданного числа.
из Викисловаря, Creative Commons Attribution/Share-Alike License.
- сущ. математика, комбинаторика Результат умножения заданного количества последовательных целых чисел от 1 до заданного числа. В уравнениях он обозначается восклицательным знаком (!). Например, 5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120.
- прилагательное математика относящийся к фактору или факториалу.
- прилагательное Относящийся к фактору.
- прилагательное Фабрика или относящаяся к ней.
из WordNet 3.0 Copyright 2006 Принстонского университета. Все права защищены.
- существительное произведение всех целых чисел до данного целого числа включительно
- прилагательное относящееся к факториалам
Этимологии
Извините, этимологии не найдено.
Support
Помогите поддержать Wordnik (и сделайте эту страницу свободной от рекламы), приняв слово factorial.
Примеры
- AL CARDENAS, ВРАЧ СТАНЦИИ СКОРОЙ ПОМОЩИ: Типы травм были мульти- факторными , то есть травмы головы, ортопедические травмы, абдоминальные, внутрибрюшные травмы.
  Стенограмма CNN от 9 августа 2008 г.
- Результаты этих исследований привели к так называемой факторной гипотезе наследственности, [45] согласно которой все видимые признаки взрослого человека производятся (чисто гипотетическими) факторами зародышевой плазмы; это факторы, которые наследуются, и они, при надлежащих условиях развития, производят признаки.
  Прикладная евгеника
- ∗ Восклицательный знак называется factorial и представляет собой произведение последовательных целых чисел от 1 до числа перед символом факториала.
  Недавно загруженные слайд-шоу
- Этот шаблон называется факториалом в математике.
  Еженедельные статьи Айш
- Непрерывное произведение первых n натуральных чисел называется факториалом n и обозначается как n!
  Действия LearnHub
- Непрерывное произведение первых n натуральных чисел называется факториалом n и обозначается как n!
  Действия LearnHub
- Этот шаблон называется факториалом в математике.
  Еженедельные статьи Айш
- Непрерывное произведение первых n натуральных чисел называется 9.0003 факториал n и обозначается как n!
  Действия LearnHub
- Непрерывное произведение первых n натуральных чисел называется факториалом n и обозначается как n!
  Действия LearnHub
- Непрерывное произведение первых n натуральных чисел называется факториалом n и обозначается как n!
  Действия LearnHub
Python math.factorial() – Finxter
Оценить этот пост
Установка Python поставляется с собственной библиотекой функций. Функция факториала math.factorial() включена в его математический модуль. Математические модули являются частью пакета кода установки Python. Математические модули или функции, такие как факториал, квадратный корень, синус и экспонента, могут использоваться в программах Python. Чтобы использовать их, команда импорта должна использоваться до вызова математической функции, как показано в следующем коде.
```
 импорт математики
печать (математика. факториал (4))
# вывод: 24, потому что 4 факториала равно 24
 
```
Команда import math включает математические функции из библиотеки Python во время выполнения кода.
Оглавление
Факториал в математике
В математике термин факториал используется для обозначения конкретного выражения, которое приводит к произведению натуральных чисел в последовательном порядке по возрастанию или по убыванию. Последовательность начинается или заканчивается цифрой 1. Например, 1*2*3*4 = 24 , называется «4 факториалом» и обозначается как 4! (с восклицательным знаком.
Следовательно, 1*2*3*4*5 — это 5! , что можно записать и как 5*4*3*2*1 . В общем, для произвольных (больше) целых чисел n , вы можете написать n!= n * (n-1) * (n-2) * … * 3 * 2 * 1 .
Факторные числа имеют множество применений, особенно в полевых условиях. вероятностей и комбинаторной математики. Комбинаторика занимается подсчетом, способами расположения вещей или перестановками. Для очень простого примера, сколько существует возможных способов поставить 4 книги на полку?
_4_ _3_ _2_ _1_ На рисунке слева показано 4 положения книжной полки.
Вы можете поставить любую из четырех книг на первую позицию слева направо. Во второй позиции у вас есть любая из 3 книг, которые вы можете разместить там, и так далее. Таким образом, общее количество возможных способов расстановки книг равно 4! = 4*3*2*1 = 24 .
Это перестановка с 4 различными элементами (книгами). В общем случае количество перестановок n элементов равно 9.0635 н! = n*(n-1)*…*2*1 .
Более практичным примером является типичная государственная лотерея, в которой лотерейные билеты в основном состоят из 6 наборов пар чисел или двузначных чисел. Каждая цифра состоит из 10 возможных чисел, а именно от 0 до 9. Существует формула, по которой можно использовать математические факториальные функции Python для расчета шансов на выигрыш. Формула:
где количество перестановок n элементов берется r за один раз. Числитель, n! здесь относится к диапазону чисел, используемых в паре. Например, если выбрать двузначные числа от 1 до 40, то результат будет:
Таким образом, вероятность выигрыша в этой лотерее равна 1/3818380. Это показывает, что когда используются факториалы, мы имеем дело с большими числами. Кроме того, этот случай содержит знаменатель, который показывает важность того, почему 0! должно быть 1, так как деление на ноль не допускается. Является ли покупка лотерейных билетов пустой тратой денег?
Интересно, что комбинаторная вероятность рассматривается в дискретной математике наряду с другими темами, такими как теория графов, деревья, криптография и некоторыми другими областями. Дискретная математика — это важный набор курсов, входящих в учебную программу по информатике. Поэтому факториалы — важная тема для программирования. Можно утверждать, что во многих программных приложениях дискретная математика более важна для программистов, чем исчисление.
Альтернативы математической факториальной функции
В Python метод math.factorial может использоваться для вычисления факториальных чисел, как упоминалось ранее. Но, как обычно, вы можете определить свою собственную факториальную функцию, чтобы получить тот же результат. Примеры 1 и 2 ниже определяют функцию факториала. Пример 1 включает в себя очень важный факт о факториальных числах, а именно, что 0! равно. Математически 0! равно 1 и 1! Также равно 1. Рекомендуется включать this при определении собственной функции. Следующий код охватывает 0! и 1! как условное и возвращает 1 для любого из них; тогда как итерационный метод в примере 2 ниже не охватывает 0!.
Факторная альтернатива 1: рекурсивный подход
```
 import math
определение функции (n):
    '''Определен факториал с именем fcto'''
    если n==0 или n==1 :
        вернуть 1
    еще :
        вернуть n * fcto (n-1)
        # остаток факторного выражения, n(n-1)(n-2). ..3(2)(1)
печать (fcto (5))
# 120 
```
В этом примере строка 6 является самой сложной, так как это рекурсивная часть функции fcto . Команда print() в строке 13 сначала вызывает функцию с 5 в качестве параметра, поэтому функция fcto(5) возвращает 5 * fcto(4) , а затем fcto(4) вызывается для 4, что возвращает 4 * fcto(3) , а затем fcto(3) вызывается для 3, что возвращает 3 * fcto(2) и так далее, пока, наконец, fcto(2-1) не будет равно 1, следовательно, строка 4 будет выполнена, возвращая 1.
Факторная альтернатива 2: Итеративный подход
```
 import math
Защитный факториал (n):
    факт = 1
    для числа в диапазоне (2, n+1):
        факт *= число
        обратный факт
печать (факториал (4))
№ 24
 
```
Функция факториала вызывается с числом 4. В рамках функции переменная факт = 1 . И затем итерация цикла for начинается со значения 2 для num. Поскольку в первой итерации число равно 2, то возвращается 2×1. На следующей итерации num = 3 , поэтому переменной факта присваивается значение 2×3, поэтому возвращается 6. На данный момент возвращены 2 и 6. Это первые два факториала, или 1×2 = 2, или 2! и 1x2x3 = 6 или 3!. На следующей итерации 92 >> lnx , где >> означает намного больше. В информатике преподают нотацию Big-O:
Дело в том, что когда вы разрабатываете алгоритмы, используя вычисления с n! рекомендуется провести тщательный анализ во время выполнения.
По этой причине то, как вы пишете программы, использующие факториальные функции, может существенно повлиять на время выполнения. При вычислении больших чисел предпочтительно использовать линейные O(n) или O(log(n)) если можно. Возможно, даже допустимо использовать оценки. Например, поскольку
равно
, это случай, когда O(n log(n)) может быть применимо, но это оценка. Это называется приближением Стирлинга , которое дает приблизительное значение функции факториала. Однако, если числа, задействованные в алгоритме, достаточно велики, это может быть приемлемым решением для разумного времени выполнения.
Python — это язык интерпретирующего типа, для которого компиляция не требуется. Это делает Python переносимым между операционными системами и простым в использовании. Но цена, которую вы платите за эти удобства, например, заключается в том, что эти языки медленнее в вычислительном отношении. Например, они медленнее, чем Java или C++. Это еще одна причина, почему вы должны быть осторожны с реализацией мат.факториал функция. Вот 3 примера, которые иллюстрируют различия во время выполнения. Все 3 были рассмотрены выше. Здесь сравниваются итеративное, рекурсивное и math.factorial среды выполнения для этих фрагментов.
Пример 1: Расчет времени рекурсивного подхода для 30!
```
 импорт математики
время импорта
начало = время. время()
определение функции (n):
    если n==0 или n==1:
        вернуть 1
    еще:
        вернуть n*fcto(n-1)
печать (fcto (30))
стоп = время.время()
print("\nпрошедшее время для рекурсивного: " + str(stop-start), "\n")
 
```
Выход:
```
 2652528598121636308480000000
истекшее время для рекурсивного: 0,011820793151855469 
```
Пример 2: Расчет времени итеративного подхода для 30!
```
 импорт математики
время импорта
начало = время.время()
Защитный факториал (n):
    факт = 1
    для числа в диапазоне (2, n + 1):
        факт *= число
    обратный факт
печать (факториал (30))
стоп = время. время()
print("\nвремя, прошедшее для итерации: " + str(stop-start), "\n")
 
```
Выход:
```
 2652528598121636308480000000
время, прошедшее для итерации: 0,0 
```
Пример 3: Расчет времени функции math.factorial для 30!
```
 импорт математики
время импорта
начало = время.время()
печать (математика. факториал (30))
стоп = время.время()
print("\nпрошедшее время для math.factorial: " + str(stop-start), "\n")
Выход: 2652528598121636308480000000
время, прошедшее для math.factorial: 3.1948089599609375e-05 
```
Выход:
```
 2652528598121636308480000000
истекшее время для Recursive: 0,011820793151855469 
```
Это небольшие программы с простым алгоритмом, но они дают пример различий во времени выполнения. Здесь нет претензии на то, какая программа лучше, потому что на моем компьютере могли быть другие процессы операционной системы, работающие в фоновом режиме во время выполнения программы. Суть в том, что существуют временные различия, которые могут быть значительными для сложных алгоритмов, поэтому требуется тщательный анализ. Хотя, запустив эти 3 программы несколько раз, я обнаружил, что разница во времени выполнения между 3 программами была постоянной.
7.2: Факторная нотация и перестановки
1. Последнее обновление
2. Сохранить как PDF
Идентификатор страницы
40934

Ричард В. Беверидж
Общественный колледж Клэтсопа

При рассмотрении множества возможностей различных событий в разных задачах обычно возникают определенные сценарии. Одним из таких сценариев является умножение последовательных целых чисел. Например, при задании вопроса о том, сколькими способами можно рассадить заданное число людей в ряду стульев, очевидно, что люди не будут повторяться. Итак, если бы мы хотели узнать, сколько существует различных способов рассадить 5 человек в ряд из пяти стульев, было бы 5 вариантов для первого места, 4 варианта для второго места, 3 варианта для третьего места и так далее. .
\[
\underline{5} * \underline{4} * \underline{3} * \underline{2} * \underline{1}=120 \text { варианты }
\]
В этих ситуациях 1 иногда опускается, потому что это не меняет значения ответа. Этот процесс умножения последовательно уменьшающихся целых чисел называется факториалом. Обозначение факториала — восклицательный знак. Таким образом, на приведенную выше проблему можно ответить: \(5 !=120 .\) По определению, \(0 !=1 .\) Хотя это может показаться нелогичным интуитивно, определение основано на его применении в задачах перестановки.

«Перестановка» использует факториалы для решения ситуаций, в которых не все возможности будут выбраны.

Так, например, если бы мы хотели узнать, сколькими способами можно занять первое, второе и третье место в гонке с 7 участниками, было бы семь вариантов для первого места, затем шесть вариантов для второго места, затем пять вариантов для третье место.
Итак, есть \(\underline{7} * \underline{6} * \underline{5}=210\) возможные способы сделать это.
Стандартное обозначение для этого типа перестановки, как правило, \(_{n} P_{r}\) или \(P(n, r)\)
Это обозначение представляет количество способов размещения \(r\) различных элементов в отдельных позициях из группы \(n\) возможностей.

В приведенном выше примере выражение \(\underline{7} * \underline{6} * \underline{5}\) будет представлено как \(_{7} P_{3}\) или
\[
P (7,3)
\]

Стандартное определение этой записи:
\[
_{n} P_{r}=\frac{n !}{(n-r) !}
\]
Как видите, в примере нас интересовало в \(_{7} P_{3},\), который будет рассчитываться как:
\[
_{7} P_{3}=\frac{7 !}{(7-3) !}=\frac{7 !}{4 !}=\frac{7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1}{4 * 3 * 2 * 1}
\]
\(4 * 3 * 2 * 1\) в числителе и знаменателе компенсируют друг друга, поэтому мы просто остаемся с выражением, которое мы интуитивно нашел:
\[
_{7} P_{3}=7 * 6 * 5=210
\]
Хотя формальное обозначение может показаться громоздким по сравнению с интуитивным решением, оно удобно при работе с более сложными задачами. , задачи с большими числами или задачи с переменными.

Обратите внимание, что в этом примере важен порядок финиша гонки. Другими словами, одни и те же три участника могут иметь разный порядок финиша.
1-е место: Алиса 1-е место: Боб 2-е место: Боб \(\quad\) 2-е место: Чарли 3-е место: Чарли \(\quad\) 3-е место: Алиса в 210 возможностях. Если бы нас интересовал только выбор 3 человек из группы \(7,\), то порядок людей не имел бы значения — это обычно называется «комбинацией», а не перестановкой, и будет обсуждаться в следующий раздел.

Возвращаясь к исходному примеру в этом разделе — сколько существует различных способов рассадить 5 человек на пяти стульях в ряд? Если мы используем стандартное определение перестановок, то это будет \(_{5} P_{5}\)
\[
_{5} P_{5}=\frac{5 !}{(5-5) !}=\frac{5 !}{0 !}=\frac{120}{1}=120
\]
Вот почему \(0 !\) определяется как 1

УПРАЖНЕНИЯ 7.2
1) \(\четверка 4 * 5 !\)
2) \(\четверка 3 ! * 4 !\)
3) \(\четверка 5 ! * 3 !\)
4) \(\ quad \frac{8 !}{6 !}\)
5) \(\quad \frac{10 !}{7 !}\)
6) \(\quad \frac{9 ! * 6 !}{3 ! * 7 !}\)
7) \(\ quad \frac{12 ! * 3 !}{8 ! * 6 !}\)
8)\(\quad_{10} P_{4}\)
9) \(\quad_{4} P_{3}\ )
10) \(\quad_{7} P_{5}\)
11) \(\quad_{9} P_{2}\)
12) \(\quad_{8} P_{4}\)
13) \(\quad\) так \(P_{3}\)
14) \(\quad n_{1}\)
15) \(\quad_{10} P_{r}\)
16) Список все перестановки букв \(\{a, b, c\}\)
17) Перечислите все перестановки букв \(\{a, b, c\}\), взятые по две за раз.
18) Сколько существует перестановок группы букв \(\{a, b, c, d, e\} ?\)
19) Сколько существует перестановок группы букв \(\{a, б, в, г\} ?\)

Перечислите эти перестановки.
20) Сколькими способами можно выбрать президента, вице-президента и секретаря из группы из 20 студентов?
21) Сколькими способами можно выбрать президента, вице-президента, секретаря и казначея из группы из 50 студентов?
22) Сколькими способами можно рассадить 5 мальчиков и 5 девочек в ряд, состоящий из десяти мест:
\(\quad\) а) без ограничений?
\(\quad\) б) должны ли мальчики и девочки чередоваться местами?
23) Сколькими способами можно рассадить 5 мальчиков и 4 девочек в ряд по девять мест:
\(\четверка\) а) без ограничений?
\(\quad\) б) должны ли мальчики и девочки чередоваться местами?
24) Сколькими способами можно рассадить 6 человек, если есть 10 стульев на выбор?
25) Сколькими способами можно рассадить 4 человек, если есть 9 стульев на выбор?
26) Сколькими способами можно рассадить группу из 8 человек в ряд из 8 мест, если два человека настаивают на том, чтобы сидеть вместе?
27) Сколькими способами можно рассадить группу из 10 человек в ряд из 10 мест, если трое настаивают на том, чтобы сидеть вместе?

Эта страница под названием 7. 2: Factorial Notation and Permutations распространяется под лицензией CC BY-NC-SA и была создана, изменена и/или курирована Ричардом В. Бевериджем.

Наверх

Была ли эта статья полезной?

Тип изделия
Раздел или страница
Автор
Ричард В. Беверидж
Лицензия
СС BY-NC-SA
Показать страницу TOC
нет
Метки
1. источник[1]-math-37277

Факториалы действительных отрицательных и мнимых чисел — Новый взгляд | SpringerPlus

Исследования
Открытый доступ
Опубликовано: 06 ноября 2014 г.

Ашвани К. Тукрал ¹

СпрингерПлюс том 3 , Номер статьи: 658 (2014) Процитировать эту статью

32 тыс. обращений
4 Цитаты
25 Альтметрический
Сведения о показателях

Abstract

В настоящее время факториалы действительных отрицательных и мнимых чисел, за исключением нуля и отрицательных целых чисел, интерполируются с использованием гамма-функции Эйлера. В настоящей статье понятие факториалов обобщается применительно к действительным и мнимым числам, а также к мультифакториалам. Были предложены новые функции, основанные на факториальной функции Эйлера, для факториалов действительных отрицательных и мнимых чисел. В соответствии с настоящей концепцией факториалы действительных отрицательных чисел являются комплексными числами. Факториалы действительных отрицательных целых чисел имеют мнимую часть, равную нулю, таким образом, являются действительными числами. Точно так же факториалы мнимых чисел являются комплексными числами. Модули комплексных факториалов действительных отрицательных чисел и мнимых чисел равны их соответствующим действительным факториалам положительных чисел. Дробные факториалы и мультифакториалы были определены в новой перспективе. Предложенная концепция также была распространена на гамма-функцию Эйлера для вещественных отрицательных и мнимых чисел, а также на бета-функцию.

Фон

Факториал положительного целого числа n определяется как

n!=1. 2.3….n-1n=Πk=1nk,0!=1

целые числа следуют рекуррентному соотношению,

n!=nn-1!,n≥1

Факториалы отрицательных целых чисел не могут быть вычислены, так как для n = 0 рекуррентное соотношение

n-1!=n !n,

включает деление на ноль. Исследования по интерполяции факториалов начались с переписки между Леонардом Эйлером, Даниэлем Бернулли и Кристианом Гольдбахом в 1729 году.(См. переписку, воспроизведенную Dartmouth College 2014; и Luschny 2014a). Бернулли в 1729 году дал интерполирующую функцию факториалов как бесконечное произведение (Gronau 2003). Эйлер в 1730 году доказал, что интеграл

x!=Πx=∫01-lntxdt=∫0∞txe-tdt,x>-1,

(1)

дает факториал x для всех реальные положительные числа (Srinivasan 2007). Факториальная функция Эйлера, также известная как функция Пи, Π( x ), следует рекуррентному соотношению для всех положительных действительных чисел.

Πx+1=x+1Πx,x≥0

В 1768 году Эйлер определил гамма-функцию Γ(z) и распространил понятие факториалов на все действительные отрицательные числа, кроме нуля и отрицательных целых чисел. Γ(z) является расширением функции Pi со сдвигом аргумента на 1 вниз. Также известный как интеграл Эйлера второго рода (Gautschi 2008), это сходящийся несобственный интеграл, определяемый следующим образом:

Γz= ∫0∞tz-1e-tdt

(2)

Гамма-функция Эйлера связана с функцией Пи следующим образом:

Пх=Гх+1=х!

Обозначение «!» для факториальной функции было введено К. Крампом в 1808 году (Wolfram Research 2014a,[b]). Лежандр в 1808 году дал обозначение «Г» гамма-функции Эйлера (Гронау, 2003). Гаусс ввел обозначение

Πs=Γs+1,

, от которого впоследствии отказались и заменили обозначением Лежандра (Weistein 2014b). С.Ф. Гаусс внес важный вклад в вывод нескольких важных свойств гамма-функции (Srinivasan 2007). Англани и Барли (2007) дали аддитивное представление факториалов. Гамма-функция распространяется на все комплексные числа, действительная часть которых >0, кроме нулевых и отрицательных целых чисел. На рисунке 1 представлена кривая гамма-функции (уравнение 2). При отрицательных целых числах гамма-функция имеет простые полюса, что делает ее мероморфной функцией (рис. 1).

Рисунок 1

График гамма-функции Эйлера.

Полноразмерное изображение

Можно заметить, что гамма-функция, определенная для x > -1, использовалась для интерполяции факториалов на действительной отрицательной оси. Точно так же факториалы комплексных чисел вычисляются из гамма-функции (Wolfram 2014b), например,

i!=Γ1+i=iΓi≈0,498-0,155i,-i!=Γ1-i=-iΓ-i≈ 0,498+0,155i,-1+i!=Γi≈-1549-0,498i,

Γix=πxsinhπx,

, где x — действительное число. Среди других хорошо определенных функций для факториалов действительных отрицательных чисел есть гамма-функция Адамара (Дэвис, 1959) и факториальная функция Лушни (Люшни, 2014b), обе из которых непрерывны и положительны для всех действительных чисел. Роман (1992) определил факториалы отрицательных целых чисел следующим образом:

⌊n⌉!=n!forn≥0⌊n⌉!=-1-n-1-n-1!forn<0

, где Roman ⌊ п ⌉ определяется как n , для n ≠ 0 и 1 для n =0. Римские факториалы первых нескольких отрицательных целых чисел (Loeb 1995) приведены в таблице 1.

Таблица 1 Римские факториалы

Полноразмерная таблица

Другими заметными вкладчиками в область факториалов являются Дж. Стирлинг, Ф. У. Ньюман, Б. Риман, Х. Ханкель, О. Холдер, Х. Бор и Дж. Моллеруп и другие (Wolfram Research 2014b ). Дутка (1991) рассказал о ранней истории факториальной функции. Бхаргава (2000) дал пояснительное описание факториалов, дал несколько новых результатов и поставил некоторые проблемы с факториалами. Ибрагим (2013) определил факториал отрицательного целого числа n как произведение первых n отрицательных целых чисел. Существуют некоторые другие факториалы, такие как продукты и функции, такие как первичные, двойные факториалы, мультифакториалы, суперфакториалы, гиперфакториалы и т. Д. (Википедия 2014a, [b]; Weistein 2014a).

Видно, что до сих пор определение факториалов действительных отрицательных чисел ищут из экстраполяции гаммы и других функций. В настоящей статье эйлерова концепция факториалов была пересмотрена, и были определены новые функции, основанные на факториальной функции Эйлера (уравнение 1), для факториалов действительных отрицательных чисел и мнимых чисел.

1. Факториалы действительных отрицательных чисел

Пусть a _n будет последовательностью натуральных чисел, a _{n=1,2,3,…, n .} Следовательно,

n ! = 1.2.3… n .

Умножая каждое целое число в правой части a _n на константу c ≠ 0, называемую здесь факториальной константой, мы получаем

cnn!=cc2c3…cn.

(3)

Ввод c = -1 дает,

-1nn!=-1-2-3…-n.

(4)

Выражение (-1) ⁿ n ! в левой части уравнения. (4) дает произведение первых 90 546 n 90 547 последовательных отрицательных целых чисел и может называться факториалом отрицательных целых чисел (таблица 2). Для удобства (4) может быть представлено как (- n )!.

Таблица 2 Факториалы некоторых целых чисел согласно современной концепции

Полноразмерная таблица

В настоящем сообщении была предложена новая функция, полученная из функции факториала Эйлера (уравнение 1), для интерполяции факториалов действительных отрицательных чисел, как указано ниже:

cz!=czz!=Πc,z=cz∫0∞tze-tdt,z>0,

(5)

где z — действительное положительное число, а c — факториальная константа не равна нулю, а Π( c,z ) представляет собой модифицированную факториальную функцию Эйлера. Для c =1 факториал для действительных положительных чисел определяется в соответствии с факториальной функцией Эйлера (уравнение 1). Для c = -1 факториалы действительных отрицательных чисел, как описано уравнением. (5) можно интерполировать следующим образом:

-z!=-1zz!=Π-1,z=-1z∫0∞tze-tdt,z>0,

Или,

Π-1,z=∫0∞-tze-tdt,z>0,

(6)

где Π(-1, z ) — факториал отрицательного действительного числа ( — z ) в соответствии с настоящей концепцией. Для действительной отрицательной оси уравнение (6) можно записать как

Π-1,z=∫-∞0tsetdt,z>0.

(7)

По аналогии с факториалами действительных положительных чисел, факториалы действительных отрицательных чисел Π(-1,z) могут быть представлены в виде (- z )!. На рисунке 2 представлены кривые интегральных функций факториалов действительных отрицательных целых чисел (-1), (-2), (-3) на действительной отрицательной оси. Площадь между кривой и осью X дает факториал этого числа.

Рисунок 2

Кривые для интегральных функций факториалов некоторых отрицательных чисел на действительной отрицательной оси.

Изображение в натуральную величину

Факториалы некоторых действительных отрицательных чисел, заданные уравнением. (6) приведены в таблице 3. Факториал действительного отрицательного числа представляет собой комплексное число, представленное в виде

Π-1,z=-z!=x+iy,

, где x — действительная часть, а г воображаемый. Факториал 0 равен 1. У действительных отрицательных целых чисел мнимая часть равна нулю, а действительная часть имеет чередующиеся знаки – и + , при этом факториал (-1) равен (-1). Наиболее важным свойством, оправдывающим данную концепцию, является то, что модули комплексных факториалов действительных отрицательных чисел равны модулям факториалов действительных положительных чисел.

Из таблицы 3 также видно, что для действительных отрицательных чисел при половине дробей действительная часть равна нулю, при ¼ дроби действительная и мнимая части равны, а при ¾ дроби действительная и мнимая части равны по величине но напротив знака +/-.

Таблица 3 Комплексные факториалы некоторых действительных отрицательных чисел

Полноразмерная таблица

Факториалы действительных отрицательных чисел, предложенные выше, подчиняются рекуррентным соотношениям:

Π-1,z+1=-z+1Π-1,z.

1,1 Факторные половины фракций реальных отрицательных чисел

let z = N +0,5, N ≥ 0, затем

π-1, Z = -1ZπZ = -10,5-1Nπz = I-10002

Таким образом, действительная часть комплексных факториалов отрицательных действительных чисел будет равна нулю при отрицательных полуцелых числах. В z = -0,5

Π-1,0,5=π2i.

Факториалы -0,25 и -0,75 будут равны

На рисунке 3 показаны факториалы Эйлера Π( z ) действительных положительных чисел (уравнение 1) и факториалы действительных отрицательных чисел в соответствии с предложенной функцией Π(-1, z ) (уравнение 6). На рисунке 4 показан полярный линейный график между действительными и мнимыми частями комплексных факториалов отрицательных действительных чисел, а на рисунке 5 показано отношение мнимых и действительных частей комплексных факториалов действительных отрицательных чисел. Полярный график реальной оси X против . воображаемая ось Y для функции Π(-1, z ) и тангенс θ (tanyx) показаны на рисунке 5.

Рисунок 3

Факториалы действительных чисел с использованием функции Эйлера PI (справа) и настоящее (-1, з ) Функция (слева).

Полноразмерное изображение

Рисунок 4

Полярный линейный график между реальной (ось X) и мнимой (ось Y) частями факториалов отрицательных действительных чисел с использованием (-1, з ) .

Полноразмерное изображение

Рисунок 5

Отношение мнимой к действительной части факториалов отрицательных чисел (ось Y) с использованием (-1, з ) функция.

Изображение в натуральную величину

1.2 Экспоненциальная функция

Экспоненциальная функция может быть представлена в виде факториалов (Oldham et al. 2009):

Exp1=10!+11!+12!+13!+…=∑n= 0∞1n!

Заменяя положительные факториалы отрицательными факториалами, мы получаем,

∑n=0∞1-n!=10!+1-1!+1-2!+1-3!+…=1-100!+1-111!+1-122!+1-133 !+…=10!-11!+12!-13!+…=Exp-1

2. Факториалы мнимых чисел

Подобно факториалам действительных положительных и действительных отрицательных целых чисел, как определено в уравнении. (3) мы можем определить факториалы мнимых натуральных чисел как

inn!=ii2i3…in

(8)

может быть записано как ( в )! В интегральной форме уравнение (8) можно записать как

iz!=izz!=Πi,z=iz∫0∞tze-tdt,z>0Πi,z=∫0∞itze-tdt,z>0

(9)

Аналогично, факториалы мнимых отрицательных целых чисел можно определить как

-inn!=-in!=-i-i2-i3…-in

(10)

Интегральная форма уравнения. (10) может быть определено как z>0

(11)

Комплексные факториалы мнимых чисел будут связаны с факториалами соответствующих действительных чисел следующим образом:

Πi,z=izΠz

(12)

Π-i,z=-izΠz

(13)

Комплексные факториалы некоторых мнимых чисел, рассчитанные по формуле. (12, 13) приведены в таблице 4 и на рисунках 6, 7 и 8. Модуль комплексного факториала мнимого числа ( из ) или (- из ) равен факториалу соответствующего действительного номер ( z ).

Таблица 4 Комплексные факториалы некоторых мнимых чисел

Полноразмерный стол

Рисунок 6

График комплексных факториалов мнимых чисел.

Полноразмерное изображение

Рисунок 7

Полярный линейный график между действительной (ось X) и мнимой (ось Y) частями комплексных факториалов мнимых чисел.

Полноразмерное изображение

Рисунок 8

Отношение мнимых и действительных частей комплексных факториалов мнимых чисел (ось Y) в соответствии с настоящей концепцией.

Изображение полного размера

Факториал мнимого числа ( из )! или (- из )! может быть представлено как произведение коэффициента ( i ^z) или (- i ) ^z и z ! (ур. 12, 13). Коэффициенты факториалов мнимых целых чисел следуют периодичности четыре (таблица 5).

Таблица 5 Периодичность факториалов мнимых чисел

Полная таблица

Факториалы мнимых чисел подчиняются рекуррентным соотношениям:

Πi,z+1=iz+1Πi,zΠ-i,z+1=-iz+1Π-i,z

воображаемых чисел

Let z = N +0,5, N ≥ 0, затем

πi, z = IZπz = I0,5inπz, = I+12 -n -0,7170+0,7170IINπz, = I+12 -n -0,7170+0,7170IINπz, = I+12Nπz отрицательные числа,

Π-i,z=-izΠz=-i0,5-inΠz=i-12-inΠz≈0,7071-0,7071i-inΠz

Факториалы 0,5 i и -0,5 i представлены как

25 Π .

3. Мультифакториалы и дробные факториалы

— последовательность, определяемая уравнением (3).

cn=c*1,c*2,c*3,…,c*n,

где c ≠ 0 – постоянный множитель членов последовательности, называемый здесь факториальной константой, и * представляет умножение. Произведение членов последовательности можно назвать факториалом последовательности и представить в виде Π( c , n ). Оно задается как

Πc,n=cnn!=cc2c3…cn

Если c является дробью, произведение можно назвать дробным факториалом. Например, если c =0,5,

Π0,5,n=0,5nn!=0,5*10,5*20,5*3…0,5*n=0,511,5…0,5*n

Если c является целым числом >1, например, 2, 3 и т. д., мы получаем мультифакториалы.

Π2,n=2nn!=2*12*22*3…2n=2n!!

Например, если c = 2, а n = 4, мы получаем двойной факториал числа 9.0546 c * n =8,

Π2,4=244!=2*12*22*32*4,=384=8!!

Дробные факториалы и мультифакториалы можно интерполировать с помощью уравнения. (5), где c ≠ 0 — дробь действительного или мнимого числа.

czz!=Πc,z=cz∫0∞tze-tdt,z>0

Значение дробных факториалов и мультифакториалов в нуле равно 1. Дробные факториалы и мультифакториалы некоторых действительных и мнимых чисел приведены в таблице 6.

Таблица 6 Дробные факториалы и мультифакториалы

Полноразмерная таблица

Модуль дробных факториалов и мультифакториалов действительных и мнимых чисел, предложенных выше, подчиняется рекуррентным соотношениям:

Πc,z+1=cz+1Πc,z,c≠0

В соответствии с настоящей концепцией гамма-функция Эйлера (уравнение 2) может быть изменена следующим образом: ∞ctz-1e-tdt,z>0,c≠0

Для действительных отрицательных чисел гамма будет равна

Γ-1,z=-1z-1∫0∞tz-1e-tdt,z>0=∫0∞-tz-1e-tdt,z>0

(14)

Для отрицательного Z- оси гамма будет задана как

Γ-1,z=∫-∞0tz-1etdt,z>0

Рекуррентное соотношение отрицательной гаммы:

Γ-1,z+1=-zΓ-1 ,z,z>0

Отрицательная гамма будет связана с отрицательной факториальной функцией следующим образом: Таблица 7. На рисунке 9 представлена гамма факториалов действительных отрицательных чисел в соответствии с настоящей концепцией (уравнение 14).

Таблица 7 Комплексная гамма действительных отрицательных и мнимых чисел

Полноразмерный стол

Рисунок 9

График гамма-функции действительных чисел согласно предложенной концепции.

Полноразмерное изображение

Подобно гамме действительных отрицательных чисел (уравнение 14), гамма мнимых положительных чисел будет

Γi,z=iz-1∫0∞tz-1e-tdt,z>0, =∫0∞itz-1e-tdt,z>0.

(15)

Для мнимых отрицательных чисел гамма будет равна

Γ-i,z=-iz-1∫0∞tz-1e-tdt,z>0,=∫0∞-itz-1e-tdt ,z>0=∫0∞itz-1etdt,z>0

(16)

На рисунках 10 и 11 представлена гамма для мнимых чисел.

Рисунок 10

График гамма-функции для мнимых чисел согласно предложенной концепции.

Полноразмерное изображение

Рисунок 11

Реальная полярная диаграмма (ось X) против . мнимые (ось Y) компоненты гаммы мнимых чисел в соответствии с настоящей гипотезой.

Изображение в натуральную величину

5. Бета-функция

Существующая концепция отрицательных факториалов также может быть расширена до бета-функции, также известной как факториал Эйлера первого рода. Бета может быть определена как (Culham 2014; Weistein 2014c; Wikipedia 2014c):

Вх,у=∫0∞tx-11-ty-1dt,х>0,у>0=ГхГуГх+у,х>0,у>0=х-1!у-1!х+у-1 !,х≥1,у≥1.

Гамма отрицательных чисел в соответствии с настоящей концепцией будет, -1,x+y=-1x+y-1Γ1,x+y;x,y>0.

Таким образом, бета-функция отрицательных чисел в соответствии с настоящей концепцией может быть определена как +у,х>0,у>0,=-1-1Вх,у=-Вх,у;х,у>0.

График бета-функции представлен на рисунке 12.

Рисунок 12

График для Б( х ,0,5) и В(- х ,-0,5) по настоящей концепции.

Изображение в натуральную величину

Из исторического отчета видно, что вклад Эйлера в логарифмы и гамма-функцию произвел революцию в развитии науки и техники (Lefort 2002; Lexa 2013). Факторная функция была впервые определена для положительной действительной оси. Позже его аргумент был сдвинут вниз на 1, а функция факториала была распространена на отрицательную действительную ось и мнимые числа. Недавно автор (Thukral and Parkash 2014; Thukral 2014) дал новую концепцию логарифмов действительных отрицательных и мнимых чисел. Ранее логарифмы действительных отрицательных чисел определялись на основе гиперболы, определенной для первого квадранта и распространенной на отрицательную действительную ось, но автор определил логарифмы для действительной отрицательной оси на основе гиперболы, расположенной в третьем квадранте. Точно так же автор в этой статье определил факториальную функцию для действительной отрицательной оси. Определенные таким образом факториалы действительных и мнимых чисел показывают единообразие по величине и удовлетворяют основному факториальному уравнению ( с ) ^н н ! = c ( c 2)( c 3) … ( cn ). Другой пробел в существующей эйларианской концепции факториалов заключается в том, что, хотя факториалы отрицательных целых чисел не определены, можно определить двойной факториал любого отрицательного нечетного целого числа, например, (-1)!! =1, (-3)!! = -1, (-5)!! =1/3 и т. д. (Википедия, 2014b). Еще одно странное поведение двойных факториалов заключается в том, что в качестве пустого произведения 0!! =1, но для неотрицательных четных целых чисел 0!!=2π≈0,7978. Настоящая концепция устранит аномалии в факториалах и двойных факториалах. Настоящая концепция обобщает факториалы применительно к действительным и мнимым числам, а также к дробным и мультифакториалам.

Выводы

В настоящей статье исследуется эйларово понятие факториалов из основных принципов и дается новое понятие, основанное на эйларовом понятии факториалов действительных отрицательных и мнимых чисел. Факториалы положительных и отрицательных целых чисел, а также положительных и отрицательных целых мнимых чисел ( z ), можно определить как Π ( c , z ) = c ^z z 905! = c ( c 2)( c 3) … ( cn ), где c константа (+1, -1, + i или – 609446 i ^{5), и г} >0. Факториалы можно интерполировать с помощью модифицированного интегрального уравнения Эйлера, Πc,z=czz!=cz∫0∞tze-tdt,z>0 для действительных и мнимых чисел. Факториалы действительных отрицательных чисел могут быть определены интегральным уравнением Π-1,z=-1zz!=∫-∞0tsetdt,z>0. Факториалы отрицательных действительных чисел являются комплексными числами. При отрицательных целых числах мнимая часть сложных факториалов равна нулю, а факториалы для -1, -2, -3, -4 равны -1, 2, -6, 24 соответственно. Точно так же факториалы мнимых чисел являются комплексными числами. Модули факториалов отрицательных действительных чисел и факториалов мнимых чисел равны факториалам соответствующих действительных положительных чисел. В настоящей статье также дается общее определение дробных факториалов и мультифакториалов. Факториалы следуют рекуррентным соотношениям. Точно так же гамма-функция Эйлера была переопределена для отрицательных действительных и мнимых чисел в новой перспективе. Бета-функция на реальной отрицательной оси также была переопределена в контексте новой концепции. Настоящая концепция факториалов будет усовершенствованием факториала Эйлера и гамма-функций.

Используемое программное обеспечение

В данном документе использовалось следующее программное обеспечение:

1.
Примеры Wolfram Alpha: комплексные числа (http://www.wolframalpha.com/examples/ComplexNumbers.html)
2.
Рисование графиков функций – Recheronline. (http://rechneronline.de/function-graphs/)
3.
Определенный интегральный калькулятор от Wolfram Alpha Widgets, добавленный Эваном в 2010 г. (http://www.wolframalpha.com/input/?i=definite%20integral%20calculator)
4.
Интегральный калькулятор от онлайн-интегратора Wolfram Mathematica (http://integrals.wolfram.com/index.jsp)
5.
Средство оценки гамма-функций – сайт Wolfram Functions http://functions.wolfram.com/webMathematica/FunctionEvaluation. jsp?name=Gamma
6.
Калькулятор функций от XIAO gang 2012 (http://wims.unice.fr/wims/en_tool~analysis~function.en.html)
7.
Microsoft Excel.

Ссылки

Англани Р., Барли М.: Факториалы как суммы. arXiv:Math/0702010v1 [Math.HO] . 2007. 1 февраля 2007 г. http://arxiv.org/pdf/math/0702010.pdf
Google ученый
Бхаргава М: Факториальная функция и обобщения. Мат. доц. Америка. Являюсь. Мат. Ежемесячно. 107:783–799 . 2000. http://www.jstor.org/stable/2695734?origin=JSTOR-pdf
Google ученый
Culham JR: Факториал, Гамма и Бета Функции. Инженерный курс ME755- Специальные функции. Университет Ватерлоо, Ватерлоо . 2014 г. http://mhtlab.uwaterloo.ca/courses/me755/web_chap1.pdf
Google ученый
Дартмутский колледж: Переписка между Леонардом Эйлером и Хр. Гольдбах, 1729–1763 90 547 . 2014, 1-59.https://www.math.dartmouth.edu/~euler/correspondence/fuss/goldbach2-59
Google ученый
Davis PJ: Интеграл Леонарда Эйлера: исторический профиль гамма-функции. Памяти: Милтон Абрамовиц. Мат. доц. Америка. Ежемесячный журнал Amer Math. 66:849–869 . 1959 г. http://www.jstor.org/stable/2309786?origin=JSTOR-pdf
Google ученый
Дутка Дж. Ранняя история факториальной функции. Arch Hist Exact Sci 1991, 43(3):225-249. 10.1007/BF00389433
Артикул Google ученый
Gautchi W: Леонард Эйлер: его жизнь, человек и его работы. SIAM Rev 2008, 50(1):3-33.http://www.euler-2007.ch/doc/EulerLec.pdf 10.1137/070702710
Артикул Google ученый
Гронау Д.: Почему гамма-функция такая, какая она есть? Teach Math Comput Sci 2003, 1: 43-53.http://www.uni-graz.at/~gronau/TMCS_1_2003.pdf\
Google ученый
Ибрагим А.М.: Распространение понятия факториала на отрицательные числа. Notes Theory Discrete Math 2013, 19: 30-42.http://nntdm.net/papers/nntdm-19/ННТДМ-19-2-30_42.pdf
Google ученый
Лефорт X: История логарифмов: пример развития понятия в математике. . (В: Project Penelope, редактор: Мигель Эрнандес Гонсалес) Fundaciõn Canaria Orotava de Historia de la Ciencia, La Orotava; 2002: 142-155.http://fundacionorotava.org/archivos%20adjuntos/publicaciones/penelope/08_Lefort_Penelope.pdf
Google ученый
Lexa MA: Вспоминая Джона Нейпира и его логарифмы . 2013, 1-13.http://www.see.ed.ac.uk/~mlexa/supportingdocs/mlexa_napier_revised.pdf
Google ученый
Леб DE: Обобщение биномиальных коэффициентов. Магистр наук Отчет. Корнельский университет . 1995, 1-19. http://arxiv.org/abs/math/9502218v1
Google ученый
Luschny P: Рождение вещественной факториальной функции . 2014a, 1-5.http://www.luschny.de/math/factorial/history.html
Google ученый
Luschny P: Гамма-функция определена неправильно? Или: Адамар против Эйлера — кто нашел лучшую гамма-функцию? . 2014b, 31. http://www.luschny.de/math/factorial/hadamard/HadamardsGammaFunctionMJ.html
Google ученый
Oldham KB, Myland J, Spanier J: Атлас функций: с Equator, калькулятор функций Atlas . Springer Science + Business Media, LLC, Нью-Йорк; 2009: 750.
Книга Google ученый
Роман С: Логарифмическая биномиальная формула. Amer Math Month 1992, 99: 641-648.http://www.jstor.org/stable/2324994 10.2307/2324994
Google ученый
Шринивасан ГК: Гамма-функция: Эклектичный тур. Амерский математический месяц 2007, 114: 297-315.http://www.jstor.org/stable/pdfplus/27642193.pdf
Google ученый
Тукрал А.К. Логарифмы мнимых чисел в прямоугольной форме: новая техника. Can J Pure Appl Sc 2014, 8(3):3131-3137.
Google ученый
Тукрал А.К., Паркаш О.: Новый подход к логарифмированию действительных отрицательных чисел. Can J Pure Appl Sc 2014, 8(2):2955-2961.
Google ученый
Weistein EW: Факториал. MathWorld-A Веб-ресурс Wolfram . 2014a, 1-4.http://mathworld.wolfram.com/Factorial.html
Google ученый
Weistein EW: Двойной факториал. MathWorld-A Веб-ресурс Wolfram . 2014b, 1-3.http://mathworld.wolfram.com/DoubleFactorial.html
Google ученый
Weistein EW: Бета-функция. MathWorld-A Веб-ресурс Wolfram . 2014c, 1-3.http://mathworld.wolfram.com/BetaFunction.html
Google ученый
Википедия: Факториал . 2014a, 1-11.http://en.wikipedia.org/wiki/Factorial
Google ученый
Википедия: Двойной факториал . 2014b, 1–8.http://en.wikipedia.org/wiki/Double_factorial
Google ученый
Википедия: Бета-функция . 2014c, 1-5.http://en.wikipedia. org/wiki/Beta_function
Google ученый
Wolfram Research: Факториал . 2014a, 1-19.http://functions.wolfram.com/PDF/Factorial.pdf
Google ученый
Исследования Вольфрама: Гамма . 2014b, 1-24.http://functions.wolfram.com/PDF/Gamma.pdf
Google ученый

Скачать ссылки

Благодарности

Выражаем благодарность заведующему кафедрой ботанических наук и наук об окружающей среде Университета Гуру Нанак Дев, Амритсар, за исследовательское оборудование.

Информация об авторе

Авторы и организации

Департамент ботанических наук и наук об окружающей среде, Университет Гуру Нанак Дев, Амритсар, 143005, Индия
Ашвани К Тукрал

Авторы

Ашвани К Тукрал
PubMed Google Scholar

Автор, ответственный за корреспонденцию

Ашвани К Тукрал.

Дополнительная информация

Конкурирующие интересы

Автор заявляет, что у него нет конкурирующих интересов.

Вклад автора

Автор задумал, произвел расчеты, написал и утвердил рукопись.

Оригинальные файлы изображений, представленные авторами

Ниже приведены ссылки на оригинальные файлы изображений, представленные авторами.

Авторский файл рисунка 1

Авторский файл рисунка 2

Оригинальный файл авторов для рисунка 3

Оригинальный файл авторов для рисунка 4

Оригинальный файл авторов для рисунка 5

АВТОРЫ. исходный файл для рисунка 7

Авторский оригинальный файл для рисунка 8

Авторский оригинальный файл для рисунка 9

Авторский оригинальный файл для рисунка 10

Оригинальный файл авторов для рисунка 11

Оригинальный файл авторов для рисунка 12

Права и разрешения

Открытый доступ Эта статья распространяется на условиях Creative Commons License 4 Attribution International.

Добавить комментарий Отменить ответ

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Комментарий *

Имя *

Email *

Сайт

Факториал натурального числа n: как вычислить, формула

Формула для определения факториала

Рекуррентная формула факториала

Формула Стирлинга

Таблица факториалов

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Урок 3.

Рекурсия в математике

(adsbygoogle=window.adsbygoogle||[]).push({}); Факториал

Последовательность Фибоначчи

Рекурсивный Кукарача

Как решить 6 факториала? – Обзоры Вики

Где используются факториалы?

Как решить 5 факториалов?

Можно ли факториалы факториалы?

В какой математике используются факториалы?

Всегда ли факториалы четны?

Тема урока: «Факториал числа».

Презентация к уроку

Как вычитать факториалы

Примеры решения факториалов

СУММА ФАКТОРИАЛОВ

ДЕЛЕНИЕ ФАКТОРИАЛОВ

Как быстро решать факториалы?

Похожие страницы:

Какие есть 3 вида налогов?

Как найти среднюю точку между двумя точками?

Как вы делаете кадровые прогнозы?

Как найти начальную скорость, зная только время?

Как вы делаете факториалы в математике?

Насколько велик факториал 52?

Вы умеете вычитать факториалы?

Кто изобрел факториал?

Что такое факториал 20?

Объясните, пожалуйста, как складывать и вычитать факториалы. Вот пример: 7!-5!/6!

Калькулятор факториала

Что такое факториал

Праймориал

Факториал | Дюжина Вики | Fandom

Содержимое

Таблица значений[]

Определение[]

Факториал нуля[]

Applications[]

Факториал | nool

Введение

Использование калькулятора

факториал — определение и значение

Определения

из Словаря английского языка American Heritage®, 5-е издание.

из словаря века.

из версии GNU Collaborative International Dictionary of English.

из Викисловаря, Creative Commons Attribution/Share-Alike License.

из WordNet 3.0 Copyright 2006 Принстонского университета. Все права защищены.

Этимологии

Support

Примеры

Python math.factorial() – Finxter