Прошлое и будущее / Блог компании Wolfram Research / Хабр
Перевод поста Стивена Вольфрама (Stephen Wolfram) «Mathematical Notation: Past and Future (2000)».
Выражаю огромную благодарность Кириллу Гузенко KirillGuzenko за помощь в переводе и подготовке публикации
Содержание
Резюме
Введение
История
Компьютеры
Будущее
Примечания
—
Эмпирические законы для математических обозначений—
Печатные обозначения против экранных—
Письменные обозначения—
Шрифты и символы—
Поиск математических формул—
Невизуальные обозначения—
Доказательства—
Отбор символов—
Частотное распределение символов—
Части речи в математической нотацииСтенограмма речи, представленной на секции «MathML и математика в сети» первой Международной Конференции MathML в 2000-м году.
Большинство математических обозначений существуют уже более пятисот лет. Я рассмотрю, как они разрабатывались, что было в античные и средневековые времена, какие обозначения вводили Лейбниц, Эйлер, Пеано и другие, как они получили распространение в 19 и 20 веках. Будет рассмотрен вопрос о схожести математических обозначений с тем, что объединяет обычные человеческие языки. Я расскажу об основных принципах, которые были обнаружены для обычных человеческих языков, какие из них применяются в математических обозначениях и какие нет.
Согласно историческим тенденциям, математическая нотация, как и естественный язык, могла бы оказаться невероятно сложной для понимания компьютером. Но за последние пять лет мы внедрили в Mathematica возможности к пониманию чего-то очень близкого к стандартной математической нотации. Я расскажу о ключевых идеях, которые сделали это возможным, а также о тех особенностях в математических обозначениях, которые мы попутно обнаружили.
Большие математические выражения — в отличии от фрагментов обычного текста — часто представляют собой результаты вычислений и создаются автоматически. Я расскажу об обработке подобных выражений и о том, что мы предприняли для того, чтобы сделать их более понятными для людей.
Традиционная математическая нотация представляет математические объекты, а не математические процессы. Я расскажу о попытках разработать нотацию для алгоритмов, об опыте реализации этого в APL, Mathematica, в программах для автоматических доказательств и других системах.
Обычный язык состоит их строк текста; математическая нотация часто также содержит двумерные структуры. Будет обсуждён вопрос о применении в математической нотации более общих структур и как они соотносятся с пределом познавательных возможностей людей.
Сфера приложения конкретного естественного языка обычно ограничивает сферу мышления тех, кто его использует. Я рассмотрю то, как традиционная математическая нотация ограничивает возможности математики, а также то, на что могут быть похожи обобщения математики.
Когда собиралась эта конференция, люди подумали, что было бы здорово пригласить кого-то для выступления с речью об основаниях и общих принципах математической нотации. И был очевидный кандидат —
— автор классической книги под названием «
История математических обозначений». Но после небольшого расследования оказалось, что есть техническая проблема в приглашении доктора Каджори — он умер как минимум лет семьдесят назад.
Так что мне придётся его заменять.
Полагаю, других вариантов особо-то и не было. Поскольку оказывается, что нет почти никого, кто жив на данный момент и кто занимался фундаментальными исследованиями математической нотации.
В прошлом математической нотацией занимались обычно в контексте систематизации математики. Так, Лейбниц и некоторые другие люди интересовались подобными вещами в середине 17 века. Бэббидж написал тяжеловесный труд по этой теме в 1821 году. И на рубеже 19 и 20 веков, в период серьёзного развития абстрактной алгебры и математической логики, происходит очередной всплеск интереса и деятельности в этой теме. Но после этого не было почти ничего.
Однако не особо удивительно, что я стал интересоваться подобными вещами. Потому что с Mathematica одной из моих главных целей было сделать ещё один большой шаг в области систематизации математики. А более общей моей целью в отношении Mathematica было распространить вычислительную мощь на все виды технической и математической работы. Эта задача имеет две части: то, как вычисления происходят внутри, и то, как люди направляют эти вычисления для получения того, что они хотят.
Одно из самых больших достижений Mathematica, о котором, вероятно, большинство из вас знает, заключается в сочетании высокой общности вычислений изнутри и сохранении практичности, основанной на преобразованиях символьных выражений, где символьные выражения могут представлять данные, графику, документы, формулы — да что угодно.
Однако недостаточно просто проводить вычисления. Необходимо так же, чтобы люди каким-то образом сообщали
Обычно языки появляются в ходе некоторого поэтапного исторического процесса. Но компьютерные языки в историческом плане сильно отличаются. Многие были созданы практически полностью разом, зачастую одним человеком.
Так что включает в себя эта работа?
Ну, вот в чём заключалась для меня эта работа в отношении Mathematica: я попробовал представить, какие вообще вычисления люди будут производить, какие фрагменты в этой вычислительной работе повторяются снова и снова. А затем, собственно, я дал имена этим фрагментам и внедрил в качестве встроенных функций в Mathematica.
В основном мы отталкивались от английского языка, так как имена этих фрагментов основаны на простых английских словах. То есть это значит, что человек, который просто знает английский, уже сможет кое-что понять из написанного в Mathematica.
Однако, разумеется, язык Mathematica — не английский. Это скорее сильно адаптированный фрагмент английского языка, оптимизированный для передачи информации о вычислениях в Mathematica.
Можно было бы думать, что, пожалуй, было бы неплохо объясняться с Mathematica на обычном английском языке. В конце концов, мы уже знаем английский язык, так что нам было бы необязательно изучать что-то новое, чтобы объясняться с Mathematica.
Однако я считаю, что есть весьма весомые причины того, почему лучше думать на языке Mathematica, чем на английском, когда мы размышляем о разного рода вычислениях, которые производит Mathematica.
Однако мы так же знаем, заставить компьютер полностью понимать естественный язык — задача крайне сложная.
Хорошо, так что насчёт математической нотации?
Большинство людей, которые работают в Mathematica, знакомы по крайней мере с некоторыми математическими обозначениями, так что, казалось бы, было бы весьма удобно объясняться с
Но можно было бы подумать, что это не будет работать. Можно было бы подумать, что ситуация выльется в нечто, напоминающее ситуацию с естественными языками.
Однако есть один удивительный факт — он весьма удивил меня. В отличие от естественных человеческих языков, для обычной математической нотации можно сделать очень хорошее приближение, которое компьютер сможет понимать. Это одна из самых серьёзных вещей, которую мы разработали для третьей версии Mathematica в 1997 году [текущая версия Wolfram Mathematica — 10.4.1 — вышла в апреле 2016 г. — прим. ред.]. И как минимум некоторая часть того, что у нас получилось, вошла в спецификацию MathML.
Сегодня я хочу поговорить о некоторых общих принципах в математической нотации, которые мне довелось обнаружить, и то, что это означает в контексте сегодняшних дней и будущего.
В действительности, это не математическая проблема. Это куда ближе к лингвистике. Речь не о том, какой бы могла быть математическая нотация, а о том, какова используемая математическая нотация в действительности — как она развивалась в ходе истории и как связана с ограничениями человеческого познания.
Я думаю, математическая нотация — весьма интересное поле исследования для лингвистики.
Как можно было заметить, лингвистика в основном изучала разговорные языки. Даже пунктуация осталась практически без внимания. И, насколько мне известно, никаких серьёзных исследований математической нотации с точки зрения лингвистики никогда не проводилось.
Обычно в лингвистике выделяют несколько направлений. В одном занимаются вопросами исторических изменений в языках. В другом изучается то, как влияет изучение языка на отдельных людей. В третьем создаются эмпирические модели каких-то языковых структур.
Давайте сперва поговорим об истории.
Откуда произошли все те математические обозначения, которые мы в настоящее время используем?
Это тесно связано с историей самой математики, так что нам придётся коснуться немного этого вопроса. Часто можно услышать мнение, что сегодняшняя математика есть единственная мыслимая её реализация. То, какими бы могли быть произвольные абстрактные построения.
И за последние девять лет, что я занимался одним большим научным проектом, я ясно понял, что такой взгляд на математику не является верным. Математика в том виде, в котором она используется — это учение не о произвольных абстрактных системах. Это учение о конкретной абстрактной системе, которая исторически возникла в математике. И если заглянуть в прошлое, то можно увидеть, что есть три основные направления, из которых появилась математика в том виде, в котором мы сейчас её знаем — это арифметика, геометрия и логика.
Все эти традиции довольно стары. Арифметика берёт своё начало со времён древнего Вавилона. Возможно, и геометрия тоже приходит из тех времён, но точно уже была известна в древнем Египте. Логика приходит из древней Греции.
И мы можем наблюдать, что развитие математической нотации — языка математики — сильно связано с этими направлениями, особенно с арифметикой и логикой.
Следует понимать, что все три направления появлялись в различных сферах человеческого бытия, и это сильно повлияло на используемые в них обозначения.
Арифметика, вероятно, возникла из нужд торговли, для таких вещей, как, к примеру, счёт денег, а затем арифметику подхватили астрология и астрономия. Геометрия, по всей видимости, возникла из землемерческих и подобных задач. А логика, как известно, родилась из попытки систематизировать аргументы, приведённые на естественном языке.
Примечательно, кстати, что другая, очень старая область знаний, о которой я упомяну позднее — грамматика — по сути никогда не интегрировалась с математикой, по крайней мере до совсем недавнего времени.
Итак, давайте поговорим о ранних традициях в обозначениях в математике.
Во-первых, есть арифметика. И самая базовая вещь для арифметики — числа. Так какие обозначения использовались для чисел?
Что ж, первое представление чисел, о котором доподлинно известно — высечки на костях, сделанные 25 тысяч лет назад. Это была унарная система: чтобы представить число 7, нужно было сделать 7 высечек, ну и так далее.
Конечно, мы не можем точно знать, что именно это представление чисел было самым первым. Я имею ввиду, что мы могли и не найти свидетельств каких-то других, более ранних представлений чисел. Однако, если кто-то в те времена изобрёл какое-то необычное представление для чисел, и разместил их, к примеру, в наскальной живописи, то мы можем никогда и не узнать, что это было представление чисел — мы можем воспринимать это просто как какие-то фрагменты украшений.
Таким образом, числа можно представлять в унарной форме. И такое впечатление, что эта идея возрождалась множество раз и в различных частях света.
Но если посмотреть на то, что произошло помимо этого, то можно обнаружить довольно много различий. Это немного напоминает то, как различные виды конструкций для предложений, глаголов и прочее реализованы в различных естественных языках.
И, фактически, один из самых важных вопросов относительно чисел, который, как я полагаю, будет всплывать ещё много раз — насколько сильным должно быть соответствие между обычным естественным языком и языком математики?
Или вот вопрос: он связан с позиционной нотацией и повторным использованием цифр.
Как можно заметить, в естественных языках обычно есть такие слова, как «десять«, «сто«, «тысяча«, «миллион» и так далее. Однако в математике мы можем представить десять как «один нуль» (10), сто как «один нуль нуль» (100), тысячу как «один нуль нуль нуль» (1000) и так далее. Мы можем повторно использовать эту одну цифру и получать что-то новое, в зависимости от того, где в числе она будет появляться.
Что ж, это сложная идея, и людям потребовались тысячи лет, чтобы её действительно принять и осознать. А их неспособность принять её ранее имела большие последствия в используемых ими обозначениях как для чисел, так и для других вещей.
Как это часто бывает в истории, верные идеи появляются очень рано и долгое время остаются в забвении. Более пяти тысяч лет назад вавилоняне, и возможно даже до них ещё и шумеры разработали идею о позиционном представлении чисел. Их система счисления была шестидесятеричная, а не десятичная, как у нас. От них мы унаследовали представление секунд, минут и часов в существующей ныне форме. Но у них была идея использования одних и тех же цифр для обозначения множителей различных степеней шестидесяти.
Вот пример их обозначений.
Из этой картинки можно понять, почему археология столь трудна. Это очень маленький кусок обожжённой глины. Было найдено около полумиллиона подобных вавилонских табличек. И примерно одна из тысячи — то есть всего около 400 — содержат какие-то математические записи. Что, кстати, выше отношения математических текстов к обычным в современном интернете. Вообще, пока MathML не получил достаточного распространения, это является достаточно сложным вопросом.
Но, в любом случае, маленькие обозначения на этой табличке выглядят слегка похожими на отпечатки лапок крошечных птиц. Но почти 50 лет назад в конце концов исследователи определили, что эта клинописная табличка времён Хаммурапи — около 1750 года до н.э. — фактически является таблицей того, что мы сейчас называем пифагорейскими тройками.
Что ж, эти вавилонские знания были утеряны для человечества почти на 3000 лет. И вместо этого использовались схемы, основанные на естественных языках, с отдельными символами для десяти, ста и так далее.
Так, к примеру, у египтян для обозначения тысячи использовался символ цветка лотоса, для сотни тысяч — птица, ну и так далее. Каждая степень десяти для её обозначения имела отдельный символ.
А затем появилась другая очень важная идея, до которой не додумались ни вавилоняне, ни египтяне. Она заключалась в обозначении чисел цифрами — то есть не обозначать число семь семью единицами чего-то, а лишь одним символом.
Однако, у греков, возможно, как и у финикийцев ранее, эта идея уже была. Ну, на самом деле, она была несколько отличной. Она заключалась в том, чтобы обозначать последовательность чисел через последовательность букв в их алфавите. То есть альфе соответствовала единица, бете — двойка и так далее.
Вот как выглядит список чисел в греческом обозначении [вы можете скачать Wolfram Language Package, позволяющий представить числа в различных древних нотациях здесь — прим. ред.].
(Думаю, именно так сисадмины из Академии Платона адаптировали бы свою версию Mathematica; их воображаемую -600-ю (или около того) версию Mathematica.)
С этой системой счисления сопряжено множество проблем. Например, есть серьёзная проблема управления версиями: даже если вы решаете удалить какие-то буквы из своего алфавита, то вы должны оставить их в числах, иначе все ваши ранее записанные числа будут некорректными.
То есть это значит, что есть различные устаревшие греческие буквы, оставшиеся в системе счисления — как коппа для обозначения числа 90 и сампи для обозначения числа 900. Однако я включил их в набор символов для Mathematica, потому здесь прекрасно работает греческая форма записи чисел.
Спустя некоторое время римляне разработали свою форму записи чисел, с которой мы хорошо знакомы.
Пускай сейчас и не совсем ясно, что их цифры изначально задумывались как буквы, однако об этом следует помнить.
Итак, давайте попробуем римскую форму записи чисел.
Это тоже довольно неудобный способ записи, особенно для больших чисел.
Тут есть несколько интересных моментов. К примеру, длина представляемого числа рекурсивно возрастает с размером числа.
И в целом, подобное представление для больших чисел полно неприятных моментов. К примеру, когда Архимед писал свою работу о количестве песчинок, объём которых эквивалентен объёму вселенной (Архимед оценил их количество в 1051, однако, полагаю, правильный ответ будет около 1090), то он использовал обычные слова вместо обозначений, чтобы описать столь большое число.
Но на самом деле есть более серьёзная понятийная проблема с идеей о представлении цифр как букв: становится трудно придумать представление символьных переменных — каких-то символьных объектов, за которыми стоят числа. Потому что любую букву, которую можно было бы использовать для этого символьного объекта, можно будет спутать с цифрой или фрагментом числа.
Общая идея о символьном обозначении каких-то объектов через буквы известна довольно давно. Евклид, по сути, использовал эту идею в своих трудах по геометрии.
К сожалению, не сохранилось оригиналов работ Евклида. Однако имеются на несколько сот лет более молодые версии его работ. Вот одна, написанная на греческом языке.
И на этих геометрических фигурах можно увидеть точки, которые имеют символьное представление в виде греческих букв. И в описании теорем есть множество моментов, в которых точки, линии и углы имеют символьное представление в виде букв. Так что идея о символьном представлении каких-то объектов в виде букв берёт своё начало как минимум от Евклида.
Однако эта идея могла появиться и раньше. Если бы я умел читать на вавилонском, я бы, вероятно, смог бы сказать вам точно. Вот вавилонская табличка, в которой представляется квадратный корень из двух, и которая использует вавилонские буквы для обозначений.
Полагаю, обожжённая глина более долговечна, чем папирус, и получается, что мы знаем о том, что писали вавилоняне больше, чем о том, что писали люди вроде Евклида.
Вообще, эта неспособность увидеть возможность вводить имена для числовых переменных есть интересный случай, когда языки или обозначения ограничивают наше мышление. Это то, что несомненно обсуждается в обычной лингвистике. В наиболее распространённой формулировке эта идея звучит как гипотеза Сепира-Уорфа (гипотеза лингвистической относительности).
Разумеется, для тех из нас, кто потратил некоторую часть своей жизни на разработку компьютерных языков, эта идея представляется очень важной. То есть я точно знаю, что если я буду думать на языке Mathematica, то многие концепции будут достаточно просты для моего понимания, и они будут совсем не такими простыми, если я буду думать на каком-то другом языке.
Но, в любом случае, без переменных всё было бы гораздо сложнее. Например, как вы представите многочлен?
Ну, Диофант — тот самый, что придумал диофантовы уравнения — сталкивался с проблемой представления многочленов в середине 2 века н.э. В итоге он пришёл к использованию определённых основанных на буквах имён для квадратов, кубов и прочего. Вот как это работало.
По крайней мере сейчас нам показалось бы чрезвычайно трудным понять обозначения Диофанта для полиномов. Это пример не очень хороших обозначений. Полагаю, главная причина, помимо ограниченной расширяемости, состоит в том, что эти обозначения делают математические связи между полиномами неочевидными и не выделяют наиболее интересные нам моменты.
Есть и другие схемы задания полиномов без переменных, как, например, китайская схема, которая включала создание двухмерного массива коэффициентов.
Проблема здесь, опять-таки, в расширяемости. И эта проблема с основанными на графике обозначениями всплывает снова и снова: лист бумаги, папирус или что бы то ни было — они все ограничены двумя измерениями.
Хорошо, так что насчёт буквенного обозначения переменных?
Полагаю, что они могли бы появиться лишь после появления чего-то похожего на нашу современную нотацию. И она до определённого времени не появлялась. Были какие-то намёки в индо-арабских обозначениях в середине первого тысячелетия, однако установилось всё лишь к его концу. А на запад эта идея пришла лишь с работой Фибоначчи о вычислениях в 13 веке.
Фибоначчи, разумеется, был тем самым, кто говорил о числах Фибоначчи применительно к задаче о кроликах, однако в действительности эти числа известны были уже более тысячи лет, и служили они для описания форм индийской поэзии. И я всегда находил случай с числами Фибоначчи удивительным и отрезвляющим эпизодом в истории математики: возникнув на заре западной математики, столь привычные и фундаментальные, они начали становиться популярными лишь в 80-е.
В любом случае, также интересно заметить, что идея разбивки цифр в группы по три, чтобы сделать большие числа более читаемыми, имеется уже в книге Фибоначчи 1202 года, хотя я думаю, что он говорил об использовании скобок над числами, а не о разделяющих запятых.
После Фибоначчи наше современное представление для чисел постепенно становится всё популярнее, и ко времени начала книгопечатания в 15 веке оно уже было универсальным, хотя ещё и оставались несколько чудных моментов.
Но алгебраических переменных в полном их смысле тогда ещё не было. Они появились лишь после Виета в конце 16 века и обрели популярность лишь в 17 веке. То есть у Коперника и его современников их ещё не было. Как в основном и у Кеплера. Эти учёные для описания каких-то математических концепций использовали обычный текст, иногда структурированный как у Евклида.
Кстати, даже несмотря на то, что математическая нотация в те времена была не очень хорошо проработана, системы символьных обозначений в алхимии, астрологии и музыке были довольно развиты. Так, к примеру, Кеплер в начале 17 века использовал нечто, похожее на современную музыкальную нотацию, объясняя свою «музыку сфер» для отношений планетарных орбит.
Со времён Виета буквенные обозначения для переменных стали привычным делом. Обычно, кстати, он использовал гласные для неизвестных и согласные — для известных.
Вот как Виет записывал многочлены в форме, которую он называл «zetetics«, а сейчас мы бы это назвали просто символьной алгеброй:
Можно увидеть, что он использует слова для обозначения операций, в основном так, чтобы их нельзя было спутать с переменными.
Так как раньше представляли операции, в каком виде?
Идея о том, что операции есть нечто, что можно в какой-то форме представить, добиралась до умов людей довольно долго. Вавилоняне обычно не использовали символы для операций — для сложения они просто записывали слагаемые друг за другом. И в целом они были предрасположены записывать всё в виде таблиц, так что им не требовалось как-то обозначать операции.
У египтян были некоторые обозначения для операций: для сложения они использовали пару идущих вперёд ног, а для вычитания — идущих назад.
А современный знак +, который, вероятно, является сокращением от «et» на латыни (означает «и»), появился лишь в конце 15 века.
А вот кое-что из 1579 года, что выглядит весьма современным, написанное в основном на английском, пока не начнёшь понимать, что те забавные загогулины — это не иксы, а специальные небуквенные символы, которые представляют различные степени для переменных.
В первой половине 17 века произошла своего рода революция в математической нотации, после которой она практически обрела свой современный вид. Было создано современное обозначение квадратного корня, который ранее обозначался как Rx — это обозначение сейчас используется в медицинских рецептах. И в основном алгебраическая нотация приобрела свой современный вид.
Уильям Отред был одним из тех людей, кто серьёзно занимался этим вопросом. Изобретение логарифмической линейки — одна из вещей, которая сделала его известным. На самом деле о нём практически ничего неизвестно. Он не был крупным математиком, однако сделал много полезного в области преподавания, с такими людьми, как Кристофер Рен и его учениками. Странно, что я ничего не слышал о нём в школе, особенно если учесть, что мы учились в одной и той же школе, только он на 400 лет ранее. Однако изобретение логарифмической линейки было недостаточным для того, чтобы увековечить своё имя в истории математики.
Но, в любом случае, он серьёзно занимался нотацией. Он придумал обозначать умножение крестиком, и он продвинул идею о представлении алгебры посредством обозначений вместо слов — так, как это делал Виет. И, фактически, он изобрёл довольно много других обозначений, подобно тильде для таких предикатов, как IntegerQ.
После Отреда и его сотоварищей эти обозначения быстро установились. Были и альтернативные обозначения, как изображения убывающей и растущей лун для обозначения арифметических операций — прекрасный пример плохого и нерасширяемого дизайна. Однако в основном использовались современные обозначения.
Вот пример.
Это фрагмент рукописи Ньютона Principia, из которой ясно, что он в основном использовал современные алгебраические обозначения. Думаю, именно Ньютон придумал использовать отрицательные степени вместо дробей для обратных величин и прочего. Principia содержит весьма мало обозначений, за исключением этих алгебраических вещей и представления разного материала в стиле Евклида. И в действительности Ньютон не особо интересовался обозначениями. Он даже хотел использовать точечные обозначения для своих флюксий.
Чего не скажешь о Лейбнице. Лейбниц много внимания уделял вопросам нотации. В действительности, он считал, что правильные обозначения есть ключ ко многим человеческим вопросам. Он был своего рода дипломат-аналитик, курсирующий между различными странами, со всеми их различными языками, и т.д. У него была идея, что если создать некий универсальный логический язык, то тогда все люди смогли бы понимать друг друга и имели бы возможность объяснить всё что угодно.
Были и другие люди, которые размышляли о подобном, преимущественно с позиции обычных естественных языков и логики. Один из примеров — довольно специфичный персонаж по имени Раймонд Лул, живший в 14 веке, который заявлял, что изобрёл некие логические колёса, дающие ответы на все вопросы мира.
Но так или иначе, Лейбниц разработал те вещи, которые были интересны и с позиций математики. То, что он хотел сделать, должно было так или иначе объединить все виды обозначений в математике в некоторый точный естественный язык с подобным математике способом описания и решения различных проблем, или даже больше — объединить ещё и все используемые естественные языки.
Ну, как и многие другие свои проекты, Лейбниц так и не воплотил это в жизнь. Однако он занимался самыми разными направлениями математики и серьёзно относился к разработке обозначений для них. Наиболее известные его обозначения были введены им в 1675 году. Для обозначения интегралов он использовал «omn.«, возможно, как сокращение от omnium. Но в пятницу 29 октября 1675 года он написал следующее.
На этом фрагменте бумаги можно увидеть знак интеграла. Он задумывал его как вытянутую S. Несомненно, это и есть современное обозначение интеграла. Ну, между обозначениями интегралов тогда и сейчас почти нет никакой разницы.
Затем в четверг 11 ноября того же года он обозначил дифференциал как «d«. На самом деле, Лейбниц считал это обозначение не самым лучшим и планировал придумать ему какую-нибудь замену. Но, как мы все знаем, этого не произошло.
Что ж, Лейбниц вёл переписку касательно обозначений с самыми разными людьми. Он видел себя кем-то вроде председателя комитета стандартов математических обозначений — так бы мы сказали сейчас. Он считал, что обозначения должны быть максимально краткими. К примеру, Лейбниц говорил: «Зачем использовать две точки для обозначения деления, когда можно использовать лишь одну?«.
Некоторые из продвигаемых им идей так и не получили распространения. К примеру, используя буквы для обозначения переменных, он использовал астрономические знаки для обозначения выражений. Довольно интересная идея, на самом деле.
Так он обозначал функции.
Помимо этих моментов и некоторых исключений наподобие символа пересечения квадратов, который Лейбниц использовал для обозначения равенства, его обозначения практически неизменными дошли до наших дней.
В 18 веке Эйлер активно пользовался обозначениями. Однако, по сути, он следовал по пути Лейбница. Полагаю, он был первым, кто всерьёз начал использовать греческие буквы наравне с латинскими для обозначения переменных.
Есть и некоторые другие обозначения, которые появились вскоре после Лейбница. Следующий пример из книги, вышедшей через несколько лет после смерти Ньютона. Это учебник алгебры, и он содержит весьма традиционные алгебраические обозначения, уже в печатном виде.
А вот книга Лопиталя, напечатанная примерно в то же время, в которой уже практически современная алгебраическая нотация.
И, наконец, вот пример от Эйлера, содержащий весьма современные обозначения для интегралов и прочего.
Эйлер — популяризировал современное обозначение для числа пи, которое первоначально было предложено Уильямом Джонсом, который рассматривал его как сокращение от слова периметр.
Предложенная Лейбницем и сотоварищами нотация довольно долго оставалась неизменной. Происходили небольшие изменения, как, к примеру квадрат x x получил написание x2. Однако практически ничего нового не появилось.
Однако в конце 19 века наблюдается новый всплеск интереса к математической нотации, сопряжённый с развитием математической логики. Были некоторые нововведения, сделанные физиками, такими как Максвелл и Гиббс, в основном для векторов и векторного анализа, как следствие развития абстрактной алгебры. Однако наиболее значимые изменения были сделаны людьми, начиная с Фреге и приблизительно с 1879 года, которые занимались математической логикой.
Эти люди в своих устремлениях были близки к Лейбницу. Они хотели разработать нотацию, которая представляла бы не только математические формулы, но и математические выводы и доказательства. В середине 19 века Буль показал, что основы логики высказываний можно представлять в терминах математики. Однако Фреге и его единомышленники хотели пойти дальше и представить так как логику высказываний, так и любые математические суждения в соответствующих математических терминах и обозначениях.
Фреге решил, что для решения этой задачи потребуются графические обозначения. Вот фрагмент его так называемой «концептуальной нотации«.
К сожалению, в ней трудно разобраться. И в действительности, если посмотреть на историю обозначений в целом, то часто можно встретить попытки изобретения графических обозначений, которые оказывались трудными для понимания. Но в любом случае, обозначения Фреге уж точно не стали популярными.
Потом был Пеано, самый главный энтузиаст в области математической нотации. Он делал ставку на линейное представление обозначений. Вот пример:
Вообще говоря, в 80-х годах 19 века Пеано разработал то, что очень близко к обозначениям, которые используются в большинстве современных теоретико-множественных концепций.
Однако, как и Лейбниц, Пеано не желал останавливаться лишь на универсальной нотации для математики. Он хотел разработать универсальный язык для всего. Эта идея реализовалась у него в то, что он назвал интерлингва — язык на основе упрощённой латыни. Затем он написал нечто вроде краткого изложения математики, назвав это Formulario Mathematico, которое было основано на его обозначениях для формул, и труд этот был написал на этой производной от латыни — на интерлингве.
Интерлингва, подобно эсперанто, который появился примерно в это же время, так и не получил широкого распространения. Однако этого нельзя сказать об обозначениях Пеано. Сперва о них никто ничего толком и не слышал. Но затем Уайтхед и Рассел написали свой труд Principia Mathematica, в котором использовались обозначения Пеано.
Думаю, Уайтхед и Рассел выиграли бы приз в номинации «самая насыщенная математическими обозначениями работа, которая когда-либо была сделана без помощи вычислительных устройств«. Вот пример типичной страницы из Principia Mathematica.
У них были все мыслимые виды обозначений. Частая история, когда авторы впереди своих издателей: Рассел сам разрабатывал шрифты для многих используемых им обозначений.
И, разумеется, тогда речь шла не о шрифтах TrueType или о Type 1, а о самых настоящих кусках свинца. Я о том, что Рассела можно было встретить с тележкой, полной свинцовых оттисков, катящему её в издательство Кембриджского университета для обеспечения корректной вёрстки его книг.
Но, несмотря на все эти усилия, результаты были довольно гротескными и малопонятными. Я думаю, это довольно ясно, что Рассел и Уайтхед зашли слишком далеко со своими обозначениями.
И хотя область математической логики немного прояснилась в результате деятельности Рассела и Уайтхеда, она всё ещё остаётся наименее стандартизированной и содержащей самую сложную нотацию.
Но что насчёт более распространённых составляющих математики?
Какое-то время в начале 20 века то, что было сделано в математической логике, ещё не произвело никакого эффекта. Однако ситуация резко начала меняться с движением Бурбаки, которое начало разрастаться во Франции в примерное сороковые года.
Бурбаки придавали особое значение гораздо более абстрактному, логико-ориентированному подходу к математике. В частности, они акцентировали внимание на использовании обозначений там, где это только возможно, любым способом сводя использование потенциально неточного текста к минимуму.
Где-то с сороковых работы в области чистой математики претерпели серьёзные изменения, что можно заметить в соответствующих журналах, в работах международного математического сообщества и прочих источниках подобного рода. Изменения заключались в переходе от работ, полных текста и лишь с основными алгебраическими и вычислительными выкладками к работам, насыщенными обозначениями.
Конечно, эта тенденция коснулась не всех областей математики. Это в некотором роде то, чем занимаются в лингвистике обычных естественных языков. По устаревшим используемым математическим обозначениям можно заметить, как различные области, их использующие, отстают от основной магистрали математического развития. Так, к примеру, можно сказать, что физика осталась где-то в конце 19 века, используя уже устаревшую математическую нотацию тех времён.
Есть один момент, который постоянно проявляется в этой области — нотация, как и обычные языки, сильно разделяет людей. Я имею в виду, что между теми, кто понимает конкретные обозначения, и теми, кто не понимает, имеется большой барьер. Это кажется довольно мистическим, напоминая ситуацию с алхимиками и оккультистами — математическая нотация полна знаков и символов, которые люди в обычной жизни не используют, и большинство людей их не понимают.
На самом деле, довольно любопытно, что с недавних пор в рекламе появился тренд на использование математических обозначений. Думаю, по какой-то причине математическая нотация стала чем-то вроде шика. Вот один актуальный пример рекламы.
Отношение к математическим обозначениям, к примеру, в школьном образовании, часто напоминает мне отношение к символам секретных сообществ и тому подобному.
Что ж, это был краткий конспект некоторых наиболее важных эпизодов истории математической нотации.
В ходе исторических процессов некоторые обозначения перестали использоваться. Помимо некоторых областей, таких как математическая логика, она стала весьма стандартизированной. Разница в используемых разными людьми обозначениях минимальна. Как и в ситуации с любым обычным языком, математические записи практически всегда выглядят одинаково.
Вот вопрос:
можно ли сделать так, чтобы компьютеры понимали эти обозначения?Это зависит от того, насколько они систематизированы и как много смысла можно извлечь из некоторого заданного фрагмента математической записи.
Ну, надеюсь, мне удалось донести мысль о том, что нотация развивалась в результате непродуманных случайных исторических процессов. Было несколько людей, таких как Лейбниц и Пеано, которые пытались подойти к этому вопросу более системно. Но в основном обозначения появлялись по ходу решения каких-то конкретных задач — подобно тому, как это происходит в обычных разговорных языках.
И одна из вещей, которая меня удивила, заключается в том, что по сути никогда не проводилось интроспективного изучения структуры математической нотации.
Грамматика обычных разговорных языков развивалась веками. Без сомнения, многие римские и греческие философы и ораторы уделяли ей много внимания. И, по сути, уже примерно в 500 года до н. э. Панини удивительно подробно и ясно расписал грамматику для санскрита. Фактически, грамматика Панини была удивительно похожа по структуре на спецификацию правил создания компьютерных языков в форме Бэкуса-Наура, которая используется в настоящее время.
И были грамматики не только для языков — в последнее столетие появилось бесконечное количество научных работ по правильному использованию языка и тому подобному.
Но, несмотря на всю эту активность в отношении обычных языков, по сути, абсолютно ничего не было сделано для языка математики и математической нотации. Это действительно довольно странно.
Были даже математики, которые работали над грамматиками обычных языков. Ранним примером являлся Джон Уоллис, который придумал формулу произведения Уоллиса для числа пи, и вот он писал работы по грамматике английского языка в 1658 году. Уоллис был тем самым человеком, который начал всю эту суматоху с правильным использованием «will» или «shall«.
В начале 20 века в математической логике говорили о разных слоях правильно сформированного математического выражения: переменные внутри функций внутри предикатов внутри функций внутри соединительных слов внутри кванторов. Но не о том, что же это всё значило для обозначений выражений.
Некоторая определённость появилась в 50-е годы 20 века, когда Хомский и Бакус, независимо разработали идею контекстно-свободных языков. Идея пришла походу работы над правилами подстановки в математической логике, в основном благодаря Эмилю Посту в 20-х годах 20 века. Но, любопытно, что и у Хомского, и у Бакуса возникла одна и та же идея именно в 1950-е.
Бакус применил её к компьютерным языкам: сперва к Fortran, затем к ALGOL. И он заметил, что алгебраические выражения могут быть представлены в контекстно-свободной грамматике.
Хомский применил эту идею к обычному человеческому языку. И он отмечал, что с некоторой степенью точности обычные человеческие языки так же могут быть представлены контекстно-свободными грамматиками.
Конечно, лингвисты включая Хомского, потратили годы на демонстрацию того, насколько всё же эта идея не соответствует действительности. Но вещь, которую я всегда отмечал, а с научной точки зрения считал самой важной, состоит в том, что в первом приближении это всё-таки истина — то, что обычные естественные языки контекстно-свободны.
Итак, Хомский изучал обычный язык, а Бакус изучал такие вещи, как ALGOL. Однако никто из них не рассматривал вопрос разработки более продвинутой математики, чем простой алгебраический язык. И, насколько я могу судить, практически никто с тех времён не занимался этим вопросом.
Но, если вы хотите посмотреть, сможете ли вы интерпретировать некоторые математические обозначения, вы должны знать, грамматику какого типа они используют.
Сейчас я должен сказать вам, что считал математическую нотацию чем-то слишком случайным для того, чтобы её мог корректно интерпретировать компьютер. В начале девяностых мы горели идеей предоставить возможность Mathematica работать с математической нотацией. И по ходу реализации этой идеи нам пришлось разобраться с тем, что происходит с математической нотацией.
Нил Сойффер потратил множество лет, работая над редактированием и интерпретацией математической нотации, и когда он присоединился к нам в 1991, он пытаться убедить меня, что с математической нотацией вполне можно работать — как с вводом, так и с выводом.2+ArcSin[x+1]+c(x+1)+f[x+1]
Что оно означает? Чтобы это понять, нужно знать приоритеты операторов — какие действуют сильнее, а какие слабее в отношении операндов.
Я подозревал, что для этого нет какого-то серьёзного обоснования ни в каких статьях, посвящённых математике. И я решил исследовать это. Я прошёлся по самой разнообразной математической литературе, показывал разным людям какие-то случайные фрагменты математической нотации и спрашивал у них, как бы они их интерпретировали. И я обнаружил весьма любопытную вещь: была удивительная слаженность мнений людей в определении приоритетов операторов. Таким образом, можно утверждать: имеется определённая последовательность приоритетов математических операторов.
Можно с некоторой уверенностью сказать, что люди представляют именно эту последовательность приоритетов, когда смотрят на фрагменты математической нотации.
Обнаружив этот факт, я стал значительно более оптимистично оценивать возможность интерпретации вводимых математических обозначений. Один из способов, с помощью которого всегда можно это реализовать — использовать шаблоны. То есть достаточно просто иметь шаблон для интеграла и заполнять ячейки подынтегрального выражения, переменной и так далее. И когда шаблон вставляется в документ, то всё выглядит как надо, однако всё ещё содержится информация о том, что это за шаблон, и программа понимает, как это интерпретировать. И многие программы действительно так и работают.
Но в целом это крайне неудобно. Потому что если вы попытаетесь быстро вводить данные или редактировать, вы будете обнаруживать, что компьютер вам бикает (beeping) и не даёт делать те вещи, которые, очевидно, должны быть вам доступны для реализации.
Дать людям возможность ввода в свободной форме — значительно более сложная задача. Но это то, что мы хотим реализовать.
Итак, что это влечёт?
Прежде всего, математический синтаксис должен быть тщательно продуманным и однозначным. Очевидно, получить подобный синтаксис можно, если использовать обычный язык программирования с основанным на строках синтаксисом. Но тогда вы не получите знакомую математическую нотацию.
Вот ключевая проблема: традиционная математическая нотация содержит неоднозначности. По крайней мере, если вы захотите представить её в достаточно общем виде. Возьмём, к примеру, «i«. Что это — Sqrt[-1] или переменная «i«?
В обычном текстовом InputForm в Mathematica все подобные неоднозначности решены простым путём: все встроенные объекты Mathematica начинаются с заглавной буквы.
Но заглавная «I» не очень то и похожа на то, чем обозначается Sqrt[-1] в математических текстах. И что с этим делать? И вот ключевая идея: можно сделать другой символ, который вроде тоже прописная «i», однако это будет не обычная прописная «i», а квадратный корень из -1.
Можно было бы подумать: Ну, а почему бы просто не использовать две «i», которые бы выглядели одинаково, — прям как в математических текстах — однако из них будет особой? Ну, это бы точно сбивало с толку. Вы должны будете знать, какую именно «i» вы печатаете, а если вы её куда-то передвинете или сделаете что-то подобное, то получится неразбериха.
Итак, значит, должно быть два «i«. Как должна выглядеть особая версия этого символа?
У нас была идея — использовать двойное начертание для символа. Мы перепробовали самые разные графические представления. Но идея с двойным начертанием оказалась лучшей. В некотором роде она отвечает традиции в математике обозначать специфичные объекты двойным начертанием.
Так, к примеру, прописная R могла бы быть переменной в математических записях. А вот R с двойным начертанием — уже специфический объект, которым обозначают множество действительных чисел.
Таким образом, «i» с двойным начертанием есть специфичный объект, который мы называем ImaginaryI. Вот как это работает:
Идея с двойным начертанием решает множество проблем.
В том числе и самую большую — интегралы. Допустим, вы пытаетесь разработать синтаксис для интегралов. Один из ключевых вопросов — что может означать «d» в интеграле? Что, если это параметр в подынтегральном выражении? Или переменная? Получается ужасная путаница.
Всё становится очень просто, если использовать DifferentialD или «d» с двойным начертанием. И получается хорошо определённый синтаксис.
Можно проинтегрировать x в степени d, деленное на квадратный корень от x+1. Вот как это работает:
Оказывается, что требуется всего лишь несколько маленьких изменений в основании математического обозначения, чтобы сделать его однозначным. Это удивительно. И весьма здорово. Потому что вы можете просто ввести что-то, состоящее из математических обозначений, в свободной форме, и оно будет прекрасно понято системой. И это то, что мы реализовали в Mathematica 3.
Конечно, чтобы всё работало так, как надо, нужно разобраться с некоторыми нюансами. К примеру, иметь возможность вводить что бы то ни было эффективным и легко запоминающимся путём., с помощью которой можно вводить явный верхний индекс. Та же идея для сочетания control — /, с помощью которого можно вводить «двухэтажную» дробь.
Наличие ясного набора принципов подобных этому важно для того, чтобы заставить всё вместе работать на практике. И оно работает. Вот как мог бы выглядеть ввод довольно сложного выражения:
Но мы можем брать фрагменты из этого результата и работать с ними.
И смысл в том, что это выражение полностью понятно для Mathematica, то есть оно может быть вычислено. Из этого следует, что результаты выполнения (Out) — объекты той же природы, что и входные данные (In), то есть их можно редактировать, использовать их части по отдельности, использовать их фрагменты в качестве входных данных и так далее.
Чтобы заставить всё это работать, нам пришлось обобщить обычные языки программирования и кое-что проанализировать. Прежде была внедрена возможность работать с целым «зоопарком» специальных символов в качестве операторов. Однако, вероятно, более важно то, что мы внедрили поддержку двумерных структур. Так, помимо префиксных операторов, имеется поддержка оверфиксных операторов и прочего.
Если вы посмотрите на это выражение, вы можете сказать, что оно не совсем похоже на традиционную математическую нотацию. Но оно очень близко. И оно несомненно содержит все особенности структуры и форм записи обычной математической нотации. И важная вещь заключается в том, что ни у кого, владеющим обычной математической нотацией, не возникнет трудностей в интерпретации этого выражения.
Конечно, есть некоторые косметические отличия от того, что можно было бы увидеть в обычном учебнике по математике. К примеру, как записываются тригонометрические функции, ну и тому подобное.
Однако я готов поспорить, что StandardForm в Mathematica лучше и яснее для представления этого выражения. И в книге, которую я писал много лет о научном проекте, которым я занимался, для представления чего бы то ни было я использовал только StandardForm.
Однако если нужно полное соответствие с обычными учебниками, то понадобится уже что-то другое. И вот другая важная идея, реализованная в Mathematica 3: разделить StandardForm и TraditionalForm.
Любое выражение я всегда могу сконвертировать в TraditionalForm.
И в действительности TraditionalForm всегда содержит достаточно информации, чтобы быть однозначно сконвертированным обратно в StandardForm.
Но TraditionalForm выглядит практически как обычные математические обозначения. Со всеми этими довольно странными вещами в традиционной математической нотации, как запись синус в квадрате x вместо синус x в квадрате и так далее.
Так что насчёт ввода TraditionalForm?
Вы могли заметить пунктир справа от ячейки [в других выводах ячейки были скрыты для упрощения картинок — прим. ред.]. Они означают, что есть какой-то опасный момент. Однако давайте попробуем кое-что отредактировать.
Мы прекрасно можем всё редактировать. Давайте посмотрим, что случится, если мы попытаемся это вычислить.
Вот, возникло предупреждение. В любом случае, всё равно продолжим.
Что ж, система поняла, что мы хотим.
Фактически, у нас есть несколько сотен эвристических правил интерпретации выражений в традиционной форме. И они работают весьма хорошо. Достаточно хорошо, чтобы пройти через большие объёмы устаревших математических обозначений, определённых, скажем, в TEX, и автоматически и однозначно сконвертировать их в осмысленные данные в Mathematica.
И эта возможность весьма вдохновляет. Потому что для того же устаревшего текста на естественном языке нет никакого способа сконвертировать его во что-то значимое. Однако в математике есть такая возможность.
Конечно, есть некоторые вещи, связанные с математикой, в основном на стороне выхода, с которыми существенно больше сложностей, чем с обычным текстом. Часть проблемы в том, что от математики часто ожидают автоматической работы. Нельзя автоматически сгенерировать много текста, который будет достаточно осмысленным. Однако в математике производятся вычисления, которые могут выдавать большие выражения.
Так что вам нужно придумывать, как разбивать выражение по строкам так, чтобы всё выглядело достаточно аккуратно, и в Mathematica мы хорошо поработали над этой задачей. И с ней связано несколько интересных вопросов, как, например, то, что во время редактирования выражения оптимальное разбиение на строки постоянно может меняться по ходу работы.
И это значит, что будут возникать такие противные моменты, как если вы печатаете, и вдруг курсор перескакивает назад. Что ж, эту проблему, полагаю, мы решили довольно изящным образом. Давайте рассмотрим пример.
Вы видели это? Была забавная анимация, которая появляется на мгновение, когда курсор должен передвинуться назад. Возможно, вы её заметили. Однако если бы вы печатали, вы бы, вероятно, и не заметили бы, что курсор передвинулся назад, хотя вы могли бы её и заметить, потому что эта анимация заставляет ваши глаза автоматически посмотреть на это место. С точки зрения физиологии, полагаю, это работает за счёт нервных импульсов, которые поступают не в зрительную кору, а прямо в мозговой ствол, который контролирует движения глаз. Итак, эта анимация заставляет вас подсознательно переместить свой взор в нужное место.
Таким образом, мы смогли найти способ интерпретировать стандартную математическую нотацию. Означает ли это, что теперь вся работа в Mathematica должна теперь проводиться в рамках традиционных математических обозначений? Должны ли мы ввести специальные символы для всех представленных операций в Mathematica? Таким образом можно получить весьма компактную нотацию. Но насколько это разумно? Будет ли это читаемо?
Пожалуй, ответом будет нет.
Думаю, тут сокрыт фундаментальный принцип: кто-то хочет всё представлять в обозначениях, и не использовать ничего другого.
А кому-то не нужны специальные обозначения. А кто-то пользуется в Mathematica FullForm. Однако с этой формой весьма утомительно работать. Возможно, именно поэтому синтаксис языков наподобие LISP кажется столь трудным — по сути это синтаксис FullForm в Mathematica.
Другая возможность заключается в том, что всему можно присвоить специальные обозначения. Получится что-то наподобие APL или каких-то фрагментов математической логики. Вот пример этого.
Довольно трудно читать.
Вот другой пример из оригинальной статьи Тьюринга, в которой содержатся обозначения для универсальной машины Тьюринга, опять-таки — пример не самой лучшей нотации.
Она тоже относительно нечитабельная.
Вопрос заключается в том, что же находится между двумя такими крайностями, как LISP и APL. Думаю, эта проблема очень близка к той, что возникала при использовании очень коротких имён для команд.
К примеру, Unix. Ранние версии Unix весьма здорово смотрелись, когда там было небольшое количество коротких для набора команд. Но система разрасталась. И через какое-то время было уже большое количество команд, состоящих из небольшого количества символов. И большинство простых смертных не смогли бы их запомнить. И всё стало выглядеть совершенно непонятным.
Та же ситуация, что и с математической или другой нотацией, если на то пошло. Люди могут работать лишь с небольшим количеством специальных форм и символов. Возможно, с несколькими десятками. Соизмеримым с длиной алфавита. Но не более. А если дать им больше, особенно все и сразу, в голове у них будет полная неразбериха.
Это следует немного конкретизировать. Вот, к примеру, множество различных операторов отношений.
Но большинство из них по сути состоят из небольшого количества элементов, так что с ними проблем быть не должно.
Конечно, принципиально люди могут выучить очень большое количество символов. Потому что в языках наподобие китайского или японского имеются тысячи иероглифов. Однако людям требуется несколько дополнительных лет для обучения чтению на этих языках в сравнении с теми, которые используют обычный алфавит.
Если говорить о символах, кстати, полагаю, что людям гораздо легче справится с какими-то новыми символами в качестве переменных, нежели в качестве операторов. И весьма занятно рассмотреть этот вопрос с точки зрения истории.
Один из наиболее любопытных моментов — во все времена и практически без исключения в качестве переменных использовались лишь латинские и греческие символы. Ну, Кантор ввёл алеф, взятый из иврита, для своих кардинальных чисел бесконечных множеств. И некоторые люди утверждают, что символ частной производной — русская д, хотя я думаю, что на самом деле это не так. Однако нет никаких других символов, которые были бы заимствованы из других языков и получили бы распространение.
Кстати, наверняка вам известно, что в английском языке буква «e» — самая популярная, затем идёт «t«, ну и так далее. И мне стало любопытно, каково распределение по частоте использования букв в математике. Потому я исследовал сайт MathWorld, в котором содержится большое количество математической информации — более 13 500 записей, и посмотрел, каково распределение для различных букв [к сожалению, эту картинку, сделанную Стивеном, не удалось осовременить — прим. ред.].
Можно увидеть, что «e» — самая популярная. И весьма странно, что «a» занимает второе место. Это очень необычно. Можно увидеть, что строчная π — наиболее популярная, за которой идут θ, α, φ, μ, β и так далее. А среди прописных самые популярные — Γ и Δ.
Хорошо. Я немного рассказал об обозначениях, которые в принципе можно использовать в математике. Так какая нотация лучше всего подходит для использования?
Большинство людей, использующих математическую нотацию, наверняка задавались этим вопросом. Однако для математики нет никакого аналога, подобного «Современному использованию английского языка» Фаулера для английского языка. Была небольшая книжка под названием Математика в печати, изданная AMS, однако она в основном о типографских приёмах.
В результате мы не имеем хорошо расписанных принципов, аналогичным вещам наподобие инфинитивов с отдельными частицами в английском языке.
Если вы используете StandardForm в Mathematica, вам это больше не потребуется. Потому что всё, что вы введёте, будет однозначно интерпретировано. Однако для TraditionalForm следует придерживаться некоторых принципов. К примеру, не писать , потому что не совсем ясно, что это означает.
Чтобы закончить, позвольте мне рассказать немного о будущем математической нотации.
Какой, к примеру, должна бы быть новая нотация?
В какой-нибудь книге символов будет содержаться около 2500 символов, популярных в тех или иных областях и не являющимися буквами языков. И с правильным написанием символов, многие из них могли бы идеально сочетаться с математическими символами.
Для чего же их использовать?
Первая приходящая на ум возможность — нотация для представления программ и математических операций. В Mathematica, к примеру, представлено довольно много текстовых операторов, используемых в программах. И я долгое время считал, что было бы здорово иметь возможность использовать для них какие-то специальные символы вместо комбинаций обычных символов ASCII [последние версии Mathematica полностью поддерживают Unicode — прим. ред.].
Оказывается, иногда это можно реализовать весьма просто. Поскольку мы выбрали символы ASCII, то часто можно получить некоторые символы, очень близкие по написанию, но более изящные. К примеру, если в Mathematica набрать ->, то эта стрелочка автоматически превратиться в более изящную . И это всё реализуемо за счёт того, что парсер в Mathematica может работать в том числе и со специальными символами.
Я часто размышлял о том, как бы расширить всё это. И вот, постепенно появляются новые идеи. Обратите внимание на знак решётки #, или номерной знак, или, как его ещё иногда называют, октоторп, который мы используем в тех местах, в которые передаётся параметр чистой функции. Он напоминает квадрат с щупальцами. И в будущем, возможно, он будет обозначаться симпатичным квадратиком с маленькими засечками, и будет означать место для передачи параметра в функцию. И он будет более гладким, не похожим на фрагмент обычного кода, чем-то вроде пиктограммы.
Насколько далеко можно зайти в этом направлении — представлении вещей в визуальной форме или в виде пиктограмм? Ясно, что такие вещи, как блок-схемы в инженерии, коммутативные диаграммы в чистой математике, технологические схемы — все хорошо справляются со своими задачами. По крайней мере до настоящего момента. Но как долго это может продолжаться?
Не думаю, что уж очень долго. Думаю, некоторые приближаются к некоторым фундаментальным ограничениям людей в обработке лингвистической информации.
Когда языки более или менее контекстно-свободные, имеют древовидную структуру, с ними можно многое сделать. Наша буферная память из пяти элементов памяти и что бы то ни было спокойно сможет их разобрать. Конечно, если у нас будет слишком много вспомогательных предложений даже на контекстно-свободном языке, то будет вероятность исчерпать стековое пространство и попасть впросак. Но, если стек не будет заходить слишком глубоко, то всё будет работать как надо.
Но что насчёт сетей? Можем ли мы понимать произвольные сети? Я имею в виду — почему у нас должны быть только префиксные, инфиксные, оверфиксные операторы? Почему бы операторам не получать свои аргументы через какие-то связи внутри сети?
Меня особенно интересовал этот вопрос в контексте того, что я занимался некоторыми научными вопросами касательно сетей. И мне действительно хотелось бы получить некоторое языковое представление для сетей. Но не смотря на то, что я уделил этому вопросу довольно много времени — не думаю, что мой мозг смог бы работать с подобными сетями так же, как с обычными языковыми или математическими конструкциями, имеющими одномерную или двумерную контекстно-свободную структуру. Так что я думаю, что это, возможно, то место, до которого нотация не сможет добраться.
Вообще, как я упоминал выше, это частый случай, когда язык или нотация ограничивают наше пространство мыслимого.
Итак, что это значит для математики?
В своём научном проекте я разрабатывал некоторые основные обобщения того, что люди обычно относят к математике. И вопрос в том, какие обозначения могут быть использованы для абстрактного представления подобных вещей.
Что ж, я не смог пока что полностью ответить на этот вопрос. Однако я обнаружил, что, по крайней мере в большинстве случаев, графическое представление или представление в виде пиктограмм гораздо эффективнее обозначений в виде конструкций на обычных языках.
Возвращаясь к самому началу этого разговора, ситуация напоминает то, что происходило тысячи лет в геометрии. В геометрии мы знаем, как представить что-то в графическом виде. Ещё со времён древнего Вавилона. И чуть более ста лет назад стало ясно, как можно формулировать геометрические задачи с точки зрения алгебры.
Однако мы всё ещё не знаем простого и ясного способа представлять геометрические схемы в обозначениях на естественном языке. И моя догадка состоит в том, что практически все эти математические вещи лишь в небольшом количестве могут быть представлены в обозначениях на естественном языке.
Однако мы — люди — легко воспринимаем лишь эти обозначения на естественном языке. Так что мы склонны изучать те вещи, которые могут быть представлены этим способом. Конечно, подобные вещи не могут быть тем, что происходит в природе и вселенной.
Но это уже совсем другая история. Так что я лучше закончу на этом.
Большое спасибо.
В ходе обсуждения после выступления и во время общения с другими людьми на конференции возникло несколько моментов, которые следовало бы обсудить.
Эмпирические законы для математических обозначений
При изучении обычного естественного языка были обнаружены различные историко-эмпирические законы. Пример —
Закон Гримма, которые описывает переносы в согласных на индоевропейских языках. Мне было любопытно, можно ли найти подобные историко-эмпирические законы для математического обозначения.
Дана Скотт предложила такой вариант: тенденция к удалению явных параметров.
Как пример, в 60 годах 19 века часто каждый компонент вектора именовался отдельно. Но затем компоненты стали помечать индексами — как ai. И вскоре после этого — в основном после работ Гиббса — векторы стали представлять как один объект, обозначаемый, скажем, как или a.
С тензорами всё не так просто. Нотацию, избегающую явных индексов, обычно называют координатно-свободной. И подобная нотация — частое явление в чистой математике. Однако в физике данный подход считается слишком абстрактным, потому явные индексы используются повсеместно.
В отношении функций так же имеется тенденция явно не упоминать параметры. В чистой математике, когда функции рассматриваются через сопоставления, они часто упоминаются лишь по своему имени — просто f, без каких-либо параметров.
Однако это будет хорошо только тогда, когда у функции только один параметр. Когда параметров несколько, обычно становится непонятно, как будут работать те потоки данных, которые ассоциированы с параметрами.
Однако, ещё в 20-х годах 20 века было показано, что можно использовать так называемые комбинаторы для определения подобных потоков данных без какого-либо явного указания параметров.
Комбинаторы не использовались в основных течениях математики, однако время от времени становились популярными в теории вычислений, хотя их популярность заметно поубавилась из-за несовместимости с идеей о типах данных.
Комбинаторы довольно легко задать в Mathematica через задание функции с составным заголовком. Вот как можно определить стандартные комбинаторы:
k[x_][y_]:=i x
s[x_][y_][z_]:= x[z][y[z]]
Если определить целое число n, по сути, в унарной системе, используя Nest[s[s[k[s]][k]],k[s[k][k]],n], то тогда сложение можно будет определить как s[k[s]][s[k[s[k[s]]]][s[k[k]]]], умножение как s[k[s]][k], а степень — s[k[s[s[k][k]]]][k]. Никакие переменные не требуются.
Проблема заключается в том, что выражения получаются непонятными, и с этим ничего не поделать. Я пытался найти какие-то способы для более ясного представления их и сопряжённых с ними вычислений. Я добился небольшого прогресса, однако нельзя сказать, что задача была решена.
Печатные обозначения против экранных
Некоторые спрашивали о разнице в возможностях печатных и экранных обозначений.
Чтобы можно было понимать обозначения, они должны быть похожими, и разница между ними не должна быть очень большой.
Но есть некоторые очевидные возможности.
Во-первых, на экране легко можно использовать цвет. Можно было бы подумать, что было каким-то образом удобно использовать разные цвета для переменных. Мой опыт говорит о том, что это удобно для разъяснения формулы. Однако всё станет весьма запутанным, если, к примеру, красному x и зелёному x будут соответствовать разные переменные.
Другая возможность состоит в том, чтобы иметь в формуле какие-то анимированные элементы. Полагаю, что они будут столь же раздражающими, как и мигающий текст, и не будут особо полезными.
Пожалуй, идея получше — иметь возможность скрывать и разворачивать определённые части выражения — как группы ячеек в ноутбуке Mathematica. Тогда будет возможность сразу получить представление обо всём выражении, а если интересны детали, то разворачивать его далее и далее.
Письменные обозначения
Некоторые могли бы подумать, что я уж слишком много времени уделил графическим обозначениям.
Хотелось бы прояснить, что я нахожу довольно затруднительным графические обозначения обычных математических действий и операций. В своей книге A New Kind of Science я повсеместно использую графику, и мне не представляется никакого другого способа делать то, что я делаю.
И в традиционной науке, и в математике есть множество графических обозначений, которые прекрасно работают, пускай и в основном для статичных конструкций.
Теория графов — очевидный пример использования графического представления.
К ним близки структурные диаграммы из химии и диаграммы Фейнмана из физики.
В математике имеются методы для групповых теоретических вычислений, представленные отчасти благодаря Предрагу Цвитановицу, и вот они основаны на графическом обозначении.
И в лингвистике, к примеру, распространены диаграммы для предложений, показывающие дерево лингвистических компонентов и способы их группировки для образования предложения.
Все эти обозначения, однако, становятся малопригодными в случаях исследования каких-то очень крупных объектов. Однако в диаграммах Фейнмана обычно используется две петли, а пять петель — максимум, для которого когда-либо были сделаны явные общие вычисления.
Шрифты и символы
Я обещал рассказать кое-что о символах и шрифтах.
В Mathematica 3 нам пришлось проделать большую работу чтобы разработать шрифты для более чем 1100 символов, имеющих отношение к математической и технической нотации.
Получение правильной формы — даже для греческих букв — часто было достаточно сложным. С одной стороны, мы хотели сохранить некоторую традиционность в написании, а с другой — сделать греческие буквы максимально непохожими на английские и какие бы то ни было другие.
В конце концов я сделал эскизы для большинства символов. Вот к чему мы пришли для греческих букв. Мы разработали Times-подобный шрифт, моноширинный наподобие Courier, а сейчас разрабатываем sans serif. Разработать шрифт Courier было непростой задачей. Нужно, к примеру, было придумать, как сделать так, чтобы йота занимала весь слот под символ.
Так же сложности были со скриптовыми и готическими (фактурными) шрифтами. Часто в этих шрифтах буквы настолько непохожи на обычные английские, что становятся абсолютно нечитаемыми. Мы хотели, чтобы эти шрифты вписывались в соответствующую им тему, и, тем не менее, обладали бы теми же габаритами, что и обычные английские буквы.
Вот, что у нас получилось:
Веб сайт fonts.wolfram.com, в котором собрана вся детальная информация о символах и шрифтах, разумеется, если они имеют отношение к Mathematica и её шрифтам.
Поиск математических формул
Некоторые люди спрашивали о поиске математических формул [после создания Wolfram|Alpha появился гигантский объем баз данных, доступных в языке Wolfram Language, теперь можно получить огромный массив информации о любых формулах с помощью функции
MathematicalFunctionData— прим. ред.].
Очевидно легко сказать, что же такое поиск обычного текста. Единственная вопрос заключается в эквивалентности строчных и прописных букв.
Для математических формул всё сложнее, потому что есть ещё много различных эквивалентностей. Если спрашивать о всех возможных эквивалентностях, то всё станет слишком сложным. Но, если спросить об эквивалентностях, которые просто подразумевают замену одной переменной другой, то всегда можно определить, эквивалентны ли два выражения.
Однако, для этого потребуется мощь обнаружителя одинаковых паттернов Mathematica.
Мы планируем встроить возможности по поиску формул в наш сайт functions.wolfram.com, однако тут я не буду останавливаться на подробностях.
Невизуальные обозначения
Кто-то спрашивал о невизуальных обозначениях.
Первая мысль, которая у меня возникла, заключалась в том, что человеческое зрение даёт гораздо больше информации, чем, скажем, слух. В конце концов, с нашими глазами соединён миллион нервных окончаний, а с ушами лишь 50 000.
В Mathematica встроены возможности по генерации звуков начиная со второй версии, которая была выпущена в 1991 году. И были некоторые моменты, когда эта функция оказывалась полезной для понимания каких-то данных.
Однако я никогда не находил подобную функцию полезной для чего-то, связанного с обозначениями.
Доказательства
Кто-то спрашивал о представлении доказательств.
Самая большая проблема заключается в представлении длинных доказательств, которые были автоматически найдены с помощью компьютера.
Большое количество работы было проделано для представления доказательств в Mathematica. Примером является проект Theorema.
Самые сложные для представления доказательства — скажем, в логике — представляют из себя некоторую последовательность преобразований. Вот пример такого доказательства:
Даны аксиомы Шеффера для логики (f это NAND):
{f[f[a,a],f[a,a]]==a,f[a,f[b,f[b,b]]]==f[a,a], f[f[a,f[b,c]],f[a,f[b,c]]]==f[f[f[b,b],a],f[f[c,c],a]]}
Доказать коммутативность, то есть что f[a,b]==f[b,a]:
Замечание (a b) есть Nand[a,b]. В этом доказательстве L == лемма, A == аксиома, и T == теорема.
Отбор символов
Я хотел бы кое-что рассказать о выборе символов для использования в математической нотации.
Существует около 2500 часто используемых символов, которые не встречаются в обычном тексте.
Некоторые из них слишком картинны — скажем, обозначение для хрупких предметов. Некоторые слишком витиеватые. Некоторые полны чёрной заливки, так что они будут слишком сильно выделяться на странице (символ радиации, например).
Но некоторые могут быть вполне приемлемыми.
Если заглянуть в историю, часто можно наблюдать картину, как со временем написание некоторых символов упрощается.
Особой проблемой, с которой я не так давно столкнулся, был выбор хорошего обозначения для таких логических операций, как NAND, NOR, XOR.
В литературе по логике NAND обозначается по-разному:
Ни одно из этих обозначений мне особо не нравилось. В основном они наполнены тонкими линиями и недостаточно цельны для того, чтобы представлять бинарные операторы. Однако они передают своё содержание.
Я пришёл к следующему обозначению для оператора NAND, который основан на стандартном, однако имеющим улучшенную визуальную форму. Вот текущая версия того, к чему я пришёл:
Частотное распределение символов
Я упоминал о частотном распределении греческих букв в MathWorld.
В дополнение к этому я также посчитал количество различных объектов, именуемых с помощью букв, которые появляются в словаре физических терминов и математических сокращений. Вот результаты.
В более ранних образцах математической нотации, скажем, в 17 веке, обычные слова шли вперемешку с различными символами.
Однако всё более в таких сферах, как математика и физика, проявлялась тенденция к исключению слов из обозначений и именования переменных одной или двумя буквами.
В некоторых областях инженерии и социальных наук, куда математика дошла не так давно и не является слишком абстрактной, обычные слова гораздо чаще можно встретить в качестве имён переменных.
Та же история с современными тенденциями в программировании. И всё работает хорошо, пока формулы достаточно просты. Однако по мере усложнения формул нарушается их визуальный баланс, и становится уже сложно разглядеть их общую структуру.
Части речи в математической нотации
В разговоре о соответствии языка математики и обычного языка я хотел упомянуть вопрос частей речи.
Насколько я знаю, во всех обычных языках есть глаголы и существительные, и в большинстве из них есть прилагательные, наречия и др.
В математической нотации можно представлять переменные как существительные и глаголы как операторы.
А что насчёт других частей речи?
Вещи наподобие иногда играют роль союзов, как и в обычных языках (примечательно, что во всех языках есть отдельные слова для AND и OR, однако ни в одном нет слова для NAND). А в качестве префиксного оператора может рассматриваться как прилагательное.
Однако не до конца ясно, в какой мере различные виды лингвистических структур, связанные с частями речи на обычном языке, отражены в математическом обозначении.
По вопросам о технологиях Wolfram пишите на [email protected]
Условные обозначения по системе Брайля при обучении математике и языку: практическое пособие
Условные обозначения по системе Брайля при обучении математике и языку: практическое пособие
By Инна Леонтьевна Лукша (Башкирова) and Владимир Викторович Гордейко
Abstract
В пособии дается характеристика письма рельефно-точечным шрифтом Луи Брайля, раскрывается система брайлевских обозначений, используемая при обучении незрячих школьников русскому и белорусскому языкам, математике. Адресуется студентам факультета специального образования, педагогам, работающим с незрячими детьми
Topics: издания БГПУ, незрячие школьники, рельефно-точечный шрифт Луи Брайля, математическая символика, условные обозначения при изучении языка
Publisher: БГПУ
Year: 2010
OAI identifier: oai:localhost:doc/4402
Некоторые символы математического языка — урок. Алгебра, 8 класс.
Натуральные числа — это числа, используемые для счёта предметов или для указания порядкового номера того или иного предмета среди однородных предметов.
ℕ — обозначение множества всех натуральных чисел.ℤ — множество целых чисел. Оно состоит из натуральных чисел, им противоположных и нуля.
Пример:
\(…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …\)
ℚ — множество рациональных чисел.
Оно получается из множества целых чисел, если к ним добавить обыкновенные дроби: 13,5152,−85….
Множество ℚ рациональных чисел — это множество, состоящее из чисел вида mn;−mn (где \(m\), \(n\) — натуральные числа) и числа \(0\).
Очевидно, ℕ — составной компонент множества ℤ, а ℤ — составной компонент множества ℚ. Обозначается это так: ℕ⊂ℤ;ℤ⊂ℚ.
⊂ — знак включения.
Запись x∈X показывает, что \(x\) — элемент множества \(X\).
Запись A⊂B показывает, что множество \(A\) — часть множества \(B\). Говорят: \(A\) — подмножество множества \(B\).
Для записи, что элемент \(x\) не принадлежит множеству \(X\) или что множество \(A\) не является подмножеством множества \(B\), используют символы принадлежности, перечёркнутые чертой: x∉X,A⊄B.
Данные математические символы используют для компактной записи верных математических утверждений, называемых истинными высказываниями.
Пример:
7∈ℕ;7∈ℤ;7∈ℚ;−5∉ℕ;ℕ⊂ℚ;ℤ⊄ℕ;2∈1;6;1;3⊂−2;8.
Каждое рациональное число может быть записано десятичной дробью (конечной или бесконечной периодической):
722=0,3181818…=0,3(18);4=4,000…=4,(0);7,3777=7,37770000…=7,3777(0).
Обратное утверждение также верно: каждую бесконечную десятичную периодическую дробь можно записать обыкновенной дробью. Следовательно, любая бесконечная десятичная периодическая дробь является рациональным числом.
Переведём бесконечную десятичную периодическую дробь 4,5(28) в обыкновенную дробь.
Пусть \(x=\) 4,5(28), т. е. \(x=\) 4,5282828… и т.д.
Сначала нужно передвинуть запятую, чтобы она стояла перед периодом. Для этого число \(x\) умножим на \(10\). Получим 10x=45,282828… и т.д.
Теперь передвинем запятую так, чтобы она стояла после периода. Для этого число \(x\) умножим на \(1000\). Получим 1000x=4528,282828… и т.д.
Вычтем из второго равенства первое равенство.
1000x=4528,282828…10x=45,282828…
990x=4483¯
Отсюда x=4483990=4523990.
Приведём примеры перевода бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную в сокращённой записи.
Пример:
1,(23)=123−199=12299=12399;1,5(23)=1523−5990=1518990=1259495.
Почему нам не прожить без ноля, и что это число дало человечеству
- Ханна Фрай
- для BBC Future
Автор фото, iStock
Математик Ханна Фрай рассказывает захватывающую историю открытия числа ноль и объясняет, почему без него мы не смогли бы предсказывать будущее.
В основе науки, техники и математики лежит ничто — вернее, ноль.
Это дерзкая и влиятельная цифра вызвала больше споров и восторгов, чем любой другой известный мне математический знак.
Начнем с того, что оно позволяет нам предсказывать будущее. Но чтобы узнать причину этого и понять всю силу ноля, необходимо сначала ознакомиться с историей его появления и становления, ведь путь ноля к величию был очень непростым.
Ноль как понятие встречается уже с древних времен — его можно найти в памятниках культуры вавилонян и майя, использовавших эту цифру для расчета календаря.
Древние ученые пользовались им для обозначения отсутствия числа, как это делаем мы в числах наподобие 101 или 102, чтобы показать, что в разряде десятков нет числа, кратного 10. Вавилоняне же для этого использовали два клиновидных знака.
Автор фото, Wikipedia
Подпись к фото,Вавилонский символ, означавший отсутствие числа
Тем не менее прошло целых два тысячелетия, прежде чем ноль, при всей его математической значимости, стали воспринимать как настоящее число. И случилось это в Индии.
По словам писателя-математика Алекса Беллоса, Индия была для этого идеальным местом.
«Глубоко в индийской культуре заложена идея о том, что ничто — это на самом деле что-то, — говорит он. — Если есть «нирвана», то есть состояние небытия, отсутствия тревог и желаний, то почему бы не придумать символ для обозначения «ничего»?
Этот символ получил название «шунья», и сегодня это слово используется для обозначения и понятия «ничто», и нуля как числа.
Несмотря на то, что форма всех других цифр, используемых нами сегодня, существенно изменилась за время их существования, ноль всегда обозначали окружностью.
До того как я начала (в рамках подготовки к программе «Любопытные истории Резерфорда и Фрай») подробно изучать историю возникновения ноля, я всегда считала, что отсутствие чего-либо символизирует именно пустое пространство внутри круга.
Однако, согласно индийской мифологии, ноль круглый потому, что символизирует жизненный цикл, или, как его еще называют, «змею вечности».
Автор фото, iStock
Подпись к фото,Влияние ноля на развитие нашего общества сложно переоценить
В становлении ноля важную роль сыграл индийский астроном Брахмагупта, живший в 7 веке н.э. В математике шунья использовалась не только для обозначения отсутствия числа в какой-либо позиции, но и для расчетов, как и любое другое число.
Его можно было прибавлять и отнимать, а также умножать на него.
Что касается деления на ноль, этот вопрос остается довольно сложным, но именно эта сложность способствовала возникновению совершенно нового замечательного раздела математики.
Однако об этом мы поговорим чуть позже.
Закрепив свое присутствие в Южной Азии, ноль отправился на Ближний Восток, где был взят на вооружение исламскими учеными, которые сделали его частью используемой нами сегодня арабской системы счисления.
(Некоторые историки считают, что индийское происхождение ноля незаслуженно игнорируется, и эту систему все же следует называть индо-арабской).
Тем не менее после столь блестящего в духовном и интеллектуальном смысле начала нолю пришлось очень непросто.
Он попал в Европу во времена христианских крестовых походов против ислама. Любые идеи арабов, даже в математике, встречались с неизменным скептицизмом и недоверием.
В 1299 году ноль, равно как и все остальные арабские цифры, был запрещен во Флоренции. Произошло это потому, что ноль считали находкой для мошенников.
Его легко было исправить на девять или, например, добавить пару нолей к сумме расписки, чтобы увеличить сумму долга.
Более того, считалось, что ноль создает опасный прецедент, ведь само его существование предполагает существование отрицательных чисел, что, в свою очередь, ведет к признанию таких понятий как долг и заимодавство.
Нулевой триумф
Невероятно, но факт: ноль, как и другие арабские цифры, получил окончательное признание лишь в XV веке.
Для сравнения приведем простой пример: к тому времени Оксфордский университет в Англии существовал уже несколько веков, а в Европе вовсю развивалось книгопечатание.
Без сомнения, и то, и другое помогло такому понятию, как ноль, навсегда закрепиться в математике. Именно благодаря ему были созданы самые удивительные научные и технологические методы, которыми мы пользуемся сегодня.
Автор фото, Getty Images
Подпись к фото,Сегодня ноль используется повсеместно, но когда-то он был спорным понятием
Настоящий триумф этой цифры пришелся на XVII век, когда она стала основой для системы координат, изобретенной французским философом Декартом (все мы помним графики с осями x and y, которые рисовали в школе).
Его система до сих пор используется в различных областях науки, от техники до компьютерной графики.
Об этом чрезвычайно красиво сказал Беллос: «Искру Возрождения зажег приход арабской системы счисления и, в частности, ноля. Когда это произошло, черно-белый мир арифметики вдруг заиграл разными красками и цветами».
Впрочем, в эпоху Возрождения ноль приобрел такой большой вес, что вновь стал причиной разногласий.
Ранее я уже упоминала проблему деления на ноль. Еще более спорный вопрос о том, можно ли ноль делить на ноль, является основой для одного из моих любимейших разделов математики — математического анализа.
Математический анализ — это математика изменений. Благодаря ему у нас есть хитрые приемы, позволяющие предугадать то, что случится в будущем — от темпов распространения Эболы до колебаний на рынке ценных бумаг. Это и вправду очень мощный инструмент.
То, как функционирует математический анализ, можно описать одним абзацем. Представьте, что вы нарисовали график изменения какой-либо величины с течением времени — например, вашего внимания по мере прочтения этой статьи.
Иногда вы можете отвлекаться (на отрывке про декартову систему координат, например), и поэтому линия графика будет неровной.
Но если любой отрезок этой кривой увеличить достаточно сильно, он будет выглядеть как прямая линия.
Увеличьте его еще больше, до тех пор пока отрезки кривой не станут бесконечно малыми и приближающимися к нолю, и тогда даже самая непредсказуемая зависимость превратится в аккуратные прямые линии, которые очень легко обработать при помощи математических методов.
Математический анализ можно использовать для описания практически любых изменений, от колебаний курсов акций до усваивания лекарственного препарата в организме человека.
Без понятия ноля как числа это было бы невозможно.
Поэтому давайте поднимем бокал с идеально сферическими пузырьками за самое округлое и всесильное число в истории.
О-большое и связанные с ним обозначения
Пауль Бахман
Эдмунд Ландау
Здесь Вы найдете различные общепринятые обозначения (“О” большое и связанные с ним обозначения), введенные Паулем Бахманом и Эдмундом Ландау.
Бесконечные пределы
Самым распространенным случаем является употребление этих обозначений при . Мы сначала рассмотрим именно это.
Обозначение при означает, что при достаточно больших функция удовлетворяет условию , где — некоторая положительная постоянная.
Точнее, при , если существуют такие положительные постоянные и , что для всех , которые удовлетворяют условию .
Тогда как запись через “О” большое означает ограниченность сверху, обозначение означает ограниченность снизу. Опять же рассмотрим поведение функции на бесконечности. Говорят, что при , если существуют такие положительные постоянные и , что для любого .
Обозначение означает, что одновременно и .
Осталось еще два обозначения: (греческая буква омикрон) и (строчная греческая буква омега). Обозначение омикрон также называют “о” малым.
Говорят, что , если при частное стремится к нулю.
Говорят также, что , если это частное стремится к бесконечности.
Конечные пределы
Все приведенные выше идеи остаются практически теми же для конечных пределов, хотя технические детали определения и отличаются.
при , если существуют такие положительные постоянные и , что для всех , которые удовлетворяют условию .
при , если существуют такие положительные постоянные и , что для всех , которые удовлетворяют условию .
при , если при стремится к .
при , если при стремится к бесконечности.
Часто можно видеть такие утверждения, как без явных ограничений. В этих случаях необходимо из контекста определять, какой предел подразумевается.
Использование
Обозначение “O” большое является общепринятым и в математике, и в информатике. Однако некоторые другие обозначения являются общепринятыми только в одной из этих областей.
В информатике акцент делается почти всегда на поведение алгоритма с ростом размерности задачи , поэтому неявно считается, что стремится к бесконечности. Обозначения и гораздо чаще используются в информатике, чем в математике. Обозначение “о” малое в информатике используется редко.
В математике обозначение “О” большое является общим для бесконечных и конечных пределов. Обозначение “о” малое следующее по популярности. Обозначения и являются редкими.
Обозначение не является распространенным ни в информатике, ни в математике.
Источники: http://www.johndcook.com/asymptotic_notation.html
http://ru.wikipedia.org/wiki/«O»_большое_и_«o»_малое
| Знак | Значение | |
| = | равно | |
| ≡ | тождественно равно | |
| ≈ | приближённо равно | |
| ≠ | не равно | |
| < | меньше | |
| > | больше | |
| ≤ | меньше или равно | |
| ≥ | больше или равно | |
| + | плюс (знак сложения) | |
| % | процент | |
| — | минус (знак вычитания) | |
| * или x | знаки умножения (часто опускаются: а*b = axb = ab) | |
| m | масса | |
| : | знак деления | |
| аn | возведение числа а в степень n (n — показатель степени) | |
| знак квадратного корня (квадратный корень из числа а) | ||
| корень n-ой степени из числа а | ||
| ( ), [ ],{} | скобки (круглые, квадратные и фигурные — для обозначения последовательности действий) | |
| ┴ | перпендикулярно | |
| ║ | параллельно | |
| ~ | подобно | |
| ∆ | треугольник | |
| ‹ | угол | |
| ( | дуга | |
| 0 | градус | |
| ‘ | минута | |
| « | секунда | |
| const | константа (постоянная величина) | |
| π | отношение длины любой окружности к её диаметру | |
| e | основание натуральных логарифмов | |
| ∞ | бесконечность | |
| f(x) | функция независимого переменного (аргумента) х | |
| sin | синус | |
| cos | косинус | |
| tg | тангенс | |
| ctg | котангенс | |
| sec | секанс | |
| cosec | косеканс | |
| arcsin | арксинус | |
| arccos | арккосинус | |
| arctg | арктангенс | |
| arcctg | арккотангенс | |
| sh | синус гиперболический | |
| ch | косинус гиперболический | |
| th | тангенс гиперболический | |
| cth | котангенс гиперболический | |
| sch | секанс гиперболический | |
| csch | косеканс гиперболический | |
| Ig, ln | логарифмическая функция | |
| loga | логарифм по основанию а | |
| Igb | десятичный логарифм числа b | |
| Inb | натуральный (по основанию е) логарифм числа b | |
| lim | предел | |
| предел функции (выражения) при стремлении аргумента к величине а (а может быть ± ∞) | ||
| сумма | ||
| сумма последовательности членов An, где n — целое число (номер), которое может меняться от a до b (a и b — целые числа, могут быть a = — ∞, b = + ∞) | ||
| производная функции по аргументу (переменной) х | ||
| производная функции нескольких переменных по одному из них (частная производная) | ||
| интеграл функции (неопределённый) | ||
| определённый интеграл (в пределах от а до b; а и b могут быть: а = — ∞, b = + ∞) | ||
| i | мнимая единица | |
| a + bi | запись комплексного числа w (a — действительная часть, b — мнимая часть) | |
| R(w) | запись действительной части а | |
| Im(w) | запись коэффициента мнимой части b | |
| |w| | модуль комплексного числа w | |
| сопряжённое комплексное число ( = а -ib) | ||
| или a | обозначение вектора | |
| |a| | модуль (длина) вектора | |
| единичные векторы (орты) в трёхмерной декартовой системе координат | ||
| ax, ay, az | компоненты вектора а в декартовой системе координат | |
| скалярное произведение двух векторов (в декартовой системе координат) | ||
| векторное произведение векторов, в декартовой системе координат | ||
| оператор Гамильтона («набла») | ||
| оператор Лапласа («дельта») | ||
| grad | градиент скалярного поля | |
| div | дивергенция векторного поля | |
| n! =1•2•3•…•n | факториал — целое число (принимается, что 0! = 1) | |
| целая часть числа, антье |
Скобки в математике: их виды и предназначение
В данной статье рассказывается о скобках в математике и рассматриваются виды и применения, термины и методы использования при решении или для описания материала. В заключение будут решены подобные примеры с подробными комментариями.
Основные виды скобок, обозначения, терминология
Для решения заданий в математике используются три вида скобок: ( ), [ ], { }. Реже встречаются скобки такого вида ] и [, называемые обратными, или < и >, то есть в виде уголка. Их применение всегда парное, то есть имеется открывающаяся и закрывающаяся скобка в любом выражении, тогда оно имеет смысл . скобки позволяют разграничить и определить последовательность действий.
Фигурная непарная скобка типа { встречается при решении систем уравнений, что обозначает пересечение заданных множеств, а [ скобка используется при их объединении. Далее рассмотрим их применение.
Скобки для указания порядка выполнения действий
Основное предназначение скобок – указание порядка выполняемых действий. Тогда выражение может иметь одну или несколько пар круглых скобок. По правилу всегда выполняется первым действие в скобках, после чего умножение и деление, а позже сложение и вычитание.
Пример 1Рассмотрим на примере заданное выражение. Если дан пример вида 5+3-2, тогда очевидно, что действия выполняются последовательно. Когда это же выражение записывается со скобками, тогда их последовательность меняется. То есть при (5+3)-2 первое действие выполняется в скобках. В данном случае изменений не будет. Если выражение будет записано в виде 5+(3-2), тогда в начале производятся вычисления в скобках, после чего сложение с числом 5. На исходное значение в этом случае оно не повлияет.
Пример 2Рассмотрим пример, который покажет, как при изменении положения скобок может измениться результат. Если дано выражение 5+2·4, видно, что вначале выполняется умножение, после чего сложение. Когда выражение будет иметь вид (5+2)·4, то вначале выполнится действие в скобках, после чего произведется умножение. Результаты выражений будут отличаться.
Выражения могут содержать несколько пар скобок, тогда выполнения действий начинаются с первой. В выражении вида (4+5·2)−0,5:(7−2):(2+1+12) видно, что первым делом выполняются действия в скобках, после чего деления, а в конце вычитание.
Существуют примеры, где имеются вложенные сложные скобки вида 4·6-3+8:2 и 5·(1+(8-2·3+5)-2))-4. Тогда начинается выполнение действий с внутренних скобок. Далее производится продвижение к внешним.
Пример 3Если имеется выражение 4·6-3+8:2, тогда очевидно, что в первую очередь выполняются действия в скобках. Значит, следует отнять 3 от 6, умножить на 4 и прибавить 8. В конце следует разделить на 2. Только так можно получить верный ответ.
На письме могут быть использованы скобки разных размеров. Это делается для удобства и возможности отличия одной пары от другой. Внешние скобки всегда большего размера, чем внутренние. То есть получаем выражение вида 5-1:2+12+3-13·2·3-4. Редко встречается применение выделенных скобок (2+2·(2+(5·4−4)))·(6:2−3·7)·(5−3) или применяют квадратные, например, [3+5·(3−1)]·7 или фигурные {5+[7−12:(8−5):3]+7−2}:[3+5+6:(5−2−1)].
Перед тем, как приступить к решению, важно правильно определить порядок действий и разобрать все необходимые пары скобок. Для этого следует добавлять разные виды скобок или менять их цвет. Пометка скобки другим цветом удобна для решения, но занимает много времени, поэтому на практике чаще всего применяют круглые, фигурные и квадратные скобки.
Отрицательные числа в скобках
Если необходимо изобразить отрицательные числа, тогда применяют круглые скобки в выражении. Такая запись, как 5+(−3)+(−2)·(−1), 5+-23, 257-5+-673·(-2)·-3,5 предназначена для того, чтобы упорядочить отрицательные числа в выражении.
Скобки не ставятся для отрицательного числа того, когда оно располагается в начале любого выражения или дроби. Если имеем пример вида −5·4+(−4):2, то очевидно, что знак минуса перед 5 можно не заключать в скобки, а при 3-0,4-2,2·3+7+3-1:2 число 2,2 записано вначале, значит скобки также не нужны. Со скобками можно записать выражение (−5)·4+(−4):2 или 3-0,4-2,2·3+7+3-1:2. Запись, где имеются скобки, считается более строгой.
Знак минуса может находиться не только перед числом, но и перед переменными, степенями, корнями, дробями, функциями, тогда их следует заключить в скобки.x+3 на выходе получим 2x+3.
Основание степени не нуждается в скобках. Поэтому запись принимает вид 03, 5×2+5, y0,5. Если в основании имеется дробное число, тогда можно использовать круглые скобки. Получаем выражения вида (0,75)2, 22332+1, (3·x+2·y)-3, log2x-2-12x-1.
Если выражение основания степени не взять в скобки, тогда показатель может относиться ко всему выражению, что повлечет за собой неправильное решение. Когда имеется выражение вида x2+y, а -2 – это его степень, то запись примет вид (x2+y)-2. При отсутствии скобок выражение приняло бы вид x2+y-2, что является совершенно другим выражением.
Если основанием степени является логарифм или тригонометрическая функция с целым показателем, тогда запись приобретает вид sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg, arcctg, log, ln или lg. При записи выражения вида sin2x, arccos3y, ln5e и log52x видим, что скобки перед функциями не меняют значения всего выражения, то есть они равноценны. Получаем записи вида (sin x)2, (arccos y)3, (lne)5и log5 x2. Допустимо опущение скобок.
Скобки в выражениях с корнями
Использование скобок в подкоренном выражении бессмысленно, так как выражение вида x+1 и x+1 являются равнозначными. Скобки не дадут изменений при решении.
Скобки в выражениях с тригонометрическими функциями
Если имеются отрицательные выражения у функций типа синус, косинус, тангенс, котангенс, арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, тогда необходимо использовать круглые скобки. Это позволит правильно определить принадлежность выражения к имеющейся функции. То есть получим записи вида sin(−5), cos(x+2), arctg1x-223.
При записи sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg и arcctg при имеющемся числе скобки не используют. Когда в записи присутствует выражение, тогда имеет смысл их поставить. То есть sinπ3, tgx+π2, arcsinx2, arctg33 с корнями и степенями, cosx2-1, arctg 32, ctgx+1-3 и подобные выражения.
Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!
Описать заданиеЕсли в выражении содержатся кратные углы типа х, 2х, 3х и так далее, скобки опускаются. Разрешено записывать в виде sin 2x, ctg 7x, cos 3α. Во избежание двусмысленности скобки можно добавить в выражение. Тогда получаем запись вида sin(2·x):2 вместо sin2·x:2.
Скобки в выражениях с логарифмами
Чаще всего все выражения логарифмической функции заключаются в скобки для дальнейшего правильного решения. То есть получаем ln(e−1+e1), log3(x2+3·x+7), lg((x+1)·(x−2)). Опущение скобок разрешено в том случае, когда однозначно понятно, к какому выражению относится сам логарифм. Если есть дробь, корень или функция можно записывать выражения в виде log2x5, lgx-5, ln5·x-53-5.
Скобки в пределах
При имеющихся пределах используют скобки для представления выражения самого предела. То есть при суммах, произведениях, частных или разностях принято записывать выражения в скобках. Получаем, что limn→51n+n-2 и limx→0x+5·x-3x-1x+x+1:x+2×2+3. Опущение скобок предполагается, когда имеется простая дробь или очевидно, к какому выражению относится знак. Например, limx→∞1x или limx→0(1+x)1x.
Скобки и производная
При нахождении производной часто можно встретить применение круглых скобок. Если имеется сложное выражение, тогда вся запись берется в скобки . Например, (x+1)’ или sin xx-x+1.
Подынтегральные выражения в скобках
Если необходимо проинтегрировать выражение, то следует записать его в круглых скобках. Тогда пример примет вид ∫(x2+3x)dx, ∫-11(sin 2x-3)dx, ∭V(3xy+z)dxdydz.
Скобки, отделяющие аргумент функции
При наличии функции чаще всего применяются круглые скобки для их обозначения. Когда дана функция f с переменной х, тогда запись принимает вид f(x). Если имеются несколько аргументов функций, то такая функция получит вид F (x, y , z, t).
Скобки в периодических десятичных дробях
Использование периода обусловлено применением скобок при записи. Сам период десятичной дроби заключается в скобки. Если дана десятинная дробь вида 0,232323… тогда очевидно, что 2 и 3 мы заключаем в круглые скобки. Запись приобретает вид 0,(23). Это характерно для любой записи периодической дроби.
Скобки для обозначения числовых промежутков
Для того, чтобы изобразить числовые промежутки применяют скобки четырех видов: ( ), ( ], [ ) и [ ]. В скобках прописываются промежутки, в каких функция существует, то есть имеет решение. Круглая скобка означает, что число не входит в область определения, квадратная – входит. При наличии бесконечности принято изображать круглую скобку.
То есть при изображении промежутков получим, что (0, 5), [−0,5, 12), -1012, -523, [5, 700], (−∞, −4], (−3, +∞), (−∞, +∞). Не вся литература одинаково использует скобки. Есть случаи, когда можно увидеть запись такого вида ]0, 1[, что означает (0,1) или [0, 1[, что значит [0, 1), причем смысл выражения не меняется.
Обозначения систем и совокупностей уравнений и неравенств
Системы уравнений, неравенств принято записывать при помощи фигурной скобки вида { . Это означает, что все неравенства или уравнения объединены этой скобкой. Рассмотрим на примере использования скобки. Система уравнений вида x2-1=0x2+x-2=0 или неравенства с двумя переменными x2-y>03x+2y≤3, cos x12x+π3=02×2-4≥5 -система, состоящая из двух уравнений и одного неравенства.
Использование фигурных скобок относится к изображению пересечения множеств. При решении системы с фигурной скобкой фактически приходим к пересечению заданных уравнений. Квадратная скобка служит для объединения.
Уравнения и неравенства обозначаются [ скобкой в том случае, если необходимо изобразить совокупность. Тогда получаем примеры вида (x-1)(x+7)=0x-2=12+x2-x+3 и x>2x-5y=72x+3y≥1
Можно встретить выражения, где имеются и система и совокупность:
x≥5x<3x>4,5
Фигурная скобка для обозначения кусочной функции
Кусочная функция изображается при помощи одиночной фигурной скобки, где имеются формулы, определяющие функцию, содержащие необходимые промежутки. Посмотрим на примере формулы с содержанием промежутков типа x=x, x≥0-x, x<0, где имеется кусочная функция.
Скобки для указания координат точки
Для того, чтобы изобразить координатные точки в виде промежутков, используют круглые скобки. Они могут быть расположены как на координатной прямой, так и в прямоугольной системе координат или n-мерном пространстве.
Когда координата записывается как А(1), то означает, что точка А имеет координату со значением 1, тогда Q(x, y, z) говорит о том, что точка Q содержит координаты x, y, z.
Скобки для перечисления элементов множества
Множества задаются при помощи перечисления элементов, входящих в его область. Это выполняется при помощи фигурных скобок, где сами элементы прописываются через запятую. Запись выглядит таким образом А={1, 2,3, 4}. Видно, что множество состоит из значений, перечисленных в скобках.
Скобки и координаты векторов
При рассмотрении векторов в системе координат используется понятие координат вектора. То есть при обозначении используют координаты, которые записаны в виде перечисления в скобках.
Учебники предлагают два вида обозначения: a→0; -3 или a→0; -3. Обе записи равнозначны и имеют значение координат 0, -3. При изображении в трехмерном пространстве добавляется еще одна координата. Тогда запись выглядит так: AB→0, -3, 23 или AB→0, -3, 23.
Обозначение координат может быть как со значком вектора на самом векторе, так и без. Но запись координат производится через запятую в виде перечисления. Запись принимает вид a=(2, 4, −2, 6, 12), где вектор обозначается в пятимерном пространстве. Реже можно увидеть обозначение двумерного пространства в виде a=3-7
Скобки для указания элементов матриц
Частое применение скобок предусмотрено в матрицах. Все элементы фиксируются при помощи круглых скобок вида A=423-30012.
Реже можно увидеть использование квадратных скобок.
Тогда матрица приобретает вид A=423-30012.
Математическая система обозначений нарушена — The Reflective Educator
Проведя последние десять лет, обучая студентов математической нотации (одновременно обучая математическим понятиям, описываемым этими символами), я часто размышлял о , насколько эффективным и удивительным является , и как, к сожалению, сломан часто.
Некоторые обозначения демонстрируют некоторую силу математического мышления (например, алгебра), но некоторые обозначения явно не предназначены для ясности.На самом деле, я подозреваю, что большая часть математических обозначений была изобретена для экономии места.
Конечно, можно захотеть сэкономить место с помощью математических символов, потому что раньше бумага была дорогой, но я подозреваю, что это не главная причина, по которой математические символы так плотно упакованы информацией. Кроме того, использование более четких математических обозначений отнимает много времени, а математики любят быть краткими. Фактически, я часто замечал, что математики часто приравнивают длину математического доказательства к его элегантности, что со временем могло оказать давление на сокращение обозначений, используемых для описания этих доказательств.Несколько математиков внесли большой вклад в математическую систему обозначений, в первую очередь Леонард Эйлер, и стремление этих немногих математиков к краткости определило обозначения, которые мы используем сегодня для коммуникационной математики.
Посмотрите, например, на сигма-нотацию. Какое отношение имеет буква «сигма» в греческом алфавите к нахождению суммы вещей? Абсолютно ничего, насколько я могу судить. Согласно Дэйву Рэдклиффу , сигма (∑) является сокращением от summa (вероятно, потому что они начинаются с одного и того же звука), что на латыни означает сумма. Эйлер изобрел символ для суммирования , и с тех пор мы используем его. По сути, мы используем ∑ для обозначения суммы по историческим причинам.
Часть этого уравнения слева от самого левого знака равенства — это система суммирования, которой я учил много лет. Обычно мне приходится проводить урок, иногда два, чтобы объяснить этот конкретный набор обозначений. Краткость обозначений суммирования мало способствует пониманию этого утверждения.По сути, это эквивалентно следующему:
Суммирование (i, 3, 6, i 2 ) = 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 = 86
К сожалению, эта запись требует от нас запоминания порядка параметров в функции суммирования, но функционально она такая же, как и предыдущая, за исключением того, что нам дается еще одна информация; мы знаем, что будем делать какую-то сумму без необходимости запоминать значение сигмы.Приложив некоторую работу, мы сможем еще больше улучшить эту нотацию и обеспечить еще большую ясность.
Суммирование (индекс: i, начало: 3, конец: 6, функция: i2) = 32 + 42 + 52 + 62 = 86
Эта нотация несколько более ясна по сравнению со вторым вариантом, который я предложил, поскольку параметры определены внутри нотации. Это значительно больше времени на запись, чем исходная нотация (занимает вдвое больше места), но имеет огромное преимущество в том, что она значительно яснее. Кроме того, можно было представить, что если бы я вводил эту нотацию в компьютер, функция автозаполнения (которая является общей для редакторов кода) могла бы предлагать мне параметры, а также показывать мне определение параметра, когда я его ввожу.Наконец, эта нотация аналогична тому, как мы определяем функции в компьютерном программировании (на некоторых языках), и поэтому, когда мы обучаем математической нотации, мы также дадим нашим ученикам некоторую способность читать код компьютерного программирования.
Проблема нотации — нетривиальная проблема. Обозначения, используемые для объяснения математических идей, часто являются препятствием для некоторых студентов, которые учатся передавать математические идеи. Довольно часто студенты (а иногда и учителя) путают обучающую нотацию с изучением математики.
Кроме того, отличные обозначения на бумаге могут оказаться менее полезными на компьютере. Я потратил много часов на поиск решений, которые сделают добавление математических символов на веб-сайты более удобным, и обнаружил, что это не простой способ. У каждого метода есть недостатки, и нет такого удобного метода, как добавление одних и тех же символов на бумагу. С точки зрения использования математической системы обозначений на компьютерах, я пришел к выводу, что произойдет одно из двух (или и то, и другое). Компьютеры будут разрабатывать более чувствительные к прикосновениям интерфейсы, а разработчики программного обеспечения будут создавать программное обеспечение, распознающее текущие математические символы, или мы начнем изменять математические обозначения, чтобы их было легче вводить в компьютер.
Одно огромное преимущество нашей нынешней системы обозначений в том, что она в некоторой степени универсальна. По сути, во всем мире используется одна и та же нотация, и, выбрав нотацию, более удобную для любителей, мы будем создавать локализованные версии нотации для каждого языка, что, очевидно, проблематично. В компьютере это легко решается путем создания переводимых имен математических объектов, чтобы любой, кто просматривает математический документ, мог выбрать язык по своему усмотрению. В печати это больше проблема, и поэтому нам следует неохотно продолжать использовать наши существующие обозначения, пока мы не полностью перейдем от нашего традиционного печатного носителя, но чем больше мы используем компьютеры для передачи математических данных, тем более вероятно, следует исправить математические обозначения.
Обновление:
Вот пара критических замечаний к этому сообщению:
Страница не найдена | MIT
Перейти к содержанию ↓- Образование
- Исследовать
- Инновации
- Прием + помощь
- Студенческая жизнь
- Новости
- Выпускников
- О MIT
- Подробнее ↓
- Прием + помощь
- Студенческая жизнь
- Новости
- Выпускников
- О MIT
Попробуйте поискать что-нибудь еще! Что вы ищете? Увидеть больше результатов
Предложения или отзывы?
| \ (\ bot \) | перпендикулярно |
| \ (\ emptyset \) | Пустой набор — набор без элементов |
| \ (<\) | меньше |
| \ (> \) | больше |
| \ (\ geq \) | больше или равно |
| \ (\ leq \) | меньше или равно |
| \ (! \) | Fractorial |
| \ (\ rightarrow \) | , что означает, что |
| \ (\ leftrightarrow \) | тогда и только тогда, когда |
| \ (f (x) \) | Функция или отношение в переменной \ (x \) |
| \ ((а, б) \) | Заказанная пара.Это обозначение может использоваться в контексте описывающих множеств, множества, состоящего из всех действительных чисел, которые лежат между \ (a \) и \ (b \), если \ (a \) и \ (b \) являются действительными числами. Это обозначение может также использоваться для обозначения координат точки в двух измерениях. |
| \ (\ дюйм \) | является элементом |
| \ (\ notin \) | не является элементом |
| \ (\ substeq \) | — это подмножество |
| \ (\ подмножество \) | является правильным подмножеством |
| \ (\ чашка \) | Союз |
| \ (\ cap \) | Перекресток |
| \ (| а | \) | Абсолютное значение \ (a \) |
| \ (\ neq \) | не равно |
| острый угол | Угол, имеющий размер от \ (0 ^ \ circ \) до \ (90 ^ \ circ \).\ circ \). |
| гипотенуза | Сторона под прямым углом, противоположная прямому углу. |
| \ (\ overline {AB} \) | Длина отрезка \ (AB \) |
| \ (\ приблизительно \) | примерно равно |
| \ (\ sim \) | эквивалентно |
| \ (\ ln (x) \) | Натуральный логарифм \ (x \).Логарифм \ (x \) с основанием \ (e \). |
| \ (\ журнал (x) \) | Десятичный логарифм \ (x \). Логарифм \ (x \) с основанием \ (10 \). |
| \ (\ log_a (x) \) | Логариф от \ (x \) с основанием \ (a \), \ (a \ ne 1 \), \ (a> 1 \). |
| \ (\ infty \) | бесконечность |
| \ (\ alpha \) | Греческая буква — альфа |
| \ (\ beta \) | Греческое письмо — бета |
| \ (дом (ф) \) | Область отношения \ (f \) |
| \ (rg (f) \) | Диапазон отношения \ (f \) |
| \ (\ mathbb {R} \) | Набор всех действительных чисел |
| \ (\ mathbb {Q} \) | Набор всех рациональных чисел |
| \ (\ mathbb {Q ^ c} \) | Множество всех иррациональных чисел |
| \ (\ mathbb {N} \) | Множество всех натуральных чисел |
| \ (\ mathbb {Z} \) | Множество всех целых чисел |
большой список — Какие нотации, по вашему мнению, самые плохие?
большой список — Какие нотации, по вашему мнению, самые плохие? — MathOverflowСеть обмена стеков
Сеть Stack Exchange состоит из 177 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.
Посетить Stack Exchange- 0
- +0
- Авторизоваться Зарегистрироваться
MathOverflow — это сайт вопросов и ответов для профессиональных математиков.Регистрация займет всего минуту.
Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществуКто угодно может задать вопрос
Кто угодно может ответить
Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх
Спросил
Просмотрено 35к раз
$ \ begingroup $ В настоящее время этот вопрос не подходит для нашего формата вопросов и ответов.Мы ожидаем, что ответы будут подтверждены фактами, ссылками или опытом, но этот вопрос, скорее всего, повлечет за собой дебаты, аргументы, опросы или расширенное обсуждение. Если вы считаете, что этот вопрос можно улучшить и, возможно, снова открыть, обратитесь за помощью в справочный центр.Закрыт 11 лет назад.
С какими обозначениями вам неудобно?
$ \ endgroup $ 8 $ \ begingroup $Есть знаменитый анекдот о Барри Мазуре, который придумал худшую из возможных нотаций во время выступления на семинаре, чтобы рассердить Сержа Ланга.{-1} (x) $ означает $ \ textrm {arcsin} (x) $).
Это может быть не так уж и ужасно, поскольку оно редко приводит к путанице, но это непоследовательные обозначения, которых следует избегать в целом.
$ \ endgroup $ 7 $ \ begingroup $Я лично ненавижу обозначение $ x \ mid y $ для «$ x $ делит $ y $». Конечно, я уже привык это читать, но общий принцип, которому я следую и рекомендую:
Никогда не используйте симметричный символ для обозначения асимметричного отношения!
$ \ endgroup $ 11 $ \ begingroup $Мне никогда не нравилось обозначение $ {\ mathbb Z} _p $ для кольца классов вычетов по модулю $ p $.В какой-то момент это меня до чертиков сбило с толку, и этой путаницы легко избежать, написав $ C_p $, $ C (p) $ или $ {\ mathbb Z} / p $.
$ \ endgroup $ 18 $ \ begingroup $Математики действительно очень плохи, когда дело касается обозначений. Им следует учиться у людей, владеющих языками программирования. Плохая нотация на самом деле затрудняет понимание учащимися концепций. Вот несколько действительно плохих:
- Использование $ f (x) $ для обозначения как значения $ f $ в $ x $, так и самой функции $ f $.Из-за этого студенты на курсах программирования не могут отличить $ f $ (функция) от $ f (x) $ (функция, примененная к аргументу).
- Когда я был студентом, никому не удавалось объяснить мне, почему $ dy / dx $ имеет смысл. Что такое $ dy $, а что $ dx $? Это не числа, но мы их разделяем (я просто излагаю точку зрения студента).
- В механике Лангранжа и вариационном исчислении люди берут частную производную лагранжиана $ L $ по $ \ dot q $, где сама $ \ dot q $ является производной импульса $ q $ по времени.{ij}} _ j $ полезно, но к нему очень трудно привыкнуть.
- В теории категорий я бы хотел, чтобы люди иногда использовали любые обозначения вместо безымянных стрелок, которые представлены в сопроводительном тексте как «очевидная стрелка».
Физик возненавидит меня за это, но мне никогда не нравилось соглашение Эйнштейна о суммировании, а также знаменитые обозначения bra ($ \ langle \ phi | $) и ket ($ | \ psi \ rangle $).Обе нотации заставляют простые вещи выглядеть излишне сложными, и особенно нотацию на скобках неинтересно использовать в LaTeX.
$ \ endgroup $ 13 $ \ begingroup $Я думаю, что композиция стрелок $ f: X \ to Y $ и $ g: Y \ to Z $ должна быть написана $ fg $, а не $ gf $. Во-первых, это сделало бы обозначение $ \ hom (X, Y) \ to \ hom (Y, Z) \ to \ hom (X, Z) $ гораздо более естественным: $ \ hom (E, X) $ должно быть левый модуль $ \ hom (E, E) $, потому что $ E $ находится слева 🙂 Во-вторых, диаграммы пишутся слева направо (даже сильнее: почти все в западном мире пишется слева направо).И я думаю, что странная (-1), необходимая при переключении комплексов, является следствием этого искаженного обозначения .
$ \ endgroup $ 17 $ \ begingroup $Моим кандидатом была бы (внутренняя) прямая сумма подпространств $ U \ oplus V $ в линейной алгебре. Как оператор он эквивалентен суммированию, но с побочным эффектом подразумевает, что $ U \ cap V = \ lbrace 0 \ rbrace $. Всякий раз, когда у меня была возможность преподавать линейную алгебру, я находил это ужасно запутанным для студентов.
$ \ endgroup $ 5 $ \ begingroup $Обозначения] a, b [для открытых интервалов и им подобных. Простите, Бурбаки.
$ \ endgroup $ 16 $ \ begingroup $Запись конечного поля размера $ q $ в виде $ \ mathrm {GF} (q) $ вместо $ \ mathbf {F} _q $ всегда меня неправильно воспринимала.Я знаю, откуда оно взялось (Поле Галуа), и думаю, что оно до сих пор широко используется в информатике и, возможно, в некоторых смежных областях дискретной математики, но мне это все еще не нравится.
$ \ endgroup $ 17 $ \ begingroup $Как Тревор Вули всегда говорил в классе: «Нотация Виноградова — отстой … константы».
Для тех, кто не знает, обозначение Виноградова в этом контексте: $ f (x) \ ll g (x) $, что означает $ f (x) = O (g (x)).$ (то есть, если вы предпочитаете нотацию с большим О).
$ \ endgroup $ 9 $ \ begingroup $Мне самому не нравится обозначение $$ \ int _ {\ Omega} f (x) \, \ mu (dx) $$. Я понимаю, что так же, как знак интеграла является обобщенным знаком суммирования, $ dx $ в $ \ mu (dx) $ будет означать небольшое измеримое множество, из которого вы берете меру, но он все равно меня неправильно понимает. Это только потому, что меня воспитали в нотации $ \ int \ cdots \, d \ mu (x) $? Последнее прекрасно обобщает, по крайней мере, обозначение интеграла Стилтьеса.
$ \ endgroup $ 4 $ \ begingroup $Я очень расстраиваюсь, когда автор или докладчик пишет «Пусть $ X \ Colon = A \ sqcup B $ …» означает:
- $ A $ и $ B $ — непересекающиеся множества (в любой соответствующей вселенной),
- и пусть $ X \ Colon = A \ cup B $.
Если бы они имели в виду просто «образовать непересекающееся объединение $ A $ и $ B $», это было бы нормально. Но я видел, как динамики позже использовали тот факт, что $ A $ и $ B $ не пересекаются, о чем нигде не говорилось, кроме как выше.Никогда не следует скрывать предположения в своих обозначениях.
$ \ endgroup $ 10 $ \ begingroup $Использование квадратных скобок $ \ left [… \ right] $ для чего угодно. Само по себе это неплохо, но, к сожалению, оно используется как вместо $ \ left (… \ right) $ и как обозначение функции пола. И бывают случаи, когда нужно время, чтобы понять, что из этого имеется в виду — я не выдумываю.{\ ast} $, имеющий два совершенно разных значения.
Термин «симплектическая группа» означает группу $ U (n, {\ mathbb H}) $. Это как если бы люди называли $ U (n) $ и $ GL (n, {\ mathbb R}) $ одним именем.
$ \ endgroup $ 1 $ \ begingroup $Мне не нравится (но, может быть, по плохой причине), запись $ F \ vdash G $ для $ F $ остается сопряженной с $ G $.
Есть комментарии?
$ \ endgroup $ 8 $ \ begingroup $Моя личная любимая мозоль по нотации ДОЛЖНА быть алгебраистами, пишущими функции справа а-ля Херштейн «Topics In Algebra». Я не знаю, почему они это делают, а все остальные этого не делают. Я думаю, что один из них однажды встал и решил, что они хотят быть круче остальных, серьезно …
$ \ endgroup $ 13 $ \ begingroup $Замечательная идея, но сторонников которой я еще не нашел, — это D.Обозначения Г. Норткотта (используемые, по крайней мере, в [Northcott, DG A first course of homological algebra. Cambridge University Press, London, 1973]) для отображений в коммутативной диаграмме, которая состоит в перечислении имен объекты размещали вершины по пути композиции. Таким образом, если в поле зрения есть только одна карта от $ M $ до $ N $, он пишет ее просто $ MN $, поэтому у него есть формулы вида $$ A’A (ABB ») = A’ABB » = A’B’BB » = 0. $$ Он также пишет карты справа, поэтому его $$ xMN = 0 $$ означает, что изображение $ x $ под картой от $ M $ до $ N $ равно нулю. .3 $.
$ \ endgroup $ 8 $ \ begingroup $Я боролся с ‘dx’. Я потратил годы, пытаясь изучить все возможные подходы к исчислению, чтобы попытаться понять их смысл. Я читал об определениях пределов в своей первой книге, о векторном исчислении с ними в виде откатов линейных преобразований или потоков / потоков, дифференциальных формах из проекта моста, k-формах, нестандартном анализе, который увеличивает $ \ mathbb {R} $, чтобы дать вам бесконечно малые (и неограниченные числа), но те же свойства первого порядка, и позволяет определить интеграл как сумму, конструктивный анализ с использованием монады для преобразования рациональных чисел в вещественные числа…. но я все еще запутался, как и всегда, я понимаю, что математическая нотация не имеет композиционной семантики, но все еще не понимаю ее — одна из проблем заключается в том, что я не совсем понимаю ее или не имею какого-либо абстрактного определения об этом . n $ действительно плохой.{\ cdot n} $ вместо этого.
$ \ endgroup $ 15 MathOverflow лучше всего работает с включенным JavaScriptВаша конфиденциальность
Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь с тем, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в отношении файлов cookie.
Принимать все файлы cookie Настроить параметры
Обозначение интервалов| Блестящая вики по математике и науке
Интервалы записываются в прямоугольных скобках или скобках, а два числа разделяются запятой.Эти два числа называются конечными точками интервала. Число слева обозначает наименьший элемент или нижнюю границу. Число справа обозначает наибольший элемент или верхнюю границу.
Символы прямоугольных скобок, [], [\], [], используются для описания наборов с элементом «меньше или равно» или «больше или равно» соответственно. Они соответствуют символам ≥ \ ge≥ и ≤ \ le≤:
Неравенство: 3≤x≤9Интервал: [3,9]. \ Begin {array} {lc} \ text {Неравенство:} & 3 \ le x \ le 9 \\ \ text {Интервал:} & [3,9].\ end {array} Неравенство: интервал: 3≤x≤9 [3,9].
В этом случае xxx может равняться 333 или 999. Когда обе конечные точки включены в интервал, интервал является закрытым интервалом .
Символы круглых скобок (), (\), () используются для описания наборов с нижней или верхней границей, соответственно. Они соответствуют символам >>> и <<<:
Неравенство: −1
В этом случае xxx не равно -1-1-1 или 444. Когда обе конечные точки исключены из интервала, интервал является открытым интервалом .
Различные типы кронштейнов могут использоваться в одном интервале:
Неравенство: −3≤x <5 Интервал: [- 3,5) \ begin {array} {lc} \ text {Неравенство:} & -3 \ le x <5 \\ \ text {Интервал:} & [-3,5) \ end {array} Неравенство: интервал: −3≤x <5 [−3,5)
В этом случае xxx может равняться −3-3−3, но не может равняться 555.Когда одна из конечных точек включена в интервал, а другая нет, тогда интервал представляет собой полуоткрытый интервал .
Если интервал не имеет нижней или верхней границы, используются символы −∞- \ infty − ∞ или ∞ \ infty∞. Эти символы всегда используются в круглых скобках, потому что бесконечность не является числом, которое может быть включено в набор:
Неравенство: x≤7 Интервал: (- ∞, 7] \ begin {array} {lc} \ text {Неравенство:} & x \ le 7 \\ \ text {Интервал:} & (- \ infty, 7] \ end {array} Неравенство: интервал: x≤7 (−∞, 7] Неравенство: x> 2 Интервал: (2, ∞).\ begin {array} {lc} \ text {Неравенство:} & x> 2 \\ \ text {Интервал:} & (2, \ infty). \ end {array} Неравенство: интервал: x> 2 (2, ∞).
Используйте обозначение интервала для представления обозначения интервала, показанного в числовой строке ниже.
ОТВЕЧАТЬ
Интервал включает значения от -6 до 3, но не включает 3.Следовательно, правильное обозначение интервала — [−6,3). [- 6,3). [- 6,3).
Пересечения и объединения интервалов можно записать с помощью символов ∩ \ cap∩ или ∪ \ cup∪:
Обозначение набораНеравенство: x≤ − 4 ∪ 0
: определение и примеры — видео и стенограмма урока
Концепция набора
Набор набор — это просто набор элементов, называемых элементами или членами набора. Каждый элемент отличается от других элементов. Примеры наборов, вероятно, лучший способ проиллюстрировать, что такое набор.
Набор может быть страны Европы. Франция была бы элементом этого набора. Страна Аргентина не была бы элементом этого набора, потому что она расположена в Южной Америке. Город Рим не будет элементом этого набора, потому что это город в Европе, а не страна в Европе. В контексте математики набором могут быть все целые числа от 10 до 20. Числа 12 и 17 будут элементами этого набора, а числа 20 и 35 не будут элементами этого набора.
Мы можем изготовить любой набор, какой захотим. Например, мы могли бы объединить вышеперечисленные наборы в один набор. Элементы в наборе не обязательно должны иметь какие-либо отношения, за исключением того, что они являются элементами одного набора. Например, Бейб Рут и число 1000000 могут быть в одном наборе. Однако обычно между элементами набора существует какая-то связь, чтобы сделать набор практичным и полезным.
Скобки {} обычно используются при записи набора. Часто для названия набора часто используют заглавные буквы.Скажем, набор A имеет элементы 3, 5 и 7. Мы бы записали следующее:
A = {3, 5, 7}
Набор A состоит из трех элементов. Мы можем перечислять элементы в любом порядке, и мы можем перечислять элементы более одного раза. Мы также можем записать набор A следующим образом:
A = {5, 3, 7}
A = {3, 5, 7, 7}
Однако элементы не изменились, и все еще есть всего три элемента. У нас также могут быть наборы внутри наборов. Это означает, что наборы могут быть элементами других наборов.Давайте посмотрим на следующий пример:
B = { a , { a }, b , c , { d , e }}
В наборе B есть пять элементов. Два элемента представляют собой наборы букв. Остальные три элемента представляют собой отдельные буквы. Элементы a и { a } не совпадают, потому что один является набором, а другой не является набором. Кроме того, буквы d и e не являются элементами набора B, а набор { d , e } является элементом набора B.Это различие между элементами и наборами несложно, но часто бывает трудно применить.
Для наборов с большим количеством элементов может оказаться полезным сокращение с использованием символа эллипса (…). Например, набор, содержащий все натуральные числа от 1 до 199, было бы громоздко выписать полностью. Мы могли бы сократить следующее:
S = {1, 2, 3,… 199}
Чтобы показать, что элемент является частью набора, мы используем изогнутый символ E. Номер 5 — это элемент набора S, и он показан на рисунке 1 с помощью изогнутого символа E (ниже).
Что такое матричная запись в математике?
Обозначение матриц
Матричная математика — один из самых важных инструментов, используемых в линейной алгебре, и, следовательно, один из ключевых моментов для изучения этого курса. Поскольку линейная алгебра занимается поиском решений систем линейных уравнений, матричная математика и изучение векторных пространств становятся инструментом для представления и упорядоченного решения таких систем упорядоченным и интуитивно понятным образом.
Сегодняшний урок посвящен введению этого нового вида математической организации информации: матрицы (множественное число: матрицы).На нашем уроке мы познакомим вас с концепцией матрицы, как с ней можно работать математически, а затем будет небольшое введение, которое подготовит вас к следующим урокам этого курса, где вы узнаете, насколько полезны матрицы и методы их использования. решать с ними математические уравнения.
Что такое матрица?
В математике матрица — это упорядоченный список чисел, заключенный в прямоугольную скобку. Этот список также можно назвать прямоугольным массивом, и причина этого в том, что его элементы могут представлять различные члены коэффициентов или коэффициенты переменных в зависимости от их расположения в квадратной скобке.
Матрица обеспечивает упорядоченный способ отображения массива информации. Например:
Уравнение 1: Пример матрицыОбратите внимание, что прямоугольные скобки НЕ являются просто прямыми линиями, окружающими массив чисел, важно отметить это, поскольку существует другая операция, которую можно получить из матрицы, называемой определителем, которая, как оказалось, имеет обозначение, очень похожее на сама матрица, но вместо прямоугольных скобок у нее прямые линии по периметру.Просто помните, что если числа находятся внутри «квадрата», это матрица скобок, если числа находятся внутри двух длинных прямых линий, то это определитель. Мы поговорим о детерминанте матрицы 2×2 и матрицы 3×3, а также о свойствах определителей на уроках намного позже в этом курсе. А пока мы сосредоточимся на основах матричных обозначений, чтобы продолжить работу с ними.
Прежде чем мы узнаем определение матрицы, давайте поговорим об истории этого слова и о том, как имеет смысл иметь такое обозначение в математике: неудивительно, что термин «матрица» сам по себе умело использовался на протяжении всей истории не только среди популярная культура с разными коннотациями в зависимости от эпохи, но также и в различных академических областях исследования от математики до различных областей науки.
Слово «матрица» от латинской этимологии означает «матка» и используется не только в математике, но и в таких областях, как биология, где этот термин используется для обозначения ткани на клетках живых организмов, где используются более специализированные материалы ( структуры с более высокими или более конкретными функциями). Вы также можете встретить термин «матрица», используемый в химическом анализе и экспериментах, где это слово описывает все остальное содержимое образца, которое не является конкретным материалом, представляющим интерес.В геологии матрица относится к компактному материалу без характерной формы, в который встроены четко определенные образцы горной породы или кристаллов.
Если мы обратим внимание на все эти употребления слова во всех областях естествознания, мы сможем найти образец, в котором в целом мы определяем матрицу как среду, в которой интересующая информация (будь то структуры или системы) размещается, фиксируется или содержатся и готовы к изучению или использованию. То же самое и с матричной алгеброй: в математике мы используем матричные обозначения для организации систем значений, поступающих из разных геометрических плоскостей.Это станет очевидным, когда мы продолжим наши уроки линейной алгебры, и поэтому мы просто упомянем это сейчас, чтобы вы могли начать понимать, что такое матрицы. На следующих уроках, где вы будете решать системы линейных уравнений с помощью построения графиков, а затем научитесь представлять линейную систему в виде матрицы, вы сможете непосредственно наблюдать то, о чем мы говорили о полезности и значении матриц как «ящики» информации.
Размеры матрицы
Размеры матрицы определяют ее размер и в основном относятся к количеству строк и столбцов внутри матрицы.Например, если матрица имеет m строк и n столбцов, то мы говорим, что размеры матрицы равны m на n.
Рисунок 1: Объяснение размеров матрицыТаким образом, каждая запись в матрице называется элементом матрицы, который мы можем обозначать субиндексами. Например, если у нас есть матрица A размером m на n, тогда мы говорим, что матричный элемент a3,2a_ {3,2} a3,2 является записью в третьей строке и втором столбце.
Уравнение 2: матричные элементыДавайте рассмотрим несколько следующих примеров:
Пример 1
Определите размеры следующих матриц:
Уравнение 3: Примеры матрицИтак, размеры для каждой матрицы:
- 3 x 3 = 3 строки и 3 столбца
- 1 x 3 = 1 строка и 3 столбца
- 3 x 2 = 3 строки и 2 столбца
- 2 x 3 = 2 строки и 3 столбца
- 4 x 1 = 4 строки и 1 столбец
- 3 x 6 = 3 строки и 6 столбцов
- 2 x 5 = 2 строки и 5 столбцов
Пример 2
Найдите элементы (или значения) матрицы, указанные ниже, из следующей матрицы:
Уравнение 4: Матрица 4 x 9- Элемент a1,1a_ {1,1} a1,1 = 3
- Элемент a2,3a_ {2,3} a2,3 = 8
- Элемент a4,6a_ {4,6} a4,6 = -72
- Элемент a4,9a_ {4,9} a4,9 = 99
- Значение a2,5a4,9 = 799 \ frac {a_ {2,5}} {a_ {4,9}} = \ frac {7} {99} a4,9 a2,5 = 997 = 0.{2} (a2,4) 2 = (6) 2 = 36
- Значение 2 (a4,2) (a_ {4,2}) (a4,2) + 5 = 2 (25) + 5 = 55
- Значение a1,93 = 153 \ frac {a_ {1,9}} {3} = \ frac {15} {3} 3a1,9 = 315 = 5
- Значение a3,5 + a1,1a_ {3,5} + a_ {1,1} a3,5 + a1,1 = 1 + 3 = 4
Узнав, как размерность матрицы предоставляет информацию о характеристиках нотации массива, и зная, какие элементы в матрице, важно признать, что существует несколько различных типов матриц:
- Квадратные матрицы:
Когда матрица имеет одинаковое количество столбцов и строк, мы называем эту матрицу квадратной матрицей.Таким образом, квадратная матрица представляет собой матрицу размера mxn, в которой m = n, и, таким образом, ее обозначение в виде прямоугольника выглядит как квадратный прямоугольник, поскольку элементы внутри скобки матрицы имеют одинаковое количество с каждой стороны. Поскольку в этом случае m равно n, мы обычно называем размеры квадратных матриц просто nxn. Уравнение 2 показывает обозначение квадратной матрицы размером 3×3.
- Диагональные матрицы:
Хотя диагональные матрицы могут относиться к матрицам с любой комбинацией размеров, этот термин чаще используется, когда говорят о конкретных типах квадратных матриц.Причина этого в том, что диагональная матрица будет легко идентифицирована по разнице между типом элементов, которые она имеет в своей главной диагонали, и остальной частью массива.
Главная диагональ матрицы — это диагональный массив чисел, который начинается с его самого верхнего левого угла и постепенно движется вниз к правой стороне, пока вы не дойдете до самой нижней возможной строки. Для квадратной матрицы основная диагональ идет от левого верхнего угла к правому нижнему углу. Если мы возьмем уравнение 2 в качестве предоставленной матрицы, главная диагональ этой матрицы будет содержать элементы: a1,1, a2,2a_ {1,1}, a_ {2,2} a1,1, a2,2 и a3 , 3a_ {3,3} a3,3.Для всех матриц главная диагональ — это массив элементов с субиндексами, где m равно n, и поэтому главная диагональ любой матрицы — это массив элементов, таких что: a1,1, a2,2, a3,3 … an, na_ {1,1}, a_ {2,2}, a_ {3,3} … a_ {n, n} a1,1, a2,2, a3,3 … an, n, где m = n.
Итак, диагональная матрица — это матрица, в которой только элементы внутри ее главной диагонали отличны от нуля.
- Матрица идентичности:
Матрица идентичности по определению являются квадратными матрицами, которые содержат только значения 1 на своей главной диагонали.Матрицы идентичности обозначаются как InI_ {n} In, где n представляет размерность матрицы nxn. Такие матрицы важны в нотации векторных матриц, поскольку они позволяют четко различать термины различных переменных в наборах векторов, записанных в виде матрицы, хотя мы продолжим эту тему более глубоко в последующих уроках, это важно для вас чтобы знать, что обозначение единичной матрицы обеспечивает основу для обозначения единичного вектора в линейной алгебре, и, таким образом, единичная матрица также может называться единичной матрицей.
Все единичные матрицы являются диагональными матрицами, и любые кратные из них тоже будут, потому что единственные значения, на которые влияет скалярное умножение, — это значения на главной диагонали (так как остальные из них — нули, любое число, умноженное на ноль, равно нулю, и поэтому нули не меняются).
- Нулевая матрица:
Нулевая матрица — это матрица, элементами которой являются только нули. Обозначение нулевой матрицы, вероятно, является самым простым, поскольку не имеет значения размеры рассматриваемой матрицы, поскольку все элементы внутри нее равны нулю, у вас есть нулевая матрица.Нулевые матрицы также могут называться нулевыми матрицами.
Все они будут подробно изучаться на уроках этого курса, поскольку они будут наиболее полезны при использовании различных операций или методов при решении линейных систем уравнений.
Пример 3
Определите, к какому типу матриц относится каждый из следующего списка, запишите их размеры и характеристики, которые позволили вам идентифицировать его:
Уравнение 5: различные типы матрицИ так, чтобы идентифицировать каждую из матриц выше:
- Это матрица 3 x 2, что означает, что она имеет три строки и два столбца, как это легко заметить.
- Эта матрица является диагональной матрицей, поскольку она имеет разное количество строк и столбцов, мы называем эти типы матриц матрицами «прямоугольной диагонали». Размеры матрицы б) 2 х 4.
- Это квадратная матрица размером 4 x 4 (4 строки и 4 столбца).
- Матрица d) является нулевой матрицей, поскольку все ее элементы нулевые.
- Матрица e) представляет собой матрицу столбцов с размерами 4 x 1 (все матрицы столбцов состоят из одного столбца и также известны как векторные матрицы).
- Эта матрица представляет собой единичную матрицу I3I_ {3} I3, что означает, что размерность матрицы f) составляет 3 или 3 x 3 (3 строки и 3 столбца).
Прежде чем мы завершим этот урок введением в правила, которые применяются к базовым матричным операциям, мы хотели бы порекомендовать вам ознакомиться с этими заметками о матричной нотации и операциях, если вы хотите продолжить рассмотрение примеров того, что мы уже узнали этот курс. Еще одна приятная и понятная статья, которую вы можете посетить, — это статья о матричной нотации, где вы можете найти еще несколько примеров в упрощенной форме.
Матричные правила
В этом разделе у нас будет краткое введение в матричные правила для таких операций, как сложение и умножение. Эти типы операций будут подробно рассмотрены и с примерами позже в этом курсе линейной алгебры, но важно иметь базовое представление о том, как размер матрицы и сколько строк по сравнению с столбцами в матрице дает рекомендации о том, какие операции могут быть выполнены. с такой матрицей или нет.
- Сложение / вычитание:
Сложение (и, следовательно, вычитание) двух матриц — очень простая операция для вычисления.Правило состоит в том, что пока у вас есть две матрицы с одинаковым количеством строк и столбцов, вы можете складывать (или вычитать) их. Результирующая матрица будет иметь такое же количество строк и столбцов, что и две исходные матрицы, и операция просто выполняется путем добавления элементов с одинаковыми субиндексами из каждой матрицы и размещения результата в элементе с тем же субиндексом в результирующей матрице. Взгляните на рисунок 2, где вы можете соблюдать общее правило добавления матриц:
Рисунок 2: Матричное сложение - Умножение: Рисунок 3: Правило умножения матриц
Чтобы перемножить две матрицы, первая матрица должна иметь такое же количество столбцов, что и вторая матрица, имеющая строки.Результатом этого умножения будет новая матрица с размерами, равными количеству строк в первой матрице на количество столбцов, найденных во второй матрице. Итак, это означает, что для двух матриц A = m1 × n1A = m_ {1} \ times n_ {1} A = m1 × n1 и B = m2 × n2B = m_ {2} \ times n_ {2} B = m2 × n2 для умножения, n1n_ {1} n1 должно быть равно m2m_ {2} m2, и результирующая матрица будет иметь размеры C = m1 × n2C = m_ {1} \ times n_ {2 } C = m1 × n2. Это можно увидеть на следующем рисунке:
Рисунок 4: Объяснение умножения матрицИтак, как вы уже могли заметить, умножение матриц НЕ является коммутативным: вы не можете изменить порядок умножения матриц и получить тот же результат, фактически, вы не сможете их умножить из-за того, что, Если они не являются квадратными матрицами, первая матрица не будет содержать такое же количество столбцов, как количество строк во второй, что делает умножение невозможным.