Что такое пропорция: определение, элементы, основное свойство
Sign in
Password recovery
Восстановите свой пароль
Ваш адрес электронной почты
MicroExcel.ru Математика Алгебра Что такое пропорция: определение, элементы, основное свойство
В данной публикации мы рассмотрим, что такое пропорция, из каких элементов она состоит, а также разберем основное свойство пропорции вместе с практическим примером.
- Определение пропорции
- Основное свойства пропорции
Определение пропорции
Пропорция – это равенство двух или более отношений чисел.
Допустим, у нас есть два равных отношения:
Если между этими отношениями поставить знак “равно”, то получится пропорция:
Элементы пропорции
- крайние – выделены красными кружками;
- средние – обведены зелеными цветом.
Основное свойства пропорции
В любой верно составленной пропорции произведение крайних элементов равняется произведению средних.
Т.е. a · d = b · c.
Чтобы было проще запомнить, используется так называемое “правило крестика”, т.е. перемножение накрест лежащих элементов.
Пример
Проверим основное свойство и правило на пропорции ниже:
Оба отношения дают результат, равный одному и тому же числу (двум), следовательно, пропорция верна.
Значит мы можем перемножить ее элементы, пользуясь “правилом крестика”:
Получаем:
12 · 15 = 6 · 30 или 180 = 180
ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ
Таблица знаков зодиака
Нахождение площади трапеции: формула и примеры
Нахождение длины окружности: формула и задачи
Римские цифры: таблицы
Таблица синусов
Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)
Нахождение площади ромба: формула и примеры
Нахождение объема цилиндра: формула и задачи
Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)
Геометрическая фигура: треугольник
Нахождение объема шара: формула и задачи
Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)
Нахождение объема конуса: формула и задачи
Таблица сложения чисел
Нахождение площади квадрата: формула и примеры
Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема
Нахождение объема пирамиды: формула и задачи
Признаки подобия треугольников
Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи
Формула Герона для треугольника
Что такое средняя линия треугольника
Нахождение площади треугольника: формула и примеры
Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи
Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы
Разность кубов: формула и примеры
Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры
Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg
Нахождение периметра квадрата: формула и задачи
Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи
Сумма кубов: формула и примеры
Нахождение объема куба: формула и задачи
Куб разности: формула и примеры
Нахождение площади шарового сегмента
Что такое окружность: определение, свойства, формулы
Что такое золотое сечение и правда ли оно повсюду
18 июля 2021 Ликбез Жизнь
Спойлер: это лишь красивая математическая легенда.
Что такое золотое сечение
Это соотношение двух неравных чисел, при котором большее так же относится к меньшему, как сумма этих чисел к большему. Золотое сечение равно примерно 1,618, или 1,62, если округлить, и обозначается греческой буквой φ, «фи» — от имени древнегреческого скульптора Фидия. Считается, что он использовал такие пропорции при оформлении Парфенона.
Наиболее известные графические представления золотого сечения — это прямоугольник с соотношением сторон примерно 62:48 и построенная в нём спираль.
1 / 0
«Золотой прямоугольник» можно разделить на такие же, только меньшего размера. Изображение: Dicklyon / Wikimedia Commons
2 / 0
«Золотая спираль» (красная), вписанная в «золотой прямоугольник». Изображение: Silverhammermba & Jahobr / Wikimedia Commons
Золотое сечение тесно связано с числами Фибоначчи. Это ряд чисел, каждое из которых равняется сумме двух предыдущих: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 и так далее.
Чем дальше продолжается этот ряд, тем ближе соотношение соседних чисел в нём к 1,618. Например, 3/2=1,5; 8/5=1,6, а 34/21= 1,619.
Почему золотое сечение так популярно
Впервые им заинтересовались ещё древнегреческие математики Пифагор и Евклид. Они считали, что на числах построено всё мироздание и с их помощью можно объяснить любой феномен. Неудивительно, что элегантное соотношение так заинтересовало античных мыслителей.
Вслед за ними золотым сечением увлеклись многие выдающиеся учёные и деятели искусства. Например, Леонардо да Винчи, Альбрехт Дюрер, Иоганн Кеплер, Ле Корбюзье, Сальвадор Дали и Ричард Пенроуз.
Его считают «божественной пропорцией»
Название «золотое сечение» придумал немецкий математик XIX века Мартин Ом. До него это соотношение именовали «божественной пропорцией».
Из‑за приписываемых характеристик золотое сечение старались применять как можно чаще. Так, во времена Возрождения это число считалось идеальным способом для выбора размера.
«Золотой прямоугольник», например, нередко использовали при создании книг и картин. А линию пояса называли границей золотого сечения человеческого тела.
Некоторые и поныне считают эту пропорцию секретом привлекательности и примером универсальной гармонии, приятной человеческому глазу. Например, о золотом сечении любят говорить пластические хирурги. А ещё это число популярно как никакое другое в математике.
Его можно встретить в природе
Числа Фибоначчи и спирали, подобные золотому сечению, часто обнаруживаются в природе. Например, в количестве лепестков у цветов или форме растений.
Часть растения эониума. Фото: Max Ronnersjö / Wikimedia CommonsЕго обнаруживают в произведениях архитектуры и искусства
Например, «божественные пропорции» находят в Парфеноне и египетских пирамидах. Также широко распространено заблуждение, что «Мона Лиза» написана в соответствии с числом φ.
Почему универсальность золотого сечения — миф
Однако при тщательном изучении становится понятно, что эта пропорция не так уж всеобъемлюща.
Божественность золотого сечения преувеличивается
Золотому сечению придают больше значения, чем есть в действительности. Красивые узоры и налёт таинственности сделали из обычного геометрического соотношения математический миф, который, к примеру, очень любят нумерологи.
Чаще всего вещи причисляют к золотому сечению с большими допущениями. Ни о какой точности и математической универсальности в таком случае говорить не приходится. Поэтому при желании можно обнаружить «божественные пропорции» где угодно.
В природе золотое сечение не так уж распространено
Его находят далеко не везде. Например, у маков всегда четыре лепестка, а в ряд Фибоначчи четвёрка не входит. Также нередко встречается четырёхлистный клевер. Раковины морских моллюсков похожи на спираль золотого сечения, но всё-таки другие. У них больше витков, и расстояние между ними меньше. Ни у одного моллюска коэффициент скручивания раковины и близко не равен 1,62. Это видно даже невооружённым глазом:
1 / 0
Спираль морского моллюска.
Изображение: Florian Elias Rieser / Wikimedia Commons
2 / 0
Спираль Фибоначчи, близкая к золотому сечению. Изображение: Jahobr / Wikimedia Commons
В человеческом теле же столько точек, от которых можно производить измерение, что при желании реально найти золотое сечение где угодно. Вот только с большой вероятностью у разных людей «божественную пропорцию» придётся искать в разных местах, так как мы можем сильно отличаться друг от друга.
В искусстве оно тоже встречается не так уж часто
Изучение 565 картин выдающихся художников показало, что в среднем соотношение сторон в работах составляет 1,34. Это явно не дотягивает до золотого сечения. Учёные не находят его даже в произведениях Леонардо да Винчи.
Археологические исследования не подтверждают и того, что древние греки могли использовать золотое сечение при постройке Парфенона. Из более чем 100 памятников древнегреческой архитектуры это число нашлось в пропорциях только четырёх объектов: башни, алтаря, гробницы и надгробия.
Не могли пользоваться золотым сечением и древние египтяне, не обладавшие достаточным уровнем технологий, чтобы точно высчитывать пропорции.
Кому золотое сечение может быть полезно на самом деле
Современная математика использует золотое сечение и числа Фибоначчи при описании фракталов — фигур, которые проявляют самоподобие.
Фрактальная форма кочана капусты Романеско. Фото: Ivar Leidus / Wikimedia CommonsЗнание о числе φ играет важную роль в изучении хаоса и изменяющихся (динамических) систем. Оно помогает понять, как природа развивается и самоорганизуется.
Также числа Фибоначчи полезны при решении некоторых сложных задач. Например, с помощью этих чисел советский математик Юрий Матиясевич доказал, что не существует универсального алгоритма решения уравнений с как минимум двумя неизвестными.
Читайте также 💆♂️👩🔬
- Продолжите последовательность! 10 мини-задач для разминки мозга
- Как округлять числа
- Интересные математические факты для тех, кто хочет больше узнать о мире вокруг
- Гимнастика для ума: 10 увлекательных задач с числами
- 10 увлекательных задач от советского математика
мягкий вопрос — Злоупотребление символом «Пропорционально»
Задавать вопрос
спросил
Изменено 5 лет, 11 месяцев назад
Просмотрено 3к раз
$\begingroup$
Насколько я знаю, утверждение «$a \propto b$» эквивалентно «$a = kb$ для произвольного значения $k$».
Что-то не так со следующим?
$$ \начать{выравнивать} f(x) &\propto 2\,f(x) \\ 6 &\пропто\пи\\ \begin{bmatrix} -5 \\ 10 \end{bmatrix} &\propto \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix} \\ A\mathbf{x} &\propto \mathbf{x} \end{выравнивание} $$
Я хочу использовать это в неформальной обстановке и мне интересно, не полная ли это чепуха. Использовалась ли где-нибудь эта нотация (ab) таким образом? Должен ли я сначала уточнить, что «$a \propto b \Longleftrightarrow a = kb$ для произвольного $k$» вверху страницы?
(Другие обозначения, такие как «$a$ кратно $b$ $\Longleftrightarrow$ $a|b$», слишком ограничены для моего предполагаемого использования, потому что они как бы подразумевают целочисленную кратность и не могут быть объединены в цепочку вместе, например, $2(a, -a) = (2a, -2a) \propto (1, -1)$.)
Спасибо за ваш вклад.
Редактировать: Меня попросили дать некоторый контекст: я просто студент, пишу от руки свою домашнюю работу по линейной алгебре.
Я сам сталкивался с желанием подчеркнуть, что вектор является скалярным множителем другого в строке равенств, без необходимости везде писать «где $a, a’ ∈ ℝ$» или писать слова. Фрагмент:
$$
\mathbf{q}_2 = \mathbf{v}_2 — \text{Proj}_\mathbf{q1}\mathbf{v}_2
= \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} + \frac{1}{5}\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} \frac{6}{5} \\ -\frac{3}{5} \end{bmatrix}
\propto \begin{bmatrix} \frac{2}{\sqrt{5}} \\ -\frac{1}{\sqrt{5}} \end{bmatrix} = \mathbf{u_2}
$$
Я понимаю, что это лень, но мне стало любопытно. Я подумал, что это красиво.
- мягкий вопрос
- обозначение
$\endgroup$
6
$\begingroup$
Такое использование пропорциональности необычно. Два «пропорциональных» вектора также параллельны, поэтому символ параллельности больше подходит для векторов
$$
\begin{bmatrix} -5 \\ 10 \end{bmatrix} \parallel \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix}
$$
$$
A\mathbf{x} \параллельно \mathbf{x}
$$
Функции по сути являются векторами, поэтому $f \parallel g$ также подходит.
n$, где мы не допускаем сравнения с нулевым вектором.)
$\endgroup$
$\begingroup$
Нет ничего плохого в использовании такой нотации, поскольку она является фактическим обобщением обычного использования $\propto$. Так что, если вы находите это очень полезным, почему бы и нет? Вы просто даете имя отношению (правильное определение дал Monstrous Moonshine в комментариях).
Но, да, вам, скорее всего, следует сначала ввести нотацию, прежде чем использовать ее, поскольку в этой обобщенной версии она малоизвестна.
$\endgroup$
6
$\begingroup$
Пропорциональность, как описано в Википедии, описывается как отношение между двумя переменными , такое, что «$a∝b$ эквивалентно $a=kb$», как вы описали.
Следовательно, ни один из примеров не является правильным примеры пропорциональности, так как (1) сравнивает две функции , (2) сравнивает два числа , (3) сравнивает два вектора , а (4) использует только одну переменную.
Правильным способом описания этих отношений будет:
(1): $g(x) = 2f(x)$
(2): $6x = \pi$
(3):
$$
A\begin{bматрица}
-5\
10\
\end{bmatrix}
$$
$$ =\begin{bmatrix} 1\\ -2\ \end{bmatrix} $$
(4): $Bx = y$
Таким образом, пропорциональность описывает взаимосвязь между двумя переменными, так что одна может быть «увеличена/уменьшена» по отношению к другой. Во многих ситуациях лучше всего определить одну функцию через другую, используя постоянный множитель и установив его равным функции.
РЕДАКТИРОВАТЬ: В контексте, который поставил OP, я бы по-прежнему не использовал символ пропорциональности. Я думаю, что жертвование контекстом и качеством для аббревиатуры скрывает истинное значение пропорции, и, написав $a,a′∈ℝ$, контекст для того, какие числа используются, становится более ясным.
Я думаю, что помимо определения отношения между двумя переменными символ равенства с постоянным множителем гораздо полезнее (его можно широко применять), он четкий и хорошо определенный.
$\endgroup$
6
алгебраическое предварительное исчисление — прямо отрицательно пропорциональна и обратно пропорциональна?
Задавать вопрос
спросил
Изменено 1 год, 3 месяца назад
Просмотрено 448 раз
$\begingroup$
Если у меня есть пропорциональность $$x\propto-y$$ Это предполагает, что x увеличивается с $-y$, и поскольку присутствует отрицательный символ, это будет означать, что чем ниже значение $y$, тем выше значение $x$… так можно ли считать это прямо пропорциональным?
Похоже, что оно отличается от $x\propto\frac{1}y$, так что я полагаю, что оно не обратно пропорционально?
Прямая связь $y$ с $x$ звучит неправильно, если ее называют прямо пропорциональной, так как же именно называется отрицательная пропорциональность, если не то же самое, что и обратно пропорциональная?
Спасибо.
- алгебра-предварительное исчисление
- терминология
2
$\begingroup$
На самом деле, $\;x=5y\;$ и $\;x=-5y\;$ в равной степени могут быть записаны как $$x\propto y,$$, который определяется как $$x=ky \:\:\:\text{for}\; к\не0;$$ поэтому отрицательный знак в $\:\:x\propto-y\:\:$ на самом деле лишний. Это подтверждает тот факт, что «отрицательная пропорциональность» тип прямой пропорциональности .
Для устранения неоднозначности первого из отрицательного обратного пропорционального , можно сказать, что $x$ прямо пропорционально, но противоположно по знаку до $y.$
$$x\propto-y$$ Прямую связь у с х неправильно называть прямо пропорциональной
.Вы говорите, что
- $x$ прямо пропорционально $-y,$
вместо того, чтобы говорить, что
- $x$ прямо пропорционально $y,$
так что там какие-то аномалии? Первый аналогичен использованию слово «добавить» в инструкции
- добавить $-3$ до $7.
