0 2 делить на: Как разделить на 0,2 | Математика

Содержание

Можно ли 0 разделить на 2. Почему нельзя делить на ноль? Наглядный пример

На самом деле история с делением на ноль не давала покоя его изобретателям (а ). Но индийцы — философы привыкшие к абстрактным задачам. Что значит разделить на ничто? Для европейцев того времени такого вопроса вообще не существовало, так как ни о нуле ни об отрицательных числах (которые левее нуля на шкале) они знать не знали.

В Индии отнять от меньшего большее и получить отрицательное число не составляло проблем. Ведь что значит 3-5=-2 в обычной жизни? Это значит, что кто-то остался должен кому-то 2. Отрицательные числа назывались долгами.

Теперь давайте так же просто разберемся с вопросом деления на нуль. В далеком 598 году нашей эры (только вдумайтесь как давно, более 1400 лет назад!) в Индии родился математик Брахмагупта, который тоже задавался вопросом деления на ноль.

Он предположил, что если взять лимон и начать делить его на части, рано или поздно мы придем к тому, что дольки будут очень маленькими. В воображении мы можем дойти до того, что дольки станут равны нулю. Итак, вопрос, если разделить лимон не на 2, 4 или 10 частей, а на стремящееся к бесконечности количество частей — какого размера получаться дольки?

Получится бесконечное число «нулевых долек». Все довольно просто, нарежем лимон очень мелко, получим лужицу с бесконечным количеством частей.

Но если взяться за математику, то получается как-то нелогично

а*0=0? А если b*0=0? Значит: а*0=b*0. А отсюда: а=b. То есть любое число равно любому числу. Первая неправильность деления на ноль, идем дальше. В математике, деление считается обратным действием умножения.

Это значит, что если мы делим 4 на 2, мы должны найти число, которое при умножении на 2 даст 4 . Делим 4 на ноль — нужно найти число, которое при умножении на ноль даст 4. То есть х*0=4? Но х*0=0! Опять незадача. Получается мы спрашиваем: «Сколько нолей нужно взять, чтобы получилось 4?» Бесконечность? Бесконечное количество нолей все равно даст в сумме ноль.

А деление 0 на 0 вообще дает неопределенность, ведь 0*х=0, где х вообще все что угодно. То есть — бесчисленное множество решений.

Нелогичность и абстрактность операций с нулем не позволяется в узких рамках алгебры, точнее это неопределенная операция. Для нее нужен аппарат посерьезнее — высшая математика. Так что в некотором роде делить на ноль нельзя, но если очень захочется, то делить на ноль можно, но нужно быть готовым понимать такие вещи как дельта-функция Дирака и прочие трудно осознаваемые вещи. Делите на здоровье.

Ноль сам по себе цифра очень интересная. Сам по себе означает пустоту, отсутствие значения, а рядом с другой цифрой увеличивает ее значимость в 10 раз. Любые числа в нулевой степени всегда дают 1. Этот знак использовали еще в цивилизации майя, причем он у них еще обозначал понятие «начало, причина». Даже календарь у начинался с нулевого дня. А еще эта цифра связана со строгим запретом.

Еще с начальных школьных лет все мы четко усвоили правило «на ноль делить нельзя». Но если в детстве многое воспринимаешь на веру и слова взрослого редко вызывают сомнения, то со временем иногда хочется все-таки разобраться в причинах, понять, почему были установлены те или иные правила.

Почему нельзя делить на ноль? На этот вопрос хочется получить понятное логическое объяснение. В первом классе учителя это сделать не могли, потому как в математике правила объясняются с помощью уравнений, а в том возрасте мы и представления не имели о том, что это такое. А теперь пришла пора разобраться и получить понятное логическое объяснение того, почему нельзя делить на ноль.

Дело в том, что в математике лишь две из четырех основных операций (+, — , х, /) с числами признаются независимыми: умножение и сложение. Остальные же операции принято считать производными. Рассмотрим простенький пример.

Вот скажите, сколько получится, если от 20 отнять 18? Естественно, в нашей голове моментально возникает ответ: это будет 2. А как мы пришли к такому результату? Кому-то этот вопрос покажется странным — ведь и так все ясно, что получится 2, кто-то пояснит, что от 20 копеек отнял 18 и у него получилось две копейки.

Логически все эти ответы не вызывают сомнений, однако с точки зрения математики решать эту задачу следует по-другому. Еще раз напомним, что главными операциями в математике являются умножение и сложение и поэтому в нашем случае ответ кроется в решении следующего уравнения: х + 18 = 20. Из которого и вытекает, что х = 20 — 18, х =2. Казалось бы, зачем так подробно все расписывать? Ведь и так все элементарно просто. Однако без этого тяжело объяснить почему нельзя делить на ноль.

А теперь посмотрим что получится если мы пожелаем 18 разделить на ноль. Снова составим уравнение: 18: 0 = х. Поскольку операция деления является производной от процедуры умножения, то преобразовав наше уравнение получим х * 0 = 18. Вот здесь как раз и начинается тупик. Любое число на месте икса при умножении на ноль даст 0 и получить 18 нам никак не удастся. Теперь становится предельно ясно почему нельзя делить на ноль. Сам ноль можно делить на какое-угодно число, а вот наоборот — увы, никак нельзя.

А что получится, если ноль разделить на самого себя? Это можно записать в таком виде: 0: 0 = х, или х * 0 = 0. Это уравнение имеет бесчисленное число решений. Поэтому в итоге получается бесконечность. Поэтому операция и в этом случае тоже не имеет смысла.

Деление на 0 лежит в корне многих мнимых математических шуток, которыми при желании можно озадачить любого несведущего человека. К примеру, рассмотрим уравнение: 4*х — 20 = 7*х — 35. Вынесем за скобки в левой части 4, а в правой 7. Получим: 4*(х — 5) = 7*(х — 5). Теперь умножим левую и правую часть уравнения на дробь 1 / (х — 5). Уравнение примет такой вид: 4*(х — 5)/(х — 5) = 7*(х — 5)/ (х — 5). Сократим дроби на (х — 5) и у нас выйдет, что 4 = 7. Из этого можно сделать вывод, что 2*2 = 7! Конечно, подвох здесь в том, что равен 5 и сокращать дроби было нельзя, поскольку это приводило к делению на ноль. Поэтому при сокращении дробей нужно всегда проверять чтобы ноль случайно не оказался в знаменателе, иначе результат получится совсем непредсказуемым.

«Делить на ноль нельзя!» — большинство школьников заучивает это правило наизусть, не задаваясь вопросами. Все дети знают, что такое «нельзя» и что будет, если в ответ на него спросить: «Почему?» А ведь на самом деле очень интересно и важно знать, почему же нельзя.

Всё дело в том, что четыре действия арифметики — сложение, вычитание, умножение и деление — на самом деле неравноправны. Математики признают полноценными только два из них — сложение и умножение. Эти операции и их свойства включаются в само определение понятия числа. Все остальные действия строятся тем или иным образом из этих двух.

Рассмотрим, например, вычитание. Что значит

5 – 3 ? Школьник ответит на это просто: надо взять пять предметов, отнять (убрать) три из них и посмотреть, сколько останется. Но вот математики смотрят на эту задачу совсем по-другому. Нет никакого вычитания, есть только сложение. Поэтому запись 5 – 3 означает такое число, которое при сложении с числом 3 даст число 5 . То есть 5 – 3 — это просто сокращенная запись уравнения: x + 3 = 5 . В этом уравнении нет никакого вычитания. Есть только задача — найти подходящее число.

Точно так же обстоит дело с умножением и делением. Запись 8: 4 можно понимать как результат разделения восьми предметов по четырем равным кучкам. Но в действительности это просто сокращенная форма записи уравнения 4 · x = 8 .

Вот тут-то и становится ясно, почему нельзя (а точнее невозможно) делить на ноль. Запись

5: 0 — это сокращение от 0 · x = 5 . То есть это задание найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5 . Но мы знаем, что при умножении на 0 всегда получается 0 . Это неотъемлемое свойство нуля, строго говоря, часть его определения.

Такого числа, которое при умножении на 0 даст что-то кроме нуля, просто не существует. То есть наша задача не имеет решения. (Да, такое бывает, не у всякой задачи есть решение.) А значит, записи 5: 0 не соответствует никакого конкретного числа, и она просто ничего не обозначает и потому не имеет смысла. Бессмысленность этой записи кратко выражают, говоря, что на ноль делить нельзя.

Самые внимательные читатели в этом месте непременно спросят: а можно ли ноль делить на ноль? В самом деле, ведь уравнение 0 · x = 0 благополучно решается. Например, можно взять

x = 0 , и тогда получаем 0 · 0 = 0 . Выходит, 0: 0=0 ? Но не будем спешить. Попробуем взять x = 1 . Получим 0 · 1 = 0 . Правильно? Значит, 0: 0 = 1 ? Но ведь так можно взять любое число и получить 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 и т. д.

Но если подходит любое число, то у нас нет никаких оснований остановить свой выбор на каком-то одном из них. То есть мы не можем сказать, какому числу соответствует запись 0: 0 . А раз так, то мы вынуждены признать, что эта запись тоже не имеет смысла. Выходит, что на ноль нельзя делить даже ноль. (В математическом анализе бывают случаи, когда благодаря дополнительным условиям задачи можно отдать предпочтение одному из возможных вариантов решения уравнения 0 · x = 0 ; в таких случаях математики говорят о «раскрытии неопределенности», но в арифметике таких случаев не встречается. )

Вот такая особенность есть у операции деления. А точнее — у операции умножения и связанного с ней числа ноль.

Ну, а самые дотошные, дочитав до этого места, могут спросить: почему так получается, что делить на ноль нельзя, а вычитать ноль можно? В некотором смысле, именно с этого вопроса и начинается настоящая математика. Ответить на него можно только познакомившись с формальными математическими определениями числовых множеств и операций над ними. Это не так уж сложно, но почему-то не изучается в школе. Зато на лекциях по математике в университете вас в первую очередь будут учить именно этому.

Учебник: «Математика» М.И.Моро

Цели урока: создать условия для формирования умения делить 0 на число.

Задачи урока:

  • раскрыть смысл деления 0 на число через связь умножения и деления;
  • развивать самостоятельность, внимание, мышление;
  • формировать навыки решения примеров на табличное умножение и деление.

Для достижения цели урок был разработан с учётом

деятельностного подхода.

Структура урока включала в себя:

  1. Орг. момент , целью которого было позитивно настроить детей на учебную деятельность.
  2. Мотивация позволила актуализировать знания, сформировать цели и задачи урока. Для этого были предложены задания на нахождение лишнего числа, классификацию примеров на группы, добавление недостающих чисел . В ходе решения этих заданий, дети столкнулись с проблемой : нашёлся пример, для решения которого не хватает имеющихся знаний. В связи с этим дети самостоятельно сформулировали цель и поставили перед собой учебные задачи урока.
  3. Поиск и открытие нового знания дал возможность детям предложить различные варианты решения задания. Основываясь на ранее изученный материал, они смогли найти верное решение и прийти к выводу
    , в котором сформулировали новое правило.
  4. Во время первичного закрепления ученики комментировали свои действия,работая по правилу , дополнительно были подобраны свои примеры на это правило.
  5. Для автоматизации действий и умения пользоваться правилам в нестандартных заданиях дети решали уравнения, выражения в несколько действий.
  6. Самостоятельная работа и проведенная взаимопроверка показали, что большинство детей тему усвоили.
  7. Во время рефлексии дети сделали вывод, что поставленная цель урока достигнута и оценили себя с помощью карточек.

В основе урока лежали самостоятельные действия учащихся на каждом этапе, полное погружение в учебную задачу. Этому способствовали такие приёмы, как работа в группах, само- и взаимопроверка, создание ситуации успеха, дифференцированные задания, саморефлексия.

Ход урока

Цель этапа Содержание этапа Деятельность ученика
1. Орг. момент
Подготовка уч-ся к работе, позитивный настрой на учебную деятельность. Стимулирование на учебную деятельность .
Проверьте свою готовность к уроку, сядьте ровно, облокотитесь на спинку стула.
Потрите свои ушки, чтобы кровь активнее поступала в мозг. Сегодня у вас будет много интересной работы, с которой, я уверена, вы справитесь на отлично.
Организация рабочего места, проверка посадки.
2. Мотивация.
Стимулирование познавательной
активности,
активизация мыслительного процесса
Актуализация знаний, достаточных для приобретения нового знания.
Устный счёт.
Проверка знания табличного умножения:
Решение заданий, основанных на знании табличного умножения.
А) найди лишнее число:
2 4 6 7 10 12 14
6 18 24 29 36 42
Объясните, почему оно лишнее и каким числом его надо заменить.
Нахождение лишнего числа.
Б) вставьте пропущенные числа:
… 16 24 32 … 48 …
Добавление недостающего числа.
Создание проблемной ситуации
Задания в парах:
В) расставьте примеры в 2 группы:

Почему так распределили? (с ответом 4 и 5).
Классификация примеров по группам.
Карточки:
8·7-6+30:6=
28:(16:4)·6=
30-(20-10:2):5=
30-(20-10·2):5=
Сильные ученики работают по индивидуальным карточкам.
Что вы заметили? Есть ли здесь лишний пример?
Все ли примеры вы смогли решить?
У кого возникли затруднения?
Чем этот пример отличается от остальных?
Если кто-то решил, то молодец. Но почему не все смогли справиться с этим примером?
Нахождение затруднения.
Выявление недостающего знания, причины затруднения.
Постановка учебной задачи.
Здесь есть пример с 0. А от 0 можно ожидать разные фокусы. Это необычное число.
Вспомните, что вы знаете про 0? (а·0=0, 0·а=0, 0+а=а)·
Приведите примеры.
Посмотрите, какой он коварный: когда его прибавляют, он не изменяет число, а когда умножают, превращают его в 0.
Подходят ли эти правила к нашему примеру?
Как же он поведёт себя при елении?
Наблюдение над известными приёмами действий с 0 и соотношение с исходным примером.
Итак, какова наша цель? Решить этот пример верно.
Таблица на доске.
Что для этого надо? Узнать правило деления 0 на число.
Выдвижение гипотезы,
Как же найти верное решение?
С каким действием связано умножение? (с делением)
Приведите пример
2 · 3 = 6
6: 2 = 3

Можем ли мы теперь 0:5?
Это значит, надо найти число, при умножении которого на 5 получится 0.
х·5=0
Это число 0. Значит, 0:5=0.

Приведите свои примеры.

поиск решения на основе ранее изученного,
Формулирование правила.
Какое же правило теперь можно сформулировать?
При делении 0 на число получается 0.
0: а = 0.
Решение типовых заданий с комментированием.
Работа по схеме (0:а=0)
5. Физминутка.
Профилактика нарушения осанки, снятие усталости с глаз, общего утомления.
6. Автоматизация знаний.
Выявление границ применимости нового знания. В каких ещё заданиях может понадобиться знание этого правила? (в решении примеров, уравнений)
Использование полученных знаний в разных заданиях.
Работа в группах.
Что неизвестно в этих уравнениях?
Вспомните, как узнать неизвестный множитель.
Решите уравнения.
Какое решение в 1 уравнении? (0)
Во 2? (нет решения, на 0 делить нельзя)
Обращение к ранее изученным умениям.
** Составьте уравнение с решением х=0 (х·5=0) Для сильных уч-ся творческое задание
7. Самостоятельная работа.
Развитие самостоятельности, познавательных способностей Самостоятельная работа с последующей взаимопроверкой.
№6
Активные умственные действия учащихся, связанные с поисками решения, опираясь на свои знания. Самоконтроль и взаимоконтроль.
Сильные ученики проверяют и помогают более слабым.
8. Работа над ранее пройденным материалом. Отработка умения решения задач.
Формирование навыка решения задач. Как вы думаете, часто ли в задачах используется число 0?
(Нет, не часто, т.к. 0 – это ничего, а в задачах должно какое-то количество чего-либо.)
Тогда будем решать задачи, где есть другие числа.
Прочитайте задачу. Что поможет решить задачу? (таблица)
Какие столбики в таблице надо записать? Заполните таблицу. Составьте план решения: что надо узнать в 1, во 2 действии?
Работа над задачей с использованием таблицы.
Планирование решения задачи.
Самостоятельная запись решения.
Самоконтроль по образцу.
9. Рефлексия. Итоги урока.
Организация самооценки деятельности. Повышение мотивации ребёнка.
Над какой темой сегодня работали? О чём вы не знали в начале урока?
Какую цель ставили перед собой?
Достигли вы её? С каким правилом познакомились?
Оцените свою работу, выставив соответствующий значок:
солнышко – я доволен собой, у меня всё получилось
белое облако – всё хорошо, но я мог работать лучше;
серое облако – урок обычный, ничего интересного;
капелька – ничего не получилось
Осознавание своей деятельности, самоанализ своей работы. Фиксация соответствия результатов деятельности и поставленной цели.
10. Домашнее задание.

Каждый из нас со школы вынес как минимум два незыблемых правила: «жи и ши — пиши с буквой И» и «на ноль делить нельзя «. И если первое правило можно объяснить особенностью Русского языка, то второе вызывает вполне логичный вопрос: «А почему?»

Почему нельзя делить на ноль?

Не совсем понятно, почему об этом не говорят в школе, но с точки зрения арифметики ответ очень даже прост.

Возьмем число 10 и поделим его на 2 . Это подразумевает, что мы взяли 10 каких-либо предметов и расставили их по 2 равным группам, то есть 10: 2 = 5 (по 5 предметов в группе). Этот же пример можно записать и с помощью уравнения x * 2 = 10 х здесь будет равен 5 ).

Теперь, на секунду представим, что на ноль делить можно, и попробуем 10 делить на 0 .

Получится следующее: 10: 0 = х , следовательно х * 0 = 10 . Но наши расчеты не могут быть верны, так как при умножении любого числа на 0 всегда получается 0 . В математике не существует такого числа, которое при умножении на 0 давало бы, что-то кроме 0 . Следовательно, уравнения 10: 0 = х и х * 0 = 10 не имеют решения. Ввиду этого и говорят, что на ноль делить нельзя.

Когда можно делить на ноль?

Есть вариант, при котором деление на ноль все же имеет некоторый смысл. Если мы делим сам ноль то получаем следующее 0: 0 = х , а значит х * 0 = 0 .

Предположим, что х=0 , тогда уравнение не вызывает никаких вопросов, все идеально сходится 0: 0 = 0 , а значит и 0 * 0 = 0 .

Но что если х ≠ 0 ? Предположим, что х = 9 ? Тогда 9 * 0 = 0 и 0: 0 = 9 ? А если х=45 , то 0: 0 = 45 .

Мы действительно можем делить 0 на 0 . Но это уравнение будет иметь бесконечное множество решений, так как 0: 0 = чему угодно .

Почему

0: 0 = NaN

Пробовали ли Вы когда-нибудь поделить 0 на 0 на смартфоне? Так как ноль деленный на ноль дает абсолютно любое число, программистам пришлось искать выход из данной ситуации, ведь не может же калькулятор игнорировать ваши запросы. И они нашли своеобразный выход: при делении ноль на ноль вы получите NaN (not a number — не число) .

Почему

x: 0 = а x: -0 = —

Если Вы попробуете на смартфоне разделить какое-либо число на ноль,то ответ будет равен бесконечности. Все дело в том, что в математике 0 иногда рассматривается не как «ничего», а как «бесконечно малая величина». Следовательно, если любое число поделить на бесконечно малую величину, получится бесконечно большая величина (∞) .

Так можно ли делить на ноль?

Ответ, как это часто бывает, неоднозначен. В школе, лучше всего, зарубить себе на носу, что на ноль делить нельзя — это избавит Вас от ненужных сложностей. А вот если будете поступать на математический факультет в университете, на ноль все-таки делить придется.

Сколько будет 2 разделить на 0. Почему нельзя делить на ноль

У математиков специфический юмор и некоторые вопросы, связанные с вычислениями, уже давно не воспринимаются серьезно. Не всегда понятно, пытаются тебе на полном серьезе объяснить, почему нельзя делить на ноль или это очередная шутка. А ведь сам вопрос не такой уж очевидный, если в элементарной математике до его решения можно дойти чисто логически, то вот в высшей вполне могут быть другие исходные условия.

Когда появился ноль?

Цифра ноль таит в себе множество загадок:

  • В Древнем Риме этого числа не знали, система отсчета начиналась с I.
  • За право называться прародителями ноля долгое время спорили арабы и индийцы.
  • Исследования культуры Майя показали, что эта древняя цивилизация вполне могла быть первой, в плане употребления ноля.
  • Ноль не обладает никаким числовым значением, даже минимальным.
  • Он буквально означает ничто, отсутствие предметов для счета.

В первобытном строе не было особой нужды для такой цифры, отсутствие чего-либо можно было объяснить при помощи слов. Но с зарождением цивилизаций повысились и потребности человека, в плане архитектуры и инженерии.

Для осуществления более сложных расчетов и выведения новых функций понадобилось число, которое обозначало бы полное отсутствие чего-либо .

Можно ли делить на ноль?

На этот счет существуют два диаметрально противоположных мнения :

В школе, еще в младших классах учат тому, что на ноль делить нельзя ни в коем случае. Объясняется это предельно просто:

  1. Представим, что у вас есть 20 долек мандарина.
  2. Поделив их на 5, вы раздадите пятерым друзьям по 4 дольки.
  3. Разделить на ноль не получится, ведь самого процесса деления между кем-то не будет.

Конечно же, это образное объяснение, во многом упрощенное и не совсем соответствующее действительности. Но оно предельно доступно поясняет бессмысленность деления чего-либо на ноль.

Ведь, по сути, таким образом можно обозначать факт отсутствия деления. А зачем усложнять математические вычисления и записывать еще и отсутствие деления?

Можно ли ноль делить на число?

С точки зрения прикладной математики, любое деление, в котором принимает участие ноль, имеет не так уж много смысла. Но школьные учебники однозначны в своем мнении:

  • Ноль можно делить.
  • Для деления следует использовать любое число.
  • Нельзя делить ноль на ноль.

Третий пункт может вызвать легкое недоумение, ведь всего несколькими абзацами выше указывалось, что такое деление вполне возможно. На самом деле, все зависит от дисциплины, в рамках которой вы проводите вычисления.

Школьникам в таком случае действительно лучше писать, что выражение невозможно определить , а, следовательно, оно и не имеет смысла. Но в некоторых ответвлениях алгебраической науки допускается запись такого выражения, с делением ноля на ноль. Особенно когда речь идет о вычислительных машинах и языках программирования.

Потребность делить ноль на число может возникнуть во время решения каких-либо равенств и поиска исходных значений. Но в таком случае, в ответе всегда будет ноль . Здесь, как и с умножением, на какое число вы бы не делили ноль, больше ноля в итоге не получите. Поэтому если в огромной формуле заметили это заветное число, постарайтесь быстро «прикинуть», а не сведутся ли все вычисления к очень простому решению.

Если бесконечность делить на ноль

О бесконечно больших и бесконечно малых значениях необходимо было упомянуть чуть раньше, ведь это тоже открывает некоторые лазейки для деления, в том числе и с использованием ноля. Вот правда и тут есть небольшая загвоздка, ведь бесконечно малое значение и полное отсутствие значения — понятия разные .

Но этой небольшой разницей в наших условиях можно пренебречь, в конечном счете, вычисления проходят с использованием абстрактных величин:

  • В числители должен быть знак бесконечности.
  • В знаменатели символическое изображение стремящегося к нулю значения.
  • В ответе выйдет бесконечность, отображающая бесконечно большую функцию.

Следует обратить внимание на то, что речь все же идет о символическом отображении бесконечно малой функции, а не об использовании ноля. С этим знаком ничего не поменялось, на него все так же нельзя делить, только в качестве очень и очень редких исключений.

В большинстве своем ноль используется для решения задач, которые находятся в чисто теоретической плоскости . Возможно, по прошествии десятилетий или даже столетий, всем современным вычислениям найдется практическое применение, и они обеспечат какой-то грандиозный прорыв в науке.

А пока что большинство гениев от математики о всемирном признании лишь мечтают. Исключение из этих правил — наш соотечественник, Перельман . Но его знают благодаря решению действительно эпохальной задачи с доказательством гипотезы Пуанкере и экстравагантному поведению.

Парадоксы и бессмысленность деления на ноль

Деление на ноль, в большинстве своем, не имеет никакого смысла:

  • Деление представляют как функцию, обратную умножению .
  • Мы можем умножить на ноль любое число и получить в ответе ноль.
  • По той же логике, можно было бы делить любое число на ноль.
  • В таких условиях несложно было бы прийти к выводу, что любое число, умноженное или деленное на ноль, равно любому другому числу, над которым провели эту операцию.
  • Откидываем математическое действие и получаем интереснейшее заключение — любое число равно любому числу.

Помимо создания таких вот казусов, деление на ноль не имеет практического значения , от слова вообще. Даже при возможности выполнения этого действия, не выйдет получить никакой новой информации.

С точки зрения элементарной математики, во время деления на ноль происходит разделение целого предмета ноль раз, то есть ни одного раза. Проще говоря — процесса деления не происходит , следовательно, и результата этого события быть не может.

Находясь в одном обществе с математиком, всегда можно задать пару банальных вопросов, по примеру, почему нельзя делить на ноль и получить интересный и доступный для понимания ответ. Или раздраженность, ведь у человека наверняка это спрашивают не в первый раз. И даже не в десятый. Так что берегите своих друзей-математиков, не заставляйте их повторять по сотне раз одно объяснение.

Видео: делим на ноль

В этом видео математик Анна Ломакова расскажет, что произойдет, если поделить какое-либо число на ноль и почему этого делать нельзя, с точки зрения математики:

На самом деле история с делением на ноль не давала покоя его изобретателям (а ). Но индийцы — философы привыкшие к абстрактным задачам. Что значит разделить на ничто? Для европейцев того времени такого вопроса вообще не существовало, так как ни о нуле ни об отрицательных числах (которые левее нуля на шкале) они знать не знали.

В Индии отнять от меньшего большее и получить отрицательное число не составляло проблем. Ведь что значит 3-5=-2 в обычной жизни? Это значит, что кто-то остался должен кому-то 2. Отрицательные числа назывались долгами.

Теперь давайте так же просто разберемся с вопросом деления на нуль. В далеком 598 году нашей эры (только вдумайтесь как давно, более 1400 лет назад!) в Индии родился математик Брахмагупта, который тоже задавался вопросом деления на ноль.

Он предположил, что если взять лимон и начать делить его на части, рано или поздно мы придем к тому, что дольки будут очень маленькими. В воображении мы можем дойти до того, что дольки станут равны нулю. Итак, вопрос, если разделить лимон не на 2, 4 или 10 частей, а на стремящееся к бесконечности количество частей — какого размера получаться дольки?

Получится бесконечное число «нулевых долек». Все довольно просто, нарежем лимон очень мелко, получим лужицу с бесконечным количеством частей.

Но если взяться за математику, то получается как-то нелогично

а*0=0? А если b*0=0? Значит: а*0=b*0. А отсюда: а=b. То есть любое число равно любому числу. Первая неправильность деления на ноль, идем дальше. В математике, деление считается обратным действием умножения.

Это значит, что если мы делим 4 на 2, мы должны найти число, которое при умножении на 2 даст 4 . Делим 4 на ноль — нужно найти число, которое при умножении на ноль даст 4. То есть х*0=4? Но х*0=0! Опять незадача. Получается мы спрашиваем: «Сколько нолей нужно взять, чтобы получилось 4?» Бесконечность? Бесконечное количество нолей все равно даст в сумме ноль.

А деление 0 на 0 вообще дает неопределенность, ведь 0*х=0, где х вообще все что угодно. То есть — бесчисленное множество решений.

Нелогичность и абстрактность операций с нулем не позволяется в узких рамках алгебры, точнее это неопределенная операция. Для нее нужен аппарат посерьезнее — высшая математика. Так что в некотором роде делить на ноль нельзя, но если очень захочется, то делить на ноль можно, но нужно быть готовым понимать такие вещи как дельта-функция Дирака и прочие трудно осознаваемые вещи. Делите на здоровье.

  • Tutorial

Моя трёхлетняя дочка София в последнее время частенько упоминает «ноль», например, в таком контексте:

— Соня, вот ты вроде сначала не послушалась, а затем послушалась, что же получается?..
— Ну… ноль!

Т.е. ощущение отрицательных чисел и нейтральности нуля уже имеет, о как. Скоро поинтересуется: почему же это на ноль делить нельзя?
И вот решил я простыми словами записать всё, что я ещё помню про деление на ноль и всё такое.

Деление вообще лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать.
Ну, или один разделить на икс раз увидеть…

Тут сразу видно, что ноль — это центр жизни, вселенной и всего такого. Ответом на главный вопрос про всё это пусть себе будет 42, а вот центр — по-любому 0. У него даже знака нет, ни плюс (послушалась), ни минус (не послушалась), он таки реально ноль. И в поросятах знает толк.

Потому что если любого поросёнка умножить на ноль, то поросёнка засасывает в эту круглую чёрную дыру, и получается опять ноль. Не такой уж этот ноль и нейтральный, когда дело от сложения-вычитания доходит до умножения, не говоря уже про деление… Там если ноль сверху «0/x» — то опять чёрная дыра. Всё поедает в ноль. А вот если при делении, да ещё и снизу — «x/0», то начинается… следуй за белым кроликом, Соня!

В школе тебе скажут «на ноль делить нельзя» и не покраснеют. В доказательство тыкнут на калькуляторе «1/0=» и обычный калькулятор, тоже не покраснев, напишет «E», «Error», мол, «нельзя — значит нельзя». Хотя что там у тебя будет считаться обычным калькулятором — ещё вопрос. Мне вот сейчас, в 2014-ом, стандартный калькулятор на телефоне-андроиде пишет совсем другое:

Ничего себе бесконечность. Скользи себе взглядом, круги нарезай. Вот тебе и нельзя. Оказывается можно. Если осторожно. Потому что не осторожно мой Android пока тоже не согласен: «0/0=Error», опять нельзя. Попробуем ещё разок: «-1/0 = -∞», о как. Интересное мнение, но я с ним не согласен. Как не согласен и с «0/0=Error».

Кстати, JavaScript, который питает нынешние сайты, тоже не согласен с калькулятором андроида: зайди в консоль браузера (ещё F12?) и напиши там: «0/0» (ввод). JS тебе ответит: «NaN». Это не ошибка. Это «Not a Number» — т.е. какая-то штука такая, но не число. При том что «1/0» JS тоже понимает как «Infinity». Это уже ближе. Но пока только тепло…

В университете — высшая математика. Там пределы, полюса, и прочее шаманство. И всё усложняется, усложняется, ходят вокруг да около, но только бы не нарушать хрустальные законы математики. А вот если не пытаться вписать деление на ноль в эти существующие законы, то можно прочувствовать эту фантастику — на пальцах.

Для этого посмотрим-ка ещё раз на деление:

Следи за правой линией, справа налево. Чем ближе икс к нулю, тем сильнее взлетает вверх разделённое на икс. И где-то там в облаках «плюс бесконечность». Она всегда дальше, как горизонт, её не догонишь.

А теперь следи за левой линией, слева направо. Та же история, только теперь разделённое улетает вниз, бесконечно вниз, в «минус бесконечность». Отсюда и мнение, что «1/0= +∞», а «-1/0 = 1/-0 = -∞».

Но фокус в том, что «0 = -0», нету у нуля знака, если не усложнять с пределами. И вот если поделить единицу на такой «простой» ноль без знака, то не логично ли предположить, что получится и бесконечность — «просто» бесконечность, без знака, как ноль. Где она — сверху или снизу? Она везде — бесконечно далеко от нуля во всех направлениях. Это и есть ноль, вывернутый наизнанку. Ноль — нет ничего. Бесконечность — есть всё. И положительное, и отрицательное. Вообще всё. И сразу. Абсолют.

Но там что-то было про «0/0», что-то другое, не бесконечность… Сделаем такой трюк: «2*0=0», ага, скажет учительница в школе. Ещё: «3*0=0» — опять ага. И немного наплевав на «на ноль делить нельзя», мол, весь мир и так потихоньку делит, получим: «2=0/0» и «3=0/0». В каком там классе это проходят, только без нуля, конечно.

Минуточку, получается «2 = 0/0 = 3», «2=3»?! Вот поэтому и боятся, вот поэтому и «нельзя». Страшнее «1/0» только «0/0», его даже калькулятор андроида боится.

А мы не боимся! Потому что у нас есть сила математики воображения. Мы можем представить себя бесконечным Абсолютом где-то там в звёздах, посмотреть оттуда на грешный мир конечных чисел и людей и понять, что с этой точки зрения они все одинаковые. И «2» c «3», и даже «-1», и училка в школе, возможно, тоже.

Так вот, я скромно предполагаю, что 0/0 — это весь конечный мир, точнее всё, что и не бесконечно и не пустота.

Вот как выглядит ноль, делённый на икс, в моих фантазиях, далёких от официальной математики. На самом деле похоже на 1/х, только перегиб не в единице, а в нуле. Кстати, у 2/x перегиб в двойке, а у 0.5/x — в 0.5.

Получается, 0/x при x=0 принимает все конечные значения — не бесконечности, не пустоту. Там в графике дырочка в нуле, оси проглядывают.

Можно конечно возразить, что «0*0 = 0», а значит ноль (пустота) тоже попадает в категорию 0/0. Чуть забегу вперёд — там будут степени нуля и это возражение разлетится в осколки.

Упс, единичка-то в бесконечности тоже может быть тоже записана как 0/0, получится (0/0)/0 — бесконечность. Вот теперь порядок, всё можно выразить соотношением нулей.

Например, если к бесконечности прибавить конечное, то бесконечность поглотит конечное, останется бесконечностью:
1/0 + 0/0 = (1+0)/0 = 1/0. 0)» — вполне.

Какую из всего этого можно вынести пользу? Ведь даже чуть менее безумные «мнимые числа», что тоже рвут калькуляторы в Error = √-1, и те смогли стать официальной математикой и теперь упрощают расчёты сталеварения.

Как листья на дереве издалека кажутся одинаковыми, но если рассмотреть их внимательнее — они все разные. А если задуматься, то опять одинаковые. И мало чем отличаются от тебя или меня. Вернее, вообще ничем не отличаются, если крепко задуматься.

Польза тут в умении и фокусироваться на отличиях и абстрагироваться. Это очень полезно и в работе, и в жизни, и даже в отношении к смерти.

Вот такие путешествия в кроличью нору, Соня!

Учебник: «Математика» М.И.Моро

Цели урока: создать условия для формирования умения делить 0 на число.

Задачи урока:

  • раскрыть смысл деления 0 на число через связь умножения и деления;
  • развивать самостоятельность, внимание, мышление;
  • формировать навыки решения примеров на табличное умножение и деление.

Для достижения цели урок был разработан с учётом деятельностного подхода.

Структура урока включала в себя:

  1. Орг. момент , целью которого было позитивно настроить детей на учебную деятельность.
  2. Мотивация позволила актуализировать знания, сформировать цели и задачи урока. Для этого были предложены задания на нахождение лишнего числа, классификацию примеров на группы, добавление недостающих чисел . В ходе решения этих заданий, дети столкнулись с проблемой : нашёлся пример, для решения которого не хватает имеющихся знаний. В связи с этим дети самостоятельно сформулировали цель и поставили перед собой учебные задачи урока.
  3. Поиск и открытие нового знания дал возможность детям предложить различные варианты решения задания. Основываясь на ранее изученный материал, они смогли найти верное решение и прийти к выводу , в котором сформулировали новое правило.
  4. Во время первичного закрепления ученики комментировали свои действия,работая по правилу , дополнительно были подобраны свои примеры на это правило.
  5. Для автоматизации действий и умения пользоваться правилам в нестандартных заданиях дети решали уравнения, выражения в несколько действий.
  6. Самостоятельная работа и проведенная взаимопроверка показали, что большинство детей тему усвоили.
  7. Во время рефлексии дети сделали вывод, что поставленная цель урока достигнута и оценили себя с помощью карточек.

В основе урока лежали самостоятельные действия учащихся на каждом этапе, полное погружение в учебную задачу. Этому способствовали такие приёмы, как работа в группах, само- и взаимопроверка, создание ситуации успеха, дифференцированные задания, саморефлексия.

Ход урока

Цель этапа Содержание этапа Деятельность ученика
1. Орг. момент
Подготовка уч-ся к работе, позитивный настрой на учебную деятельность. Стимулирование на учебную деятельность .
Проверьте свою готовность к уроку, сядьте ровно, облокотитесь на спинку стула.
Потрите свои ушки, чтобы кровь активнее поступала в мозг. Сегодня у вас будет много интересной работы, с которой, я уверена, вы справитесь на отлично.
Организация рабочего места, проверка посадки.
2. Мотивация.
Стимулирование познавательной
активности,
активизация мыслительного процесса
Актуализация знаний, достаточных для приобретения нового знания.
Устный счёт.
Проверка знания табличного умножения:
Решение заданий, основанных на знании табличного умножения.
А) найди лишнее число:
2 4 6 7 10 12 14
6 18 24 29 36 42
Объясните, почему оно лишнее и каким числом его надо заменить.
Нахождение лишнего числа.
Б) вставьте пропущенные числа:
… 16 24 32 … 48 …
Добавление недостающего числа.
Создание проблемной ситуации
Задания в парах:
В) расставьте примеры в 2 группы:

Почему так распределили? (с ответом 4 и 5).
Классификация примеров по группам.
Карточки:
8·7-6+30:6=
28:(16:4)·6=
30-(20-10:2):5=
30-(20-10·2):5=
Сильные ученики работают по индивидуальным карточкам.
Что вы заметили? Есть ли здесь лишний пример?
Все ли примеры вы смогли решить?
У кого возникли затруднения?
Чем этот пример отличается от остальных?
Если кто-то решил, то молодец. Но почему не все смогли справиться с этим примером?
Нахождение затруднения.
Выявление недостающего знания, причины затруднения.
Постановка учебной задачи.
Здесь есть пример с 0. А от 0 можно ожидать разные фокусы. Это необычное число.
Вспомните, что вы знаете про 0? (а·0=0, 0·а=0, 0+а=а)·
Приведите примеры.
Посмотрите, какой он коварный: когда его прибавляют, он не изменяет число, а когда умножают, превращают его в 0.
Подходят ли эти правила к нашему примеру?
Как же он поведёт себя при елении?
Наблюдение над известными приёмами действий с 0 и соотношение с исходным примером.
Итак, какова наша цель? Решить этот пример верно.
Таблица на доске.
Что для этого надо? Узнать правило деления 0 на число.
Выдвижение гипотезы,
Как же найти верное решение?
С каким действием связано умножение? (с делением)
Приведите пример
2 · 3 = 6
6: 2 = 3

Можем ли мы теперь 0:5?
Это значит, надо найти число, при умножении которого на 5 получится 0.
х·5=0
Это число 0. Значит, 0:5=0.

Приведите свои примеры.

поиск решения на основе ранее изученного,
Формулирование правила.
Какое же правило теперь можно сформулировать?
При делении 0 на число получается 0.
0: а = 0.
Решение типовых заданий с комментированием.
Работа по схеме (0:а=0)
5. Физминутка.
Профилактика нарушения осанки, снятие усталости с глаз, общего утомления.
6. Автоматизация знаний.
Выявление границ применимости нового знания. В каких ещё заданиях может понадобиться знание этого правила? (в решении примеров, уравнений)
Использование полученных знаний в разных заданиях.
Работа в группах.
Что неизвестно в этих уравнениях?
Вспомните, как узнать неизвестный множитель.
Решите уравнения.
Какое решение в 1 уравнении? (0)
Во 2? (нет решения, на 0 делить нельзя)
Обращение к ранее изученным умениям.
** Составьте уравнение с решением х=0 (х·5=0) Для сильных уч-ся творческое задание
7. Самостоятельная работа.
Развитие самостоятельности, познавательных способностей Самостоятельная работа с последующей взаимопроверкой.
№6
Активные умственные действия учащихся, связанные с поисками решения, опираясь на свои знания. Самоконтроль и взаимоконтроль.
Сильные ученики проверяют и помогают более слабым.
8. Работа над ранее пройденным материалом. Отработка умения решения задач.
Формирование навыка решения задач. Как вы думаете, часто ли в задачах используется число 0?
(Нет, не часто, т.к. 0 – это ничего, а в задачах должно какое-то количество чего-либо.)
Тогда будем решать задачи, где есть другие числа.
Прочитайте задачу. Что поможет решить задачу? (таблица)
Какие столбики в таблице надо записать? Заполните таблицу. Составьте план решения: что надо узнать в 1, во 2 действии?
Работа над задачей с использованием таблицы.
Планирование решения задачи.
Самостоятельная запись решения.
Самоконтроль по образцу.
9. Рефлексия. Итоги урока.
Организация самооценки деятельности. Повышение мотивации ребёнка.
Над какой темой сегодня работали? О чём вы не знали в начале урока?
Какую цель ставили перед собой?
Достигли вы её? С каким правилом познакомились?
Оцените свою работу, выставив соответствующий значок:
солнышко – я доволен собой, у меня всё получилось
белое облако – всё хорошо, но я мог работать лучше;
серое облако – урок обычный, ничего интересного;
капелька – ничего не получилось
Осознавание своей деятельности, самоанализ своей работы. Фиксация соответствия результатов деятельности и поставленной цели.
10. Домашнее задание.

«Делить на ноль нельзя!» — большинство школьников заучивает это правило наизусть, не задаваясь вопросами. Все дети знают, что такое «нельзя» и что будет, если в ответ на него спросить: «Почему?» А ведь на самом деле очень интересно и важно знать, почему же нельзя.

Всё дело в том, что четыре действия арифметики — сложение, вычитание, умножение и деление — на самом деле неравноправны. Математики признают полноценными только два из них — сложение и умножение. Эти операции и их свойства включаются в само определение понятия числа. Все остальные действия строятся тем или иным образом из этих двух.

Рассмотрим, например, вычитание. Что значит 5 – 3? Школьник ответит на это просто: надо взять пять предметов, отнять (убрать) три из них и посмотреть, сколько останется. Но вот математики смотрят на эту задачу совсем по-другому. Нет никакого вычитания, есть только сложение. Поэтому запись 5 – 3 означает такое число, которое при сложении с числом 3 даст число 5. То есть 5 – 3 — это просто сокращенная запись уравнения: x + 3 = 5. В этом уравнении нет никакого вычитания. Есть только задача — найти подходящее число.

Точно так же обстоит дело с умножением и делением. Запись 8: 4 можно понимать как результат разделения восьми предметов по четырем равным кучкам. Но в действительности, это просто сокращенная форма записи уравнения 4 x = 8.

Вот тут-то и становится ясно, почему нельзя (а точнее невозможно) делить на ноль. Запись 5: 0 — это сокращение от 0 x = 5. То есть это задание найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5. Но мы знаем, что при умножении на 0 всегда получается 0. Это неотъемлемое свойство нуля, строго говоря, часть его определения.

Такого числа, которое при умножении на 0 даст что-то кроме нуля, просто не существует. То есть наша задача не имеет решения. (Да, такое бывает, не у всякой задачи есть решение. ) А значит, записи 5: 0 не соответствует никакого конкретного числа, и она просто ничего не обозначает, и потому не имеет смысла. Бессмысленность этой записи кратко выражают, говоря, что на ноль делить нельзя.

Самые внимательные читатели в этом месте непременно спросят: а можно ли ноль делить на ноль? В самом деле, ведь уравнение 0 x = 0 благополучно решается. Например, можно взять x = 0, и тогда получаем 0 0 = 0. Выходит, 0: 0=0? Но не будем спешить. Попробуем взять x = 1. Получим 0 1 = 0. Правильно? Значит, 0: 0 = 1? Но ведь так можно взять любое число и получить 0: 0 = 5, 0: 0 = 317 и т. д.

Но если подходит любое число, то у нас нет никаких оснований остановить свой выбор на каком-то одном из них. То есть мы не можем сказать, какому числу соответствует запись 0: 0. А раз так, то мы вынуждены признать, что эта запись тоже не имеет смысла. Выходит, что на ноль нельзя делить даже ноль. (В математическом анализе бывают случаи, когда благодаря дополнительным условиям задачи можно отдать предпочтение одному из возможных вариантов решения уравнения 0 x = 0; в таких случаях математики говорят о «раскрытии неопределенности», но в арифметике таких случаев не встречается. )

Вот такая особенность есть у операции деления. А точнее — у операции умножения и связанного с ней числа ноль.

Ну, а самые дотошные, дочитав до этого места, могут спросить: почему так получается, что делить на ноль нельзя, а вычитать ноль можно? В некотором смысле, именно с этого вопроса и начинается настоящая математика. Ответить на него можно только познакомившись с формальными математическими определениями числовых множеств и операций над ними. Это не так уж сложно, но почему-то не изучается в школе. Зато на лекциях по математике в университете вас, в первую очередь, будут учить именно этому.

Добровольный читательский взнос на поддержание проекта

Делить на ноль — это норма. Часть 1 / Хабр

Часть 1. Вобще-то уже все поделили до нас!
Часть 2. Истина где-то рядом

Говорят, можно поделить на ноль если определить результат деления на ноль. Просто нужно расширить алгебру. По странному стечению обстоятельств найти хоть какой-то, а лучше понятный и простой, пример такого расширения не удается. Чтобы исправить интернет нужна либо демонстрация одного из способов такого расширения, либо описание почему это не возможно.


Статья написана в продолжение тренда:

  • Папа, а почему на ноль делить нельзя?
  • Почему нельзя делить на ноль, даже если очень хочется?

Disclaimer

Цель данной статьи — объяснить «человеческим языком», как работают фундаментальные основы математики, структурировать знания и восстановить упущенные причинно-следственные связи между разделами математики. Все рассуждения являются философскими, в части суждений расходятся с общепринятыми (следовательно, не претендует на математическую строгость). Статья рассчитана на уровень читателя «сдал вышку много лет назад».

Понимание принципов арифметики, элементарной, общей и линейной алгебры, математического и нестандартного анализа, теории множеств, общей топологии, проективной и аффинной геометрии — желательно, но не обязательно.

В ходе экспериментов ни одна бесконечность не пострадала.

Пролог

Выход «за рамки» — это естественный процесс поиска новых знаний. Но не всякий поиск приносит новое знание и следовательно пользу.

1. Вобще-то уже все поделили до нас!


1.1 Аффинное расширение числовой прямой

Начнем с того, с чего начинают, наверное, все искатели приключений при делении на ноль. Вспомним график функции .

Слева и справа от нуля функция уходит в разные стороны «небытия». В самом нуле вообще “омут” и ничего не видно.

Вместо того, чтобы бросаться в «омут» с головой, посмотрим что туда втекает и что оттуда вытекает. Для этого воспользуемся пределом — основным инструментом математического анализа. Основная “фишка” в том, что предел позволяет идти к заданной точке так близко, как это возможно, но не “наступить на нее”. Такая себе “оградка” перед “омутом”.


Оригинал

Хорошо, «оградку» поставили. Уже не так страшно. У нас есть два пути к «омуту». Зайдем слева — крутой спуск, справа — крутой подъем. Сколько к “оградке” не иди, ближе она не становится. Пересечь нижнее и верхнее «небытие» никак не выходит. Возникают подозрения, может мы идем по кругу? Хотя нет, числа-то меняются, значит не по кругу. Пороемся в сундучке с инструментами математического анализа еще. Кроме пределов с «оградкой» в комплекте идет положительная и отрицательная бесконечности. Величины совершенно абстрактные (не являются числами), хорошо формализованы и готовы к употреблению! Это нам подходит. Дополним наше «бытие» (множество вещественных чисел) двумя бесконечностями со знаком.

Математическим языком:

Именно это расширение позволяет брать предел при аргументе стремящемся к бесконечности и получить бесконечность в качестве результата взятия предела.

Есть два раздела математики которые описывают одно и тоже используя разную терминологию.

С геометрической точки зрения выполнено аффинное расширение числовой прямой. То есть привычная последовательность вещественных чисел “сжата” так, чтобы можно было оперировать границами этой последовательности. В качестве границ (условных) введены две абстрактные бесконечно большие величины. Расширение аффинное, но это не значит что оно пришло из Греции, это значит что сохраняется относительное положение точек (в нашем случае чисел) на прямой. Отсюда и следует, что сохраняются отношения “больше” и ”меньше” как для чисел между собой, так и в сравнении с границами.



С точки зрения общей топологии выполнена двухточечная компактификация числовой прямой путем добавления двух идеализированных точек (бесконечностей с противоположным знаком).

1.2 Проективное расширение числовой прямой

Прогуливаясь по графику , у нас есть только два пути к нулю (слева и справа). В конце каждого пути стоит небольшая «оградка». По странному стечению обстоятельств одна и та же «оградка» оказалась и на дне и на вершине «бытия». Если мы хотим чтобы пути сошлись, то за «оградкой» нам нужен телепорт из одного конца «бытия» в другой. Мы уже такие телепорты видали. Не проблема.

Попробуем состыковать обе границы «бытия» так, как это делали наши предки. Перейдем на одно измерение выше. Отобразим одномерную линию на двумерной плоскости.

После стыковки наличие двух знаковых бесконечностей теряет смысл. Вместо них можно ввести одну общую точку пересечения, беззнаковую бесконечность.


Эта стыковка очень похожа на линию перемены даты находящуюся (в основном), между часовыми поясами UTC+12 и UTC-12 в Тихом океане. Именно там находится телепорт из сегодня во вчера и из сегодня в завтра. У нас же телепорт из сверхмалых в сверхбольшие.

Математическим языком:

По факту это самостоятельное расширение, проведенное над исходным множеством вещественных чисел. Данное расширение не основывается на рассмотренном ранее аффинном расширении.

С геометрической точки зрения выполнено проективное расширение числовой прямой (есть информация на wolfram. com). То есть введена идеализированная точка которая соединяет оба конца вещественной прямой. Так как расширение не аффинное, сравнение вещественных чисел с бесконечностью не определено.

С точки зрения общей топологии выполнена одноточечная компактификация числовой прямой путем добавления идеализированной точки (бесконечности без знака).

Аналогичным расширением над полем комплексных чисел является широко известная в математических кругах Сфера Римана.

Хорошо, избавились от знака минус. Однако в нуле у нас разрыв второго рода и устранимой точкой разрыва его нельзя считать по определению. Нарушается требование «конечности» предела. Соответственно мы не можем судить о равенстве предела справа и слева.

Но так как приближение к бесконечности выполняется по одинаковым правилам, мы можем утверждать что пределы слева и справа совпадают. Соответственно мы можем принять наш разрыв за точку устранимого разрыва в бесконечности.

Математическим языком:

Посмотрим внимательнее, как мы оперируем бесконечно большими и малыми величинами. При операциях мы часто пренебрегаем малыми низшего порядка попросту отбрасывая их при записи результата.
Аналогичная ситуация при нахождении производных
Отбрасывая «мелочевку» мы теряем информацию! Это хорошо видно на примере взятия пределов. Рассмотрим две функции, которые стремятся к положительной бесконечности при стремлении аргумента к нулю справа.
Однако одинаковая запись результата взятия предела не свидетельствует о их равенстве. Данные бесконечности разного порядка и это подтверждается отсутствием конечного предела в отношении одной функции к другой.
В нестандартном анализе такие упрощения не допустимы. Поле вещественных чисел расширяется путем введения гиперреальных чисел. Бесконечно малые представлены в виде привычного значения — ноль, но в довесок хранится вся выкинутая “мелочевка”. Для бесконечно больших потенциальная бесконечность (две или одна — неважно), разбивается на множество актуальных бесконечностей. С одной стороны мы усложняем (теряем возможность поглощения/пренебрежения). С другой стороны мы приобретаем возможность сравнения бесконечно малых и бесконечно больших величин. А это значит что мы можем рассматривать бесконечности как числа.


Для функции актуальные бесконечности слева и справа от нуля равны (по модулю, т.е. не учитывая знак), так как:

  • с обеих сторон путь (количество элементов, которые нужно пройти) от нуля до бесконечности одинаков;
  • алгоритм приближения (формула в виде дроби) одинаков;
  • знак минус в алгоритме не влияет на скорость или ускорение приближения к бесконечности.

Стоит отметить что указанные критерии условны и не приведены к формальным определениям нестандартного анализа.

Для дальнейших рассуждений понятие актуальной бесконечности нам больше не потребуется. Мы возвращаемся в привычный мир где будем оперировать понятием бесконечность, подразумевая потенциальную бесконечность.

Хорошо, пределы совпадают. Теперь, похоже, все готово для устранения разрыва между ними.

В математической модели, использующей проективное расширение числовой прямой, деление на ноль определено.

Создается впечатление что наша задача решена. Однако не будем спешить, посмотрим к каким последствиям это привело. В дополнение к делению в системе определены следующие операции (напомним, что бесконечность беззнаковая).

Практически все они с дополнительными условиями, это настораживает. Но не будем спешить, лучше посмотрим на список неопределенных операций:

Посмотрим как будет вести себя дистрибутивный закон. Подставим в него определенные значения и выполним требуемые операции.

Как следствие, часть тождеств перестает вести себя так как мы привыкли. Однако, они не исчезли бесследно. Дистрибутивный закон работает только справа налево (т. е. в случае, когда правая часть равенства определена). Это один из ярких примеров негативных последствий. Другие же тождества сохранилась в более-менее устойчивой форме.

Подытожим:

  1. Изменилось привычное поведение тождеств. Чтобы ими оперировать, нужно не забывать про новые дополнительные условия.
  2. Искажено привычное поведение нуля. Мы привыкли рассуждать, если ноль раз взять что-либо, то будет ноль. Однако в данной алгебраической системе произведение нуля на бесконечность не определено. Соответственно алгебраическое выражение с переменными, в котором встречается например такая запись , не может быть упрощено в одностороннем порядке.
  3. Исчезает возможность привычного сравнения. Сравнение на больше-меньше определено только на части пространства. Например, сравнение вещественных чисел с бесконечностью не определено.
  4. Полученная алгебраическая структура не поле в терминах общей алгебры. Нарушается дистрибутивный закон (показано выше). Так же не существует обратного элемента для бесконечности (произведение этого элемента и бесконечности должно дать единицу). Последние можно рассматривать как следствие неопределенности деления бесконечности на бесконечность. Но все же следует понимать что это грубое упрощение. Строгое определение обратного элемента не связано с операцией деления.

В сухом остатке. Старые подходы перестали работать. Сложность системы, в виде кучи “если”, “для всех, кроме” и т.п., возросла. У нас было только две неопределенности 1/0 и 0/0 (мы не рассматривали степенные операции), стало пять. Раскрытие одной неопределенности породило еще больше неопределенностей.


1.2 Колесо

На введении беззнаковой бесконечности все не остановилось. Для того чтобы выбраться из неопределенностей нужно второе дыхание.

Итак, у нас есть множество вещественных чисел и две неопределенности 1/0 и 0/0. Для устранения первой мы выполнили проективное расширение числовой прямой (то есть ввели беззнаковую бесконечность). Попробуем разобраться со второй неопределенностью вида 0/0. Сделаем аналогично. Дополним множество чисел новым элементом, представляющим вторую неопределенность.

Определение операции деления основано на умножении. Это нам не подходит. Отвяжем операции друг от друга, но сохраним привычное поведение для вещественных чисел. Определим унарную операцию деления, обозначаемую знаком «/».

Доопределим операции.

Данная структура называется «Колесом» (Wheel). Термин был взят из-за схожести с топологической картинкой проективного расширения числовой прямой и точки 0/0.

Вроде все неплохо выглядит, но дьявол кроется в деталях:

  • Умножение ∞ либо ⊥ на ноль не дает ноль. Это приводит к тому, что в общем случае.
  • Для ∞ и ⊥ отсутствуют обратные элементы по обеим бинарным операциям. Это значит, что по умножению в общем случае. Как следствие, нет возможности ввести бинарную операцию деления покрывающую все пространство.
  • Симметричная ситуация по сложению, в общем случае.

Чтобы устаканить все особенности, дополнительно к расширению множества элементов прилагается бонус в виде не одного, а двух тождеств, описывающих дистрибутивный закон.

Математическим языком:

С точки зрения общей алгебры мы оперировали полем. А в поле, как известно, определены всего две операции (сложение и умножение). Понятие деления выводится через обратные, а если еще глубже, то единичные элементы. Внесенные изменения превращают нашу алгебраическую систему в моноид как по операции сложения (с нулем в качестве нейтрального элемента), так и по операции умножения (с единицей в качестве нейтрального элемента).

В трудах первооткрывателей не всегда используются символы ∞ и ⊥. Вместо этого можно встретить запись в виде /0 и 0/0.

Мир уже не так прекрасен, не правда ли? Все же не стоит спешить. Проверим, справятся ли новые тождества дистрибутивного закона с нашим расширенным множеством .

На этот раз результат намного лучше.

Подытожим:

  1. Все операции хорошо определены и нет возможности «вывалиться за борт».
  2. Элементарная алгебра является частным случаем колеса. Если мы отбросим надстройки ∞ и ⊥ (то есть снова сможем утверждать что и ), то все формулы выродятся в привычные.
  3. По ощущениям все что было “не определено” (Undefined) при проективном расширении было обозначено символом . Данный объект так же поглощает все с чем столкнется как и “не определено”. Все щели, где появились неопределенности при проективном расширении, были заткнуты данным объектом.

В сухом остатке. Алгебра работает отлично. Однако за основу было взято понятие «не определено» которое стали считать чем-то существующим и оперировать им. Однажды кто-нибудь скажет, что все плохо и нужно разбить данное «не определено» еще на несколько “не определено», но помельче. Общая алгебра скажет: “Без проблем, Бро!».
Примерно так постулированы дополнительные (j и k) мнимые единицы в кватернионах.

Стоит отметить, существуют и другие алгебраические системы с делением. Например, «луга» (common meadows). Они чуть проще, так как не расширяют пространство, вводя новые элементы. Цель достигается как в колесах, трансформацией операций сложения и умножения, а так же отказом от бинарного деления.

Возможность «передвигать неизвестные» для математики норма. Но все эти обертки не дают ответа на главный вопрос, что же там внутри?


Полезная литература

  • Setzer, Anton (Drafts): Wheels, 1997 (pdf)
  • Carlström, Jesper: Wheels — on division by zero, 2001 (pdf)
  • P. J. Potts: Exact Real Arithmetic using Möbius Transformations, 1998 (pdf)
  • Jan A. Bergstra & Alban Ponse: Division by Zero in Common Meadows (pdf)
  • A.Edalat and P. J. Potts. A new representation for exact real numbers, 2000
  • http://en.wikipedia.org/wiki/Undefined_(mathematics)
  • http://en.wikipedia.org/wiki/Wheel_theory
  • Форум dxdy — Деление на ноль (2)
  • Форум dxdy — Деление на ноль возможно (12)

Mathway | Популярные задачи

1 Найти объем сфера (5)
2 Найти площадь окружность (5)
3 Найти площадь поверхности сфера (5)
4 Найти площадь окружность (7)
5 Найти площадь окружность (2)
6 Найти площадь окружность (4)
7 Найти площадь окружность (6)
8 Найти объем сфера (4)
9 Найти площадь окружность (3)
10 Вычислить (5/4(424333-10220^2))^(1/2)
11 Разложить на простые множители 741
12 Найти объем сфера (3)
13 Вычислить 3 квадратный корень из 8*3 квадратный корень из 10
14 Найти площадь окружность (10)
15 Найти площадь окружность (8)
16 Найти площадь поверхности сфера (6)
17 Разложить на простые множители 1162
18 Найти площадь окружность (1)
19 Найти длину окружности окружность (5)
20 Найти объем сфера (2)
21 Найти объем сфера (6)
22 Найти площадь поверхности сфера (4)
23 Найти объем сфера (7)
24 Вычислить квадратный корень из -121
25 Разложить на простые множители 513
26 Вычислить квадратный корень из 3/16* квадратный корень из 3/9
27 Найти объем прямоугольный параллелепипед (2)(2)(2)
28 Найти длину окружности окружность (6)
29 Найти длину окружности окружность (3)
30 Найти площадь поверхности сфера (2)
31 Вычислить 2 1/2÷22000000
32 Найти объем прямоугольный параллелепипед (5)(5)(5)
33 Найти объем прямоугольный параллелепипед (10)(10)(10)
34 Найти длину окружности окружность (4)
35 Перевести в процентное соотношение 1. 2-4*-1+2
45 Разложить на простые множители 228
46 Вычислить 0+0
47 Найти площадь окружность (9)
48 Найти длину окружности окружность (8)
49 Найти длину окружности окружность (7)
50 Найти объем сфера (10)
51 Найти площадь поверхности сфера (10)
52 Найти площадь поверхности сфера (7)
53 Определить, простое число или составное 5
54 Перевести в процентное соотношение 3/9
55 Найти возможные множители 8
56 Вычислить (-2)^3*(-2)^9
57 Вычислить 35÷0. 2
60 Преобразовать в упрощенную дробь 2 1/4
61 Найти площадь поверхности сфера (12)
62 Найти объем сфера (1)
63 Найти длину окружности окружность (2)
64 Найти объем прямоугольный параллелепипед (12)(12)(12)
65 Сложение 2+2=
66 Найти площадь поверхности прямоугольный параллелепипед (3)(3)(3)
67 Вычислить корень пятой степени из 6* корень шестой степени из 7
68 Вычислить 7/40+17/50
69 Разложить на простые множители 1617
70 Вычислить 27-( квадратный корень из 89)/32
71 Вычислить 9÷4
72 Вычислить 2+ квадратный корень из 21
73 Вычислить -2^2-9^2
74 Вычислить 1-(1-15/16)
75 Преобразовать в упрощенную дробь 8
76 Оценка 656-521
77 Вычислить 3 1/2
78 Вычислить -5^-2
79 Вычислить 4-(6)/-5
80 Вычислить 3-3*6+2
81 Найти площадь поверхности прямоугольный параллелепипед (5)(5)(5)
82 Найти площадь поверхности сфера (8)
83 Найти площадь окружность (14)
84 Преобразовать в десятичную форму 11/5
85 Вычислить 3 квадратный корень из 12*3 квадратный корень из 6
86 Вычислить (11/-7)^4
87 Вычислить (4/3)^-2
88 Вычислить 1/2*3*9
89 Вычислить 12/4-17/-4
90 Вычислить 2/11+17/19
91 Вычислить 3/5+3/10
92 Вычислить 4/5*3/8
93 Вычислить 6/(2(2+1))
94 Упростить квадратный корень из 144
95 Преобразовать в упрощенную дробь 725%
96 Преобразовать в упрощенную дробь 6 1/4
97 Вычислить 7/10-2/5
98 Вычислить 6÷3
99 Вычислить 5+4
100 Вычислить квадратный корень из 12- квадратный корень из 192

0 2 сколько получится.

Можно ли делить на ноль? Отвечает математик. Постановка учебной задачи

Ноль сам по себе цифра очень интересная. Сам по себе означает пустоту, отсутствие значения, а рядом с другой цифрой увеличивает ее значимость в 10 раз. Любые числа в нулевой степени всегда дают 1. Этот знак использовали еще в цивилизации майя, причем он у них еще обозначал понятие «начало, причина». Даже календарь у начинался с нулевого дня. А еще эта цифра связана со строгим запретом.

Еще с начальных школьных лет все мы четко усвоили правило «на ноль делить нельзя». Но если в детстве многое воспринимаешь на веру и слова взрослого редко вызывают сомнения, то со временем иногда хочется все-таки разобраться в причинах, понять, почему были установлены те или иные правила.

Почему нельзя делить на ноль? На этот вопрос хочется получить понятное логическое объяснение. В первом классе учителя это сделать не могли, потому как в математике правила объясняются с помощью уравнений, а в том возрасте мы и представления не имели о том, что это такое. А теперь пришла пора разобраться и получить понятное логическое объяснение того, почему нельзя делить на ноль.

Дело в том, что в математике лишь две из четырех основных операций (+, — , х, /) с числами признаются независимыми: умножение и сложение. Остальные же операции принято считать производными. Рассмотрим простенький пример.

Вот скажите, сколько получится, если от 20 отнять 18? Естественно, в нашей голове моментально возникает ответ: это будет 2. А как мы пришли к такому результату? Кому-то этот вопрос покажется странным — ведь и так все ясно, что получится 2, кто-то пояснит, что от 20 копеек отнял 18 и у него получилось две копейки. Логически все эти ответы не вызывают сомнений, однако с точки зрения математики решать эту задачу следует по-другому. Еще раз напомним, что главными операциями в математике являются умножение и сложение и поэтому в нашем случае ответ кроется в решении следующего уравнения: х + 18 = 20. Из которого и вытекает, что х = 20 — 18, х =2. Казалось бы, зачем так подробно все расписывать? Ведь и так все элементарно просто. Однако без этого тяжело объяснить почему нельзя делить на ноль.

А теперь посмотрим что получится если мы пожелаем 18 разделить на ноль. Снова составим уравнение: 18: 0 = х. Поскольку операция деления является производной от процедуры умножения, то преобразовав наше уравнение получим х * 0 = 18. Вот здесь как раз и начинается тупик. Любое число на месте икса при умножении на ноль даст 0 и получить 18 нам никак не удастся. Теперь становится предельно ясно почему нельзя делить на ноль. Сам ноль можно делить на какое-угодно число, а вот наоборот — увы, никак нельзя.

А что получится, если ноль разделить на самого себя? Это можно записать в таком виде: 0: 0 = х, или х * 0 = 0. Это уравнение имеет бесчисленное число решений. Поэтому в итоге получается бесконечность. Поэтому операция и в этом случае тоже не имеет смысла.

Деление на 0 лежит в корне многих мнимых математических шуток, которыми при желании можно озадачить любого несведущего человека. К примеру, рассмотрим уравнение: 4*х — 20 = 7*х — 35. Вынесем за скобки в левой части 4, а в правой 7. Получим: 4*(х — 5) = 7*(х — 5). Теперь умножим левую и правую часть уравнения на дробь 1 / (х — 5). Уравнение примет такой вид: 4*(х — 5)/(х — 5) = 7*(х — 5)/ (х — 5). Сократим дроби на (х — 5) и у нас выйдет, что 4 = 7. Из этого можно сделать вывод, что 2*2 = 7! Конечно, подвох здесь в том, что равен 5 и сокращать дроби было нельзя, поскольку это приводило к делению на ноль. Поэтому при сокращении дробей нужно всегда проверять чтобы ноль случайно не оказался в знаменателе, иначе результат получится совсем непредсказуемым.

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (489,5 кБ)

  1. Ввести частные случаи умножения с 0 и 1.
  2. Закрепить смысл умножения и переместительное свойство умножения, отрабатывать вычислительные навыки.
  3. Развивать внимание, память, мыслительные операции, речь, творческие способности, интерес к математике.

Оборудование: Слайдовая презентация: Приложение1.

1. Организационный момент.

Сегодня у нас необычный день. На уроке присутствуют гости. Порадуйте меня, друзей, гостей своими успехами. Откройте тетради, запишите число, классная работа. На полях отметьте свое настроение в начале урока. Слайд 2.

Устно весь класс повторяет таблицу умножения на карточках с проговариванием вслух (неправильные ответы дети отмечают хлопками).

Физкультминутка (“Мозговая гимнастика”, “Шапка для размышления”, на дыхание).

2. Постановка учебной задачи.

2.1. Задания на развитие внимания.

На доске и на столе у детей двухцветная картинка с числами:

– Что интересного в записанных числах? (Записаны разными цветами; все “красные” числа – четные, а “синие” – нечетные.)
– Какое число лишнее? (10 – круглое, а остальные нет; 10 – двузначное, а остальные однозначные; 5 – повторяется два раза, а остальные – по одному.)
– Закрою число 10. Есть ли лишнее среди остальных чисел? (3 – у него нет пары до 10, а у остальных есть. )
– Найдите сумму всех “красных” чисел и запишите ее в красном квадрате. (30.)
– Найдите сумму всех “синих” чисел и запишите ее в синем квадрате. (23.)
– На сколько 30 больше, чем 23? (На 7.)
– На сколько 23 меньше, чем 30? (Тоже на 7.)
– Каким действием искали? (Вычитанием.) Слайд 3.

2.2. Задания на развитие памяти и речи. Актуализация знаний.

а) – Повторите по порядку слова, которые я назову: слагаемое, слагаемое, сумма, уменьшаемое, вычитаемое, разность. (Дети пытаются воспроизвести порядок слов.)
– Компоненты каких действий назвали? (Сложение и вычитание.)
– С каким действием вы еще знакомы? (Умножение, деление.)
– Назовите компоненты умножения. (Множитель, множитель, произведение.)
– Что обозначает первый множитель? (Равные слагаемые в сумме.)
– Что обозначает второй множитель? (Число таких слагаемых.)

Запишите определение умножения.

б) – Рассмотрите записи. Какое задание будете выполнять?

12 + 12 + 12 + 12 + 12
33 + 33 + 33 + 33
а + а + а

(Заменить сумму произведением.)

Что получится? (В первом выражении 5 слагаемых, каждый из которых равен 12, поэтому оно равно 12 5. Аналогично – 33 4, а 3)

в) – Назовите обратную операцию. (Заменить произведение суммой.)

– Замените произведение суммой в выражениях: 99 2. 8 4. Ь 3. (99 + 99, 8 + 8 + 8 + 8, b + b + b) . Слайд 4.

г) На доске записаны равенства:

81 + 81 = 81 – 2
21 3 = 21 + 22 + 23
44 + 44 + 44 + 44 = 44 + 4
17 + 17 – 17 + 17 – 17 = 17 5

Рядом с каждым равенством помещаются картинки.

– Зверюшки лесной школы выполняли задание. Правильно ли они его выполнили?

Дети устанавливают, что слон, тигр, заяц и белка ошиблись, объясняют, в чем их ошибки. Слайд 5.

д) Сравните выражения:

8 5. 5 8
5 6. 3 6
34 9… 31 2
а 3. а 2 + а

(8 5 = 5 8, так как от перестановки слагаемых сумма не изменяется;
5 6 > 3 6, так как слева и справа по 6 слагаемых, но слева слагаемые больше;
34 9 > 31 2. так как слева слагаемых больше и сами слагаемые больше;
а 3 = а 2 + а, так как слева и справа по 3 слагаемых, равных а.)

– Какое свойство умножения использовали в первом примере? (Переместительное.) Слайд 6.

2.3. Постановка проблемы. Целеполагание.

Верны ли равенства? Почему? (Верны, так как сумма 5 + 5 + 5 = 15. потом в сумме становится на одно слагаемое 5 больше, и сумма увеличивается на 5.)

5 3 = 15
5 4 = 20
5 5 = 25
5 6 = 30

– Продолжите эту закономерность направо. (5 7 = 35; 5 8 = 40.)
– Продолжите ее теперь налево. (5 2 = 10; 5 1=5; 5 0 = 0.)
– А что означает выражение 5 1? 5 0? (? Проблема!)

Однако выражения 5 1 и 5 0 не имеют смысла. Мы можем условиться считать эти равенства верными. Но для этого надо проверить, не нарушим ли мы переместительное свойство умножения.

Итак, цель нашего урока – установить, сможем ли мы считать равенства 5 1 = 5 и 5 0 = 0 верными?

– Проблема урока! Слайд 7.

3. “Открытие” детьми нового знания.

а) – Выполните действия: 1 7, 1 4, 1 5.

Дети решают примеры с комментированием в тетради и на доске:

1 7 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7
1 4 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
1 5 = 1 + 1 + 1 + 1 +1 = 5

– Сделайте вывод: 1 а – ? (1 а = а.) Выставляется карточка: 1 а = а

б) – Имеют ли смысл выражения 7 1, 4 1, 5 1? Почему? (Нет, так как в сумме не может быть одно слагаемое.)

– Чему они должны быть равны, чтобы не нарушалось переместительное свойство умножения? (7 1 тоже должно быть равно 7, поэтому 7 1 = 7.)

Аналогично рассматриваются 4 1 = 4; 5 1 = 5.

– Сделайте вывод: а 1 = ? (а 1 = а.)

Выставляется карточка: а 1 = а. Накладывается первая карточка на вторую: а 1 = 1 а = а.

– Совпадает наш вывод с тем, что у нас получилось на числовом луче? (Да.)
– Переведите это равенство на русский язык. (При умножении числа на 1 или 1 на число получается то же самое число.)
– Молодцы! Итак, будем считать: а 1 = 1 а = а. Слайд 8.

2) Аналогично исследуется случай умножения с 0. Вывод:

– при умножении числа на 0 или 0 на число получается нуль: а 0 = 0 а = 0. Слайд 9.
– Сравните оба равенства: что вам напоминают 0 и 1?

Дети высказывают свои версии. Можно обратить их внимание на образы:

1 – “зеркальце”, 0 – “страшный зверь” или “шапка-невидимка”.

Молодцы! Итак, при умножении на 1 получается то же самое число (1 – “зеркальце”) , а при умножении на 0 получается 0 (0 – “шапка-невидимка”).

4. Физкультминутка (для глаз – “круг”, “вверх – вниз”, для рук – “замок”, “кулачки”).

5. Первичное закрепление.

На доске записаны примеры:

Дети решают их в тетради и на доске с проговариванием в громкой речи полученных правил, например:

3 1 = 3, так как при умножении числа на 1 получается то же самое число (1 – “зеркальце”), и т. д.

а) 145 х = 145; б) х 437 = 437.

– При умножении 145 на неизвестное число получилось 145. Значит, умножали на 1 х = 1. И т.д.

– При умножении 8 на неизвестное число получился 0. Значит, умножали на 0 х = 0. И т.д.

6. Самостоятельная работа с проверкой в классе . Слайд 10.

Дети самостоятельно решают записанные примеры. Затем по готовому

образцу проверяют свои ответы с проговариванием в громкой речи, отмечают правильно решенные примеры плюсом, исправляют допущенные ошибки. Те, кто допустил ошибки, получают аналогичное задание на карточке и дорабатывают индивидуально, пока класс решает задачи на повторение.

7. Задачи на повторение. (Работа в парах). Слайд 11.

а) – Хотите узнать что вас ждет в будущем? Вы это узнаете, расшифровав запись:

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Умножение на 1 и 0 правило

Согласно общепринятому определению, ноль — это число, отделяющее положительные числа от отрицательных на числовой прямой. Ноль — это самое проблематичное место в математике, которое не подчиняется логике, а все математические действия с нулём основаны не на логике, а на общепринятых определениях.

Первый пример проблематичности нуля — это натуральные числа. В русских школах ноль не является натуральным числом, в других школах ноль является натуральным числом. Поскольку понятие «натуральные числа» — это искусственное отделение некоторых чисел от всех остальных чисел по определённым признакам, то математического доказательства натуральности или не натуральности нуля быть не может. Ноль считается нейтральным элементом по отношению операций сложения и вычитания.

Ноль считается целым, беззнаковым числом. Также ноль считается чётным числом, поскольку при делении нуля на 2 получается целое число ноль .

Ноль является первой цифрой во всех стандартных системах счисления. В позиционных системах счисления, к которым принадлежит привычная нам десятичная система счисления, цифрой ноль обозначают отсутствие значения данного разряда при записи числа. Индейцы майя использовали ноль в принятой у них двенадцатиричной системе счисления за тысячу лет до индийских математиков. С нулевого дня в календаре майя начинался каждый месяц. Интересно, что тем же самым знаком ноль математики майя обозначали и бесконечность — вторую проблему современной математики.

Слово «ноль » в арабском языке звучит как «сыфр». От арабского слова ноль (сыфр) произошло слово «цифра».

Как правильно пишется — ноль или нуль ? Слова ноль и нуль совпадают в значении, но различаются употреблением. Как правило, ноль употребляется в обиходной речи и в ряде устойчивых сочетаний, нуль — в терминологии, в научной речи. Правильными будут оба варианта написания этого слова. Например: Деление на ноль. Ноль целых. Ноль внимания. Ноль без палочки. Абсолютный нуль. Ноль целых пять десятых.

В грамматике производные слова от слов ноль и нуль пишутся так: нолевой или нулевой, нолик или нулик, ноля или нуля, нулевой или реже встречающееся нолевой, ноль-ноль. Например: Ниже нуля. Равно нулю. Свести к нулю. Нулевой мередиан. Нулевой пробег. В двенадцать ноль-ноль.

В математических действиях с нулем на сегодняшний день определены следующие результаты:

сложение — если к любому числу прибавить ноль , число останется неизменным; если к нулю прибавить любое число результатом сложения будет то же самое любое число:

вычитание — если из любого числа вычесть ноль , число останется неизменным; если из нуля вычесть любое число в результате получится то же самое любое число с противоположным знаком:

умножение — если любое число умножить на ноль, результатом будет ноль; если ноль умножить на любое число в результате получится ноль :

деление — деление на ноль запрещено, поскольку результат не существует; общепринятый взгляд на проблему деления на ноль изложен в работе Александра Сергеева «Почему нельзя делить на ноль? » ; для любознательных написана другая статья, в которой рассматривается возможность деления на ноль:

a: 0 = делить на ноль запрещено , при этом а не равно нулю

ноль разделить на ноль — выражение не имеет смысла, так как не может быть определено:

0: 0 = выражение не имеет смысла

ноль разделить на число — если ноль разделить на число в результате всегда будет ноль , не зависимо от того, какое число находится в знаменателе (исключением из этого правила является число ноль , смотри выше):

0: a = 0 , при этом а не равно нулю

ноль в степени ноль в любой степени равен нулю :

0 a = 0 , при этом а не равно нулю

возведение в степень — любое число в степени ноль равняется единице (число в степени 0):

a 0 = 1 , при этом а не равно нулю

ноль в степени ноль — выражение не имеет смысла, так как не может быть определено (ноль в нулевой степени, 0 в степени 0):

0 0 = выражение не имеет смысла

извлечение корня — корень любой степени из нуля равен нулю :

0 1/a = 0 , при этом а не равно нулю

факториал — факториал нуля, или ноль факториал, равняется единице:

распределение цифр — при подсчете распределения цифр ноль считается незначащей цифрой. Изменение подхода в правилах подсчета распределения цифр, когда ноль считается ЗНАЧАЩЕЙ цифрой позволит получать более точные результаты распределения цифр во всех стандартных системах счисления, в том числе в двоичной системе счисления.

Кому интересен вопрос возникновения нуля , предлагаю прочесть статью «История нуля» Дж. Дж. О’Коннора и Е. Ф. Робертсона в переводе И. Ю. Осмоловского.

Если вам понравилась публикация и вы хотите знать больше, помогите мне в работе над другими материалами.

Теперь маленький кусочек рекламы.Главная фильтры для воды помогут очистить воду и сделать её более безопасной для питья. Качество водопроводной воды сегодня не отвечает требованиям безопасности для здоровья человека. Применение фильтров для воды становится потребностью в каждом доме.

Создание сайта цены, изготовление сайта Москва. Создание и изготовление сайта пр. Мира. поможет вам обрести свое представительство в виртуальном мире. Красивые и функциональные сайты для самых разных нужд, создание сайта под ваши потребности.

Специальный проект «45 минут» организовывает постоянные конкурсы для педагогов по разным учебным дисциплинам. Создание собственных страничек, портфолио учителей, обмен педагогическим опытом, подготовка к экзаменам.

ndspaces.narod.ru

Как умножить на 0,1

Разберем правило и посмотрим на примерах, как умножить на 0,1 любое число.

Поэтому умножение числа на 0,1 можно заменить его делением на 10. В общем виде это можно записать так:

Отсюда следует правило.

Правило умножения на 0,1

Чтобы умножить число на 0,1, надо запятую в записи этого числа перенести на одну цифру влево.

В записи натурального числа запятую в конце не пишут:

Умножить натуральное число на 0,1 -значит, перенести эту запятую на один знак влево:

Если в записи натурального числа последняя цифра — нуль, в результате умножения этого числа на 0,1 получаем натуральное число (поскольку нуль после запятой в конце числа не пишут):

Чтобы умножить на 0,1 обыкновенную дробь, надо обе дроби привести к одному виду — либо обыкновенную дробь перевести в десятичную, либо десятичную — в обыкновенную.

www.for6cl.uznateshe.ru

Правило умножения любого числа на ноль

Ещё в школе учителя нам всем старались вбить в голову простейшее правило: «Любое число, умноженное на ноль, равняется нулю!» , – но всё равно вокруг него постоянно возникает куча споров. Кто-то просто запомнил правило и не забивает себе голову вопросом «почему?». «Нельзя и всё тут, потому что в школе так сказали, правило есть правило!» Кто-то может исписать полтетради формулами, доказывая это правило или, наоборот, его нелогичность.

Кто в итоге прав

Во время этих споров оба человека, имеющие противоположные точки зрения, смотрят друг на друга, как на барана, и доказывают всеми силами свою правоту. Хотя, если посмотреть на них со стороны, то можно увидеть не одного, а двух баранов, упирающихся друг в друга рогами. Различие между ними лишь в том, что один чуть менее образован, чем второй.

Это интересно: разрядные слагаемые – что это?

Чаще всего, те, кто считают это правило неверным, стараются призвать к логике вот таким способом:

У меня на столе лежит два яблока, если я положу к ним ноль яблок, то есть не положу ни одного, то от этого мои два яблока не исчезнут! Правило нелогично!

Действительно, яблоки никуда не исчезнут, но не из-за того, что правило нелогично, а потому что здесь использовано немного другое уравнение: 2+0 = 2. Так что такое умозаключение отбросим сразу — оно нелогично, хоть и имеет обратную цель — призвать к логике.

Это интересно: Как найти разность чисел в математике?

Что такое умножение

Изначально правило умножения было определено только для натуральных чисел: умножение — это число, прибавленное к самому себе определённое количество раз, что подразумевает натуральность числа. Таким образом, любое число с умножением можно свести вот к такому уравнению:

  1. 25×3 = 75
  2. 25 + 25 + 25 = 75
  3. 25×3 = 25 + 25 + 25

Из этого уравнения следует вывод, что умножение — это упрощённое сложение .

Это интересно: что такое хорда окружности в геометрии, определение и свойства.

Что такое ноль

Любой человек с самого детства знает: ноль — это пустота, Несмотря на то, что эта пустота имеет обозначение, она не несёт за собой вообще ничего. Древние восточные учёные считали иначе — они подходили к вопросу философски и проводили некие параллели между пустотой и бесконечностью и видели глубокий смысл в этом числе. Ведь ноль, имеющий значение пустоты, встав рядом с любым натуральным числом, умножает его в десять раз. Отсюда и все споры по поводу умножения — это число несёт в себе столько противоречивости, что становится сложно не запутаться. Кроме того, ноль постоянно используется для определения пустых разрядов в десятичных дробях, это делается и до, и после запятой.

Можно ли умножать на пустоту

Умножать на ноль можно, но бесполезно, потому что, как ни крути, но даже при умножении отрицательных чисел всё равно будет получаться ноль. Достаточно просто запомнить это простейшее правило и никогда больше не задаваться этим вопросом. На самом деле всё проще, чем кажется на первый взгляд. Нет никаких скрытых смыслов и тайн, как считали древние учёные. Ниже будет приведено самое логичное объяснение, что это умножение бесполезно, ведь при умножении числа на него всё равно будет получаться одно и то же — ноль.

Это интересно: что такое модуль числа?

Возвращаясь в самое начало, к доводу по поводу двух яблок, 2 умножить на 0 выглядит вот так:

  • Если съесть по два яблока пять раз, то съедено 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 яблок
  • Если их съесть по два трижды, то съедено 2×3 = 2+2+2 = 6 яблок
  • Если съесть по два яблока ноль раз, то не будет съедено ничего — 2×0 = 0×2 = 0+0 = 0

Ведь съесть яблоко 0 раз — это означает не съесть ни одного. Это будет понятно даже самому маленькому ребёнку. Как ни крути — выйдет 0, двойку или тройку можно заменить абсолютно любым числом и выйдет абсолютно то же самое. А если проще говоря, то ноль — это ничего , а когда у вас ничего нет , то сколько ни умножай — всё равно будет ноль . Волшебства не бывает, и из ничего не получится яблоко, даже при умножении 0 на миллион. Это самое простое, понятное и логичное объяснение правила умножения на ноль. Человеку, далёкому от всех формул и математики будет достаточно такого объяснения, для того чтобы диссонанс в голове рассосался, и всё встало на свои места.

Из всего вышеперечисленного вытекает и другое важное правило:

На ноль делить нельзя!

Это правило нам тоже с самого детства упорно вбивают в голову. Мы просто знаем, что нельзя и всё, не забивая себе голову лишней информацией. Если вам неожиданно зададут вопрос, по какой причине запрещено делить на ноль, то большинство растеряется и не сможет внятно ответить на простейший вопрос из школьной программы, потому что вокруг этого правила не ходит столько споров и противоречий.

Все просто зазубрили правило и не делят на ноль, не подозревая, что ответ кроется на поверхности. Сложение, умножение, деление и вычитание — неравноправны, полноценны из перечисленного только умножение и сложение, а все остальные манипуляции с числами строятся из них. То есть запись 10: 2 является сокращением уравнения 2 * х = 10. Значит, запись 10: 0 такое же сокращение от 0 * х = 10. Получается, что деление на ноль – это задание найти число, умножая которое на 0, получится 10. А мы уже разобрались, что такого числа не существует, значит, у этого уравнения нет решения, и оно будет априори неверным.

Расскажу тебе позволь,

Чтобы не делил на 0!

Режь 1 как хочешь, вдоль,

Только не дели на 0!

obrazovanie.guru

Умножение с 0 и 1. 2-й класс

Презентация к уроку

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока:

  • Образовательные :
    • формировать умение выполнять умножение с нулем и единицей;
    • формировать умение правильно читать математические выражения, называть компоненты умножения;
    • закрепить умение заменять произведение чисел суммой и устно вычислять их значение; формировать начальные умения работы с тестом.
  • Развивающие :
    • способствовать развитию математической речи, оперативной памяти, произвольного внимания, наглядно-действенного мышления.
  • Воспитательные:
    • воспитывать культуру поведения при фронтальной работе, индивидуальной работе; интерес к предмету.

Тип урока – урок открытия нового знания.

Формирование новых умений возможно только в деятельности, поэтому в разработке урока использована технология деятельностного метода. Использование данной технологии является существенным фактором повышения эффективности освоения учащимися предметных знаний, формирования учебных универсальных действий: регулятивных, коммуникативных, познавательных .

Разработанный урок имеет следующую структуру:

1. Приобретение первичного опыта выполнения действия и мотивация.
2. Формирование нового способа (алгоритма) действия, установление первичных связей с имеющимися способами.
3. Тренинг, уточнение связей, самоконтроль и коррекция.
4. Контроль.

Оборудование к уроку:

  • Стандартное: учебник, таблица для заполнения ответов теста, звездочки из цветной бумаги, памятки для учащихся.
  • Инновационное: мультимедийный проектор, интерактивная доска, мультимедийная презентация «Путешествие на планету Умножения»

Использование мультимедиа компонентов в уроке вносит элемент новизны, делает процесс работы наглядным, помогает учителю сконцентрировать внимание на основных моментах. Работа по каждому этапу урока строится как своеобразный диалог между учителем и учениками, в котором интерактивная доска служит демонстратором решения вопросов. Её использование в учебном процессе позволяет достигать высокой степени результативности.

Впервые с таким арифметическим действием, как умножение, ученики знакомятся на школьной скамье. Учитель математики среди многочисленных правил поднимает тему «умножение на ноль». Несмотря на однозначность формулировки, у учащихся возникает множество вопросов. Давайте рассмотрим, что будет, если умножить на 0.

Правило, согласно которому умножать на ноль нельзя, порождает массу споров между преподавателями и их учащимися. Важно понимать, что умножение на ноль является спорным аспектом ввиду своей неоднозначности.

В первую очередь акцентируется внимание на отсутствии достаточного уровня знаний у учеников средней общеобразовательной школы. Переступая порог учебного заведения, участник образовательного процесса в большинстве случаев не задумывается о главной цели, которую необходимо преследовать.

В течение обучения преподаватель освещает различные вопросы. В их число входит ситуация, что получится, если умножать на 0. Стремясь предвосхитить повествование преподавателя, некоторые ученики вступают в полемику. Они доказывают, по крайней мере, стараются, что умножение на 0 допустимо. Но, к сожалению, это не так. При умножении на 0 любого числа получается ровным счетом ничего. В некоторых литературных источниках даже встречается упоминание, что любое число, умноженное на ноль, образует пустоту.

Важно! Внимательные слушатели аудитории сразу схватывают, что если число умножить на 0, то в результате получится 0. Иное развитие событий прослеживается в случае тех учеников, кто систематически пропускает занятия. Невнимательные или недобросовестные учащиеся чаще остальных задумываются, сколько будет, если умножать на ноль.

В результате отсутствия знаний по теме преподаватель и нерадивый ученик оказываются по противоположные стороны противоречивой ситуации.

Различие во взглядах на тему спора заключается в степени образованности на предмет того, можно умножать на 0 или все-таки нет. Единственный допустимый выход из сложившейся ситуации – попытаться воззвать к логическому мышлению для поиска верного ответа.

Для объяснения правила не рекомендуется использовать следующий пример. У Вани в сумке лежат 2 яблока на перекус. В обед он задумался о том, чтобы положить в портфель еще сколько-нибудь яблок. Но в тот момент рядом не оказалось ни одного фрукта. Ваня не положил ничего. Иными словами, к 2 яблокам он поместил 0 яблок.

В плане арифметики в данном примере получается, что если 2 умножить на 0, то не получается пустоты. Ответ в этом случае однозначный. Для этого примера правило умножения на ноль не актуально. Верное решение заключается в суммировании. Именно поэтому правильный ответ заключается в 2 яблоках.

В противном случае учителю не остается ничего иного, кроме как составить ряд заданий. Последняя мера – повторно задать прохождение темы и провести опрос на исключения в умножении.

Суть действия

Изучение алгоритма действий при умножении на ноль целесообразно начинать с обозначения сути арифметического действия.

Сущность действия умножить изначально определялась исключительно для натурального числа. Если раскрывать механизм действия, то определенное число, участвующее в вычислении, прибавляется к самому себе.

При этом важно учитывать количество прибавлений. В зависимости от данного критерия получается различный результат. Прибавление числа относительно самого себя определяет такое его свойство, ка натуральность.

Рассмотрим на примере. Необходимо число 15 умножить на 3. При умножении на 3 число 15 троекратно увеличивается в своей величине. Иными словами, действие выглядит как 15 * 3 = 15 + 15 + 15 = 45. Основываясь на механизме расчета, становится очевидным, если число умножить на другое натуральное число, возникает подобие сложения в упрощенном виде.

Алгоритм действий при умножении на 0 целесообразно начинать с предоставления характеристики на ноль.

Обратите внимание! Согласно общепринятому мнению ноль обозначает целое ничто. Для пустоты подобного рода в арифметике предусмотрено обозначение. Несмотря на данный факт, нулевое значение не несет под собой ничего.

Следует отметить, что подобное мнение в современном мировом научном обществе отличается от точки зрения древних восточных ученых. Согласно теории, которой они придерживались, ноль приравнивался к бесконечности.

Иными словами, если умножить на ноль, то получится многообразие вариантов. В нулевом значении ученые рассматривали некое подобие глубины мироздания.

В качестве подтверждения возможности умножить на 0 математики приводили следующий факт. Если рядом с любым натуральным числом поставить 0, то получится значение, превышающее исходное в десятки раз.

Приведенный пример является одним из аргументов. Кроме доказательства подобного рода, существует множество других примеров. Именно они лежат в основе непрекращающихся споров при умножении на пустоту.

Целесообразность попыток

Среди учеников довольно часто на первых порах освоения учебного материала встречаются попытки число умножить на 0. Подобное действие является грубейшей ошибкой.

По существу от таких попыток ничего не произойдет, но и пользы не будет. Если произвести умножение на нулевое значение, то получится в дневнике неудовлетворительная отметка.

Единственная мысль, которая должна возникать при умножении на пустоту, – невозможность действия. Запоминание в данном случае играет немаловажную роль. Выучив правило раз и навсегда, учащийся предотвращает появление спорных ситуаций.

В качестве примера, применяемого при умножении на нулевое значение, разрешается использовать следующую ситуацию. Саша решила купить яблоки. Пока она была в супермаркете, она остановила выбор на 5 крупных спелых яблоках. Сходив в отдел молочной продукции, она посчитала, что этого ей будет недостаточно. Девочка положила к себе в корзину еще 5 штук.

Поразмыслив еще чуть-чуть, она взяла еще 5. В результате на кассе у Саши получилось: 5 * 3 = 5 + 5 + 5 = 15 яблок. Если бы она положила по 5 яблок только 2 раза, то было бы 5 * 2 = 5 + 5 = 10. В том случае, если бы Саша не положила в корзинку ни разу по 5 яблок, было бы 5 * 0 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0. Иными словами, купить яблоки 0 раз значит не купить ни одного.

Число 0 можно представить, как некую границу, отделяющую мир реальных чисел от мнимых или отрицательных. Благодаря двусмысленному положению, многие операции с этой числовой величиной не подчиняются математической логике. Невозможность деления на нуль — яркий тому пример. А разрешенные арифметические действия с нулем могут быть выполнены с помощью общепринятых определений.

История нуля

Ноль является точкой отсчета во всех стандартных системах исчисления. Европейцы стали использовать это число сравнительно недавно, но мудрецы Древней Индии пользовались нулем за тысячу лет до того, как пустое число стало регулярно использоваться европейскими математиками. Ещё раньше индийцев ноль являлся обязательной величиной в числовой системе майя. Этот американский народ использовал двенадцатеричную систему исчисления, а нулем у них начинался первый день каждого месяца. Интересно, что у майя знак, обозначающий «ноль», полностью совпадал со знаком, определяющим «бесконечность». Таким образом, древние майя делали вывод о тождественности и непознаваемости этих величин.

Математические действия с нулем

Стандартные математические операции с нулем можно свести к нескольким правилам.

Сложение: если к произвольному числу добавить ноль, то оно не изменит своего значения (0+x=x).

Вычитание: при вычитании нуля из любого числа значение вычитаемого остается неизменным (x-0=x).

Умножение: любое число, умноженное на 0, дает в произведении 0 (a*0=0).

Деление: ноль можно разделить на любое число, не равное нулю. При этом значение такой дроби будет 0. А деление на ноль запрещено.

Возведение в степень. Это действие можно выполнить с любым числом. Произвольное число, возведенное в нулевую степень, даст 1 (x 0 =1).

Ноль в любой степени равен 0 (0 а =0).

При этом сразу возникает противоречие: выражение 0 0 не имеет смысла.

Парадоксы математики

О том, что деление на ноль невозможно, многие знают со школьной скамьи. Но объяснить причину такого запрета почему-то не получается. В самом деле, почему формула деления на ноль не существует, а вот другие действия с этим числом вполне разумны и возможны? Ответ на этот вопрос дают математики.

Все дело в том, что привычные арифметические действия, которые школьники изучают в начальных классах, на самом деле далеко не так равноправны, как нам кажется. Все простые операции с числами могут быть сведены к двум: сложению и умножению. Эти действия составляют суть самого понятия числа, а остальные операции строятся на использовании этих двух.

Сложение и умножение

Возьмем стандартный пример на вычитание: 10-2=8. В школе его рассматривают просто: если от десяти предметов отнять два, останется восемь. Но математики смотрят на эту операцию совсем по-другому. Ведь такой операции, как вычитание, для них не существует. Данный пример можно записать и другим способом: х+2=10. Для математиков неизвестная разность — это просто число, которое нужно добавить к двум, чтобы получилось восемь. И никакого вычитания здесь не требуется, нужно просто найти подходящее числовое значение.

Умножение и деление рассматриваются так же. В примере 12:4=3 можно понять, что речь идет о разделении восьми предметов на две равные кучки. Но в действительности это просто перевернутая формула записи 3х4=12.Такие примеры на деление можно приводить бесконечно.

Примеры на деление на 0

Вот тут и становится понемногу понятным, почему нельзя делить на ноль. Умножение и деление на ноль подчиняется своим правилам. Все примеры на деление этой величины можно сформулировать в виде 6:0=х. Но это же перевернутая запись выражения 6 * х=0. Но, как известно, любое число, умноженное на 0, дает в произведении только 0. Это свойство заложено в самом понятии нулевой величины.

Выходит, что такого числа, которое при умножении на 0 дает какую-либо осязаемую величину, не существует, то есть данная задача не имеет решения. Такого ответа бояться не следует, это естественный ответ для задач такого типа. Просто запись 6:0 не имеет никакого смысла, и она ничего не может объяснить. Кратко говоря, это выражение можно объяснить тем самым бессмертным «деление на ноль невозможно».

Существует ли операция 0:0? Действительно, если операция умножения на 0 законна, можно ли ноль разделить на ноль? Ведь уравнение вида 0х 5=0 вполне легально. Вместо числа 5 можно поставить 0, произведение от этого не поменяется.

Действительно, 0х0=0. Но поделить на 0 по-прежнему нельзя. Как было сказано, деление — это просто обратная операция умножения. Таким образом, если в примере 0х5=0, нужно определить второй множитель, получаем 0х0=5. Или 10. Или бесконечность. Деление бесконечности на ноль — как вам это понравится?

Но если в выражение подходит любое число, то оно не имеет смысла, мы не можем из бесконечного множества чисел выбрать какое-то одно. А раз так, это значит и выражение 0:0 не имеет смысла. Получается, что на ноль нельзя делить даже сам ноль.

Высшая математика

Деление на ноль — это головная боль для школьной математики. Изучаемый в технических вузах математический анализ немного расширяет понятие задач, которые не имеют решения. Например, к уже известному выражению 0:0 добавляются новые, которые не имеют решения в школьных курсах математики:

  • бесконечность, разделенная на бесконечность: ∞:∞;
  • бесконечность минус бесконечность: ∞−∞;
  • единица, возведенная в бесконечную степень: 1 ∞ ;
  • бесконечность, умноженная на 0: ∞*0;
  • некоторые другие.

Элементарными методами решить такие выражения невозможно. Но высшая математика благодаря дополнительным возможностям для ряда подобных примеров дает конечные решения. Особенно это видно в рассмотрении задач из теории пределов.

Раскрытие неопределенности

В теории пределов значение 0 заменяется условной бесконечно малой переменной величиной. А выражения, в которых при подставлении нужного значения получается деление на ноль, преобразовываются. Ниже представлен стандартный пример раскрытия предела при помощи обычных алгебраических преобразований:

Как видно в примере, простое сокращение дроби приводит ее значение к вполне рациональному ответу.

При рассмотрении пределов тригонометрических функций их выражения стремятся свести к первому замечательному пределу. При рассмотрении пределов, в которых знаменатель обращается в 0 при подставлении предела, используют второй замечательный предел.

Метод Лопиталя

В некоторых случаях пределы выражений можно заменить пределом их производных. Гийом Лопиталь — французский математик, основоположник французской школы математического анализа. Он доказал, что пределы выражений равны пределам производных этих выражений. В математической записи его правило выглядит следующим образом.

Рассмотрим пример умножения на ноль целого числа. Сколько будет, если 2 (два) умножить на 0 (ноль)? Любое число, умноженное на ноль, равняется нулю. И не важно, известно нам это число, или не известно.

Согласно общепринятому определению, ноль — это число, отделяющее положительные числа от отрицательных на числовой прямой. Ноль — это самое проблематичное место в математике, которое не подчиняется логике, а все математические действия с нулём основаны не на логике, а на общепринятых определениях.

Ноль является первой цифрой во всех стандартных системах счисления. С нулевого дня в календаре майя начинался каждый месяц. Интересно, что тем же самым знаком ноль математики майя обозначали и бесконечность — вторую проблему современной математики. Ноль без палочки. Абсолютный нуль. Ноль целых пять десятых. Пять умножить на ноль — равняется нулю 5 х 0 = 0 Правило умножения на ноль смотрите выше по тексту. Чатыри умножить на ноль бесплатно — бесплатно отвечаю, что будет ноль. В нагрузку бесплатная справка — слово «четыре» пишется чуть-чуть иначе, чем пишите вы в своем поисковом запросе.

https://youtu.be/EGpr23Tc8iY

Там, где в математике встречается ноль, логика бессильна

Если вам понравилась публикация и вы хотите знать больше, помогите мне в работе над другими материалами. Оно появилось в комментариях и чем-то меня зацепило. Вопрос Студента: А теперь, уважаемый автор, умножьте, пожалуйста, ноль на ноль и скажите, сколько получится в результате?

Я в своей статье «Что есть ноль» уже объяснил где её можно применять. 3=0/0, а на ноль делить нельзя.

Ноль в нулевой степени — выражение, не имеющее смысла. Ноль в нулевой степени равняется единице — так показывают формулы. Это количество чего угодно, каких-то реальных, материальных вещей, можно умножить на число. При этом количество чего-то выражается только нулем или положительным числом.

Все в единицах и в математике на данном уровне в порядке. Это условность, градусы не могут быть выражены количеством, поэтому умножить их на число нельзя. Где-то на этом сайте есть Дурнев со своими вопросами по школьной программе, в том числе и по математике. Может, его придумали точно так же, как и ноль? Чтобы наложить определенные правила и подчинить им всех остальных людей. Чего только человек не сделает ради себя, любимого.

Достаточно того, что в учебниках часто пишут «принадлежит множеству натуральных чисел» даже тогда, когда это выполняется для всех чисел, за исключением комплексных. Бесконечное число нулей в нуле — это выдумки шаманов для пещерных людей:) Если закрыть глаза, то всё, на что мы смотрим, будет выглядеть одинаково черным. Умножение на ноль нужно начинать рассматривать совсем с другого конца. Что такое умножение?

Достаточно понять, что такое умножение, тогда вопрос с результатом умножения на ноль сам собою решится. 2 яблока, и пытаясь умножить их на 0 яблок, в результате мы теряет свои 2 яблока. Судя по всему, те, кто это спрашивает, потеряли как минимум по одной цифре в начале каждого числа. 10 и 11 — здесь уместно говорить о процентах.

И интересно как при делении 0 на любое число вы это число сможете вычитать вообще (пусть даже и ноль раз)..

Не может так просто от умножения стать ноль! Значит математика это не точная наука? Кто то когда то придумал это «правило» не известно для чего. Ваша математика ошибается. На практике, вся эта математическая тема с умножением на 0, не может быть!!! Как 10 чего-нибудь желая приумножить, пусть даже на 0 — получится 0?? Если конечно 0 не является черная дыра, или 0 как проиграшь, в никуда, ноль — как пустота, ничто, но такого быть не может….

Если не можете что то разделить (те же 5 яблок на 0 воображаемых корзин) то записывается результат целого числа и остаток при таком делении… 0 можно умножать многократно (типа ходил в лес 15 раз и не нашел грибов…

Например, делим 5 яблок на ноль человек; вычисляем,во сколько раз 5 градусов Цельсия больше нуля градусов Цельсия. Из этого всего скорее нельзя умножать на 0 (так как по определению умножения это НЕЛЬЗЯ записать с помощью операции сложения) и делить сам 0 на что то… так как ответ не может быть определен…

Подмена понятий происходит при самом умножении на ноль… Запомните любое число или операция с числами умноженное на ноль АННИГИЛИРУЕТСЯ… Иными словами не происходит самой операции при умножении на ноль и ее можно просто «не учитывать»… Так, вы украли мою идею!))) Впервые встречаю более-менее четкое понимание умножения и деления на ноль. Будем мы это считать математическими операциями, или не будем — математике глубоко плевать.

Первый пример проблематичности нуля — это натуральные числа. В русских школах ноль не является натуральным числом, в других школах ноль является натуральным числом. Кому интересен вопрос возникновения нуля, предлагаю прочесть статью «История нуля» Дж. Дж. О’Коннора и Е. Ф. Робертсона в переводе И. Ю. Осмоловского.

При каких значениях икса верно равенство: ноль умноженное на икс равняется ноль? — данное равенство верно при любых значениях икс. Говорят, что это равенство имеет бесконечное множество решений. С математикой было несколько проще. Самым естественным образом на мою природную безграмотность накладываются банальные опечатки при наборе текста.

Я противник тех проповедей, которые читают нам математики и на которые мы все))) ссылаемся. С этим уравнением была совсем друга история. Может такое быть или не может? Немного подумав, я «провел мысленный эксперимент»))) и представил эту ситуацию. Где-то в черновиках валяются все выкладки по этому поводу. Вы лукавите То что не принято в широких кругах, не обязательно является не правдой.

Как правильно пишется — ноль или нуль? Слова ноль и нуль совпадают в значении, но различаются употреблением. Кто сказал, что ноль — это число? Математики? 0 + 5/0… ноль и пять (нулевых) в остатке … и тогда все сходится и все довольны… Да на самом деле сложностей не так много. Проблема в том как воспринимать Ноль (как число или как нечто пустое) и что подразумевать под умножением…

2 поделить на 2 сколько будет

Дробью в математике называется число, представляющее часть единицы или несколько её частей. Обыкновенная дробь записывается в виде двух чисел, разделенных обычно горизонтальной чертой, обозначающей знак деления. Число, располагающееся над чертой, называется числителем. Число, располагающееся под чертой, называется знаменателем. Знаменатель дроби показывает количество равных частей, на которое разделено целое, а числитель дроби — количество взятых этих частей целого.

Дроби бывают правильными и неправильными. Правильной называется дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Если у дроби числитель больше знаменателя, то такая дробь называется неправильной. Смешанной называется дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, и понимается как сумма этого числа и дробной части. Соответственно, дробь, не имеющая целую часть,называется простой дробью. Любая смешанная дробь может быть преобразована в неправильную простую дробь (см. пример ниже).

Содержание

  1. Урок 40. Математика 2 класс
  2. Конспект урока «Деление на 2 и с ответом 2»
  3. 5. Задание 4: деление на 2
  4. 6. Подведение итогов
Урок 40. Математика 2 класс

Конспект урока «Деление на 2 и с ответом 2»

— Здравствуйте, ребята! Знаете, вчера наши любимые знаки Плюс и Минус ходили на рынок и принесли много разных фруктов. А потом они чуть не поссорились из-за того, что никак не могли разобраться, по сколько фруктов должен взять каждый из них так, чтобы получилось поровну. Каждый из них должен был взять половину купленных фруктов. А что для этого надо было сделать? Конечно, разделить каждый вид фруктов на две равные части.

Хорошо, что Плюс и Минус настоящие друзья. Поэтому они не стали ссориться, а пришли ко мне, и я объяснила им, как нужно делить на два, то есть находить половину. А сейчас я расскажу это и вам, чтобы и вам не приходилось ссориться по пустякам.

Итак, начнём. Я уверена, что вы уже выучили таблицу умножения на два. А кто до сих пор это не сделал, обязательно доучит её. Ведь именно таблица умножения поможет вам справиться с делением. Давайте вспомним её. А поможет нам песенка-считалка Плюса:

А теперь я расскажу, как мы со знаками делили фрукты. Кстати, вы помните, что при умножении на 2 в ответах получаются чётные числа? И делить на 2 можно тоже только чётные числа. Вот, например, манго у друзей было 3, число нечётное, и пополам его разделить невозможно. Друзья, нет-нет, не подрались, а взяли каждый по одному, а третье принесли мне.

Стали делить персики. Их 6. 6 разделить на 2. Можно, конечно, раскладывать по одному Но лучше, конечно, воспользоваться знанием таблицы умножения. Ведь вы уже знаете, как связаны между собой действия умножение и деление. Если произведение двух множителей разделить на один из них, то получится другой множитель. 6 получается в результате умножения чисел 2 и 3. Значит, получится:

А как на двоих поровну разделить 8 апельсинов? Восемь мы получаем в результате умножения 4 на 2. Значит получим:

Делим на две половины 18 яблок. 18 — это произведение чисел 9 и 2. Поэтому получаем:

Кстати, хочу вам заметить. Представляете, иногда можно услышать от людей такие фразы: «большая половина» или «меньшая половина». Такие слова меня просто в ужас приводят! Как половина может быть большей или меньшей? Половина всегда равна другой половине. А большей или меньшей может быть только часть чего-либо.

Но вернёмся к нашему делению на 2. Ну что, друзья мои, вы поняли, как находить результат деления на 2? На основе умножения на 2. А сейчас мы с вами составим таблицу деления на два. Сначала запишем таблицу умножения, и напротив каждого примера запишем пример на деление на 2:

Но это ещё не всё. Вы знаете такое правило: Если произведение двух множителей разделить на один из них, то получится другой множитель.

Мы с вами делили пока только на один множитель — 2. А теперь давайте попробуем составить таблицу, в которой делителем будет выступать не число 2, а второй множитель:

Эти примеры тоже составляются на основе умножения. Видите, как важно уверенно знать наизусть таблицу умножения. Она поможет вам быстро и безошибочно выполнять не только действие умножения, но и деление на два и с ответом два. Но и эти таблицы деления, которые мы сегодня составили, постарайтесь тоже выучить. Во-первых, вы решать будете значительно быстрее, и конечно, отметки получать отличные. А во-вторых, скажу вам по секрету, чем больше мы заучиваем наизусть, тем лучше становится наша память.

И ещё хочу поделиться маленьким секретом. Когда будете учить таблицу, не просто проговаривайте её, а ещё и записывайте эти примеры. Тогда вы запомните её гораздо быстрее. Ну что же, пришло время нам попрощаться. Я удаляюсь — меня ждут дела нашего государства. А вам я предлагаю ещё раз внимательно посмотреть на таблицы и постараться запомнить их. Успехов вам, друзья мои!

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Рис. 1. Иллюстрация задания 3

1. Мы знаем, что 2·2=4, значит, 4:2=2;

2. 2·3=6, значит, 6:2=3;

3. 2·4=8, значит, 8:2=4;

4. 2·5=10, значит, 10:2=5;

5. 2·6=12, значит, 12:2=6;

6. 2·7=14, значит, 14:2=7.

5. Задание 4: деление на 2

Мастер Умелкин изобрел необычную машину, она умеет уменьшать числа ровно в 2 раза (рис. 2). Какой результат получится при уменьшении в 2 раза чисел: 10, 14, 4, 16, 8, 18?

Рис. 2. Иллюстрация задания 4

Рис. 3. Решение задания 4

6. Подведение итогов

Итак, на данном уроке мы научились выполнять задания, в которых необходимо делить числа на два, то есть пополам.

Список литературы

  1. Александрова Э.И. Математика. 2 класс. – М.: Дрофа, 2004.
  2. Башмаков М.И., Нефёдова М.Г. Математика. 2 класс. – М.: Астрель, 2006.
  3. Дорофеев Г.В., Миракова Т.И. Математика. 2 класс. – М.: Просвещение, 2012.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

1. Найти результат выражений:

2. Мама купила 10 конфет, она разделила их поровну между дочками, Катей и Светой. Сколько конфет досталось каждой девочке?

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

Adblock
detector

Калькулятор дробей


Этот калькулятор выполняет основные и расширенные операции с дробями, выражения с дробями в сочетании с целыми, десятичными и смешанными числами. Он также показывает подробную пошаговую информацию о процедуре расчета дроби. Калькулятор помогает найти значение из операций с несколькими дробями. Решайте задачи с двумя, тремя и более дробями и числами в одном выражении.

Правила выражения с дробями:

Дроби — используйте косую черту для деления числителя на знаменатель, т.е. для пятисотых введите 5/100 . Если вы используете смешанные числа, оставьте пробел между целой и дробной частями.

Смешанные числа (смешанные числа или дроби) сохраняют один пробел между целым числом и дробью
и используют косую черту для ввода дробей, например, 1 2/3 . Пример отрицательной смешанной дроби: -5 1/2 .
Поскольку косая черта является одновременно знаком дробной части и деления, используйте двоеточие (:) в качестве оператора деления дробей, т. е. 1/2 : 1/3 .
Decimals (десятичные числа) вводятся с десятичной точкой . и они автоматически преобразуются в дроби — т.е. 1,45 .

Math Symbols


Symbol Symbol name Symbol Meaning Example
+ plus sign addition 1/2 + 1/3
знак минус вычитание 1 1/2 — 2/3
* asterisk multiplication 2/3 * 3/4 ​​
× times sign multiplication 2 /3 × 5/6
: division sign division 1/2 : 3
/ division slash division 1/3 / 5 1/2
• сложение дробей и смешанных чисел: 8/5 + 6 2/7
• деление целых чисел и дробей: 5 ÷ 1/2
• сложные дроби: 5/8 : 2 2/3
• десятичная дробь: 0,625
• Преобразование дроби в десятичную: 1/4
• Преобразование дроби в процент: 1/8 %
• сравнение дробей: 1/4 2/3
• умножение дроби на целое число: 6 * 3/4 ​​
• квадратный корень дроби: sqrt(1/16)
• уменьшение или упрощение дроби (упрощение) — деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же ненулевое число — эквивалентная дробь: 4/22
• выражение со скобками: 1/3 * (1/2 — 3 3/8)
• составная дробь: 3/4 от 5/7
• кратные дроби: 2/3 от 3/5
• разделить, чтобы найти частное: 3/5 ÷ 2/3

Калькулятор следует известным правилам для порядка операций . Наиболее распространенные мнемоники для запоминания этого порядка операций:
PEMDAS — Скобки, Экспоненты, Умножение, Деление, Сложение, Вычитание.
BEDMAS — Скобки, Экспоненты, Деление, Умножение, Сложение, Вычитание
BODMAS — Скобки, Порядок, Деление, Умножение, Сложение, Вычитание.
GEMDAS — Символы группировки — скобки (){}, возведения в степень, умножение, деление, сложение, вычитание.
MDAS — Умножение и деление имеют тот же приоритет, что и сложение и вычитание. Правило MDAS является частью порядка операций правила PEMDAS.
Будьте осторожны; всегда выполняйте умножение и деление перед сложением и вычитанием . Некоторые операторы (+ и -) и (* и /) имеют одинаковый приоритет и должны оцениваться слева направо.

  • Использование денег
    Из 550 000,00, переданных школе, было использовано 325 000,00. Какая часть от общей суммы была использована?
  • Дети 9
    В комнате 11 детей. 6 детей — девочки. Какую часть детей составляют девочки?
  • Одна суббота
    Однажды субботним вечером в кинотеатре 40 девушек, 25 юношей, 18 женщин и 17 мужчин. Какую часть составляют девочки?
  • Дробями
    Муравей поднимается на 2/5 шеста за первый час и на 1/4 шеста за следующий час. Какую часть шеста преодолевает муравей за два часа?
  • У Макса 2
    У Макса 13 пар носков. Отсюда шесть пар синих, три пары коричневых, две черных и две белых. Какая часть носков Макса коричневого или черного цвета?
  • Младенцы
    В автобусе двое взрослых, двое детей и четверо младенцев. Какую часть населения составляют младенцы?
  • Marry
    Marry хранит в холодильнике полторы дюжины яиц. Использовала 1/3 яйца. Какая часть яиц использовалась?
  • Вычислить выражение
    Вычислить значение выражения z/3 — 2 z/9 + 1/6, для z = 2
  • Ферма 6
    На ферме 20 животных. Есть четыре курицы. Какую часть животных составляют куры? Выразите ответ дробью в простейшей форме.
  • Значение Z
    При x = -9, каково значение Z, где Z равно числителю дроби x минус 17 в знаменателе 6,5 конец дроби Дайте ответ с точностью до 2 знаков после запятой.
  • Мэтью
    У Мэтью восемь карандашей. У трех из них нет ластика на конце. Какая часть карандашей не имеет ластика на конце?

more math problems »

  • decimals
  • fractions
  • triangle ΔABC
  • percentage %
  • permille ‰
  • prime factors
  • complex numbers
  • LCM
  • GCD
  • LCD
  • combinatorics
  • equations
  • статистика
  • … все математические калькуляторы

Десятичные дроби: умножение и деление десятичных дробей

Урок 3: умножение и деление десятичных дробей

В разделе «Сложение и вычитание десятичных знаков» вы узнали, как складывать десятичных числа. Возможно, вы сможете вспомнить случаи, когда вы добавляли десятичные дроби в реальной жизни. Например, допустим, вы идете в магазин и находите рубашку, которая вам очень нравится. На ценнике написано, что он стоит $15,60. Вам так понравилась рубашка, что вы решили купить пять штук.

Чтобы вычислить общую стоимость, вы можете добавить цены.

Добавление такого количества номеров может занять много времени. На уроке по умножению мы узнали, что при умножении вы получаете 90 282, многократно увеличивая число 90 283. Поскольку все цены на рубашки равны и , умножение может помочь вам решить эту проблему немного быстрее.

Когда вы умножаете десятичные числа, полезно сформулировать задачу так, чтобы вам было легче ее решить шаг за шагом .

Нажмите на слайд-шоу ниже, чтобы узнать, как решить задачу на умножение с десятичными дробями.

  • Instead of adding $15.60 + $15.60 + $15.60 + $15.60 + $15. 60…

  • Instead of adding $15.60 + $15.60 + $15.60 + $15.60 + $15.60…we’ll multiply $15.60 by 5.

  • Давайте настроим наше выражение умножения: $15,60 x 5. Мы сложим числа одно поверх другого.

  • Это хорошая привычка помещать число, которое имеет наиболее цифр, на сверху . Это облегчает решение проблемы.

  • Давайте посмотрим на количество цифр в каждом номере. 15.60 имеет четыре цифры…

  • Давайте посмотрим на количество цифр в каждом числе. 15.60 имеет четыре цифры … а 5 это одна цифра .

  • 15.60 имеет больше цифр . Это означает, что мы будем писать 15,60 над над 5.

  • Поскольку мы умножаем это число, мы запишем знак , умноженный на (X), к оставшимся числам.

  • Вместо знака равенства (=) мы поместим строку под числом внизу.

  • При написании выражения умножения с накоплением с десятичными числами числа должны быть выстроены в ряд справа .

  • Давайте рассмотрим другой пример. Складываем это выражение: 4,5 x 38,12.

  • Сначала посмотрим, сколько цифр содержится в каждом числе. 4.5 имеет две цифры

  • Во-первых, посмотрите, сколько цифр содержится в каждом числе. 4.5 имеет две цифры … а 38.12 имеет четыре цифры .

  • 38.12 имеет на больше цифр. Это означает, что мы поместим 38,12 выше 4,5.

  • Затем мы убедимся, что цифры справа от выровнены. 2 верно выше 5.

Решение задач на умножение с десятичными дробями

Умножение десятичных чисел очень похоже на умножение больших чисел. Если разделить большую проблему на несколько более мелких, ее будет легче решить. Давайте посмотрим, как это работает, решив следующую задачу: 2,3 x 4.

Щелкните слайд-шоу, чтобы узнать, как умножать десятичные дроби.

  • Чтобы решить нашу задачу, мы будем использовать знакомый инструмент: таблицу умножения на 9.0283 .

  • При умножении сложенных чисел начните с правой цифры на нижней . Нижнее число состоит только из одной цифры: 4.

  • Умножим 4 на верхнее число, 2,3. Поскольку в таблице умножения нет числа 2,3, нам придется умножать по одной цифре за раз.

  • Как обычно, решим задачу от справа налево . Итак, мы умножим 4 на цифру вверху справа . Вот, это 3.

  • Теперь пришло время решить 4 x 3. Мы можем использовать таблицу умножения на .

  • 4 x 3 равно 12, но нет места для записи обеих цифр под 4 и 3.

  • Помните, это означает, что нам придется нести . Мы узнали о переносе чисел на уроке по умножению больших чисел.

  • Запишем правую цифру 2 под чертой…

  • Запишем правую цифру 2 под чертой… затем запишем левую цифру 1 , до следующий набор цифр в задаче.

  • Теперь пришло время для следующего шага. Умножим 4 х 2.

  • 4 х 2 = 8. Но 8 под чертой пока писать не будем. Помните, есть еще один шаг.

  • Нам нужно убедиться, что мы добавляем номер, который мы носили: 1.

  • Мы настроим нашу задачу на сложение.

  • 1 + 8 = 9.

  • Под чертой напишем 9.

  • В нашей задаче мы умножили десятичное число: 2,3. Это означает, что наш ответ также должен быть десятичным числом.

  • Давайте разберемся, где ставить десятичную точку ( . ).

  • В задаче 2.3 одна цифра справа от запятой.

  • Это означает, что наш ответ также будет иметь одну цифру до справа десятичной точки.

  • Мы поместим запятую так, чтобы только одна цифра была справа от : 2.

  • Наша задача решена. Итого 9,2. Мы знаем, что 2,3 х 4 = 9,2. Мы можем прочитать этот ответ как девять и две десятых .

  • Давайте попробуем другую задачу. На этот раз мы умножим деньги: 3,05 доллара x 2.

  • Сначала мы умножим нижнее число 2 на цифру в правом верхнем углу. Это 5.

  • 2 x 5 = 10.

  • Напишем 0 под чертой…

  • Напишем 0 под чертой… и перенесем 1. Разместим над следующей цифрой.

  • Следующая цифра 0.

  • Любое число, умноженное на ноль, равно нулю, поэтому мы знаем, что 2 x 0 = 0.

  • Помните, нам нужно убедиться, что мы добавили 1, которую мы несли.

  • 0 + 1 = 1. Под чертой напишем 1.

  • Наконец, мы умножим 2 и 3.

  • 2 x 3 = 6, поэтому мы напишем 6 под чертой.

  • Пришло время поставить нашу десятичную точку. Нам нужно подсчитать цифры до справа десятичной точки в нашей задаче.

  • 3.05 имеет две цифры справа от десятичной точки. Это 0 и 5.

  • Это означает, что наш ответ должен содержать две цифры справа от запятой.

  • Мы поместим десятичную точку так, чтобы две цифры были справа: 1 и 0.

  • слева от номера.

  • Мы решили проблему. 3,05 доллара x 2 = 6,10 доллара. Мы можем прочитать это как шесть долларов и десять центов .

Примечание . При определении места десятичной точки в ответе подсчитайте общее количество цифр справа от 9.0282 каждая десятичная точка в вашей задаче. Например, если вы упрощаете 3,25 x 2,3, вы должны подсчитать две цифры в 3,25 плюс одну цифру в 2,3. Следовательно, мы должны поставить запятую в нашем ответе так, чтобы три цифры были правее (3,25 х 2,3 = 7,475).

Попробуй!

Попробуйте решить эти задачи на умножение. Затем проверьте свой ответ, введя его в поле.

7,15 х 5 =

2,67 х 3 =

6,66 х 4 =

Деление десятичных дробей

Давайте рассмотрим другую ситуацию. Представим, что у вас есть забор, и вы хотите посадить перед ним 5 кустов. Ваш забор имеет длину 20 футов. Вы хотели бы разместить кусты на одинаковом расстоянии друг от друга, поэтому вы знаете, что вам нужно будет разделить забор на 5 равных частей. Это означает, что вам нужно разделить 20 на 5.

В уроке о делении мы научились составлять выражения для деления. Для приведенной выше ситуации выражение будет выглядеть так:

В нашем выражении 20 — это целое число . Но что, если длина забора равна десятичному числу ? Например, предположим, что это 20,75 футов в длину. Хотите верьте, хотите нет, но деление десятичной дроби ничем не отличается.

Когда вы настраиваете выражение для деления десятичного числа, важно убедиться, что вы всегда делите на целое число . В приведенном выше примере 20,75 делится на целое число 5. Деление на целое число упрощает управление делением в длину.

Нажмите на слайд-шоу ниже, чтобы узнать, как решать задачи на деление десятичных дробей.

  • Составим это выражение: 20,75 / 5.

  • На уроке деления мы узнали, что делить числа легче, когда выражение записывается немного по-другому.

  • Как обычно, вместо того, чтобы писать числа рядом с символом деления . ..

  • Как обычно, вместо того, чтобы писать числа рядом с цифрой символ деления … мы будем использовать скобку деления .

  • Число, которое мы делим, идет под скобкой деления . Это 20,75.

  • К левому дробной скобки припишем число, на которое делим. В нашей задаче это 5.

  • Помните, что скобка деления также является знаком равенства .

  • Частное , или ответ, записывается выше ит.

  • Давайте составим другое выражение. На этот раз оба числа являются десятичными числами: 80,1/4,2.

  • Сначала напишем скобку деления.

  • Далее запишем делимое число: 80.1.

  • Наконец, напишем число, на которое делим: 4.2.

  • Поскольку мы делим десятичное число на десятичное число, нам нужно сделать еще один шаг.

  • Чтобы упростить деление, мы изменим число, на которое мы делим, на целое число . Это означает, что мы изменим 4.2.

  • Чтобы сделать 4.2 целым числом, нам нужно переместить десятичную точку так, чтобы она стояла после последней цифры в числе.

  • Это означает, что мы переместим его так, чтобы он стоял после 2.

  • Теперь все цифры до слева десятичной точки. Мы создали целый номер . 4.2 становится 42.

  • Целое число обычно записывается без десятичной точки после него…

  • Целое число обычно записывается без десятичной точки после него… так что мы убрать десятичную точку.

  • Видите, как мы это сделали? Мы переместили десятичную точку на вправо , а затем опустили десятичную точку.

  • Поскольку мы передвинули запятую в одном числе. ..

  • Поскольку мы передвинули запятую в одном числе… нам также нужно переместить запятую в другом числе: 80.1.

  • Итак, мы переместим эту десятичную точку столько же раз .

  • 80.1 становится 801.

  • 801 — это целое число, поэтому мы опустим десятичную точку .

  • Теперь выражение деления 801 / 42.

  • Перемещение десятичных дробей может быть сложным, поэтому важно изменить число, которое вы разделить на на целое число сначала.

  • Попробуем еще раз с другим выражением: 0,4 / 0,02.

  • Сначала мы превратим 0,02 в целое число.

  • Мы переместим десятичную точку один раз вправо .

  • 0,02 становится 0,2.

  • У нас все еще есть цифра до справа от десятичной точки: 2. Это означает, что наша десятичная дробь еще не является целым числом.

  • Итак, мы переместим десятичную точку на вправо во второй раз.

  • 0,2 ​​становится 2. Все цифры теперь до слева десятичной точки.

  • Нули и десятичная точка больше не нужны. Мы сбросим их.

  • Так как мы переместили первую десятичную точку на два раза вправо…

  • Поскольку мы переместили первую десятичную точку на два раза вправо… мы проделаем то же самое до второго десятичного знака.

  • Мы переместим это один раз

  • Мы переместим это один раз раз… затем мы добавим ноль

  • 6 Мы’ сдвинем его на один раз… затем мы добавим ноль … и затем мы переместим его на секунды раз.

  • 0,4 становится 40.

  • Поскольку 40 — целое число, мы будем отбросить ноль и десятичную точку.

  • Теперь выражение деления равно 40/2. Наша задача готова к решению.

Деление десятичных чисел

В предыдущем слайд-шоу вы практиковались в настройке выражения деления с десятичными числами. Рассмотрим подробнее, как делить десятичную дробь. Деление десятичного числа на очень похоже на деление целого числа на . В конце всего один дополнительный шаг.

Щелкните слайд-шоу, чтобы узнать, как делить десятичные дроби.

  • Для решения этой задачи мы будем использовать деление в длинное число: 6,5 / 2. завершено.

  • Начнем с левой цифры под скобкой деления. Это означает, что мы начнем с 6…

  • Мы начнем с оставил цифру под скобкой деления. Это означает, что мы начнем с 6… и выясним, сколько раз его можно разделить на 2.

  • Мы будем использовать таблицу умножения на , чтобы помочь нам. Помните, если вам нужно повторить, как использовать таблицу умножения, вы можете вернуться к уроку по умножению. Теперь пришло время решить 6 / 2.

  • 6 / 2 = 3.

  • Мы напишем 3 над 6.

  • Далее мы будем умножать 3 и 2.

  • 3 x 2 = 6.

  • Мы напишем 6 под 6.

  • Далее мы поставим задачу на вычитание .

  • 6 — 6 = 0. Под чертой напишем 0.

  • Теперь мы запишем 5 и перепишем его рядом с 0.

  • 05 означает то же самое, что и 5. 5 достаточно велико, чтобы его можно было разделить, так что мы выясним, сколько раз 5 можно разделить на 2.

  • В столбце 2 мы будем искать число, ближайшее к 5, но не превышающее 5. Это 4.

  • 4 находится в ряду 2. Это означает, что 2 входит в число 5 два раза по .

  • Мы напишем 2 выше 5.

  • Сейчас пришло время . 5.

  • Теперь пришло время настроить наш вычитание задача.

  • 5 — 4 = 1. Под чертой напишем 1.

  • Поскольку наш ответ на задачу на вычитание равен 1, мы посмотрим под скобкой , чтобы увидеть, есть ли еще одна цифра, которую мы можем записать.

  • Нам больше нечего сбивать. На уроке деления в длинное число мы узнали, что мы можем написать ноль рядом с числом под скобкой деления.

  • Итак, рядом с 6,5 мы напишем 0,

  • Теперь мы можем продолжить решение этой задачи. Мы запишем 0 и перепишем его рядом с 1.

  • Посмотрим, сколько раз 10 можно разделить на 2. до 10, но не больше 10. В колонке 2 есть 10. Это именно то, что нам нужно!

  • 10 находится в 5-м ряду. Это означает, что 2 входит в число 10 пять раз .

  • Напишем 5 над 0.

  • Теперь пора умножить 5 на 2.

  • 5 x 2 = 10.

  • Далее мы создадим задачу на вычитание .

  • Теперь пришло время решить. 10 — 10 = 0.

  • Поскольку ответ на задачу на вычитание равен 0, а цифр больше нет, мы закончили деление. Остался последний шаг, который нам нужно сделать.

  • В этой задаче мы разделили десятичное число: 6,5. Это означает, что наше частное или ответ будет иметь десятичную точку.

  • Мы просто напишем десятичную точку непосредственно над другой десятичной точкой. Видите, где мы поместили его между 3 и 2?

  • Мы решили задачу. Коэффициент равен 3,25. Итак, 6,5/2 = 3,25. Мы можем прочитать это как три и двадцать пять сотых .

Попробуйте это!

Найдите частное для каждой из приведенных ниже задач на деление в длину. Проверьте свой ответ, введя его в поле.

4,62 ÷ 2 =

9,12 ÷ 3 =

4,41 ÷ 4,2 =

Продолжать

Предыдущий: Сложение и вычитание десятичных знаков

Next:Преобразование процентов, десятичных дробей и дробей

/en/decimals/converting-percentages-decimals-and-fractions/content/

12 математических приемов, которые помогут вам решать задачи без калькулятора | Эндрю Джеймисон

Разработайте это в уме

Фото Крисси Джарвис на Unsplash

1. Дополнение

Первый трюк состоит в том, чтобы упростить задачу, разбив ее на более мелкие части. Например, мы можем переписать

 567 + 432 
= 567 + (400 + 30 + 2)
= 967 + 30 + 2
= 997 + 2
= 999

Часто проще работать с коммутатором

3 добавив меньшее число, поэтому вместо 131 + 858 поменяйте местами числа

 858 + 131 
= 858 + 100 + 30 + 1
= 989

2.

Вычитание

Использование дополнения числа может облегчить вычитание. Дополнение — это разница между исходным числом и круглым числом, скажем, 100, 1000.

Вот несколько примеров сравнения числа и его дополнения со 100:

 67:33, 45:55, 89:11, 3 :97 

Обратите внимание, что вторые цифры в сумме составляют 10, а первая цифра в сумме составляет 9.

Вот как это может быть полезно

 721–387 
# дополнение 87 равно 13, поэтому мы можем поменять местами 387 на 400 – 13
-> 721 — (400 - 13)
= 321 - -13
= 321 + 13
= 334

Другой способ — выписать большее число так, чтобы оно оканчивалось на 99. Тот же пример:

 721 -> (699 + 22) 
= 699 — 387 + 22
= 312 + 22
= 334
Photo by Chris Liverani on Unsplash

3. Одиннадцать

Для двузначного числа сложите цифры и поместите ответ в середине числа, которое вы умножаете:

 35 x 11 
-> 3 _ 5
-> 3+5 = 8
-> 3 8 5

Если сумма больше 10, добавьте разряд десятков в следующий столбец слева , и запишите цифру единиц в ответе. Например, 4+8 = 12, запишите 2 и перенесите 1 в следующий столбец.

 48 x 11 
-> 4_8
-> 4+8 = 12
-> 4,12,8
-> 528

Процесс немного сложнее для трехзначных и более чисел, но он работает аналогичным образом. На этот раз сохраните первую и последнюю цифры и просуммируйте цифры парами

 725 X 11 
-> 7__5
-> 7_,(7+2=9), (2+5=7), _5
-> 7975 51973 x 11
-> 5__3
-> 5_,( 5+1=6),(1+9=10), (9+7=16), (7+3=10), _3
# где сумма больше десяти, мы перемещаем цифру десятков в следующий столбец
-> 5,(6+1),(0+1),(6+1),(0),3
-> 571703

4. Девятки

Умножение на девятки можно упростить, умножив на 10 и вычитание исходного числа

 799 x 92 
= 4200 + 25
= 4225

6. Метод сближения

Аналогичный метод работает для умножения близких чисел. Формула работает для всех чисел, но она не упрощается, если числа не похожи.

Вот формула. n — «базовое» число

 (n+a)(n+b) = n(n + a + b) + ab 

Пример:

 47 x 43 
= (40 + 7)(40 + 3)
= 40 х (40 + 3 + 7) + (7 х 3)
= (40 х 50) + (7 х 3)
= 2000 + 21
= 2021

В этом примере сумма единиц составляет десять, поэтому наше «базовое» число и множитель — это круглые числа (40 и 50).

Вот еще один пример. Уменьшите меньшее число, чтобы получить ближайшее круглое число — наше базовое число, в данном случае 40. Добавьте разницу к большему числу. Умножьте основание и большее число. Наконец, добавьте произведение разницы между исходными числами и базовым числом.

 47 х 42 
= (40 + 7) х (40 + 2)
= (40 + 7 + 2) х 40 + (7 х 2)
= (49 х 40) + (7 х 2)
= (40 х 40) + (40 х 9) + (7 х 2)
= 1600 + 360 + 14
= 1974

Вы также можете округлить до основного числа. Поскольку исходные числа меньше основания, мы добавляем произведение двух отрицательных чисел.

 47 х 42 
= (50 х 39) + (-3 х -8)
= (50 х 30) + (50 х 9) + (-3 х -8)
= 1500 + 450 + 24
= 1974

Это работает и для трехзначных чисел. В этом случае основное число находится между нашими числами, поэтому произведение является отрицательным числом.

 497 х 504 
= (500 – 3) х (500 + 4)
= (500) х (500 + 4 – 3) + (-3 х 4)
= 500 х 501 – 12
= 250 000 + 500 – 12
= 250 488
Photo by Sandro Schuh на Unsplash

7. Упрощение вычислений

Вы можете упростить некоторые уравнения еще до того, как начнете. Например, разделить и делитель, и делимое на два.

 898 / 4 
= 449 / 2
= 224 и ½

Обратите внимание, что при использовании этого метода остаток нужно записать в виде дроби:

 898/4 имеет остаток 2 — делится на 4 
449/2 имеет остаток 1 — делится на 2

Дробь та же, но абсолютное число другое.

При делении на 5 измените уравнение, умножив на 2. Гораздо проще делить на 10. Например:

 1753/5 
= 3506 / 10
= 350,6

8. Тест на делимость 9143

Есть много способов быстро определить, является ли число фактором.

2 : Число четное.

 Пример 28790 четный, поэтому делится на 2. 

3 : Сумма цифр делится на 3.

 Пример: 1281 -> 1+2+8+1 = 12 
-> 12 кратно 3, поэтому 1281 делится на 3

4 : Последние две цифры делятся на 4. Почему это работает? 100 кратно 4, поэтому нам нужно проверить только две последние цифры.

 Пример: 1472, 72 делится на 4, поэтому 1472 делится на 4. 

5 : Число оканчивается на 5 или 0.

 Пример: 575 оканчивается на 5, поэтому оно делится на ноль 

6 : Число четное, сумма цифр делится на 3 6 — это 3 x 2, поэтому применяются правила 2 и 3.

 Пример: 774 четно и 7+7+4 = 18 
-> 18 делится на 3, поэтому 774 делится на 6. заканчивается нулем. Отбросьте последнюю цифру с нулем и повторите процесс. Продолжайте, пока не сможете определить, делится ли результат на 7.

 Пример: 2702 добавить 98 (7 x 14) -> 2800, отбросить нули 
-> 28 кратно 7, поэтому 2702 делится на 7.

8 : Последние три цифры делятся на 8

 Пример: 79256, 256 делится на 8, поэтому 79256 делится на 8. (Альтернативное правило: если цифра сотен  четная  , последние  2  цифры делятся на 8, если цифра сотен  нечетная  , последние  2  цифры  + 4  делятся на 8) 

9 : То же правило, что и для 3, но с 9. Если сумма цифр делится на 9, то число делится на 9.

 Пример: 13671 -> 1+3+6+7+1 = 18 
-> 18 делится на 9, поэтому 13671 делится на 9

10 : Число оканчивается на 0.

 Пример: 280 оканчивается на 0, 280 делится на 10 

3

  • 2 Аналогичное правило до 3 и 9, начните с правой цифры и попеременно вычитайте и добавляйте оставшиеся цифры. Если ответ равен нулю или кратен 11, то число делится на 11.

     Пример: 12727 -> 1 - 2 + 7 - 2 + 7 = 11, поэтому 12727 делится на 11. 

    Вы можете ознакомиться с некоторыми дополнительными методами здесь.

    9. Деление больших чисел на 9

     Пример: 
    -> 10520/9

    Напишите первую цифру над уравнением и напишите «R» (для остатка) над последней цифрой. Добавьте число, которое вы только что написали, и число по диагонали ниже и справа от него. Запишите это новое число во втором месте. Добавьте это число к числу по диагонали ниже и справа. Продолжайте этот процесс, пока не дойдете до R.

    Суммируйте числа одного цвета, чтобы получить следующую цифру.

    Наконец, добавьте последнюю цифру к числу под буквой R, чтобы получить остаток.

     10520/9 
    = 1168 R8
    или 1168,889

    Вот еще пример:

     -> 57423/9 

    внизу и справа больше десяти (5+7=12). Ставим единицу над первой цифрой и вычитаем девять оттуда. (Мы делим по основанию девять, поэтому мы вычитаем девять, а не десять). Поместите полученное число на вторую позицию (12–9 = 3). Продолжайте тот же процесс.

    В этом примере остаток больше 9 (9+3 = 12). Снова переносим единицу выше предыдущей цифры и вычитаем девять из остатка, оставляя три. Теперь добавьте результат и цифры переноса.

     57423 / 9 
    = 6380 R3
    или 6380,333
    Фото Элисон Панг на Unsplash

    10. Переверните вопрос

    Проценты являются ассоциативными, поэтому иногда изменение порядка вопросов облегчает вычисления.

     Пример: 
    36% от 25
    -> равно 25% от 36
    -> 25% равно ¼
    -> 36/4 = 9
    36% от 25 равно 9

    11. Дроби

    Как вы видите, использование ¼ в последнем примере помогает узнать дроби и то, как они связаны с процентами.

     1/2 = 50 %1/3 = 33,33 %, 2/3 = 66,67 %, 1/4 = 25 %, 3/4 = 75 %1/5 = 20 %, 2/5 = 40 % …1 /6 = 16,67%, 5/6 = 83,33% (2/6 = 1/3, 3/6 = 1/2, 4/6 = 2/3) 1/7 = 14,2857%, 2/7 = 28,5714% , 3/7 = 42,8571 %, 4/7 = 57,1428 % (обратите внимание на повторяющийся шаблон 0,142857) 1/8 = 12,5 %, 3/8 = 37,5 %, 5/8 = 62,5 %, 7/8 = 87,5 %1 /9= 11,11 %, 2/9 = 22,22 %, 3/9 = 33,33 % … 1/10 = 10 %, 2/10 = 20 % … 1/11 = 9,09 %, 2/11 = 18,18 %, 3/11 = 27,27% …1/12 = 8,33%, 5/12 = 41,67%, 7/12 = 58,33%, 11/12 = 91,67% 

    12.

    Правило 72

    Правило 72 позволяет оценить, сколько лет потребуются инвестиции, чтобы удвоить стоимость при заданном процентном доходе. Он работает путем деления 72 на процент, а ответом является количество лет, которое потребуется, чтобы удвоиться.

     2% -> 72/2 = 36, примерно 36 лет, чтобы удвоить 
    8% -> 72/8 = 9, примерно 9 лет, чтобы удвоить

    Обратите внимание, что правило 72 является ориентиром, основанным на натуральном логарифме 2, что дает 0,693. Таким образом, правило 69,3 было бы более точным, но 72 легче вычислить.

    Существует также правило 114 для утроения инвестиций и правило 144 для учетверения ваших денег.

    Я нашел две книги Артура Бенджамина, которые могут быть полезны по этой теме. Многие примеры в этом блоге были вдохновлены этими книгами. Вы можете проверить их здесь.

    Магия математики: нахождение x и выяснение почему

    Купить Магия математики: нахождение x и выяснение почему на Amazon.com ✓ БЕСПЛАТНАЯ ДОСТАВКА заказов, отвечающих требованиям

    www. amazon.com

    Пожалуйста, оставьте комментарий, если вы нашли это полезным, или поделитесь другими полезными приемами, с которыми вы столкнулись.

    Раздел ÷ | Основы арифметики

    На этой странице рассказывается об основах Подразделения (÷) .

    См. другие наши арифметические страницы для обсуждения и примеров: сложение ( + ), вычитание (-) и умножение ( × ).

    Раздел

    Обычный письменный символ деления (÷). В электронных таблицах и других компьютерных приложениях используется символ «/» (косая черта).

    Деление — это противоположность умножения в математике.

    Деление часто считается самой сложной из четырех основных арифметических функций. На этой странице объясняется, как выполнять вычисления деления. Как только мы хорошо разберемся в методе и правилах, мы сможем использовать калькулятор для более сложных вычислений, не делая ошибок.

    Разделение позволяет нам разделить или «поделиться» числами, чтобы найти ответ. Например, давайте подумаем, как найти ответ на 10 ÷ 2 (десять разделить на два). Это то же самое, что «делить» 10 конфет между двумя детьми. У обоих детей должно получиться одинаковое количество конфет. В этом примере ответ равен 5.


    Некоторые краткие правила деления:


    • При делении 0 на другое число ответ всегда равен 0. Например: 0 ÷ 2 = 0. То есть 0 конфет делится поровну. среди 2 детей - каждому ребенку по 0 конфет.

    • Когда вы делите число на 0, вы вообще не делите (это серьезная проблема в математике). 2 ÷ 0 невозможно. У вас есть 2 конфеты, но нет детей, чтобы разделить их между собой. На 0 делить нельзя.

    • При делении на 1 ответ совпадает с числом, которое вы делили. 2 ÷ 1 = 2. Две конфеты разделить на одного ребенка.

    • При делении на 2 число уменьшается пополам. 2 ÷ 2 = 1.

    • Любое число, деленное на одно и то же число, равно 1. 20 ÷ 20 = 1. Двадцать конфет разделить на двадцать детей - каждый ребенок получает по одной конфете.

    • Числа должны быть разделены в правильном порядке. 10 ÷ 2 = 5, тогда как 2 ÷ 10 = 0,2. Десять конфет, разделенных на двоих детей, сильно отличаются от 2 конфет, разделенных на 10 детей.

    • Все дроби, такие как ½, ¼ и ¾, являются суммами деления. ½ равно 1 ÷ 2. Одна конфета делится на двоих детей. См. нашу страницу Дроби для получения дополнительной информации.

    Множественные вычитания

    Точно так же, как умножение — это быстрый способ вычисления множественных сложений, деление — это быстрый способ выполнения множественных вычитаний.

    Например:

    Если у Джона в машине 10 галлонов топлива, и он использует 2 галлона в день, сколько дней до того, как у него закончится топливо?

    Мы можем решить эту задачу, выполнив серию вычитаний или посчитав в обратном порядке с шагом 2.

    • В день 1 Джон начинается с 10 галлона и заканчивается 8 галлона. 10 - 2 = 8
    • В день 2 Джон начинает с 8 галлонов и заканчивает с 6 галлонов. 8 - 2 = 6
    • В день 3 Джон начинает с 6 галлонов и заканчивает 4 галлонов. 6 - 2 = 4
    • В день 4 Джон начинает с 4 галлона и заканчивает 2 галлона. 4 - 2 = 2
    • В день 5 Джон начинает с 2 галлонов и заканчивает 0 галлонов. 2 - 2 = 0

    У Джона закончилось топливо на 5-й день. 

    Более быстрый способ выполнить это вычисление — разделить 10 на 2. То есть, сколько раз 2 делится на 10 или сколько партий по два галлона имеется в десять галлонов? 10 ÷ 2 = 5.

    Таблица умножения (см. умножение) может помочь нам найти ответ на простые вычисления деления.

    В приведенном выше примере нам нужно было вычислить 10 ÷ 2 . Для этого с помощью таблицы умножения найдите столбец для 2 (красный заштрихованный заголовок). Двигайтесь вниз по столбцу, пока не найдете искомый номер 10 . Переместитесь по строке влево, чтобы увидеть ответ (заштрихованный красным цветом) 5 .

    Таблица умножения

    × 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
    1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
    2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
    3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
    4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
    5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
    6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
    7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
    8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
    9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
    10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

    Мы можем выполнить другие простые вычисления деления, используя тот же метод. 56 ÷ 8 = 7 например. Найдите 7 в верхней строке, посмотрите вниз по столбцу, пока не найдете 56 , затем найдите соответствующий номер строки, 8 .

    Если возможно, постарайтесь выучить приведенную выше таблицу умножения наизусть, потому что она значительно ускорит решение простых операций умножения и деления.


    Деление больших чисел

    Вы можете использовать калькулятор для выполнения вычислений деления, особенно когда вы делите большие числа, которые труднее вычислить в уме. Однако важно понимать, как выполнять вычисления деления вручную. Это полезно, когда у вас нет калькулятора под рукой, но также необходимо, чтобы убедиться, что вы правильно используете калькулятор и не делаете ошибок. Деление может показаться пугающим, но на самом деле, как и в большинстве арифметических операций, оно логично.

    Как и со всей математикой, проще всего это понять, если мы рассмотрим пример:

    Машине Дейва нужны новые шины. Ему нужно заменить все четыре шины на машине плюс запаску.

    Дэйв получил предложение от местного гаража на 480 фунтов стерлингов, включая шины, установку и утилизацию старых шин. Сколько стоит каждая шина?

    Задача, которую нам нужно вычислить, это 480 ÷ 5 . Это то же самое, что сказать, сколько раз 5 будет входить в 480?

    Условно запишем так:

    5 4 8 0

    Работаем слева направо в логической системе.

    Начнем с деления 4 на 5 и сразу наткнемся на проблему. 4 не делится на 5, чтобы получить целое число, так как 5 больше 4.

    Язык, который мы используем в математике, может сбивать с толку. Другой способ взглянуть на это — спросить: «Сколько раз 5 входит в 4?».

    Мы знаем, что 2 дважды входит в число 4 (4 ÷ 2 = 2), и мы знаем, что 1 входит в число 4 четыре раза (4 ÷ 1 = 4), но 5 не входит в число 4, потому что 5 больше 4.

    Число, на которое мы делим (в данном случае 5), должно входить в число, на которое мы делим (в данном случае 4), целое число раз. Как вы увидите, это не обязательно должно быть точное целое число.

    Так как 5 не входит в 4, мы ставим 0 в первую колонку (сотни). Для получения справки о столбцах сотен, десятков и единиц см. нашу страницу о числах .

    Сотни Десятки Единиц
    г. 0    
    5 4 8 0

    Далее мы двигаемся вправо, чтобы включить столбец десятков. Теперь мы можем увидеть, сколько раз 5 входит в число 48.

    5 входит в число 48, поскольку 48 больше 5. Однако нам нужно выяснить, сколько раз оно входит в число 48.

    Если мы обратимся к нашей таблице умножения, то увидим, что 9 × 5 = 45 и 10 × 5 = 50 .

    48 число, которое мы ищем, находится между этими двумя значениями. Помните, нас интересует целое число , умноженное на , которое 5 входит в число 48. Десять раз — это слишком много.

    Мы видим, что 5 входит в число 48 целое число (9) раз, но не точно, с оставшимися 3.

    9 × 5 = 45
    48 – 45 = 3

    Теперь мы можем сказать, что 5 входит в число 48 девять раз, но с остатком 3. нашли из числа, на которое мы делим: 48 - 45 = 3 .

    Таким образом, 5 × 9 = 45, + 3, чтобы получить 48.

    Мы можем ввести 9 в столбце десятков в качестве ответа для второй части вычисления и поставить наш остаток перед нашим последним числом в единицах измерения. столбец. Наше последнее число становится 30.

    Сотни Десятки Единиц
    0 9  
    5 4 8 30

    Теперь разделим 30 на 5 (или узнаем, сколько раз 5 входит в 30). Используя нашу таблицу умножения, мы видим, что ответ равен ровно 6 без остатка. 5 × 6 = 30. Мы пишем 6 в столбце единиц нашего ответа.

    Сотни Десятки Единиц
    0 9 6
    5 4 8 30

    Поскольку остатка нет, мы закончили расчет и получили ответ 96 .

    Новые шины Дэйва будут стоить £96 каждая. 480 ÷ 5 = 96 и 96 × 5 = 480 .


    Раздел рецептов

    Наш последний пример разделения основан на рецепте. Часто при приготовлении пищи рецепты сообщают вам, сколько еды они собираются приготовить, например, достаточно, чтобы накормить 6 человек.

    Ингредиенты, указанные ниже, необходимы для приготовления 24 сказочных тортов, однако нам нужно сделать только 8 сказочных тортов. Мы немного изменили ингредиенты для этого примера (оригинальный рецепт: BBC Food).

    Первое, что нам нужно установить, это сколько восьмерок в числе 24. Воспользуйтесь таблицей умножения выше или своей памятью. 3 × 8 = 24 — если мы разделим 24 на 8, мы получим 3.  Следовательно, нам нужно разделить каждый ингредиент ниже на 3, чтобы получить нужное количество смеси для приготовления 8 сказочных пирожных.

    Ингредиенты
    • 120 г сливочного масла, размягченного при комнатной температуре
    • 120 г сахарной пудры
    • 3 куриных яйца, слегка взбитых
    • 1 чайная ложка ванильного экстракта
    • 120 г самоподнимающейся муки
    • 1-2 столовые ложки молока

    Количество масла, сахара и муки одинаковое, 120г. Следовательно, необходимо вычислить 120 ÷ 3 только один раз, так как ответ будет одинаковым для этих трех ингредиентов.

    3 1 2 0

    Как и раньше, мы начинаем с левого столбца (сотни) и делим 1 на 3. Однако 3 ÷ 1 не идет, так как 3 больше 1. Далее мы смотрим, сколько раз 3 входит в 12. Используя таблицу умножения, если нужно, мы можем видеть, что 3 входит в 12 ровно 4 раза по  без остатка.

    0 4 0
    3 1 2 0

    120 г ÷ 3 равно 40 г. Теперь мы знаем, что нам понадобится 40 г сливочного масла, сахара и муки.

    В исходном рецепте указано 3 яйца, и мы снова делим на 3. Таким образом, 3 ÷ 3 = 1, значит, нужно одно яйцо.

    Далее по рецепту требуется 1 чайная ложка ванильного экстракта. Нам нужно разделить одну чайную ложку на 3. Мы знаем, что деление можно записать в виде дроби, поэтому 1 ÷ 3 — это то же самое, что ⅓ (одна треть). Вам понадобится ⅓ чайной ложки ванильного экстракта, хотя на самом деле может быть сложно точно отмерить ⅓ чайной ложки!

    Оценка может быть полезной, и единицы измерения можно изменить!


    Мы можем посмотреть на это по-другому, если мы знаем, что одна чайная ложка равна 5 мл или 5 миллилитрам. (Если вам нужна помощь с единицами измерения, см. нашу страницу Системы измерения .) Если мы хотим быть более точными, мы можем попробовать разделить 5 мл на 3. 3 входит в 5 один раз (3) с 2 в остатке. 2 ÷ 3 равно ⅔, поэтому 5 мл, разделенные на 3, дают нам 1⅔ мл, что в десятичных дробях равно 1,666 мл. Мы можем использовать наши навыки оценки и сказать, что одна чайная ложка, разделенная на три, чуть больше, чем полтора мл. Если у вас на кухне есть несколько таких крошечных мерных ложек, вы можете быть очень точны!

    Мы можем оценить ответ, чтобы убедиться, что мы правы. Три партии по 1,5 мл дают нам 4,5 мл. Таким образом, три партии «чуть больше 1,5 мл» дают нам около 5 мл. Рецепты редко являются точной наукой, поэтому небольшая оценка может быть забавой и хорошей практикой для нашей ментальной арифметики.

    Далее по рецепту требуется 1–2 ст.л. молока. Это от 1 до 2 столовых ложек молока. У нас нет определенного количества, и то, сколько молока вы добавите, будет зависеть от консистенции вашей смеси.

    Мы уже знаем, что 1 ÷ 3 равно ⅓, а 2 ÷ 3 равно ⅔. Таким образом, нам понадобится ⅓–⅔ столовой ложки молока, чтобы приготовить восемь волшебных лепешек. Давайте посмотрим на это с другой стороны. Одна столовая ложка равна 15 мл. 15 ÷ 3 = 5, поэтому ⅓–⅔ столовой ложки соответствует 5–10 мл, то есть 1–2 чайным ложкам!



    Дополнительное чтение из книги «Навыки, которые вам нужны»


    Основы счета
    Часть руководства «Навыки, которые вам нужны» для счета

    операции и начать манипулировать числами. Он также включает примеры из реальной жизни, чтобы прояснить, как эти концепции полезны в реальной жизни.

    Если вы хотите освежить свои знания или помочь своим детям в обучении, эта книга для вас.


    Как доказать, что 1 = 2?

    Быстро, сколько будет 1 + 1? Очевидно, 2, верно? Не так быстро!

    Что, если бы я сказал вам, что могу доказать, что 1 + 1 на самом деле равно 1. И что, следовательно, 2 равно 1. Вы бы подумали, что я сошел с ума? Больше похоже на полное безумие? Вероятно. Но орехи или нет, это именно то, о чем мы будем говорить сегодня.

    Конечно, здесь будет задействована хитрость, потому что 1 + 1, безусловно, равно 2… слава богу! И, как оказалось, этот трюк связан с очень интересным фактом о числе ноль.

    Как все это работает? И что за большая уловка, которую пытается провернуть подлый номер ноль? Продолжайте читать, чтобы узнать!

    Спонсор: Посетите GoDaddy.com, чтобы получить домен .COM за 2,95 доллара. Применяются некоторые ограничения, подробности см. на веб-сайте.

    Как «доказать», что 2 = 1

    Давайте начнем наше путешествие в причудливый мир внешне правильных, но явно абсурдных математических доказательств, убедив себя, что 1 + 1 = 1. И, следовательно, что 2 = 1. Я знаю, это звучит безумно, но если следовать логике ( и еще не знаете трюка), я думаю, вы обнаружите, что «доказательство» довольно убедительно.

    Вот как это работает:

    • Предположим, что у нас есть две переменные a и b и что: a = б
    • Умножьте обе части на и , чтобы получить: и 2 = аб
    • Вычитается B 2 С обеих сторон до GET: A 2 - B 2 = AB - B = AB - 5 B6 1 2 . - 5.
    • Это сложная часть: факторизовать левую часть (используя FOIL из алгебры), чтобы получить ( a b )( a b ) и вычтем b с правой стороны, чтобы получить b ( a b ). Если вы не знаете, как работает FOIL или факторинг, не беспокойтесь — вы можете проверить, работает ли все это, перемножив все, чтобы убедиться, что оно совпадает. Конечным результатом является следующее уравнение:
    • С ( a b ) появляется с обеих сторон, мы можем отменить его, чтобы получить:  a  +  b  =  b
    • Поскольку a = b (это предположение, с которого мы начали), мы можем заменить b на a , чтобы получить: b + b =

      b

    • Объединение двух членов слева дает нам: 2 b = b
    • Поскольку b появляется с обеих сторон, мы можем разделить на b чтобы получить: 2 = 1

    Подождите, что?! Все, что мы там делали, выглядело вполне разумно. Как же нам удалось доказать, что 2 = 1?

    Что такое математические ошибки?

    На самом деле мы не доказали, что 2 = 1. Что, к счастью, означает, что вы можете расслабиться — мы не разрушили все, что вы знаете и любите о математике. Где-то в этом «доказательстве» зарыта ошибка. На самом деле, «ошибка» — не совсем правильное слово, потому что это была не ошибка в том, как мы выполняли арифметические действия, а гораздо более тонкая махинация, известная как «математическая ошибка».

    Никогда нельзя делить на ноль!

    В чем заключалась ошибка знаменитого фальшивого доказательства, которое мы рассматривали? Как и многие другие математические ошибки, наше доказательство основано на тонком трюке деления на ноль. И я говорю тонко, потому что это доказательство построено таким образом, что вы можете даже не заметить, что происходит деление на ноль. Где это происходит? Найдите минутку и посмотрите, сможете ли вы это понять…

    Хорошо, понял?

    Это произошло, когда мы разделили обе части на a b на пятом шаге. Но вы говорите, что это не деление на ноль — это деление на а б . Это так, но мы начали с предположения, что a равно b , а это значит, что a b — это то же самое, что и ноль! И хотя вполне нормально делить обе части уравнения на одно и то же выражение, делать это неправильно, если выражение равно нулю. Потому что, как нас всегда учили, никогда нельзя делить на ноль!

    Почему нельзя делить на ноль?

    У вас может возникнуть вопрос: почему именно мы не можем делить на ноль? Нас всех предупреждали о таких вещах с тех пор, как мы были маленькими мальчиками и девочками, но задумывались ли вы когда-нибудь о том, почему деление на ноль — это такой оскорбительный поступок? Есть много способов подумать об этом. Сегодня мы поговорим о двух причинах.

    Первое связано с тем, как деление связано с умножением. Давайте на секунду представим, что деление на ноль — это прекрасно и модно. В этом случае задача наподобие 10/0 будет иметь некоторое значение, которое мы назовем 9. 2394 х . Мы не знаем, что это такое, но просто предположим, что x — это какое-то число. Таким образом, 10/0 = x . Мы также можем рассматривать эту задачу деления как задачу умножения: какое число, x , нужно умножить на 0, чтобы получить 10? Конечно, на этот вопрос нет ответа, поскольку каждое число , умноженное на ноль, равно нулю. Это означает, что операция деления на ноль называется «неопределенной».

    Второй способ осмыслить несуразность деления на ноль и причину, по которой мы не можем этого сделать, — это представить себе деление числа вроде 1 на все меньшие и меньшие числа, которые все ближе и ближе к нулю. Например:

    • 1 / 1 = 1
    • 1/0,1 = 10
    • 1/0,01 = 100
    • 1 / 0,001 = 1000
    • 1 / 0,0001 = 10 000
    • 1 / 0,00000000001 = 100 000 000 000

    и так далее до бесконечности. Другими словами, когда мы делим 1 на все более мелкие числа, которые все ближе и ближе к нулю, мы получаем все больший и больший результат. В пределе, когда знаменатель этой дроби фактически становится нулем, результат был бы бесконечно большим.

    Это еще одна очень веская причина, по которой мы не можем делить на ноль. И почему 1 + 1 действительно равно 2… что бы ни говорило наше дурацкое «доказательство».

    Подведение итогов

    Хорошо, это все расчеты, на которые у нас есть время на сегодня.

    Пожалуйста, обязательно ознакомьтесь с моей книгой  The Math Dude's Quick and Dirty Guide to Algebra . И не забудьте стать поклонником Math Dude на Facebook , где вы найдете много отличных математических публикаций в течение недели. Если вы есть в Твиттере, подпишитесь на меня и там.

    До свидания, это Джейсон Маршалл с  Быстрые и грязные советы по математике от чувака-математика .  Спасибо за чтение, любители математики!

    Изображения дополнений Apple и лампочки бесконечности от Shutterstock.

    делимость - как 1/0,5$ равняется 2$?

    спросил

    Изменено 1 год, 1 месяц назад

    Просмотрено 19 тысяч раз

    $\begingroup$

    Мой вопрос заключается в том, как $1/0,5$ равняется $2$.

    Я не прошу математического обоснования того, что $1/0,5=10/5=2$. Я все это знаю. Я просто хочу знать, как это два... оправдание непрофессионала. Насколько я понимаю, если кто-то говорит $1/2$, это означает, что мы делим что-то стоимостью $1$ на две части, поэтому результат равен $0,5$, что означает, что каждая из двух частей имеет стоимость $0,5$. Но если сделать $1/0,5$, что это значит и как это равняется $2$?

    • делимость

    $\endgroup$

    3

    $\begingroup$

    Если у вас есть 10 печений и каждый ребенок получает по 2 печенья, сколько детей вы сможете обслужить? Это $10\дел 2 =5$ детей.

    Если у вас есть 10 печений и каждый ребенок получает по 2,5 печенья, сколько детей вы сможете обслужить? Это $10\дел 2,5 =4$ детей.

    Если у вас есть 1 печенье и каждый ребенок получает по 0,5 печенья, сколько детей вы сможете обслужить? Это $1\div 0. 5 =2$ детей.

    $\endgroup$

    3

    $\begingroup$

    Вам нужно "обоснование неспециалиста". Вот несколько разных способов посмотреть на это:

    1) Разделив $a$ на $b$, мы спрашиваем: «На что мне нужно умножить $b$, чтобы получить $a$. И нам нужно умножить $0,5$ на $2$, чтобы получить $1.

    2) Вы знаете, что $0,5$ равно $1/2$ (именно потому, что вам нужно умножить $2$ на $0,5$, чтобы получить $1).Есть правило, что говорит $$ \frac{a/b}{c/d} = \frac{a\cdot d}{b\cdot c}. $$ Так $$ \frac{1/1}{1/2} = \frac{1\cdot 2}{1\cdot 1} = 2. $$

    3) Вместо того, чтобы думать о 0,5$ как о 1$, деленном на 2$, просто подумайте о 0,5$ как о числе в прямой числовой строке.

    4) Вы также можете думать о числе $a$, деленном на $b$, как о единственном решении уравнения $bx = a$ (то есть уравнения с переменной $x$). Итак, вы просите решение $0,5x = 1$.

    Все это в основном говорит о том же. Я бы посоветовал вам привыкнуть к математической истине. Если вы знаете математическое обоснование чего-либо, то будьте счастливы и довольны этим.

    $\endgroup$

    2

    $\begingroup$

    Вот самый простой способ, который я могу придумать, чтобы сказать это. 1/0.5 спрашивает: «Сколько половинок входит в 1? Ответ 2.

    $\endgroup$

    $\begingroup$

    Смотрите, мальчик… Возьмем 1-дюймовую колбасу (смеется)

    Теперь попробуем сделать 1/7, т.е. разделить колбасу на 7 частей… это дает нам порции по 0,14"

    Теперь попробуем сделать 1/3, т.е. разделить колбасу на 3 части… это даст нам порции по 0,33 дюйма

    Возьмем 1-дюймовую колбасу
    Теперь попробуем сделать 1/1, т.е. разделить колбасу на 1 часть… это дает нам порции по 1 дюйму

    Возьмем 1-дюймовую колбасу
    Теперь попробуем сделать 1/0,5, т.е. разделить колбасу на 0,5 равных частей… это дает нам зелья __ ? Подождите, мы ведь не можем разделить колбасу на 0,5 части. Так делим колбасу на порции по 0,5. Что дает нам 2 части. ура!

    Также обратите внимание, что ТРЕНД результатов деления уменьшается, а затем увеличивается от 1/1.

    $\endgroup$

    1

    $\begingroup$

    Я не буду покровительствовать вам, но вы можете просто думать об этом как о 1, разделенном пополам, поскольку 0,5 любого количества составляет его половину. Итак, теперь вы считаете, сколько частей осталось после деления или разрезания пополам, и ваш ответ — 2 равные части.

    $\endgroup$

    $\begingroup$

    Как насчет этого? Я думаю, что лучше всего рассматривать их как ответы на две связанные проблемы (я бы назвал их «взаимными проблемами», чтобы подчеркнуть взаимосвязь между 0,5$ и 2$)

    Задача 1: «Разделить целое на 2 части, сколько вес каждой части"?