Калькулятор квадратные уравнения: Онлайн калькулятор. Решение квадратных уравнений

Содержание

Калькулятор квадратных уравнений

Укажите коэффициенты a b и c квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0

x2 + x + = 0

Что такое квадратное уравнение

Уравнение вида ax2 + bx + c = 0 называется квадратным.

Решить квадратное уравнение означает найти его корни, а именно x1 и x2, либо установить, что корней нет.

Числа a, b, c — называются коэфициентами квадратного уравнения, где a ≠ 0.

Каждый коэфициент квадратного уравнения имеет название:

a — старший коэфициент
b — средний коэфициент
c — свободный член

Если коэфициент b или c или оба этих коэфициента равны нулю, то такое уравнение называется неполным.

Дискриминант квадратного уравнения D выражается следующей формулой D = b2 — 4ac.

Как решить квадратное уравнение

Прежде всего при решении квадратного уравнения необходимо найти его дискрименант.


Если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня, которые можно найти по формуле:

Приведем пример, решим уравнение 5x2 + 67x + 7 = 0

Найдем дискриминант D квадратного уравнения 5x

2 + 67x + 7 = 0. В данном уравнении a = 5; b = 67; c = 7, тогда

D = b2 — 4ac = 672 — 4 · 5 · 7 = 4349

Дискриминант уравнения больше нуля, следовательно, уравнение имеет два корня.
Подставим значения дискриминанта D, b и a в уравнения и найдем x1 и x2

-b +

D

=
2a
-67 +

4349

=
2 · 5
-1. 05305162480981 =
10
-0.105305162480981

-b —

D

=
2a
-67 —

4349

=
2 · 5
-132.94694837519 =
10
-13.294694837519

Если D = 0, то корни квадратного уравнения равны, по сути уравнение имеет один корень, например 9x2=0. При D = 0 необходимо воспользоваться формулой:

Приведем пример, решим уравнение x2 + 2x + 1 = 0

Найдем дискриминант D квадратного уравнения 1x2 + 2x + 1 = 0. В данном уравнении a = 1; b = 2; c = 1, тогда

D = b2 — 4ac = 22 — 4 · 1 · 1 = 0

Дискриминант уравнения равен нулю, следовательно, уравнение имеет один корень.

x1,2 =
2 =
2 · 1
2 =
2

Если D , например, 5x2 + 6x + 7 = 0, 20x2 + 2x + 3 = 0. При D

Приведем пример, решим уравнение 3x2 — 2x + 7 = 0

Найдем дискриминант D квадратного уравнения 3x2 — 2x + 7 = 0.
В данном уравнении a = 3; b = -2; c = 7, тогда

D = b2 — 4ac = (-2)2 — 4 · 3 · 7 = -80

Дискриминант меньше нуля, следовательно, уравнение не имеет действительных корней. Корнями уравнения могут быть только комплексные числа.

Подставим значения дискриминанта D, b и a в уравнения и найдем x1 и x2

(

|D|

)i
=
2a
-2 +
2 · 3
(

80

)i
=
2 · 3
0.333333333333333 + (1.49071198499986)i

(

|D|

)i
=
2a
-2
2 · 3
(

80

)i
=
2 · 3
0. 333333333333333 — (1.49071198499986)i

Квадратные уравнения: онлайн калькулятор, формула, примеры решений

Квадратное уравнение – второй по сложности тип алгебраических равенств, с которыми встречается каждый школьник. При помощи нашего калькулятора вы можете найти корни любого квадратного уравнения и построить соответствующую ему параболу.

История квадратных равенств

Квадратные уравнения берут свое начало в Древнем Вавилоне. Еще в 20-м веке до нашей эры вавилонские ученые развязывали квадратные равенства для определения площадей земельных участков, использовали равенства в астрономических изысканиях, а также применяли древнюю геометрию в военном деле. Именно в работах индийских астрономов широко использовался алгебраический аппарат и квадратные уравнения для описания движения планет и определения далеких расстояний.

Типы квадратных уравнений

Квадратное уравнение – это равенства вида:

ax2 + bx + c =0,

где a, b, c — коэффициенты уравнения.

Равенства такого типа называются полными квадратными уравнениями и на практике выглядят так:

  • x2 + 2x + 5 = 0, где a = 1, b = 2, c = 5;
  • 5x2 + 12x − 25 = 0, где a = 5, b = 12, c = −25.

Если коэффициент b = 0, то квадратное уравнение принимает вид:

ax2 + c = 0,

а если c = 0, то:

ax2 + bx = 0.

Такие равенства называются неполными квадратными уравнениями. Если же в уравнении a = 0, то квадрат икса исчезает из равенства, и оно принимает вид стандартного линейного уравнения.

Решение квадратных равенств

Такие уравнения решается по известному алгоритму, который знаком каждому школьнику. Для начала любое представленное уравнение следует привести к стандартному виду ax2 + bx + c = 0. Это требуется для того, чтобы правильно определить коэффициенты, необходимые для расчета корней уравнения. В общем виде корни квадратного равенства выглядят как:

  • x1 = (−b + sqrt(D)) / 2a,
  • x2 = (−b — sqrt(D)) / 2a.

Выражение sqrt(D) означает «квадратный корень из D», где D — дискриминант, который равен D = b2 − 4ac. Данное выражение получило собственное название благодаря тому, что от его значения зависит возможность решения заданного уравнения. Если:

  • sqrt(D) > 0, то уравнение имеет два действительных корня;
  • sqrt(D) = 0, то равенство имеет только одно решение или x1 = x2;
  • sqrt(D) < 0, то уравнение не разрешимо в действительных числах, но имеет комплексные корни.

Школьный курс алгебры гласит, что невозможно извлечь квадратный корень из отрицательного числа, поэтому при sqrt(D) < 0 квадратное уравнение не имеет решений. Однако мы знаем, что четные корни из отрицательных чисел представляют собой класс комплексных чисел. При sqrt(D) < 0 равенство имеет комплексные корни и наш калькулятор их рассчитывает, однако при выполнении школьных заданий достаточно указать, что уравнение не имеет решений.

Нюансы решения

Формула для определения корней предельна проста. Вначале определяется дискриминант, а после по известной формуле вычитываются корни уравнения. При решении таких заданий школьниками основная проблема состоит в правильном определении коэффициентов. Ребята теряют знаки или меняют местами сами значения, поэтому ученикам важно уметь определять, где в уравнении a, b, и c. Грамотное определение коэффициентов понадобится и при использовании нашего калькулятора, так как для решения уравнения требуется ввести равенство в стандартном виде:

ax2 + bx + c = 0.

Привести заданный в задаче пример к стандартному виду легко с использованием тождественных преобразований.

Тождественные преобразования применяются для решения любых типов уравнений: квадратные, показательные, логарифмические, тригонометрические или линейные практически всегда требуют начальных преобразований. Для решения квадратных уравнений достаточно использовать преобразования двух типов:

  • к каждой части уравнения можно прибавить или отнять любое выражение или число;
  • каждую часть равенства можно умножить или разделить на любое выражение или число.

Первое правило можно сформулировать и по-другому: уравнение не изменится, если его составляющие перенести через «равно» с заменой знака. Рассмотрим пример. Пусть в школьной задаче требуется решить уравнение:

4x − 2x2 = 5 − 3x.

Для того чтобы решить это уравнение вручную или при помощи калькулятора, его необходимо преобразовать. Во-первых, в правой части уравнения должен остаться ноль, а для этого нам потребуется перенести часть 5 − 3x через знак равенства с заменой знаков коэффициентов на противоположные. Получим следующее выражение:

4x − 2x2 − 5 + 3x = 0.

Очевидно, что 4x и 3x можно суммировать:

7x − 2x2 − 5 = 0.

На первый взгляд, можно начать решать, однако x2 стоит не на своем месте и легко перепутать значения a и b. Лучше переставить члены уравнения в порядке убывания степени икса:

−2x2 + 7x − 5 = 0

Приведя выражение к данному виду, мы можем его решить по стандартной формуле вручную или при помощи калькулятора. Главное – правильно определить коэффициенты и не потерять их знаки. Здесь a = −2, b = 7, c = −5.

Теперь следует посчитать дискриминант D = b2 − 4ac = 49 − 4×2×5 = 49 − 40 = 9 и найти корни уравнения: x1 = 1, x2 = 2,5.

Решать абстрактные уравнения не так интересно, поэтому давайте применим эти знания на практике.

Рассмотрим пример

Задача по геометрии

Есть прямоугольный треугольник, площадь которого составляет 30 квадратных сантиметров. Известно, что один из катетов на 7 см длиннее другого. Требуется найти все стороны треугольника. На первый взгляд сложная задача, но для ее решения мы используем алгебраический метод.

Из курса геометрии известно, что площадь прямоугольного треугольника равна полупроизведению его катетов. Пусть длина одного катета будет x, а вторая – (x + 7). Нам известна площадь, поэтому уравнение будет выглядеть как:

(x(x + 7)) / 2 = 30.

Применим второе тождественное преобразование и умножим обе стороны равенства на 2:

x(x + 7) = 60.

А теперь раскроем скобки и перенесем свободный член через знак равенства. Получим квадратное уравнение стандартного вида:

x2 + 7x — 60 = 0.

В данном примере a = 1, b = 7, c = – 60, D = 289, x1 = –12, x2 = 5. Очевидно, что длина катета не может быть отрицательным числом, поэтому в качестве решения данной задачи принимаем x2 = 5. Второй катет на 7 см больше, следовательно, он равен 12 см. Это целочисленные значения сторон прямоугольного треугольника, и благодаря теореме Пифагора или пифагоровым тройкам мы знаем длину и гипотенузы, равной 13 см.

Заключение

Квадратные уравнения – это не только тема скучной школьной математики. Подобные равенства находят широкое применение при решении бытовых и научных задач. Пользуйтесь нашими калькуляторами для непосредственного решения таких уравнений или для проверки своих выкладок.

Часто задаваемые вопросы | CASIO решения для образования

Зачем мне калькулятор, если у меня в мобильном телефоне (смартфоне) он есть?

Во-первых, калькулятор, в отличие от мобильного телефона и смартфона, узкоспециализированное устройство, конструкция которого разработана оптимальным образом для выполнения математических вычислений, то есть вычисления на калькуляторе проводятся удобнее и быстрее, чем на смартфоне, и, тем более, на телефоне (к тому же в телефоне набор функций существенно ограничен по сравнению с научным калькулятором). Во-вторых, использование непрограммируемых калькуляторов на вступительных экзаменах разрешено во многих вузах России, а также на ЕГЭ по физике и химии.


Какой калькулятор лучше?

Калькуляторы различаются функциональностью (то есть количеством встроенных функций), и, соответственно, ценой. Поэтому самый дорогой калькулятор может оказаться не самым удачным выбором, если Вы не будете в полной мере использовать заложенные в него функции. Поэтому при выборе калькулятора надо обратить внимание на то, какие функции Вам необходимы в работе.


Могут ли калькуляторы решать квадратные уравнения?

Научные калькуляторы CASIO fx-570ES, fx-991ES и графические калькуляторы серии fx-9860G содержат режим решения квадратных и кубических уравнений. Для решения необходимо ввести соответствующие коэффициенты, после чего калькулятор выдаст ответ. При этом вышеперечисленные калькуляторы определяют как вещественные, так и мнимые корни.


Может ли калькулятор строить графики?

Графические калькуляторы серии fx-9860G содержат режим GRAPH, в котором можно строить и исследовать графики функций в прямоугольной и полярной системах координат, графики параметрических функций, графики выражений х = constant и графики неравенств. Научные калькуляторы серии fx-ES графики не строят.


Можно ли с помощью калькулятора исследовать функции?

Графические калькуляторы серии fx-9860G содержат режим GRAPH, в котором можно строить и исследовать графики функций в прямоугольной и полярной системах координат, графики параметрических функций, графики выражений х = constant и графики неравенств. Научные калькуляторы CASIO серии fx-ES содержат режим составления таблицы чисел по функции TABLE. В этом режиме задается функция вида y = f(x) и вводятся начальные параметры: крайние левое и правое значения интервала по оси абсцисс и шаг, с которым будет изменяться значение х. Результатом является таблица значений х и y, используя которую можно построить график заданной функции в тетради, определить точки пересечения функции с осями координат, максимальные и минимальные значения функции.


Как калькулятор выключить?

Калькуляторы CASIO выключаются последовательным нажатием клавиш [SHIFT] и [AC]. Но если Вы забудете выключить калькулятор, то через шесть минут после последнего нажатия на любую клавишу он выключится автоматически.


Калькуляторы серии fx-ES

Открыть подробности »

Что означает надпись NATURAL DISPLAY на калькуляторе fx-82ES (fx-85/350/570/991ES)?

Надпись NATURAL DISPLAY (дисплей с естественным отображением чисел) означает, что ввод выражения (вывод результата) осуществляется в виде, максимально приближенном к традиционному, принятому в печатных изданиях, что упрощает контроль ввода данных. Например:

Чем отличаются научные калькуляторы fx-82ES, fx-85ES, fx-350ES?

Научные калькуляторы fx-570ES и fx-991ES функционально абсолютно одинаковы, отличаются только элементами питания: калькулятор fx-570ES работает на батарейке типа LR-44 (круглая таблетка), fx-991ES имеет двойное питание – солнечный фотоэлемент и LR-44. Это влияет на срок работы калькулятора на одном элементе питания. Соответственно, при одинаковых условиях эксплуатации и равноценных элементах питания меньшее время работы на одной батарейке будет у fx-570ES, большее – у fx-991ES.

Чем отличаются научные калькуляторы fx-570ES и fx-991ES?

Научные калькуляторы fx-570ES и fx-991ES функционально абсолютно одинаковы, отличаются только элементами питания: калькулятор fx-570ES работает на батарейке типа LR-44 (круглая таблетка), fx-991ES имеет двойное питание – солнечный фотоэлемент и LR-44. Это влияет на срок работы калькулятора на одном элементе питания. Соответственно, при одинаковых условиях эксплуатации и равноценных элементах питания меньшее время работы на одной батарейке будет у fx-570ES, большее – у fx-991ES.

При расчете тригонометрических функций калькулятор fx-82ES (fx-85/350/570/991ES) выдает неверный ответ.

Проверьте, соответствует ли вводимое значение угла заданному формату ввода угловых единиц. В верхней строке калькулятора буква D означает, что по умолчанию углы определяются в градусах, R – в радианах, G – в градах.


Графические калькуляторы серии fx-9860G

Открыть подробности »

Чем отличаются графические калькуляторы fx-9860G и fx-9860G SD.

Графические калькуляторы fx-9860G и fx-9860G SD функционально абсолютно одинаковы, отличие состоит только в том, что калькулятор fx-9860G SD имеет слот для подключения карты памяти SD, то есть в нем предусмотрена возможность расширения памяти.

При расчете тригонометрических функций калькулятор серии fx-9860G выдает неверный ответ.

Проверьте, соответствует ли вводимое значение угла заданному формату ввода угловых единиц. Для этого войдите в режим настроек SETUP, нажав последовательно [SHIFT] и [MENU] (SET UP). Угловые единицы задаются в строке Angle: Deg – в градусах, Rad – в радианах, Gra – в градах.

Квадратное уравнение с комплексными коэффициентами

  • Египетские дроби. Часть вторая
  • Египетские (аликвотные) дроби
  • По сегменту определить радиус окружности
  • Круг и площадь, отсекаемая перпендикулярами
  • Деление треугольника на равные площади параллельными
  • Определение основных параметров целого числа
  • Свойства обратных тригонометрических функций
  • Разделить шар на равные объемы параллельными плоскостями
  • Взаимосвязь между организмами с различными типами обмена веществ
  • Аутотрофные и миксотрофные организмы
  • Рассечение круга прямыми на равные площади
  • Период нечетной дроби онлайн. Первые полторы тысяч разложений.
  • Представить дробь, как сумму её множителей
  • Решение системы из двух однородных диофантовых уравнений
  • Расчет основных параметров четырехполюсника
  • Цепочка остатков от деления в кольце целого числа
  • Система счисления на базе ряда Фибоначчи онлайн
  • Уравнение пятой степени. Частное решение.
  • Рассчитать площадь треугольника по трем сторонам онлайн
  • Общее решение линейного диофантового неоднородного уравнения
  • Частное решение диофантового уравнения с несколькими неизвестными
  • Онлайн разложение дробно рациональной функции
  • Корни характеристического уравнения
  • Имя пользователя при работе с Excel
  • Распределение частот появления букв русского алфавита в текстах
Аргументы квадратного уравнения
Точность вычисления (знаков после запятой)
Вы ввели следующее выражение
Результат решения заданного уравнения

Расчет квадратных  уравнений, содержащие комплексные коэффициенты

Как известно, квадратное уравнение:   имеет корни, которые вычисляются по простой форумуле  .

Онлайн  решений очень много, наш же бот, вычисляет квадратное уравнение, если его коэффициенты являются комплексными числами.

В русскоязычном секторе Интернета, такого сервиса нет, и наш бот будет тут первым.

Хотелось бы заметить, что коэффициентами квадратного уравнения могут быть не только комплексные числовые значения, но и произвольное комплексное выражение. Это несомненно расширяет возможности представленного сервиса, и дает определенные преимущества.

Ну и естественно, для тех кто хорошо учился в школе, и понимающих, что комплексные числа это лишь расширенное представление наших «обычных» действительных  чисел, следует вывод, что данный сервис правильно считает  и в том случае, если числа  в коэффициентах имеют  действительные значения.

Для того, что бы по известным корням можно было построить произвольное уравнение, в том числе и квадратное с комплексными коэфициентами можно воспользоватся ресурсом Создание полинома (многочлена) одной переменной онлайн

Синтаксис 

Для всех кто пользуется XMPP клиентами:  ur2_i <элементы уравнения>

Коэффициенты уравнения могут быть как действительными так и мнимыми значениями. 2 + (2-0.25i)*x + (0-0.25i)= 0 
Первый корень уравнения = -0.0078432583508+0.125i 
Второй корень уравнения = -1.9921567416492+0.125i

Давайте проверим, а правильно ли  нам посчитал бот эти корни. Для этого воспользуемся Аргумент и значения функции комплексной переменной и посчитаем чему же будет равно значение функции, при полученных корнях

При выборе первого корня ответ будет такой:

Вы ввели следующую функицю
Табличное представление значений функции

Переменная x Значение функции f(x)
-0.007843258+0.125005019i 0+0. 2 + (0.0003584355453+0.4330639593925i)*x + (-1.2-0.6i)= 0 
Первый корень уравнения = 1.1073006922543+0.0543883355731i 
Второй корень уравнения = -1.1076591277997-0.4874522949657i

Удачи в расчетах!

 

 

  • Квадратные сравнения. Нормирование >>
Поиск по сайту
  • Русский и английский алфавит в одну строку
  • Часовая и минутная стрелка онлайн.Угол между ними.
  • Универсальный калькулятор комплексных чисел онлайн
  • Перемешать буквы в тексте онлайн
  • Массовая доля химического вещества онлайн
  • Декoдировать текст \u0xxx онлайн
  • Частотный анализ текста онлайн
  • Поворот точек на произвольный угол онлайн
  • Площадь многоугольника по координатам онлайн
  • Остаток числа в степени по модулю
  • Расчет процентов онлайн
  • Обратный и дополнительный код числа онлайн
  • Как перевести градусы в минуты и секунды
  • Поиск объекта по географическим координатам
  • Расчет пропорций и соотношений
  • Время восхода и захода Солнца и Луны для местности
  • DameWare Mini Control. Настройка.
  • Растворимость металлов в различных жидкостях
  • Калькулятор географических координат
  • Теория графов. Матрица смежности онлайн
  • Расчет значения функции Эйлера
  • Географические координаты любых городов мира
  • Перевод числа в код Грея и обратно
  • Онлайн определение эквивалентного сопротивления
  • Произвольный треугольник по заданным параметрам
  • НОД двух многочленов. Greatest Common Factor (GCF)
  • Площадь пересечения окружностей на плоскости
  • Калькулятор онлайн расчета количества рабочих дней
  • Непрерывные, цепные дроби онлайн
  • Построить ненаправленный граф по матрице
  • Расчет заряда и разряда конденсатора через сопротивление
  • Месторождения золота и его спутники
  • Сообщество животных. Кто как называется?
  • Расчет понижающего конденсатора
  • Система комплексных линейных уравнений
  • Из показательной в алгебраическую. Подробно
  • Дата выхода на работу из отпуска, декрета онлайн
  • Проекция точки на плоскость онлайн
  • Определение формулы касательной к окружности
  • Расчет параметров конденсатора онлайн
Онлайн расчеты
Подписаться письмом

Калькулятор дискриминантов: Онлайн калькулятор. Решение квадратных уравнений. — ЭкоДом: Дом своими руками

Содержание

Калькулятор квадратных уравнений — решение квадратных уравнений онлайн

Этот калькулятор квадратных формул работает как решить квадратное уравнение решатель квадратных уравнений, который помогает решить квадратное уравнение заданное квадратное уравнение с помощью формулы квадратного уравнения.

Что ж, прежде чем узнать об этом калькулятор квадратных уравнений квадратных уравнений, давайте начнем с некоторых основ!

Что такое квадратичная формула?

Квадратичная формула считается одним из самых эффективных инструментов математики. Эта формула является решение квадратного уравнения полиномиального уравнения второй степени. Стандартная форма квадратного уравнения упоминается ниже:

ax1 bx c = 0

Куда;

  • ‘A’ – квадратичный коэффициент
  • «X» – неизвестное
  • ‘B’ – линейный коэффициент
  • “C” – постоянная

Решение этого уравнения называется корнем уравнения.

Итак, решение квадратного уравнения квадратных уравнений онлайн имеет не более двух корней, поэтому решение квадратных уравнений в конечном итоге означает нахождение корней (квадратного уравнения). 2 – 4ac}} {2a} \]

Наш калькулятор квадратных формул также использует ту же формулу для [решения квадратного уравнения].

Есть три возможности получить корни (квадратного уравнения), но помните, что эти возможности зависят от значения Дискриминанта.

  • Если b2 – 4ac = 0, то будет только один корень
  • Если b2 – 4ac> 0, то будет только два действительных корня
  • Если b2 – 4ac <0, то будет два комплексных корня

Коэффициенты квадратного уравнения:

Также важно отметить, что числа, то есть a, b и c, считаются коэффициентами уравнения и не могут быть «0». Все они действительные числа, не зависящие от x. Если A = 0, то уравнение называется не квадратичным, а линейным.
Если B² <4AC, то определитель Δ будет отрицательным, как решать квадратные уравнения уравнение это уравнение не имеет действительных корней.

Наш квадратичный калькулятор также может вам помочь, если вы можете записать уравнение в такой форме:

ax2 bx c = 0

Калькулятор квадратной формулы:

Этот калькулятор квадратных уравнений квадратной формулы представляет собой инструмент, который помогает решить квадратное уравнение квадратное уравнение, используя квадратную формулу или завершив метод квадратов. Вам просто нужно сформировать уравнение, метод вычисления и ввести параметры уравнения; этот решатель квадратной формулы лучше всего подойдет вам!

Как пользоваться калькулятором квадратной формулы:

Не волнуйтесь; этот решатель решение квадратного уравнения квадратных уравнений онлайн довольно прост в использовании и имеет продуманный и удобный интерфейс!

Входы:
Форма уравнения:

Вы должны выбрать форму уравнения; это форма, в соответствии с которой вы должны ввести значения в обозначенные поля нашего калькулятора квадратичных функций.

В этом калькулятор квадратных уравнений используется следующая форма:

  • Ax2 Bx C = 0 (стандартная форма)
  • A (x – H) 2 K = 0 (форма вершины)
  • A (x-x₁) (x-x₂) = 0 (Факторная форма)

Метод вычисления:

Наш калькулятор квадратных уравнений квадратного уравнения позволяет вам решить квадратное уравнение квадратное уравнение, используя формулу корней квадратного уравнения и завершив метод квадратов.

Введите значения:

Если вы выбрали форму Ax2 Bx C = 0, вам необходимо ввести значения A, B и C

Если вы выбрали форму A (x – H) 2 K = 0, то вам необходимо ввести значения A, H и K

Если вы выбрали форму A (x-x₁) (x-x₂) = 0, вам необходимо ввести значения A, x1 и x2

Вывод:

После того, как решить квадратное уравнение указанные выше значения, наш решатель (квадратного уравнения) покажет следующее:

Показать корни:

Этот калькулятор квадратного корня показывает корень или корни вашего данного уравнения.

Покажите упрощение:

Калькулятор шаг за шагом упростит данное уравнение.

Показать дискриминант:

Если вы решите решение квадратных уравнений онлайн с помощью формулы квадратичного, то наш калькулятор квадратичного дискриминанта покажет дискриминант

Покажите квадратичный график:

Этот калькулятор квадратичных графиков показывает вам полный квадратичный график для данного уравнения!

Как решать квадратные уравнения?

Когда дело доходит до решения квадратных уравнений, квадратная формула используется для выполнения вычислений. 2x. Говорят, что «b» является коэффициентом, который появляется при умножении линейного члена x, а коэффициент «c» считается постоянным.

Пример №1:

как решать квадратные уравнения следующего выражения x2 3x 1?

В этом случае a = 1 (это коэффициент умножения на квадратный член x2), b = 3b = 3 (коэффициент, умноженный на линейный член x) и c = 1 (константа).

Пример №2:

Какие сейчас коэффициенты, если у вас есть следующее выражение: 5/4 3/4 x 1/2 x2

В этом случае a = 1/2 (это коэффициент умножения на квадратичный член x2), b = 3/4 (коэффициент, умноженный на линейный член x) и c = 5/4 (константа).

Пример №3:

Какие коэффициенты, если у вас есть следующее выражение: -3 1/2

В этом случае a = 0, поскольку данное выражение не содержит квадратичного члена x2. Итак, это не считается квадратичным выражением.

Подставьте коэффициенты, которые вы нашли в формуле (шаг 2):

Формула:

\ [x = \ dfrac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2 – 4ac}} {2a} \]

Теперь вам нужно заменить значения коэффициентов a, b и c. 2 – 4 (-3) (1)}} {2 (-3)} \]

Упростите значения в уравнении (шаг 3):

После того, как вы подставили значения a, b и c, вы должны упростить значения в уравнении. Из предыдущего примера у вас есть:

\ [x = \ dfrac {-2 \ pm \ sqrt {4 – 12}} {(- 6)} \]

\ [x = \ dfrac {-2 \ pm \ sqrt {-8}} {(- 6)} \]

Загляните внутрь квадратного корня (шаг 4):

Если значение положительное, то уравнение имеет два действительных корня. Если значение равно 0, то существует только один действительный корень, а если значение внутри квадратного корня отрицательное, то будет два комплексных корня. В предыдущем примере у вас есть -8 внутри квадратного корня, что означает, что у вас есть два сложных решения (как показано ниже):

\ [x = \ dfrac {-2 \ pm \ sqrt {4 – 12}} {(- 6)} \]

\ [x = \ dfrac {-2 \ pm \ sqrt {-8}} {(- 6)} \]

\ [x = \ dfrac {-2 \ pm \ sqrt {8} \, i} {(- 6)} \]

К счастью, вы узнали, как решать квадратные уравнения (вручную). 2 – 4ac}} {2a} \]

Имейте в виду, поскольку b2 – 4ac <0, квадратный корень из определителя будет мнимым значением. Отсюда:

Re (x) = -B / 2A

Im (x) = ± (√Δ) / 2A

Решение квадратного уравнения методом построения графиков:

Итак, из графика параболы узнайте вершину, ось симметрии, точку пересечения по оси y, точку пересечения с x.

Задача имеет два решения, и они демонстрируют точки пересечения уравнения, которые являются точкой пересечения с осью x (это точка, в которой ось x пересекается кривой. При этом составляется график данного уравнения x2 3x – 4 = 0, можно рассматривать как решить квадратное уравнение:

Вершина:

Это демонстрация пика. Итак, вершина (квадратного уравнения) указывает точку пика параболы. Если парабола открывается вверх, то говорят, что вершина – это самая высокая точка, а если парабола открывается вниз, то вершина называется самой низкой точкой.

Ось симметрии:

Ось симметрии делит параболу на две равные половины; он всегда проходит через вершину параболы.

X-перехват:

Корни также называют пересечением по оси x. Он расположен ниже оси x или выше оси x на графике. Поэтому для определения корня квадратичной функции положим y = 0

Y-перехват:

Каждая парабола имеет точку пересечения с осью y, и говорят, что это точка, в которой функция пересекает ось y. Это вычисляется путем установки переменной x в уравнении на 0.

Итак, давайте начнем решать графически,

Сначала возьмем уравнение f (x) = 2×2 – 4x-1 или Y = 2×2 – 4x-1.

Здесь a = 2, b = -4 и c = -1.

Если «a» имеет положительное значение, то помните, что парабола открывается вверх на графике. Сначала вам нужно найти вершину x:

х = (- Ь) / 2а

х = (- (- 4)) / 2 (2)

х = 1

Теперь вам нужно найти вершину Y:

Вы должны подставить значение x в уравнение 2×2 – 4x-1

у = 2 (1) 2-4 (1) -1

у = 2 – 4 – 1

у = 3

Итак, у вас есть ось симметрии: x = 1

Теперь вам нужно найти точку пересечения по оси x, используя формулу корней квадратного уравнения:

\ [x = \ dfrac {- (- 4) \ pm \ sqrt {(- 4) ^ 2 – 4 (2) (- 1)}} {2 (2)} \]

\ [x = \ dfrac {4 \ pm \ sqrt {16 8}} {4} \]

\ [x = \ dfrac {4 \ pm \ sqrt {24}} {4} \]

\ [x = \ dfrac {4 \ pm 4. 2 – 4 (-1) (1)}} {2 (-1)} \]

\ [x = \ dfrac {-2 \ pm \ sqrt {8}} {-2} \]

х1 = – 0,414214

х2 = 2,414214

Теперь найдите y-точку пересечения:

х2 2х 1 = 0

(0) 2 2 (0) 1 = 0

y-intercept = 1, теперь вам нужно нанести значения на график!

Для чего используется квадратичная формула?

Квадратичная формула – это хорошо известная формула, которая встречается повсюду в математике. Он часто учитывается при решении всевозможных геометрических задач, таких как:

  • Увеличение площади
  • Учитывая фиксированный периметр
  • Многочисленные проблемы с Word

Есть много людей, которые задаются вопросом, есть ли какая-либо связь между этой формулой (квадратным уравнением) и методом завершения квадрата. Проще говоря, вы получите квадратную формулу, просто решив решение квадратных уравнений онлайн, заполнив квадрат. Это в точности та же идея, которая вытекает из известной всем нам формулы квадратичных уравнений!

Важность квадратного уравнения в реальной жизни:

Будучи студентом, вас могут принимать во внимание по различным вопросам математики. Кроме того, студенты обычно используют это уравнение в таких предметах, как решать квадратные уравнения инженерия и физика. Есть и другие профессии, которые используют (квадратные уравнения):

  • Военные и правоохранительные органы – (для определения траектории ракет, выпущенных артиллерией)
  • Инженеры – (относится к гражданскому строительству)
  • Уравнение движения (как на игровой площадке, так и в игровых ситуациях, оно описывает траекторию полета мяча и определяет высоту брошенного мяча)
  • Наука (Астрономы – описывают орбиту планет, солнечных систем и галактик)
  • Сферы сельского хозяйства (оптимальное расположение границ для производства самого большого поля)

Часто задаваемый вопрос:

Как найти формулу корней квадратного уравнения?

  • Проще говоря, вам просто нужно заполнить квадрат ax2 bx c = 0, чтобы получить формулу корней
  • квадратного уравнения
  • Вам следует разделить обе части уравнения на «а», чтобы коэффициент при x2 был равен 1. 2 c = 0. В таком случае вы можете решить это уравнение, используя свойство простого квадратного корня.

    Как узнать, имеет ли квадратное уравнение одно решить квадратное уравнение онлайн, два или нет?

    Это помогает определить, сколько существует решений (квадратного уравнения). Если дискриминант положительный, говорят, что есть 2 корня. Если он равен нулю, значит есть только 1 корень. Если дискриминант отрицательный, то говорят, что корней 0.

    Other Languages: Quadratic Formula Calculator, Løs Andengradsligning, Quadratische Gleichungen Lösen, Kinci Dereceden Denklem Çözücü, Rozwiązywanie Równań Kwadratowych, Kalkulator Persamaan Kuadrat, Risolvere Equazioni Di Secondo Grado, Résoudre Une Équation Du Second Degré, Equazioni Di Secondo Grado, Resolver Ecuaciones De Segundo Grado, Toisen Asteen Yhtälön Ratkaisu, Řešení Kvadratické Rovnice, 二次方程式の解, حل المعادلات التربيعية, 이차방정식 계산기

     

    виета калькулятор

    Вы искали виета калькулятор? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
    решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и виета онлайн, не
    исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
    в вуз.
    И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
    Например, «виета калькулятор».

    Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
    жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
    использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
    месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
    может решить задачи, такие, как виета калькулятор,виета онлайн,виета онлайн калькулятор,виета теорема калькулятор,вычисление дискриминанта онлайн,вычислить дискриминант онлайн,дискриминант калькулятор,дискриминант калькулятор онлайн,дискриминант онлайн,дискриминант онлайн калькулятор,дискриминант решить онлайн,калькулятор виета,калькулятор виета онлайн,калькулятор дискриминант,калькулятор дискриминанта,калькулятор дискриминанта онлайн,калькулятор дискриминантов,калькулятор квадратних рівнянь,калькулятор квадратных уравнений по теореме виета онлайн,калькулятор корней уравнения,калькулятор онлайн дискриминант,калькулятор решение дискриминанта,калькулятор теорема виета,калькулятор теоремы виета,найти 2 x 2,найти дискриминант онлайн,нахождение дискриминанта онлайн,нахождение корней квадратного уравнения онлайн,неполные квадратные уравнения решение онлайн,онлайн вычисление дискриминанта,онлайн дискриминант калькулятор,онлайн калькулятор виета,онлайн калькулятор дискриминант,онлайн калькулятор дискриминанта,онлайн калькулятор квадратных уравнений по теореме виета,онлайн калькулятор решение дискриминанта,онлайн калькулятор теорема виета,онлайн нахождение дискриминанта,онлайн решение дискриминант,онлайн решение дискриминантов,онлайн решение квадратных уравнений через дискриминант,онлайн решение по теореме виета,онлайн решение уравнений через дискриминант,онлайн решение через дискриминант,онлайн решить неполное квадратное уравнение,посчитать дискриминант онлайн,решение дискриминант онлайн,решение дискриминанта калькулятор,решение дискриминанта онлайн,решение дискриминанта онлайн калькулятор,решение дискриминантов онлайн,решение квадратного уравнения через дискриминант онлайн,решение квадратных уравнений онлайн через дискриминант,решение квадратных уравнений через дискриминант калькулятор онлайн,решение неполные квадратные уравнения онлайн,решение онлайн дискриминант,решение онлайн квадратного трехчлена,решение системы квадратных уравнений онлайн,решение уравнений онлайн через дискриминант,решение уравнений по теореме виета,решение уравнений с дискриминантом онлайн,решение уравнений через дискриминант онлайн,решение через дискриминант онлайн,решить дискриминант онлайн,решить квадратное уравнение онлайн с подробным решением бесплатно,решить онлайн дискриминант,решить онлайн неполное квадратное уравнение,решить систему квадратных уравнений онлайн,решить уравнение через дискриминант онлайн калькулятор,решить через дискриминант онлайн,теорема виета калькулятор,теорема виета калькулятор онлайн,теорема виета онлайн,теорема виета онлайн калькулятор,теорема виета онлайн калькулятор решить,теорема вієта онлайн калькулятор. На этой странице вы найдёте калькулятор,
    который поможет решить любой вопрос, в том числе и виета калькулятор. Просто введите задачу в окошко и нажмите
    «решить» здесь (например, виета онлайн калькулятор).

    Где можно решить любую задачу по математике, а так же виета калькулятор Онлайн?

    Решить задачу виета калькулятор вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
    онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
    сделать — это просто
    ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
    вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
    калькулятора.

    Квадратное уравнение. Онлайн калькулятор с примерами

    Решение квадратных уравнений

    Как бы кто ни говорил, но тема квадратных уравнений – это база всей школьной программы. Читая дальше, вы поймете почему.

    Решая линейные уравнения, требуется лишь навык применения арифметических операций. Даже решать систему линейных уравнений несложно, все сводится к сложению, вычитанию или раскрытию скобок, когда подставляем одно уравнение в другое. И так далее.

    Иное дело, когда возрастает старшая степень неизвестной переменной, и первый вид таких уравнений как раз называется квадратным уравнением, когда неизвестная переменная представлена во второй степени.

    Есть прямая связь квадратных уравнений с тем, что мы можем наблюдать вокруг нас. Тема квадратных уравнений легкая, но очень важная и требует полного изучения, однако, этим пренебрегают ученики, да и учителя тоже.

    Например, полет снаряда, выпущенного из орудия, летит по траектории, описываемой квадратным уравнением, и называется параболой. Парабола имеет вершину и две ветви, расположенные зеркально, что напоминает подкову.

    Где встречаются квадратные уравнения

    На практике квадратные уравнения встречаются практически во всех сферах жизненной деятельности человека, от науки до искусства. В школьной программе обязательно в алгебре, геометрии со стереометрией, тригонометрии, при упрощении выражений и так далее. Разумеется, не только в математике. В химии, физике, экономике, биологии и других науках без квадратных уравнений никак не обойтись.

    Более того, в некоторых задачах необходимо оперировать со значениями, являющимися корнями квадратного уравнения, и опять-таки требуется находить корни. Если нахождение корней квадратного уравнения является промежуточным действием, например, необходимо использовать только сумму корней или их произведение, то глядя на уравнение, это сразу видно. Но опять же это нужно знать!

    График квадратного уравнения

    Как вы уже знаете графиком квадратного уравнения является парабола. По виду уравнения можно легко определить расположение ее вершины и направление ветвей относительно системы координат.

    Парабола может либо пересекать ось абсцисс (в одной или двух точках), либо не пересекать ее. Во втором случае говорят, что квадратное уравнение не имеет действительных решений (корней). Если же график параболы пересекает ось абсцисс, то корней два или один как минимум.

    Запомните! У квадратного уравнения всегда имеются либо два разных, либо один кратности два корень, потому что уравнение второй степени. В том случае, когда корни не принадлежат полю действительных чисел, они находятся в поле комплексных чисел. Если вы еще не слышали про комплексные числа, просто примите это к сведению.

    Что такое дискриминант

    Общий вид квадратного уравнения следующий:

    a*x2 + b*x + c = 0

    Умножим обе части уравнения на 4*a, прибавим b2 к обеим частям и применим формулу сокращенного умножения «квадрат суммы». Перенесем 4*a*c в правую часть уравнения. В результате получим:

    (2*a*x + b)2 = b2 – 4*a*c

    Отсюда очевидно, что при b2 – 4*a*c действительных корней нет, потому что нет такого числа, которое в квадрате давало бы отрицательное.

    При b2 – 4*a*c = 0 только один кратный корень.

    И третий случай, при b2 – 4*a*c > 0 уравнение имеет два разных корня.

    Рассмотрим последний случай, когда уравнение имеет два разных корня x1 и x2. Соответственно график параболы пересекает ось X в двух разных точках.

    Координата вершины параболы определяется значением x = –b/2a.

    Так как график параболы симметричен, то оба корня равноудалены от линии, проходящей через ее вершину.

    Отсюда очевидно, что чем больше значение дискриминанта, тем дальше друг от друга располагаются корни уравнения. В этом заключается геометрический смысл дискриминанта.

    Другими словами, значение дискриминанта напрямую указывает на удаленность корней уравнения друг от друга на числовой оси.

    Так вот, удаленность корней друг от друга и называются дискриминантом, а формула, которую дают в школе под соусом «дискриминант», всего лишь выражает этот факт.

    Как найти корни квадратного уравнения

    Самое интересное это поиск корней уравнения. Есть несколько методов их нахождения, перечислим более известные.

    1. Первый из них, самый известный всем школьникам, описанный выше, – это поиск по формуле квадратного уравнения, используя значение дискриминанта.

    2. Принято отдельно считать метод выделения полного квадрата. Но как мы видели из поиска дискриминанта, это вытекает из первого способа.

    3. Другой популярный способ – это разложение уравнения на множители, когда его приводят к виду (x+A)*(x+B)=0. Частный случай такого уравнения x*(x+A)=0 с нулевым корнем.

    4. Еще один не менее важный способ – графический. В этом методе исследуют график параболы и находят ее пересечение с осями координат.

    5. Очень удобный способ определения корней квадратного уравнения и часто применяемый в практических задачах – применение теоремы Виета.

    Рассмотрим пример определения корней по теореме Виета

    Пусть дано уравнение x2 — 5 x + 6 = 0

    Согласно этой теореме, сумма корней есть коэффициент перед x, но с противоположным знаком, а произведение корней – это значение свободного члена квадратного уравнения.

    Очевидно, что x1=2, а x2=3, так как x1+x2=2+3=5, а x1*x2=2*3=6

    Калькулятор решения квадратных уравнений

    С нашим калькуляторе вы без проблем решите любое квадратное уравнение онлайн. Он полезен как для самопроверки, таки и для изучения этой темы, поскольку пошагово покажет весь ход решения до определения корней.

    В калькуляторе предусмотрены различные варианты решения квадратного уравнения. Это по формуле через дискриминант, с помощью выделения полного квадрата и методом разложения на множители.

    Каждый способ решения хорош по-своему, а главное помогает школьникам лучше усвоить столь важную тему как решение квадратных уравнений.

    Желаем успехов!

    Калькулятор корней квадратных уравнений с построением графика · GitHub

    import tkinter
    from math import sqrt
    from tkinter import *
    import matplotlib
    import numpy as np
    import matplotlib. pyplot as plt
    x_list = [] #список с результатами полученных корней
    values_list = [] #список вводимых значений
    def solver(a,b,c):
    «»» Решает квадратное уравнение (определяет корни) «»»
    values_list.append(a)
    values_list.append(b)
    values_list.append(c)
    D = b**2 — 4*a*c # дискриминант
    if D >= 0:
    x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
    x2 = (-b — sqrt(D)) / (2*a)
    text = «Дискриминант равен: %s \n X1 = %s \n X2 = %s \n» % (D, x1, x2)
    x_list. append(x1)
    x_list.append(x2)
    else:
    text = «Дискриминант равен: %s \n Нет корней у данного уравнения» % D
    return text
    def inserter(value):
    «»» очищает поле для ввода и вставляет туда переданный ей аргумент value «»»
    output.delete(«0.0″,»end»)
    output.insert(«0.0»,value)
    def handler():
    «»» В зависимости от данных введенных в поля для ввода передает функции inserter либо результат решения уравнения»»»
    # либо сообщение о неверно введенных данных
    try:
    a_val = float(a. get())
    b_val = float(b.get())
    c_val = float(c.get())
    inserter(solver(a_val, b_val, c_val))
    except ValueError:
    inserter(«Убедитесь, что вы ввели 3 значения»)
    def clear(event):
    «»» Очищает поле ввода «»»
    caller = event.widget
    caller.delete(«0», «end»)
    root = Tk() # объект окна верхнего уровня создается от класса Tk модуля tkinter.
    #Переменную, связываемую с объектом, часто называют root (корень)
    root.title(«Калькулятор квадратных уравнений») # название окна
    root.minsize(425,330) # устанавливаем минимальный размер окна
    root.resizable(width=False, height=False) # выключаем возможность изменять окно
    frame = Frame(root) # создаем рабочую область
    frame. grid()
    a = Entry(frame, width=3) # поле для ввода первого аргумента уравнения (a)
    a. bind(«<FocusIn>», clear)
    a.grid(row=1, column=1,padx=(10,0)) #grid(). Размещает виджеты на сетке. row/column – строка/столбец в сетке,
    #rowspan/columnspan – сколько строк/столбцов занимает виджет
    a_lab = Label(frame, text=»x**2+»).grid(row=1,column=2) # текст после первого аргумента
    b = Entry(frame, width=3) # поле для ввода второго аргумента уравнения (b)
    b. bind(«<FocusIn>», clear)
    b.grid(row=1,column=3)
    b_lab = Label(frame, text=»x+»).grid(row=1, column=4) # текст после второго аргумента
    c = Entry(frame, width=3) # поле для ввода третьего аргумента уравнения (с)
    c. bind(«<FocusIn>», clear)
    c.grid(row=1, column=5)
    c_lab = Label(frame, text=»= 0″).grid(row=1, column=6) # текст после третьего аргумента
    #but = Button(frame, text=»Решить»). grid(row=1, column=7, padx=(10,0)) # кнопка решить
    but = Button(frame, text=»Решить», command=handler).grid(row=1, column=7, padx=(10,0))
    output = Text(frame, bg=»#FFDAB9″, font=»Arial 12″, width=50, height=18) # область для вывода решения уравнения
    output. grid(row=2, columnspan=10)
    root.mainloop() # запуск главного окна
    def roots(a,b,c):
    D = b ** 2 — 4 * a * c
    d = D ** 0. 5
    x1 = (-b + d) / (2 * a)
    x2 = (-b — d) / (2 * a)
    if D > 0:
    return x1, x2
    elif x1 == x2:
    return x1
    else:
    exit(‘Complex roots’)
    k1, k2, k3 = values_list[0], values_list[1], values_list[2]
    y0 = 0, 0
    points = x_list[0], x_list[1]
    freq = 100 # частота дискретизации
    xi = np. linspace(x_list[0], x_list[1], freq)
    y = [k1 * t * t + k2 * t + k3 for t in xi] # квадратичная функция
    plt.scatter(points, y0, color=’red’)
    plt.plot(xi, y)
    plt.title(«График квадратичной функции», fontsize=20, fontweight=»bold») # заголовок
    plt.xlabel(«Значения Х1, Х2 — точки пересечения оси Х», fontsize=14, fontweight=»bold»)# метка оси
    plt.ylabel(«Ось Y», fontsize=14, fontweight=»bold»)# метка оси
    plt.tick_params(axis=’both’, labelsize=14) #шрифт делений на осях
    plt. grid(True)
    ax = plt.gca()
    # plot X — axis
    ax.axhline(y=0, color=’k’)
    # plot Y — axis
    ax.axvline(x=0, color=’k’)
    plt.savefig(‘sqrt.png’)
    plt.show()
    print(x_list) #корни уравнения
    print(values_list) #переданные значения

    Квадратные уравнения. дискриминант., калькулятор онлайн, конвертер

    Решения кубических уравнений с вещественными коэффициентами.

    Универсальные методы. Дискриминант кубического уравнения. Формула Виета для кубического уравнения.

    Кубическим уравнением называется уравнение вида

    • ax3 + bx2 + cx +d = 0 , (1)
    • где a, b,c ,d — постоянные коэффициенты, а х — переменная.

    Мы рассмотрим случай, когда коэффициенты являются веществеными числами.

    Корни кубического уравнения. Нахождение корней (решение) кубического уравнения.

    Число х называется корнем кубического уравнения (1), если при его подстановке уравнение (1) обращается в верное равенство.

    Кубическое уравнение имеет не более трех корней (над комплексным полем всегда три корня, с учетом кратности) . И всегда имеет хотя бы 1 (вещественный) корень. Все возможные случаи состава корней легко определить с помощью знака дискриминанта кубического уравнения, т.е.:

    Итак, возможны только 3 следующих случая:

    • Δ > 0 — тогда уравнение имеет 3 различных корня. (Для продвинутых — три различных вещественных корня)
    • Δ (1 вещественный и пару комплексно сопряженных корней)
    • Δ = 0 — хотя бы 2 корня уравнения совпадают. Т.е. мы имеем дело либо с уравнением с 2умя совпадающими корнями, и еще 1ним отличным от них, либо с уравнением с 3емя совпадающими корнями. (В любом случае все корни вещественные. И уравнение имеет 3 совпадающих корня, тогда и только тогда, когда результант его и его второй производной равен нулю)

    На практике часто , решение кубических уравнений упирается в разложении их на множители. Т.е. алгоритм приблизительно следующий: угадываем один корень, пусть это будет корень α. Затем делим многочлен на (х- α), (если α корень, то он должен поделиться без остатка). Ну а дальше мы имеем дело с обычным квадратным уравнением. Но угадать можно только рациональный корень, и то, если коэффициенты подобраны удачным образом, так что этот корень просто угадывается. Мы же рассмотрим универсальные методы решения кубичесих уравнений.

    Формула Кардано решения кубических уравнений (нахождения корней).

    Это формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения. (Над полем комлексных чисел).

    Канонической формой кубического уравнения называется уравнение вида

    К такому виду можно привести любое кубическое уравнение вида (1) с помощью следующей замены:

    Итак, приступим к вычислению корней. Найдем следующие величины:

    Дискриминант уравнения (2) в этом случае равен

    Дискриминант исходного уравнения (1) будет иметь тот же знак , что и вышеуказанный дискриминант. Корни уравнения (2) выражаются следующим образом:

    Соответственно, если Q>0, то уравнения (2) и (1) будут иметь лишь 1 (вещественный) корень, y1. Подставим его в (3) и найдем х для уравнения (1). (если вас интересуют также мнимые корни, то просто вычислите еще и y2, y3 и подставьте их в (3).

    Если Q1, y2, y3 и подставьте их в (3).

    Если же Q =0, то все корни уравнений (1) и (2) вещественные, причем как минимум 2 корня каждого из уравнений совпадают. При этом имеем

    • α = β, и
    • y1=2α,
    • y2= y3 = — α.

    Аналогично подставляем в (3) и получаем ответ.

    Тригонометрическая формула Виета решения кубических уравнений (нахождения корней).

    Эта формула находит решения приведенного кубического уравнения, то есть уравнения вида

    Очевидно, любое уравнение вида (1) можно привести к виду (4), просто поделив его на коэффициент а.

    Итак, алгоритм применения этой формулы:

    1. Вычисляем

    2. Вычисляем

    3. a) Если S>0, то вычисляем

    И наше уравнение имеет 3 корня (вещественных):

    б) Если S

    Тогда единственный корень (вещественный): x1= -2sgn(R)*|Q|1/2*ch(φ) — a/3

    Для тех, кого интересуют также и мнимые корни:

    • x2= sgn(R)*|Q|1/2*ch(φ) — a/3 +(3|Q|)1/2 sh(φ)i
    • x3= sgn(R)*|Q|1/2*ch(φ) — a/3 -(3|Q|)1/2sh(φ)i

    Тренировочные упражнения по решению квадратных уравнений

    Попрактикуйтесь! Попробуйте решить следующие уравнения. На каждое уравнение смотрите в следующей последовательности:

    • если уравнение подходит под первый лайфхак (когда a + b + c = 0), то решаем с его помощью;
    • если уравнение подходит под второй лайфхак (когда a + c = b), то решаем с его помощью;
    • если уравнение подходит под третий лайфхак (теорему Виета), решаем с его помощью;
    • и только в самом крайнем случае – если ничего не подошло и/или с помощью теоремы Виета решить не получилось – считаем дискриминант. Еще раз: дискриминант – в самую последнюю очередь!
    1. Решите уравнение x2 + 3x + 2 = 0

      Просмотреть решение и ответ

      См. лайфхак второйВ данном уравнении a = 1, b = 3, c = 2. Таким образом, a + c = b, откуда x_1=-1, x_2 = -\frac{c}{a} = -\frac{2}{1}=-2.Ответ: -1, -2.

    2. Решите уравнение x2 + 8x – 9 = 0

      Просмотреть решение и ответ

      См. лайфхак первыйВ данном уравнении a = 1, b = 8, c = -9. Таким образом, a + b + c = 0, откуда x_1=1, x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-9}{1}=-9.2 – 4 \cdot 15 \cdot 2 = 121 – 120 = 1.x_1=\frac{11-1}{2 \cdot 15}=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}x_2= \frac{11+1}{2 \cdot 15}=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}Ответ: \frac{1}{3}, \frac{2}{5}.

    3. Решите уравнение x2 + 9x + 20 = 0

      Просмотреть решение и ответ

      См. лайфхак третий (теорема Виета)В данном уравнении a = 1, поэтому можем записать, что \begin{cases} x_1+x_2 = -9 \\ x_1 \cdot x_2 = 20 \end{cases} Подбором устанавливаем, что x_1 = -4, x_2 = -5.Ответ: -4, -5.

    4. Решите уравнение x2 – 7x – 30 = 0

      Просмотреть решение и ответ

      См. лайфхак третий (теорема Виета)В данном уравнении a = 1, поэтому можем записать, что \begin{cases} x_1+x_2 = 7 \\ x_1 \cdot x_2 = -30 \end{cases} Подбором устанавливаем, что x_1 = 10, x_2 = -3.Ответ: 10, -3.

    5. Решите уравнение x2 – 19x + 18 = 0

      Просмотреть решение и ответ

      См. лайфхак первыйВ данном уравнении a = 1, b = -19, c = 18. Таким образом, a + b + c = 0, откуда x_1=1, x_2 = \frac{c}{a} = \frac{18}{1}=18.Ответ: 1, 18.

    6. Решите уравнение x2 + 7x + 6 = 0

      Просмотреть решение и ответ

      См. лайфхак второйВ данном уравнении a = 1, b = 7, c = 6. Таким образом, a + c = b, откуда x_1=-1, x_2 = -\frac{c}{a} = -\frac{6}{1}=-6.Ответ: -1, -6.

    7. Решите уравнение x2 – 8x + 12 = 0

      Просмотреть решение и ответ

      См. лайфхак третий (теорема Виета)В данном уравнении a = 1, поэтому можем записать, что \begin{cases} x_1+x_2 = 8 \\ x_1 \cdot x_2 = 12 \end{cases} Подбором устанавливаем, что x_1 = 6, x_2 = 2.Ответ: 6, 2.

    8. Решите уравнение x2 – x – 6 = 0

      Просмотреть решение и ответ

      См. лайфхак третий (теорема Виета)В данном уравнении a = 1, поэтому можем записать, что \begin{cases} x_1+x_2 = 1 \\ x_1 \cdot x_2 = -6 \end{cases} Подбором устанавливаем, что x_1 = 3, x_2 = -2.Ответ: 3, -2.

    9. Решите уравнение x2 – 15x – 16 = 0

      Просмотреть решение и ответ

      См. лайфхак второйВ данном уравнении a = 1, b = -15, c = -16. Таким образом, a + c = b, откуда x_1=-1, x_2 = -\frac{c}{a} = -\frac{-16}{1}=16.Ответ: -1, 16.

    10. Решите уравнение x2 + 11x – 12 = 0

      Просмотреть решение и ответ

      См. лайфхак первыйВ данном уравнении a = 1, b = 11, c = -12. Таким образом, a + b + c = 0, откуда x_1=1, x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-12}{1}=-12.Ответ: 1, -12.

    Дискриминант

    Эту формулу надо знать наизусть

    Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение

    А именно:

    1. Если
    2. Если = 0, есть ровно один корень;
    3. Если > 0, корней будет два.

    Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:. Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант: = 1, = −8, = 12; = (−8)2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

    Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант: = 1, = −8, = 12; = (−8)2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

    Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение: = 5; = 3; = 7; = 32 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

    Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение: = 1; = −6; = 9; = (−6)2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

    Дискриминант равен нулю — корень будет один.

    Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок

    Выбирайте сами: скорость или качество.

    Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

    Общие сведения

    Решение квадратных уравнений — одно из ключевых моментов в математике. Ещё древние вавилоняне и греки пытались найти закономерности при решении таких равенств. Но первым, кто описал методы нахождения дополнением квадрата, был индийский философ Будхаяма. Именно он предложил записывать уравнения в виде: ax 2 = c и ax 2 + bx = c. В дальнейшем способы усовершенствовались. Так, Евклид предложил метод геометрического вычисления ответа.

    Но наиболее значимым стало открытие Буля. Изучая формулы различных уравнений, он пришёл к выводу, что выражения почти всегда можно упростить, заменив переменные другим набором, содержащим новые неизвестные. При этом, найдя их, определить первоначальные уже не составляет труда.

    Термин «дискриминант» был придуман не математиками, но успешно стал ими использоваться при вычислении квадратичных функций. Произошёл он от латинского слова discriminans, что в дословном переводе означает «разделяющий»

    Важной величиной стало значение, придуманное Булем и имеющее вид b2 — 4ac. Учёный открыл, что после того как переменные линейно изменятся, дискриминант будет равняться первоначальному, умноженному на член, находимому из функции поведения неизвестных

    При решении равенств, содержащих формулу дискриминанта и его корней, используют формулу для быстрого определения количества возможных решений и их числового нахождения. Математически определение записывают следующим образом: p (x) = m + mx + ⋯ + mx, m ≠ 0, где: D (p) = m∏(m − m). То есть дискриминантом многочлена p (x) является сумма произведений корней на неизвестный коэффициент в основном поле их существования.

    Примеры решения задач

    Предстáвим, что возникла необходимость построить небольшую комнату, площадь которой 8 м2. При этом длина комнаты должна быть в два раза больше её ширины. Как определить длину и ширину такой комнаты?

    Сделаем примерный рисунок этой комнаты, который иллюстрирует вид сверху:

    Обозначим ширину комнаты через x. А длину комнаты через 2x, потому что по условию задачи длина должна быть в два раза больше ширины. Множитель 2 и выполнит это требование:

    Поверхность комнаты (её пол) является прямоугольником. Для вычисления площади прямоугольника, нужно длину данного прямоугольника умножить на его ширину. Сделаем это:

    2x × x

    По условию задачи площадь должна быть 8 м2. Значит выражение 2x × x следует приравнять к 8

    2x × x = 8

    Получилось уравнение. Если решить его, то можно найти длину и ширину комнаты.

    Первое что можно сделать это выполнить умножение в левой части уравнения:

    2×2 = 8

    В результате этого преобразования переменная x перешла во вторую степень. А мы говорили, что если переменная, входящая в уравнение, возведенá во вторую степень (в квадрат), то такое уравнение является уравнением второй степени или квадратным уравнением.

    Для решения нашего квадратного уравнения воспользуемся изученными ранее тождественными преобразованиями. В данном случае можно разделить обе части на 2

    Теперь воспользуемся квадратным корнем. Если x2 = 4, то . Отсюда x = 2 и x = −2.

    Через x была обозначена ширина комнаты. Ширина не должна быть отрицательной, поэтому в расчёт берём только значение 2. Такое часто бывает при решении задачи, в которых применяется квадратное уравнение. В ответе получаются два корня, но условию задачи удовлетворяет только один из них.

    А длина была обозначена через 2x. Значение x теперь известно, подставим его в выражение 2x и вычислим длину:

    2x = 2 × 2 = 4

    Значит длина равна 4 м, а ширина 2 м. Это решение удовлетворяет условию задачи, поскольку площадь комнаты равна 8 м2

    4 × 2 = 8 м2

    Ответ: длина комнаты составляет 4 м, а ширина 2 м.

    Пример 2. Огородный участок, имеющий форму прямоугольника, одна сторона которого на 10 м больше другой, требуется обнести изгородью. Определить длину изгороди, если известно, что площадь участка равна 1200 м2

    Решение

    Длина прямоугольника, как правило, больше его ширины. Пусть ширина участка x метров, а длина (x + 10) метров. Площадь участка составляет 1200 м2. Умножим длину участка на его ширину и приравняем к 1200, получим уравнение:

    x(x + 10) = 1200

    Решим данное уравнение. Для начала раскроем скобки в левой части:

    Перенесём 1200 из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется

    Решим получившееся уравнение с помощью формул:

    Несмотря на то, что квадратное уравнение имеет два корня, в расчёт берём только значение 30. Потому что ширина не может выражаться отрицательным числом.

    Итак, через x была обозначена ширина участка. Она равна тридцати метрам. А длина была обозначена через выражение x + 10. Подставим в него найденное значение x и вычислим длину:

    x + 10 = 30 + 10 = 40 м

    Значит длина участка составляет сорок метров, а ширина тридцать метров. Эти значения удовлетворяют условию задачи, поскольку если перемножить длину и ширину (числа 40 и 30) получится 1200 м2

    40 × 30 = 1200 м2

    Теперь ответим на вопрос задачи. Какова длина изгороди? Чтобы её вычислить нужно участка.

    Периметр прямоугольника это сумма всех его сторон. Тогда:

    P = 2(a + b) = 2 × (40 + 30) = 2 × 70 = 140 м.

    Ответ: длина изгороди огородного участка составляет 140 м.

    Смысл дискриминанта

    Дискриминант — одно из эффективных решений квадратных выражений. С его помощью легко можно выявить, сколько корней имеет уравнение или установить, что их нет. Применять его можно как к полным квадратным равенствам, так и неполным. Но всё же во втором случае использовать дискриминант не нужно.

    Эта тема изучается в седьмом и восьмом классе средней школы. Лучше понять смысл параметра поможет простой пример. Пусть имеется уравнение вида m2 + 2m — 8 = 0. Не имея понятие о дискриминанте, решение уравнения сводится к приведению его к формуле квадрата суммы m2 + 2m +1 — 1- 8 = 0. Добавление и вычитание единицы возможно, так как в итоге получается сложение с нулём.

    Первые три члена представляют собой квадрат суммы, который можно свернуть по формуле сокращённого умножения до вида a2 +2ab + b2 = (a+b)2. Отсюда, применительно к рассматриваемому примеру, получится: (m + 1)2 — 1 — 8 = 0. После преобразований с переносом неизвестного в одну сторону (а известных — в другую) и раскрытием скобки получится равенство: (m + 1)2 = 9. То есть возможными решениями будут m = 2 для (m + 1) = 3 и m = -4 для (m + 1) = -3.

    В общем виде все эти преобразования можно выполнить в следующей последовательности:

    Уравнение am2 + bm + c = 0 нужно переписать в приведённом виде, то есть разделить каждый член на первый коэффициент: m2 + bm / a + c / a = 0.
    Согласно формуле сокращённого умножения нужно добиться того, чтобы при неизвестном во втором члене стояло удвоенное произведение. Поэтому числитель и знаменатель нужно помножить на двойку: m2 + 2bm / 2a + c / a = 0.
    Полученное выражение стоит переписать в более наглядном виде m 2 + 2 m * (b /2 a) + c / a = 0. Это равенство являлось бы приведённым к формуле сокращённого умножения, если бы в последнем члене был квадрат.
    Ко второму члену следует прибавить и вычесть (b/2a)2. В итоге получится m2 + 2m * (b/2a) + (b/2a)2 — (b/2a)2 + c/a = 0.
    Первые три слагаемые — это классическая формула квадрата суммы. Применив её, получится: (m + b/2a)2 = (b/2a)2 — c/a.
    Затем нужно раскрыть скобки и привести к общему знаменателю. Получится конструкция вида (m + b/2a)2 = b 2 -4 ac /4 a 2.
    Умножив на 4a2 обе части. Выражение примет вид (2 am + b)2 = b 2 — 4 ac.

    Вычисления на онлайн-калькуляторе

    Поиск решений уравнения через дискриминант — довольно простая тема. Необходимо запомнить всего две формулы и свойства, зависящие от значения дискриминанта. Но на практике попадаются примеры содержащие интегралы, логарифмы, экспоненциальные функции. При этом всё это может быть записано в виде сложных дробей.

    Решая задания самостоятельно, даже имея большой опыт и знания, есть вероятность допущения ошибки. Поэтому при вычислении сложных примеров стоит использовать онлайн-калькуляторы.

    Из сервисов, предлагающих такие услуги, можно отметить:

    • Math.semestr;
    • Kontrolnaya-rabota;
    • Onlinemschool;
    • Wpcalc;
    • Webmath.

    Эти российские сайты. Их интерфейс интуитивно понятен. Для выполнения вычислений не нужно указывать персональные данные или платить за услуги. От пользователя лишь требуется записать в предложенную форму квадратное уравнение или даже матрицу, состоящую из них. Программа автоматически выполнит нужный расчёт и предоставит пошаговое решение. Кроме того, на сайтах решателей уравнений содержится в кратком виде теоретический материал и типовые примеры с подробным решением.

    Даже ничего не понимающий в дискриминантах человек, воспользовавшись онлайн-калькулятором несколько раз, сможет восполнить пробелы в знаниях, самостоятельно научиться решать примеры, узнает, как правильно должен писаться дискриминант. Использование онлайн-сайтов для математических решений позволяет сэкономить время и получить точный результат.

    Предыдущая
    МатематикаТранспортир — как правильно пользоваться инструментом для построения и измерения углов?
    Следующая
    МатематикаКак решать пропорции — правила, методы и примеры вычислений

    Пример неравенства через дискриминант

    Решим задачи несколько иного типа: дано равенство -3*x²-6*x+c = 0. Необходимо найти такие значения c, для которых D>0.

    В данном случае известно лишь 2 из 3 коэффициентов, поэтому рассчитать точное значение дискриминанта не получится, однако известно, что он является положительным. Последний факт используем при составлении неравенства: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Решение полученного неравенства приводит к результату: c>-3.

    Проверим полученное число. Для этого вычислим D для 2 случаев: c=-2 и c=-4. Число -2 удовлетворяет полученному результату (-2>-3), соответствующий дискриминант будет иметь значение: D = 12>0. В свою очередь, число -4 не удовлетворяет неравенству (-4

    Таким образом, любые числа c, которые больше -3, будут удовлетворять условию.

    Решение квадратных уравнений.

    Решение полных квадратных уравнений.

    Квадратные уравнения решаются просто. По формулам и чётким несложным правилам. На первом этапе надо заданное уравнение привести к стандартному виду, т.е. к виду:

    Если уравнение вам дано уже в таком виде — первый этап делать не нужно. ) Главное — правильно определить все коэффициенты, а, b и c.

    Формула для нахождения корней квадратного уравнения выглядит так:

    Выражение под знаком корня называется дискриминант. Но о нём — ниже. Как видим, для нахождения икса, мы используем только a, b и с. Т.е. коэффициенты из квадратного уравнения. Просто аккуратно подставляем значения a, b и с в эту формулу и считаем. Подставляем со своими знаками! Например, в уравнении:

    а =1; b = 3; c = -4. Вот и записываем:

    Пример практически решён:

    Это ответ.

    Всё очень просто. И что, думаете, ошибиться нельзя? Ну да, как же…

    Самые распространённые ошибки – путаница со знаками  значений  a, b и с.  Вернее, не с их знаками (где там путаться?),  а с подстановкой отрицательных значений в формулу для вычисления корней. Здесь спасает подробная запись формулы с конкретными числами. Если есть проблемы с вычислениями, так и делайте!

    Предположим, надо вот такой примерчик решить:

    Здесь a = -6; b = -5; c = -1

    Допустим, вы знаете, что ответы у вас редко с первого раза получаются.

    Ну и не ленитесь. Написать лишнюю строчку займёт секунд 30. А количество ошибок резко сократится. Вот и пишем подробно, со всеми скобочками и знаками:

    Это кажется невероятно трудным, так тщательно расписывать. Но это только кажется. Попробуйте. Ну, или выбирайте. Что лучше, быстро, или правильно?
    Кроме того, я вас обрадую. Через некоторое время отпадёт нужда так тщательно всё расписывать. Само будет правильно получаться. Особенно, если будете применять практические приёмы, что описаны чуть ниже. Этот злой пример с кучей минусов решится запросто и без ошибок!

    Но, частенько, квадратные уравнения выглядят слегка иначе. Например, вот так:

    Или так:

    Узнали?) Да! Это неполные квадратные уравнения.

    Решение неполных квадратных уравнений.

    Их тоже можно решать по общей формуле. Надо только правильно сообразить, чему здесь равняются a, b и с.

    Сообразили? В первом примере  a = 1; b = -4; а c? Его вообще нет! Ну да, правильно. В математике это означает, что c = 0! Вот и всё. Подставляем в формулу ноль вместо c, и всё у нас получится. Аналогично и со вторым примером. Только ноль у нас здесь не с, а b !

    Но неполные квадратные уравнения можно решать гораздо проще. Безо всяких формул. Рассмотрим первое неполное уравнение. Что там можно сделать в левой части? Можно икс вынести за скобки! Давайте вынесем.

    И что из этого? А то, что произведение равняется нулю тогда, и только тогда, когда какой-нибудь из множителей равняется нулю! Не верите? Хорошо, придумайте тогда два ненулевых числа, которые при перемножении ноль дадут!
    Не получается? То-то…
    Следовательно, можно уверенно записать:
    х1 = 0, х2 = 4.

    Всё. Это и будут корни нашего уравнения. Оба подходят. При подстановке любого из них в исходное уравнение, мы получим верное тождество 0 = 0. Как видите, решение куда проще, чем по общей формуле. Замечу, кстати, какой икс будет первым, а какой вторым — абсолютно безразлично. Удобно записывать по порядочку, х1 — то, что меньше, а х2 — то, что больше.

    Второе уравнение тоже можно решить просто. Переносим 9 в правую часть. Получим:

    Остаётся корень извлечь из 9, и всё. Получится:

    Тоже два корня. х1 = -3, х2 = 3.

    Так решаются все неполные квадратные уравнения. Либо с помощью вынесения икса за скобки, либо простым переносом числа вправо с последующим извлечением корня.
    Спутать эти приёмы крайне сложно. Просто потому, что в первом случае вам придется корень из икса извлекать, что как-то непонятно, а во втором случае выносить за скобки нечего…

    Если дискриминант равен нулю

    А сколько корней будет, если дискриминант равен нулю? Давайте рассуждать.

    Формулы корней выглядят так: \(x_{1}=\)\(\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\) и \(x_{2}=\)\(\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).  И если дискриминант – ноль, то и корень из него тоже ноль.  Тогда получается:

    \(x_{1}=\)\(\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\)\(=\)\(\frac{-b+\sqrt{0}}{2a}\)\(=\)\(\frac{-b+0}{2a}\)\(=\)\(\frac{-b}{2a}\)

    \(x_{2}=\)\(\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\)\(=\)\(\frac{-b-\sqrt{0}}{2a}\)\(=\)\(\frac{-b-0}{2a}\)\(=\)\(\frac{-b}{2a}\)

    То есть, значения корней уравнения будут совпадать, потому что прибавление или вычитание нуля ничего не меняет. 2-4x+4\) будет выглядеть вот так:

    Типовые примеры

    Даже зная правило поиска корней через дискриминант, научиться быстро вычислять корни уравнения не получится, если не практиковаться. Поэтому решение практических задач обязательно входит школьную в программу обучения:

    Дано равенство 6×2 — 13x +2 = 0. Нужно определить количество его корней, если они существуют, их числовые значения. В первую очередь нужно нарисовать таблицу, в которую выписаны все заданные коэффициенты. Так: a = 6; b = -13; c = 2. Эти значения нужно подставить в формулу дискриминанта и найти его: D = b2 — 4ac = (-13)2 — 4 * 6 *2 = 149 — 68 = 121. То есть D больше нуля. Значит, согласно правилу, уравнение будет иметь два корня. Теперь их нужно рассчитать: x1 = (13 + √126) / 2 * 6 = 2; x2 = (13 — √126) / 2 * 6 = 1/6. Задание решено.

    Определить возможность решения уравнения 4m2 — 2m — 3 = 2. Для приведения к удобному виду двойку нужно перенести влево. В итоге получится 4m2 — 2m — 5 =0. Дискриминант равняется: D = 4 — 4 * 4 * (-5) = 4 + 80 = 84. Так как он больше нуля, то корней будет два. Тут сложность заключается в том, что нет целого числа, которое равнялось бы корню из √84. Однако, √84 = √4 * √21 = 2 √21. Используя формулы, получаем что m = (2 ± 2√21) / 2 * 4. Двойку можно вынести в числителе за скобки, получив тем самым удобную запись: m = (2 * (1 ±√21) / 2 * 4 = (1 ± √21) / 4. Это выражение и есть искомое решение.

    Решить уравнение: x /3 — x2 / 4 + 1 /6 = 3x / 2 — 4×2 / 3. Для упрощения равенства нужно правую и левую сторону умножить на двенадцать: 12x / 3 — 12 * x2 / 4 + 12 /6 = (3 * 12x) / 2 — (4 * 12×2) / 3. Получится 4 x — 3 x 2 + 2 = 18 x — 16 x 2. Члены нужно привести к стандарту: 4 x — 3 x 2 + 2 — 18 x + 16 x 2 = 13 x 2 — 14 x + 2 = 0. Считаем дискриминант: D = (-14)2 — 4 * 13 * 2 = 92. Он больше нуля, поэтому есть смысл искать корни: X = (14 ± √ 92) / 2 * 13 = (14 ± 2 √ 23) / 2 * 13 = 2 (7±√23) / 2 *13 = (7± √23) /13.