Калькулятор квадратные уравнения: Онлайн калькулятор. Решение квадратных уравнений

Калькулятор квадратных уравнений

Укажите коэффициенты a b и c квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0
	x2 +		x +		= 0

Что такое квадратное уравнение

Уравнение вида ax² + bx + c = 0 называется квадратным.

Решить квадратное уравнение означает найти его корни, а именно x₁ и x₂, либо установить, что корней нет.

Числа a, b, c — называются коэфициентами квадратного уравнения, где a ≠ 0.

Каждый коэфициент квадратного уравнения имеет название:

a — старший коэфициент
b — средний коэфициент
c — свободный член

Если коэфициент b или c или оба этих коэфициента равны нулю, то такое уравнение называется неполным.

Дискриминант квадратного уравнения D выражается следующей формулой D = b² — 4ac.

Как решить квадратное уравнение

Прежде всего при решении квадратного уравнения необходимо найти его дискрименант.

---

Если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня, которые можно найти по формуле:

Приведем пример, решим уравнение 5x² + 67x + 7 = 0

Найдем дискриминант D квадратного уравнения 5x

2 + 67x + 7 = 0. В данном уравнении a = 5; b = 67; c = 7, тогда

D = b² — 4ac = 67² — 4 · 5 · 7 = 4349

Дискриминант уравнения больше нуля, следовательно, уравнение имеет два корня.
Подставим значения дискриминанта D, b и a в уравнения и найдем x₁ и x₂

	-b + D	=
	2a

	-67 + 4349	=
	2 · 5

	-1. 05305162480981	=
	10

-0.105305162480981

	-b — D	=
	2a

	-67 — 4349	=
	2 · 5

	-132.94694837519	=
	10

-13.294694837519

---

Если D = 0, то корни квадратного уравнения равны, по сути уравнение имеет один корень, например 9x²=0. При D = 0 необходимо воспользоваться формулой:

Приведем пример, решим уравнение x² + 2x + 1 = 0

Найдем дискриминант D квадратного уравнения 1x² + 2x + 1 = 0. В данном уравнении a = 1; b = 2; c = 1, тогда

D = b² — 4ac = 2² — 4 · 1 · 1 = 0

Дискриминант уравнения равен нулю, следовательно, уравнение имеет один корень.

x1,2 =

—	2	=
	2 · 1

—	2	=
	2

---

Если D , например, 5x² + 6x + 7 = 0, 20x² + 2x + 3 = 0. При D

Приведем пример, решим уравнение 3x² — 2x + 7 = 0

Найдем дискриминант D квадратного уравнения 3x² — 2x + 7 = 0.
В данном уравнении a = 3; b = -2; c = 7, тогда

D = b² — 4ac = (-2)² — 4 · 3 · 7 = -80

Дискриминант меньше нуля, следовательно, уравнение не имеет действительных корней. Корнями уравнения могут быть только комплексные числа.

Подставим значения дискриминанта D, b и a в уравнения и найдем x₁ и x₂

	( |D| )i	=
	2a

—	-2	+
	2 · 3

	( 80 )i	=
	2 · 3

0.333333333333333 + (1.49071198499986)i

	( |D| )i	=
	2a

—	-2	—
	2 · 3

	( 80 )i	=
	2 · 3

0. 333333333333333 — (1.49071198499986)i

Квадратные уравнения: онлайн калькулятор, формула, примеры решений

Квадратное уравнение – второй по сложности тип алгебраических равенств, с которыми встречается каждый школьник. При помощи нашего калькулятора вы можете найти корни любого квадратного уравнения и построить соответствующую ему параболу.

История квадратных равенств

Квадратные уравнения берут свое начало в Древнем Вавилоне. Еще в 20-м веке до нашей эры вавилонские ученые развязывали квадратные равенства для определения площадей земельных участков, использовали равенства в астрономических изысканиях, а также применяли древнюю геометрию в военном деле. Именно в работах индийских астрономов широко использовался алгебраический аппарат и квадратные уравнения для описания движения планет и определения далеких расстояний.

Типы квадратных уравнений

Квадратное уравнение – это равенства вида:

ax² + bx + c =0,

где a, b, c — коэффициенты уравнения.

Равенства такого типа называются полными квадратными уравнениями и на практике выглядят так:

• x² + 2x + 5 = 0, где a = 1, b = 2, c = 5;
• 5x² + 12x − 25 = 0, где a = 5, b = 12, c = −25.

Если коэффициент b = 0, то квадратное уравнение принимает вид:

ax² + c = 0,

а если c = 0, то:

ax² + bx = 0.

Такие равенства называются неполными квадратными уравнениями. Если же в уравнении a = 0, то квадрат икса исчезает из равенства, и оно принимает вид стандартного линейного уравнения.

Решение квадратных равенств

Такие уравнения решается по известному алгоритму, который знаком каждому школьнику. Для начала любое представленное уравнение следует привести к стандартному виду ax² + bx + c = 0. Это требуется для того, чтобы правильно определить коэффициенты, необходимые для расчета корней уравнения. В общем виде корни квадратного равенства выглядят как:

• x1 = (−b + sqrt(D)) / 2a,
• x2 = (−b — sqrt(D)) / 2a.

Выражение sqrt(D) означает «квадратный корень из D», где D — дискриминант, который равен D = b² − 4ac. Данное выражение получило собственное название благодаря тому, что от его значения зависит возможность решения заданного уравнения. Если:

• sqrt(D) > 0, то уравнение имеет два действительных корня;
• sqrt(D) = 0, то равенство имеет только одно решение или x1 = x2;
• sqrt(D) < 0, то уравнение не разрешимо в действительных числах, но имеет комплексные корни.

Школьный курс алгебры гласит, что невозможно извлечь квадратный корень из отрицательного числа, поэтому при sqrt(D) < 0 квадратное уравнение не имеет решений. Однако мы знаем, что четные корни из отрицательных чисел представляют собой класс комплексных чисел. При sqrt(D) < 0 равенство имеет комплексные корни и наш калькулятор их рассчитывает, однако при выполнении школьных заданий достаточно указать, что уравнение не имеет решений.

Нюансы решения

Формула для определения корней предельна проста. Вначале определяется дискриминант, а после по известной формуле вычитываются корни уравнения. При решении таких заданий школьниками основная проблема состоит в правильном определении коэффициентов. Ребята теряют знаки или меняют местами сами значения, поэтому ученикам важно уметь определять, где в уравнении a, b, и c. Грамотное определение коэффициентов понадобится и при использовании нашего калькулятора, так как для решения уравнения требуется ввести равенство в стандартном виде:

ax² + bx + c = 0.

Привести заданный в задаче пример к стандартному виду легко с использованием тождественных преобразований.

Тождественные преобразования применяются для решения любых типов уравнений: квадратные, показательные, логарифмические, тригонометрические или линейные практически всегда требуют начальных преобразований. Для решения квадратных уравнений достаточно использовать преобразования двух типов:

• к каждой части уравнения можно прибавить или отнять любое выражение или число;
• каждую часть равенства можно умножить или разделить на любое выражение или число.

Первое правило можно сформулировать и по-другому: уравнение не изменится, если его составляющие перенести через «равно» с заменой знака. Рассмотрим пример. Пусть в школьной задаче требуется решить уравнение:

4x − 2x² = 5 − 3x.

Для того чтобы решить это уравнение вручную или при помощи калькулятора, его необходимо преобразовать. Во-первых, в правой части уравнения должен остаться ноль, а для этого нам потребуется перенести часть 5 − 3x через знак равенства с заменой знаков коэффициентов на противоположные. Получим следующее выражение:

4x − 2x² − 5 + 3x = 0.

Очевидно, что 4x и 3x можно суммировать:

7x − 2x² − 5 = 0.

На первый взгляд, можно начать решать, однако x² стоит не на своем месте и легко перепутать значения a и b. Лучше переставить члены уравнения в порядке убывания степени икса:

−2x² + 7x − 5 = 0

Приведя выражение к данному виду, мы можем его решить по стандартной формуле вручную или при помощи калькулятора. Главное – правильно определить коэффициенты и не потерять их знаки. Здесь a = −2, b = 7, c = −5.

Теперь следует посчитать дискриминант D = b² − 4ac = 49 − 4×2×5 = 49 − 40 = 9 и найти корни уравнения: x1 = 1, x2 = 2,5.

Решать абстрактные уравнения не так интересно, поэтому давайте применим эти знания на практике.

Рассмотрим пример

Задача по геометрии

Есть прямоугольный треугольник, площадь которого составляет 30 квадратных сантиметров. Известно, что один из катетов на 7 см длиннее другого. Требуется найти все стороны треугольника. На первый взгляд сложная задача, но для ее решения мы используем алгебраический метод.

Из курса геометрии известно, что площадь прямоугольного треугольника равна полупроизведению его катетов. Пусть длина одного катета будет x, а вторая – (x + 7). Нам известна площадь, поэтому уравнение будет выглядеть как:

(x(x + 7)) / 2 = 30.

Применим второе тождественное преобразование и умножим обе стороны равенства на 2:

x(x + 7) = 60.

А теперь раскроем скобки и перенесем свободный член через знак равенства. Получим квадратное уравнение стандартного вида:

x² + 7x — 60 = 0.

В данном примере a = 1, b = 7, c = – 60, D = 289, x1 = –12, x2 = 5. Очевидно, что длина катета не может быть отрицательным числом, поэтому в качестве решения данной задачи принимаем x2 = 5. Второй катет на 7 см больше, следовательно, он равен 12 см. Это целочисленные значения сторон прямоугольного треугольника, и благодаря теореме Пифагора или пифагоровым тройкам мы знаем длину и гипотенузы, равной 13 см.

Заключение

Квадратные уравнения – это не только тема скучной школьной математики. Подобные равенства находят широкое применение при решении бытовых и научных задач. Пользуйтесь нашими калькуляторами для непосредственного решения таких уравнений или для проверки своих выкладок.

Часто задаваемые вопросы | CASIO решения для образования

Зачем мне калькулятор, если у меня в мобильном телефоне (смартфоне) он есть?

Во-первых, калькулятор, в отличие от мобильного телефона и смартфона, узкоспециализированное устройство, конструкция которого разработана оптимальным образом для выполнения математических вычислений, то есть вычисления на калькуляторе проводятся удобнее и быстрее, чем на смартфоне, и, тем более, на телефоне (к тому же в телефоне набор функций существенно ограничен по сравнению с научным калькулятором). Во-вторых, использование непрограммируемых калькуляторов на вступительных экзаменах разрешено во многих вузах России, а также на ЕГЭ по физике и химии.

---

Какой калькулятор лучше?

Калькуляторы различаются функциональностью (то есть количеством встроенных функций), и, соответственно, ценой. Поэтому самый дорогой калькулятор может оказаться не самым удачным выбором, если Вы не будете в полной мере использовать заложенные в него функции. Поэтому при выборе калькулятора надо обратить внимание на то, какие функции Вам необходимы в работе.

---

Могут ли калькуляторы решать квадратные уравнения?

Научные калькуляторы CASIO fx-570ES, fx-991ES и графические калькуляторы серии fx-9860G содержат режим решения квадратных и кубических уравнений. Для решения необходимо ввести соответствующие коэффициенты, после чего калькулятор выдаст ответ. При этом вышеперечисленные калькуляторы определяют как вещественные, так и мнимые корни.

---

Может ли калькулятор строить графики?

Графические калькуляторы серии fx-9860G содержат режим GRAPH, в котором можно строить и исследовать графики функций в прямоугольной и полярной системах координат, графики параметрических функций, графики выражений х = constant и графики неравенств. Научные калькуляторы серии fx-ES графики не строят.

---

Можно ли с помощью калькулятора исследовать функции?

Графические калькуляторы серии fx-9860G содержат режим GRAPH, в котором можно строить и исследовать графики функций в прямоугольной и полярной системах координат, графики параметрических функций, графики выражений х = constant и графики неравенств. Научные калькуляторы CASIO серии fx-ES содержат режим составления таблицы чисел по функции TABLE. В этом режиме задается функция вида y = f(x) и вводятся начальные параметры: крайние левое и правое значения интервала по оси абсцисс и шаг, с которым будет изменяться значение х. Результатом является таблица значений х и y, используя которую можно построить график заданной функции в тетради, определить точки пересечения функции с осями координат, максимальные и минимальные значения функции.

---

Как калькулятор выключить?

Калькуляторы CASIO выключаются последовательным нажатием клавиш [SHIFT] и [AC]. Но если Вы забудете выключить калькулятор, то через шесть минут после последнего нажатия на любую клавишу он выключится автоматически.

---

Калькуляторы серии fx-ES

Открыть подробности »

Что означает надпись NATURAL DISPLAY на калькуляторе fx-82ES (fx-85/350/570/991ES)?

Надпись NATURAL DISPLAY (дисплей с естественным отображением чисел) означает, что ввод выражения (вывод результата) осуществляется в виде, максимально приближенном к традиционному, принятому в печатных изданиях, что упрощает контроль ввода данных. Например:

Чем отличаются научные калькуляторы fx-82ES, fx-85ES, fx-350ES?

Научные калькуляторы fx-570ES и fx-991ES функционально абсолютно одинаковы, отличаются только элементами питания: калькулятор fx-570ES работает на батарейке типа LR-44 (круглая таблетка), fx-991ES имеет двойное питание – солнечный фотоэлемент и LR-44. Это влияет на срок работы калькулятора на одном элементе питания. Соответственно, при одинаковых условиях эксплуатации и равноценных элементах питания меньшее время работы на одной батарейке будет у fx-570ES, большее – у fx-991ES.

Чем отличаются научные калькуляторы fx-570ES и fx-991ES?

Научные калькуляторы fx-570ES и fx-991ES функционально абсолютно одинаковы, отличаются только элементами питания: калькулятор fx-570ES работает на батарейке типа LR-44 (круглая таблетка), fx-991ES имеет двойное питание – солнечный фотоэлемент и LR-44. Это влияет на срок работы калькулятора на одном элементе питания. Соответственно, при одинаковых условиях эксплуатации и равноценных элементах питания меньшее время работы на одной батарейке будет у fx-570ES, большее – у fx-991ES.

При расчете тригонометрических функций калькулятор fx-82ES (fx-85/350/570/991ES) выдает неверный ответ.

Проверьте, соответствует ли вводимое значение угла заданному формату ввода угловых единиц. В верхней строке калькулятора буква D означает, что по умолчанию углы определяются в градусах, R – в радианах, G – в градах.

---

Графические калькуляторы серии fx-9860G

Открыть подробности »

Чем отличаются графические калькуляторы fx-9860G и fx-9860G SD.

Графические калькуляторы fx-9860G и fx-9860G SD функционально абсолютно одинаковы, отличие состоит только в том, что калькулятор fx-9860G SD имеет слот для подключения карты памяти SD, то есть в нем предусмотрена возможность расширения памяти.

При расчете тригонометрических функций калькулятор серии fx-9860G выдает неверный ответ.

Проверьте, соответствует ли вводимое значение угла заданному формату ввода угловых единиц. Для этого войдите в режим настроек SETUP, нажав последовательно [SHIFT] и [MENU] (SET UP). Угловые единицы задаются в строке Angle: Deg – в градусах, Rad – в радианах, Gra – в градах.

Квадратное уравнение с комплексными коэффициентами

Египетские дроби. Часть вторая Египетские (аликвотные) дроби По сегменту определить радиус окружности Круг и площадь, отсекаемая перпендикулярами Деление треугольника на равные площади параллельными Определение основных параметров целого числа Свойства обратных тригонометрических функций Разделить шар на равные объемы параллельными плоскостями Взаимосвязь между организмами с различными типами обмена веществ Аутотрофные и миксотрофные организмы Рассечение круга прямыми на равные площади Период нечетной дроби онлайн. Первые полторы тысяч разложений. Представить дробь, как сумму её множителей Решение системы из двух однородных диофантовых уравнений Расчет основных параметров четырехполюсника Цепочка остатков от деления в кольце целого числа Система счисления на базе ряда Фибоначчи онлайн Уравнение пятой степени. Частное решение. Рассчитать площадь треугольника по трем сторонам онлайн Общее решение линейного диофантового неоднородного уравнения Частное решение диофантового уравнения с несколькими неизвестными Онлайн разложение дробно рациональной функции Корни характеристического уравнения Имя пользователя при работе с Excel Распределение частот появления букв русского алфавита в текстах

Аргументы квадратного уравнения Точность вычисления (знаков после запятой) Вы ввели следующее выражение Результат решения заданного уравнения Расчет квадратных  уравнений, содержащие комплексные коэффициенты Как известно, квадратное уравнение:   имеет корни, которые вычисляются по простой форумуле  . Онлайн  решений очень много, наш же бот, вычисляет квадратное уравнение, если его коэффициенты являются комплексными числами. В русскоязычном секторе Интернета, такого сервиса нет, и наш бот будет тут первым. Хотелось бы заметить, что коэффициентами квадратного уравнения могут быть не только комплексные числовые значения, но и произвольное комплексное выражение. Это несомненно расширяет возможности представленного сервиса, и дает определенные преимущества. Ну и естественно, для тех кто хорошо учился в школе, и понимающих, что комплексные числа это лишь расширенное представление наших «обычных» действительных  чисел, следует вывод, что данный сервис правильно считает  и в том случае, если числа  в коэффициентах имеют  действительные значения. Для того, что бы по известным корням можно было построить произвольное уравнение, в том числе и квадратное с комплексными коэфициентами можно воспользоватся ресурсом Создание полинома (многочлена) одной переменной онлайн Синтаксис  Для всех кто пользуется XMPP клиентами:  ur2_i <элементы уравнения> Коэффициенты уравнения могут быть как действительными так и мнимыми значениями. 2 + (2-0.25i)*x + (0-0.25i)= 0  Первый корень уравнения = -0.0078432583508+0.125i  Второй корень уравнения = -1.9921567416492+0.125i Давайте проверим, а правильно ли  нам посчитал бот эти корни. Для этого воспользуемся Аргумент и значения функции комплексной переменной и посчитаем чему же будет равно значение функции, при полученных корнях При выборе первого корня ответ будет такой: Вы ввели следующую функицю Табличное представление значений функции Переменная x Значение функции f(x) -0.007843258+0.125005019i 0+0. 2 + (0.0003584355453+0.4330639593925i)*x + (-1.2-0.6i)= 0  Первый корень уравнения = 1.1073006922543+0.0543883355731i  Второй корень уравнения = -1.1076591277997-0.4874522949657i Удачи в расчетах!     Квадратные сравнения. Нормирование >> Поиск по сайту

Русский и английский алфавит в одну строку Часовая и минутная стрелка онлайн.Угол между ними. Универсальный калькулятор комплексных чисел онлайн Перемешать буквы в тексте онлайн Массовая доля химического вещества онлайн Декoдировать текст \u0xxx онлайн Частотный анализ текста онлайн Поворот точек на произвольный угол онлайн Площадь многоугольника по координатам онлайн Остаток числа в степени по модулю Расчет процентов онлайн Обратный и дополнительный код числа онлайн Как перевести градусы в минуты и секунды Поиск объекта по географическим координатам Расчет пропорций и соотношений Время восхода и захода Солнца и Луны для местности DameWare Mini Control. Настройка. Растворимость металлов в различных жидкостях Калькулятор географических координат Теория графов. Матрица смежности онлайн Расчет значения функции Эйлера Географические координаты любых городов мира Перевод числа в код Грея и обратно Онлайн определение эквивалентного сопротивления Произвольный треугольник по заданным параметрам НОД двух многочленов. Greatest Common Factor (GCF) Площадь пересечения окружностей на плоскости Калькулятор онлайн расчета количества рабочих дней Непрерывные, цепные дроби онлайн Построить ненаправленный граф по матрице Расчет заряда и разряда конденсатора через сопротивление Месторождения золота и его спутники Сообщество животных. Кто как называется? Расчет понижающего конденсатора Система комплексных линейных уравнений Из показательной в алгебраическую. Подробно Дата выхода на работу из отпуска, декрета онлайн Проекция точки на плоскость онлайн Определение формулы касательной к окружности Расчет параметров конденсатора онлайн Онлайн расчеты Подписаться письмом

Калькулятор дискриминантов: Онлайн калькулятор. Решение квадратных уравнений. — ЭкоДом: Дом своими руками

Содержание

Калькулятор квадратных уравнений — решение квадратных уравнений онлайн

Этот калькулятор квадратных формул работает как решить квадратное уравнение решатель квадратных уравнений, который помогает решить квадратное уравнение заданное квадратное уравнение с помощью формулы квадратного уравнения.

Что ж, прежде чем узнать об этом калькулятор квадратных уравнений квадратных уравнений, давайте начнем с некоторых основ!

Что такое квадратичная формула?

Квадратичная формула считается одним из самых эффективных инструментов математики. Эта формула является решение квадратного уравнения полиномиального уравнения второй степени. Стандартная форма квадратного уравнения упоминается ниже:

ax1 bx c = 0

Куда;

• ‘A’ – квадратичный коэффициент
• «X» – неизвестное
• ‘B’ – линейный коэффициент
• “C” – постоянная

Решение этого уравнения называется корнем уравнения.

Итак, решение квадратного уравнения квадратных уравнений онлайн имеет не более двух корней, поэтому решение квадратных уравнений в конечном итоге означает нахождение корней (квадратного уравнения). 2 – 4ac}} {2a} \]

Наш калькулятор квадратных формул также использует ту же формулу для [решения квадратного уравнения].

Есть три возможности получить корни (квадратного уравнения), но помните, что эти возможности зависят от значения Дискриминанта.

• Если b2 – 4ac = 0, то будет только один корень
• Если b2 – 4ac> 0, то будет только два действительных корня
• Если b2 – 4ac <0, то будет два комплексных корня

Коэффициенты квадратного уравнения:

Также важно отметить, что числа, то есть a, b и c, считаются коэффициентами уравнения и не могут быть «0». Все они действительные числа, не зависящие от x. Если A = 0, то уравнение называется не квадратичным, а линейным.
Если B² <4AC, то определитель Δ будет отрицательным, как решать квадратные уравнения уравнение это уравнение не имеет действительных корней.

Наш квадратичный калькулятор также может вам помочь, если вы можете записать уравнение в такой форме:

ax2 bx c = 0

Калькулятор квадратной формулы:

Этот калькулятор квадратных уравнений квадратной формулы представляет собой инструмент, который помогает решить квадратное уравнение квадратное уравнение, используя квадратную формулу или завершив метод квадратов. Вам просто нужно сформировать уравнение, метод вычисления и ввести параметры уравнения; этот решатель квадратной формулы лучше всего подойдет вам!

Как пользоваться калькулятором квадратной формулы:

Не волнуйтесь; этот решатель решение квадратного уравнения квадратных уравнений онлайн довольно прост в использовании и имеет продуманный и удобный интерфейс!

Входы:
Форма уравнения:

Вы должны выбрать форму уравнения; это форма, в соответствии с которой вы должны ввести значения в обозначенные поля нашего калькулятора квадратичных функций.

В этом калькулятор квадратных уравнений используется следующая форма:

• Ax2 Bx C = 0 (стандартная форма)
• A (x – H) 2 K = 0 (форма вершины)
• A (x-x₁) (x-x₂) = 0 (Факторная форма)

Метод вычисления:

Наш калькулятор квадратных уравнений квадратного уравнения позволяет вам решить квадратное уравнение квадратное уравнение, используя формулу корней квадратного уравнения и завершив метод квадратов.

Введите значения:

Если вы выбрали форму Ax2 Bx C = 0, вам необходимо ввести значения A, B и C

Если вы выбрали форму A (x – H) 2 K = 0, то вам необходимо ввести значения A, H и K

Если вы выбрали форму A (x-x₁) (x-x₂) = 0, вам необходимо ввести значения A, x1 и x2

Вывод:

После того, как решить квадратное уравнение указанные выше значения, наш решатель (квадратного уравнения) покажет следующее:

Показать корни:

Этот калькулятор квадратного корня показывает корень или корни вашего данного уравнения.

Покажите упрощение:

Калькулятор шаг за шагом упростит данное уравнение.

Показать дискриминант:

Если вы решите решение квадратных уравнений онлайн с помощью формулы квадратичного, то наш калькулятор квадратичного дискриминанта покажет дискриминант

Покажите квадратичный график:

Этот калькулятор квадратичных графиков показывает вам полный квадратичный график для данного уравнения!

Как решать квадратные уравнения?

Когда дело доходит до решения квадратных уравнений, квадратная формула используется для выполнения вычислений. 2x. Говорят, что «b» является коэффициентом, который появляется при умножении линейного члена x, а коэффициент «c» считается постоянным.

Пример №1:

как решать квадратные уравнения следующего выражения x2 3x 1?

В этом случае a = 1 (это коэффициент умножения на квадратный член x2), b = 3b = 3 (коэффициент, умноженный на линейный член x) и c = 1 (константа).

Пример №2:

Какие сейчас коэффициенты, если у вас есть следующее выражение: 5/4 3/4 x 1/2 x2

В этом случае a = 1/2 (это коэффициент умножения на квадратичный член x2), b = 3/4 (коэффициент, умноженный на линейный член x) и c = 5/4 (константа).

Пример №3:

Какие коэффициенты, если у вас есть следующее выражение: -3 1/2

В этом случае a = 0, поскольку данное выражение не содержит квадратичного члена x2. Итак, это не считается квадратичным выражением.

Подставьте коэффициенты, которые вы нашли в формуле (шаг 2):

Формула:

\ [x = \ dfrac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2 – 4ac}} {2a} \]

Теперь вам нужно заменить значения коэффициентов a, b и c. 2 – 4 (-3) (1)}} {2 (-3)} \]

Упростите значения в уравнении (шаг 3):

После того, как вы подставили значения a, b и c, вы должны упростить значения в уравнении. Из предыдущего примера у вас есть:

\ [x = \ dfrac {-2 \ pm \ sqrt {4 – 12}} {(- 6)} \]

\ [x = \ dfrac {-2 \ pm \ sqrt {-8}} {(- 6)} \]

Загляните внутрь квадратного корня (шаг 4):

Если значение положительное, то уравнение имеет два действительных корня. Если значение равно 0, то существует только один действительный корень, а если значение внутри квадратного корня отрицательное, то будет два комплексных корня. В предыдущем примере у вас есть -8 внутри квадратного корня, что означает, что у вас есть два сложных решения (как показано ниже):

\ [x = \ dfrac {-2 \ pm \ sqrt {4 – 12}} {(- 6)} \]

\ [x = \ dfrac {-2 \ pm \ sqrt {-8}} {(- 6)} \]

\ [x = \ dfrac {-2 \ pm \ sqrt {8} \, i} {(- 6)} \]

К счастью, вы узнали, как решать квадратные уравнения (вручную). 2 – 4ac}} {2a} \]

Имейте в виду, поскольку b2 – 4ac <0, квадратный корень из определителя будет мнимым значением. Отсюда:

Re (x) = -B / 2A

Im (x) = ± (√Δ) / 2A

Решение квадратного уравнения методом построения графиков:

Итак, из графика параболы узнайте вершину, ось симметрии, точку пересечения по оси y, точку пересечения с x.

Задача имеет два решения, и они демонстрируют точки пересечения уравнения, которые являются точкой пересечения с осью x (это точка, в которой ось x пересекается кривой. При этом составляется график данного уравнения x2 3x – 4 = 0, можно рассматривать как решить квадратное уравнение:

Вершина:

Это демонстрация пика. Итак, вершина (квадратного уравнения) указывает точку пика параболы. Если парабола открывается вверх, то говорят, что вершина – это самая высокая точка, а если парабола открывается вниз, то вершина называется самой низкой точкой.

Ось симметрии:

Ось симметрии делит параболу на две равные половины; он всегда проходит через вершину параболы.

X-перехват:

Корни также называют пересечением по оси x. Он расположен ниже оси x или выше оси x на графике. Поэтому для определения корня квадратичной функции положим y = 0

Y-перехват:

Каждая парабола имеет точку пересечения с осью y, и говорят, что это точка, в которой функция пересекает ось y. Это вычисляется путем установки переменной x в уравнении на 0.

Итак, давайте начнем решать графически,

Сначала возьмем уравнение f (x) = 2×2 – 4x-1 или Y = 2×2 – 4x-1.

Здесь a = 2, b = -4 и c = -1.

Если «a» имеет положительное значение, то помните, что парабола открывается вверх на графике. Сначала вам нужно найти вершину x:

х = (- Ь) / 2а

х = (- (- 4)) / 2 (2)

х = 1

Теперь вам нужно найти вершину Y:

Вы должны подставить значение x в уравнение 2×2 – 4x-1

у = 2 (1) 2-4 (1) -1

у = 2 – 4 – 1

у = 3

Итак, у вас есть ось симметрии: x = 1

Теперь вам нужно найти точку пересечения по оси x, используя формулу корней квадратного уравнения:

\ [x = \ dfrac {- (- 4) \ pm \ sqrt {(- 4) ^ 2 – 4 (2) (- 1)}} {2 (2)} \]

\ [x = \ dfrac {4 \ pm \ sqrt {16 8}} {4} \]

\ [x = \ dfrac {4 \ pm \ sqrt {24}} {4} \]

\ [x = \ dfrac {4 \ pm 4. 2 – 4 (-1) (1)}} {2 (-1)} \]

\ [x = \ dfrac {-2 \ pm \ sqrt {8}} {-2} \]

х1 = – 0,414214

х2 = 2,414214

Теперь найдите y-точку пересечения:

х2 2х 1 = 0

(0) 2 2 (0) 1 = 0

y-intercept = 1, теперь вам нужно нанести значения на график!

Для чего используется квадратичная формула?

Квадратичная формула – это хорошо известная формула, которая встречается повсюду в математике. Он часто учитывается при решении всевозможных геометрических задач, таких как:

• Увеличение площади
• Учитывая фиксированный периметр
• Многочисленные проблемы с Word

Есть много людей, которые задаются вопросом, есть ли какая-либо связь между этой формулой (квадратным уравнением) и методом завершения квадрата. Проще говоря, вы получите квадратную формулу, просто решив решение квадратных уравнений онлайн, заполнив квадрат. Это в точности та же идея, которая вытекает из известной всем нам формулы квадратичных уравнений!

Важность квадратного уравнения в реальной жизни:

Будучи студентом, вас могут принимать во внимание по различным вопросам математики. Кроме того, студенты обычно используют это уравнение в таких предметах, как решать квадратные уравнения инженерия и физика. Есть и другие профессии, которые используют (квадратные уравнения):

• Военные и правоохранительные органы – (для определения траектории ракет, выпущенных артиллерией)
• Инженеры – (относится к гражданскому строительству)
• Уравнение движения (как на игровой площадке, так и в игровых ситуациях, оно описывает траекторию полета мяча и определяет высоту брошенного мяча)
• Наука (Астрономы – описывают орбиту планет, солнечных систем и галактик)
• Сферы сельского хозяйства (оптимальное расположение границ для производства самого большого поля)

Часто задаваемый вопрос:

Как найти формулу корней квадратного уравнения?

• Проще говоря, вам просто нужно заполнить квадрат ax2 bx c = 0, чтобы получить формулу корней
• квадратного уравнения
• Вам следует разделить обе части уравнения на «а», чтобы коэффициент при x2 был равен 1. 2 c = 0. В таком случае вы можете решить это уравнение, используя свойство простого квадратного корня.

  Как узнать, имеет ли квадратное уравнение одно решить квадратное уравнение онлайн, два или нет?

  Это помогает определить, сколько существует решений (квадратного уравнения). Если дискриминант положительный, говорят, что есть 2 корня. Если он равен нулю, значит есть только 1 корень. Если дискриминант отрицательный, то говорят, что корней 0.

  Other Languages: Quadratic Formula Calculator, Løs Andengradsligning, Quadratische Gleichungen Lösen, Kinci Dereceden Denklem Çözücü, Rozwiązywanie Równań Kwadratowych, Kalkulator Persamaan Kuadrat, Risolvere Equazioni Di Secondo Grado, Résoudre Une Équation Du Second Degré, Equazioni Di Secondo Grado, Resolver Ecuaciones De Segundo Grado, Toisen Asteen Yhtälön Ratkaisu, Řešení Kvadratické Rovnice, 二次方程式の解, حل المعادلات التربيعية, 이차방정식 계산기

   

  виета калькулятор

  Вы искали виета калькулятор? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
  решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и виета онлайн, не
  исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
  в вуз.
  И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
  Например, «виета калькулятор».

  Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
  жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
  использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
  месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
  может решить задачи, такие, как виета калькулятор,виета онлайн,виета онлайн калькулятор,виета теорема калькулятор,вычисление дискриминанта онлайн,вычислить дискриминант онлайн,дискриминант калькулятор,дискриминант калькулятор онлайн,дискриминант онлайн,дискриминант онлайн калькулятор,дискриминант решить онлайн,калькулятор виета,калькулятор виета онлайн,калькулятор дискриминант,калькулятор дискриминанта,калькулятор дискриминанта онлайн,калькулятор дискриминантов,калькулятор квадратних рівнянь,калькулятор квадратных уравнений по теореме виета онлайн,калькулятор корней уравнения,калькулятор онлайн дискриминант,калькулятор решение дискриминанта,калькулятор теорема виета,калькулятор теоремы виета,найти 2 x 2,найти дискриминант онлайн,нахождение дискриминанта онлайн,нахождение корней квадратного уравнения онлайн,неполные квадратные уравнения решение онлайн,онлайн вычисление дискриминанта,онлайн дискриминант калькулятор,онлайн калькулятор виета,онлайн калькулятор дискриминант,онлайн калькулятор дискриминанта,онлайн калькулятор квадратных уравнений по теореме виета,онлайн калькулятор решение дискриминанта,онлайн калькулятор теорема виета,онлайн нахождение дискриминанта,онлайн решение дискриминант,онлайн решение дискриминантов,онлайн решение квадратных уравнений через дискриминант,онлайн решение по теореме виета,онлайн решение уравнений через дискриминант,онлайн решение через дискриминант,онлайн решить неполное квадратное уравнение,посчитать дискриминант онлайн,решение дискриминант онлайн,решение дискриминанта калькулятор,решение дискриминанта онлайн,решение дискриминанта онлайн калькулятор,решение дискриминантов онлайн,решение квадратного уравнения через дискриминант онлайн,решение квадратных уравнений онлайн через дискриминант,решение квадратных уравнений через дискриминант калькулятор онлайн,решение неполные квадратные уравнения онлайн,решение онлайн дискриминант,решение онлайн квадратного трехчлена,решение системы квадратных уравнений онлайн,решение уравнений онлайн через дискриминант,решение уравнений по теореме виета,решение уравнений с дискриминантом онлайн,решение уравнений через дискриминант онлайн,решение через дискриминант онлайн,решить дискриминант онлайн,решить квадратное уравнение онлайн с подробным решением бесплатно,решить онлайн дискриминант,решить онлайн неполное квадратное уравнение,решить систему квадратных уравнений онлайн,решить уравнение через дискриминант онлайн калькулятор,решить через дискриминант онлайн,теорема виета калькулятор,теорема виета калькулятор онлайн,теорема виета онлайн,теорема виета онлайн калькулятор,теорема виета онлайн калькулятор решить,теорема вієта онлайн калькулятор. На этой странице вы найдёте калькулятор,
  который поможет решить любой вопрос, в том числе и виета калькулятор. Просто введите задачу в окошко и нажмите
  «решить» здесь (например, виета онлайн калькулятор).

  Где можно решить любую задачу по математике, а так же виета калькулятор Онлайн?

  Решить задачу виета калькулятор вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
  онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
  сделать — это просто
  ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
  вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
  калькулятора.

  Квадратное уравнение. Онлайн калькулятор с примерами

  Решение квадратных уравнений

  Как бы кто ни говорил, но тема квадратных уравнений – это база всей школьной программы. Читая дальше, вы поймете почему.

  Решая линейные уравнения, требуется лишь навык применения арифметических операций. Даже решать систему линейных уравнений несложно, все сводится к сложению, вычитанию или раскрытию скобок, когда подставляем одно уравнение в другое. И так далее.

  Иное дело, когда возрастает старшая степень неизвестной переменной, и первый вид таких уравнений как раз называется квадратным уравнением, когда неизвестная переменная представлена во второй степени.

  Есть прямая связь квадратных уравнений с тем, что мы можем наблюдать вокруг нас. Тема квадратных уравнений легкая, но очень важная и требует полного изучения, однако, этим пренебрегают ученики, да и учителя тоже.

  Например, полет снаряда, выпущенного из орудия, летит по траектории, описываемой квадратным уравнением, и называется параболой. Парабола имеет вершину и две ветви, расположенные зеркально, что напоминает подкову.

  Где встречаются квадратные уравнения

  На практике квадратные уравнения встречаются практически во всех сферах жизненной деятельности человека, от науки до искусства. В школьной программе обязательно в алгебре, геометрии со стереометрией, тригонометрии, при упрощении выражений и так далее. Разумеется, не только в математике. В химии, физике, экономике, биологии и других науках без квадратных уравнений никак не обойтись.

  Более того, в некоторых задачах необходимо оперировать со значениями, являющимися корнями квадратного уравнения, и опять-таки требуется находить корни. Если нахождение корней квадратного уравнения является промежуточным действием, например, необходимо использовать только сумму корней или их произведение, то глядя на уравнение, это сразу видно. Но опять же это нужно знать!

  График квадратного уравнения

  Как вы уже знаете графиком квадратного уравнения является парабола. По виду уравнения можно легко определить расположение ее вершины и направление ветвей относительно системы координат.

  Парабола может либо пересекать ось абсцисс (в одной или двух точках), либо не пересекать ее. Во втором случае говорят, что квадратное уравнение не имеет действительных решений (корней). Если же график параболы пересекает ось абсцисс, то корней два или один как минимум.

  Запомните! У квадратного уравнения всегда имеются либо два разных, либо один кратности два корень, потому что уравнение второй степени. В том случае, когда корни не принадлежат полю действительных чисел, они находятся в поле комплексных чисел. Если вы еще не слышали про комплексные числа, просто примите это к сведению.

  Что такое дискриминант

  Общий вид квадратного уравнения следующий:

  a*x² + b*x + c = 0

  Умножим обе части уравнения на 4*a, прибавим b² к обеим частям и применим формулу сокращенного умножения «квадрат суммы». Перенесем 4*a*c в правую часть уравнения. В результате получим:

  (2*a*x + b)² = b² – 4*a*c

  Отсюда очевидно, что при b² – 4*a*c действительных корней нет, потому что нет такого числа, которое в квадрате давало бы отрицательное.

  При b² – 4*a*c = 0 только один кратный корень.

  И третий случай, при b² – 4*a*c > 0 уравнение имеет два разных корня.

  Рассмотрим последний случай, когда уравнение имеет два разных корня x₁ и x₂. Соответственно график параболы пересекает ось X в двух разных точках.

  Координата вершины параболы определяется значением x = –b/2a.

  Так как график параболы симметричен, то оба корня равноудалены от линии, проходящей через ее вершину.

  Отсюда очевидно, что чем больше значение дискриминанта, тем дальше друг от друга располагаются корни уравнения. В этом заключается геометрический смысл дискриминанта.

  Другими словами, значение дискриминанта напрямую указывает на удаленность корней уравнения друг от друга на числовой оси.

  Так вот, удаленность корней друг от друга и называются дискриминантом, а формула, которую дают в школе под соусом «дискриминант», всего лишь выражает этот факт.

  Как найти корни квадратного уравнения

  Самое интересное это поиск корней уравнения. Есть несколько методов их нахождения, перечислим более известные.

  1. Первый из них, самый известный всем школьникам, описанный выше, – это поиск по формуле квадратного уравнения, используя значение дискриминанта.

  2. Принято отдельно считать метод выделения полного квадрата. Но как мы видели из поиска дискриминанта, это вытекает из первого способа.

  3. Другой популярный способ – это разложение уравнения на множители, когда его приводят к виду (x+A)*(x+B)=0. Частный случай такого уравнения x*(x+A)=0 с нулевым корнем.

  4. Еще один не менее важный способ – графический. В этом методе исследуют график параболы и находят ее пересечение с осями координат.

  5. Очень удобный способ определения корней квадратного уравнения и часто применяемый в практических задачах – применение теоремы Виета.

  Рассмотрим пример определения корней по теореме Виета

  Пусть дано уравнение x² — 5 x + 6 = 0

  Согласно этой теореме, сумма корней есть коэффициент перед x, но с противоположным знаком, а произведение корней – это значение свободного члена квадратного уравнения.

  Очевидно, что x₁=2, а x₂=3, так как x₁+x₂=2+3=5, а x₁*x₂=2*3=6

  Калькулятор решения квадратных уравнений

  С нашим калькуляторе вы без проблем решите любое квадратное уравнение онлайн. Он полезен как для самопроверки, таки и для изучения этой темы, поскольку пошагово покажет весь ход решения до определения корней.

  В калькуляторе предусмотрены различные варианты решения квадратного уравнения. Это по формуле через дискриминант, с помощью выделения полного квадрата и методом разложения на множители.

  Каждый способ решения хорош по-своему, а главное помогает школьникам лучше усвоить столь важную тему как решение квадратных уравнений.

  Желаем успехов!

  Калькулятор корней квадратных уравнений с построением графика · GitHub

  	import tkinter
  	from math import sqrt
  	from tkinter import *
  	import matplotlib
  	import numpy as np
  	import matplotlib. pyplot as plt
  	x_list = [] #список с результатами полученных корней
  	values_list = [] #список вводимых значений
  	def solver(a,b,c):
  	«»» Решает квадратное уравнение (определяет корни) «»»
  	values_list.append(a)
  	values_list.append(b)
  	values_list.append(c)
  	D = b**2 — 4*a*c # дискриминант
  	if D >= 0:
  	x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
  	x2 = (-b — sqrt(D)) / (2*a)
  	text = «Дискриминант равен: %s \n X1 = %s \n X2 = %s \n» % (D, x1, x2)
  	x_list. append(x1)
  	x_list.append(x2)
  	else:
  	text = «Дискриминант равен: %s \n Нет корней у данного уравнения» % D
  	return text
  	def inserter(value):
  	«»» очищает поле для ввода и вставляет туда переданный ей аргумент value «»»
  	output.delete(«0.0″,»end»)
  	output.insert(«0.0»,value)
  	def handler():
  	«»» В зависимости от данных введенных в поля для ввода передает функции inserter либо результат решения уравнения»»»
  	# либо сообщение о неверно введенных данных
  	try:
  	a_val = float(a. get())
  	b_val = float(b.get())
  	c_val = float(c.get())
  	inserter(solver(a_val, b_val, c_val))
  	except ValueError:
  	inserter(«Убедитесь, что вы ввели 3 значения»)
  	def clear(event):
  	«»» Очищает поле ввода «»»
  	caller = event.widget
  	caller.delete(«0», «end»)
  	root = Tk() # объект окна верхнего уровня создается от класса Tk модуля tkinter.
  	#Переменную, связываемую с объектом, часто называют root (корень)
  	root.title(«Калькулятор квадратных уравнений») # название окна
  	root.minsize(425,330) # устанавливаем минимальный размер окна
  	root.resizable(width=False, height=False) # выключаем возможность изменять окно
  	frame = Frame(root) # создаем рабочую область
  	frame. grid()
  	a = Entry(frame, width=3) # поле для ввода первого аргумента уравнения (a)
  	a. bind(«<FocusIn>», clear)
  	a.grid(row=1, column=1,padx=(10,0)) #grid(). Размещает виджеты на сетке. row/column – строка/столбец в сетке,
  	#rowspan/columnspan – сколько строк/столбцов занимает виджет
  	a_lab = Label(frame, text=»x**2+»).grid(row=1,column=2) # текст после первого аргумента
  	b = Entry(frame, width=3) # поле для ввода второго аргумента уравнения (b)
  	b. bind(«<FocusIn>», clear)
  	b.grid(row=1,column=3)
  	b_lab = Label(frame, text=»x+»).grid(row=1, column=4) # текст после второго аргумента
  	c = Entry(frame, width=3) # поле для ввода третьего аргумента уравнения (с)
  	c. bind(«<FocusIn>», clear)
  	c.grid(row=1, column=5)
  	c_lab = Label(frame, text=»= 0″).grid(row=1, column=6) # текст после третьего аргумента
  	#but = Button(frame, text=»Решить»). grid(row=1, column=7, padx=(10,0)) # кнопка решить
  	but = Button(frame, text=»Решить», command=handler).grid(row=1, column=7, padx=(10,0))
  	output = Text(frame, bg=»#FFDAB9″, font=»Arial 12″, width=50, height=18) # область для вывода решения уравнения
  	output. grid(row=2, columnspan=10)
  	root.mainloop() # запуск главного окна
  	def roots(a,b,c):
  	D = b ** 2 — 4 * a * c
  	d = D ** 0. 5
  	x1 = (-b + d) / (2 * a)
  	x2 = (-b — d) / (2 * a)
  	if D > 0:
  	return x1, x2
  	elif x1 == x2:
  	return x1
  	else:
  	exit(‘Complex roots’)
  	k1, k2, k3 = values_list[0], values_list[1], values_list[2]
  	y0 = 0, 0
  	points = x_list[0], x_list[1]
  	freq = 100 # частота дискретизации
  	xi = np. linspace(x_list[0], x_list[1], freq)
  	y = [k1 * t * t + k2 * t + k3 for t in xi] # квадратичная функция
  	plt.scatter(points, y0, color=’red’)
  	plt.plot(xi, y)
  	plt.title(«График квадратичной функции», fontsize=20, fontweight=»bold») # заголовок
  	plt.xlabel(«Значения Х1, Х2 — точки пересечения оси Х», fontsize=14, fontweight=»bold»)# метка оси
  	plt.ylabel(«Ось Y», fontsize=14, fontweight=»bold»)# метка оси
  	plt.tick_params(axis=’both’, labelsize=14) #шрифт делений на осях
  	plt. grid(True)
  	ax = plt.gca()
  	# plot X — axis
  	ax.axhline(y=0, color=’k’)
  	# plot Y — axis
  	ax.axvline(x=0, color=’k’)
  	plt.savefig(‘sqrt.png’)
  	plt.show()
  	print(x_list) #корни уравнения
  	print(values_list) #переданные значения

  Квадратные уравнения. дискриминант., калькулятор онлайн, конвертер

  Решения кубических уравнений с вещественными коэффициентами.

  Универсальные методы. Дискриминант кубического уравнения. Формула Виета для кубического уравнения.

  Кубическим уравнением называется уравнение вида

  • ax3 + bx2 + cx +d = 0 , (1)
  • где a, b,c ,d — постоянные коэффициенты, а х — переменная.

  Мы рассмотрим случай, когда коэффициенты являются веществеными числами.

  Корни кубического уравнения. Нахождение корней (решение) кубического уравнения.

  Число х называется корнем кубического уравнения (1), если при его подстановке уравнение (1) обращается в верное равенство.

  Кубическое уравнение имеет не более трех корней (над комплексным полем всегда три корня, с учетом кратности) . И всегда имеет хотя бы 1 (вещественный) корень. Все возможные случаи состава корней легко определить с помощью знака дискриминанта кубического уравнения, т.е.:

  Итак, возможны только 3 следующих случая:

  • Δ > 0 — тогда уравнение имеет 3 различных корня. (Для продвинутых — три различных вещественных корня)
  • Δ (1 вещественный и пару комплексно сопряженных корней)
  • Δ = 0 — хотя бы 2 корня уравнения совпадают. Т.е. мы имеем дело либо с уравнением с 2умя совпадающими корнями, и еще 1ним отличным от них, либо с уравнением с 3емя совпадающими корнями. (В любом случае все корни вещественные. И уравнение имеет 3 совпадающих корня, тогда и только тогда, когда результант его и его второй производной равен нулю)

  На практике часто , решение кубических уравнений упирается в разложении их на множители. Т.е. алгоритм приблизительно следующий: угадываем один корень, пусть это будет корень α. Затем делим многочлен на (х- α), (если α корень, то он должен поделиться без остатка). Ну а дальше мы имеем дело с обычным квадратным уравнением. Но угадать можно только рациональный корень, и то, если коэффициенты подобраны удачным образом, так что этот корень просто угадывается. Мы же рассмотрим универсальные методы решения кубичесих уравнений.

  Формула Кардано решения кубических уравнений (нахождения корней).

  Это формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения. (Над полем комлексных чисел).

  Канонической формой кубического уравнения называется уравнение вида

  К такому виду можно привести любое кубическое уравнение вида (1) с помощью следующей замены:

  Итак, приступим к вычислению корней. Найдем следующие величины:

  Дискриминант уравнения (2) в этом случае равен

  Дискриминант исходного уравнения (1) будет иметь тот же знак , что и вышеуказанный дискриминант. Корни уравнения (2) выражаются следующим образом:

  Соответственно, если Q>0, то уравнения (2) и (1) будут иметь лишь 1 (вещественный) корень, y₁. Подставим его в (3) и найдем х для уравнения (1). (если вас интересуют также мнимые корни, то просто вычислите еще и y₂, y₃ и подставьте их в (3).

  Если Q1, y₂, y₃ и подставьте их в (3).

  Если же Q =0, то все корни уравнений (1) и (2) вещественные, причем как минимум 2 корня каждого из уравнений совпадают. При этом имеем

  • α = β, и
  • y₁=2α,
  • y₂= y₃ = — α.

  Аналогично подставляем в (3) и получаем ответ.

  Тригонометрическая формула Виета решения кубических уравнений (нахождения корней).

  Эта формула находит решения приведенного кубического уравнения, то есть уравнения вида

  Очевидно, любое уравнение вида (1) можно привести к виду (4), просто поделив его на коэффициент а.

  Итак, алгоритм применения этой формулы:

  1. Вычисляем

  2. Вычисляем

  3. a) Если S>0, то вычисляем

  И наше уравнение имеет 3 корня (вещественных):

  б) Если S

  Тогда единственный корень (вещественный): x₁= -2sgn(R)*|Q|1/2*ch(φ) — a/3

  Для тех, кого интересуют также и мнимые корни:

  • x₂= sgn(R)*|Q|1/2*ch(φ) — a/3 +(3|Q|)1/2 sh(φ)i
  • x₃= sgn(R)*|Q|1/2*ch(φ) — a/3 -(3|Q|)1/2sh(φ)i

  Тренировочные упражнения по решению квадратных уравнений

  Попрактикуйтесь! Попробуйте решить следующие уравнения. На каждое уравнение смотрите в следующей последовательности:

  • если уравнение подходит под первый лайфхак (когда a + b + c = 0), то решаем с его помощью;
  • если уравнение подходит под второй лайфхак (когда a + c = b), то решаем с его помощью;
  • если уравнение подходит под третий лайфхак (теорему Виета), решаем с его помощью;
  • и только в самом крайнем случае – если ничего не подошло и/или с помощью теоремы Виета решить не получилось – считаем дискриминант. Еще раз: дискриминант – в самую последнюю очередь!
  1. Решите уравнение x2 + 3x + 2 = 0

     Просмотреть решение и ответ

     См. лайфхак второйВ данном уравнении a = 1, b = 3, c = 2. Таким образом, a + c = b, откуда x_1=-1, x_2 = -\frac{c}{a} = -\frac{2}{1}=-2.Ответ: -1, -2.

  2. Решите уравнение x2 + 8x – 9 = 0

     Просмотреть решение и ответ

     См. лайфхак первыйВ данном уравнении a = 1, b = 8, c = -9. Таким образом, a + b + c = 0, откуда x_1=1, x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-9}{1}=-9.2 – 4 \cdot 15 \cdot 2 = 121 – 120 = 1.x_1=\frac{11-1}{2 \cdot 15}=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}x_2= \frac{11+1}{2 \cdot 15}=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}Ответ: \frac{1}{3}, \frac{2}{5}.

  3. Решите уравнение x2 + 9x + 20 = 0

     Просмотреть решение и ответ

     См. лайфхак третий (теорема Виета)В данном уравнении a = 1, поэтому можем записать, что \begin{cases} x_1+x_2 = -9 \\ x_1 \cdot x_2 = 20 \end{cases} Подбором устанавливаем, что x_1 = -4, x_2 = -5.Ответ: -4, -5.

  4. Решите уравнение x2 – 7x – 30 = 0

     Просмотреть решение и ответ

     См. лайфхак третий (теорема Виета)В данном уравнении a = 1, поэтому можем записать, что \begin{cases} x_1+x_2 = 7 \\ x_1 \cdot x_2 = -30 \end{cases} Подбором устанавливаем, что x_1 = 10, x_2 = -3.Ответ: 10, -3.

  5. Решите уравнение x2 – 19x + 18 = 0

     Просмотреть решение и ответ

     См. лайфхак первыйВ данном уравнении a = 1, b = -19, c = 18. Таким образом, a + b + c = 0, откуда x_1=1, x_2 = \frac{c}{a} = \frac{18}{1}=18.Ответ: 1, 18.

  6. Решите уравнение x2 + 7x + 6 = 0

     Просмотреть решение и ответ

     См. лайфхак второйВ данном уравнении a = 1, b = 7, c = 6. Таким образом, a + c = b, откуда x_1=-1, x_2 = -\frac{c}{a} = -\frac{6}{1}=-6.Ответ: -1, -6.

  7. Решите уравнение x2 – 8x + 12 = 0

     Просмотреть решение и ответ

     См. лайфхак третий (теорема Виета)В данном уравнении a = 1, поэтому можем записать, что \begin{cases} x_1+x_2 = 8 \\ x_1 \cdot x_2 = 12 \end{cases} Подбором устанавливаем, что x_1 = 6, x_2 = 2.Ответ: 6, 2.

  8. Решите уравнение x2 – x – 6 = 0

     Просмотреть решение и ответ

     См. лайфхак третий (теорема Виета)В данном уравнении a = 1, поэтому можем записать, что \begin{cases} x_1+x_2 = 1 \\ x_1 \cdot x_2 = -6 \end{cases} Подбором устанавливаем, что x_1 = 3, x_2 = -2.Ответ: 3, -2.

  9. Решите уравнение x2 – 15x – 16 = 0

     Просмотреть решение и ответ

     См. лайфхак второйВ данном уравнении a = 1, b = -15, c = -16. Таким образом, a + c = b, откуда x_1=-1, x_2 = -\frac{c}{a} = -\frac{-16}{1}=16.Ответ: -1, 16.

  10. Решите уравнение x2 + 11x – 12 = 0

      Просмотреть решение и ответ

      См. лайфхак первыйВ данном уравнении a = 1, b = 11, c = -12. Таким образом, a + b + c = 0, откуда x_1=1, x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-12}{1}=-12.Ответ: 1, -12.

  Дискриминант

  Эту формулу надо знать наизусть

  Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение

  А именно:

  1. Если
  2. Если = 0, есть ровно один корень;
  3. Если > 0, корней будет два.

  Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:. Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант: = 1, = −8, = 12; = (−8)2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

  Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант: = 1, = −8, = 12; = (−8)2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

  Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение: = 5; = 3; = 7; = 32 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

  Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение: = 1; = −6; = 9; = (−6)2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

  Дискриминант равен нулю — корень будет один.

  Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок

  Выбирайте сами: скорость или качество.

  Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

  Общие сведения

  Решение квадратных уравнений — одно из ключевых моментов в математике. Ещё древние вавилоняне и греки пытались найти закономерности при решении таких равенств. Но первым, кто описал методы нахождения дополнением квадрата, был индийский философ Будхаяма. Именно он предложил записывать уравнения в виде: ax 2 = c и ax 2 + bx = c. В дальнейшем способы усовершенствовались. Так, Евклид предложил метод геометрического вычисления ответа.

  Но наиболее значимым стало открытие Буля. Изучая формулы различных уравнений, он пришёл к выводу, что выражения почти всегда можно упростить, заменив переменные другим набором, содержащим новые неизвестные. При этом, найдя их, определить первоначальные уже не составляет труда.

  Термин «дискриминант» был придуман не математиками, но успешно стал ими использоваться при вычислении квадратичных функций. Произошёл он от латинского слова discriminans, что в дословном переводе означает «разделяющий»

  Важной величиной стало значение, придуманное Булем и имеющее вид b2 — 4ac. Учёный открыл, что после того как переменные линейно изменятся, дискриминант будет равняться первоначальному, умноженному на член, находимому из функции поведения неизвестных

  При решении равенств, содержащих формулу дискриминанта и его корней, используют формулу для быстрого определения количества возможных решений и их числового нахождения. Математически определение записывают следующим образом: p (x) = m + mx + ⋯ + mx, m ≠ 0, где: D (p) = m∏(m − m). То есть дискриминантом многочлена p (x) является сумма произведений корней на неизвестный коэффициент в основном поле их существования.

  Примеры решения задач

  Предстáвим, что возникла необходимость построить небольшую комнату, площадь которой 8 м2. При этом длина комнаты должна быть в два раза больше её ширины. Как определить длину и ширину такой комнаты?

  Сделаем примерный рисунок этой комнаты, который иллюстрирует вид сверху:

  Обозначим ширину комнаты через x. А длину комнаты через 2x, потому что по условию задачи длина должна быть в два раза больше ширины. Множитель 2 и выполнит это требование:

  Поверхность комнаты (её пол) является прямоугольником. Для вычисления площади прямоугольника, нужно длину данного прямоугольника умножить на его ширину. Сделаем это:

  2x × x

  По условию задачи площадь должна быть 8 м2. Значит выражение 2x × x следует приравнять к 8

  2x × x = 8

  Получилось уравнение. Если решить его, то можно найти длину и ширину комнаты.

  Первое что можно сделать это выполнить умножение в левой части уравнения:

  2×2 = 8

  В результате этого преобразования переменная x перешла во вторую степень. А мы говорили, что если переменная, входящая в уравнение, возведенá во вторую степень (в квадрат), то такое уравнение является уравнением второй степени или квадратным уравнением.

  Для решения нашего квадратного уравнения воспользуемся изученными ранее тождественными преобразованиями. В данном случае можно разделить обе части на 2

  Теперь воспользуемся квадратным корнем. Если x2 = 4, то . Отсюда x = 2 и x = −2.

  Через x была обозначена ширина комнаты. Ширина не должна быть отрицательной, поэтому в расчёт берём только значение 2. Такое часто бывает при решении задачи, в которых применяется квадратное уравнение. В ответе получаются два корня, но условию задачи удовлетворяет только один из них.

  А длина была обозначена через 2x. Значение x теперь известно, подставим его в выражение 2x и вычислим длину:

  2x = 2 × 2 = 4

  Значит длина равна 4 м, а ширина 2 м. Это решение удовлетворяет условию задачи, поскольку площадь комнаты равна 8 м2

  4 × 2 = 8 м2

  Ответ: длина комнаты составляет 4 м, а ширина 2 м.

  Пример 2. Огородный участок, имеющий форму прямоугольника, одна сторона которого на 10 м больше другой, требуется обнести изгородью. Определить длину изгороди, если известно, что площадь участка равна 1200 м2

  Решение

  Длина прямоугольника, как правило, больше его ширины. Пусть ширина участка x метров, а длина (x + 10) метров. Площадь участка составляет 1200 м2. Умножим длину участка на его ширину и приравняем к 1200, получим уравнение:

  x(x + 10) = 1200

  Решим данное уравнение. Для начала раскроем скобки в левой части:

  Перенесём 1200 из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется

  Решим получившееся уравнение с помощью формул:

  Несмотря на то, что квадратное уравнение имеет два корня, в расчёт берём только значение 30. Потому что ширина не может выражаться отрицательным числом.

  Итак, через x была обозначена ширина участка. Она равна тридцати метрам. А длина была обозначена через выражение x + 10. Подставим в него найденное значение x и вычислим длину:

  x + 10 = 30 + 10 = 40 м

  Значит длина участка составляет сорок метров, а ширина тридцать метров. Эти значения удовлетворяют условию задачи, поскольку если перемножить длину и ширину (числа 40 и 30) получится 1200 м2

  40 × 30 = 1200 м2

  Теперь ответим на вопрос задачи. Какова длина изгороди? Чтобы её вычислить нужно участка.

  Периметр прямоугольника это сумма всех его сторон. Тогда:

  P = 2(a + b) = 2 × (40 + 30) = 2 × 70 = 140 м.

  Ответ: длина изгороди огородного участка составляет 140 м.

  Смысл дискриминанта

  Дискриминант — одно из эффективных решений квадратных выражений. С его помощью легко можно выявить, сколько корней имеет уравнение или установить, что их нет. Применять его можно как к полным квадратным равенствам, так и неполным. Но всё же во втором случае использовать дискриминант не нужно.

  Эта тема изучается в седьмом и восьмом классе средней школы. Лучше понять смысл параметра поможет простой пример. Пусть имеется уравнение вида m2 + 2m — 8 = 0. Не имея понятие о дискриминанте, решение уравнения сводится к приведению его к формуле квадрата суммы m2 + 2m +1 — 1- 8 = 0. Добавление и вычитание единицы возможно, так как в итоге получается сложение с нулём.

  Первые три члена представляют собой квадрат суммы, который можно свернуть по формуле сокращённого умножения до вида a2 +2ab + b2 = (a+b)2. Отсюда, применительно к рассматриваемому примеру, получится: (m + 1)2 — 1 — 8 = 0. После преобразований с переносом неизвестного в одну сторону (а известных — в другую) и раскрытием скобки получится равенство: (m + 1)2 = 9. То есть возможными решениями будут m = 2 для (m + 1) = 3 и m = -4 для (m + 1) = -3.

  В общем виде все эти преобразования можно выполнить в следующей последовательности:

  Уравнение am2 + bm + c = 0 нужно переписать в приведённом виде, то есть разделить каждый член на первый коэффициент: m2 + bm / a + c / a = 0.
  Согласно формуле сокращённого умножения нужно добиться того, чтобы при неизвестном во втором члене стояло удвоенное произведение. Поэтому числитель и знаменатель нужно помножить на двойку: m2 + 2bm / 2a + c / a = 0.
  Полученное выражение стоит переписать в более наглядном виде m 2 + 2 m * (b /2 a) + c / a = 0. Это равенство являлось бы приведённым к формуле сокращённого умножения, если бы в последнем члене был квадрат.
  Ко второму члену следует прибавить и вычесть (b/2a)2. В итоге получится m2 + 2m * (b/2a) + (b/2a)2 — (b/2a)2 + c/a = 0.
  Первые три слагаемые — это классическая формула квадрата суммы. Применив её, получится: (m + b/2a)2 = (b/2a)2 — c/a.
  Затем нужно раскрыть скобки и привести к общему знаменателю. Получится конструкция вида (m + b/2a)2 = b 2 -4 ac /4 a 2.
  Умножив на 4a2 обе части. Выражение примет вид (2 am + b)2 = b 2 — 4 ac.

  Вычисления на онлайн-калькуляторе

  Поиск решений уравнения через дискриминант — довольно простая тема. Необходимо запомнить всего две формулы и свойства, зависящие от значения дискриминанта. Но на практике попадаются примеры содержащие интегралы, логарифмы, экспоненциальные функции. При этом всё это может быть записано в виде сложных дробей.

  Решая задания самостоятельно, даже имея большой опыт и знания, есть вероятность допущения ошибки. Поэтому при вычислении сложных примеров стоит использовать онлайн-калькуляторы.

  Из сервисов, предлагающих такие услуги, можно отметить:

  • Math.semestr;
  • Kontrolnaya-rabota;
  • Onlinemschool;
  • Wpcalc;
  • Webmath.

  Эти российские сайты. Их интерфейс интуитивно понятен. Для выполнения вычислений не нужно указывать персональные данные или платить за услуги. От пользователя лишь требуется записать в предложенную форму квадратное уравнение или даже матрицу, состоящую из них. Программа автоматически выполнит нужный расчёт и предоставит пошаговое решение. Кроме того, на сайтах решателей уравнений содержится в кратком виде теоретический материал и типовые примеры с подробным решением.

  Даже ничего не понимающий в дискриминантах человек, воспользовавшись онлайн-калькулятором несколько раз, сможет восполнить пробелы в знаниях, самостоятельно научиться решать примеры, узнает, как правильно должен писаться дискриминант. Использование онлайн-сайтов для математических решений позволяет сэкономить время и получить точный результат.

  Предыдущая
  МатематикаТранспортир — как правильно пользоваться инструментом для построения и измерения углов?
  Следующая
  МатематикаКак решать пропорции — правила, методы и примеры вычислений

  Пример неравенства через дискриминант

  Решим задачи несколько иного типа: дано равенство -3*x²-6*x+c = 0. Необходимо найти такие значения c, для которых D>0.

  В данном случае известно лишь 2 из 3 коэффициентов, поэтому рассчитать точное значение дискриминанта не получится, однако известно, что он является положительным. Последний факт используем при составлении неравенства: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Решение полученного неравенства приводит к результату: c>-3.

  Проверим полученное число. Для этого вычислим D для 2 случаев: c=-2 и c=-4. Число -2 удовлетворяет полученному результату (-2>-3), соответствующий дискриминант будет иметь значение: D = 12>0. В свою очередь, число -4 не удовлетворяет неравенству (-4

  Таким образом, любые числа c, которые больше -3, будут удовлетворять условию.

  Решение квадратных уравнений.

  Решение полных квадратных уравнений.

  Квадратные уравнения решаются просто. По формулам и чётким несложным правилам. На первом этапе надо заданное уравнение привести к стандартному виду, т.е. к виду:

  Если уравнение вам дано уже в таком виде — первый этап делать не нужно. ) Главное — правильно определить все коэффициенты, а, b и c.

  Формула для нахождения корней квадратного уравнения выглядит так:

  Выражение под знаком корня называется дискриминант. Но о нём — ниже. Как видим, для нахождения икса, мы используем только a, b и с. Т.е. коэффициенты из квадратного уравнения. Просто аккуратно подставляем значения a, b и с в эту формулу и считаем. Подставляем со своими знаками! Например, в уравнении:

  а =1; b = 3; c = -4. Вот и записываем:

  Пример практически решён:

  Это ответ.

  Всё очень просто. И что, думаете, ошибиться нельзя? Ну да, как же…

  Самые распространённые ошибки – путаница со знаками  значений  a, b и с.  Вернее, не с их знаками (где там путаться?),  а с подстановкой отрицательных значений в формулу для вычисления корней. Здесь спасает подробная запись формулы с конкретными числами. Если есть проблемы с вычислениями, так и делайте!

  Предположим, надо вот такой примерчик решить:

  Здесь a = -6; b = -5; c = -1

  Допустим, вы знаете, что ответы у вас редко с первого раза получаются.

  Ну и не ленитесь. Написать лишнюю строчку займёт секунд 30. А количество ошибок резко сократится. Вот и пишем подробно, со всеми скобочками и знаками:

  Это кажется невероятно трудным, так тщательно расписывать. Но это только кажется. Попробуйте. Ну, или выбирайте. Что лучше, быстро, или правильно?
  Кроме того, я вас обрадую. Через некоторое время отпадёт нужда так тщательно всё расписывать. Само будет правильно получаться. Особенно, если будете применять практические приёмы, что описаны чуть ниже. Этот злой пример с кучей минусов решится запросто и без ошибок!

  Но, частенько, квадратные уравнения выглядят слегка иначе. Например, вот так:

  Или так:

  Узнали?) Да! Это неполные квадратные уравнения.

  Решение неполных квадратных уравнений.

  Их тоже можно решать по общей формуле. Надо только правильно сообразить, чему здесь равняются a, b и с.

  Сообразили? В первом примере  a = 1; b = -4; а c? Его вообще нет! Ну да, правильно. В математике это означает, что c = 0! Вот и всё. Подставляем в формулу ноль вместо c, и всё у нас получится. Аналогично и со вторым примером. Только ноль у нас здесь не с, а b !

  Но неполные квадратные уравнения можно решать гораздо проще. Безо всяких формул. Рассмотрим первое неполное уравнение. Что там можно сделать в левой части? Можно икс вынести за скобки! Давайте вынесем.

  И что из этого? А то, что произведение равняется нулю тогда, и только тогда, когда какой-нибудь из множителей равняется нулю! Не верите? Хорошо, придумайте тогда два ненулевых числа, которые при перемножении ноль дадут!
  Не получается? То-то…
  Следовательно, можно уверенно записать:
  х₁ = 0, х₂ = 4.

  Всё. Это и будут корни нашего уравнения. Оба подходят. При подстановке любого из них в исходное уравнение, мы получим верное тождество 0 = 0. Как видите, решение куда проще, чем по общей формуле. Замечу, кстати, какой икс будет первым, а какой вторым — абсолютно безразлично. Удобно записывать по порядочку, х₁ — то, что меньше, а х₂ — то, что больше.

  Второе уравнение тоже можно решить просто. Переносим 9 в правую часть. Получим:

  Остаётся корень извлечь из 9, и всё. Получится:

  Тоже два корня. х₁ = -3, х₂ = 3.

  Так решаются все неполные квадратные уравнения. Либо с помощью вынесения икса за скобки, либо простым переносом числа вправо с последующим извлечением корня.
  Спутать эти приёмы крайне сложно. Просто потому, что в первом случае вам придется корень из икса извлекать, что как-то непонятно, а во втором случае выносить за скобки нечего…

  Если дискриминант равен нулю

  А сколько корней будет, если дискриминант равен нулю? Давайте рассуждать.

  Формулы корней выглядят так: \(x_{1}=\)\(\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\) и \(x_{2}=\)\(\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).  И если дискриминант – ноль, то и корень из него тоже ноль.  Тогда получается:

  \(x_{1}=\)\(\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\)\(=\)\(\frac{-b+\sqrt{0}}{2a}\)\(=\)\(\frac{-b+0}{2a}\)\(=\)\(\frac{-b}{2a}\)

  \(x_{2}=\)\(\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\)\(=\)\(\frac{-b-\sqrt{0}}{2a}\)\(=\)\(\frac{-b-0}{2a}\)\(=\)\(\frac{-b}{2a}\)

  То есть, значения корней уравнения будут совпадать, потому что прибавление или вычитание нуля ничего не меняет. 2-4x+4\) будет выглядеть вот так:

  Типовые примеры

  Даже зная правило поиска корней через дискриминант, научиться быстро вычислять корни уравнения не получится, если не практиковаться. Поэтому решение практических задач обязательно входит школьную в программу обучения:

  Дано равенство 6×2 — 13x +2 = 0. Нужно определить количество его корней, если они существуют, их числовые значения. В первую очередь нужно нарисовать таблицу, в которую выписаны все заданные коэффициенты. Так: a = 6; b = -13; c = 2. Эти значения нужно подставить в формулу дискриминанта и найти его: D = b2 — 4ac = (-13)2 — 4 * 6 *2 = 149 — 68 = 121. То есть D больше нуля. Значит, согласно правилу, уравнение будет иметь два корня. Теперь их нужно рассчитать: x1 = (13 + √126) / 2 * 6 = 2; x2 = (13 — √126) / 2 * 6 = 1/6. Задание решено.

  Определить возможность решения уравнения 4m2 — 2m — 3 = 2. Для приведения к удобному виду двойку нужно перенести влево. В итоге получится 4m2 — 2m — 5 =0. Дискриминант равняется: D = 4 — 4 * 4 * (-5) = 4 + 80 = 84. Так как он больше нуля, то корней будет два. Тут сложность заключается в том, что нет целого числа, которое равнялось бы корню из √84. Однако, √84 = √4 * √21 = 2 √21. Используя формулы, получаем что m = (2 ± 2√21) / 2 * 4. Двойку можно вынести в числителе за скобки, получив тем самым удобную запись: m = (2 * (1 ±√21) / 2 * 4 = (1 ± √21) / 4. Это выражение и есть искомое решение.

  Решить уравнение: x /3 — x2 / 4 + 1 /6 = 3x / 2 — 4×2 / 3. Для упрощения равенства нужно правую и левую сторону умножить на двенадцать: 12x / 3 — 12 * x2 / 4 + 12 /6 = (3 * 12x) / 2 — (4 * 12×2) / 3. Получится 4 x — 3 x 2 + 2 = 18 x — 16 x 2. Члены нужно привести к стандарту: 4 x — 3 x 2 + 2 — 18 x + 16 x 2 = 13 x 2 — 14 x + 2 = 0. Считаем дискриминант: D = (-14)2 — 4 * 13 * 2 = 92. Он больше нуля, поэтому есть смысл искать корни: X = (14 ± √ 92) / 2 * 13 = (14 ± 2 √ 23) / 2 * 13 = 2 (7±√23) / 2 *13 = (7± √23) /13.

  Лайфхак третий (теорема, обратная теореме Виета). Если a = 1, то \begin{cases} x_1+x_2 = -b \\ x_1 \cdot x_2 = c \end{cases}

  Рассмотрим уравнение x2 – 12x + 35 = 0. В нём a = 1, b = -12, c = 35. Ни под первый, ни под второй лайфхак оно не подходит – условия не соблюдаются. Если бы оно подходило под первый или под второй, то мы бы обошлись без теоремы Виета.

  Само использование теоремы Виета подразумевает понимание некоторых полезных приёмов.

  Первый приём. Не стоит стесняться записывать саму систему вида \begin{cases} x_1+x_2 = -b \\ x_1 \cdot x_2 = c \end{cases} , которая получается при использовании теоремы Виета. Не нужно пытаться во что бы ты ни стало решить уравнение абсолютно устно, без письменных пометок, как это делают “продвинутые пользователи”.

  Для нашего уравнения x2 – 12x + 35 = 0 эта система имеет вид

  \begin{cases} x_1+x_2 = 12 \\ x_1 \cdot x_2 = 35 \end{cases}

  Теперь нам нужно устно подобрать числа x_1 и x_2 , которые удовлетворяют нашей системе, т. е. в сумме дают 12, а при умножении 35.

  Так вот, второй приём заключается в том, что начинать подбор нужно не с суммы, а с произведения. Посмотрим на второе уравнение системы и зададимся вопросом: какие числа при умножении дают 35? Если всё в порядке с таблицей умножения, то сразу приходит на ум ответ: 7 и 5. И только теперь подставим эти числа в первое уравнение: будем иметь 7 + 5 = 12, что является верным равенством. Итак, числа 7 и 5 удовлетворяют обоим уравнениям, поэтому мы сразу пишем:

  x_1 = 7, x_2 = 5

  Третий приём заключается в том, что если числа не удаётся подобрать быстро (в течение 15-20 секунд), то вне зависимости от причины нужно считать дискриминант и использовать формулу корней. Почему? Потому что корни могут не подбираться, если уравнение их вообще не имеет (дискриминант отрицательный), или же корни представляют собой числа, не являющиеся целыми.

  Задача на определение дискриминанта

  Приведем простой пример, как найти дискриминант. Пусть дано такое равенство: 2*x² — 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

  Приведем его к стандартному виду, получаем: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, откуда приходим к равенству: -2*x²+2*x-11 = 0. Здесь a=-2, b=2, c=-11.

  Теперь можно воспользоваться названной формулой для дискриминанта: D = 2² — 4*(-2)*(-11) = -84. Полученное число является ответом на поставленную задачу. Поскольку в примере дискриминант меньше нуля, то можно сказать, что данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Его решением будут только числа комплексного типа.

  Неполные квадратные уравнения

  Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

  1. 2 + 9 = 0;
  2. 2 − 16 = 0.

  Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

  Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: = = 0. В этом случае уравнение принимает вид a2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: = 0.

  Рассмотрим остальные случаи. Пусть = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида 2 + = 0. Немного преобразуем его:

  Решение неполного квадратного уравнения

  Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−/) ≥ 0. Вывод:

  1. Если в неполном квадратном уравнении вида 2 + = 0 выполнено неравенство (−/) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
  2. Если же (−/)

  Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−/) ≥ 0. Достаточно выразить величину 2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

  Теперь разберемся с уравнениями вида 2 + = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

  Вынесение общего множителя за скобку

  Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

  2 − 7 = 0 ⇒ · ( − 7) = 0 ⇒ ₁ = 0; ₂ = −(−7)/1 = 7.

  52 + 30 = 0 ⇒ 52 = −30 ⇒ 2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

  42 − 9 = 0 ⇒ 42 = 9 ⇒ 2 = 9/4 ⇒ ₁ = 3/2 = 1,5; ₂ = −1,5.

  1. Теорема Виета
  2. Следствия из теоремы Виета
  3. Тест на тему «Значащая часть числа»
  4. Правила комбинаторики в задаче B6
  5. Как представить обычную дробь в виде десятичной
  6. Задача B15: частный случай при работе с квадратичной функцией

  Дискриминант

                                       

  ★ Дискриминант

  В дискриминантом многочлена p = a 0 a 1 x (1) ⋯ a n x n (а н х) {\свойства стиль отображения значение Р=ох{0} ох{1}х \cdots ох{н}х^{н}}, a n (а) ≠ 0 {\свойства стиль отображения значение ох{Н}\neq 0}, является продуктом

  D p = a n 2 n (Д р = н 2) − 2 ∏ i &lt, j α i − α j 2 (Дж 2) {\displaystyle Dp=a_{n}^{2n-2}\prod _{i D &gt, 0 {\displaystyle D&gt, 0} вещественных корней — два, и они вычисляются по формуле x 1, 2 = − b ± b 2 (Б 2) − 4 a c 2 a (4 с 2) {\displaystyle x_{1. {2}}{4}}}, тогда все корни являются комплексными.

• Если q = 0 {\свойства стиль отображения значение q=0} и s &ГТ 0 {\свойства стиль отображения значение индекса S&ГТ 0}, а затем один действительный корень кратности 2 и двух комплексных корней.

Решение квадратных уравнений онлайн калькулятор.

Основные понятия и определения.

Квадратным уравнением называется уравнение следующего вида: ax2+bx+c=0, где a, b, с — любые действительные числа, но a не равно 0, x — неизвестная искомая переменная.

Коэффициенты a, b, c имеют соответственно названия: a_{— старший коэффициент (коэффициент при ), — второй коэффициент (коэффициент при ), — свободный член.}

Если старший коэффициент _{, то квадратное уравнение является приведенным, если же , то неприведенным.}

Квадратное уравнение называется полным, если оно содержит все три слагаемых (то есть коэффициенты  _{и не равны нулю).}

Квадратное уравнение называется неполным, если оно содержит не все три слагаемых ( то есть коэффициент  _{или  , или  и ).}

Корнем квадратного уравнения называется такое значение переменной _{, при подстановке которого квадратный трехчлен обращается в ноль.}

Решить квадратное уравнение – это значит найти все его корни или установить, что корней нет.

Теория для школьников.

При решении квадратного уравнения  _{школьникам необходимо придерживаться следующей схемы:}

1)      Найти так называемый дискриминант _{по  формуле:}

2)      Найти корни квадратного уравнения или установить их отсутствие, опираясь на следующие рассуждения:

— Если _{, то квадратное уравнение корней не имеет;}

— Если _{, то квадратное уравнение имеет два корня, которые находятся по формулам:}

 

— Если _{, то квадратное уравнение имеет один корень, который находится по формуле:}

 

Решение квадратного уравнения  _{также можно получить, используя следующие формулы :}

1)      Найти значение _:

2)      Найти дискриминант _{по  формуле:}

3)      Найти корни квадратного уравнения или установить их отсутствие, опираясь на следующие рассуждения:

— Если _{, то квадратное уравнение корней не имеет;}

— Если _{, то квадратное уравнение имеет два корня, которые находятся по формулам:}

 

— Если _{, то квадратное уравнение имеет один корень, который находится по формуле:}

 

Теория для студентов.

При обучении в высшем учебном заведении нередко приходится сталкиваться с таким понятием, как комплексные корни уравнения.

Решение квадратных уравнений студентами – именно такой случай.

Напомним, что комплексное число имеет вид:

Где  _{и  — действительные числа,  — так называемая мнимая единица. При этом  носит название действительной части, а — мнимой части комплексного числа.}

Мнимая единица обладает свойством:

Именно свойство мнимой единицы и будет использовано при решении квадратных уравнений.

При решении квадратного уравнения _{студентам необходимо придерживаться следующей схемы:}

1)      Найти так называемый дискриминант _{по  формуле:}

2)      Найти корни квадратного уравнения, опираясь на следующие рассуждения:

— Если _{, то квадратное уравнение имеет два комплексных корня:}

— Если _{, то квадратное уравнение имеет два корня, которые находятся по формулам:}

 

— Если _{, то квадратное уравнение имеет один корень, который находится по формуле:}

 

Решение квадратного уравнения  _{также можно получить, используя следующие формулы :}

1)      Найти значение _:

2)      Найти дискриминант _{по  формуле:}

3)      Найти корни квадратного уравнения, опираясь на следующие рассуждения:

— Если _{, то квадратное уравнение имеет два комплексных корня, которые находятся по формулам:}

 

— Если _{, то квадратное уравнение имеет два корня, которые находятся по формулам:}

 

— Если _{, то квадратное уравнение имеет один корень, который находится по формуле:}

 

Примеры решения квадратных уравнений для школьников.

Пример 1: Решить квадратное уравнение _.

Данное квадратное уравнение является полным неприведенным и имеет следующие коэффициенты: _.

Найдем дискриминант: _.

Так как _{, то квадратное уравнение имеет два корня.}

Найдем их:

Таким образом, решением квадратного уравнения будут корни

Ответ:

 

Пример 2: Решить квадратное уравнение _.

Данное квадратное уравнение является полным неприведенным и имеет следующие коэффициенты: _.

Найдем дискриминант: _.

Так как _{, то квадратное уравнение не имеет корней.}

 

Ответ: Корней нет.

 

Пример 3: Решить квадратное уравнение _.

Данное квадратное уравнение является полным приведенным и имеет следующие коэффициенты: _.

Найдем дискриминант: _.

Так как _{, то квадратное уравнение имеет один корень.}

Найдем его:

Таким образом, решением квадратного уравнения будет корень

Ответ:

 

Пример 4: Решить квадратное уравнение _.

Данное квадратное уравнение является полным неприведенным и имеет следующие коэффициенты: _.

Решим заданное уравнение вторым способом, предложенным в теории:

Тогда _.

Найдем дискриминант: _.

Так как _{, то квадратное уравнение имеет два корня.}

Найдем их:

Таким образом, решением квадратного уравнения будут корни

Ответ:

Пример 5: Решить квадратное уравнение _.

Данное квадратное уравнение является полным неприведенным.

Для удобства расчетов умножим обе части уравнения на 9 и получим:

Будем решать полученное уравнение. Оно имеет следующие коэффициенты: _.

Тогда _.

Найдем дискриминант: _.

Так как _{, то квадратное уравнение имеет два корня.}

Найдем их:

Таким образом, решением квадратного уравнения будут корни

Ответ:

 

Пример 6: Решить квадратное уравнение _.

Данное квадратное уравнение является полным неприведенным и имеет следующие коэффициенты: _.

Тогда _.

Найдем дискриминант: _.

Так как _{, то квадратное уравнение имеет один корень.}

Найдем его:

Таким образом, решением квадратного уравнения будет корень

Ответ:

Во всех примерах, рассмотренных выше, были заданы полные квадратные уравнения. Как же решать неполные уравнения? Рассмотрим решения на примерах.

 

Пример 7: Решить квадратное уравнение _.

Данное квадратное уравнение является неполным неприведенным.

Можно решать данное квадратное уравнение по представленным выше схемам. Воспользуемся первой из них.

Квадратное уравнение имеет следующие коэффициенты: _.

Найдем дискриминант: _.

Так как _{, то квадратное уравнение имеет два корня.}

Найдем их:

Таким образом, решением квадратного уравнения будут корни

Но возможно решить квадратное уравнение следующим, более простым, образом:

Поэтому либо _{, либо}

Ответ:

 

Пример 8: Решить квадратное уравнение _.

Данное квадратное уравнение является неполным неприведенным.

Квадратное уравнение имеет следующие коэффициенты: _.

Найдем дискриминант: _.

Так как _{, то квадратное уравнение имеет два корня. Найдем их:}

Таким образом, решением квадратного уравнения будут корни

Но возможно решить квадратное уравнение следующим, более простым, образом:

Ответ:

 

Пример 9: Решить квадратное уравнение _.

Данное квадратное уравнение является неполным неприведенным и имеет следующие коэффициенты: _.

Будем решать его следующим образом:

Данное квадратное уравнение корней не имеет.

Ответ: Корней нет.

 

Пример 10: Решить квадратное уравнение _.

Данное квадратное уравнение является неполным неприведенным и имеет следующие коэффициенты: _.

Будем решать его следующим образом:

Данное квадратное уравнение имеет один корень _.

Ответ: _.

 

Примеры решения квадратных уравнений для студентов.

Пример 1: Решить квадратное уравнение _.

Данное квадратное уравнение является полным неприведенным и имеет следующие коэффициенты: _.

Найдем дискриминант: _.

Так как _{, то квадратное уравнение имеет два корня.}

Найдем их:

Таким образом, решением квадратного уравнения будут корни

Ответ:

 

Пример 2: Решить квадратное уравнение _.

Данное квадратное уравнение является полным неприведенным и имеет следующие коэффициенты: _.

Найдем дискриминант: _.

Так как _{, то квадратное уравнение имеет два комплексных корня:}

Таким образом, решением квадратного уравнения будут корни

Ответ:

 

Пример 3: Решить квадратное уравнение _.

Данное квадратное уравнение является полным приведенным и имеет следующие коэффициенты: _.

Найдем дискриминант: _.

Так как _{, то квадратное уравнение имеет один корень.}

Найдем его:

Таким образом, решением квадратного уравнения будет корень

Ответ:

 

Пример 4: Решить квадратное уравнение _.

Данное квадратное уравнение является полным неприведенным и имеет следующие коэффициенты: _.

Воспользуемся вторым способом решения квадратных уравнений студентами, описанный в теории:

Тогда _.

Найдем дискриминант: _.

Так как _{, то квадратное уравнение имеет два корня.}

Найдем их:

Таким образом, решением квадратного уравнения будут корни

Ответ:

 

Пример 5: Решить квадратное уравнение _.

Данное квадратное уравнение является полным неприведенным и имеет следующие коэффициенты: _.

Тогда _.

Найдем дискриминант: _.

Так как _{, то квадратное уравнение имеет один корень.}

Найдем его:

Таким образом, решением квадратного уравнения будет корень

Ответ:

 

Пример 6: Решить квадратное уравнение _.

Данное квадратное уравнение является полным приведенным и имеет следующие коэффициенты: _.

Тогда _.

Найдем дискриминант: _.

Так как _{, то квадратное уравнение имеет два комплексных корня:}

Найдем их:

Таким образом, решением квадратного уравнения будут корни

Ответ:

Во всех примерах, рассмотренных выше, были заданы полные квадратные уравнения. Как же решать неполные уравнения? Рассмотрим решения на примерах.

 

Пример 7:  Решить квадратное уравнение _.

Данное квадратное уравнение является неполным неприведенным.

Можно решать данное квадратное уравнение по представленным выше схемам. Воспользуемся первой из них.

Квадратное уравнение имеет следующие коэффициенты: _.

Найдем дискриминант: _.

Так как _{, то квадратное уравнение имеет два корня.}

Найдем их:

Таким образом, решением квадратного уравнения будут корни

Но возможно решить квадратное уравнение следующим, более простым, образом:

Поэтому либо _{, либо}

Ответ:

 

Пример 8: Решить квадратное уравнение _.

Данное квадратное уравнение является неполным неприведенным.

Квадратное уравнение имеет следующие коэффициенты: _.

Найдем дискриминант: _.

Так как _{, то квадратное уравнение имеет два корня. Найдем их:}

Таким образом, решением квадратного уравнения будут корни

Но возможно решить квадратное уравнение следующим, более простым, образом:

Ответ:

 

Пример 9: Решить квадратное уравнение _.

Данное квадратное уравнение является неполным неприведенным и имеет следующие коэффициенты: _.

Будем решать его следующим образом:

Ответ:

 

Пример 10: Решить квадратное уравнение _.

Данное квадратное уравнение является неполным неприведенным и имеет следующие коэффициенты: _.

Будем решать его следующим образом:

Данное квадратное уравнение имеет один корень _.

Ответ: _.

 

Онлайн калькулятор: Дискриминант

В алгебре дискриминант полинома — это полиномиальная функция его коэффициентов, что позволяет вывести некоторые свойства корней, не вычисляя их.

Вы, вероятно, знаете хорошо известную формулу дискриминанта квадратного многочлена, которая есть, и используете эту формулу для вычисления корней.

Однако дискриминант фактически позволяет нам вывести некоторые свойства корней, не вычисляя их.В случае квадратичного многочлена он равен нулю, если — и только если — многочлен имеет двойной корень. Он положительный, если у многочлена два действительных корня, и отрицательный, если корни комплексные.

Калькулятор ниже вычисляет дискриминант, и вы можете найти немного больше теории дискриминантов непосредственно под ним.

Дискриминант квадратичного многочлена

content_copy Ссылка сохранить Сохранить extension Widget

Дискриминант

Дискриминант полинома степени n : может быть определен либо в терминах частного результата, либо в терминах корней.

По корням дискриминант равен

Технически можно вывести формулу квадратного уравнения, ничего не зная о дискриминанте. Затем, если вы вставите производные выражения для корней в приведенное выше определение, вы получите расширение.

В терминах частного от полученного результата дискриминант равен

, где Res является результатом A и первой производной A ‘. Результирующая, короче говоря, является определителем матрицы Сильвестра A и A ‘.

В случае квадратичного многочлена A есть, а A ‘равно. Если вы запишете матрицу Сильвестра для этих двух многочленов и получите определитель, вы снова получите.

Вычисление дискриминанта более высокой степени

Используя второе определение, вы можете вывести формулы для полинома более высоких степеней (в приведенной ниже ссылке есть формулы для степени 3 и степени 4), но они довольно сложные.
Последовательность OEIS A007878 перечисляет 5 членов для многочленов степени 3; 16 семестров для получения степени 4; 59 семестров по 5-й степени; и, наконец, 3 815 311 членов для многочленов степени 12.
Калькулятор ниже вычисляет дискриминант полинома более высокой степени из результата полинома и его производной

Дискриминант

Коэффициенты дивидендного полинома, разделенные пробелами, в порядке от старшей степени члена к младшей

Цифры после десятичной точки: 2

content_copy Ссылка сохранить Сохранить расширение Виджет

Калькулятор квадратичных формул

Использование калькулятора

Этот онлайн-калькулятор представляет собой
программа решения квадратного уравнения , которая решит полиномиальное уравнение второго порядка, такое как ax ² + bx + c = 0 для x, где a 0, используя
Квадратичная формула . 2 — 4ac> 0 \) Итак, есть два действительных корня.

Упростите радикал:

\ (x = \ dfrac {8 \ pm 2 \ sqrt {11} \,} {2} \)

\ (x = \ dfrac {8} {2} \ pm \ dfrac {2 \ sqrt {11} \,} {2} \)

Упростить дроби и / или знаки:

\ (x = 4 \ pm \ sqrt {11} \, \)

, что становится

\ (х = 7.2 — 4ac

Упростите радикал:

\ (x = \ dfrac {-20 \ pm 4 \ sqrt {15} \, i} {10} \)

\ (x = \ dfrac {-20} {10} \ pm \ dfrac {4 \ sqrt {15} \, i} {10} \)

Упростить дроби и / или знаки:

\ (x = -2 \ pm \ dfrac {2 \ sqrt {15} \, i} {5} \)

, что становится

\ (х = -2 + 1,54919 \, я \)

\ (х = -2 — 1. 2-4ac`.2 + 4 * х + 3 = 0; х`),
калькулятор возвращает результат -20.

Вычислить дискриминант полинома позволяет определить номер корня квадратного уравнения:

• Когда вычисление дискриминанта дает отрицательное число, уравнение не имеет корня
• , когда дискриминант равен нулю, уравнение имеет корень, двойной корень
• , когда вычисление дискриминанта является положительным числом, уравнение имеет два различных корня. 2 + x + 1; x`), который возвращает -3.

  Рассчитать онлайн с дискриминантом (расчет дискриминанта онлайн)

  Калькулятор полиномиального дискриминанта

  — онлайн-вычислитель дельты Δ

  Поиск инструмента

  Дискриминант многочлена

  Инструмент для вычисления дискриминанта полинома. 2-4ac $$

  Знание значения дискриминанта позволяет легче решить уравнение с помощью формул (используя этот дискриминант ).2 = \ Delta $$

  $$ x_1 = \ frac {-b + \ delta} {2a} \\ x_2 = \ frac {-b — \ delta} {2a} $$

  Для уравнений более высоких степеней вычисления намного сложнее, но важно знать детерминанты.

  Задайте новый вопрос

  Исходный код

  dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код онлайн-инструмента «Дискриминант полинома». За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / бесплатно), любого алгоритма, апплета или фрагмента «Дискриминант полинома» (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любой другой Дискриминант полиномиальной функции (вычислить, преобразовать, решить, расшифровать / зашифровать, расшифровать / зашифровать, декодировать / закодировать, перевести), написанную на любом информационном языке (Python, Java, PHP, C #, Javascript, Matlab и т. Д.)), и никакая загрузка данных, скрипт, копипаст или доступ к API для «Дискриминанта полинома» не будут бесплатными, то же самое для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android! dCode распространяется бесплатно и онлайн.

  Нужна помощь?

  Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для получения помощи!
  NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!

  Вопросы / комментарии

  Сводка

  Похожие страницы

  Поддержка

  Форум / Справка

  Ключевые слова

  дискриминант, многочлен, дельта, корень, квадратичный, уравнение, калькулятор

  Ссылки

  Источник: https: // www.dcode.fr/polynomial-discriminant

  © 2021 dCode — Идеальный «инструментарий» для решения любых игр / загадок / геокэшинга / CTF.

  Дискриминантный калькулятор

  Что такое дискриминантный калькулятор

  Калькулятор дискриминанта — это онлайн-калькулятор, который вычисляет дискриминант данного квадратного уравнения.

  Для квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0, где a ≠ 0, формула дискриминанта b ² — 4ac.

  Дискриминант также обозначается символом Δ

  ∴ Δ = b ² — 4ac

  Значение дискриминанта помогает расшифровать
  ◾ Число корней — независимо от того, имеет ли квадратное уравнение два корня, один корень или ни одного.
  ◾ Тип корней — являются ли корни действительными или мнимыми.

  Природа корней квадратного уравнения

  ◾ Если Δ> 0, то & Sqrt; Δ вещественно; следовательно, мы получаем два реальных и различных корня.

  ◾ Если Δ = 0, то & Sqrt; Δ также равно нулю; следовательно, значения x ₁ и x ₂ будут одинаковыми, и, следовательно, мы получим действительные и равные корни.

  ◾ Если Δ

  ◾ Если Δ — полный квадрат, то & Sqrt; Δ — рациональное число; следовательно, мы получаем рациональные корни, иначе мы получаем иррациональные корни.

  Обобщить

  Значение дискриминанта	Количество корней	Тип корней
  Δ> 0	2	Реальный
  Δ = 0	1	Реальный
  Δ	0	Воображаемое

  Как пользоваться дискриминантным калькулятором

  Шаг 1 — Чтобы использовать дискриминантный калькулятор, первым делом необходимо преобразовать квадратное уравнение, в котором мы хотим использовать дискриминантный калькулятор, в стандартную форму квадратного уравнения.

  Стандартная форма квадратного уравнения: ax ² + bx + c = 0

  Следовательно, первым шагом является изменение нашего квадратного уравнения в стандартной форме, которое представлено как ax ² + bx + c = 0

  Итак, предположим, что нам нужно решить квадратное уравнение, которое в настоящее время имеет вид

  x ² — 10x = -16

  Итак, мы изменим это уравнение так, чтобы оно было представлено в стандартной форме ax ² + bx + c = 0.Следовательно,

  x ² — 10x = -16 теперь равно x ² — 10x + 16 = 0.

  Теперь квадратное уравнение успешно преобразовано в стандартную форму

  Шаг 2 — Теперь это самый важный шаг, где найти значение коэффициентов a, b и c, сравнивая его со стандартной формой квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0.

  Например, сравнивая x ² — 10x + 16 = 0. с ax ² + bx + c = 0, получаем

  a = 1,
  b = -10,
  c = 16

  Шаг 3 — Вставьте значения a, b и c в формулу калькулятора дискриминанта b2 — 4ac

  Следовательно, Дискриминант, Δ = (-10) ² — 4 (1) (16) = 36

  Так как Δ> 0, уравнение имеет два действительных и различных корня

  Калькулятор квадратного уравнения — Хорошие калькуляторы

  Воспользуйтесь нашим удобным калькулятором квадратных уравнений для решения всех квадратных задач.

  • Сначала введите коэффициенты a , b , c (a ≠ 0) квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0.
  • Затем нажмите «Рассчитать», и решение будет отображено.

  Квадратные уравнения всех видов с действительными или комплексными корнями можно решить с помощью калькулятора квадратных уравнений. Этот полезный инструмент определит дискриминант D = (b ² -4ac) и, если он равен, больше или меньше нуля.

  Когда дискриминант равен нулю, в уравнении один действительный корень; когда он больше нуля, есть два действительных корня; а когда он меньше нуля, в уравнении есть два комплексных корня.

  Квадратичная формула

  В калькуляторе используется следующая формула:

  x = (-b ± √D) / 2a, где D = b ² — 4ac

  Эта формула вычисляет решение квадратных уравнений (ax ² + bx + c = 0), где x неизвестно, a — квадратичный коэффициент (a ≠ 0), b — линейный коэффициент и c представляет собой константу уравнения. Буквы a , b и c являются известными числами и являются коэффициентами квадратного уравнения.

  Пример квадратного уравнения

  Давайте возьмем пример 2x ² -6x + 3 = 0, где a представляет 2, b представляет -6 и c представляет 3, и применим квадратную формулу к этому уравнению.

  В этом случае коэффициенты квадратного уравнения следующие: a = 2, b = -6, c = 3

  Определитель определяется следующим образом: D = b ² — 4ac = (-6) ² -4 · 2 · 3 = 36-24 = 12

  Кроме того, поскольку дискриминант больше нуля, уравнение имеет два действительных корня.

  Эти два корня находятся по формуле корней квадратного уравнения, как показано ниже:

  x _(1,2) = (-b ± √D) / 2a

  x ₁ = (-b + √D) / 2a = (- (- 6) +3,46) / 2 · 2 = 9,46 / 4 = 2,37

  x ₂ = (-b — √D) / 2a = (- (- 6) -3,46) / 2 · 2 = 2,54 / 4 = 0,63

  Решение: x ₁ = 2,37, x ₂ = 0,63

  Все знаки указывают на дискриминант

  Все знаки указывают на дискриминант

  У вас когда-нибудь был один из этих Magic 8 Balls? Они выглядят как комично негабаритные шары для пула, но в них встроено плоское окно, так что вы можете видеть, что находится внутри 20-гранного кубика, плавающего в отвратительной непрозрачной синей слизи. Предположительно, бильярдный шар обладает прогностическими способностями; все, что вам нужно сделать, это задать ему вопрос, встряхнуть, и медленно, мистическим образом, как покрытая нефтью печать, выходящая из разлива нефти, игральная кость поднимется к окошку и откроет ответ на ваш вопрос.

  Квадратное уравнение содержит своего рода Magic 8 Ball. Выражение b ² — 4 ac под знаком радикала называется дискриминантом , и оно может фактически определить для вас, сколько решений имеет данное квадратное уравнение, если вам не хочется на самом деле вычислять их.Учитывая, что квадратное уравнение, которое невозможно сформулировать, требует много работы для решения (квадратная формула изобилует тоннами арифметики, а для завершения квадратного метода требуется целая куча шагов), часто бывает полезно заглянуть в загадочную мистику, чтобы сделать убедитесь, что уравнение даже имеет любых вещественных числовых решений, прежде чем вы потратите какое-либо время на их поиски.

  Talk the Talk

  Дискриминант — это выражение b ² — 4 ac , которое определено для любого квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0.По знаку выражения можно определить, сколько действительных чисел имеет квадратное уравнение.

  Вот как работает дискриминант. Учитывая квадратное уравнение ax ² + bx + c = 0, подставьте коэффициенты в выражение b ² — 4 ac , чтобы увидеть, какие результаты:

  • Если вы получите положительное число, квадратичная функция будет иметь два уникальных решения.
  • Если вы получите 0, у квадратичного будет ровно одно решение — двойной корень.
  • Если вы получите отрицательное число, у квадратичного не будет реальных решений, только два мнимых. (Другими словами, решения будут содержать и , о которых вы узнали в «Борьбе с радикалами». )

  Дискриминант не является магическим. Это просто показывает, насколько важен этот радикал в формуле корней квадратного уравнения. Если, например, его подкоренное выражение равно 0, то вы получите

  единственное решение. Если, однако, b ² — 4 ac отрицательно, то внутри квадратного корня в квадратной формуле будет отрицательное значение, что означает только мнимые решения.

  Пример 4 : Не вычисляя их, определите, сколько реальных решений имеет уравнение 3 x ² — 2 x = -1.

  Решение : Установите квадратное уравнение равным 0, добавив 1 к обеим сторонам.

  У вас есть проблемы

  Задача 4: Не вычисляя их, определите, сколько реальных решений имеет уравнение 25 x ² — 40 x + 16 = 0.

  Установите a = 3, b = -2 и c = 1 и оцените дискриминант.

Решить уравнение с модулем онлайн калькулятор. Решение простых линейных уравнений

Приложение

Решение любого типа уравнений онлайн на сайт для закрепления изученного материала студентами и школьниками.. Решение уравнений онлайн. Уравнения онлайн. Различают алгебраические, параметрические, трансцендентные, функциональные, дифференциальные и другие виды уравнений.. Некоторые классы уравнений имеют аналитические решения, которые удобны тем, что не только дают точное значение корня, а позволяют записать решение в виде формулы, в которую могут входить параметры. Аналитические выражения позволяют не только вычислить корни, а провести анализ их существования и их количества в зависимости от значений параметров, что часто бывает даже важнее для практического применения, чем конкретные значения корней. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Решение уравнения — задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия (целочисленности, вещественности и т. д.). Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Вы сможете решить уравнение онлайн моментально и с высокой точностью результата. Аргументы заданных функций (иногда называются «переменными») в случае уравнения называются «неизвестными». Значения неизвестных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения. Про корни говорят, что они удовлетворяют данному уравнению. Решить уравнение онлайн означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Равносильными или эквивалентными называются уравнения, множества корней которых совпадают. Равносильными также считаются уравнения, которые не имеют корней. Эквивалентность уравнений имеет свойство симметричности: если одно уравнение эквивалентно другому, то второе уравнение эквивалентно первому. Эквивалентность уравнений имеет свойство транзитивности: если одно уравнение эквивалентно другому, а второе эквивалентно третьему, то первое уравнение эквивалентно третьему. Свойство эквивалентности уравнений позволяет проводить с ними преобразования, на которых основываются методы их решения. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Сайт позволит решить уравнение онлайн. К уравнениям, для которых известны аналитические решения, относятся алгебраические уравнения, не выше четвёртой степени: линейное уравнение, квадратное уравнение, кубическое уравнение и уравнение четвёртой степени. Алгебраические уравнения высших степеней в общем случае аналитического решения не имеют, хотя некоторые из них можно свести к уравнениям низших степеней. Уравнения, в которые входят трансцендентные функции называются трансцендентными. Среди них аналитические решения известны для некоторых тригонометрических уравнений, поскольку нули тригонометрических функций хорошо известны. В общем случае, когда аналитического решения найти не удаётся, применяют численные методы. Численные методы не дают точного решения, а только позволяют сузить интервал, в котором лежит корень, до определённого заранее заданного значения. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн.. Вместо уравнения онлайн мы представим, как то же самое выражение образует линейную зависимость и не только по прямой касательной, но и в самой точке перегиба графика. Этот метод незаменим во все времена изучения предмета. Часто бывает, что решение уравнений приближается к итоговому значению посредством бесконечных чисел и записи векторов. Проверить начальные данные необходимо и в этом суть задания. Иначе локальное условие преобразуется в формулу. Инверсия по прямой от заданной функции, которую вычислит калькулятор уравнений без особой задержки в исполнении, взаимозачету послужит привилегия пространства. Речь пойдет о студентах успеваемости в научной среде. Впрочем, как и все вышесказанное, нам поможет в процессе нахождения и когда вы решите уравнение полностью, то полученный ответ сохраните на концах отрезка прямой. Линии в пространстве пересекаются в точке и эта точка называется пересекаемой линиями. Обозначен интервал на прямой как задано ранее. Высший пост на изучение математики будет опубликован. Назначить значению аргумента от параметрически заданной поверхности и решить уравнение онлайн сможет обозначить принципы продуктивного обращения к функции. Лента Мебиуса, или как её называет бесконечностью, выглядит в форме восьмерки. Это односторонняя поверхность, а не двухсторонняя. По принципу общеизвестному всем мы объективно примем линейные уравнения за базовое обозначение как есть и в области исследования. Лишь два значения последовательно заданных аргументов способны выявить направление вектора. Предположить, что иное решение уравнений онлайн гораздо более, чем просто его решение, обозначает получение на выходе полноценного варианта инварианта. Без комплексного подхода студентам сложно обучиться данному материалу. По-прежнему для каждого особого случая наш удобный и умный калькулятор уравнений онлайн поможет всем в непростую минуту, ведь достаточно лишь указать вводные параметры и система сама рассчитает ответ. Перед тем, как начать вводить данные, нам понадобится инструмент ввода, что можно сделать без особых затруднений. Номер каждой ответной оценки будет квадратное уравнение приводить к нашим выводам, но этого сделать не так просто, потому что легко доказать обратное. Теория, в силу своих особенностей, не подкреплена практическими знаниями. Увидеть калькулятор дробей на стадии опубликования ответа, задача в математике не из легких, поскольку альтернатива записи числа на множестве способствует увеличению роста функции. Впрочем, не сказать про обучение студентов было бы некорректным, поэтому выскажем каждый столько, сколько этого необходимо сделать. Раньше найденное кубическое уравнение по праву будет принадлежать области определения, и содержать в себе пространство числовых значений, а также символьных переменных. Выучив или зазубрив теорему, наши студенты проявят себя только с лучшей стороны, и мы за них будем рады. В отличие от множества пересечений полей, наши уравнения онлайн описываются плоскостью движения по перемножению двух и трех числовых объединенных линий. Множество в математике определяется не однозначно. Лучшее, по мнению студентов, решение — это доведенная до конца запись выражения. Как было сказано научным языком, не входит абстракция символьных выражений в положение вещей, но решение уравнений дает однозначный результат во всех известных случаях. Продолжительность занятия преподавателя складывается из потребностей в этом предложении. Анализ показал как необходимость всех вычислительных приемов во многих сферах, и абсолютно ясно, что калькулятор уравнений незаменимый инструментарий в одаренных руках студента. Лояльный подход к изучению математики обуславливает важность взглядов разных направленностей. Хотите обозначить одну из ключевых теорем и решите уравнение так, в зависимости от ответа которого будет стоять дальнейшая потребность в его применении. Аналитика в данной области набирает все мощный оборот. Начнем с начала и выведем формулу. Пробив уровень возрастания функции, линия по касательной в точке перегиба обязательно приведет к тому, что решить уравнение онлайн будет одним из главных аспектов в построении того самого графика от аргумента функции. Любительский подход имеет право быть применен, если данное условие не противоречит выводам студентов. На задний план выводится именно та подзадача, которая ставит анализ математических условий как линейные уравнения в существующей области определения объекта. Взаимозачет по направлению ортогональности взаимоуменьшает преимущество одинокого абсолютного значения. По модулю решение уравнений онлайн дает столько же решений, если раскрыть скобки сначала со знаком плюс, а затем со знаком минус. В таком случае решений найдется в два раза больше, и результат будет точнее. Стабильный и правильный калькулятор уравнений онлайн есть успех в достижении намеченной цели в поставленной преподавателем задаче. Нужный метод выбрать представляется возможным благодаря существенным отличиям взглядов великих ученых. Полученное квадратное уравнение описывает кривую линий так называемую параболу, а знак определит ее выпуклость в квадратной системе координат. Из уравнения получим и дискриминант, и сами корни по теореме Виета. Представить выражение в виде правильной или неправильной дроби и применить калькулятор дробей необходимо на первом этапе. В зависимости от этого будет складываться план дальнейших наших вычислений. Математика при теоретическом подходе пригодится на каждом этапе. Результат обязательно представим как кубическое уравнение, потому что его корни скроем именно в этом выражении, для того, чтобы упростить задачу учащемуся в ВУЗе. Любые методы хороши, если они пригодны к поверхностному анализу. Лишние арифметические действия не приведут к погрешности вычислений. С заданной точностью определит ответ. Используя решение уравнений, скажем прямо — найти независимую переменную от заданной функции не так-то просто, особенно в период изучения параллельных линий на бесконечности. В виду исключения необходимость очень очевидна. Разность полярностей однозначна. Из опыта преподавания в институтах наш преподаватель вынес главный урок, на котором были изучены уравнения онлайн в полном математическом смысле. Здесь речь шла о высших усилиях и особых навыках применения теории. В пользу наших выводов не стоит глядеть сквозь призму. До позднего времени считалось, что замкнутое множество стремительно возрастает по области как есть и решение уравнений просто необходимо исследовать. На первом этапе мы не рассмотрели все возможные варианты, но такой подход обоснован как никогда. Лишние действия со скобками оправдывают некоторые продвижения по осям ординат и абсцисс, чего нельзя не заметить невооруженным глазом. В смысле обширного пропорционального возрастания функции есть точка перегиба. В лишний раз докажем как необходимое условие будет применяться на всем промежутке убывания той или иной нисходящей позиции вектора. В условиях замкнутого пространства мы выберем переменную из начального блока нашего скрипта. За отсутствие главного момента силы отвечает система, построенная как базис по трем векторам. Однако калькулятор уравнений вывел, и помогло в нахождении всех членов построенного уравнения, как над поверхностью, так и вдоль параллельных линий. Вокруг начальной точки опишем некую окружность. Таким образом, мы начнем продвигаться вверх по линиям сечений, и касательная опишет окружность по всей ее длине, в результате получим кривую, которая называется эвольвентой. Кстати расскажем об этой кривой немного истории. Дело в том, что исторически в математике не было понятия самой математики в чистом понимании как сегодня. Раньше все ученые занимались одним общим делом, то есть наукой. Позже через несколько столетий, когда научный мир наполнился колоссальным объемом информации, человечество все-таки выделило множество дисциплин. Они до сих пор остались неизменными. И все же каждый год ученые всего мира пытаются доказать, что наука безгранична, и вы не решите уравнение, если не будете обладать знаниями в области естественных наук. Окончательно поставить точку не может быть возможным. Об этом размышлять также бессмысленно, как согревать воздух на улице. Найдем интервал, на котором аргумент при положительном своем значении определит модуль значения в резко возрастающем направлении. Реакция поможет отыскать как минимум три решения, но необходимо будет проверить их. Начнем с того, что нам понадобиться решить уравнение онлайн с помощью уникального сервиса нашего сайта. Введем обе части заданного уравнения, нажмем на кнопу «РЕШИТЬ» и получим в течение всего нескольких секунд точный ответ. В особых случаях возьмем книгу по математике и перепроверим наш ответ, а именно посмотрим только ответ и станет все ясно. Вылетит одинаковый проект по искусственному избыточному параллелепипеду. Есть параллелограмм со своими параллельными сторонами, и он объясняет множество принципов и подходов к изучению пространственного отношения восходящего процесса накопления полого пространства в формулах натурального вида. Неоднозначные линейные уравнения показывают зависимость искомой переменной с нашим общим на данный момент времени решением и надо как-то вывести и привести неправильную дробь к нетривиальному случаю. На прямой отметим десять точек и проведем через каждую точку кривую в заданном направлении, и выпуклостью вверх. Без особых трудностей наш калькулятор уравнений представит в таком виде выражение, что его проверка на валидность правил будет очевидна даже в начале записи. Система особых представлений устойчивости для математиков на первом месте, если иного не предусмотрено формулой. На это мы ответим подробным представление доклада на тему изоморфного состояния пластичной системы тел и решение уравнений онлайн опишет движение каждой материальной точки в этой системе. На уровне углубленного исследования понадобится подробно выяснить вопрос об инверсиях как минимум нижнего слоя пространства. По возрастанию на участке разрыва функции мы применим общий метод великолепного исследователя, кстати, нашего земляка, и расскажем ниже о поведении плоскости. В силу сильных характеристик аналитически заданной функции, мы используем только калькулятор уравнений онлайн по назначению в выведенных пределах полномочий. Рассуждая далее, остановим свой обзор на однородности самого уравнения, то есть правая его часть приравнена к нулю. Лишний раз удостоверимся в правильности принятого нами решения по математике. Во избежание получения тривиального решения, внесем некоторые корректировки в начальные условия по задаче на условную устойчивость системы. Составим квадратное уравнение, для которого выпишем по известной всем формуле две записи и найдем отрицательные корни. Если один корень на пять единиц превосходит второй и третий корни, то внесением правок в главный аргумент мы тем самым искажаем начальные условия подзадачи. По своей сути нечто необычное в математике можно всегда описать с точностью до сотых значений положительного числа. В несколько раз калькулятор дробей превосходит свои аналоги на подобных ресурсах в самый лучший момент нагрузки сервера. По поверхности растущего по оси ординат вектора скорости начертим семь линий, изогнутых в противоположные друг другу направления. Соизмеримость назначенного аргумента функции опережает показания счетчика восстановительного баланса. В математике этот феномен представим через кубическое уравнение с мнимыми коэффициентами, а также в биполярном прогрессе убывания линий. Критические точки перепада температуры во много своем значении и продвижении описывают процесс разложения сложной дробной функции на множители. Если вам скажут решите уравнение, не спешите это делать сию минуту, однозначно сначала оцените весь план действий, а уже потом принимайте правильный подход. Польза будет непременно. Легкость в работе очевидна, и в математике то же самое. Решить уравнение онлайн. Все уравнения онлайн представляют собой определенного вида запись из чисел или параметров и переменной, которую нужно определить. Вычислить эту самую переменную, то есть найти конкретные значения или интервалы множества значений, при которых будет выполняться тождество. Напрямую зависят условия начальные и конечные. В общее решение уравнений как правило входят некоторые переменные и константы, задавая которые, мы получим целые семейства решений для данной постановки задачи. В целом это оправдывает вкладываемые усилия по направлению возрастания функциональности пространственного куба со стороной равной 100 сантиметрам. Применить теорему или лемму можно на любом этапе построения ответа. Сайт постепенно выдает калькулятор уравнений при необходимости на любом интервале суммирования произведений показать наименьшее значение. В половине случаев такой шар как полый, не в большей степени отвечает требованиям постановки промежуточного ответа. По крайней мере на оси ординат в направлении убывания векторного представления эта пропорция несомненно будет являться оптимальнее предыдущего выражения. В час, когда по линейным функциям будет проведен полный точечный анализ, мы, по сути, соберем воедино все наши комплексные числа и биполярные пространства плоскостной. Подставив в полученное выражение переменную, вы решите уравнение поэтапно и с высокой точностью дадите максимально развернутый ответ. Лишний раз проверить свои действия в математике будет хорошим тоном со стороны учащегося студента. Пропорция в соотношении дробей зафиксировала целостность результата по всем важным направлениям деятельности нулевого вектора. Тривиальность подтверждается в конце выполненных действий. С простой поставленной задачей у студентов не может возникнуть сложностей, если решить уравнение онлайн в самые кратчайшие периоды времени, но не забываем о всевозможных правилах. Множество подмножеств пересекается в области сходящихся обозначений. В разных случаях произведение не ошибочно распадается на множители. Решить уравнение онлайн вам помогут в нашем первом разделе, посвященном основам математических приемов для значимых разделов для учащихся в ВУЗах и техникумах студентов. Ответные примеры нас не заставят ожидать несколько дней, так как процесс наилучшего взаимодействия векторного анализа с последовательным нахождением решений был запатентован в начале прошлого века. Выходит так, что усилия по взаимосвязям с окружающим коллективом были не напрасными, другое очевидно назрело в первую очередь. Спустя несколько поколений, ученые всего мира заставили поверить в то, что математика это царица наук. Будь-то левый ответ или правый, все равно исчерпывающие слагаемые необходимо записать в три ряда, поскольку в нашем случае речь пойдет однозначно только про векторный анализ свойств матрицы. Нелинейные и линейные уравнения, наряду с биквадратными уравнениями, заняли особый пост в нашей книге про наилучшие методы расчета траектории движения в пространстве всех материальных точек замкнутой системы. Воплотить идею в жизнь нам поможет линейный анализ скалярного произведения трех последовательных векторов. В конце каждой постановки, задача облегчается благодаря внедрениям оптимизированных числовых исключений в разрез выполняемых наложений числовых пространств. Иное суждение не противопоставит найденный ответ в произвольной форме треугольника в окружности. Угол между двумя векторами заключает в себе необходимый процент запаса и решение уравнений онлайн зачастую выявляет некий общий корень уравнения в противовес начальным условиям. Исключение выполняет роль катализатора во всем неизбежном процессе нахождения положительного решения в области определения функции. Если не сказано, что нельзя пользоваться компьютером, то калькулятор уравнений онлайн в самый раз подойдет для ваших трудных задач. Достаточно лишь вписать в правильном формате свои условные данные и наш сервер выдаст в самые кратчайшие сроки полноценный результирующий ответ. Показательная функция возрастает гораздо быстрее, чем линейная. Об этом свидетельствую талмуды умной библиотечной литературы. Произведет вычисление в общем смысле как это бы сделало данное квадратное уравнение с тремя комплексными коэффициентами. Парабола в верхней части полуплоскости характеризует прямолинейное параллельное движение вдоль осей точки. Здесь стоит упомянуть о разности потенциалов в рабочем пространстве тела. Взамен неоптимальному результату, наш калькулятор дробей по праву занимает первую позицию в математическом рейтинге обзора функциональных программ на серверной части. Легкость использования данного сервиса оценят миллионы пользователей сети интернет. Если не знаете, как им воспользоваться, то мы с радостью вам поможем. Еще хотим особо отметить и выделить кубическое уравнение из целого ряда первостепенных школьнических задач, когда необходимо быстро найти его корни и построить график функции на плоскости. Высшие степени воспроизведения — это одна из сложных математических задач в институте и на ее изучение выделяется достаточное количество часов. Как и все линейные уравнения, наши не исключение по многих объективным правилам, взгляните под разными точками зрений, и окажется просто и достаточно выставить начальные условия. Промежуток возрастания совпадает с интервалом выпуклости функции. Решение уравнений онлайн. В основе изучения теории состоят уравнения онлайн из многочисленных разделов по изучению основной дисциплины. По случаю такого подхода в неопределенных задачах, очень просто представить решение уравнений в заданном заранее виде и не только сделать выводы, но и предсказать исход такого положительного решения. Выучить предметную область поможет нам сервис в самых лучших традициях математики, именно так как это принято на Востоке. В лучшие моменты временного интервала похожие задачи множились на общий множитель в десять раз. Изобилием умножений кратных переменных в калькулятор уравнений завелось приумножать качеством, а не количественными переменными таких значений как масса или вес тела. Во избежание случаев дисбаланса материальной системы, нам вполне очевиден вывод трехмерного преобразователя на тривиальном схождении невырожденных математических матриц. Выполните задание и решите уравнение в заданных координатах, поскольку вывод заранее неизвестен, как и неизвестны все переменные, входящие в пост пространственное время. На короткий срок выдвинете общий множитель за рамки круглых скобок и поделите на наибольший общий делитель обе части заранее. Из-под получившегося накрытого подмножества чисел извлечь подробным способом подряд тридцать три точки за короткий период. Постольку поскольку в наилучшем виде решить уравнение онлайн возможно каждому студенту, забегая вперед, скажем одну важную, но ключевую вещь, без которой в дальнейшем будем непросто жить. В прошлом веке великий ученый подметил ряд закономерностей в теории математики. На практике получилось не совсем ожидаемое впечатление от событий. Однако в принципе дел это самое решение уравнений онлайн способствует улучшению понимания и восприятия целостного подхода к изучению и практическому закреплению пройдённого теоретического материала у студентов. На много проще это сделать в свое учебное время.

=

Как решать уравнения?

В этом разделе мы вспомним (или изучим – уж кому как) самые элементарные уравнения. Итак, что такое уравнение? Говоря человеческим языком, это какое-то математическое выражение, где есть знак равенства и неизвестное. Которое, обычно, обозначается буквой «х» . Решить уравнение — это найти такие значения икса, которые при подстановке в исходное выражение, дадут нам верное тождество. Напомню, что тождество – это выражение, которое не вызывает сомнения даже у человека, абсолютно не отягощенного математическими знаниями. Типа 2=2, 0=0, ab=ab и т.д. Так как решать уравнения? Давайте разберёмся.

Уравнения бывают всякие (вот удивил, да?). Но всё их бесконечное многообразие можно разбить всего на четыре типа.

4. Все остальные.)

Всех остальных, разумеется, больше всего, да…) Сюда входят и кубические, и показательные, и логарифмические, и тригонометрические и всякие другие. С ними мы в соответствующих разделах плотно поработаем.

Сразу скажу, что иногда и уравнения первых трёх типов так накрутят, что и не узнаешь их… Ничего. Мы научимся их разматывать.

И зачем нам эти четыре типа? А затем, что линейные уравнения решаются одним способом, квадратные другим, дробные рациональные — третьим, а остальные не решаются вовсе! Ну, не то, чтобы уж совсем никак не решаются, это я зря математику обидел.) Просто для них существуют свои специальные приёмы и методы.

Но для любых (повторяю — для любых! ) уравнений есть надёжная и безотказная основа для решения. Работает везде и всегда. Эта основа — Звучит страшно, но штука очень простая. И очень (очень!) важная.

Собственно, решение уравнения и состоит из этих самых преобразований. На 99%. Ответ на вопрос: «Как решать уравнения? » лежит, как раз, в этих преобразованиях. Намёк понятен?)

Тождественные преобразования уравнений.

В любых уравнениях для нахождения неизвестного надо преобразовать и упростить исходный пример. Причем так, чтобы при смене внешнего вида суть уравнения не менялась. Такие преобразования называются тождественными или равносильными.

Отмечу, что эти преобразования относятся именно к уравнениям. В математике ещё имеются тождественные преобразования выражений. Это другая тема.

Сейчас мы с вами повторим все-все-все базовые тождественные преобразования уравнений.

Базовые потому, что их можно применять к любым уравнениям – линейным, квадратным, дробным, тригонометрическим, показательным, логарифмическим и т.д. и т.п.

Первое тождественное преобразование: к обеим частям любого уравнения можно прибавить (отнять) любое (но одно и то же!) число или выражение (в том числе и выражение с неизвестным!). Суть уравнения от этого не меняется.

Вы, между прочим, постоянно пользовались этим преобразованием, только думали, что переносите какие-то слагаемые из одной части уравнения в другую со сменой знака. Типа:

Дело знакомое, переносим двойку вправо, и получаем:

На самом деле вы отняли от обеих частей уравнения двойку. Результат получается тот же самый:

х+2 — 2 = 3 — 2

Перенос слагаемых влево-вправо со сменой знака есть просто сокращённый вариант первого тождественного преобразования. И зачем нам такие глубокие познания? – спросите вы. В уравнениях низачем. Переносите, ради бога. Только знак не забывайте менять. А вот в неравенствах привычка к переносу может и в тупик поставить….

Второе тождественное преобразование : обе части уравнения можно умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число или выражение. Здесь уже появляется понятное ограничение: на ноль умножать глупо, а делить и вовсе нельзя. Это преобразование вы используете, когда решаете что-нибудь крутое, типа

Понятное дело, х = 2. А вот как вы его нашли? Подбором? Или просто озарило? Чтобы не подбирать и не ждать озарения, нужно понять, что вы просто поделили обе части уравнения на 5. При делении левой части (5х) пятёрка сократилась, остался чистый икс. Чего нам и требовалось. А при делении правой части (10) на пять, получилась, знамо дело, двойка.

Вот и всё.

Забавно, но эти два (всего два!) тождественных преобразования лежат в основе решения всех уравнений математики. Во как! Имеет смысл посмотреть на примерах, что и как, правда?)

Примеры тождественных преобразований уравнений. Основные проблемы.

Начнём с первого тождественного преобразования. Перенос влево-вправо.

Пример для младшеньких.)

Допустим, надо решить вот такое уравнение:

3-2х=5-3х

Вспоминаем заклинание: «с иксами — влево, без иксов — вправо!» Это заклинание — инструкция по применению первого тождественного преобразования.) Какое выражение с иксом у нас справа? 3х ? Ответ неверный! Справа у нас — 3х ! Минус три икс! Стало быть, при переносе влево, знак поменяется на плюс. Получится:

3-2х+3х=5

Так, иксы собрали в кучку. Займёмся числами. Слева стоит тройка. С каким знаком? Ответ «с никаким» не принимается!) Перед тройкой, действительно, ничего не нарисовано. А это значит, что перед тройкой стоит плюс. Так уж математики договорились. Ничего не написано, значит, плюс. Следовательно, в правую часть тройка перенесётся с минусом. Получим:

-2х+3х=5-3

Остались сущие пустяки. Слева — привести подобные, справа — посчитать. Сразу получается ответ:

В этом примере хватило одного тождественного преобразования. Второе не понадобилось. Ну и ладно.)

Пример для старшеньких.)

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Предлагаемый вашему вниманию бесплатный калькулятор располагает богатым арсеналом возможностей для математических вычислений. Он позволяет использовать онлайн калькулятор в различных сферах деятельности: образовательной , профессиональной и коммерческой . Конечно, применение калькулятора онлайн особенно популярно у студентов и школьников , он значительно облегчает им выполнение самых разных расчётов.

Вместе с тем калькулятор может стать полезным инструментом в некоторых направлениях бизнеса и для людей разных профессий. Безусловно, необходимость применения калькулятора в бизнесе или трудовой деятельности определяется прежде всего видом самой деятельности. Если бизнес и профессия связаны с постоянными расчётами и вычислениями, то стоит опробовать электронный калькулятор и оценить степень его полезности для конкретного дела.

Данный онлайн калькулятор может

• Корректно выполнять стандартные математические функции, записанные одной строкой типа — 12*3-(7/2) и может обрабатывать числа больше, чемсчитаем огромные числа в онлайн калькулятореМы даже не знаем, как такое число назвать правильно (тут 34 знака и это совсем не предел ).
• Кроме тангенса , косинуса , синуса и других стандартных функций — калькулятор поддерживает операции по расчёту арктангенса , арккотангенса и прочих.
• Доступны в арсенале логарифмы , факториалы и другие интересные функции
• Данный онлайн калькулятор умеет строить графики !!!

Для построения графиков, сервис использует специальную кнопку (график серый нарисован) или буквенное представление этой функции (Plot). Чтобы построить график в онлайн калькуляторе, достаточно записать функцию: plot(tan(x)),x=-360..360 .

Мы взяли самый простой график для тангенса, и после запятой указали диапазон переменной X от -360 до 360.

Построить можно абсолютно любую функцию, с любым количеством переменных, например такую: plot(cos(x)/3z, x=-180..360,z=4) или ещё более сложную, какую сможете придумать. Обращаем внимание на поведение переменной X — указан промежуток от и до с помощью двух точек.

Единственный минус (хотя трудно назвать это минусом) этого онлайн калькулятора это то, что он не умеет строить сферы и другие объёмные фигуры — только плоскость.

Как работать с Математическим калькулятором

1. Дисплей (экран калькулятора) отображает введенное выражение и результат его расчёта обычными символами, как мы пишем на бумаге. Это поле предназначено просто для просмотра текущей операции. Запись отображается на дисплее по мере набора математического выражения в строке ввода.

2. Поле ввода выражения предназначено для записи выражения, которое нужно вычислить. Здесь следует отметить, что математические символы, используемые в компьютерных программах, не всегда совпадают с теми, которые обычно мы применяем на бумаге. В обзоре каждой функции калькулятора вы найдёте правильное обозначение конкретной операции и примеры расчётов в калькуляторе. На этой странице ниже приводится перечень всех возможных операций в калькуляторе, также с указанием их правильного написания.

3. Панель инструментов — это кнопки калькулятора, которые заменяют ручной ввод математических символов, обозначающих соответствующую операцию. Некоторые кнопки калькулятора (дополнительные функции, конвертер величин, решение матриц и уравнений, графики) дополняют панель задач новыми полями, где вводятся данные для конкретного расчёта. Поле «History» содержит примеры написания математических выражений, а также ваши шесть последних записей.

Обратите внимание, при нажатии кнопок вызова дополнительных функций, конвертера величин, решения матриц и уравнений, построения графиков вся панель калькулятора смещается вверх, закрывая часть дисплея. Заполните необходимые поля и нажмите клавишу «I» (на рисунке выделена красным цветом), чтобы увидеть дисплей в полный размер.

4. Цифровая клавиатура содержит цифры и знаки арифметических действий. Кнопка «С» удаляет всю запись в поле ввода выражения. Чтобы удалять символы по одному, нужно использовать стрелочку справа от строки ввода.

Старайтесь всегда закрывать скобки в конце выражения. Для большинства операций это некритично, калькулятор online рассчитает всё верно. Однако, в некоторых случаях возможны ошибки. Например, при возведении в дробную степень незакрытые скобки приведут к тому, что знаменатель дроби в показателе степени уйдет в знаменатель основания. На дисплее закрывающая скобка обозначена бледно-серым цветом, её нужно закрыть, когда запись закончена.

Клавиша	Символ	Операция
pi	pi	Постоянная pi
е	е	Число Эйлера
%	%	Процент
()	()	Открыть/Закрыть скобки
,	,	Запятая
sin	sin(?)	Синус угла
cos	cos(?)	Косинус
tan	tan(y)	Тангенс
sinh	sinh()	Гиперболический синус
cosh	cosh()	Гиперболический косинус
tanh	tanh()	Гиперболический тангенс
sin -1	asin()	Обратный синус
cos -1	acos()	Обратный косинус
tan -1	atan()	Обратный тангенс
sinh -1	asinh()	Обратный гиперболический синус
cosh -1	acosh()	Обратный гиперболический косинус
tanh -1	atanh()	Обратный гиперболический тангенс
x 2	^2	Возведение в квадрат
х 3	^3	Возведение в куб
x y	^	Возведение в степень
10 x	10^()	Возведение в степень по основанию 10
e x	exp()	Возведение в степень числа Эйлера
vx	sqrt(x)	Квадратный корень
3 vx	sqrt3(x)	Корень 3-ей степени
y vx	sqrt(x,y)	Извлечение корня
log 2 x	log2(x)	Двоичный логарифм
log	log(x)	Десятичный логарифм
ln	ln(x)	Натуральный логарифм
log y x	log(x,y)	Логарифм
I / II		Сворачивание/Вызов дополнительных функций
Unit		Конвертер величин
Matrix		Матрицы
Solve		Уравнения и системы уравнений
		Построение графиков
Дополнительные функции (вызов клавишей II)
mod	mod	Деление с остатком
!	!	Факториал
i / j	i / j	Мнимая единица
Re	Re()	Выделение целой действительной части
Im	Im()	Исключение действительной части
|x|	abs()	Модуль числа
Arg	arg()	Аргумент функции
nCr	ncr()	Биноминальный коэффициент
gcd	gcd()	НОД
lcm	lcm()	НОК
sum	sum()	Суммарное значение всех решений
fac	factorize()	Разложение на простые множители
diff	diff()	Дифференцирование
Deg		Градусы
Rad		Радианы

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a , b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

1. Не имеют корней;
2. Имеют ровно один корень;
3. Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант .

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b 2 − 4ac .

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

1. Если D
2. Если D = 0, есть ровно один корень;
3. Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Основная формула корней квадратного уравнения

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Первое уравнение:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

\[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=3. \\ \end{align}\]

Наконец, третье уравнение:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c /a ) ≥ 0. Вывод:

1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax 2 + c = 0 выполнено неравенство (−c /a ) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
2. Если же (−c /a )

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c /a ) ≥ 0. Достаточно выразить величину x 2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Вынесение общего множителя за скобку

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Назначение сервиса . Матричный калькулятор предназначен для решения систем линейных уравнений матричным способом (см. пример решения подобных задач).

Инструкция . Для онлайн решения необходимо выбрать вид уравнения и задать размерность соответствующих матриц.

где А, В, С — задаваемые матрицы, Х — искомая матрица. Матричные уравнения вида (1), (2) и (3) решаются через обратную матрицу A -1 . Если задано выражение A·X — B = C , то необходимо, сначала сложить матрицы C + B , и находить решение для выражения A·X = D , где D = C + B (). Если задано выражение A*X = B 2 , то предварительно матрицу B надо возвести в квадрат . Рекомендуется также ознакомиться с основными действиями над матрицами .

Пример №1 . Задание . Найти решение матричного уравнения
Решение . Обозначим:
Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X·B = C.
Определитель матрицы А равен detA=-1
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A -1 . Умножим слева обе части уравнения на A -1:Умножаем обе части этого равенства слева на A -1 и справа на B -1: A -1 ·A·X·B·B -1 = A -1 ·C·B -1 . Так как A·A -1 = B·B -1 = E и E·X = X·E = X, то X = A -1 ·C·B -1

Обратная матрица A -1:
Найдем обратную матрицу B -1 .
Транспонированная матрица B T:
Обратная матрица B -1:
Матрицу X ищем по формуле: X = A -1 ·C·B -1

Ответ:

Пример №2 . Задание. Решить матричное уравнение
Решение . Обозначим:
Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X = B.
Определитель матрицы А равен detA=0
Так как A вырожденная матрица (определитель равен 0), следовательно уравнение решения не имеет.

Пример №3 . Задание. Найти решение матричного уравнения
Решение . Обозначим:
Тогда матричное уравнение запишется в виде: X·A = B.
Определитель матрицы А равен detA=-60
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A -1 . Умножим справа обе части уравнения на A -1: X·A·A -1 = B·A -1 , откуда находим, что X = B·A -1
Найдем обратную матрицу A -1 .
Транспонированная матрица A T:
Обратная матрица A -1:
Матрицу X ищем по формуле: X = B·A -1

Ответ: >

Решите квадратное уравнение с помощью пошагового решения математических задач

Решение уравнений является центральной темой алгебры. Все приобретенные навыки в конечном итоге приводят к способности решать уравнения и упрощать решения. В предыдущих главах мы решали уравнения первой степени. Теперь у вас есть необходимые навыки для решения уравнений второй степени, которые известны как квадратных уравнения .

КВАДРАТИКА, РЕШЕННАЯ ФАКТОРИНГОМ

ЗАДАЧИ

После завершения этого раздела вы сможете:

1. Определите квадратное уравнение.
2. Приведите квадратное уравнение к стандартной форме.
3. Решите квадратное уравнение, разложив его на множители.

Квадратное уравнение — это полиномиальное уравнение, которое содержит вторую степень, но не более высокую степень переменной.

Стандартная форма квадратного уравнения: ax ² + bx + c = 0, когда a ≠ 0, а a, b и c — действительные числа.

Все квадратные уравнения можно привести к стандартной форме, а любое уравнение, которое можно привести к стандартной форме, является квадратным уравнением. Другими словами, стандартная форма представляет все квадратные уравнения.

Решение уравнения иногда называют корнем уравнения.

Эта теорема доказана в большинстве учебников по алгебре для колледжей.

Важная теорема, которую невозможно доказать на уровне этого текста, гласит: «Каждое полиномиальное уравнение степени n имеет ровно n корней». Использование этого факта говорит нам о том, что квадратные уравнения всегда будут иметь два решения. Возможно, что оба решения равны.

Квадратное уравнение имеет два решения, потому что оно второй степени.

Самый простой метод решения квадратичных уравнений — разложение на множители. Этот метод не всегда можно использовать, потому что не все многочлены факторизуемы, но он используется везде, где возможно факторинг.

Метод решения факторингом основан на простой теореме.

Если AB = 0, то либо A = 0, либо B = 0.

Другими словами, если произведение двух множителей равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.

Мы не будем пытаться доказать эту теорему, но внимательно отметим, что она утверждает. Мы никогда не сможем умножить два числа и получить ответ, равный нулю, если хотя бы одно из чисел не равно нулю. Конечно, оба числа могут быть равны нулю, поскольку (0)(0) = 0.

Решение Шаг 1 Приведите уравнение к стандартной форме.

Мы должны вычесть 6 с обеих сторон.

Шаг 2 Фактор полностью.

Вспомните, как разлагать трехчлены на множители.

Шаг 3 Приравняйте каждый коэффициент к нулю и найдите x. Поскольку (x — 6)(x + 1) = 0, мы знаем, что x — 6 = 0 или x + 1 = 0, и в этом случае x = 6 или x = — 1.

Это относится к вышеприведенная теорема, в которой говорится, что хотя бы один из факторов должен иметь нулевое значение.

Шаг 4 Проверьте решение исходного уравнения. Если х = 6, то х ² — 5x = 6 становится

Проверка ваших решений — это верный способ узнать, правильно ли вы решили уравнение.

Следовательно, x = 6 является решением. Если x = — 1, то x ² — 5x = 6 становится

Следовательно, — 1 является решением.

Решения могут быть обозначены либо записью x = 6 и x = — 1, либо использованием системы обозначений и записью {6, — 1}, что мы читаем «множество решений для x равно 6 и — 1». В этом тексте мы будем использовать набор обозначений.

В этом примере 6 и -1 называются элементами множества.

Обратите внимание, что в этом примере уравнение уже имеет стандартную форму.

Опять же, проверка решений убедит вас, что вы не допустили ошибки при решении уравнения. также называют корнями уравнения.

(x + 1) — наименьший общий знаменатель всех дробей в уравнении. Помните, каждый член уравнения должен быть умножен на (x + 1).

Проверьте решения в исходном уравнении.

Проверьте исходное уравнение, чтобы убедиться, что знаменатель не равен нулю.

Обратите внимание, что здесь два решения равны. Это происходит только тогда, когда трехчлен является полным квадратом.

НЕПОЛНАЯ КВАДРАТИКА

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Определите неполное квадратное уравнение.
2. Решите неполное квадратное уравнение.

Если, когда уравнение помещено в стандартную форму ax ² + bx + c = 0, либо b = 0, либо c = 0, уравнение является неполным квадратным .

Пример 1

5x ² — 10 = 0 является неполным квадратным выражением, так как отсутствует средний член и, следовательно, b = 0,

Когда вы сталкиваетесь с неполным квадратным числом с c — 0 (отсутствует третий член), его все равно можно решить с помощью факторизации.

х — общий множитель. Произведение двух множителей равно нулю. Поэтому воспользуемся теоремой из предыдущего раздела. Проверьте эти решения.

Обратите внимание, что если член c отсутствует, вы всегда можете вынести x из других членов. Это означает, что во всех таких уравнениях одним из решений будет нуль.
Неполный квадрат с отсутствующим членом b нужно решать другим способом, так как факторинг будет возможен только в особых случаях.

Пример 3 Найдите x, если x ² — 12 = 0.

Решение Поскольку x ² — 12 не имеет общего множителя и не является разностью квадратов, его нельзя разложить на рациональные множители . Но из предыдущих наблюдений у нас есть следующая теорема.

Обратите внимание, что есть два значения, которые при возведении в квадрат будут равны A. 0035

Проверьте эти решения.

Добавьте по 10 с каждой стороны. Проверьте эти решения.

Здесь 7x — общий множитель. Проверьте эти решения.

Обратите внимание, что в этом примере квадрат числа равен отрицательному числу. Это никогда не может быть истинным в действительной системе счисления, и поэтому у нас нет реального решения.

ЗАПОЛНЕНИЕ КВАДРАТ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Определите совершенный квадратный трехчлен.
2. Завершите третий член, чтобы получить идеальный квадратный трехчлен.
3. Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат.

Из своего опыта факторинга вы уже понимаете, что не все многочлены факторизуемы. Следовательно, нам нужен метод решения нефакторизуемых квадратичных уравнений. Необходимый метод называется «заполнение квадрата».

Сначала давайте рассмотрим значение «совершенного квадратного трехчлена». Когда мы возводим двучлен в квадрат, мы получаем совершенный квадратный трехчлен. Общая форма: (a + b) ² = a ² + 2ab + b ² .

Помните, возведение бинома в квадрат означает умножение его самого на себя.

Из общей формы и этих примеров мы можем сделать следующие наблюдения относительно трехчлена с совершенным квадратом.

1. Два из трех членов являются полными квадратами. 4x ² и 9 в первом примере, 25х ² и 16 во втором примере и а ² и б ² в общем виде.
   

   Другими словами, первый и третий члены являются полными квадратами.

2. Другой член равен либо умноженному на плюс, либо минус удвоенному произведению квадратных корней из двух других членов.

Член -7 сразу говорит, что это не может быть совершенным квадратным трехчленом. Задача при составлении квадрата состоит в том, чтобы найти такое число, которое заменит -7, чтобы получился идеальный квадрат.

Рассмотрим следующую задачу: заполните пробел так, чтобы «x ² + 6x + _______» было правильным квадратным трехчленом. Из двух условий для совершенного квадратного трехчлена мы знаем, что пробел должен содержать полный квадрат и что 6x должно быть удвоенным произведением квадратного корня из x ² и числа в пробеле. Поскольку x уже присутствует в 6x и является квадратным корнем из x ² , тогда 6 должно быть в два раза больше квадратного корня из числа, которое мы помещаем в пробел. Другими словами, если мы сначала возьмем половину от 6, а затем возведем результат в квадрат, мы получим необходимое число для пробела.

Следовательно, x ² + 6x + 9 — это совершенный квадратный трехчлен.

Теперь давайте рассмотрим, как мы можем использовать завершение квадрата для решения квадратных уравнений.

Пример 5 Решите x ² + 6x — 7 = 0, заполнив квадрат.

Вспомните, что вместо -7 +9 сделало бы выражение правильным квадратом.

Решение Прежде всего заметим, что член -7 должен быть заменен, если мы хотим получить идеальный квадратный трехчлен, поэтому мы перепишем уравнение, оставив пробел для нужного числа.

Будьте осторожны, чтобы не нарушить правила алгебры. Например, обратите внимание, что вторая форма возникла из добавления +7 к обеим частям уравнения. Никогда не добавляйте что-то к одной стороне, не добавив то же самое к другой стороне.

Теперь мы находим половину 6 = 3 и 3 ² = 9, чтобы получить число для пробела. Опять же, если мы поместим 9 в пустое место, мы также должны добавить 9 к правой стороне.

Запомнить, если 9прибавляется к левой части уравнения, его необходимо прибавить и к правой части.

Теперь разложите на три члена совершенный квадрат, что дает

Теперь x 2 + 6x + 9 можно записать как (x + 3) 2 .

Добавить — 3 с обеих сторон.

Таким образом, 1 и -7 являются решениями или корнями уравнения.

Пример 6 Решите 2x ² + 12x — 4 = 0, заполнив квадрат.

Решение Эта задача связана с другой трудностью. Первый член, 2x ² , не является идеальным квадратом.
Мы исправим это, разделив все члены уравнения на 2 и получим

Другими словами, получим коэффициент 1 для члена x 2 .

Теперь мы добавляем 2 к обеим сторонам, что дает

Опять же, это более кратко.

Пример 7 Решите 3x ² + 7x — 9 = 0, заполнив квадрат.

Решение Шаг 1 Разделение всех терминов на 3.

снова, получите коэффициент 1 для X 2 , разделяя на 3.

Шаг 2 . Повторный оставив пробел для термина, необходимого для заполнения квадрата.

Шаг 3 Найдите квадрат половины коэффициента x и прибавьте к обеим частям.

Это выглядит сложно, но мы следуем тем же правилам, что и раньше.

Шаг 4 Фактор завершенного квадрата.

Разложение на множители никогда не должно быть проблемой, поскольку мы знаем, что имеем совершенный квадратный трехчлен, а это значит, что мы находим квадратные корни первого и третьего членов и используем знак среднего члена.

Если у вас возникнут какие-либо трудности, вам следует повторить арифметику, связанную со сложением чисел справа.
Теперь у нас есть

Шаг 5 Извлеките квадратный корень из каждой части уравнения.

Шаг 6 Найдите x (два значения).

нельзя упростить. Мы могли бы также записать решение этой задачи в более сжатой форме как

Следуйте шагам предыдущего вычисления и обратите особое внимание на последнюю строку. Что можно сделать, если квадрат величины равен отрицательному числу? «Нет реального решения».

Какое действительное число можно возвести в квадрат и получить -7?

Таким образом, чтобы решить квадратное уравнение путем завершения квадрата, следуйте этому пошаговому методу.

Шаг 1 Если коэффициент x2 не равен 1, разделите все члены на этот коэффициент.
Шаг 2 Перепишите уравнение в виде x2 + bx + _______ = c + _______.
Шаг 3 Найдите квадрат половины коэффициента при x и прибавьте эту величину к обеим частям уравнения.
Шаг 4 Разложите построенный квадрат на множители и объедините числа в правой части уравнения.
Шаг 5 Найдите квадратный корень из каждой части уравнения.
Шаг 6 Найдите x и упростите.
Если шаг 5 невозможен, то уравнение не имеет действительного решения.

Эти шаги помогут решить уравнения в следующем упражнении.

ФОРМУЛА КВАДРАТА

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы должны уметь:

1. Решите общее квадратное уравнение, заполнив квадрат.
2. Решите любое квадратное уравнение с помощью квадратной формулы.
3. Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат.

Стандартная форма квадратного уравнения: ось ² + bx + c = 0. Это означает, что любое квадратное уравнение можно представить в такой форме. В некотором смысле тогда ax ² + bx + c = 0 представляет все квадратичные числа. Если вы сможете решить это уравнение, вы получите решение всех квадратных уравнений.

Общее квадратное уравнение будем решать методом дополнения квадрата.

Это необходимо для получения члена x 2 с коэффициентом 1. Это мы делали в предыдущем разделе много раз.

Мы должны добавить к каждой стороне.

Эта форма называется квадратичной формулой и представляет собой решение всех квадратных уравнений.

Запомните это выражение.

Чтобы использовать квадратную формулу, вы должны определить a, b и c. Для этого данное уравнение всегда должно быть приведено к стандартной форме.

Внимательно подставьте значения a, b и c в формулу.

Не каждое квадратное уравнение имеет действительное решение.

Это уравнение уже имеет стандартную форму.

Реального решения нет, так как -47 не имеет реального квадратного корня.

Опять же, это уравнение имеет стандартную форму.

Теперь это решение должно быть упрощено.

ЗАДАЧИ

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы должны быть в состоянии:

1. Определите текстовые задачи, для решения которых требуется квадратное уравнение.
2. Решайте текстовые задачи с квадратными уравнениями.

Определенные типы текстовых задач можно решать с помощью квадратных уравнений. Процесс определения и постановки задачи такой же, как описано в главе 5, но с задачами, решаемыми с помощью квадратичных вычислений, вы должны быть очень осторожны, проверяя решения в самой задаче. Физические ограничения внутри проблемы могут исключить одно или оба решения.

Пример 1 Если длина прямоугольника на 1 единицу больше ширины, чем в два раза, а площадь равна 55 квадратных единиц, найдите длину и ширину.

Решение Формула площади прямоугольника: Площадь = Длина Х Ширина. Пусть x = ширина, 2x + 1 = длина.

Если x представляет собой ширину, то 2x представляет удвоенную ширину, а 2x + 1 представляет собой ширину, более чем в два раза превышающую единицу.

Приведите квадратное уравнение к стандартной форме. Это квадратичное уравнение можно решить с помощью факторизации.

В этот момент вы можете видеть, что решение x = -11/2 неверно, поскольку x представляет собой измерение ширины, а отрицательные числа не используются для таких измерений. Следовательно, решение

ширина = x = 5, длина = 2x + 1 = 11.

Измерение не может быть отрицательным значением.

Обратное значение x равно . Помните, что LCD означает наименьший общий знаменатель. Каждый член должен быть умножен на 10x. Опять же, этот квадрат можно разложить на множители.

Проверка обоих растворов. Следовательно, множество решений равно .

У этой проблемы есть два решения.

Пример 3 Если определенное целое число вычесть из 6-кратного его квадрата, получится 15. Найдите целое число.

Решение Пусть x = целое число. Тогда

Поскольку ни одно из решений не является целым числом, задача не имеет решения.

У вас может возникнуть соблазн указать эти значения в качестве решения, если только вы не обратили пристальное внимание на тот факт, что задача требует целочисленного значения.

Пример 4 Управляющий фермой имеет в наличии 200 метров забора и хочет оградить прямоугольное поле площадью 2400 квадратных метров. Какими должны быть размеры поля?

Решение Здесь используются две формулы. P = 2l + 2w для периметра и A = lw для площади.
Сначала используя P = 2l + 2w, мы получаем

Разделим каждый член на 2.

Теперь мы можем использовать формулу A = lw и подставить (100 — l) вместо w, что дает

2

2

Поле должно быть 40 метров в ширину и 60 метров в длину.

С таким же успехом мы могли бы найти l, получив l = 100 — w. Тогда

Обратите внимание, что в этой задаче мы фактически используем систему уравнений

P = 2 l + 2 w
А = л ш.

В общем случае система уравнений, в которой участвует квадратное уравнение, будет решаться методом подстановки. (См. главу 6.)

РЕЗЮМЕ

Ключевые слова

• Квадратное уравнение представляет собой полиномиальное уравнение с одним неизвестным, которое содержит вторую степень, но не более высокую степень переменной.
• Стандартная форма квадратного уравнения : ax ² + bx + c = 0, когда a ≠ 0,
• Ан неполное квадратное уравнение имеет форму ax ² + bx + c = 0, и либо b = 0, либо c = 0.
• Квадратная формула равна
  

Процедуры

• Наиболее прямым и, как правило, самым простым методом нахождения решений квадратного уравнения является разложение на множители. Этот метод основан на теореме: если AB = 0, то A = 0 или B = 0. Чтобы использовать эту теорему, мы придаем уравнению стандартную форму, множитель и устанавливаем каждый множитель равным нулю.
• Чтобы решить квадратное уравнение путем завершения квадрата, выполните следующие действия:
  Шаг 1 Если коэффициент x ² не равен 1, разделите все члены на этот коэффициент.
  Шаг 2 Перепишите уравнение в виде x ² + bx +_____ = c + _____
  Шаг 3 Найдите квадрат половины коэффициента при члене x и прибавьте эту величину к обеим частям уравнения.
  Шаг 4 Разложите построенный квадрат на множители и объедините числа в правой части уравнения.
  Шаг 5 Найдите квадратный корень из каждой части уравнения.
  Шаг 6 Найдите x и упростите.
• Метод завершения квадрата используется для вывода квадратной формулы.
• Чтобы использовать квадратичную формулу, напишите уравнение в стандартной форме, определите a, b и c и подставьте эти значения в формулу. Все решения должны быть упрощены.

Решатель квадратных уравнений №1 [бесплатно]

Получение более высоких оценок дорого обходится вашему карману?

Забронируйте задание по самой низкой цене В настоящее время!

2:004:006:008:0010:0012:0014:0016:0018:0020:0022:0023:59

Добавить файл

Здесь возникает ошибка

Файлы отсутствуют!

Пожалуйста, загрузите все необходимые файлы для быстрой и полной помощи.

Я принимаю Условия и другие правила веб-сайта и согласен получать предложения и обновления.

Гарантированно более высокий класс!

Решение квадратных уравнений

Мы видели, как учащиеся с трудом справляются в основном с теми заданиями, где им приходится решать задачи с квадратными уравнениями. Тем не менее, есть альтернативный метод, который может помочь вам стать решателем квадратных уравнений за одну ночь. На MyAssignmenthelp.com есть калькулятор квадратных уравнений, который поможет вам вычислить уравнение всего за несколько минут. Наш самый быстрый калькулятор может решить любое квадратное уравнение.

Как это работает?

Узнайте, как использовать наш инструмент Super Easy Quadratic

Введите квадратное уравнение

Введите квадратное уравнение, которое необходимо решить, в текстовое поле.

Проверка коэффициентов и операторов

Проверка коэффициентов и знаков операторов между разными терминами.

Нажмите кнопку «Рассчитать»

Нажмите кнопку «Рассчитать» и получите значение переменной x в секундах.

Наймите нашего эксперта по математике

Решите квадратное уравнение разными способами с помощью нашего калькулятора

Прежде чем приступать к решению задачи квадратного уравнения, определите, какой метод вы собираетесь использовать. Исходя из вопроса, вам нужно будет указать метод в калькуляторе. Наш калькулятор квадратных уравнений предназначен для использования всех типов методов квадратных уравнений.

Метод факторинга:

Выберите наш калькулятор факторизатора квадратного уравнения, чтобы получить подробное пошаговое решение квадратного уравнения. Этот калькулятор квадратного уравнения с коэффициентом очень популярен среди студентов, так как помогает найти самое быстрое решение. Многие студенты заявили, что они получили оценки «А» в своих работах после использования нашего калькулятора факторизации квадратного уравнения.

Метод квадратного корня:

Если ваш профессор/преподаватель попросит вас использовать метод квадратного корня для вашего квадратного уравнения, не волнуйтесь, так как наш инструмент также может дать вам наиболее точный ответ в форме квадратного корня.

Заполнение квадрата методом:

Этот метод используется, когда вас спрашивают «Решите, заполнив квадрат» в вашем вопросе. Здесь наш калькулятор сначала преобразует уравнение в вершинную форму, а затем предоставит подробное решение.

Квадратичная формула:

Трудно найти правильные коэффициенты с помощью метода квадратичной формулы? Вы можете положиться на наш калькулятор, чтобы получить наиболее точный и точный ответ.

Мы разработали калькулятор квадратных уравнений таким образом, чтобы он мог помочь вам решить квадратные уравнения, используя все методы. Решите квадратное уравнение с помощью нашего калькулятора, чтобы увидеть лучший результат в своей статье.

Преимущества использования калькулятора формул квадратных уравнений

Хотите знать, действительно ли калькулятор формулы квадратного уравнения полезен? Узнайте, какую пользу другие учащиеся получили от нашего калькулятора.

Основные преимущества, которые наши студенты получили от нас:

Экономия времени

Одной из главных причин использования нашего решателя квадратных уравнений является то, что вы можете решить уравнение всего за несколько секунд. Как только вы введете значения «a», «b» и «c», калькулятор автоматически предложит идеальное решение.

Точный ответ

Квадратичный калькулятор даст вам наиболее точный ответ. Вы можете найти дискриминант квадратного уравнения с помощью нашего калькулятора, а также корни квадратного уравнения с помощью нашего калькулятора.

Пошаговое объяснение

После того, как вы введете ввод и нажмете кнопку «щелкнуть», этот калькулятор предоставит вам пошаговое объяснение проблемы. Помимо получения правильного ответа, вы также узнаете, как решается уравнение.

Абсолютно бесплатно

Хотите верьте, хотите нет, но мы предлагаем наш калькулятор формулы квадратного уравнения бесплатно. Мы не будем просить с вас ни копейки. Мы понимаем, как часто вам нужно использовать этот калькулятор, поэтому на самом деле невозможно тратить деньги каждый раз, когда вы используете калькулятор.

Решение всех типов квадратных уравнений

Наш решатель формул квадратных уравнений предназначен для решения всех типов квадратных уравнений. Будь то стандартная форма, факторизованная форма или вершинная форма, вы получите ответ в течение нескольких минут.

Работает во всех браузерах

Лучшая часть онлайн-калькулятора квадратных уравнений заключается в том, что он совместим со всеми типами версий окон и браузеров.

От начальной школы до уровня колледжа необходимо выполнять многочисленные квадратичные вычисления в различных заданиях и курсовых работах. Наш квадратный калькулятор — лучший инструмент, когда вам нужно решить множество квадратных уравнений в ваших заданиях за очень короткое время. Это также очень полезно, когда вам нужно проверить точность квадратных уравнений, которые вы решили.

Часто задаваемые вопросы

Квадратное уравнение — это полиномиальное уравнение, имеющее вид ax2+bx+c, где a, b и c — постоянные числа, известные как коэффициенты, а x — переменное число. Он называется квадратичным, потому что самая высокая степень переменной (x) равна 2 (x2) в уравнении. Следует отметить, что любое из a, b и c может быть равно нулю, и все же уравнение будет называться квадратным уравнением. Некоторые примеры квадратных уравнений: х2+ 3х – 4 = 0 , Х2+ 5х = 0, х2– 4 = 0

Да, инструмент создан таким образом, чтобы обеспечить 100% точность результатов.

Квадратная формула — это формула, используемая для решения квадратных уравнений. Вы можете решить уравнение вида ax2+bx+c=0, используя квадратичную формулу x= −b±√b2−4ac/2a

Да, вы можете использовать его для получения 100% точных решений для всех задач с квадратными уравнениями

Другие бесплатные академические инструменты

У нас есть широкий выбор бесплатных академических инструментов, которые помогут учащимся во всех видах научных работ. Используя наши инструменты, студенты могут вовремя сдавать безупречные задания. Более того, эти инструменты помогают учащимся проверять точность своих решений и качество своей работы. У нас есть инструменты для расчета среднего балла, корректуры, перефразирования, ссылок и многого другого.

Наш волшебный ящик с инструментами показан ниже. Используйте их, чтобы преуспеть в учебе.

Helf Desk CHAT

300 000+

Студенты

2 081 193

Поставленные заказы

5,195

Эксперты

4,9/5

Клиентский рейтинг

Есть вопросы?

Чат продаж
(Запрос о новом назначении) Чат поддержки
(задание уже забронировано)

Решатель квадратных уравнений с шагами

Инструкции: Этот калькулятор квадратных формул решит квадратное уравнение для вас, показывая все шаги. Введите коэффициенты квадратного уравнения, и решатель даст вам корни, точку пересечения по оси Y, координаты вершины, показывающие всю работу, и построит график функции. 92 — 4ас\]

По значению дискриминанта определяется характер решений. В самом деле, при \(D > 0\) имеются два различных действительных решения, при \(D = 0\) — одно повторяющееся действительное решение, а при \(D < 0\) - два различных мнимые решения. Этот решатель квадратного уравнения поможет вам сделать эти вычисления автоматически.

Одна из замечательных особенностей этого решателя квадратных уравнений заключается в том, что он покажет шаги для вычисления точки пересечения по оси Y, координат вершины и построит квадратичную функцию.

. 2 — 4ac}}{2a}\] 92 — 4(-3)(-1)}}{2(-3)}\]

Шаг 3: Упростите значения в уравнении после того, как вы подставили значения \(a\), \(b\) и \(c\) . В предыдущем примере у нас было бы

\[x = \displaystyle\frac{-2 \pm \sqrt{4 — 12}}{-6} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{-6}\]

Шаг 4: Загляните внутрь квадратного корня. Если значение положительное, то квадратное уравнение имеет два действительных корня. Если значение равно 0, то вещественный корень один, а если значение внутри квадратного корня отрицательное, то комплексных корней два. В предыдущем примере у нас есть -8 внутри квадратного корня, поэтому у нас есть два сложных решения, как показано ниже:

\[x = \displaystyle\frac{-2 \pm \sqrt{4 — 12}}{-6} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{-6}= \frac{-2 \pm i \sqrt{8}}{-6}\]

Для чего используется квадратичная формула

Квадратичная формула — одна из самых распространенных формул в математике. Он появляется, когда вы решаете всевозможные геометрические задачи, например, когда вы максимизируете площадь, заданный фиксированный периметр, или в многочисленных текстовых задачах.

Многие люди задаются вопросом, есть ли какая-либо связь между этой формулой квадратного уравнения и методом завершение квадрата . Ответ прост: вы получаете квадратную формулу, решая квадратное уравнение, дополняя квадрат. Это точно та же самая идея, которая вытекает из квадратной формулы, которую мы все знаем.

Калькулятор квадратичных формул | Математические вкусности

Форма поиска

Поиск

Наш калькулятор квадратных уравнений предназначен для поиска решений (корней) и проверки вашей работы, но он не предоставляет никаких сокращений. Несмотря на то, что наш калькулятор эффективно находит ответ на ваши проблемы, он не раскрывает ни одного из шагов, необходимых для решения квадратного уравнения. Чтобы лучше научиться решать уравнения самостоятельно, а также потому, что практика помогает улучшить ваши навыки, мы рекомендуем вам сначала решить задачи самостоятельно, а затем использовать наш калькулятор, чтобы убедиться, что ваш ответ правильный.

Как использовать калькулятор квадратных уравнений

Чтобы использовать калькулятор:

1. Введите соответствующие значения в поля ниже и нажмите Решить.
2. Результаты появятся в полях с метками Корень 1 и Корень 2 . Например, для приведенного ниже квадратного уравнения введите 1, 5 и 6.
3. После нажатия Решить ваши результирующие корни будут -2 и -3.
4. Нажмите Сброс , чтобы очистить калькулятор и ввести новые значения.

х 2 + 5х + 6 = 0

Важные термины для квадратных уравнений

Важные термины для квадратных уравнений

Если вы новичок, хотите освежить знания или цените знания, вот несколько полезных терминов и описаний , которые помогут вам в вычислениях.

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение (также называемое квадратичной функцией ) представляет собой многочлен, старший показатель которого равен 2. Стандартная форма квадратного уравнения выглядит следующим образом:

f (x) = ax² + bx + c

При построении графика на координатной плоскости квадратное уравнение создает параболу , которая представляет собой U-образную кривую. Когда старший коэффициент положительный, кривая ориентирована как буква u, отверстием вверх. Когда старший коэффициент отрицателен, кривая перевернута, а отверстие обращено вниз.

Коэффициенты

Коэффициент при x² называется старшим коэффициентом и представляется переменной a. В стандартной форме a, b и c — все константы или числовых коэффициента . Одно абсолютное правило состоит в том, что первая константа а никогда не может быть равна нулю.

Ведущий коэффициент может сказать вам больше, чем просто ориентация параболы, он также определяет, насколько широка или тонка U-образная кривая. Это зависит от значения старшего коэффициента. Чем ближе к нулю значение, тем шире будет кривая. Чем дальше от 0 число, тем тоньше будет кривая.

Структура графика

Вершина параболы — это точка в нижней части кривой u. Если вы проведете вертикальную линию через вершину, вы создадите ось симметрии , которая является воображаемой линией, которая делит параболу пополам на равные части. Форма кривой отражается над этой линией.

Квадратная формула

Квадратная формула используется для нахождения решения квадратного уравнения. Квадратичная формула выглядит так:

Для ax2  + bx + c = 0, где a ≠ 0:

x= -b + √b2-4ac / 2a

Корни

Каждое квадратное уравнение дает два значения неизвестной переменной (x) и эти значения называются корнями уравнения. Когда вас просят решить квадратное уравнение, на самом деле вас просят найти 90 824 корня 90 825 (или решения).

Корнями квадратичной функции являются точки пересечения х, т. е. точки пересечения параболы с осью абсцисс. Координата y точек, лежащих на оси x, равна нулю. Следовательно, чтобы найти корни квадратичной функции, мы делаем f (x) = 0 и решаем уравнение.

Квадратное уравнение имеет два корня, которые могут быть неравными действительными числами, равными действительными числами или числами, которые не являются действительными. Если квадратное уравнение имеет два действительных равных корня, мы говорим, что уравнение имеет только одно действительное решение. Это происходит, когда вершина параболы является точкой, которая касается оси x.

Дискриминант

Дискриминант квадратичной формулы говорит вам о природе корней уравнения.

Например:

• b2−4ac = 0, одно действительное решение
• b2−4ac > 0, два действительных решения
• b2−4ac < 0, два мнимых решения

Если дискриминант является полным квадратом, то корни рациональные , а если это не полный квадрат, то корни иррациональные .

Прочие калькуляторы

Подпишитесь на нашу БЕСПЛАТНУЮ рассылку!

Подпишитесь на нашу БЕСПЛАТНУЮ рассылку новостей!

Адрес электронной почты *

Калькулятор квадратичных формул

| Complex

Добро пожаловать в наш калькулятор квадратных формул , где вы можете легко вычислить корня квадратного уравнения . Этот решатель квадратичных формул может даже найти комплексных корня , если они существуют! В этой статье мы обсудим, как решать квадратные уравнения, используя квадратную формулу, так что оставайтесь, чтобы узнать больше! 92х2;

BBB — Коэффициент терма xxx; и

CCC — постоянный член в уравнении.

Квадратные уравнения описывают параболы. Вы можете проверить, как они выглядят на графике, используя наш полиномиальный графический калькулятор.

🙋 Решениями полиномиального уравнения мы называем его корни . Квадратное уравнение может иметь два корня .

Есть и другие нестандартные формы, которые мы должны сначала переставить и привести к стандартной форме. Этот калькулятор квадратичных функций принимает две такие формы. Если вы можете привести свое уравнение к стандартной форме квадратного уравнения, вы можете легко вычислить его корни, используя 92 — 4 х 2 х -6 = 6442−4×2×−6=64. Извлекая квадратный корень, получаем 888.

Первый корень:

x1=−4+82×2=1\qquad x_1 = \frac{-4 + 8}{2\times2} = 1×1​=2×2−4+8​=1

• Второй корень :

x2=−4−82×2=−3\qquad x_2 = \frac{-4-8}{2\times2} = -3×2​=2×2−4−8​=−3

• Вы можете проверить это с помощью нашего калькулятора квадратных уравнений.

Вещественные и комплексные корни

Из-за природы квадратного корня член квадратного корня в квадратной формуле имеет решающее значение для определения того, будут ли квадратное уравнение иметь действительные корни или комплексные корни. Точно, мы называем это 92 — 4 х 2 х 6 = -3242−4×2×6=−32. Следовательно, квадратное уравнение должно иметь комплексные корни.

Первый комплексный корень:

x1=-4+-324=-4+-324=-4+i16×24=-4+4i24x1=-1+i2\qquad\begin{align*} x_1 &= \frac{-4 + \sqrt{-32} }{4}\\ &= \frac{-4 + \sqrt{-32} }{4}\\ &= \frac{-4 + i\sqrt{16\times2} }{4}\\ &=\frac{-4 + 4i\sqrt{2} }{4}\\ x_1 &= -1 + i\sqrt{2} \end{align*}x1​x1​​=4−4+−32

=4−4+−32

=4−4+i16×2

=4−4+ 4и2

=−1+i2

• Аналогично, второй корень будет равен x2=−1−i2x_2 = -1 — i\sqrt{2}x2​=−1−i2​.
• Вы можете проверить этот ответ, используя этот решатель квадратного уравнения.

Как использовать этот калькулятор квадратичных формул

Этот калькулятор квадратных формул не только вычислит корни квадратного уравнения, но также может показать вам шагов задействованных! Вот как вы открываете удивительные возможности нашего решателя квадратичных формул:

• Выберите из следующих трех форм , в которые вы можете ввести квадратное уравнение в наш калькулятор квадратичных функций:

  • Ах ² + Вх + С = 0 .
  • А(х-Н) ² + К = 0 .
  • А(х-х ₁ )(х-х ₂ ) = 0 .

• Введите правильные значения коэффициентов и задействованы константы .

• Если дискриминант положительный , этот калькулятор квадратных уравнений автоматически даст вам корни квадратного уравнения вместе с важными шагами.

• Если дискриминант отрицательный , этот решатель квадратного уравнения будет вычислять комплексные корни автоматически, только если вы выберете да в поле разрешить отрицательный дискриминант . В противном случае он отобразит предупреждающее сообщение и будет ждать вашего одобрения.

Калькулятор квадратичных формул + онлайн-решатель с бесплатными шагами

Калькулятор квадратичных формул — это бесплатный инструмент, используемый для решения стандартных квадратных уравнений с использованием квадратной формулы. Квадратные уравнения — это уравнения, в которых наивысшая степень переменной равна двум.

Квадратная формула — один из наиболее широко используемых методов решения квадратных уравнений. Он использует коэффициенты уравнения для оценки корней.

Этот калькулятор определяет корней квадратных уравнений. В дополнение к этому, он дает график уравнений, а также отображает корни плоскости неизвестной переменной.

Что такое калькулятор квадратичных формул?

Калькулятор квадратных уравнений — это онлайн-инструмент, который используется для вычисления корней и графика любого сложного квадратного уравнения без каких-либо хлопот.

Квадратичный уравнение является уравнением второго порядка. Поскольку степень уравнения равна двум, существует только двух возможных корней, которые могут удовлетворять уравнению. Если степень переменной больше двух, то они называются полиномами высшего порядка.

Для решения квадратного уравнения существует много методов, но наиболее подходящим из них является Квадратная формула . Потому что в области математики все квадратных уравнений могут быть решены с помощью этих одиночная формула .

Вы можете решить эти уравнения вручную используя квадратную формулу, но когда уравнения становятся сложными, особенно когда коэффициенты относительно больше или корни кажутся комплексными типа, тогда решение таких уравнения от руки — кошмар для студентов. Но не волнуйтесь, этот онлайн-виджет поможет вам.

Для построить квадратные уравнения — еще одна утомительная и трудоемкая процедура. Вам нужно вставить разные значения по отдельности в квадратное уравнение и найти значение функции для графической демонстрации. Затем результирующие значения соединяются, чтобы получить окончательная форма .

Следовательно, вам нужен инструмент, который может быстро решать уравнения, независимо от сложности корней и уравнений. Также очень помогает графический визуализатор для определения формы графиков заданных функций.

Одним из таких калькуляторов с обеими необходимыми функциями является Калькулятор квадратичных формул . Это не приложение, которое необходимо установить на ваше устройство. Вы можете легко запустить этот инструмент в своем повседневном браузере.

Квадратное уравнение лежит в основе многих физических моделей и инженерных моделей . Вот почему очень важно решать такие уравнения точно и эффективно.

Как пользоваться калькулятором квадратичных формул?

Вы можете использовать Калькулятор квадратичных формул , введя коэффициенты всех членов уравнения в указанные поля калькулятора. Работа с этим калькулятором довольно проста, а интерфейс удобен для пользователя.

Калькулятор чрезвычайно надежен, поскольку он возвращает безошибочных результатов за пару секунд. Интерфейс состоит из трех полей ввода для коэффициентов каждого члена квадратного уравнения. Кроме того, есть кнопка, используемая для обработки уравнения.

Калькулятор квадратных формул — один из лучших инструментов для расчета значений квадратных уравнений. Если у вас есть стандартное квадратное уравнение, подробные шаги по использованию калькулятора будут следующими: 92$ коробка.

Шаг 2

Затем введите коэффициент второго члена на вкладке x  . Эти два термина относятся к переменной части функции.

Шаг 3

Теперь вставьте постоянный член на последней вкладке. После вставки всех элементов нажмите кнопку Отправить , чтобы получить решение.

Результат

Результат демонстрируется в трех частях. Во-первых, он предоставляет график x-y входного уравнения с выделенными местоположение корней.

Во-вторых, он отображает те же корни в одной плоскости соответствующей переменной. В-третьих, он отображает числовых значений для двух фактических корней квадратного уравнения. 2-4ac}}{2a}\] 92 – 4ac$ > 0 и не точный квадрат)

Когда значение положительное, но не точный квадрат, тогда решением является действительных , неравных и иррациональных чисел. Сюда входят такие корни, как $\sqrt{2}$ и $\sqrt{7}$.

Графическое представление корней

Вот несколько графических интерпретаций, демонстрирующих, как выглядит график при изменении корней.

Случай 1

Корни вещественные и неравные , когда значение дискриминанта положительное. Это представлено графически, как показано на рисунке 1:

Парабола пересекает ось x в двух различных точках, что приводит к точным и неравным решениям.

Рисунок 1

Случай 2

Корни мнимые и не равны , так как дискриминант отрицательный. Графическое представление представлено ниже на рисунке 2:

Рисунок 2

На приведенном выше графике мы видим, что парабола не пересекает ось x ни в одной точке, поэтому корни являются мнимыми.

Случай 3

Когда дискриминант равен нулю, корни действительны и равны . Это можно показать в декартовой плоскости, как на рисунке 3:

Рисунок 3

Парабола пересекает ось x только в одной точке, что показывает, что корни действительны и равны.

Применение квадратных уравнений

Квадратные уравнения используются в большинстве математических задач . Квадратные уравнения можно использовать для решения многих реальных задач, для расчета площади, для объекта, движущегося по снаряду, для расчета прибыли и убытков, а также для нахождения скорости объекта, функции оптимизации и т. д.

Теперь мы увидим некоторые реальных приложений , которые помогут вам еще больше прояснить ваши концепции.

Задача 1

Вам нужно сделать учебный стол, длина которого на два метра больше его ширины. Вам предоставили три квадратных метра дерева. Каковы будут размеры стола с имеющейся древесиной?

Решение

Длина стола на 2 метра больше его ширины.

Как мы знаем, формула площади записывается как: 92-4ac}}{2a}\]

После использования квадратичной формулы вы получите значения x, которые равны 11,2 и 88,7.

Квадратная формула для нахождения корней

Квадратная формула — одна из самых популярных формул в математике. Эта популярность связана с тем, что он может решать несколько квадратных уравнений, что является довольно утомительной задачей, если ее решать с помощью метода факторизации.

Чтобы использовать квадратную формулу для определения корней, квадратное уравнение должно быть записано в стандартной форме. Стандартная форма задается как: 92$, b передает коэффициент при x, а c является константой. Чтобы решить уравнение, просто подставьте значения в формулу, и мы получим требуемое решение.

Существуют и другие методы, которые можно использовать для решения квадратных уравнений, но этот метод формулы чаще всего используется из-за его простоты.

Вывод квадратной формулы

Вывод квадратной формулы из стандартной формы квадратного уравнения подробно объясняется ниже.

Как мы знаем, стандартная форма квадратного уравнения выглядит следующим образом: 92-4ac}}{2a}\]

Это известно как квадратичная формула . Применяется ко всем типам квадратных уравнений и используется для нахождения решения квадратных уравнений. Существуют также другие методы нахождения решений квадратных уравнений, такие как метод факторизации, метод заполнения квадратов и т. д.

История квадратных формул

Квадратные формулы использовал. Проблема нахождения решения простого квадратного уравнения впервые возникла у вавилонян и египтян, а затем у греков и китайцев.

При вычислении площадей и размеров участков возникали проблемы с величинами, включающими квадрат величин, египтяне использовали описательные методы, которым было трудно следовать. Вместо того, чтобы вводить формулу, они отметили площади разных квадратов и составили таблицу значений.

Следующими с той же проблемой столкнулись вавилоняне. Они пытались найти формулы для расчета площадей разной формы. Таким образом, они вывели метод полных квадратов для решения своих задач, связанных с площадями. Вавилоняне были единственными, кто использовал систему счисления в то время.

Древние греки и китайцы также пытались решить эти проблемы. В то время концепция алгебры и алгебраические термины еще не были разработаны, поэтому они работали над решением этих задач геометрически. Китайцы занимались математикой с помощью абака.

Затем, в 9 веке, персидский ученый Мухаммад бин Муса аль-Хорезми, известный как отец алгебры , ввел алгебру и использовал символы и концепцию уравнений. Он первым создал метод решения квадратных уравнений, но этот метод был только для положительных значений.

Европейский математик Джироламо Кардано объединил алгебраический подход аль-Хорезми и геометрический подход, и он понял, как решить эти квадратные уравнения, которые будут справедливы для всех значений, даже для мнимых чисел.

Саймон Стевин в 1594 году ввел квадратичную формулу, которая охватывала все случаи. Квадратичная формула, которую мы используем сегодня, была введена Рене Декартом в 1937 году; он содержит все частные случаи квадратичной формулы.

92 – 3x +4 = 0 \]

Найдите корни уравнения, используя квадратную формулу.

Решение

Корневой график

График x-y для приведенного выше уравнения показан на рисунке 4. В результате получается парабола, обращенная вверх, с глобальным минимумом над осью x. Рис. 4 форма. Даны значения для каждого корня.

Рисунок 5

Корни

Теперь, когда дискриминант входного уравнения меньше нуля, калькулятор выдает оба корня комплексного характера (действительный и мнимый).

 disc < 0 

Корни задаются следующим образом:

\[ x_{1} = \frac{3}{2} – \frac{i\sqrt{7}}{2} \]

\[ x_{2} = \frac{3}{2} + \frac{i\sqrt{7}}{2} \]

Пример 2

Определите корни следующего уравнения:

\[92-12x+4=0\]

Кроме того, нарисуйте корневой график в системе координат x-y.

Решение

Корневой график

Корни уравнения могут быть представлены в декартовой системе координат, как на рисунке 6:

Рисунок 6

Числовая линия

. Это показано на рисунке 7 ниже:

Рисунок 7

Корни

Подставив выражение в калькулятор, вы получите действительные и равные корни, так как дискриминант равен нулю. 92 – 11x + 5 = 0 \]

Используйте Калькулятор квадратичных формул , чтобы решить уравнение.

Решение

Корневой график

Корневой график для входного уравнения показан на рисунке 8. График представляет собой восходящую параболу с глобальным минимумом под осью x. Он также подчеркнул расположение корней.

Рисунок 8

Числовая линия

Корни представляют собой простые значения x, поэтому они представлены на плоскости x в виде числовой прямой. Точки на плоскости x имеют только одно измерение, что показано на рисунке 9.

No related posts.