1 cos это: Тригонометрические формулы. Основные тригонометрические тождества. Тригонометрические тождества

Основные тригонометрические формулы

В самом начале этой статьи мы с Вами рассмотрели понятие тригонометрических функций. Основное назначение их назначение – это изучение основ тригонометрии и исследование периодических процессов. И тригонометрический круг мы не зря рисовали, потому что в большинстве случаев тригонометрические функции определяются, как отношение сторон треугольника или его определенных отрезков в единичной окружности. Так же я упоминал о неоспоримо огромном значении тригонометрии в современной жизни. Но наука не стоит на месте, в результате мы можем значительно расширить область применения тригонометрии и перенести ее положения на вещественные, а иногда и на комплексные числа.

Формулы тригонометрии бывают нескольких видов. Рассмотрим их по порядку.

1. Соотношения тригонометрических функций одного и того же угла

Здесь мы подошли к рассмотрению такого понятия как основные тригонометрические тождества.

Тригонометрическое тождество — это равенство, которое состоит из тригонометрических соотношений и которое выполняется для всех значений величин углов, которые входят в него.

Рассмотрим наиболее важные тригонометрические тождества и их доказательства:

Первое тождество вытекает из самого определения тангенс.

Возьмем прямоугольный треугольник, в котором имеется острый угол х при вершине А.

Для доказательства тождеств необходимо воспользоваться теоремой Пифагора:

(ВС) ² + (АС) ² = (АВ) ²

Теперь разделим на (АВ) ² обе части равенства и припомнив определения sin и cos угла, мы получаем второе тождество:

(ВС) ²/(AB) ² + (AC) ²/(AB) ² = 1

sin x = (BC)/(AB)

cos x = (AC)/(AB)

sin² x + cos² x = 1

Для доказательства третьего и четвертого тождеств воспользуемся предыдущим доказательством.

Для этого обе части второго тождества разделим на cos² x:

sin² x/ cos² x + cos² x/ cos² x = 1/ cos² x

sin² x/ cos² x + 1 = 1/ cos² x

Исходя из первого тождества tg x = sin х /cos x получаем третье:

1 + tg² x = 1/cos² x

Теперь разделим второе тождество на sin² x:

sin² x/ sin² x + cos² x/ sin² x = 1/ sin² x

1+ cos² x/ sin² x = 1/ sin² x

cos² x/ sin² x есть не что иное, как 1/tg² x, поэтому получаем четвертое тождество:

1 + 1/tg² x = 1/sin² x

Пришла пора вспомнить теорему о сумме внутренних углов треугольника, которая гласит, что сумма углов треугольника = 180⁰. Получается, что при вершине В треугольника находится угол, величина которого 180

0 – 90⁰ – х = 90⁰ – х.

Опять вспомним определения для sin и cos и получаем пятое и шестое тождества:

sin x = (BC)/(AB)

cos(90⁰– x ) = (BC)/(AB)

cos(90⁰– x ) = sin x

Теперь выполним следующее:

cos x = (AC)/(AB)

sin(90⁰– x ) = (AC)/(AB)

sin(90⁰– x ) = cos x

Как видите – здесь все элементарно.

Существуют и другие тождества, которые используются при решении математических тождеств, я приведу их просто в виде справочной информации, потому как все они проистекают из вышерассмотренных.

2. Выражения тригонометрических функций друг через друга

   (выбор знака перед корнем определяется тем, в какой из четвертей круга расположен угол ?)

3. Далее следуют формулы сложения и вычитания углов:

4. Формулы двойных, тройных и половинных углов.

   Замечу, что все они проистекают из предыдущих формул.

sin 2х =2sin х*cos х

cos 2х =cos²х -sin²х =1-2sin²х =2cos²х -1

tg 2x = 2tgx/(1 — tg² x)

сtg 2x = (сtg² x — 1) /2сtg x

sin3х =3sin х — 4sin³х

cos3х =4cos³х — 3cos х

tg 3x = (3tgx – tg³ x) /(1 — 3tg² x)

сtg 3x = (сtg³x – 3сtg x) /(3сtg² x — 1)

5. Формулы преобразования тригонометрических выражений:

Когда-то, будучи школьником, я с удовольствием применял эти формулы для решения различного рода задач, как то упростить выражение или решить уравнение. Главное разглядеть — куда и какую формулу необходимо применить, и тогда многоярусная конструкция превращается в обычное числовое выражение.

Очень полезная штука для развития логического мышления!

---

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

---

Синус sin x косинус cos x

Справочные данные по тригонометрическим функциям синус (sin x) и косинус (cos x). Геометрическое определение, свойства, графики, формулы. Таблица синусов и косинусов, производные, интегралы, разложения в ряды, секанс, косеканс. Выражения через комплексные переменные. Связь с гиперболическими функциями.

Геометрическое определение синуса и косинуса

Прямоугольный треугольник.

|BD| —  длина дуги окружности с центром в точке A.
α — угол, выраженный в радианах.

Синус (sin α)

– это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине гипотенузы |AC|.

Косинус (cos α)

– это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине гипотенузы |AC|.

Принятые обозначения

;
;
.

;
;
.

Графики функций синус, y = sin x, и косинус, y = cos x

Графики функций y=sin(x) и y=cos(x).

Графики синуса и косинуса смещены по оси x друг относительно друга на :
.

Свойства синуса и косинуса

Периодичность

Функции   y = sin x   и   y = cos x   периодичны с периодом   2π.

Четность

Функция синус – нечетная. Функция косинус – четная.

Область определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание

Функции синус и косинус непрерывны на своей области определения, то есть для всех x (см. доказательство непрерывности). Их основные свойства представлены в таблице (n — целое).

	y = sin x	y = cos x
Область определения и непрерывность	– ∞ < x < + ∞	– ∞ < x < + ∞
Область значений	–1 ≤ y ≤ 1	–1 ≤ y ≤ 1
Возрастание
Убывание
Максимумы, y = 1
Минимумы, y = –1
Нули, y = 0
Точки пересечения с осью ординат, x = 0	y = 0	y = 1

Основные формулы

Сумма квадратов синуса и косинуса

Формулы синуса и косинуса от суммы и разности

Формулы произведения синусов и косинусов

Формулы суммы и разности

Выражение синуса через косинус

Далее мы полагаем, что – целое число.

;
;
    ;
    .

Выражение косинуса через синус

;
;
    ;
    .

Выражение через тангенс

;     .

При   , имеем:
;     .

При   :
;     .

Таблица синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов

В данной таблице представлены значения синусов и косинусов при некоторых значениях аргумента.

Выражения через комплексные переменные

;    

Формула Эйлера

Выражения через гиперболические функции

;    
;    

Производные

;     .     Вывод формул > > >

Производные n-го порядка:
;     .

Интегралы

;    
См. также раздел Таблица неопределенных интегралов >>>

Разложения в ряды

    { –∞ < x < +∞ }
    { –∞ < x < +∞ }

Секанс, косеканс

   

Обратные функции

Обратными функциями к синусу и косинусу являются арксинус и арккосинус, соответственно.

Арксинус, arcsin

   
   
   

Арккосинус, arccos

   
   
   

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Мэтуэй | Популярные задачи

92

1	Найти точное значение	грех(30)
2	Найти точное значение	грех(45)
3	Найти точное значение	грех(30 градусов)
4	Найти точное значение	грех(60 градусов)
5	Найти точное значение	загар (30 градусов)
6	Найти точное значение	угловой синус(-1)
7	Найти точное значение	грех(пи/6)
8	Найти точное значение	cos(pi/4)
9	Найти точное значение	грех(45 градусов)
10	Найти точное значение	грех(пи/3)
11	Найти точное значение	арктан(-1)
12	Найти точное значение	cos(45 градусов)
13	Найти точное значение	cos(30 градусов)
14	Найти точное значение	желтовато-коричневый(60)
15	Найти точное значение	csc(45 градусов)
16	Найти точное значение	загар (60 градусов)
17	Найти точное значение	сек(30 градусов)
18	Найти точное значение	cos(60 градусов)
19	Найти точное значение	cos(150)
20	Найти точное значение	грех(60)
21	Найти точное значение	cos(pi/2)
22	Найти точное значение	загар (45 градусов)
23	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень из 3)
24	Найти точное значение	csc(60 градусов)
25	Найти точное значение	сек(45 градусов)
26	Найти точное значение	csc(30 градусов)
27	Найти точное значение	грех(0)
28	Найти точное значение	грех(120)
29	Найти точное значение	соз(90)
30	Преобразовать из радианов в градусы	пи/3
31	Найти точное значение	желтовато-коричневый(30)
32
35	Преобразовать из радианов в градусы	пи/6
36	Найти точное значение	детская кроватка(30 градусов)
37	Найти точное значение	арккос(-1)
38	Найти точное значение	арктан(0)
39	Найти точное значение	детская кроватка(60 градусов)
40	Преобразование градусов в радианы	30
41	Преобразовать из радианов в градусы	(2 шт. )/3
42	Найти точное значение	sin((5pi)/3)
43	Найти точное значение	sin((3pi)/4)
44	Найти точное значение	тан(пи/2)
45	Найти точное значение	грех(300)
46	Найти точное значение	соз(30)
47	Найти точное значение	соз(60)
48	Найти точное значение	соз(0)
49	Найти точное значение	соз(135)
50	Найти точное значение	cos((5pi)/3)
51	Найти точное значение	cos(210)
52	Найти точное значение	сек(60 градусов)
53	Найти точное значение	грех(300 градусов)
54	Преобразование градусов в радианы	135
55	Преобразование градусов в радианы	150
56	Преобразовать из радианов в градусы	(5 дюймов)/6
57	Преобразовать из радианов в градусы	(5 дюймов)/3
58	Преобразование градусов в радианы	89 градусов
59	Преобразование градусов в радианы	60
60	Найти точное значение	грех(135 градусов)
61	Найти точное значение	грех(150)
62	Найти точное значение	грех(240 градусов)
63	Найти точное значение	детская кроватка(45 градусов)
64	Преобразовать из радианов в градусы	(5 дюймов)/4
65	Найти точное значение	грех(225)
66	Найти точное значение	грех(240)
67	Найти точное значение	cos(150 градусов)
68	Найти точное значение	желтовато-коричневый(45)
69	Оценить	грех(30 градусов)
70	Найти точное значение	сек(0)
71	Найти точное значение	cos((5pi)/6)
72	Найти точное значение	КСК(30)
73	Найти точное значение	arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74	Найти точное значение	загар((5pi)/3)
75	Найти точное значение	желтовато-коричневый(0)
76	Оценить	грех(60 градусов)
77	Найти точное значение	arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78	Преобразовать из радианов в градусы	(3 пи)/4
79	Найти точное значение	sin((7pi)/4)
80	Найти точное значение	угловой синус(-1/2)
81	Найти точное значение	sin((4pi)/3)
82	Найти точное значение	КСК(45)
83	Упростить	арктан(квадратный корень из 3)
84	Найти точное значение	грех(135)
85	Найти точное значение	грех(105)
86	Найти точное значение	грех(150 градусов)
87	Найти точное значение	sin((2pi)/3)
88	Найти точное значение	загар((2pi)/3)
89	Преобразовать из радианов в градусы	пи/4
90	Найти точное значение	грех(пи/2)
91	Найти точное значение	сек(45)
92	Найти точное значение	cos((5pi)/4)
93	Найти точное значение	cos((7pi)/6)
94	Найти точное значение	угловой синус(0)
95	Найти точное значение	грех(120 градусов)
96	Найти точное значение	желтовато-коричневый ((7pi)/6)
97	Найти точное значение	соз(270)
98	Найти точное значение	sin((7pi)/6)
99	Найти точное значение	arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100	Преобразование градусов в радианы	88 градусов

тригонометрия — Почему $-\sec(x) = 1/\cos(x)$?

спросил 8 лет, 8 месяцев назад

Изменено 8 лет, 8 месяцев назад

Просмотрено 2к раз

$\begingroup$

Почему $-\sec(x)$ становится положительным $1/\cos(x)$? Я думал, что отрицательный результат будет равен $-1/\cos(x)$.

• тригонометрия

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Вы правы. Просто взглянув на определение $\sec(x)$, можно ясно увидеть, что $$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)}$$

Но не верьте мне на слово. Ваше уравнение само скажет вам, верно оно или нет.

$$ -\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} \ подразумевает -\frac{1}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x) } \подразумевает \большой{-1 =1} \подразумевает {\text{False}}$$

---

Теперь есть результат, подобный этому, который является правдой, $$ \sec (-x) = \frac{1}{\cos(-x)} = \frac{1}{\cos(x)}$$

Почему это произошло? Потому что $ \cos(-x) = \cos(x)$.

Опять же, не верьте мне на слово. Я могу доказать это, используя тождество $\cos(A \pm B) = \cos(A)\times\cos(B) \mp \sin(A)\times\sin(B)$. $$\cos(-x) = \cos (0-x) = \cos 0\times\cos x + \sin 0\times\sin x = 1\times\cos x + 0\times\sin x = \ потому что х$$

---

Никогда не путайте $\sec(-x)$ с $-\sec(x)$.