1 q 1 p: Conjugate Indices 1/p + 1/q = 1

Лекция №5

Лекция №5

Лекция 5. Основные дискретные распределения

1. Биномиальное распределение

Определение 1.  

Дискретная СВ X с реализациями x_k= k, k = 0,n, имеет биномиальное распределение с параметрами n и p О [0,1], что символически обозначается как X ~ Bi(n, p), если вероятность события {X = x_k} определяется формулой Бернулли:

pk

Δ =

P{X = xk}

Δ =

Pn(k)

Δ =

Cnkpkqn-k ,   q = 1 — p.

Замечание 1.   Пусть

опыт G повторяется n раз в одних и тех же условиях, при этом событие A появляется при каждом повторении опыта с одной и той же вероятностью

p

Δ =

P(A).

Тогда по теореме Л3.Р5.Т1 вероятность появления события A ровно k раз при n повторениях опыта G определяется формулой Бернулли P_n(k) = C_n^kp^kq^n-k , т.е. случайная величина X, являющаяся числом появления события A при n повторениях опыта, имеет биномиальное распределение. Заметим, что формула Бернулли совпадает с выражением для (k + 1)-го слагаемого в разложении бинома Ньютона (p + q)ⁿ, и поэтому такое распределение и называется биномиальным.

Замечание 2.  

Характеристическая функция СВ X ~ Bi(n, p):

g(t)

Δ =

n  ∑  k=0

pkeitk =

n  ∑  k=0

Cnk(peit) kqn-k =

= | бином Ньютона | = (q + pe^it)ⁿ. Из свойства 3)g(t) получаем сразу же значение математического ожидания и дисперсии:

mx

Δ =

ν1 =

1   i

d dt

g(t)

|

t =0

=

1   i

[

d dt

(q + peit)n

]

|

t =0

= np(q + p) n-1 = np,

ν2 =

1  i2

d2 dt2

g(t)

|

t =0

=

1  i2

d2 dt2

(q + peit)n

|

t =0

=

=

np  i

[

d dt

(q + peit)n-1eit

]

|

t =0

=

= np2(n-1)[e2it(q + peit)n-2]

|

t =0

+ np[(q + peit)n-1eit]

|

t =0

=

= n2p2+npq,

dx

Δ =

μ2

6)mx   =

ν2 — mx2 = n2p2 + npq — n2p2 = npq.

Пример 1.   Монету бросают три раза. Требуется найти

ряд распределения числа X выпавших «гербов». СВ X распределена по биномиальному закону с параметрами n = 3 , p = 1/2 . Поэтому p₀ = C₃⁰(1/2)³ = 1/8,   p₂ = p₁ = C₃¹(1/2)³ = 3/8,   p₃ = 1 — (p₀ + p₁ + p₂) = 1/8. Таким образом, получаем следующий ряд распределения

X	0	1	2	3
P	1 8	3 8	3 8	1 8

Пример 2.   Предположим требуется оценить эффективность начала работы магазина с 8 часов утра в течении 5 рабочих дней. Вероятность появления покупателей в это время суток известна и она равна p. Тогда вероятность прихода покупателей в это время k раз за неделю выражается формулой Бернулли. При этом, если, например, для k = 4 эта вероятность P₅(4) окажется близкой к единице, то следует ожидать экономический эффект от открытия магазина в 8 часов утра.

2. Распределение Бернулли

Определение 1.  

Биномиальное распределение Bi(1, p) с параметрами n = 1 и p О [0,1] называется распределением Бернулли.

Замечание 1.   Для распределения

Bi(1, p) имеем по замечанию 2 из предыдущего раздела g(t) = q + pe^it, m_x = p, d_x = p(1-p).

Замечание 2.  

Распределение Бернулли Bi(1, p) играет фундаментальную роль в теории вероятностей и математической статистике, являясь математической моделью опыта с двумя исходами (см. замечание Л10.Р2.З6).

Замечание 3.   Если X_m, m = 1,n, — независимые

СВ (см. понятие Л9.Р1.О5) с распределением Bi(1, p), тогда СВ

X

Δ =

n  ∑  m=1

Xm

имеет распределение Bi(n, p).

Пример 1.   Пусть имеется партия некоторого товара, в котором товар с дефектами встречается с вероятностью 1 — p, а товар без дефектов — с вероятностью p. Положим x₀ = 1, если попался товар без дефектов, и x₁ = 0, если товар с дефектом. Тогда «качество» товара можно описать случайной величиной, имеющей распределение Бернулли

Bi(1, p).

3. Распределение Пуассона

Определение 1.  

Дискретная СВ X с реализациями x_k = k, k = 0,1,… имеет распределение Пуассона с параметром a > 0, что символически записывается как X ~ П(a), если

pk

Δ =

P{X = xk } =

ak   k!

e-a.

Замечание 1.

 

Найдём Характеристическую функцию СВ X ~ П(а):

g(t)

Δ =

∞  ∑  k=0

pkeitk =

∞  ∑  k=0

ak   k!

e-aeitk =

= e-a

∞  ∑  k=0

(aeit)k     k!

= e-aeae

it

= ea(e

it

-1) .

По свойству 3)g(t) получаем математическое ожидание и дисперсию

mx

Δ =

ν1 =

1   i

d dt

g(t)

|

t =0

=

1  i

[a i eitea(e

it

-1)]

|

t =0

= a ;

ν2 =

1  i2

d2 dt2

g(t)

|

t =0

=

a  i

[i eitea(e

it

-1)]

|

t =0

= a(1+a) ;

d_x = ν₂—m_x² = a.

Замечание 2.   Для

распределения Пуассона характерно числовое равенство m_x = d_x = a, но при этом физические размерности m_x и d_x не совпадают.

Замечание 3.  

Распределение Пуассона широко используется в теории массового обслуживания. Приведем пример типичной ситуации, когда возникает такое распределение.

Пример 1.   Пусть на телеграфную станцию в произвольные моменты времени случайным образом поступают заявки на переговоры с городом N так, что выполняются два условия:
    а) вероятность появления любого количества заявок за какой-либо отрезок времени не зависит от того, сколько их поступило за любой другой, не пересекающийся с ним отрезок, т.е. заявки распределяются на оси времени t независимо друг от друга. Это условие независимости;
    б) вероятность появления за достаточно малый интервал времени длины Δt двух и более заявок пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью поступления в течении этого интервала времени не более одной заявки, которая пропорциональна Δt с коэффициентом пропорциональности a. Это условие ординарности.
    В данном случае можно показать, что

СВ X, равная числу заявок, поступивших на телефонную станцию за единицу времени имеет распределение П(a), где a — среднее число заявок, поступающих в единицу времени.

Пример 2.   Пусть машина проехала Δ километров и X — число проколов шины на этом расстоянии. Тогда вероятность k проколов шины может быть найдена по формуле Пуассона (с соответствующим параметром a).

Замечание 4.   Между

биномиальным распределением Bi(n, p) и распределением Пуассона П(a) имеется следующая связь.

Теорема 1.  (Пуассона) Пусть n → ∞, p → 0 и при этом np ≡ a = const. Тогда

Pn(k) →

ak   k!

e-a ,

где Pn(k)

Δ =

Cnkpkqn-k ,   k = 0,n .

Замечание 5.   Докажем это утверждение, пользуясь замечательным пределом (1 — a/n)ⁿ → e^-a при n → ∞. Так как здесь p = a/n, q = 1 — a/n, то по определению

Л5.Р1.О1 получаем

l i m   n → ∞

Pn(k) =

l i m   n→∞

n(n-1)…(n—k+1)         k!

(a/n)k(1-a/n)n—k =

=

ak k!

l i m   n→∞

n(n-1)…(n—k+1)        nk

(1-a/n)n (1-a/n)k

=

ak   k!

e-a.

Замечание 6.   Таким образом, при больших n и малых p (при редких явлениях) выполняется закон малых чисел, в соответствии с которым сложное двухпараметрическое

биномиальное распределение Bi(n, p) можно приближенно заменить однопараметрическим распределением Пуассона П(а), где а = nр. При этом ошибка от такой замены не превышает np², т.е.

|Cnkpkqn-k —

(np)k   k!

e-np | ≤ np2.

Если условия теоремы Пуассона не выполняются, т.е. p достаточно велико, то существует другая оценка P_n(k) (см. теорему Муавра-Лапласа Л11. Р2.З3), которая основана на законе больших чисел.

Пример 3.   Пусть некоторая система содержит 5000 независимо работающих элементов.

Вероятность отказа каждого равна 0.001. Найдем вероятность отказа системы, если известно, что он происходит при отказе двух и более ее элементов. Число отказавших элементов является СВ X ~ Bi(5000,0.001). Поскольку значение n = 5000 велико, p = 0.001 мало (а = np = 5) и, кроме того, np² = 0.005 — приемлемая точность, то воспользуемся замечанием 4: P{X ≥ 2} = 1 — P{X ≤ 1} = 1 — P₅₀₀₀(0) - P₅₀₀₀(1) ≈ 0.9596.

Обращение за визой в США | Типы виз

На данной странице:

• Общие сведения
• Виза для деловых и туристических поездок (В1/В2)
• Студенческие визы (F,M)
• Рабочие визы (H,L,O,P,Q,R)
• Визы для участников программ обмена (J)
• Транзитные визы и визы для членов экипажа (C1/D)
• Визы для журналистов и работников СМИ (I)
• Визы для домашнего обслуживающего персонала (В1, А3Б G5)
• Список категорий неиммиграционных виз

---

Общие сведения

В общем случае лица, являющиеся гражданами иностранных государств, перед въездом на территорию США должны получить визу: либо неиммиграционную визу для временного пребывания, либо иммиграционную визу для постоянного проживания. Граждане определенных государств имеют право въезжать на территорию США без визы в рамках программы безвизового въезда (Российская Федерация не является в настоящее время участником данной программы).

Наличие визы не гарантирует возможность въезда в США. Виза просто удостоверяет, что консульский работник США подтвердил Ваше право подать заявление на въезд в США с определенной целью. В соответствии с законом США, большинство заявителей на визу должны продемонстрировать консулу наличие у них прочных связей со страной проживания и должны показать, что они намерены покинуть США после временного визита.

Ниже перечислены наиболее распространенные типы неиммиграционных виз. Полный список типов виз можно посмотреть на этой странице.

Виза для деловых и туристических поездок (В1/В2)

Виза для деловых и туристических поездок B-1/B-2 предназначена для временного пребывания в США с деловыми целями (B-1) или туризма, или получения медицинской помощи (B-2). В большинстве случаев, категории B-1 и B-2 комбинируют, выдавая визу B-1/B-2.

Оплата: Невозвращаемый консульский сбор в размере 160 долларов, сбор за выдачу визы (или взаимный сбор) в зависимости от гражданства заявителя.

Документы: Для консула имеют большее значения Ваши ответы на вопросы, чем предоставляемые документы. Тем не менее, Вы можете взять на собеседование любые документы, подтверждающие цель поездки, Ваши связи с Россией, предыдущие деловые или туристические поездки за границу. Это могут быть старые паспорта, документы о доходах и собственности, а также деловая корреспонденция, поясняющую вашу программу пребывания.

Более подробная информация о данном типе визы

Студенческие визы (F,M)

Виза F предназначена для студентов, которые были зачислены в колледж или университет США, частную общеобразовательную школу, или же направляющиеся для изучения английского языка в рамках соответствующих программ. Виза М предназначена для студентов, направляющихся в США для неакадемического или профессионального обучения. Проконсультируйтесь с Вашим учебным заведением относительно того, какой тип визы требуется в Вашем случае. Если Вы направляетесь в США как турист, но также планируете пройти обучение по сокращенной программе (менее 18 часов в неделю), Вы можете ехать по туристической визе В2.

Оплата: $160 консульский сбор; визовый сбор зависит от гражданства. Граждане РФ могут получить студенческие визы на срок не более одного года без дополнительного визового сбора.

Документы: Обращаясь за визой F или M, Вы должны предоставить одобренную форму I-20 из школы или университета. Вы должны также предоставить подтверждение оплаты сбора SEVIS , который можно оплатить онлайн. Помимо данных обязательных документов, для консула будут иметь большое значение Ваши ответы на вопросы. Вы также можете предоставить финансовые и иные документы, которые подтверждают обоснованность Вашего заявления на визу, и свидетельствуют о наличии в Вашем распоряжении доступных денежных средств, достаточных для оплаты обучения, а также подтверждение предыдущих деловых или туристических поездок за границу. Это могут быть старые паспорта, документы о доходах и собственности, а также выписка из учебной ведомости о вашей успеваемости из школ, где Вы обучались ранее.

Более подробная информация о данном типе визы

Рабочие визы (H,L,O,P,Q,R)

Если Вы хотите работать в США при наличии неиммигрантского статуса, требуется получить визу соответствующей категории в зависимости от вида выполняемой работы. Существуют различные типы виз для высококвалифицированных специалистов в специализированных областях (Н1В), сотрудников, которые временно переводятся в подразделение компаний в США (L), спортсменам, работникам индустрии развлечений (P), лицам, въезжающим в США для участия в программах международного культурного обмена (Q), религиозным деятелям (R), лицам с выдающимися способностями (О). Все заявители, обращающиеся за рабочими визами должны иметь соответствующую петицию, одобренную Службой Гражданства и Иммиграции. Петиция по форме I-129 должна быть утверждена до подачи заявления на рабочую визу в посольство или консульство США.

Оплата: $190 консульский сбор; визовый сбор зависит от гражданства. Граждане РФ, за некоторым исключением, могут получить рабочую визу на срок, указанный в их петиции, но не более 2 лет.

Документы: Вы должны предоставить номер квитанции, указанный на Вашей петиции I-129. Также желательно предоставить консульскому работнику распечатанную копию Вашей петиции. Помимо данных документов, для консула будут иметь большое значение Ваши ответы на вопросы. Вы также можете предоставить документы, которые подтверждают Вашу квалификацию для работы по специальности, соответствующей характеру выполняемой работы в США. Например, можно предоставить резюме, письма от работодателя, и документ об образовании.

Более подробная информация о визах H, L, O, P и Q

Более подробная информация о религиозной визе R

Визы для участников программ обмена (J)

Визы для участников программ обмена оформляются для предоставления специалистам в области образования, культуры и науки возможности обмена знаниями и умениями. В программах обмена могут участвовать следующие категории лиц: студенты любого года обучения, стажеры, учителя школ,преподаватели высших учебных заведений, въезжающие в США для преподавания и проведения исследований в высших учебных заведениях, научные сотрудники, а также иностранные граждане, въезжающие в США с целью участия в программах российско-американского партнерского диалога.

Оплата: $160 консульский сбор; визовый сбор (зависит от гражданства). Условия участия в программах различны, но с граждан РФ визовый сбор не взимается, и они могут получить визу участника программы обмена сроком действия до трех лет. С заявителей, участвующих в программах, спонсируемых правительством США, консульский сбор не взимается. Отличительным признаком того, что программа, спонсируется правительством США, является наличие начальной буквы G в номере программы. Если программа J не спонсируется правительством США, заявитель должен оплатить сбор SEVIS (форма I-901). Сбор SEVIS можно оплатить онлайн.

Документы: Вы должны предоставить одобренную форму DS-2019. Кроме документов большое значение для принятия решения о возможности оформления визы будет иметь само собеседование с сотрудником консульской службы. Что касается документов, то можно предоставить любые документы, подтверждающие цель поездки, связи с Россией, предыдущие деловые или туристические поездки за границу. Это могут быть загранпаспорта с истекшим сроком действия, документы о доходах и собственности, а также переписка, относящаяся к планируемой поездке по данной программе обмена.

Более подробная информация о данном типе визы

Транзитные визы и визы для членов экипажа (C1/D)

Транзитная виза (C) необходима лицам, направляющимся в другие иностранные государства через территорию США и у которых нет действующей B1/2 визы. Виза для членов экипажа (D) необходима членам экипажа, обслуживающего морское или воздушное судно на территории США. Члены экипажей воздушных и морских судов, пересекающих транзитом воздушное пространство или территориальные воды Соединенных Штатов, обычно получают комбинированную визу C-1/D (транзитные пассажиры/члены экипажей).

Оплата: $160 консульский сбор и визовый сбор, размер которого зависит от гражданства заявителя. Граждане РФ, являющиеся членами экипажей морских и воздушных судов могут получить многократную транзитную визу и визу для членов экипажей морских и воздушных судов со сроком действия вплоть до 2-х лет. Сбор за выдачу неиммиграционной визы с граждан Российской Федерации не взимается.

Необходимые документы: Если Вы обращаетесь за транзитной визой, то Вам необходимо представить билеты, подтверждающие запланированную Вами поездку через территорию США, а также визы, требуемые для въезда в страну назначения. Кроме вышеперечисленных документов, для проводящего собеседование консула наибольшее значение имеет то, как Вы отвечаете на вопросы, а не документы которые предоставляете. Если Вы являетесь членом экипажа, Вам необходимо представить документы, подтверждающие данный факт, а также наличие прочных связей с Россией. Например, предыдущие паспорта, рабочее удостоверение, письмо от работодателя.

Дополнительная информация по данному типу визы

Визы для журналистов и работников СМИ (I)

Данная категория визы (I) предназначена для «представителей зарубежных медиа», таких как репортеры, съемочные группы, редакторы, а также лица схожих профессий, въезжающих в США с целью осуществления своей профессиональной деятельности. Фотографам данный тип визы не нужен — достаточно наличия B1 визы, при условии, что их деятельность на территории США не оплачивается.

Оплата: $160 консульский сбор и визовый сбор, размер которого зависит от гражданства заявителя. Российским гражданам обычно выдается однократная трехмесячная I виза. Журналисты, направляющиеся в длительные командировки в США, могут получить многократную годовую визу. Сбор за выдачу неиммиграционной визы с граждан Российской Федерации не взимается.

Необходимые документы: Вам необходимо предоставить письмо от Вашего работодателя, в котором должны быть указаны Ваше имя, должность, цель и продолжительность поездки в США. Кроме вышеуказанного документа, для проводящего собеседование консула наибольшее значение имеет то, как Вы отвечаете на вопросы, а не документы, которые предоставляете. Однако, Вы можете предоставить любые документы, помогающие продемонстрировать на собеседовании цель Вашей поездки, наличие прочных связей с Россией, а также подтверждения Ваших деловых и туристических поездок в другие страны. Например, предыдущие паспорта, документы о доходе и собственности, копии Ваших прошлых работ.

Дополнительная информация по данному типу визы

Визы для домашнего обслуживающего персонала (B1, A3, G5)

Данная категория визы предназначена для домашнего обслуживающего персонала (включающего в себя поваров, дворецких, шоферов, горничных и нянь), сопровождающих или следующих в США к своему работодателю. Если работодатель — дипломат (A1/A2), то домашний работник должен обращаться за визой А3. Если работодатель — сотрудник международной организации и является держателем визы G, то домашний работник должен обращаться за визой G5. Если работодатель – американский гражданин или является держателем другой неиммиграционной визы, то работник должен обращаться за визой B1.

Оплата: Заявители на A3 и G5 не должны оплачивать ни один из сборов. Заявители на B1 визу оплачивают $160 консульский сбор и визовый сбор в зависимости от своего гражданства. Граждане РФ могут получить однократную или многократную визу B1 со сроком действия вплоть до 3-х лет. Сбор за выдачу неиммиграционной визы с граждан Российской Федерации не взимается.

Документы: Вам необходимо предоставить копию визы Вашего работодателя (или, если он гражданин США, копию его паспорта), рабочий контракт на период поездки, который должен соответствовать требованиям, изложенным на этой странице. Вам необходимо предоставить подписанную копию этого контракта на английском языке и, если Вы не говорите по-английски, подписанную копию на русском. Кроме вышеуказанных документов, для проводящего собеседование консула наибольшее значение имеет то, как Вы отвечаете на вопросы, а не документы, которые предоставляете. Однако, Вы можете предоставить любые документы, помогающие продемонстрировать на собеседовании цель Вашей поездки, подтвердить то, что Вы соответствуете данному типу визы, а также наличие прочных связей с Россией. Например, предыдущие паспорта или письмо от Вашего работодателя.

Дополнительная информация по данному типу визы

3 6 Решить для ? cos(x)=1/2 7 Найти x sin(x)=-1/2 8 Преобразование градусов в радианы 225 9 Решить для ? cos(x)=(квадратный корень из 2)/2 10 Найти x cos(x)=(квадратный корень из 3)/2 11 Найти x sin(x)=(квадратный корень из 3)/2 92=9 14 Преобразование градусов в радианы 120 градусов 15 Преобразование градусов в радианы 180 16 Найти точное значение желтовато-коричневый(195) 92-4 38 Найти точное значение грех(255) 39 Оценить лог база 27 из 36 40 Преобразовать из радианов в градусы 2 шт. 92-3sin(x)+1=0 43 Найти x tan(x)+ квадратный корень из 3=0 44 Найти x sin(2x)+cos(x)=0 45 Упростить (1-cos(x))(1+cos(x)) 92=25 59 График f(x)=- натуральный логарифм x-1+3 60 Найдите значение с помощью единичного круга угловой синус(-1/2) 61 Найти домен квадратный корень из 36-4x^2 92=0 66 Найти x cos(2x)=(квадратный корень из 2)/2 67 График у=3 68 График f(x)=- логарифмическая база 3 x-1+3 92 71 Найти x квадратный корень из x+4+ квадратный корень из x-1=5 72 Решить для ? cos(2x)=-1/2 73 Найти x логарифмическая база x из 16=4 9х 75 Упростить (cos(x))/(1-sin(x))+(1-sin(x))/(cos(x)) 76 Упростить сек(х)sin(х) 77 Упростить кубический корень из 24 кубический корень из 18 92=0 96 Найти x 3x+2=(5x-11)/(8г) 97 Решить для ? sin(2x)=-1/2 98 Найти x (2x-1)/(x+2)=4/5 92+n-72)=1/(n+9)

Уравнение Харди-Вайнберга | Изучайте науку в Scitable

Уравнение Харди-Вайнберга — это математическое уравнение, которое можно использовать для рассчитать генетическую изменчивость популяции в состоянии равновесия. В 1908 году Г. Х. Харди и Вильгельм Вайнберг независимо друг от друга описали основной принцип популяционная генетика, которая теперь называется уравнением Харди-Вайнберга. уравнение является выражением принципа, известного как равновесие Харди-Вайнберга, который утверждает что количество генетической изменчивости в популяции останется постоянным с одного поколения к другому при отсутствии возмущающих факторов.

Чтобы изучить Уравнение Харди-Вайнберга, мы можем исследовать простой генетический локус, в котором два аллеля, А и а. Уравнение Харди-Вайнберга выражается как:

p ² + 2pq + q ² = 1

, где p — частота аллеля «A», а q — частота аллель «а» в популяции. В уравнении p ² представляет собой частоту гомозиготный генотип AA, q ² представляет собой частоту гомозиготного генотип аа, а 2pq представляет частоту гетерозиготного генотипа Аа. Кроме того, сумма частот аллелей для всех аллелей в локусе должно быть равно 1, поэтому p + q = 1.