Рациональные дроби и их свойства. Основное свойство дроби. Сокращение дробей 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком
Рациональные дроби и их свойства. Основное свойство дроби. Сокращение дробей.
Целые выражения – это выражения, составленных из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения, а также деления на число, отличное от нуля. Так, целыми являются выражения 7а2b, m3+n3, a+58 и т.д.
В отличие от них выражения 4a-b2a+1, x+yx2-3xy+y2, помимо действий сложения, вычитания и умножения, содержат деление на выражение с переменными. Такие выражения называют дробными выражениями.
Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.
Целое выражение имеет смысл при любых значениях входящих в него переменных, так как для нахождения значения целого выражения нужно выполнить действия, которые всегда возможны.
Дробное выражение при некоторых значениях переменных может не иметь смысла. Например, выражение 10+1a не имеет смысла при а = 0. При всех остальных значениях а это выражение имеет смысл. Выражение xx-y имеет смысл при тех значениях х и у, когда x ≠ y.
Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных.
Выражение вида ab называется, как известно, дробью.
Дробь, числитель и знаменатель которой – многочлены, называют рациональной дробью.
В рациональной дроби допустимыми являются те значения переменных, при которых не обращается в нуль знаменатель дроби.
Пример 1. Найдем допустимые значения переменной в дроби 5a(a-9).
Чтобы найти, при каких значениях а знаменатель дроби обращается в нуль, нужно решить уравнение а(а — 9) = 0.
Это уравнение имеет два корня: 0 и 9. Следовательно, допустимыми значениями переменной а являются все числа, кроме 0 и 9.
Пример 2.
При каком значении х значение дроби x-22-252x+6 равно нулю?
Дробь ab равна нулю тогда и только тогда, когда a = 0 и b ≠ 0.
Числитель дроби равен нулю при x = 7 и x= -3. Знаменатель данной дроби не равен нулю, если x ≠ -3. Значит, данная дробь равна нулю при x = 7.
Мы знаем, что для обыкновенных дробей выполняется следующее свойство: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то значение дроби не изменится. Иначе говоря, при любых натуральных значениях а, b и с верно paвенство ab=a∙cb∙c.
Докажем, что это равенство верно не только при натуральных, но и при любых других значениях а, b и с, при которых знаменатель отличен от нуля, т.е. при b ≠ 0 и с ≠ 0.
Пусть ab=m. Тогда по определению частного a=bm. Умножим обе части этого равенства на с:
ac=bmc
На основании сочетательного и переместительного свойств умножения имеем:
ac=bcm
Так как bс ≠ 0, то по определению частного
acbc=m
Значит,
ab=acbc.
Мы показали, что для любых числовых значений переменных b и с, где b ≠ 0 и с ≠ 0, верно равенство ab=acbc.
Равенство сохраняет силу и в том случае, когда под буквами а, b и с понимают многочлены, причем b и с — ненулевые многочлены, т. е. многочлены, не равные тождественно нулю.
Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.
Например, x+2x-3=(x+2)(x+y)(x-3)(x+y).
Это равенство верно при всех допустимых значениях переменных. Такие равенства будем называть тождествами. Ранее тождествами мы называли равенства, верные при всех значениях переменных. Теперь мы расширяем понятие тождества.
Определение. Тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.
Основное свойство рациональной дроби позволяет выполнять приведение дроби к новому знаменателю и сокращение дробей.
Приведем примеры.
Пример 3. Приведем дробь 2x7y к знаменателю 35у3.
Так как 35у3 = 7у·5у2, то, умножив числитель и знаменатель дроби 2x7y на 5у2, получим:
2x7y=2x·5y27y∙5y2=10xy235y3
Множитель 5у2 называют дополнительным множителем к числителю и знаменателю дроби 2x7y.
Пример 4. Приведем дробь 52y-x к знаменателю x-2y.
Для этого числитель и знаменатель данной дроби умножим на -1:
52y-x=5·(-1)(2y-x)·(-1)=-5x-2y
Дробь -5x-2y можно заменить тождественно равным выражением -5x-2y, поставив знак «минус» перед дробью и заменив знак в числителе.
Если изменить знак числителя (или знак знаменателя) дроби и знак перед дробью, то получим выражение, тождественно равное данному.
Что такое 10/2 как смешанное число? (Преобразовать неправильную дробь 10/2 в смешанную дробь)
Пытаетесь узнать, как преобразовать 10/2 в смешанное число или дробь? У меня есть ответ для вас! В этом руководстве мы проведем вас через пошаговый процесс преобразования неправильной дроби, в данном случае 10/2, в смешанное число.
Читать дальше!
Хотите быстро узнать или показать учащимся, как преобразовать 10/2 в смешанное число? Включи это очень быстрое и веселое видео прямо сейчас!
Прежде чем мы начнем, давайте вернемся к некоторым основным терминам дроби, чтобы вы точно поняли, с чем мы имеем дело:
- Числитель. Это число над дробной чертой. Для 10/2 числитель равен 10.
- Знаменатель. Это число под дробной чертой. Для 10/2 знаменатель равен 2.
- Неправильная дробь. Это дробь, у которой числитель больше знаменателя .
- Смешанный номер. Это способ выражения неправильной дроби путем упрощения ее до целых единиц и меньшей общей дроби. Это целое число (целое число) и правильная дробь.
Теперь давайте рассмотрим шаги, необходимые для преобразования 10/2 в смешанное число.
Шаг 1: Найдите целое число
Сначала мы хотим найти целое число, а для этого делим числитель на знаменатель. Поскольку нас интересуют только целых чисел , мы игнорируем любые числа справа от десятичной точки.
10/2 = 5
Теперь, когда у нас есть целое число для смешанной дроби, нам нужно найти новый числитель дробной части смешанного числа.
Шаг 2: Получите новый числитель
Для этого мы используем целое число, которое мы вычислили на первом шаге (5), и умножим его на исходный знаменатель (2). Результат этого умножения затем вычитается из исходного числителя:
10 — (2 x 5) = 0
Шаг 3: Наша смешанная дробь
Теперь мы упростили 10/2 до смешанного числа. Чтобы увидеть это, нам просто нужно сложить целое число вместе с нашим новым числителем и исходным знаменателем:
5 0 / 2
Возможно, вы заметили здесь, что наш новый числитель на самом деле равен 0. Поскольку остатка нет, мы можем удалить всю дробную часть этого смешанного числа, оставив нам окончательный ответ:
5
Надеюсь, это руководство помог вам понять, как преобразовать любую имеющуюся у вас неправильную дробь в смешанную дробь, состоящую из целого числа и правильной дроби.
Вы можете использовать наш калькулятор ниже, чтобы рассчитать больше, но попробуйте научиться делать это самостоятельно. Это веселее, чем кажется, обещаю!
Процитируйте, дайте ссылку или ссылку на эту страницу
Если вы нашли этот контент полезным в своем исследовании, пожалуйста, сделайте нам большую услугу и используйте приведенный ниже инструмент, чтобы убедиться, что вы правильно ссылаетесь на нас, где бы вы его ни использовали. Мы очень ценим вашу поддержку!
«Что такое 10/2 как смешанное число?». VisualFractions.com . По состоянию на 22 ноября 2022 г. http://visualfractions.com/calculator/improper-to-mixed/what-is-10-2-as-a-mixed-number/.
«Что такое 10/2 как смешанное число?». VisualFractions.com , http://visualfractions.com/calculator/improper-to-mixed/what-is-10-2-as-a-mixed-number/.
Что такое 10/2 как смешанное число?. VisualFractions.com. Получено с http://visualfractions.com/calculator/improper-to-mixed/what-is-10-2-as-a-mixed-number/.
Калькулятор преобразования неправильных дробей в смешанные дроби
Преобразование неправильных дробей в смешанные числа
Введите числитель и знаменатель неправильной дроби
| 1 | Найти том | сфера (5) | | ||
| 2 | Найдите площадь | круг (5) | | ||
| 3 | Найдите площадь поверхности | сфера (5) | | ||
| 4 | Найдите площадь | круг (7) | | ||
| 5 | Найдите площадь | круг (2) | | ||
| 6 | Найдите площадь | круг (4) | | ||
| 7 | Найдите площадь | круг (6) | | ||
| 8 | Найти том | сфера (4) | | 9(1/2)||
| 11 | Найти простую факторизацию | 741 | |||
| 12 | Найти том | сфера (3) | | ||
| 13 | Оценить | 3 квадратный корень из 8*3 квадратный корень из 10 | |||
| 14 | Найдите площадь | круг (10) | | ||
| 15 | Найдите площадь | круг (8) | | ||
| 16 | Найдите площадь поверхности | сфера (6) | | ||
| 17 | Найти простую факторизацию | 1162 | |||
| 18 | Найдите площадь | круг (1) | | ||
| 19 | Найдите окружность | круг (5) | | ||
| 20 | Найти том | сфера (2) | | ||
| 21 | Найти том | сфера (6) | | ||
| 22 | Найдите площадь поверхности | сфера (4) | | ||
| 23 | Найти том | сфера (7) | | ||
| 24 | Оценить | квадратный корень из -121 | |||
| 25 | Найти простую факторизацию | 513 | |||
| 26 | Оценка | квадратный корень из 3/16* квадратный корень из 3/9 | |||
| 27 | Найти том | | |||
| 28 | Найдите окружность | круг (6) | | ||
| 29 | Найдите окружность | круг (3) | | ||
| 30 | Найдите площадь поверхности | сфера (2) | | ||
| 31 | Оценить | 2 1/2÷22000000 | |||
| 32 | Найдите Том | коробка (5)(5)(5) | | ||
| 33 | Найти том | коробка (10)(10)(10) | | ||
| 34 | Найдите окружность | круг (4) | | ||
| 35 | Преобразование в проценты | 1,7 | |||
| 36 | Оценить | (5/6)÷(4/1) | |||
| 37 | Оценить | 3/5+3/5 | |||
| 38 | Оценить | ф(-2) | 92 | ||
| 40 | Найдите площадь | круг (12) | | ||
| 41 | Найти том | коробка (3)(3)(3) | |||
| 42 | Найти том | коробка (4)(4)(4) | 92-4*-1+2|||
| 45 | Найти простую факторизацию | 228 | |||
| 46 | Оценить | 0+0 | |||
| 47 | Найдите площадь | круг (9) | | ||
| 48 | Найдите окружность | круг (8) | | ||
| 49 | Найдите окружность | круг (7) | | ||
| 50 | Найти том | сфера (10) | | ||
| 51 | Найдите площадь поверхности | сфера (10) | | ||
| 52 | Найдите площадь поверхности | сфера (7) | | ||
| 53 | Определить, является простым или составным | 5 | |||
| 60 | Преобразование в упрощенную дробь | 2 1/4 | |||
| 61 | Найдите площадь поверхности | сфера (12) | | ||
| 62 | Найти том | сфера (1) | | ||
| 63 | Найдите окружность | круг (2) | | ||
| 64 | Найти том | коробка (12)(12)(12) | | ||
| 65 | Добавить | 2+2= | |||
| 66 | Найдите площадь поверхности | коробка (3)(3)(3) | | ||
| 67 | Оценить | корень пятой степени из 6* корень шестой из 7 | |||
| 68 | Оценить | 7/40+17/50 | |||
| 69 | Найти простую факторизацию | 1617 | |||
| 70 | Оценить | 27-(квадратный корень из 89)/32 | |||
| 71 | Оценить | 9÷4 | |||
| 72 | Оценка 92 | ||||
| 74 | Оценить | 1-(1-15/16) | |||
| 75 | Преобразование в упрощенную дробь | 8 | |||
| 76 | Оценка | 656-521 | 9-2 | ||
| 79 | Оценить | 4-(6)/-5 | |||
| 80 | Оценить | 3-3*6+2 | |||
| 81 | Найдите площадь поверхности | коробка (5)(5)(5) | | ||
| 82 | Найдите площадь поверхности | сфера (8) | | ||
| 83 | Найдите площадь | круг (14) | | ||
| 84 | Преобразование в десятичное число | 5 ноября | |||
| 85 9-2 | |||||
| 88 | Оценить | 1/2*3*9 | |||
| 89 | Оценить | 4/4-17/-4 | |||
| 90 | Оценить | 11. |