Обратная граничная задача рассеяния звука и интерационные алгоритмы восстановления формы рассеивателя
Автореферат диссертациина тему «Обратная граничная задача рассеяния звука и интерационные алгоритмы восстановления формы рассеивателя»
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.ВЛОМОНОСОВА
Г г Б ОД ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
На правах рукописи
1 7 ОН! 1998 УДК534.2„
ПРУДНИКОВА Инесса Петровна
ОБРАТНАЯ ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ ЗВУКА И ИТЕРАЦИОННЫЕ АЛГОРИТМЫ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ФОРМЫ РАССЕИВАТЕЛЯ
Специальность 01.04.06 — акустика
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Москва — 1998
Работа выполнена на кафедре акустики физического факультета МГУ им М.В. Ломоносова
Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук,
профессор В.А. Буров Официальные оппоненты: доктор физ.
1998
г.
Ученый секретарь /1//1л
Диссертационного Совета К 053.05.92
кандидат физ.-мат. наук И.В.Лебедева
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы
Необходимость определения формы граничного включения, чаще всего полости, в непрозрачной среде возникает при решении многих практических задач. Это, прежде всего, задачи неразрушающего контроля материалов; подобные задачи стоят также в сейсмологии, медицинской диагностике. Использование ультразвука в этих областях предпочтительнее других видов зондирующего излучения благодаря его большой проникающей способности и пренебрежимо малому побочному вредному воздействию на здоровье. В сейсмологии же акустическое исследование часто является единственно возможным. Поэтому в настоящее время имеется широкий круг работ, посвященных восстановлению формы объекта по результатам акустического рассеяния. Большая часть исследований связана с приближенным решением уравнений рассеяния, как в жидких, так и в твердых средах (приближения Борна и Кирхгофа).
В этом случае алгоритмы восстановления формы объекта базируются на том факте, что характеристическая функция объекта и рассеянное поле в дальней зоне в некотором приближении связаны преобразованием Фурье. Это соотношение не учитывает многих физических аспектов рассеяния на границе, и такие алгоритмы требуют большого количества измеряемых данных для удовлетворительного восстановления границы, что не всегда возможно. Кроме того, имеются дефекты восстановления, обусловленные принципиальными недостатками приближений Борна и Кирхгофа, применимых для ограниченного класса рассеивателей. Поэтому большой интерес представляют методы, обеспечивающие учет перерассеяний падающей волны на границе.
Учет всех видов волновых движений, всех типов рассеяния достигается, если установлены аналитические интегральные соотношения, полностью описывающие процесс рассеяния и связывающие функцию формы объекта и рассеянное поле. Так как решение обычно осуществляется оптимизационными методами (т. е. основано на построении функционала,
минимум которого достигается на искомых функциях, описывающих препятствие и удовлетворяющих заданным условиям), максимальное количество аналитических соотношений, а также формализованной дополнительной информации о границе, желательно включить в итерационный алгоритм, т.
к. это позволяет обеспечить единственность и повысить устойчивость решения. Поскольку решаемая при этом задача некорректна и нелинейна, решение обычно осуществляется итерационными методами с той или иной регуляризацией на каждом шаге.
Актуальной на настоящем этапе является разработка метода восстановления формы объекта, максимально учитывающего требования практики: устойчивость к ошибкам измерения данных, возможность измерения данных рассеяния и посылки зондирующего излучения с одной стороны от объекта без существенной потери качества восстановления формы
Цель диссертационной работы — построить метод восстановления формы граничных препятствий в жидких и твердых средах, удовлетворяющий требованиям соответствующих прикладных задач неразрушаю-щего контроля; отсюда следуют задачи:
1. Получить достаточно точное (с учетом перерассеяний) интегральное уравнение, связывающее функцию формы объекта и значения измеренного рассеянного поля для ультразвука, рассеянного на граничной неоднородности в жидкости и изотропном твердом теле, и разработать на этой основе алгоритм восстановления формы объекта с учетом априорной информации.
2. Выбрать способ использования априорной информации об объекте в таком алгоритме и изучить его влияние на процесс восстановления формы.
3. Разработать алгоритм продолжения рассеянного поля из области наблюдения внутрь области поиска объекта для акустических волн в твердом теле.
4. Провести численное моделирование процесса восстановления формы полости в твердом теле по модельным данным, используя разработанный алгоритм.
5. Оценить возможность восстановления формы полости в твердом теле при посылке зондирующего излучения и приеме данных рассеяния с одной стороны объекта.
6. Оценить влияние ошибок в измеренных данных на процесс восстановления формы границы объекта разработанным методом итеративной регуляризации (устойчивость, единственность) в зависимости от ре-гуляризующих параметров алгоритма.
Научная новизна работы заключается в следующем:
Получено точное аналитическое соотношение между характеристической функцией объекта и рассеянным им полем для мягкого препятствия в жидкой и изотропной твердой среде.
Вывод основан на размещении фиктивных источников рассеянного поля внутри истинной границы.
Разработан новый оптимизационный метод восстановления формы граничного рассеивателя по измеренному рассеянному полю с учетом априорной информации об искомой границе.
Практическая ценность работы заключается в подтверждении путем численного моделирования и обработки данных модельного физического эксперимента возможности восстановления формы граничного рассеивателя в твердой и жидкой среде предложенным методом. При определении формы полости в твердом теле подтверждена возможность восстановления теневой части границы за счет возбуждения и перерассеяния поверхностных волн. Это обстоятельство имеет важное значение для практических задач неразрушающего контроля.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались: на Научной конференции «Ломоносовские чтения» (Москва, апрель 1987), III Всесоюзном симпозиуме по вычислительной томографии (Киев, май 1987), III Всесоюзной школе-семинаре «Методы гидрофизических исследований» (Светлогорск, май 1989), XI Всесоюзном симпозиуме по ди-
фракции и распространению волн (Винница, сентябрь 1990), IV Всесоюзном симпозиуме по вычислительной томографии (Ташкент, октябрь 1989), Международном симпозиуме «Acoustical Imaging-21» (Калифорния, 1994), научном семинаре кафедры компьютерной физики и научных семинарах кафедры акустики физического факультета МГУ.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 12 работах, из них 6 статей в рецензируемых журналах и сборниках. Список приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из 5 глав, заключения и списка цитируемой литературы, включающего 104 наименования. Объем работы: 124 страницы текста и 27 рисунков.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
В первой главе обсуждается актуальность темы, приведен обзор литературы по теме, приводится краткое содержание диссертации по главам.
Вторая глава посвящена восстановлению формы слабоконтрастной кусочно-постоянной двумерной неоднородности.
В п.2.1дается постановка задачи. Рефракционная задача при постоянной неоднородности скорости звука внутри рассеивателя D Co=const легко сводится к задаче определения формы границы объекта, заданной, например, в виде характеристической функции у(г):
тСг> = (l- reD. (1)
[о, reD
Тогда в качестве основного аналитического соотношения используется хорошо известный результат: в приближении Борна (для слабых рас-сеивателей) характеристическая функция и измеренное рассеянное поле являются трансформантами Фурье.
Кроме этого условия, искомая функция должна принадлежать классу бинарных (1).
В п.2.2 рассматривается роль априорной информации и построение алгоритма восстановления формы рассеивателя.
В п. 2.3 обсуждаются результаты восстановления формы слабоконтрастного рассеивателя. Численное моделирование и обработка данных модельного физического эксперимента в рамках такой задачи показали, что использование априорной информации в виде штрафного функционала позволяет значительно снизить количество требуемых для восстановления данных и повысить устойчивость решения.
Третья глава посвящена обратной граничной задаче рассеяния звука на акустически мягкой неоднородности в жидкости.
В п. 3.1. дана математическая постановка задачи.
Хотя физически источники рассеянного поля локализуются на границе рассеивателя, рассеянное поле вне объекта может быть описано со сколь угодно высокой точностью источниками, размещенными на зара-
те, радиусы минимальной вписанной и максимальной описанной окружностей а и С.
Это кольцо называется далее областью поиска границы объекта И (см. рис.1). Тогда фиктивные вторичные источники могут быть размещены на окружности с’ внутри ст. Область между границей объекта и о’ не содержит источников, и к ней может быть применена формула
Грина. С учетом «мягкого» граничного условия, применяя тео-
‘ Кравцов В. В. Приближение функций многих переменных антенным потенциалом И Докл. АН СССР -1977.-Т.233.Т 1.-С.23-26.
\
Рис. 1
нее заданной гладкой кривой внутри граничного рассеивателя1. Этот факт используется при получении основного интегрального уравнения, связывающего характеристическую функцию объекта и рассеянное им поле. Это возможно, если имеется дополнительная информация о предельных размерах объекта, например, в двумерном вариан-
рему дивергенции и используя явный вид характеристической функции, получено основное для дальнейшего рассмотрения интегральное уравнение:
где С(г/г’) — функция Грина свободного пространства, и(г) — полное акустическое поле давлений.
Рассеянное поле внутри области поиска границы объекта рассчитывается по измеренному рассеянному полю через плотность фиктивных вторичных источников.
В п. 3.2 описан итерационный алгоритм и рассмотрены особенности метода в приложении к обратной граничной задаче рассеяния на мягком препятствии в жидкости. Соотношение (2), не содержащее интегралов по искомой поверхности, выполняется для произвольного множества Р внешних точек г (называемых далее точками «условного» приема), что обеспечивает большой объем информации о рассеивателе в виде интегральных форм от характеристической функции рассеивателя. Использовать эту информацию полностью можно, решая задачу оптимизационным методом, т.е. путем поиска минимума функционала:
Здесь Ф\[у] — невязка интегрального уравнения (2), записанного для множества точек условного приема Р и набора зондирующих излучений (суммирование по (1). Ф:[у] — штрафной функционал, учитывающий бинарный вид характеристической функции, его вес г| является параметром регуляризации и позволяет управлять сходимостью процесса.
Условия минимума этого функционала в дискретной форме представляют собой систему нелинейных уравнений. Ее решение реализовано в виде двухшагового итерационного процесса: на первом шаге система
г’ )Уи(г’) — кЧ}(г / г’ )и(г’ ))с!г’ = и( г.)а°(г/г’)(15′ (2)
Ф[у] = Ф,[у] + Ф2[у1 =
(3)
линеаризуется и решается итерационным экстраполированным методом Ричардсона, затем нелинейный член вычисляется по результатам предыдущей итерации, добавляется в правую часть системы уравнений и вновь выполняется внутренний цикл.
П.3.3 содержит анализ результатов восстановления формы объекта на основе предложенного алгоритма итеративной регуляризации.. Численное моделирование и обработка данных модельного эксперимента по рассеянию на мягких граничных объектах в жидкости дало удовлетворительные результаты восстановления формы препятствия при облучении объекта со всех сторон.
Четвертая глава посвящена решению ОГЗР на полости в твердом теле.
Особенностью задачи для твердой среды является наличие поверхностных волн, бегущих по границе полости, что дает возможность определить форму неосвещенной стороны полости. Возбуждаемые падающей волной на освещенной стороне объекта поверхностные волны обегают его теневую сторону и частично вновь излучаются в сторону приемников, так что измеренное с той же освещенной стороны рассеянное поле (вектор смещения) несет в себе информацию о невидимой части препятствия.
Итерационный метод, представленный в этой главе, является обобщением метода решения скалярной ОГЗР (глава 3), при этом он обладает большей устойчивостью по сравнению с последним, то есть, ошибки измерения наблюдаемых данных оказывают меньшее влияние на результат вычисления. Это связано с тем, что в твердом теле волновые процессы описываются с помощью тензорных и векторных величин, и в среде распространяются два типа объемных волн. Эти достоинства метода подтверждаются результатами численного моделирования.
В п.
-(и(г’)-Х(г/г’ ))с!г’=-]Ч(г’)-0(г/г’)с15′ (4)
К о
где Е(г/г’) — тензор Грина третьего порядка (тензор напряжений), О(гУг’) — тензор Грина второго порядка (тензор смещений), <(г) — вектор напряжения, и(г) — полное поле смещений.
В п. 4.2 описан алгоритм продления измеренного рассеянного поля внутрь области поиска границы объекта в твердом теле. Для этого используется пространственный спектр измеренного рассеянного поля и(г), т.е. компоненты разложения и(г) по тригонометрическим функциям на окружности измерения.
Измеренное рассеянное поле и рассеянное поле в области поиска границы объекта могут быть представлены в интегральном виде:
и(г)=|С(г,г0,ф)Р(ф)г0с1ф. (5)
о
где Е(ф) — векторная амплитуда фиктивных источников.
Гармоники пространственного спектра рассеянного поля пи(г) внутри области поиска объекта по известным гармоникам измеренного поля пи(К) определяются независимо:
пи(г)=пОДпОч(11)пи(К).
(6)
В п. 4.3 представлен итерационный алгоритма восстановления формы полости в твердом теле на основе оптимизационного метода.
Свойства измеренного поля и(г), рассеянного полостью с характеристической функцией 7(г), полностью описываются интегральным соотношением (4). Это соотношение выполняется при любых г вне области поиска границы объекта. Оно может быть записано для различных по
направлению, частоте и типу (продольных или поперечных) зондирующих волн. Учитывая возможность продления рассеянного поля внутрь области поиска объекта, соотношение (4) характеризует границу объекта на основе всей имеющейся информации о рассеянном ею поле.
Характеристическая функция определяется путем минимизации функционала, состоящего из функционала невязки выполнения уравнения (4) и стабилизирующего штрафного функционала, учитывающего бинарный вид характеристической функции (аналогично (3)).
В п.4.3.1 обсуждаются дискретизация этого функционала и условия численного моделирования.
Модельные данные рассеяния соответствуют дифракции плоской продольной волны на цилиндрической полости радиусом 3 см в стали с параметрами модуль Юнга Е = 20 10п г/(с2см), модуль сдвига ц = 8.5 10й г/(с2см), плотность р = 7.83 г/см3. Рабочая частота падающей плоской продольной волны ? = 416 кГц. Рассеяние такой волны на полости в заданной твердой среде описывается двумя волновыми числами: продольным кр= 5.0 см1 и поперечным к5= 7.94 см1. Таким образом, размеры объекта составляют 4.8л,, = 7.5Я.5. Дискретизация области поиска границы объекта и минимизируемого функционала проводится в полярных координатах. Условия минимума дискретизованного функционала имеют вид системы нелинейных уравнений. Решение этой системы осуществляется путем организации двух итерационных процессов: внешнего — по нелинейному члену, и внутреннего- по решению линеаризованной системы уравнений.
П. 4.3.2 посвящен вспомогательным вопросам: решению прямой задачи рассеяния на полости в твердом теле и получению матрицы линеаризованной системы уравнений.
. Ширина пространственного спектра рассеянного поля (т.е. число учитываемых гармоник — не менее ка, где а — характерный размер объекта. Для модельной задачи количество гармоник рассеянного поля на окружности выбрано равным 26, т.е. поле должно быть измерено не менее, чем в 52 точках окружности.
Тогда соотношение (4) используется не более, чем в 52 точках «условного» приема, для того, чтобы не включать в алгоритм линейно зависимые данные. При моделировании предполагается, что 16 точек условного приема эквидистантно расположены на окружности приема. Предполагается, что имеется возможность измерять и угловую, и радиальную составляющие поля смещений. В исходном состоянии предполагается, что о положении объекта внутри области поиска информации нет, поэтому в качестве начального приближения выбрано Уу=0.5 во всей области поиска объекта.
На рис.2 а) и б) представлены результаты восстановления формы границы по данным рассеяния плоской продольной волны, падающей с одного и трех направлений а)ср=л, б) ф=3х’4, тг, 5я/4, т.
е. имеется неосвещенный участок границы с угловыми размерам зг/2.
Численное моделирование показало, что не только освещенная, но и теневая сторона объекта удовлетворительно реконструируются с помощью предложенного метода, благодаря учету в соотношении (4) всех видов волновых движений, в том числе и переизлучающихся поверхностных волн, обегающих теневую сторону объекта.
В пятой главе рассмотрены дополнительные возможности и перспективы развития представленного метода.
П. 5.1. посвящен оценкам влияния ошибок в данных на процесс восстановления формы объекта.
В п.5.1.1 рассмотрена структура пространственного спектра рассеянного поля. Показана зависимость его ширины от отрезанности границы.
На основе этих оценок обосновано предложение ограничивать длину ряда разложения рассеянного поля на окружности большей из величин ка и кЛВ, где к — волновое число падающего поля, а — характерный размер объекта, А — глубина изрезанности границы, В — число гармоник разложения функции формы границы г((р) в ряд по тригонометрическим функциям.
В п. 5.1.2 и 5.1.3 обсуждается выбор последовательности параметров регуляризации в зависимости от ошибок данных, с учетом ошибки, внесенной дискретизацией. Рассмотрены способы учета статистических характеристик (матожидания и дисперсии) измеренного рассеянного поля.
В п. 5.1.4 рассмотрены результаты численного моделирования восстановления формы объекта по данным с ошибкой. Ошибка измеренного поля вносилась случайным образом в радиальную и угловую составляющие поля смещений, величина вносимой ошибки была ограничена 1%, 2% и 3% от среднего по модулю значения соответствующей компоненты рассеянного поля на окружности. Облучение объекта проводилось с 3 и 5 направлений (во всех случаях имеется зона тени — не озвученная часть границы объекта). Для восстановления объекта радиусом 3 см , при длине волны зондирующего продольного излучения /1=1.25 см потребовалось около 100 внешних итераций. На рис. 2 в), г) и д) представлен результат восстановления при облучении с трех направлений (зона тени -л/2) при ошибке соответственно 1%, 3%, и 2%.
На рис. 2 е) и ж) при ошибке 2% облучение проводилось с пяти направлений, причем в случае е) зона тени была уменьшена и составляла л/4. Дополнительная регуляризация полученных данных для контроля отношения сигнал/помеха позволила восстановить характеристическую функцию объекта во всех случаях. Увеличение числа направлений сильно улучшает качество восстановления, причем зависимость от величины зоны тени выражена достаточно слабо.
В п.5.2 рассмотрен алгоритм, позволяющий восстанавливать функцию формы по данным рассеяния, измеренным с одной стороны объекта.
В этом случае поле внутри области поиска объекта строится как аналитическое продолжение поля, измеренного на части дуги окружности приема, а коэффициенты разложения поля наряду с характеристической функцией являются неизвестными, по которым находится минимум соответствующего функционала. Такая постановка задачи близка к практически важным задачам дефектоскопии и геофизики.
В. п.5..3 представлен метод восстановления формы границы, заданной в виде функции г(ф).
Поиск минимума построенного функционала осуществляется градиентным методом. При меньшем числе восстанавливаемых параметров (по сравнению с характеристической функцией) граница этим методом восстанавливается точнее. Однако, требуется достаточно близкое начальное приближение (для обеспечения единственности решения),получаемое, например, как результат восстановления у(г) методом главы 3.
В заключении приводятся основные результаты диссертационной работы.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
1. Развит новый метод восстановления формы границы рассеивателя по измеренным данным рассеяния. Процедура итеративной регуляризации основана на:
а) вычислении рассеянного поля внутри области поиска границы объекта по измеренному полю, благодаря размещению фиктивных вторичных источников внутри объекта.
б) интегральном соотношении между функцией формы объекта и рассеянным полем, учитывающем все виды волновых движений;
в) дополнительной информации о явном виде характеристической функции, описывающей границу объекта;
2. Проведено численное моделирование решения обратной граничной задачи рассеяния ультразвука на акустически мягком рассеивателе для скалярных и векторных волн представленным методом. Получены хорошие результаты восстановления формы границы объекта с точностью М4-гк/8. Обоснован выбор параметров регуляризации, обеспечивающих сходимость алгоритма к единственному решению, заключающийся в ограничении пространственного спектра рассеянного поля и ограничении класса решений классом бинарных функций.
3. Проведено численное моделирование решения обратной граничной задачи рассеяния ультразвука на акустически мягком рассеивателе для векторных волн при наличии случайной некоррелированной помехи в данных рассеяния. Показано, что дополнительная регуляризация (контроль отношения сигнал/шум для пространственного спектра рассеянного поля) позволяет и в этом случае получить хорошие результаты восстановления формы границы.
4. Предложена модификация метода решения обратной граничной задачи рассеяния в твердом теле при зондировании объекта и приеме рассеянного поля только с одной стороны.
5. Для более точного решения задачи восстановления формы границы предложен дополнительный алгоритм определения звездной формы границы в виде зависимости г(ф) методом градиентного спуска, использующий в качестве начального приближения результат п.2.
6. Для решения обратной задачи рассеяния на слабых однородных включениях для скалярных волн развит простой итерационный метод, использующий априорную информацию о включении. Проведено численное моделирование метода и обработка данных модельного физического эксперимента.
СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО МАТЕРИАЛАМ ДИССЕРТАЦИИ
1. Буров В.А., Глазков A.B.. Прудникова И. П., Тагу нов Е. Я. Обратная задача рассеяния на кусочно-постоянных акустических неоднородностях // Акуст.журнал.-1990.-Т.36,Т 2.-С.214-217.
2. Буров В.А., Глазков A.B., Прудникова И.П., Румянцева О.Д., Тагунов Е.Я. Акустическая дифракционная томография граничных рассеива-телей // Вестник Мос.Ун-та сер.З, физ.,астрон.-1990.- Т. 31,Т 3.-С.57-62.
3. Буров В.А., Глазков A.B., Горюнов A.A., Прудникова И.П., Румянцева О.Д., Тагунов Е.Я. Численное и физическое моделирование двумерных обратных граничных задач рассеяния скалярных волн // Акуст.журнал. -1990.-Т.36,Т 5.-С.832-839.
4. Буров В.А., Прудникова И.П., Сироткина Н.С. Обратная задача рассеяния ультразвука на полости в изотропном твердом теле // Акуст.журнал. -1992.-Т.38,Т 6.-С.1013-1018.
5. Буров В.А., Глазков A.B., Кокаревич И.П. (по мужу — Прудникова), Тагунов Е.Я. Физическое моделирование обратных задач рассеяния //Науч.конф. «Ломоносовские чтения», Москва, апрель
1987,Программа,Изд.Мос. ун-та, 1987.-С.73.
6. Буров В.А., Глазков A.B., Кокаревич И.П. (по мужу — Прудникова), Тагунов Е.Я. Экспериментальное исследование задач дифракционной вычислительной томографии при распространении акустических волн в слое жидкости II III Всесоюзный симпозиум по вычислительной томографии ,Киев, 12-14 мая 1987, Программа, Киев, 1987. -С.28.
7. Буров В.А., Глазков A.B., Горюнов A.A., Прудникова И.П., Румянцева
О.Д., Тагунов Е.Я. Восстановление формы граничного рассеивателя по экспериментальным акустическим данным //IV Всесоюзный симпозиум по вычислительной томографии, Ташкент, 10-12 октября 1989,Тезисы докл..Новосибирск, 1989.-Ч. 1 .-С. 162-163.
8. Буров В.А., Глазков A.B., Горюнов A.A., Прудникова И.П., Румянцева О.Д., Тагунов Е.Я. Реконструкция границы однородного объекта на основе рассеянного поля (теория и эксперимент) // X Всесоюзный симпозиум по дифракции и распространению волн, Винница, 17-21 сент. 1990, Тезисы докл., Москва,1990. -Т.З.-С.301-304.
9. Буров В. А., Глазков A.B., Прудникова И.П., Румянцева О.Д., Рычагов М.Н., Тагунов Е.Я. Реконструкция акустических неоднород-ностей в плоском волноводе на основе анализа дифракционного рассеяния звуковых волн IIВ сб.: Формирование акустических полей в волноводах,-Нижний Новгород:Изд-во ИПФ АН СССР, 1991.-С.200-214.
10. Буров В.А., Глазков A.B., Горюнов A.A., Прудникова И.П., Румянцева О.Д., Тагунов Е.Я. Применение методов дифракционной вычислительной томографии в модельном гидрофизическом эксперименте II III Всесоюзная школа-семинар «Методы гидрофизических исследований».-Светлогорск, 16-25 мая 1989,- Тезисы докл.-Калининград, 1989.-С.64.
11 .Буров В.А., Глазков A.B., Горюнов A.A.. Прудникова И.П., Румянцева О.Д., Тагунов Е.Я. Применение методов дифракционной вычислительной томографии в модельном гидрофизическом эксперименте// В сб.:Гидромеханика.-Киев:Наукова думка,1991,- Т.64.-С.6-9.
12. Burov V.A., Prudnikova I.P. Reconstruction of the shape of the obstacle in isotropic solids // In: Procceedings of 21st Int.Symp. on Acoust. Imaging.-Ed.:J.Jones. — New York: Plenum Press. — 1995,- P. 113-120.
| 1 | Найти точное значение | грех(30) | |
| 2 | Найти точное значение | грех(45) | |
| 3 | Найти точное значение | грех(30 градусов) | |
| 4 | Найти точное значение | грех(60 градусов) | |
| 5 | Найти точное значение | загар (30 градусов) | |
| 6 | Найти точное значение | угловой синус(-1) | |
| 7 | Найти точное значение | ||
| 8 | Найти точное значение | cos(pi/4) | |
| 9 | Найти точное значение | грех(45 градусов) | |
| 10 | Найти точное значение | грех(пи/3) | |
| 11 | Найти точное значение | арктан(-1) | |
| 12 | Найти точное значение | cos(45 градусов) | |
| 13 | Найти точное значение | cos(30 градусов) | |
| 14 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(60) | |
| 15 | Найти точное значение | csc(45 градусов) | |
| 16 | Найти точное значение | загар (60 градусов) | |
| 17 | Найти точное значение | сек(30 градусов) | |
| 18 | Найти точное значение | cos(60 градусов) | |
| 19 | Найти точное значение | cos(150) | |
| 20 | Найти точное значение | грех(60) | |
| 21 | Найти точное значение | cos(pi/2) | |
| 22 | Найти точное значение | загар (45 градусов) | |
| 23 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень из 3) | |
| 24 | Найти точное значение | csc(60 градусов) | |
| 25 | Найти точное значение | сек(45 градусов) | |
| 26 | Найти точное значение | csc(30 градусов) | |
| 27 | Найти точное значение | грех(0) | |
| 28 | Найти точное значение | грех(120) | |
| 29 | Найти точное значение | соз(90) | |
| 30 | Преобразовать из радианов в градусы | пи/3 | |
| 31 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(30) | |
| 32 | 92|||
| 35 | Преобразовать из радианов в градусы | пи/6 | |
| 36 | Найти точное значение | детская кроватка(30 градусов) | |
| 37 | Найти точное значение | арккос(-1) | |
| 38 | Найти точное значение | арктан(0) | |
| 39 | Найти точное значение | детская кроватка(60 градусов) | |
| 40 | Преобразование градусов в радианы | 30 | |
| 41 | Преобразовать из радианов в градусы | (2 шт. )/3 | |
| 42 | Найти точное значение | sin((5pi)/3) | |
| 43 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
| 44 | Найти точное значение | тан(пи/2) | |
| 45 | Найти точное значение | грех(300) | |
| 46 | Найти точное значение | соз(30) | |
| 47 | Найти точное значение | соз(60) | |
| 48 | Найти точное значение | ||
| 49 | Найти точное значение | соз(135) | |
| 50 | Найти точное значение | cos((5pi)/3) | |
| 51 | Найти точное значение | cos(210) | |
| 52 | Найти точное значение | сек(60 градусов) | |
| 53 | Найти точное значение | грех(300 градусов) | |
| 54 | Преобразование градусов в радианы | 135 | |
| 55 | Преобразование градусов в радианы | 150 | |
| 56 | Преобразовать из радианов в градусы | (5 дюймов)/6 | |
| 57 | Преобразовать из радианов в градусы | (5 дюймов)/3 | |
| 58 | Преобразование градусов в радианы | 89 градусов | |
| 59 | Преобразование градусов в радианы | 60 | |
| 60 | Найти точное значение | грех(135 градусов) | |
| 61 | Найти точное значение | грех(150) | |
| 62 | Найти точное значение | грех(240 градусов) | |
| 63 | Найти точное значение | детская кроватка(45 градусов) | |
| 64 | Преобразовать из радианов в градусы | (5 дюймов)/4 | |
| 65 | Найти точное значение | грех(225) | |
| 66 | Найти точное значение | грех(240) | |
| 67 | Найти точное значение | cos(150 градусов) | |
| 68 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(45) | |
| 69 | Оценить | грех(30 градусов) | |
| 70 | Найти точное значение | сек(0) | |
| 71 | Найти точное значение | cos((5pi)/6) | |
| 72 | Найти точное значение | КСК(30) | |
| 73 | Найти точное значение | arcsin(( квадратный корень из 2)/2) | |
| 74 | загар((5pi)/3) | ||
| 75 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(0) | |
| 76 | Оценить | грех(60 градусов) | |
| 77 | Найти точное значение | arctan(-( квадратный корень из 3)/3) | |
| 78 | Преобразовать из радианов в градусы | (3 пи)/4 | |
| 79 | Найти точное значение | sin((7pi)/4) | |
| 80 | Найти точное значение | угловой синус(-1/2) | |
| 81 | Найти точное значение | sin((4pi)/3) | |
| 82 | Найти точное значение | КСК(45) | |
| 83 | Упростить | арктан(квадратный корень из 3) | |
| 84 | Найти точное значение | грех(135) | |
| 85 | Найти точное значение | грех(105) | |
| 86 | Найти точное значение | грех(150 градусов) | |
| 87 | Найти точное значение | sin((2pi)/3) | |
| 88 | Найти точное значение | загар((2pi)/3) | |
| 89 | Преобразовать из радианов в градусы | пи/4 | |
| 90 | Найти точное значение | грех(пи/2) | |
| 91 | Найти точное значение | сек(45) | |
| 92 | Найти точное значение | cos((5pi)/4) | |
| 93 | Найти точное значение | cos((7pi)/6) | |
| 94 | Найти точное значение | угловой синус(0) | |
| 95 | Найти точное значение | грех(120 градусов) | |
| 96 | Найти точное значение | желтовато-коричневый ((7pi)/6) | |
| 97 | Найти точное значение | соз(270) | |
| 98 | Найти точное значение | sin((7pi)/6) | |
| 99 | Найти точное значение | arcsin(-( квадратный корень из 2)/2) | |
| 100 | Преобразование градусов в радианы | 88 градусов |
| 1 | Найти точное значение | грех(30) | |
| 2 | Найти точное значение | грех(45) | |
| 3 | Найти точное значение | грех(30 градусов) | |
| 4 | Найти точное значение | грех(60 градусов) | |
| 5 | Найти точное значение | загар (30 градусов) | |
| 6 | Найти точное значение | угловой синус(-1) | |
| 7 | Найти точное значение | грех(пи/6) | |
| 8 | Найти точное значение | cos(pi/4) | |
| 9 | Найти точное значение | грех(45 градусов) | |
| 10 | Найти точное значение | грех(пи/3) | |
| 11 | Найти точное значение | арктан(-1) | |
| 12 | Найти точное значение | cos(45 градусов) | |
| 13 | Найти точное значение | cos(30 градусов) | |
| 14 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(60) | |
| 15 | Найти точное значение | csc(45 градусов) | |
| 16 | Найти точное значение | загар (60 градусов) | |
| 17 | Найти точное значение | сек(30 градусов) | |
| 18 | Найти точное значение | cos(60 градусов) | |
| 19 | Найти точное значение | соз(150) | |
| 20 | Найти точное значение | грех(60) | |
| 21 | Найти точное значение | cos(pi/2) | |
| 22 | Найти точное значение | загар (45 градусов) | |
| 23 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень из 3) | |
| 24 | Найти точное значение | csc(60 градусов) | |
| 25 | Найти точное значение | сек(45 градусов) | |
| 26 | Найти точное значение | csc(30 градусов) | |
| 27 | Найти точное значение | грех(0) | |
| 28 | Найти точное значение | грех(120) | |
| 29 | Найти точное значение | соз(90) | |
| 30 | Преобразовать из радианов в градусы | пи/3 | |
| 31 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(30) | |
| 32 | Преобразование градусов в радианы 92 | ||
| 35 | Преобразовать из радианов в градусы | пи/6 | |
| 36 | Найти точное значение | детская кроватка(30 градусов) | |
| 37 | Найти точное значение | арккос(-1) | |
| 38 | Найти точное значение | арктан(0) | |
| 39 | Найти точное значение | детская кроватка(60 градусов) | |
| 40 | Преобразование градусов в радианы | 30 | |
| 41 | Преобразовать из радианов в градусы | (2 шт. |