16 х 2 6х: решите уравнение 16-х^2=-6х — Школьные Знания.com

Содержание

Квадратные уравнения.Способы их решения.

Разработка темы:

Решение квадратных уравнений

Учитель – Тхайшаова Н.Г.

Тема: Квадратные уравнения. Способы их решения.

Цель: Научить решать квадратные уравнения различного вида разными способами.

Количество часов уроков: 2 урока (спаренные ).

План

Повторение темы «Линейные уравнения»

Новый материал. Тема: «Квадратные уравнения»

Полные квадратные уравнения;

Неполные квадратные уравнения;

Из истории квадратных уравнений;

Решение неполных квадратных уравнений;

Способ выделения квадрата двучлена при решении полных кв. уравнений;

Графический способ решения полных квадратных уравнений;

Вывод формул для решения полных кв. уравнений;

Теорема Виетта (для полных кв. уравнений приа=1 и при а≠1)

Обобщение темы.

Задания к зачету.

Викторина.

Итог урока и домашнее задание.

Ход урока.

Вспомним виды уравнений.

(я пишу уравнение, а ребята называют его вид)

5х-3=2+4х

3х²-14=8х-х²

х³+27=0

ах+в=с-х

ах²+вх=с

Сделаем вывод, что такое уравнение. Всякое равенство, содержащее неизвестную величину, обозначенную какой-либо буквой, называется уравнением.

Так что же такое решить уравнение? Решить уравнение – это значит найти все его корни или убедиться в их отсутствии.

Например: уравнение ½=0 не имеет решения.

Для решения уравнений вызываю трех учеников.

3х-2=5х+4

Ответ: х=-3

|х-1 | +2=3

решение: |х-1 |=

Следовательно, решение уравнения разбивается на решение двух систем.

а)

не является решением уравнения, т.к. 0,5<1

в)

Т.к. ¾<1, то x=¾ является решением уравнения.

Ответ: ¾

(3х+4в)+(7в+2х)=13в и указать при каких «в» корень уравнения положительное число.

х=16в, при в>0 корень уравнения х >0

Ответ: 16в, корень уравнения положительное число, при в>0.

Новый материал.

Изучение темы «Квадратные уравнения»

Что же такое квадратные уравнения? Какие они бывают? (даем опрос)

Уравнения вида ах²+вх=0 ,ах²=0,ах²+с=0 , где а, в, с – некоторые числа, отличные от нуля, называются неполными квадратными уравнениями.

Немного истории.

Рассмотрим решение неполных квадратных уравнений.

а) ,

где (- ) < 0

Пример 8х²-8=0

х²=1

х=±1

Ответ: +1

2х²=0

х²=0/2

х²=0

х=0

Ответ: х=0

в)

Пример5х²-2х=0

х(ах+в)=0

х=0 или х=0,4

Ответ: 0; 0,4

Пример 1 решить уравнение

х²+ 8х — 33=0 (а≠в)²=а²+2ав+в²

х²+ 8х – 33 = (х²+ 2х × 4+16) – 16 — 33=(х+4)²— 49

(х+4)²— 49=0

(х+4)²= 49

х+4=±

х+4 = ±7

х = -4±7

итак х₁=-4+7

х₁=3

х₂=-4-7

х₂=-11

Ответ: 3; -11

Пример 2 решить уравнение

2х²— 9х+4=0

2(х²— х+2)=0 равноценно уравнению х²— х+2=0

х²— +2=(х²— 2х + ) — + 2 = (х — )²— = (х — )²—

(х — )²— = 0

х₁= + = 4

х₂= — =0,5

Ответ: 4; 0,5

Графический способ решения уравнения

Вывод формул для решения неполных квадратных уравнений.

Если в=2к, то формула (2) примет вид:

, где Д = к²— ас

Пример1 2х²-5х+2=0

х₁=2

х₂=0,5

Пример 2 х²-6х+9=0

в=6 — четное число

к=-6÷2=-3

Д=0

х= = =3

Любое квадратное уравнение (полное) можно привести к виду x²+pх+q делением обеих частей уравнения на q≠0.Такое уравнение называется приведенным квадратным уравнением. Корни приведенного квадратного уравнения можно найти по формуле

где а=1; в=р; с=q

Пример 2х²— 8х — 42=0

х²+ 4х — 21=0

Используя формулу (1) получим

х₁=3; х₂=-7

Ответ: 3; -7

Рациональные корни квадратных уравнений нетрудно находить устно, использовав теорему Виетта.

Теорема Виетта:

Теорема Виетта для приведения квадратного уравнения.

х²+px-q=0

х₁+x₂=-p

х₁*x₂=q

Свести данное уравнение

ах²+вх+с=0

у²+ву+ас=0

а²х²+вах+ас=0 умножить обе части на «а» и обозначить ах=у

у²+ву+ас=0 1)решить по теореме Виетта

2)разделить каждый корень на «а»

Примеры 2х²-3х-9=0

(2х)²-3*2х-18=0/2

2х=у

у²-3у-18=0

у₁=-3; у₂=6

х₁=- ; х₂=3

4х²-х-5=0/4

(4х)²-4х-20=0

4х=у

у²-у-20=0

у₁= 5; у₂= — 4

х₁= =1 ¼; х₂= — = — 1

а – в + с = 0; х₁ = — 1 ; х₂ = —

Ответ : 1 ¼; -1

Обобщение темы.

Сделаем обобщение пройденной на уроке темы в виде таблиц, которые занесем в карточки индивидуального пользования.

Таблица 1. Полные квадратные уравнения.

Доп. условия

Корни уравнения

ах²+вх+с=0

Пример

1) в — четное

, к= ½,

где Д=к²-ас

5х²-6х-8=0

Д₁=9+40=49

х₁= ; х₁=2

х₂= ; х₂=-0,8

2) в — нечетное

где Д=в²-4ас

2х²-5х+2=0

Д=25-16=9

х₁= ; х₁=2

х₂= ; х₂=0,5

3) а=1

в=р

е=q

х²+4х-5=0

х=-2±

х=-2±3

х₁=-5; х₂=1

Таблица 2. Неполные квадратные уравнения.

Уравнение	Корни уравнения	Пример
1) ах²=0	х=0	2х²=0; х=0
2) ах²+вх=0	х₁=0 х₂= —	5х²+4х=0 х=0; х= —
3) ах²+с=0	х=± √ — , где <0	7х²-3=0 х=±√

Таблица 3. Теорема Виетта.

Уравнение

Условие

Пример

ах²+вх+с=0

х₁+х₂= —

х₁∗х₂ =

2х²— 9х+10=0

у₁=5; у₂=4

х₁=2,5; х₂=2

x²+рх+q=0

х₁+х₂ =-p

х₁∗х₂ =q

х²+5х+6=0

х₁= — 2; х₂= — 3

Задания к зачету.

Запишем уравнения для самостоятельного решения.

3х+8=18-2х

5 — |1-3х | = 4х

(2х — 4а)+(4х + 5а)=19а

х²— 11х — 60=0

х²— 6х + 9=0

2х²— 5х + 2=0

— 4х²+7х + 2=0

25=26х — х²

— 11х=11

0,7х²=1,3х+2

х²=2х-7

у²-10у-25=0

299х²+100х=500-101х2

3р²+3=10р

4х²=7х+7,5

(3х-1)(х+3)=х(1+6х)

5х²=0

6х²-16х=0

7х²+5=0

8х²-1=0

3х²-3х+1=0

2х²-3х-1=0

у²=52у-576

(х+1)²=7918-2х

Викторина.

Теперь, когда мы закончили изучение темы урока, проведем небольшую викторину.

(за верный ответ выдается красный жетон. Ученикам, имеющим 10 жетонов ставится «5», имеющим 8,9 жетонов – «4».)

Вопросы викторины.

Как называется уравнение? (показываю заранее подготовленные карточки).

Уравнения: а) 5х²— 6х+1=0

б) х²-7х+5=0

в) 5х²-1=0

Ответ: а) полное квадратное уравнение

б) приведенное квадратное уравнение

в) неполное квадратное уравнение

Как называется выражение и какой буквой обозначается. (показываю карточки).

Выражение: а)в²-4ас

б)к²-ас

а) Д₁ дискриминант

б) Д₁ дискриминант

Указать правильный ответ при решении уравнения.

5х²+3=0

Решений нет

Решить устно:

х²+16х+63=0

9; 7

-9; 7

-7; 9

-7; -9

Решить устно:

3х²-4х-4=0

6; -2

2; -6

— ; 2

; -2

Назвать корни квадратного уравнения:

х²-4х+3=0

3; 1

1; 2; 3

1; 2

Решить уравнение

3х²-7х+4=0

1 ; 1

-1 ; -1

-1 ; 1

Правильные ответы к вопросам 3-7.

3 а) ; 4 d) ; 5 c); 6 a); 7 b)

Итог урока и домашнее задание.

Запишем домашнее задание.

Вывод формул корней квадратного уравнения.

Теорема Виетта (с доказательством)

Решить уравнения:

3(х-5) — 2х=6х

— = 1

|х — 1 | +5=6х

2(х + а)-3х=5а

8х²-1=0

8х²+8=0

5х²— 4х+5=0

5х²— 4х-1=0

х²— 4х — 5=0

2х^{2 —} 3+2=0

х²-9х-10=0

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/75136-kvadratnye-uravnenijasposoby-ih-reshenija

Решение полных и неполных квадратных уравнений

ВАРИАНТ 1

1) х²+ 5х = 0
2) х² – 4 = 0
3) 3х + 2х²– 5 = 0
4) х² + 2 + 3х = 0
5) х² + 4х + 4 = 0
6) 3х² + 8х = 3
7) 6а² + 2 = 6а

ВАРИАНТ 2

1) 2х² + х + 67 = 0
2) 4х + х² = 0
3) 3х² – 27 = 0
4) 5х² = 3х + 2
5) х² + 8+ 6х = 0
6) 9 + х² = 6х
7) 3у² + 4у = 4

ВАРИАНТ 3

1) 8х² + 5 = 14х
2) 4х² = 2х – 3
3) х² + 2х = 0
4) 6х² – 12 = 0
5) 3х² + 45 – 24х = 0
6) 4х + 4х² + 1 = 0
7) 3у² + 7у – 6 = 0

ВАРИАНТ 4

1) 12х² + 16х = 3
2) 21х² = 5х – 1
3) х² – 3х = 0
4) 2х² – 72 = 0
5) 8х² – 3 = 5х
6) х² = 18 – 3х
7) 9у² + 12у + 4 = 0

ВАРИАНТ 5

1) 1 + 8х + 16х² = 0
2) 5х² + 26х = 24

3) 7х² – 2х + 12 = 0
4) 3х² – 5х = 0
5) 6 – 2х² = 0
6) 5х² + 2 + 7х = 0
7) t ² = 35 – 2t

ВАРИАНТ 6

1) х² + 10х = 0
2) –х² + 9 = 0
3) 25х² + 17 = 42х
4) х² = х + 6
5) 4х² – 4х + 1 = 0
6) 9х² = 4 – 16х
7) 6а² + 14 = 2а

ВАРИАНТ 7

1) 6х² + 3х + 4 = 0
2) 7х² – 14х = 0
3) 25 – х² = 0

4) х² + 2х = 3
5) 25х² + 20х + 4 = 0
6) 9х² + 12 = 39х
7) 12b² = 16b + 3

ВАРИАНТ 8

1) 5х² = 22х + 15
2) 3х² + 9 = 10х
3) х² – 2х = 0
4) 121 – х² = 0
5) 3х – 6 + 3х² = 0
6) 2х² = 4х + 30
7) 14c + 49c² + 1 = 0

ВАРИАНТ 9

1) 15х² + 4 = 16х
2) 7х² = 4х – 3
3) 2х – 5х² = 0
4) 5х² – 20 = 0
5) 7

х + 3 + 4х² = 0
6) х² – 9х + 18 = 0
7) 16k² + 9 – 24k = 0

ВАРИАНТ 10

1) 10х + 25 + х² = 0
2) 5х² = 8х + 4
3) 3х² + 4 = 6х
4) 3х + 2х² = 0
5) 288 – 2х² = 0
6) х + 8х² – 9 = 0
7) n² – 2n = 35

ВАРИАНТ 11

1) х² = 3х + 18
2) 9х² + 16 = 24х
3) 3х² – 13х + 14 = 0
4) 5х² = 16х – 3
5) х + 6х² + 15 = 0

6) х² – 7х = 0
7) 3a² – 21 = 0

ВАРИАНТ 12

1) х² – 40 = 3х
2) 4х² = 28х – 49
3) 3х² + 5 – 16х = 0
4) 10 + 4х² – 3х = 0
5) 2х² – 6х = 0
6) 25 – 100х² = 0
7) 3m² + 12m = 15

ВАРИАНТ 13

1) 3х² + 36 = 21х
2) 25 + х² + 10х = 0
3) 2х² = х + 21
4) 3х² – 8х + 4 = 0
5) 8 + 6х² – х = 0
6) 3х – х² = 0

7) 4 – 36а² = 0

ВАРИАНТ 14

1) х² = 14 – 5х
2) 9 + 4х² = 12х
3) 14х² = 5х + 1
4) 7х² – 26х = 8
5) 12 + 3х² + 2х = 0
6) 2х² – 16х = 0
7) c² – 144 = 0

ВАРИАНТ 15

1) 4 – 4х² = 0
2) 16х² + 22х = 38
3) х² = 30 + х
4) 16 – 8х + х² = 0
5) 5х² – 26х + 5 = 0
6) 10х² + 5 + 3х = 0
7) 7b + b² = 0

ВАРИАНТ 16

1) х² + 18 + 9х = 0
2) 9х² + 16 = 24х
3) 7х² + = 3 – 20х
4) –6х² + 8х – 10 = 0
5) х – 11х² = 0
6) х² – 0,04 = 0
7) 2n² = 7n + 9

ВАРИАНТ 17

1) х² + 3х = 40
2) 4х² + 28х + 49 = 0
3) 9х² + 6 = 21х
4) 3х² – 8 + 10х = 0
5) 14 + 5х² – 10х = 0
6) 5х – х² = 0
7) 169 – b² = 0

ВАРИАНТ 18

) х² = 3х + 4
2) 2х² + 20 = 14х
3) 8х + х² + 16 = 0
4) 8х² – 26х = 7
5) 9х² – 3х + 1 = 0
6) 18х² – 9х = 0
7) 6k² – 6 = 0

ВАРИАНТ 19

1) х² – 5х = 14
2) 9 + 4х² – 12х = 0
3) 2х² – 9х – 5 = 0
4) 4х² = 9 + 16х
5) 3 + 4х² – х = 0
6) х² + х = 0
7) 8 – 2с² = 0

ВАРИАНТ 20

1) 16 – 64х² = 0
2) 5х²

+ х = 4
3) х² = 30 – х
4) 4 + 9х² – 12х = 0
5) 5х² + 12 = 16х
6) 1 + 5х² + х = 0
7) 2a – 4a² = 0

ВАРИАНТ 21

1) 9х + 8х² = –1
2) 3 + 3х² = 4х
3) 25 – 10х + х² = 0
4) 4х – 4х² = 0
5) 3х² – 12 = 0
6) 9х² + 8 = 18х
7) c² + c = 6

ВАРИАНТ 22

1) 1 + 2х = 8х²
2) 20х + 25х² = –4
3) 1 – 4х² = 0
4) 3х – х² = 0

5) 12 – 17х – 5х² = 0
6) 7х – 4х² = 15
7) 5 + n² + 6n = 0

ВАРИАНТ 23

1) 1 – 9х² = 0
2) 16 + 3х² = 8х
3) 18 – х² + 3х = 0
4) –12х + 4 = – 9х²
5) 13х + 3х² = –14
6) х² – 3х = 0
7) 17a² = 33 – 16a

ВАРИАНТ 24

1) –15 = 2х – х²
2) –15 – 2х² = –11х
3) 0,36 – х² = 0
4) 16х = –х²
5) 10х² + 2 = х
6) 25х² + 40х + 16 = 0
7) 4b + 7 = 3b²

ВАРИАНТ 25

1) 6 + 3х² = 8х
2) х² = 0,04
3) х² + 3х = 0
4) 4х – 3 = –7х²
5) 25 + 4х² – 20х = 0
6) х² = 16 + 6х
7) 19m – 6m² = 10

ВАРИАНТ 26

1) 9х = х²
2) 13х – 14 – 3х² = 0
3) –12 = 11х + 5х²
4) –8х – 16х² = 1
5) 32 + х² = 12х
6) 2х² – 18 = 0
7) 11y² + 7 + 18y = 0

ВАРИАНТ 27

1) 3х² – х = 24
2) 4х² = – 4х – 1
3) –25 = 10х + 2х²
4) 7х = 12 + х²
5) х² = 4х
6) 3х² – 7 = 4х
7) k² – 25 = 0

ВАРИАНТ 28

1) 4 = 20х – 25х²
2) 2х = х²
3) 21х + 9х² + 10 = 0
4) 4х² = 36
5) 5 + 4х + х² = 0
6) х² – 12х + 32 = 0
7) 5 – 3а² – 2а = 0

ВАРИАНТ 29

1) 9х = –2х² – 10
2) х² – 6х = 0
3) 11+ х² + 6х = 0
4) 3 + х² = 4х
5) х² – 1,21 = 0
6) 9х² + 4 + 12х = 0
7) 7t ² – 4t – 3 = 0

ВАРИАНТ 30

1) 10х + 24 = х²
2) 3х – х² = 0
3) 2х² – 50 = 0
4) 2х – 3 = 2х²
5) 1 = 10х – 25х²
6) 3х² = – 8 + 11х
7) b² + 20 = 9b

ВАРИАНТ 31

1) 12х – 35 = х²
2) х² – 11х = 42
3) 2 + 3х² = 4х
4) –24х = 9 + 16х²
5) 5х = х²
6) –х² + 8 = 0
7) 17a = 12 + 6a²

ВАРИАНТ 32

1) 14х – х² = 48
2) 6х – 1 = 9х²
3) 6х² + 3 = – 7х
4) 19х – 14 – 6х² = 0
5) 9х² = 4
6) х² = 4х
7) n² = 11n – 10

ВАРИАНТ 33

1) 12х + 7х² = –5
2) –2х – 1 = 4х²
3) 17х + 10х² = 0
4) 5 – 11х = –2х²
5) 9х² – 24х = –16
6) 6х² – 42 = 0
7) 20 + c² + 9c = 0

ВАРИАНТ 34

1) –х² = 35 + 12х
2) 4х – х² = 7
3) х² – 5х = 84
4) 3 – 3х² = 0
5) 7х + 12 – 12х² = 0
6) 0 = 6х – х²
7) –4y² – 25 = 20y

ВАРИАНТ 35

1) –6х – 2х² = 9
2) 2 + 12х² = 11х
3) –9 – 4х² + 12х = 0
4) 4 – 9х² = 0
5) 10х + 25х² = 8
6) х² + 2,3х = 0
7) 13m + m² + 36 = 0

ВАРИАНТ 36

1) –15 = – 3х²
2) –х² = 2 + 2х
3) 4 + 9х² = –12х
4) 14 – х – 3х² = 0
5) х² – 25х = 0
6) –8 = 18х – 5х²
7) p² = 13p – 36

ВАРИАНТ 37

1) –4х + х² = 0
2) 6х – 2х² = 5
3) 16 + х² = –8х
4) 0,9 – х² = 0
5) –2х = 7х² – 5
6) х² + 19х + 90 = 0
7) 3s² + 8s = 3

ВАРИАНТ 38

1) 9х – х² = 0
2) 7х + 10х² +2 = 0
3) 4х² – 9 = 0
4) 7х – 2х² = 6
5) 40х – 25х² = 7
6) 20х + 4х² + 25 = 0
7) n² + 5n – 84 = 0

ВАРИАНТ 39

1) 3х² – х = 0
2) 10 – 7х – 3х² = 0
3) х² – 2х – 48 = 0
4) 24х – 9 = 16х²
5) 4х² = 15 – 4х
6) –1,2 = –0,2х²
7) k² = 8k – 17

ВАРИАНТ 40

1) х² – 16 = 0
2) 4х – х² = 0
3) 12 + 3х² = 20х
4) 9х² = –25 – 30х
5) –3х² – 6х = 4
6) 10х = –8х² – 3
7) a² + 12 – 7a = 0

ВАРИАНТ 1

ВАРИАНТ 2

ВАРИАНТ 3

ВАРИАНТ 4

ВАРИАНТ 5

ВАРИАНТ 6

ВАРИАНТ 7

ВАРИАНТ 8

ВАРИАНТ 9

ВАРИАНТ 10

1) –5; 0
2) –2; 2
3) – ⁵/₂; 1
4) –2; –1
5) –2
6) –3; ¹/₃
7) D < 0

1) D < 0
2) –4; 0
3) –3; 3
4) – ²/₅; 1
5) –4; –2
6) 3
7) –2; ²/₃

1) ¹/₂; ⁵/₄
2) D < 0
3) –2; 0
4) ±
5) 3; 5
6) – ¹/₂
7) –3; ²/₃

1) – ³/₂; ¹/₆
2) D < 0
3) 0; 3
4) ± 6
5) – ³/₈; 1
6) –6; 3
7) – ²/₃

1) – ¹/₄
2) –6; ⁴/₅
3) D < 0
4) 0; ⁵/₃
5) ±
6) –l; – ²/₅
7) –7; 5

1) –10; 0
2) ± 3
3) ¹⁷/₂₅; 1
4) –2; 3
5) ¹/₂
6) –2; ²/₉
7) D < 0

1) D < 0
2) 0; 2
3) ± 5
4) –3; 1
5) – ²/₅
6) ¹/₃; 4
7) – ¹/₆; ³/₂

1) – ³/₅; 5
2) D < 0
3) 0; 2
4) ± 11
5) –2; 1
6) –3; 5
7) – ¹/₇

1) ²/₅; ²/₃
2) D < 0
3) 0; ²/₅
4) ± 2
5) –1; – ³/₄
6) 3; 6
7) ³/₄

1) –5
2) – ²/₅; 2
3) D < 0
4) – ³/₂; 0
5) ± 12
6) – ⁹/₈; l
7) –5; 7

ВАРИАНТ 11

ВАРИАНТ 12

ВАРИАНТ 13

ВАРИАНТ 14

ВАРИАНТ 15

ВАРИАНТ 16

ВАРИАНТ 17

ВАРИАНТ 18

ВАРИАНТ 19

ВАРИАНТ 20

1) –3; 6
2) ⁴/₃
3) 2; ⁷/₃
4) ¹/₅; 3
5) D < 0
6) 0; 7
7) ±

1) –5; 8
2) ⁷/₂
3) ¹/₃; 5
4) D < 0
5) 0; 3
6) ± 0,5
7) –5; 1

1) 3; 4
2) –5
3) –3; ⁷/₂
4) ²/₃; 2
5) D < 0
6) 0; 3
7) ± ¹/₃

1) –7; 2
2) ³/₂
3) – ¹/₇; ¹/₂
4) – ²/₇; 4
5) D < 0
6) 0; 8
7) ± 12

1) –1; 1
2) –¹⁹/₈; 1
3) –5; 6
4) 4
5) ¹/₅; 5
6) D < 0
7) –7; 0

1) –6; –3
2) ⁴/₃
3) –3; ¹/₇
4) D < 0
5) 0; ¹/₁₁
6) ± 0,2
7) –1; ⁹/₂

1) –8; 5
2) – ⁷/₂
3) ¹/₃; 2
4) –4; ²/₃
5) D < 0
6) 0; 5
7) ± 13

1) –1; 4
2) 2; 5
3) –4
4) – ¹/₄; ⁷/₂
5) D < 0
6) 0; ¹/₂
7) ± 1

1) –2; 7
2) ³/₂
3) – ¹/₂; 5
4) – ¹/₂; ⁹/₂
5) D < 0
6) –1; 0
7) ± 2

1) ± 0,5
2) –1; ⁴/₅
3) –6; 5
4) ²/₃
5) ⁶/₅; 2
6) D < 0
7) 0; ¹/₂

ВАРИАНТ 21

ВАРИАНТ 22

ВАРИАНТ 23

ВАРИАНТ 24

ВАРИАНТ 25

ВАРИАНТ 26

ВАРИАНТ 27

ВАРИАНТ 28

ВАРИАНТ 29

ВАРИАНТ 30

1) – ¹/₈; –1
2) D < 0
3) 5
4) 0; 1
5) ± 2
6) ²/₃; ⁴/₃
7) –3; 2

1) – ¹/₄; ¹/₂
2) – ²/₅
3) ± ¹/₂
4) 0; 3
5) –4; ³/₅
6) D < 0
7) –5; –1

1) ± ¹/₃
2) D < 0
3) –3; 6
4) ²/₃
5) – ⁷/₃; –2
6) 0; 3
7) – ³³/₁₇; 1

1) –3; 5
2) ⁵/₂; 3
3) ± 0,6
4) –16; 0
5) D < 0
6) – ⁴/₅
7) –1; ⁷/₃

1) D < 0
2) ± 0,2
3) –3; 0
4) –1; ³/₇
5) ⁵/₂
6) –2; 8
7) ²/₃; ⁵/₂

1) 0; 9
2) 2; ⁷/₃
3) D < 0
4) – ¹/₄
5) 4; 8
6) ± 3
7) –1; – ⁷/₁₁

1) – ⁸/₃; 3
2) – ¹/₂
3) D < 0
4) 3; 4
5) 0; 4
6) –1; ⁷/₃
7) ± 5

1) ²/₅
2) 0; 2
3) –⁵/₃; –²/₃
4) ± 3
5) D < 0
6) 4; 8
7) – ⁵/₃; 1

1) – ⁵/₂; –2
2) 0; 6
3) D < 0
4) 1; 3
5) ± 1,1
6) – ²/₃
7) – ³/₇; 1

1) –2; 12
2) 0; 3
3) ± 5
4) D < 0
5) ¹/₅
6) 1; ⁸/₃
7) 4; 5

ВАРИАНТ 31

ВАРИАНТ 32

ВАРИАНТ 33

ВАРИАНТ 34

ВАРИАНТ 35

ВАРИАНТ 36

ВАРИАНТ 37

ВАРИАНТ 38

ВАРИАНТ 39

ВАРИАНТ 40

1) 5; 7
2) –3; 14
3) D < 0
4) – ³/₄
5) 0; 5
6) ±
7) ⁴/₃; ³/₂

1) 6; 8
2) ¹/₃
3) D < 0
4) ⁷/₆; 2
5) ± ²/₃
6) 0; 4
7) 1; 10

1) –1; – ⁵/₇
2) D < 0
3) – 1,7; 0
4) ¹/₂; 5
5) ⁴/₃
6) ±
7) –5; –4

1) –7; –5
2) D < 0
3) –7; 12
4) ± 1
5) – ³/₄; ⁴/₃
6) 0; 6
7) – ⁵/₂

1) D < 0
2) ¹/₄; ²/₃
3) ³/₂
4) ± ²/₃
5) – ⁴/₅; ²/₅
6) –2,3; 0
7) –9; –4

1) ±
2) D < 0
3) – ²/₃
4) – ⁷/₃; 2
5) 0; 25
6) – ²/₅; 4
7) 4; 9

1) 0; 4
2) D < 0
3) –4
4) ±
5) –1; ⁵/₇
6) –10; –9
7) –3; ¹/₃

1) 0; 9
2) D < 0
3) ± ³/₂
4) ³/₂; 2
5) ¹/₅; ⁷/₅
6) – ⁵/₂
7) –12; 7

1) 0; ¹/₃
2) – ¹⁰/₃; 1
3) –6; 8
4) ³/₄
5) – ⁵/₂; ³/₂
6) ±
7) D < 0

1) ± 4
2) 0; 4
3) ²/₃; 6
4) – ⁵/₃
5) D < 0
6) –³/₄; –¹/₂
7) 3; 4

Зачет по теме «Целые уравнения»

Зачет по теме «целое уравнение и его корни»

Карточка №1.

1. Решите уравнение (8х+1)(2х-3)-1=(4х-2)2

2. Решите уравнения способом разложения а) 7х3-14х=0 б)16х3+32х2-х-2=0

3. Решите уравнение способом замены (х2-5)2-3(х2-5)-4=0

4. Решите биквадратное уравнение х4-26х2+25=0

5. Уравнение с параметром. При каком t уравнение имеет 2 корня

2х2+4х+t =0

________________________________________________________________________

Карточка №2.

1. Решите уравнение (3х-1)(12х+1)-10=(6х+2)2

2. Решите уравнения способом разложения а) 2х4-х3 =0 б) 9х3+18х2-х-2=0

3. Решите уравнение способом замены (х2-3)2+х2-3=2

4. Решите биквадратное уравнение х4-17х2+16=0

5. Уравнение с параметром. При каком t уравнение имеет 1 корень.

6х2+tх+6=0

__________________________________________________________________________

Карточка №3

1. Решите уравнение (9х-2)(4х+1)- (6х-1)2=0

2. Решите уравнения способом разложения а) х3-25х2=0 б)х3-8х2-8+х=0

3. Решите уравнение способом замены (х2+2х)-2(х2+2х)-3=0

4. Решите биквадратное уравнение х4-5х2+4=0

5. Уравнение с параметром. При каком t уравнение имеет 2 корня

4х2-8х+t=0

Карточка №4

1. Решите уравнение (3х-4)(2х+5)=(х-8)(6х-1)

2. Решите уравнения способом разложения а) х4-5х2-0 б) х3-7х2-4х+28=0

3. Решите уравнение способом замены (х2-10)-3(х2-10)+4=0

4. Решите биквадратное уравнение х4-10х2+9=0

5. Уравнение с параметром. При каком t уравнение имеет 1 корень

Х2+tх+16=0

________________________________________________________________________________

Карточка №5

1. Решите уравнение (2х-3)(х+1)=х2+17

2. Решите уравнения способом разложения а) 18х3-36х2=0 б) 16х3-32х2 -х+2=0

3. Решите уравнение способом замены (х2+х)2-5(х2+х)+6=0

4. Решите биквадратное уравнение х4-18х2+32=0

5. Уравнение с параметром. При каком t уравнение не имеет корней

6х2+tх+4=0

_______________________________________________________________________________

Карточка №6

1. Решите уравнение х2(х-7)+7(х2-х)=-6

2. Решите уравнения способом разложения а) х3-144х=0 б) х6-х4+5х2-5 =0

3. Решите уравнение способом замены (х2+х+6)(х2+х-4) =144

4. Решите биквадратное уравнение х4+15х4+54=0

5. Уравнение с параметром. При каком t уравнение не имеет корней

Х2+8х+t=0

Просмотр содержимого документа
«зачет по теме «Целые уравнения» »

Зачет по теме «целое уравнение и его корни»

Карточка №1.

1. Решите уравнение (8х+1)(2х-3)-1=(4х-2)²

2. Решите уравнения способом разложения а) 7х³-14х=0 б)16х³+32х²-х-2=0

3. Решите уравнение способом замены (х²-5)²-3(х²-5)-4=0

4. Решите биквадратное уравнение х⁴-26х²+25=0

5. Уравнение с параметром. При каком t уравнение имеет 2 корня

2х²+4х+t =0

________________________________________________________________________

Карточка №2.

1. Решите уравнение (3х-1)(12х+1)-10=(6х+2)²

2. Решите уравнения способом разложения а) 2х⁴-х³ =0 б) 9х³+18х²-х-2=0

3. Решите уравнение способом замены (х²-3)²+х²-3=2

4. Решите биквадратное уравнение х⁴-17х²+16=0

5. Уравнение с параметром. При каком t уравнение имеет 1 корень.

6х²+tх+6=0

__________________________________________________________________________

Карточка №3

1. Решите уравнение (9х-2)(4х+1)- (6х-1)²=0

2. Решите уравнения способом разложения а) х³-25х²=0 б)х³-8х²-8+х=0

3. Решите уравнение способом замены (х²+2х)-2(х²+2х)-3=0

4. Решите биквадратное уравнение х⁴-5х²+4=0

5. Уравнение с параметром. При каком t уравнение имеет 2 корня

4х²-8х+t=0

Карточка №4

1. Решите уравнение (3х-4)(2х+5)=(х-8)(6х-1)

2. Решите уравнения способом разложения а) х⁴-5х²-0 б) х³-7х²-4х+28=0

3. Решите уравнение способом замены (х²-10)-3(х²-10)+4=0

4. Решите биквадратное уравнение х⁴-10х²+9=0

5. Уравнение с параметром. При каком t уравнение имеет 1 корень

Х²+tх+16=0

________________________________________________________________________________

Карточка №5

1. Решите уравнение (2х-3)(х+1)=х²+17

2. Решите уравнения способом разложения а) 18х³-36х²=0 б) 16х³-32х²-х+2=0

3. Решите уравнение способом замены (х²+х)²-5(х²+х)+6=0

4. Решите биквадратное уравнение х⁴-18х²+32=0

5. Уравнение с параметром. При каком t уравнение не имеет корней

6х²+tх+4=0

_______________________________________________________________________________

Карточка №6

1. Решите уравнение х²(х-7)+7(х²-х)=-6

2. Решите уравнения способом разложения а) х³-144х=0 б) х⁶-х⁴+5х²-5 =0

3. Решите уравнение способом замены (х²+х+6)(х²+х-4) =144

4. Решите биквадратное уравнение х⁴+15х⁴+54=0

5. Уравнение с параметром. При каком t уравнение не имеет корней

Х²+8х+t=0

Квадратные уравнения 8 класс | Образовательный портал EduContest.Net — библиотека учебно-методических материалов

ВАРИАНТ 1
1) х2 + 5х = 02) х2 – 4 = 03) 3х + 2х2 – 5 = 04) х2 + 2 + 3х = 05) х2 + 4х + 4 = 06) 3х2 + 8х = 3 7) 6а2 + 2 = 6а
ВАРИАНТ 2
1) 2х2 + х + 67 = 02) 4х + х2 = 03) 3х2 – 27 = 04) 5х2 = 3х + 25) х2 + 8+ 6х = 06) 9 + х2 = 6х7) 3у2 + 4у = 4
ВАРИАНТ 3
1) 8х2 + 5 = 14х2) 4х2 = 2х – 33) х2 + 2х = 04) 6х2 – 12 = 05) 3х2 + 45 – 24х = 06) 4х + 4х2 + 1 = 07) 3у2 + 7у – 6 = 0
ВАРИАНТ 4
1) 12х2 + 16х = 32) 21х2 = 5х – 13) х2 – 3х = 04) 2х2 – 72 = 05) 8х2 – 3 = 5х6) х2 = 18 – 3х7) 9у2 + 12у + 4 = 0
ВАРИАНТ 5
1) 1 + 8х + 16х2 = 02) 5х2 + 26х = 243) 7х2 – 2х + 12 = 04) 3х2 – 5х = 05) 6 – 2х2 = 06) 5х2 + 2 + 7х = 07) t 2 = 35 – 2t

ВАРИАНТ 6
1) х2 + 10х = 02) –х2 + 9 = 03) 25х2 + 17 = 42х4) х2 = х + 65) 4х2 – 4х + 1 = 06) 9х2 = 4 – 16х7) 6а2 + 14 = 2а
ВАРИАНТ 7
1) 6х2 + 3х + 4 = 02) 7х2 – 14х = 03) 25 – х2 = 04) х2 + 2х = 35) 25х2 + 20х + 4 = 06) 9х2 + 12 = 39х7) 12b2 = 16b + 3
ВАРИАНТ 8
1) 5х2 = 22х + 152) 3х2 + 9 = 10х3) х2 – 2х = 04) 121 – х2 = 05) 3х – 6 + 3х2 = 06) 2х2 = 4х + 307) 14c + 49c2 + 1 = 0
ВАРИАНТ 9
1) 15х2 + 4 = 16х2) 7х2 = 4х – 33) 2х – 5х2 = 04) 5х2 – 20 = 05) 7х + 3 + 4х2 = 06) х2 – 9х + 18 = 07) 16k2 + 9 – 24k = 0
ВАРИАНТ 10
1) 10х + 25 + х2 = 02) 5х2 = 8х + 43) 3х2 + 4 = 6х4) 3х + 2х2 = 05) 288 – 2х2 = 06) х + 8х2 – 9 = 07) n2 – 2n = 35

ВАРИАНТ 11
1) х2 = 3х + 182) 9х2 + 16 = 24х3) 3х2 – 13х + 14 = 04) 5х2 = 16х – 35) х + 6х2 + 15 = 06) х2 – 7х = 07) 3a2 – 21 = 0
ВАРИАНТ 12
1) х2 – 40 = 3х2) 4х2 = 28х – 493) 3х2 + 5 – 16х = 04) 10 + 4х2 – 3х = 05) 2х2 – 6х = 06) 25 – 100х2 = 07) 3m2 + 12m = 15
ВАРИАНТ 13
1) 3х2 + 36 = 21х2) 25 + х2 + 10х = 03) 2х2 = х + 214) 3х2 – 8х + 4 = 05) 8 + 6х2 – х = 06) 3х – х2 = 07) 4 – 36а2 = 0
ВАРИАНТ 14
1) х2 = 14 – 5х2) 9 + 4х2 = 12х3) 14х2 = 5х + 14) 7х2 – 26х = 85) 12 + 3х2 + 2х = 06) 2х2 – 16х = 07) c2 – 144 = 0
ВАРИАНТ 15
1) 4 – 4х2 = 02) 16х2 + 22х = 383) х2 = 30 + х4) 16 – 8х + х2 = 05) 5х2 – 26х + 5 = 06) 10х2 + 5 + 3х = 07) 7b + b2 = 0

ВАРИАНТ 16
1) х2 + 18 + 9х = 02) 9х2 + 16 = 24х3) 7х2 + = 3 – 20х4) –6х2 + 8х – 10 = 05) х – 11х2 = 06) х2 – 0,04 = 07) 2n2 = 7n + 9
ВАРИАНТ 17
1) х2 + 3х = 402) 4х2 + 28х + 49 = 03) 9х2 + 6 = 21х4) 3х2 – 8 + 10х = 05) 14 + 5х2 – 10х = 06) 5х – х2 = 07) 169 – b2 = 0
ВАРИАНТ 18
1) х2 = 3х + 42) 2х2 + 20 = 14х3) 8х + х2 + 16 = 04) 8х2 – 26х = 75) 9х2 – 3х + 1 = 06) 18х2 – 9х = 07) 6k2 – 6 = 0
ВАРИАНТ 19
1) х2 – 5х = 142) 9 + 4х2 – 12х = 03) 2х2 – 9х – 5 = 04) 4х2 = 9 + 16х5) 3 + 4х2 – х = 06) х2 + х = 07) 8 – 2с2 = 0
ВАРИАНТ 20
1) 16 – 64х2 = 02) 5х2 + х = 43) х2 = 30 – х4) 4 + 9х2 – 12х = 05) 5х2 + 12 = 16х6) 1 + 5х2 + х = 07) 2a – 4a2 = 0

ВАРИАНТ 21
1) 9х + 8х2 = –12) 3 + 3х2 = 4х3) 25 – 10х + х2 = 04) 4х – 4х2 = 05) 3х2 – 12 = 06) 9х2 + 8 = 18х7) c2 + c = 6
ВАРИАНТ 22
1) 1 + 2х = 8х22) 20х + 25х2 = –43) 1 – 4х2 = 04) 3х – х2 = 05) 12 – 17х – 5х2 = 06) 7х – 4х2 = 157) 5 + n2 + 6n = 0
ВАРИАНТ 23
1) 1 – 9х2 = 02) 16 + 3х2 = 8х3) 18 – х2 + 3х = 04) –12х + 4 = – 9х25) 13х + 3х2 = –146) х2 – 3х = 07) 17a2 = 33 – 16a
ВАРИАНТ 24
1) –15 = 2х – х22) –15 – 2х2 = –11х3) 0,36 – х2 = 04) 16х = –х25) 10х2 + 2 = х6) 25х2 + 40х + 16 = 07) 4b + 7 = 3b2
ВАРИАНТ 25
1) 6 + 3х2 = 8х2) х2 = 0,043) х2 + 3х = 04) 4х – 3 = –7х25) 25 + 4х2 – 20х = 06) х2 = 16 + 6х7) 19m – 6m2 = 10

ВАРИАНТ 26
1) 9х = х22) 13х – 14 – 3х2 = 03) –12 = 11х + 5х24) –8х – 16х2 = 15) 32 + х2 = 12х6) 2х2 – 18 = 07) 11y2 + 7 + 18y = 0
ВАРИАНТ 27
1) 3х2 – х = 242) 4х2 = – 4х – 13) –25 = 10х + 2х24) 7х = 12 + х25) х2 = 4х6) 3х2 – 7 = 4х7) k2 – 25 = 0
ВАРИАНТ 28
1) 4 = 20х – 25х22) 2х = х23) 21х + 9х2 + 10 = 04) 4х2 = 365) 5 + 4х + х2 = 06) х2 – 12х + 32 = 07) 5 – 3а2 – 2а = 0
ВАРИАНТ 29
1) 9х = –2х2 – 102) х2 – 6х = 03) 11+ х2 + 6х = 04) 3 + х2 = 4х5) х2 – 1,21 = 06) 9х2 + 4 + 12х = 07) 7t 2 – 4t – 3 = 0
ВАРИАНТ 30
1) 10х + 24 = х22) 3х – х2 = 03) 2х2 – 50 = 04) 2х – 3 = 2х25) 1 = 10х – 25х26) 3х2 = – 8 + 11х7) b2 + 20 = 9b

ВАРИАНТ 31
1) 12х – 35 = х22) х2 – 11х = 423) 2 + 3х2 = 4х4) –24х = 9 + 16х25) 5х = х26) –х2 + 8 = 07) 17a = 12 + 6a2
ВАРИАНТ 32
1) 14х – х2 = 482) 6х – 1 = 9х23) 6х2 + 3 = – 7х4) 19х – 14 – 6х2 = 05) 9х2 = 46) х2 = 4х7) n2 = 11n – 10
ВАРИАНТ 33
1) 12х + 7х2 = –52) –2х – 1 = 4х23) 17х + 10х2 = 04) 5 – 11х = –2х25) 9х2 – 24х =
· 42 = 07) 20 + c2 + 9c = 0
ВАРИАНТ 34
1) –х2 = 35 + 12х2) 4х – х2 = 73) х2 – 5х = 844) 3 – 3х2 = 05) 7х + 12 – 12х2 = 06) 0 = 6х – х27) –4y2 – 25 = 20y
ВАРИАНТ 35
1) –6х – 2х2 = 92) 2 + 12х2 = 11х3) –9 – 4х2 + 12х = 04) 4 – 9х2 = 05) 10х + 25х2 = 86) х2 + 2,3х = 07) 13m + m2 + 36 = 0

ВАРИАНТ 36
1) –15 = – 3х22) –х2 = 2 + 2х3) 4 + 9х2 = –12х4) 14 – х – 3х2 = 05) х2 – 25х = 06) –8 = 18х – 5х27) p2 = 13p – 36
ВАРИАНТ 37
1) –4х + х2 = 02) 6х – 2х2 = 53) 16 + х2 = –8х4) 0,9 – х2 = 05) –2х = 7х2 – 56) х2 + 19х + 90 = 07) 3s2 + 8s = 3
ВАРИАНТ 38
1) 9х – х2 = 02) 7х + 10х2 +2 = 03) 4х2 – 9 = 04) 7х – 2х2 = 65) 40х – 25х2 = 76) 20х + 4х2 + 25 = 07) n2 + 5n – 84 = 0
ВАРИАНТ 39
1) 3х2 – х = 02) 10 – 7х – 3х2 = 03) х2 – 2х – 48 = 04) 24х – 9 = 16х25) 4х2 = 15 – 4х6) –1,2 = –0,2х27) k2 = 8k – 17
ВАРИАНТ 40
1) х2 – 16 = 02) 4х – х2 = 03) 12 + 3х2 = 20х4) 9х2 = –25 – 30х5) –3х2 – 6х = 46) 10х = –8х2 – 37) a2 + 12 – 7a = 0

ВАРИАНТ 1
ВАРИАНТ 2
ВАРИАНТ 3
ВАРИАНТ 4
ВАРИАНТ 5
ВАРИАНТ 6
ВАРИАНТ 7
ВАРИАНТ 8
ВАРИАНТ 9
ВАРИАНТ 10

1) –5; 02) –2; 23) – 5/2; 14) –2; –15) –26) –3; 1/37) D 1) D 2) –4; 03) –3; 34) – 2/5; 15) –4; –26) 37) –2; 2/3
1) 1/2; 5/42) D 3) –2; 04) ± 13 EQ \R(;2) 155) 3; 56) – 1/27) –3; 2/3
1) – 3/2; 1/62) D 3) 0; 34) ± 65) – 3/8; 16) –6; 37) – 2/3
1) – 1/42) –6; 4/53) D 4) 0; 5/35) ± 13 EQ \R(;3 )156) –l; – 2/57) –7; 5
1) –10; 02) ± 33) 17/25; 14) –2; 35) 1/26) –2; 2/97) D 1) D 2) 0; 23) ± 54) –3; 15) – 2/56) 1/3; 47) – 1/6; 3/2
1) – 3/5; 52) D 3) 0; 24) ± 115) –2; 16) –3; 57) – 1/7
1) 2/5; 2/32) D 3) 0; 2/54) ± 25) –1; – 3/46) 3; 67) 3/4
1) –52) – 2/5; 23) D 4) – 3/2; 05) ± 126) – 9/8; l7) –5; 7

ВАРИАНТ 11
ВАРИАНТ 12
ВАРИАНТ 13
ВАРИАНТ 14
ВАРИАНТ 15
ВАРИАНТ 16
ВАРИАНТ 17
ВАРИАНТ 18
ВАРИАНТ 19
ВАРИАНТ 20

1) –3; 62) 4/33) 2; 7/34) 1/5; 35) D 6) 0; 77) ± 13 EQ \R(;7 )15
1) –5; 82) 7/23) 1/3; 54) D 5) 0; 36) ± 0,57) –5; 1
1) 3; 42) –53) –3; 7/24) 2/3; 25) D 6) 0; 37) ± 1/3
1) –7; 22) 3/23) – 1/7; 1/24) – 2/7; 45) D 6) 0; 87) ± 12
1) –1; 12) –19/8; 13) –5; 64) 45) 1/5; 56) D 7) –7; 0
1) –6; –32) 4/33) –3; 1/74) D 5) 0; 1/116) ± 0,27) –1; 9/2
1) –8; 52) – 7/23) 1/3; 24) –4; 2/35) D 6) 0; 57) ± 13
1) –1; 42) 2; 53) –44) – 1/4; 7/25) D 6) 0; 1/27) ± 1
1) –2; 72) 3/23) – 1/2; 54) – 1/2; 9/25) D 6) –1; 07) ± 2
1) ± 0,52) –1; 4/53) –6; 54) 2/35) 6/5; 26) D 7) 0; 1/2

ВАРИАНТ 21
ВАРИАНТ 22
ВАРИАНТ 23
ВАРИАНТ 24
ВАРИАНТ 25
ВАРИАНТ 26
ВАРИАНТ 27
ВАРИАНТ 28
ВАРИАНТ 29
ВАРИАНТ 30

1) – 1/8; –12) D 3) 54) 0; 15) ± 26) 2/3; 4/37) –3; 2
1) – 1/4; 1/22) – 2/53) ± 1/24) 0; 35) –4; 3/56) D 7) –5; –1
1) ± 1/32) D 3) –3; 64) 2/35) – 7/3; –26) 0; 37) – 33/17; 1
1) –3; 52) 5/2; 33) ± 0,64) –16; 05) D 6) – 4/57) –1; 7/3
1) D 2) ± 0,23) –3; 04) –1; 3/75) 5/26) –2; 87) 2/3; 5/2
1) 0; 92) 2; 7/33) D 4) – 1/45) 4; 86) ± 37) –1; – 7/11
1) – 8/3; 32) – 1/23) D 4) 3; 45) 0; 46) –1; 7/37) ± 5
1) 2/52) 0; 23) –5/3; –2/34) ± 35) D 6) 4; 87) – 5/3; 1
1) – 5/2; –22) 0; 63) D 4) 1; 35) ± 1,16) – 2/37) – 3/7; 1
1) –2; 122) 0; 33) ± 54) D 5) 1/56) 1; 8/37) 4; 5

ВАРИАНТ 31
ВАРИАНТ 32
ВАРИАНТ 33
ВАРИАНТ 34
ВАРИАНТ 35
ВАРИАНТ 36
ВАРИАНТ 37
ВАРИАНТ 38
ВАРИАНТ 39
ВАРИАНТ 40

1) 5; 72) –3; 143) D 4) – 3/45) 0; 56) ± 13 EQ \R(;8 )157) 4/3; 3/2
1) 6; 82) 1/33) D 4) 7/6; 25) ± 2/36) 0; 47) 1; 10
1) –1; – 5/72) D 3) – 1,7; 04) 1/2; 55) 4/36) ± 13 EQ \R(;7 )157) –5; –4
1) –7; –52) D 3) –7; 124) ± 15) – 3/4; 4/36) 0; 67) – 5/2
1) D 2) 1/4; 2/33) 3/24) ± 2/35) – 4/5; 2/56) –2,3; 07) –9; –4
1) ± 13 EQ \R(;5 )152) D 3) – 2/34) – 7/3; 25) 0; 256) – 2/5; 47) 4; 9
1) 0; 42) D 3) –44) ± 13 EQ \R(;0,9 )155) –1; 5/76) –10; –97) –3; 1/3
1) 0; 92) D 3) ± 3/24) 3/2; 25) 1/5; 7/56) – 5/27) –12; 7
1) 0; 1/32) – 10/3; 13) –6; 84) 3/45) – 5/2; 3/26) ± 13 EQ \R(;6 )157) D 1) ± 42) 0; 43) 2/3; 64) – 5/35) D 6) –3/4; –1/27) 3; 4

Заголовок 1Заголовок 2Заголовок 315

Приложенные файлы

[PDF] Решение квадратных уравнений по формуле.» Цель урока

Download Решение квадратных уравнений по формуле.» Цель урока…

Урок по математике в 8 классе. Тема урока: «Решение квадратных уравнений по формуле.» Цель урока: закрепить знания и умения учащихся при решении квадратных уравнений по формуле; развивать навыки устного счета и логического мышления; воспитывать внимание, усидчивость. Ход урока. I.

Проверка домашнего задания. 1. Два ученика записывают на доске решение уравнений выделением квадрата двучлена. а) х2 – 8х + 7 = 0 ( ответ: 7; 1) б) х2 – 6х + 7 = 0 ( ответ: √2 + 3; — √2 + 3) 7

в) 2х2 + 5х – 7 = 0 ( ответ: 1; — ) 2

г) х + 3х – 4 =0 ( ответ: 1; — 4) 2. Устная работа. — Какие уравнения называются квадратными? — Какие виды квадратных уравнений вам известны? — Какие уравнения называются неполными? Приведенными? — Сгруппируйте данные квадратные уравнения по какому- либо признаку: а) х2 + 2х – 9 = 0; б) х2 – 5х = 0; в) 14х2 = 0; г) х2 – 3х +1=0; д) 3х2 – 2х + 19 = 0; е) 7х2 – 14х = 0. 3. Какое из уравнений в следующих группах является лишним? 2х2 – х =0; х2 – 5х + 1 =0; х2 – 16 =0; 9х2 – 6х + 10 =0; 4х2 + х – 3 =0; х2 + 3х – 5 =0; 2х2 = 0; х2 + 2х + 1 =0. 2

( ответ: в первой группе третье уравнение полное квадратное, а все остальные неполные; во второй группе второе уравнение полное квадратное, а остальные приведенные.) II.

Математический диктант с взаимопроверкой. (Один ученик работает на боковой доске.) 1. Запишите квадратное уравнение, у которого старший коэффициент 4, второй коэффициент -16, свободный член 15.(4х2-16х+15=0) 2. Запишите приведенное квадратное уравнение, второй коэффициент и свободный член которого равны -2.( х2 -2х-2=0)

3. Запишите неполное квадратное уравнение, первый коэффициент которого 4, свободный член 6.( 4х2 +6=0) 4. Вычислите D уравнения 3х2 – 8х – 3 =0.( D = 100) 1

5. Найдите корни этого уравнения. ( 3; — ) 3

III.

6. При каком дискриминанте полное квадратное уравнение имеет единственный корень? ( D = 0) 7. Решите уравнение х2 – 4х + 9 =0.( D x1; х1

IV.

Самостоятельная работа по группам. ( условие в предыдущей работе) 1 группа – задание «Ваза». 2 группа – задание «Настольная лампа». 1) х2-4х-21=0; (х1;х2) х2+15х+44=0; 2) х2-10х+21=0; ( х1;х2) х2+9х+8=0; 3) х2-7х+12=0; (х1;х2) х2+х=0; 4) х2-6х=0; (х2;х1) х2+6х=0; 5) х2+4х-32=0; (х2;х1) х2-4х-21=0; 6) х2+6х-55=0; (х2;х1) х2-10х+21=0; 7) х2+16х+55=0; (х2;х1) х2-6х=0; 8) х2+12х+32=0; (х2;х1) х2-х=0; 9) х2+6х=0; (х1;х2) х2+7х-8=0; 10) х2-х-12=0; (х1;х2) х2+7х-44=0;

(х2;х1) (х2;х1) (х1;х2) (х1;х2) (х1;х2) (х1;х2) (х2;х1) (х2;х1) (х2;х1) (х2;х1)

V. VI.

Итог урока. Демонстрируются работы, получившиеся у каждой группы. Домашнее задание: п.22 № 546, 547.

Тест по теме «Квадратные уравнения» | Тест по алгебре (8 класс) на тему:

Тест по теме «Квадратные уравнения»

Вариант 1

1. Какое из предложенных уравнений является квадратным уравнением?

А) 8х2 — 5х + 7 + 3х3 = 0.Б) 8х2 + 3х — + 4 = 0. В) 2х + х2 + 5 =9.

Г) 5х + 12 = 8. Д) 2 — х + = 2.

2. Какое из чисел -2, -1, 0, 1, 2 является корнем уравнения 3х2 -5х +2 = 0?

А) 1. Б) -1. В) 0. Г) -2. Д) 2.

3. Решите неполное квадратное уравнение 2х2 – 18 = 0.

А) 2 и . Б) -1 и 9. В) 0 и 9. Г) 1 и 18. Д) -3 и 3.

4. Решите неполное квадратное уравнение х2 + 2х = 0.

А) -1 и 2 Б) 0 и -2. В) 0 и 2. Г) нет корней. Д) 2 и .

5. Решите неполное квадратное уравнение 2х2 = 0.

А) 0 . Б) -1 и 0. В) 2 и 0. Г) -2 и 1. Д) 0 и 1.

6. Найдите корни уравнения х2 -7х + 6 = 0.

А) — 1 и — 6. Б) 1 и 6. В) 0 и 6. Г) 1 и 7. Д) -2 и 4.

7. Найдите корни уравнения х2 + 6х + 5 = 0.

А) 1 и 5. Б)-1 и -6. В)0 и 6. Г) -2 и 4. Д) -1 и -5.

8. Найдите корни уравнения х2 + 8х + 16 = 0.

А) — 4 и 4. Б) 8 и — 8. В) 0 и 4. Г) — 4. Д) 1 и 16

9. Решите уравнение 7х2 — х – 8 = 0.

А) 1 и . Б) -1 и — 7. В) и 6. Г) -2 и 4. Д) -1 и .

10. Найдите сумму корней уравнения х2 — 16х + 2 8 = 0.

А) -16. Б) 16. В) 28. Г) 14. Д) — 28.

11. Найдите сумму корней уравнения 3 х2 — 15х -2 8 = 0.

А- 5. Б) 15. В) 28. Г) 5. Д) — 28.

12. Найдите произведение корней уравнения 2 х2 — 15х — 2 8 = 0.

А) 14. Б) -14. В) 28. Г) 15. Д) — 28.

13. Решите уравнение (2х – 3)(3х + 6) = 0.

А) 3 и 6. Б) и 0,5. В) — 2 и 1,5. Г) 1 и 3. Д) — 2 и 8.

14. Решите уравнение (х – 2)2 = 3х — 8.

А) 1 и 7. Б) и 0,5. В) 2 и 6. Г) 3 и 4. Д) — 2 и 1,8.

15. Один из корней квадратного уравнения равен 3. Найдите второй корень уравнения х2 — 21х + 54 = 0.

А) 18. Б) — 18. В) 27. Г) — 27. Д) 9.

16. Один из корней квадратного уравнения равен -3. Найдите коэффициент р уравнения х2 + рх + 18 = 0.

А) — 9. Б) — 8. В) 8. Г) 1. Д) 9.

17. Решите уравнение = .

А) -6 и 4. Б) 1,4 и 0,5. В) 2 и 6. Г) 3 и 2,7. Д) 3 и 1,8.

18. При каких значениях параметра р имеет один корень уравнение

2х2 -рх + 4 = 0?

А) 2 и 4. Б) — 2 и 2. В) — 4 и — 4 . Г) 1 и 4. Д) — 4

19. Пусть х1 и х2 — корни уравнения х2 — 9 х — 17 = 0. Найдите + .
А) . Б)- . В) — . Г) . Д) 4.

20. Найдите такие значения р, при которых уравнение х2 — 2р х + 2р +3 = 0 имеет только один корень.

А) — 1 и 3. Б) — 3 и 3. В) — 3 и 1. Г) 1 и 3. Д) 2 и 3.

Вариант 2

1. Какое из предложенных уравнений является квадратным уравнением?

А) 3х + х2 + 5 = 7. Б) 8х2 + 3х — +4 = 0. В) 8х2- 5х + 7 + 3х3 = 0.

Г) 7х + 12 = 18. Д) 2х — х2 + = 2.

2. Какое из чисел -3 -1, 0, 1, 3 является корнем уравнения 2х2 + 3х — 27 = 0?

А) -3. Б) -1. В) 0. Г) 1. Д) 3.

3. Решите неполное квадратное уравнение 3х2 + 27 = 0.

А) 3 и . Б) -1 и 9. В) 0 и 27. Г) -3 и 3. Д) нет корней.

4. Решите неполное квадратное уравнение х2 — 7х = 0.

А) 0 и -7. Б) нет корней. В) 0 и 7. Г) 1 и -7. Д) 0 и .

5. Решите неполное квадратное уравнение 2х2 = 0.

А) 1 и 2. Б) -1 и 1. В) -2 и 2. Г) 0. Д) 2 и .

6. Найдите корни уравнения х2 — 8х + 7 = 0.

А) 7 и 0. Б) -1 и 8. В) 1 и 7. Г) 1 и 8. Д) 2 и .

7. Найдите корни уравнения х2 + 4х + 3 = 0.

А) -1 и 3. Б) -2 и 3. В) 0 и 6. Г) -1 и -3. Д) 1 и 4.

8. Найдите корни уравнения х2 — 6х + 9 = 0.

А) -3 и 3. Б) 9 и -9. В) 0 и 3. Г) 3. Д) 1 и 9

9. Решите уравнение 4х2 + 10х – 6= 0.

А) 1 и 6. Б) -2 и 3. В) 0,5 и -3. Г) — 1,5 и 3. Д) 1 и 1,5.

10. Найдите сумму корней уравнения х2 — 12х — 45 = 0.

А) — 12. Б) 12. В) 45. Г) — 45. Д) — 24.

11. Найдите сумму корней уравнения 2 х2 — 15х — 2 8 = 0.

А) 7,5. Б) 15. В) -7,5. Г) — 15. Д) — 28.

12. Найдите произведение корней уравнения 2 х2 — 15х + 42 = 0.

А) — 15. Б) — 21. В) 42. Г) 15. Д) 21.

13. Решите уравнение (3х – 3)(7х + 6) = 0.

А) 1 и 3. Б) и 0,5. В) 3 и 6. Г) — и 1. Д) — 2 и 7.

14. Решите уравнение 5 (х + 2)2 = — 6х + 44.

А) — 6 и 0,8. Б) и 0,5. В) 24 и 6. Г) 3,5 и 7. Д) — 2 и 1,8.

15. Один из корней квадратного уравнения равен 3. Найдите второй корень уравнения 2х2 + х — 21 = 0.

А) 21. Б) — 7. В) — 3,5. Г) — 2,7. Д) 3.

16. Один из корней квадратного уравнения равен -3. Найдите коэффициент р уравнения х2 — рх + 18 = 0.

А) 9. Б) — 8. В) 8. Г) 1. Д) -9.

17. Решите уравнение = .

А) — 3 и 2. Б) 1,4 и 0,5. В) 2 и 5,4. Г) и 2. Д) — 1,2 и 3,8.

18. При каких значениях параметра р имеет один корень уравнение

2х2 + рх + 6 = 0?

А) — 4 и — 4 . Б) — 3 и 3. В) — 4 и 4. Г) — 1 и 1. Д) — 6 и 6.

19. Пусть х1 и х2 — корни уравнения х2 + 7 х — 11 = 0. Найдите + .

А) — . Б) . В) — . Г) . Д) 3.

20. Найдите такие значения р, при которых уравнение — х2 + 2р х — 2р -3 = 0 имеет только один корень.

А) 1 и 3. Б) — 3 и 3. В) — 3 и 1. Г) -1 и 3. Д) 2 и 3.

Вариант 3

1. Какое из предложенных уравнений является квадратным уравнением?

А) 12х + х2 + 5х3 = 9. Б) 9 — х + = 2. В) 8х2 — 5х + 7 + 3х3 = 0.

Г) 5х -72 = 8. Д) 3х2- 6х — + 4 = 0.

2. Какое из чисел -3, -1, 0, 1, 3 является корнем уравнения 3х2 -5х -8 = 0?

А) 1. Б) -3. В) 0. Г) -1. Д) 3.

3. Решите неполное квадратное уравнение 4х2 – 64 = 0.

А) нет корней. Б) -1 и 16. В) -4 и 4. Г) 4 и 8. Д) 2 и .

4. Решите неполное квадратное уравнение — х2 + 2х = 0.

А) -1 и 0. Б) 0 и -2. В) 1 и 2. Г) 0 и 2. Д) -2 и .

5. Решите неполное квадратное уравнение 2х2 = 0.

А) . Б) -1 и 2. В) 0 и 2. Г) 2 . Д) 0.

6. Найдите корни уравнения х2 — 4х + 3 = 0.

А) 2 и . Б)-1 и 1. В)0 и 3. Г) -2 и 5. Д) 1 и 3.

7. Найдите корни уравнения х2 + 8х + 7 = 0.

А) 1 и 7. Б) -1 и 7. В) 0 и 7. Г) -1 и -7. Д) 1 и 6.

8. Найдите корни уравнения х2 + 10х + 25 = 0.

А) — 5 и 5. Б) — 5. В) 0 и 10. Г) — 5 и 5. Д) 1 и 10.

9. Решите уравнение 3х2 — 8х + 5 = 0.

А) 1 и 5. Б) -2 и 3,5. В) 1 и 1. Г) -1,5 и 3. Д) — 1 и -3,5.

10. Найдите сумму корней уравнения х2 — 17х + 2 8 = 0.

А) -17. Б) 14. В) 28. Г) 17. Д) — 28.

11. Найдите сумму корней уравнения 2х2 + 16х — 21 = 0.

А) 8. Б) — 16. В) — 18. Г) 21. Д) -8.

12. Найдите произведение корней уравнения 3 х2 — 17х – 27 = 0.

А) 9. Б) -9. В) 27. Г) 17. Д) — 27.

13. Решите уравнение (5х – 3)(2х + 2 6) = 0.

А) 13 и 6. Б) и 0,5. В) -13 и . Г) — 5 и 3. Д) — 2 и 13.

14. Решите уравнение (х – 1)2 = 29 — 5х.

А) 7 и 4. Б) и 2,5. В) -7 и 6. Г) 4 и — 7. Д) — 2 и 1,8.

15. Один из корней квадратного уравнения равен 2. Найдите второй корень уравнения х2 + 17х — 38 = 0.

А) — 19. Б) 19. В) 17. Г) — 17. Д) 38.

16. Один из корней квадратного уравнения равен -4. Найдите коэффициент р уравнения х2 + рх + 16 = 0.

А) -8. Б) 8. В) 9. Г) 1. Д) -9.

17. Решите уравнение — 6х = .

А) — 1 и 13. Б) — 1,4 и 0,5. В) — 2 и 6. Г) — 3 и 1,3. Д) — 3 и 1,8.

18. При каких значениях параметра р имеет один корень уравнение

5х2 + рх + 4 = 0?

А) — 5 и 5. Б) — 4 и 4. В) — 2 и 2 Г) — 4 и 4 . Д) — 9.

19. Пусть х1 и х2 — корни уравнения 2х2 — 9 х — 12 = 0. Найдите + .

А) 6. Б) . В) — . Г) . Д) — .

20. Найдите такие значения р, при которых уравнение — х2 + 2р х — 5р + 6 = 0 имеет только один корень.

А) 2 и 3. Б) — 3 и — 2. В) — 3 и 2. Г) 1 и 3. Д) — 2 и 3.

Вариант 4.

1. Какое из предложенных уравнений является квадратным уравнением?

А) 7х + 12 = 8. Б) 2х2 + х3 + 5 = 9. В) 7х2 — 4х — + 4 = 0.

Г) 8х2 — х + 7х+7 = 0. Д) 2 — х + = 2.

2. Какое из чисел -2, -1, 0, 1, 2 является корнем уравнения 4х2 -5х — 6 = 0?

А) 2. Б) -1. В) 0. Г) 1. Д) — 2.

3. Решите неполное квадратное уравнение 4х2 + 36 = 0.

А) нет корней. Б) -3 и 3. В) 0 и 9. Г) 1 и 9. Д) -9 и 9.

4. Решите неполное квадратное уравнение х2 + 9х = 0.

А) -1 и -9. Б) 0 и — 9. В) 0 и -9. Г) -3 и 3. Д) .

5. Решите неполное квадратное уравнение 4х2 = 0.

А) -4 и 4. Б) -1 и 0. В) -2 и 2. Г) 0. Д) 1 и

6. Найдите корни уравнения х2 — 6х + 5 = 0.

А) 1 и 0. Б) -2 и -5 . В) 5 и 1. Г) 5 и . Д) 2 и -3.

7. Найдите корни уравнения х2 + 9х + 8 = 0.

А) 1 и -8. Б) 1 и 8. В) 0 и 6. Г) -1 и 8. Д) -1 и -8.

8. Найдите корни уравнения х2 — 12х + 36 = 0.

А) 0 и 6. Б) — 6 и 6. В) 6. Г) — 6 и 6. Д) 3 и 12.

9. Решите уравнение 6х2 + 7х — 5 = 0.

А) — 2 и 3. Б) 0,5 и — 1 . В) 1 и 6. Г) — 0,5 и 3. Д) 1 и 1,5.

10. Найдите сумму корней уравнения х2 — 26х + 2 8 = 0.

А) — 26. Б) — 28. В) 26. Г) 13. Д) — 28.

11. Найдите сумму корней уравнения 3 х2 + 36х + 8 = 0.

А) 12. Б) -12. В) 8. Г) 18. Д) — 8.

12. Найдите произведение корней уравнения 4 х2 — 15х — 2 8 = 0.

А) 15. Б) 7. В) 28. Г) — 7. Д) — 28.

13. Решите уравнение (2х + 7)(5х — 4) = 0.

А) — 2 и 1,8. Б) и 0,5. В) 3 и 7. Г) 1 и 4. Д) — 3,5 и 0,8.

14. Решите уравнение (х + 3)2 = 2х + 6.

А) — 1 и — 3. Б) 1 и 3. В) 2 и 6. Г) — 1 и 6. Д) — 2 и 9.

15. Один из корней квадратного уравнения равен 2. Найдите второй корень уравнения х2 + 15х — 34 = 0.

А) 17. Б) -17. В) 34. Г) — 34. Д) 15.

16. Один из корней квадратного уравнения равен -4. Найдите коэффициент р уравнения х2 — рх + 16 = 0.

А) 8. Б) 9. В) -8. Г) 1. Д) — 9.

17. Решите уравнение + 4х = 3.

А) — 3 и 1. Б) — 1,3 и 0,5. В) — 1,2 и 6. Г) — 3 и 1,3. Д) — 13 и 1.

18. При каких значениях параметра р имеет один корень уравнение

— 4х2 + рх — 3 = 0?

А) — 4 и 4 . Б) -3 и 3. В) -4,5 и 4,5. Г) — 1 и 1. Д) — 9.

19. Пусть х1 и х2 – корни уравнения 2х2 + 4х – 1 = 0. Найдите .

А) 4. Б) В) — . Г) Д)- 4.

20. Найдите такие значения р, при которых уравнение х2 + 2р х + 5р — 6 = 0 имеет только один корень.

А) 2 и — 3. Б) 2 и 3. В) — 3 и — 2. Г) 1 и 3. Д) — 2 и 3.

Ответы.

	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4
1	В	А	Б	Г
2	А	Д	Г	А
3	Д	Д	В	А
4	Б	В	Г	Б
5	А	Г	Д	Г
6	Б	В	Д	В
7	Д	Г	Г	Д
8	Г	Г	Б	В
9	Д	В	В	Б
10	Б	Б	Г	В
11	Г	В	Д	Б
12	Б	Д	Б	Г
13	В	Г	В	Д
14	Г	А	Г	А
15	А	В	А	Б
16	Д	Д	Б	В
17	А	Г	А	Д
18	В	А	Г	А
19	Б	Б	Д	Д
20	А	Г	А	Б

2- 5_Высшая математика_7

Российской Федерации

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Кафедра математики.

Контрольная работа №2

по высшей математике.

Вариант 2.5

2х + 3y + 5 = 0.

Решение:

В качестве вектора нормали данной прямой можно принять вектор N(2, 3) и записать искомое уравнение 2х + 3y – (2 + 12) = 0 или 2x + 3y – 14 = 0

Ответ: 2x + 3y – 14 = 0

2. Найдите координаты проекции точки М(3, 6) на прямую x + 2y – 10 = 0.

Решение:

Пусть проекцией точки М будет точка M’.

Точку М’ можно найти как точку пересечения прямой x + 2y – 10 = 0 и прямой ММ’, перпендику-лярной к данной.

Прямая ММ’ параллельна вектору N₁(1, -2) – нормали прямой x + 2y – 10 = 0. В качестве нормали прямой ММ’ можно принять вектор N₂(-2, 1), тогда уравнение прямой будет иметь вид –2x + y – (-6+6) = 0 или –2x + y = 0

Для отыскания координат точки М’ составим систему уравнений:

решив которую, находим x = 2, y = 4, то есть М'(2, 4).

Ответ: (2, 4).

3. Запишите общее уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки М₁(-6, 1, -5), М₂(7, -2, -1), М₃(10, -7, 1).

Решение:

Данная плоскость параллельна векторам m₁ = M₁M₂ = (7 + 6, -2 – 1, -1 + 5) = (13, -3, 4), m₂ = M₁M₃ = (10 + 6, -7 – 1, 1 + 5) = (16, -8, 6).

Поэтому в качестве вектора нормали можно взять вектор N[m₁, m₂] = .

Разложим этот определитель по первой строке:

N = i – j + k = 14i – 14j – 56k || (1, -1, -4).

Уравнение плоскости x – y – 4z + D = 0.

Для определения D используем условие, что плоскость проходит через точку M₁(-6, 1, -5):

-6 – 1 + 20 + D = 0,

D = -13.

Уравнение плоскости x – y – 4z – 13 = 0.

Проверим, что точки M₂ и M₃ принадлежат этой плоскости:

М₂(7, -2, -1): 7 + 2 + 4 – 13 = 0

13 – 13 = 0, значит точка М₂ принадлежит данной плоскости.

М₃(10, -7, 1): 10 + 7 – 4 – 13 = 0

17 – 17 = 0, значит точка М₃ принадлежит данной плоскости.

Ответ: x – y – 4z – 13 = 0.

4. Известно, что прямая L параллельна вектору l = (0, 9, 12). Найдите длину отрезка этой прямой между плоскостями x + y + z – 3 = 0 и x + y + z – 24 = 0.

Решение:

Рассмотрим положение плоскостей x + y + z – 3 = 0 и x + y + z – 24 = 0 в пространстве: нормали плоскостей N₁(1, 1, 1) и N₂(1, 1, 1) равны, значит, плоскости параллельны. Так как ≠, то данные плоскости не совпадают.

Так как прямая L параллельна вектору l = (0, 9, 12), то уравнение прямой имеет вид: 9y + 12z + D = 0.

Пусть D = 0, тогда уравнение прямой будет 9y + 12z = 0. Найдем точки пересечения прямой с плоскостями x + y + z – 3 = 0 и x + y + z – 24 = 0 и запишем уравнение прямой в параметрическом виде. Пусть z – свободный член, тогда

Найдем значение параметра t₁, при котором прямая пересекает плоскость x + y + z – 3 = 0. Точка Н₁(0, , t₁) лежит в данной плоскости, значит ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости, следовательно, + t₁ – 3 = 0. Найдем t₁: -12 t₁ + 9 t₁ – 27 = 0, -3 t₁ = 27, t₁ = -9.

Аналогично найдем значение параметра t₂, при котором прямая пересекает плоскость x + y + z – 24 = 0. Точка Н₂(0, , t₂) лежит в данной плоскости, значит ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости, тогда + t₂ – 24 = 0, -12t₂ + 9 t₂ – 216 = 0, t₂ = -72.

Подставляя в параметрическое уравнение значения t₁= -9, t₂ = -72 найдем точки пересечения

Н₁(0, 12, -9) и Н₂(0, 96, -72) прямой L с данными плоскостями.

По формуле расстояния между двумя точками в пространстве, находим отрезок Н₁Н₂ между данными плоскостями:

d = ,

Н₁Н₂ = = = 105.

Ответ: d = 105.

5. Некоторая прямая проходит через точку Р(2, 2, 1), пересекает ось в точке Q(0, y_o, 0) и пересекает прямую Найдите y_o.

Решение:

Пусть z – свободный член, тогда преобразуем данную систему уравнений при z = t:

Условием пересечения двух прямых является равенство (r₂ – r₁, l₁, l₂) = 0, где r₂= (2, 2, 1), r₁= (-2, -1, 0), l₁= (3, 2, 1), l₂= PQ = (-2, y₀-2, -1).

Тогда (r₂ – r₁, l₁, l₂) = = = -2·– (y_o – 2)·– 1· =

= -2 – (y_o – 2) – 2 = 0,

-4 – y_o + 2 = 0,

y_o = 2.

Ответ: y_o = 2.

6. Плоскость содержит прямую = = и параллельна прямой х – 3 = у – 3 = -2 (z – 6). Найти квадрат расстояния от второй прямой до плоскости.

Решение:

Преобразуем данные канонические уравнения прямых: 2х + 3z – 18 = 0 – прямая в плоскости, х + у – 4z – 18 = 0 – прямая, параллельная плоскости. Следовательно, эти прямые непараллельные, то есть , и скрещивающиеся, так как одна из прямых содержится в плоскости, параллельной второй. Тогда нахождение отрезка между плоскостью и второй прямой сведется к нахождению отрезка между двумя скрещивающимися прямыми.

Приведем уравнения прямых от канонического к параметрическому виду:

По формуле , где r₁= (0, 0, 6), r₂= (3, 3, 6), l₁= (3, 0, -2), l₂= (1, 1, ), находим

r₁ – r₂, l₁, l₂= = i · – j · + k · = -2i + j + 3k.

d² = = = = =.

Ответ: .

7. Доказать, что уравнение х² + у² + 6х – 10у – 15 = 0 определяет на плоскости X0Y окружность. Найти ее центр и радиус R. В ответе сначала указать х_о, у_о– координаты центра, затем R.

Решение:

Уравнение вида a₁₁x²+ a₂₂y²+ 2a₁₂xy + a₀₁x + a₀₂y + a₀₀= 0 определяет на плоскости окружность, если а₁₁ = а₂₂0, а₁₂ = 0. В нашем случае данное уравнение удовлетворяет условию, поэтому х² + у² + 6х – 10у – 15 = 0 определяет на плоскости X0Yокружность.

Найдем радиус и центр данной окружности:

х² + у² + 6х – 10у – 15 = (х² + 6x + 9) + (у² – 10y + 25) – 49 = 0?

(x + 3)² + (y – 5)²= 49.

Следовательно, (3, -5) – центр окружности, а R = = 7 – радиус.

Ответ: (3, -5) – центр окружности, R = 7.

8. Дана кривая 4x² – y² – 24x + 4y + 28 = 0.

8.1 Доказать, что эта кривая – гипербола.

8.2 Найти координаты ее центра симметрии.

8.3 Найти действительную и мнимую полуоси.

8.4 Записать уравнение фокальной оси.

8.5 Построить данную гиперболу.

Решение:

8.1 Каноническое уравнение гиперболы .

В уравнении кривой выделим полные квадраты, то есть 4(x² – 6x + 9) – (y² – 4y + 4) – 4 = 0,

4(х – 3)² – (y – 2)² = 4 или , следовательно, данное уравнение является уравнением гиперболы.

8.2 x₁ = x – 3, y₁ = y – 2, т.е. центр симметрии данной гиперболы находится в точке (3, 2).

8.3 Из уравнения гиперболы , мнимой полуосью является число b, а действительной – число a. То есть b = 2, a = 1.

так как фокусы расположены на прямой, параллельной оси OX, то уравнение фокальной оси y = 2.

8.5

9. Дана кривая y² + 6x + 6y + 15 = 0.

9.1 Докажите, что эта кривая – парабола.

9.2 Найдите координаты ее вершины.

9.3 Найдите значения ее параметра р.

9.4 Запишите уравнение ее оси симметрии.

9.5 Постройте данную параболу.

Решение:

9.1 Выделяя полный квадрат, получим (y² + 6y + 9) + 6x + 6 = 0, т.е. (y + 3)² + 6x + 6 = 0. Если положить y₁ = y + 3, x₁ = -6x – 6, то уравнение приводится к виду , следовательно, данное уравнение является уравнением параболы.

9.2 Тогда координаты вершины параболы будут y = -3, x = -1, т.е. (-1, -3).

9.3 Сравнивая последнее уравнение с каноническим уравнением параболы находим, что 2р = 1, р = .

9.4 Осью симметрии является прямая, проходящая через точку (-1, -3) и параллельная оси абсцисс, т.е. y = -3.

9.5

10. Дана кривая 5х² + 5y² + 6ху – 16х – 16у = 16.

10.1 Докажите, что эта кривая – эллипс.

10.2 Найдите координаты его центра симметрии.

10.3 Найдите его большую и меньшую полуоси.

10.4 Запишите уравнение фокальной оси.

10.5 Постройте данную кривую.

Решение:

10.1 Квадратичную форму В(х, у) = 5х² + 6ху + 5y² приводим к главным осям. Для этого запишем матрицу этой квадратичной формы В = и найдем ее собственные числа. Запишем и решим характеристическое уравнение матрицы В:

= λ² – 10λ + 16 = 0,

λ_1,2 = 5 ± = 5 ± 3, λ₁ = 8, λ₂ = 2.

Так как собственные числа λ₁, λ₂ > 0, то данное уравнение является уравнением эллипса.

10.2 Найдем собственные векторы чисел λ₁и λ₂:

Для числа λ₁ имеем В = = . Если положим то единичный вектор i₁ имеет координаты i₁ = .

Другой собственный вектор, отвечающий собственному числу λ₂, может быть задан в виде j₁ = . Базис (i₁, j₁) принят правым.

Запишем матрицу перехода от базиса (О, i, j) к (O₁, i₁, j₁):

Q = и обратную матрицу к ней Q^-1 = Q^T = .

Новые координаты (х₁, у₁) связаны со старыми (х, у) соотношением

В новой системе координат уравнение эллипса 5х² + 5y² + 6ху – 16х – 16у = 16 принимает вид: , . После выделения полных квадратов получаем .

В системе координат (O₁, i₁, j₁) находим

Тогда .

При х₂ = 0, у₂ = 0 найдем центр симметрии эллипса, координатами которого являются координаты точки О₁:

О₁(-1, -1).

10.3 Взяв уравнение , найдем большую полуось, равную а=4, и меньшую, равную b=2.

10.4 так как фокусы расположены на новой оси О₁Х₂, то уравнением фокальной оси будет –х + у = 0.

10.5

2 — 6x = 16

Шаги решения

Мы рассмотрим два метода решения x 2 — 6 x = 16. Первый использует факторинг, а второй — формулу корней квадратного уравнения.

Решение с использованием факторинга

При решении с использованием факторинга мы будем использовать следующие шаги:

1.) Получить все ненулевые члены с одной стороны уравнения и ноль — с другой.

2.) Разложите на множители ненулевую часть уравнения.

3.) Установите каждый коэффициент равным нулю и решите.

Первое, что мы хотим сделать, это получить все ненулевые члены на одной стороне уравнения. Для этого мы вычитаем 16 из обеих частей уравнения, как показано.

Следующий шаг — разложить на множители ненулевую часть уравнения, поэтому мы хотим разложить на множители x 2 — 6 x — 16. Когда коэффициент перед x 2 равен единице, как в нашем случае мы можем использовать процесс, показанный на изображении, для факторизации.

Как фактор

Мы хотим разложить на множители x 2-6 x -16, поэтому мы хотим заполнить пробелы ( x + _____) ( x + _____) двумя числами, которые при умножении равняется -16 и при добавлении равняется -6. Мы можем найти это, перечислив числа, которые умножаются до -16, а затем проверим каждое из них, чтобы увидеть, дают ли они в сумме -6.

Факторы 16	Сумма
1 и -16	1 + (-16) = -15
-1 и 16	-1 + 16 = 15
2 и -8	2 + (-8) = -6
-2 и 8	-2 + 8 = 6
4 и -4	4 + (-4) = 0

Единственная пара множителей 16, которая в сумме дает -6, — это 2 и -8, поэтому мы будем использовать эти числа для заполнения пробелов.То есть x 2-6 x -16 = ( x + 2) ( x -8).

Последний шаг — установить каждый из этих факторов равным нулю и решить, как показано.

Мы видим, что x = -2 или x = 8.

Решение с использованием квадратичной формулы

Другой способ решить эту проблему — использовать квадратичную формулу . Квадратичная формула дает решения уравнения вида a x 2 + b x + c = 0.

Квадратичная формула

Чтобы решить, используя квадратную формулу, мы используем следующие шаги:

1.) Поместите уравнение в форму a x 2 + b x + c = 0, получив все ненулевые члены с одной стороны и ноль с другой стороны.

2.) Определите значения a , b и c в уравнении из шага 1.2−6x − 16 = 0 Tiger Algebra Solver

Пошаговое решение:

Шаг 1:

Попытка разложить на множители путем разделения среднего члена

1.1 Факторинг x ² -6x-16

Первый член равен , X ² его коэффициент равен 1.
Средний член равен -6x, его коэффициент равен -6.
Последний член, «константа», равен -16

Шаг-1: Умножьте коэффициент первого члена на константу 1 • -16 = -16

Шаг-2: Найдите два множителя -16, сумма которых равен коэффициенту среднего члена, который равен -6.

	-16	+	1	=	-15
	-8	+	2	=	-6	Вот и все

Шаг 3: Перепишите полином, разделяющий средний член, используя два фактора, найденные на шаге 2 выше, -8 и 2
x ² — 8x + 2x — 16

Шаг 4: сложите первые 2 члена, извлекая одинаковые множители:
x • (x-8)
Сложите последние 2 члена, вычеркнув общие множители:
2 • (x-8)
Шаг 5: сложите четыре члена шага 4:
(x + 2) • (x-8)
Требуемая факторизация

Уравнение в конце шага 1:

 (x + 2) • (x - 8) = 0

Шаг 2:

Теория — Корни продукта:

2.1 Произведение нескольких членов равно нулю.

Если произведение двух или более членов равно нулю, то хотя бы одно из членов должно быть равно нулю.

Теперь мы решим каждый член = 0 отдельно

Другими словами, мы собираемся решить столько уравнений, сколько членов есть в продукте

Любое решение для члена = 0 также решает продукт = 0.

Решение уравнения с одной переменной:

2.2 Решите: x + 2 = 0

Вычтем 2 из обеих частей уравнения:
x = -2

Решение уравнения с одной переменной:

2.3 Решите: x-8 = 0

Добавьте 8 к обеим сторонам уравнения:
x = 8

Дополнение: Решение квадратного уравнения напрямую

 Решение x ² -6x-16 = 0 напрямую

Ранее мы факторизовал этот многочлен, разделив средний член. давайте теперь решим уравнение, заполнив квадрат и используя квадратичную формулу

Парабола, найдя вершину:

3.1 Найдите вершину y = x ² -6x-16

Параболы имеют наибольшее или наименьшее значение. точка называется Вершиной.Наша парабола открывается и, соответственно, имеет самую низкую точку (также известную как абсолютный минимум). Мы знаем это даже до того, как нанесли «y», потому что коэффициент первого члена, 1, положительный (больше нуля).

Каждая парабола имеет вертикальную линию симметрии, проходящую через ее вершину. Из-за этой симметрии линия симметрии, например, будет проходить через середину двух x-точек пересечения (корней или решений) параболы. То есть, если парабола действительно имеет два реальных решения.

Параболы могут моделировать множество реальных жизненных ситуаций, например высоту над землей объекта, брошенного вверх через некоторый промежуток времени. Вершина параболы может предоставить нам информацию, например, максимальную высоту, которую может достичь объект, брошенный вверх. По этой причине мы хотим иметь возможность найти координаты вершины.

Для любой параболы Ax ² + Bx + C координата x вершины задается как -B / (2A). В нашем случае координата x равна 3.0000

Подставляя в формулу параболы 3,0000 для x, мы можем вычислить координату y:
y = 1,0 * 3,00 * 3,00 — 6,0 * 3,00 — 16,0
или y = -25,000

Парабола, графическая вершина и пересечения по оси X:

Корневой график для: y = x ² -6x-16
Ось симметрии (пунктирная линия) {x} = {3.00}
Вершина в точке {x, y} = {3.00, -25.00}
x -Переходы ( Корни):
Корень 1 при {x, y} = {-2.00, 0.00}
Корень 2 при {x, y} = {8.00, 0.00}

Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат

3.2 Решение x ² -6x-16 = 0, завершив Квадрат.

Добавьте 16 к обеим сторонам уравнения:
x ² -6x = 16

Теперь умный бит: возьмите коэффициент при x, равный 6, разделите его на два, получив 3, и возведите его в квадрат, получив 9.

Добавьте 9 к обеим частям уравнения:
В правой части получим:
16 + 9 или, (16/1) + (9/1)
Общий знаменатель двух дробей равен 1 Сложение (16 / 1) + (9/1) дает 25/1
Таким образом, прибавляя к обеим сторонам, мы, наконец, получаем:
x ² -6x + 9 = 25

Добавление 9 завершило левую часть в виде идеального квадрата:
x ² -6x + 9 =
(x-3) • (x-3) =
(x-3) ²
Вещи, которые равны одному и тому же, также равны друг другу.Поскольку
x ² -6x + 9 = 25 и
x ² -6x + 9 = (x-3) ²
, то, согласно закону транзитивности,
(x-3) ² = 25

Мы будем называть это уравнение уравнением. # 3.2.1

Принцип квадратного корня гласит, что когда две вещи равны, их квадратные корни равны.

Обратите внимание, что квадратный корень из
(x-3) ² равен
(x-3) ^2/2 =
(x-3) ¹ =
x-3

Теперь, применяя Принцип квадратного корня для уравнения.# 3.2.1 получаем:
x-3 = √ 25

Добавьте 3 к обеим сторонам, чтобы получить:
x = 3 + √ 25

Так как квадратный корень имеет два значения, одно положительное, а другое отрицательное,
x ² — 6x — 16 = 0
имеет два решения:
x = 3 + √ 25
или
x = 3 — √ 25

Решите квадратное уравнение с помощью квадратичной формулы

3.3 Решение x ²-6x-16 = 0 по квадратичной формуле.

Согласно квадратичной формуле, x, решение для Ax ² + Bx + C = 0, где A, B и C — числа, часто называемые коэффициентами, определяется по формуле:

— B ± √ B ² -4AC
x = ————————
2A

В нашем случае A = 1
B = -6
C = -16

Соответственно B ² — 4AC =
36 — (-64) =
100

Применение квадратичной формулы:

6 ± √ 100
x = —————
2

Можно ли упростить √ 100?

Да! Разложение на простые множители 100 равно
2 • 2 • 5 • 5
Чтобы иметь возможность удалить что-либо из-под корня, должно быть 2 экземпляра этого (потому что мы берем квадрат i.е. второй корень).

√ 100 = √ 2 • 2 • 5 • 5 = 2 • 5 • √ 1 =
± 10 • √ 1 =
± 10

Итак, теперь мы смотрим на:
x = (6 ± 10) / 2

Два реальных решения:

x = (6 + √100) / 2 = 3 + 5 = 8.000

или:

x = (6-√100) / 2 = 3-5 = -2,000

Два были найдены решения:

x = 8
x = -2

квадратичная факторизация с использованием разбиения среднего члена

Covid-19 привел мир к феноменальному переходу.

За электронным обучением будущее уже сегодня.

Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться !!!

Квадратичная факторизация с использованием разбиения среднего члена: В этом методе разбиение среднего члена на два фактора.

В квадратичной факторизации с использованием разделения среднесрочного члена, который представляет собой x-член, представляет собой сумму двух факторов и произведение, равное последнему члену.

Чтобы разложить на множители форму: ax ² + bx + c	Фактор: 6x ² + 19x + 10
1) Найдите произведение первого и последнего члена (axc) .	6 x 10 = 60
2) Найдите множители 60 таким образом, чтобы сложение или вычитание этих множителей равнялось среднему члену (19x) (Разделение среднего члена)	15 x 4 = 60 и 15 + 4 = 19
3) Запишите центральный член, используя сумму двух новых множителей, включая соответствующие знаки.	6x ² + 15x + 4x + 10
4) Сгруппируйте термины для образования пар — первая два условия и два последних срока.Факторизуйте каждую пару, найдя общие факторы.	3x (2x + 5) + 2 (2x + 5)
5) Вынести за скобки общий (общий) биномиальные скобки.	(3x + 2) (2x + 5)

Квадратичная факторизация с использованием разделения среднесрочного периода

Пример: Найдите множители 6x ² — 13x + 6
6x ²-13 x + 6 ——> (1)
ac = произведение 6 и 6 = 36
Факторы 36 = 2,18
= 3,12
= 4,9 Только
множители 4 и 9 дают 13 -> (4 + 9)
Для -13 оба множителя имеют отрицательный знак.- 4 — 9 = — 13
Уравнение (1) ⇒ 6x ² — 4x — 9x + 6
⇒ 2x (3x — 2) — 3 (3x — 2)
⇒ (3x — 2) (2x — 3 ) являются факторами.

Корни уравнения равны
3x — 2 = 0 ⇒ 3x = 2, поэтому x = 2/3
2x — 3 = 0 ⇒ 2x = 3, поэтому x = 3/2
Корни равны {2/3, 3/2}

Примеры квадратичной факторизации с разделением среднесрочной перспективы

1) 12x ²-15 = 11x

Решение:
12x ²-15 = — 11x

12x ²-15 + 11x = 0 [добавить + 11x

12x ² + 11x -15 = 0

12x ² + 20x — 9x -15 = 0

4x (3x + 5) — 3 (3x + 5) = 0

(3x + 5) (4x — 3) = 0

3x + 5 = 0 или 4x — 3 = 0

3x = — 5 или 4x = 3

x = -5/3 или x = 3/4

Решение: (-5 / 3,3 / 4)

_________________________________________________________________
2) Найдите множители 3x ² — 2x — 1

Решение:
3x ² — 2x — 1 = 0

900 04 ⇒ 3x ² — 3x + x- 1 = 0

⇒ 3x (x — 1) + (x — 1) = 0

⇒ (x — 1) (3x + 1) = 0

⇒ x = 1 и x = -1/3

________________________________________________________________

3) Произведение двух последовательных положительных целых чисел равно 240.Найдите целые числа.

Решение:
Пусть x и x + 1 — последовательные положительные целые числа.

x (x + 1) = 240

x ² + x = 240

x ² + x — 240 = 0

x ² + 16x — 15x — 240 = 0

x ( x + 16) — 15 (x -16) = 0

(x + 16) (x -15) = 0

x = -16 и x = 15

Таким образом, положительные целые числа равны 15 и 16.

Введение в квадратные уравнения

• Квадратичная факторизация с использованием разделения среднесрочной оценки
• Завершение квадрата
• Факторизация с использованием квадратичной формулы
• Решенные задачи по квадратному уравнению

Домашняя страница

Covid-19 повлиял на физическое взаимодействие между людьми.

Не позволяйте этому влиять на ваше обучение.

Завершение площади

В этом разделе мы разработаем способ переписать любое квадратное уравнение вида

по форме

Этот процесс называется завершением квадрата Процесс переписывания квадратного уравнения в виде (x − p) 2 = q .. Как мы видели, квадратные уравнения в этой форме легко решаются путем извлечения корней.Начнем с изучения трехчлена полного квадрата:

Последний член, 9, является квадратом половины коэффициента x . В общем, это верно для любого полного квадратного трехчлена вида x2 + bx + c.

Другими словами, любой трехчлен вида x2 + bx + c будет трехчленом полного квадрата, если

Примечание

Важно отметить, что ведущий коэффициент должен быть равен 1, чтобы это было правдой.

Пример 1: Завершите квадрат: x2 + 8x +? = (х +?) 2.

Решение: В этом примере коэффициент среднего члена b = 8, поэтому найдите значение, завершающее квадрат, следующим образом:

Значение, завершающее квадрат, равно 16.

Ответ: x2 + 8x + 16 = (x + 4) 2

Пример 2: Завершите квадрат: x2 + 3x +? = (х +?) 2.

Решение: Здесь b = 3, поэтому найдите значение, которое завершит квадрат следующим образом:

Значение 9/4 завершает квадрат:

Ответ: x2 + 3x + 94 = (x + 32) 2

Мы можем использовать эту технику для решения квадратных уравнений. Идея состоит в том, чтобы взять любое квадратное уравнение в стандартной форме и заполнить квадрат так, чтобы мы могли решить его, извлекая корни.Ниже приведены общие шаги для решения квадратного уравнения со старшим коэффициентом 1 в стандартной форме путем заполнения квадрата.

Пример 3: Решите, завершив квадрат: x2 + 14x + 46 = 0.

Решение:

Шаг 1: Добавьте или вычтите постоянный член, чтобы получить уравнение в форме x2 + bx = c. В этом примере вычтите 46, чтобы переместить его в правую часть уравнения.

Шаг 2: Используйте (b2) 2, чтобы определить значение, завершающее квадрат. Здесь b = 14:

Шаг 3: Добавьте (b2) 2 к обеим частям уравнения и завершите квадрат.

Шаг 4: Решите, извлекая корни.

Ответ: Решение: −7−3 или −7 + 3. Проверка не обязательна.

Пример 4: Решите, завершив квадрат: x2−18x + 72 = 0.

Решение: Начните с вычитания 72 с обеих сторон.

Затем найдите значение, завершающее квадрат, используя b = −18.

Чтобы завершить квадрат, прибавьте 81 к обеим сторонам, завершите квадрат и затем решите, извлекая корни.

На этом этапе разделите «плюс или минус» на два уравнения и решите каждое.

Ответ: Решения 6 и 12.

Обратите внимание, что в предыдущем примере решения являются целыми числами. Если это так, то исходное уравнение будет учитываться.

Если это фактор, мы можем решить его с помощью факторинга. Однако не все квадратные уравнения учитываются.

Пример 5: Решите, завершив квадрат: x2 + 10x + 1 = 0.

Решение: Начните с вычитания 1 из обеих частей уравнения.

Здесь b = 10, и мы определяем значение, завершающее квадрат, следующим образом:

Чтобы получить квадрат, прибавьте 25 к обеим сторонам уравнения.

Разложите на множители, а затем решите, извлекая корни.

Ответ: Решения: −5−26 и −5 + 26.

Иногда квадратные уравнения не имеют реальных решений.

Пример 6: Решите, завершив квадрат: x2−2x + 3 = 0.

Решение: Начните с вычитания 3 из обеих частей уравнения.

Здесь b = −2, и мы имеем

Следовательно,

Здесь мы видим, что извлечение корня приводит к квадратному корню из отрицательного числа.

Ответ: Реального решения нет

Попробуй! Решите, завершив квадрат: x2−2x − 27 = 0.

Ответ: x = 1 ± 27

Коэффициент x не всегда делится на 2.

Пример 7: Решите, завершив квадрат: x2 + 3x − 2 = 0.

Решение: Начните с добавления 2 к обеим сторонам.

Используйте b = 3, чтобы найти значение, завершающее квадрат:

Чтобы получить квадрат, прибавьте 9/4 к обеим сторонам уравнения.

Решите, извлекая корни.

Ответ: Решения -3 ± 172.

До сих пор во всех примерах ведущий коэффициент был равен 1. Формула (b2) 2 определяет значение, завершающее квадрат, только если ведущий коэффициент равен 1. Если это не так, просто разделите обе стороны на ведущий коэффициент.

Пример 8: Решите, завершив квадрат: 2×2 + 5x − 1 = 0.

Решение: Обратите внимание, что старший коэффициент равен 2. Поэтому разделите обе стороны на 2, прежде чем начинать шаги, необходимые для решения путем завершения квадрата.

Начните с добавления 1/2 к обеим частям уравнения.

Здесь b = 5/2, и мы можем найти значение, завершающее квадрат, следующим образом:

Чтобы получить квадрат, прибавьте 25/16 к обеим сторонам уравнения.

Затем решите, извлекая корни.

Ответ: Решения -5 ± 334.

Попробуй! Решите: 2×2−2x − 3 = 0.

Ответ: x = 1 ± 72

Основные выводы

Решите любое квадратное уравнение, заполнив квадрат.
Вы можете применить свойство квадратного корня для решения уравнения, если вы можете сначала преобразовать уравнение в форму (x − p) 2 = q.
Чтобы завершить квадрат, сначала убедитесь, что уравнение имеет вид x2 + bx = c. Затем добавьте значение (b2) 2 к обеим сторонам и множителю.
Процесс заполнения квадрата всегда работает, но может привести к утомительным вычислениям с дробями. Это тот случай, когда средний член, b , не делится на 2.

Тематические упражнения

Часть A: Завершение квадрата

Завершите квадрат.

1. x2 + 6x +? = (х +?) 2

2. x2 + 8x +? = (х +?) 2

3. x2−2x +? = (x−?) 2

4. x2−4x +? = (х−?) 2

5. x2 + 7x +? = (х +?) 2

6. x2 + 3x +? = (х +?) 2

7. x2 + 23x +? = (х +?) 2

8. x2 + 45x +? = (х +?) 2

9. x2 + 34x +? = (х +?) 2

10.х2 + 53х +? = (х +?) 2

Решите, разложив на множители, а затем решив, заполнив квадрат. Проверить ответы.

11. x2 + 2x − 8 = 0

12. x2−8x + 15 = 0

13. y2 + 2y − 24 = 0

14. y2−12y + 11 = 0

15. t2 + 3t − 28 = 0

16. t2−7t + 10 = 0

17. 2×2 + 3x − 2 = 0

18. 3×2 − x − 2 = 0

19. 2y2 − y − 1 = 0

20.2у2 + 7у − 4 = 0

Решите, завершив квадрат.

21. x2 + 6x − 1 = 0

22. x2 + 8x + 10 = 0

23. x2−2x − 7 = 0

24. x2−6x − 3 = 0

25. x2−2x + 4 = 0

26. x2−4x + 9 = 0

27. t2 + 10t − 75 = 0

28. t2 + 12t − 108 = 0

29. x2−4x − 1 = 15

30. x2−12x + 8 = −10

31.y2−20y = −25

32. y2 + 18y = −53

33. x2−0,6x − 0,27 = 0

34. x2−1,6x − 0,8 = 0

35. x2−23x − 13 = 0

36. x2−45x − 15 = 0

37. х2 + х − 1 = 0

38. х2 + х − 3 = 0

39. y2 + 3y − 2 = 0

40. y2 + 5y − 3 = 0

41. х2 + 3х + 5 = 0

42. х2 + х + 1 = 0

43. x2−7x + 112 = 0

44.х2−9х + 32 = 0

45. t2−12t − 1 = 0

46. t2−13t − 2 = 0

47. x2−1,7x − 0,0875 = 0

48. x2 + 3,3x − 1,2775 = 0

49. 4×2−8x − 1 = 0

50. 2×2−4x − 3 = 0

51. 3×2 + 6x + 1 = 0

52. 5×2 + 10x + 2 = 0

53. 3×2 + 2x − 3 = 0

54. 5×2 + 2x − 5 = 0

55. 4×2−12x − 15 = 0

56.2×2 + 4x − 43 = 0

57. 2×2−4x + 10 = 0

58. 6×2−24x + 42 = 0

59. 2×2 − x − 2 = 0

60. 2×2 + 3x − 1 = 0

61. 3×2 + 2x − 2 = 0

62. 3×2 − x − 1 = 0

63. х (х + 1) -11 (х-2) = 0

64. (х + 1) (х + 7) −4 (3x + 2) = 0

65. y2 = (2y + 3) (y − 1) −2 (y − 1)

66. (2y + 5) (y − 5) −y (y − 8) = — 24

67. (т + 2) 2 = 3 (3т + 1)

68.(3t + 2) (t − 4) — (t − 8) = 1−10t

Решите, завершая квадрат и округляя решения до сотых.

69. (2x − 1) 2 = 2x

70. (3x − 2) 2 = 5−15x

71. (2x + 1) (3x + 1) = 9x + 4

72. (3x + 1) (4x − 1) = 17x − 4

73. 9x (x − 1) −2 (2x − 1) = — 4x

74. (6x + 1) 2−6 (6x + 1) = 0

Часть B: Обсуждение

75.Изучите и обсудите индуистский метод завершения квадрата.

76. Объясните, почему методика завершения квадрата, описанная в этом разделе, требует, чтобы старший коэффициент был равен 1.

ответы

1: x2 + 6x + 9 = (x + 3) 2

3: x2−2x + 1 = (x− 1) 2

5: x2 + 7x + 494 = (x + 72) 2

7: x2 + 23x + 19 = (x + 13) 2

9: x2 + 34x + 964 = (x + 38) 2

11: −4, 2

13: −6, 4

15: −7, 4

17: 1/2, −2

19: -1/2, 1

21: −3 ± 10

23: 1 ± 22

25: Реального решения нет

27: −15, 5

29: 2 ± 25

31: 10 ± 53

33: -0.3, 0,9

35: -1/3, 1

37: -1 ± 52

39: −3 ± 172

41: Реального решения нет

43: 7 ± 332

45: 1 ± 174

47: -0,05, 1,75

49: 2 ± 52

51: −3 ± 63

53: -1 ± 103

55: 3 ± 262

57: Реального решения нет

59: 1 ± 174

61: -1 ± 73

63: 5 ± 3

65: 1 ± 52

67: 5 ± 212

69: 0.2 + 12z} \\ & = \ frac {(z + 6) (z + 11)} {3 (z-11) (z + 11)} \ раз \ frac {24z (z-11)} {2z (z + 6)} \\ & = \ frac {1} {3} \ times \ frac {24} {2} \\ & = 4 \ end {align *}

\ (\ dfrac {3a + 9} {14} \ div \ dfrac {7a + 21} {a + 3} \)

\ begin {align *} \ frac {3a + 9} {14} \ div \ frac {7a + 21} {a + 3} & = \ frac {3 (a + 3)} {14} \ div \ frac {7 (a + 3) } {а + 3} \\ & = \ frac {3 (a + 3)} {14} \ div 7 \\ & = \ frac {3 (a + 3)} {14} \ times \ frac {1} {7} \\ & = \ frac {3 (a + 3)} {98} \ end {выровнять *}

\ (\ dfrac {a ^ {2} — 5a} {2a + 10} \ times \ dfrac {4a} {3a + 15} \)

\ begin {align *} \ frac {{a} ^ {2} — 5a} {2a + 10} \ times \ frac {4a} {3a + 15} & = \ frac {a (a — 5)} {2 (a + 5)} \ times \ frac {4a} {3 (a + 5)} \\ & = \ frac {[a (a — 5)] [4a]} {[2 (a + 5)] [3 (a + 5)]} \\ & = \ frac {4a ^ 2 (a — 5)} {6 (a + 5) ^ 2} \ end {выровнять *}

Обратите внимание на ограничение: \ (a \ ne -5 \).2} \ end {выровнять *}

Обратите внимание на ограничение: \ (p \ ne 0 \).

\ (\ dfrac {24a — 8} {12} \ div \ dfrac {9a — 3} {6} \)

\ begin {align *} \ frac {24a — 8} {12} \ div \ frac {9a — 3} {6} & = \ frac {8 (3a — 1)} {12} \ div \ frac {3 (a — 1)} { 6} \\ & = \ frac {2 (3a — 1)} {3} \ times \ frac {2} {a — 1} \\ & = \ frac {[2 (3x — 1)] [2]} {[3] [a — 1]} \\ & = \ frac {4 (3a — 1)} {3 (a — 1)} \ end {выровнять *}

Обратите внимание на ограничение: \ (a \ ne 1 \).{2} + 2a} {5} \ div \ frac {2a + 4} {20} & = \ frac {a (a + 2)} {5} \ div \ frac {2 (a + 2)} {20 } \\ & = \ frac {a (a + 2)} {5} \ times \ frac {10} {a + 2} \\ & = \ frac {[a (a + 2)] [10]} {[5] [a + 2]} \\ & = \ frac {10a} {5} \\ & = 2a \ end {выровнять *}

\ (\ dfrac {p ^ {2} + pq} {7p} \ times \ dfrac {21q} {8p + 8q} \)

\ begin {align *} \ frac {p ^ {2} + pq} {7p} \ times \ frac {21q} {8p + 8q} & = \ frac {p (p + q)} {7p} \ times \ frac {21q} {8 (p + q)} \\ & = \ frac {[p (p + q)] [21q]} {[7p] [8 (p + q)]} \\ & = \ frac {21pq} {56p} \\ & = \ frac {3q} {8} \ end {выровнять *}

\ (\ dfrac {5ab — 15b} {4a — 12} \ div \ dfrac {6b ^ {2}} {a + b} \)

\ begin {align *} \ frac {5ab — 15b} {4a — 12} \ div \ frac {6b ^ {2}} {a + b} & = \ frac {5b (a — 3)} {4 (a — 3)} \ div \ frac {6b ^ {2}} {a + b} \\ & = \ frac {5b} {4} \ times \ frac {a + b} {6b ^ {2}} \\ & = \ frac {[5b] [a + b]} {[4] [6b ^ {2}]} \\ & = \ frac {30b ^ {3}} {4 (a + b)} \ end {выровнять *}

Обратите внимание на ограничение: \ (a \ ne -b \). 2} \ end {выровнять *}

Обратите внимание на ограничение: \ (p \ ne 0 \).

, исключая наибольший общий фактор

, вынося наибольший общий фактор Вот шаги, необходимые для вычета наибольшего общего фактора:

Шаг 1 :

Определите наибольший общий коэффициент данных терминов. Наибольший общий фактор или GCF — это наибольший фактор, который есть у всех терминов. Не путайте GCF с наименьшим общим знаменателем (LCD), который является наименьшим выражением, в которое входят все термины, а не наибольшим числом общих терминов.

Шаг 2 :

Вынесите (или разделите) наибольший общий множитель из каждого члена. Вы можете проверить свой ответ на этом этапе, раздав GCF, чтобы увидеть, получите ли вы исходный вопрос. Выведение из расчета GCF — первый шаг во многих проблемах факторинга.

Пример 1 — Коэффициент: 16x ² — 12x

Шаг 1 : Определите наибольший общий множитель данных членов.Наибольший общий фактор или GCF — это наибольший фактор, который есть у всех терминов.
Шаг 2 : Выньте (или разделите) наибольший общий множитель из каждого члена.

Пример 2 — Коэффициент: 12x ⁵ — 18x ³ — 3x ²

Шаг 1 : Определите наибольший общий множитель данных членов.Наибольший общий фактор или GCF — это наибольший фактор, который есть у всех терминов.
Шаг 2 : Выньте (или разделите) наибольший общий множитель из каждого члена.

Щелкните здесь для практических задач

Пример 3 — Коэффициент: 15x ³ y ² + 10x ² y ⁴

Шаг 1 : Определите наибольший общий множитель данных членов.Наибольший общий фактор или GCF — это наибольший фактор, который есть у всех терминов.
Шаг 2 : Выньте (или разделите) наибольший общий множитель из каждого члена.

Щелкните здесь для практических задач

Пример 4 — Коэффициент: 22x ⁵ y ⁷ — 14x ³ y ⁸ + 18x ⁶ y ⁴

Шаг 1 : Определите наибольший общий множитель данных членов.Наибольший общий фактор или GCF — это наибольший фактор, который есть у всех терминов.
Шаг 2 : Выньте (или разделите) наибольший общий множитель из каждого члена.

Щелкните здесь для практических задач

Пример 5 — Коэффициент: x ⁵ + 7x ⁴ y ³ — 8xy ⁴ + 14xy

Шаг 1 : Определите наибольший общий множитель данных членов.Наибольший общий фактор или GCF — это наибольший фактор, который есть у всех терминов.
Шаг 2 : Выньте (или разделите) наибольший общий множитель из каждого члена.

Щелкните здесь для практических задач

Квадрат двучлена. Трехчлены полного квадрата

Трехчлены полного квадрата

Квадратные числа

Квадрат двучлена

Геометрическая алгебра

2-й уровень

( a + b ) ³

Квадрат трехчлена

Завершение квадрата

ДАВАЙТЕ НАЧНЕМ, изучая квадратные числа.Это числа

1 · 1 2 · 2 3 · 3

и так далее. Ниже приведены первые десять квадратных чисел и их корни.

Квадратные числа	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100
Квадратный корень	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

1 — квадрат 1.4 — это квадрат 2. 9 — это квадрат 3. И так далее.

Квадратный корень из 1 равен 1. Квадратный корень из 4 равен 2. Квадратный корень из 9 равен 3. И так далее.

В таблице умножения квадратные числа лежат по диагонали.

Квадрат двучлена

( а + б ) ²

Квадрат бинома встречается так часто, что ученик должен сразу же написать окончательный результат.Получится очень специфический трехчлен. Чтобы убедиться в этом, возведем в квадрат ( a + b ):

( a + b ) ² = ( a + b ) ( a + b ) = a ² + 2 ab + b ².

Для внешних и внутренних будет

ab + ba = 2 ab .

Порядок факторов не имеет значения.

Квадрат любого бинома дает следующий трехчлен:

1. Квадрат первого члена двучлена: a ²

2. Двойное произведение двух членов: 2 ab

3. Квадрат второго члена: b ²

Квадрат каждого бинома имеет такую форму: a ² + 2 ab + b ².

Признать это — значит знать существенное произведение в «таблице умножения» алгебры.

(См. Урок 8 по арифметике: как мысленно возвести в квадрат число, особенно квадрат 24, который является «биномом» 20 + 4)

Пример 1. Возвести двучлен в квадрат ( x + 6).

Решение . ( x + 6) ² = x ² + 12 x + 36

x ² — квадрат x .

12 x в два раза больше произведения x на 6. ( x · 6 = 6 x . В два раза больше, чем 12 x .)

36 — это квадрат 6.

x ² + 12 x + 36 называется трехчленом полного квадрата, который является квадратом бинома.

Пример 2. Возвести двучлен в квадрат (3 x -4).

Решение .(3 x — 4) ² = 9 x ² — 24 x + 16

9 x ² — квадрат 3 x .

−24 x в два раза больше произведения 3 х · −4. (3 x · −4 = −12 x . В два раза больше −24 x .)

16 — это квадрат −4.

Примечание: Если двучлен имеет знак минус, то знак минус появляется только в среднем члене трехчлена.Следовательно, используя двойной знак ± («плюс или минус»), мы можем сформулировать правило следующим образом:

( a ± b ) ² = a ² ± 2 ab + b ²

Это означает: если бином a + b , то средний член будет +2 ab ; но если двучлен a — b , то средний член будет −2 ab

Квадрат + b или — b , конечно, всегда положительный.Это всегда + b ².

Пример 3. (5 x ³ — 1) ² = 25 x ⁶ — 10 x ³ + 1

25 x ⁶ — квадрат 5 x ³. (Урок 13: Показатели.)

−10 x ³ — это удвоенное произведение 5 x ³ и −1. (5 x ³ раз -1 = −5 x ³.В два раза больше −10 x ³.)

1 — квадрат −1.

Учащийся должен четко понимать, что ( a + b ) ² равно , а не a ² + b ², не более ( a + b ) ³ равно a ³ + b ³.

Показатель не может быть «распределен» по сумме.

(См. Тему 25 книги Precalculus: The binomial теорема.)

Пример 4. Является ли это трехчленом полного квадрата: x ² + 14 x + 49?

Ответ . да. Это квадрат ( x + 7).

x ² — квадрат x . 49 — это квадрат 7. И 14 x в два раза больше произведения x · 7.

Другими словами, x ² + 14 x + 49 может быть разложено на как

x ² + 14 x + 49 = ( x + 7) ²

Примечание: Если бы коэффициент x был любым числом, кроме 14, это не было бы трехчленом в виде полного квадрата.

Пример 5 Является ли это трехчленом полного квадрата: x ² + 50 x + 100?

Ответ .Нет это не так. Хотя x ² — это квадрат x , а 100 — квадрат 10, 50 x не является удвоенным произведением x · ; 10. (Их произведение дважды равно 20 x .)

Пример 6 Является ли это трехчленом полного квадрата: x ⁸ — 16 x ⁴ + 64?

Ответ . да. Это идеальный квадрат x ⁴ — 8.

Задача 1. Какие числа являются квадратными числами?

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 и т. Д.

Это числа 1 ², 2 ², 3 ² и так далее.

Проблема 2.

а) Сформулируйте на словах правило возведения бинома в квадрат.

Квадрат первого члена.
Двойное произведение двух членов.
Квадрат второго члена.

б) Запишите только трехчленное произведение: ( x + 8) ² = х ² + 16 х + 64

c) Запишите только трехчленное произведение: ( r + s ) ² = r ² + 2 rs + s ²

Проблема 3.Напишите только трехчленное произведение.

а)	( x + 1) ² = x ² + 2 x + 1	б) ( x — 1) ² =	x ²-2 x + 1

в)	( x + 2) ² = x ² + 4 x + 4	г) ( x — 3) ² =	x ² — 6 x + 9

e)	( x + 4) ² = x ² + 8 x + 16	f) ( x — 5) ² =	x ² — 10 x + 25

г)	( x + 6) ² = x ² + 12 x + 36	ч) ( x — y ) ² =	x ²-2 xy + y ²

Проблема 4.Напишите только трехчленное произведение.

а)	(2 x + 1) ² = 4 x ² + 4 x + 1	б) (3 x — 2) ² =	9 x ² — 12 x + 4

в)	(4 x + 3) ² = 16 x ² + 24 x + 9	г) (5 x — 2) ² =	25 x ²-20 x + 4

e)	( x ³ + 1) ² = x ⁶ + 2 x ³ + 1	f) ( x ⁴ — 3) ² =	x ⁸ — 6 x ⁴ + 9

г)	( x ⁿ + 1) ² = x ^{2 n} + 2 x ⁿ + 1	ч) ( x ⁿ-4) ² =	x ^{2 n} — 8 x ⁿ + 16

Проблема 5.Фактор: p ² + 2 pq + q ².

p ² + 2 pq + q ² = ( p + q ) ²
Левая часть представляет собой трехчлен полного квадрата.

Задача 6. Если возможно, разложите на множители полный квадрат трехчлена.

а)	x ²-4 x + 4 = ( x -2) ²	б)	x ² + 6 x + 9 = ( x + 3) ²

в)	x ² — 18 x + 36 Невозможно.	г)	x ² — 12 x + 36 = ( x — 6) ²

e)	x ² — 3 x + 9 Невозможно.	е)	x ² + 10 x + 25 = ( x + 5) ²

Проблема 7.Если возможно, множите на множители полный квадрат трехчлена.

а) 25 x ² + 30 x + 9 = (5 x + 3) ²

b) 4 x ² — 28 x + 49 = (2 x -7) ²

c) 25 x ² — 10 x + 4 Невозможно.

г) 25 x ² — 20 x + 4 = (5 x -2) ²

e) 1 — 16 лет + 64 года ² = (1 — 8 y ) ²

f) 16 m ²-40 mn + 25 n ² = (4 m -5 n ) ²

г) x ⁴ + 2 x ² y ² + y ⁴ = ( x ² + л ²) ²

h) 4 x ⁶-10 x ³ y ⁴ + 25 y ⁸ Невозможно.

i) x ¹² + 8 x ⁶ + 16 = ( x ⁶ + 4) ²

j) x ^{2 n} + 8 x ⁿ + 16 = ( x ⁿ + 4) ²

Геометрическая алгебра

Вот квадрат со стороной a + b .

Состоит из

квадрат со стороной а ,

квадрат со стороной b ,

и два прямоугольника ab .

То есть

( a + b ) ² = a ² + 2 ab + b ².

2-й уровень

Следующий урок: Разница двух квадратов

Содержание | Дом

Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
Даже 1 доллар поможет.

Вопросы или комментарии?

Эл.

Квадратные уравнения.Способы их решения.

Тема: Квадратные уравнения. Способы их решения.

Решение полных и неполных квадратных уравнений

Зачет по теме «Целые уравнения»

Квадратные уравнения 8 класс | Образовательный портал EduContest.Net — библиотека учебно-методических материалов

[PDF] Решение квадратных уравнений по формуле.» Цель урока

Тест по теме «Квадратные уравнения» | Тест по алгебре (8 класс) на тему:

2- 5_Высшая математика_7

Шаги решения

Решение с использованием факторинга

Решение с использованием квадратичной формулы

Пошаговое решение:

Шаг 1:

Попытка разложить на множители путем разделения среднего члена

Уравнение в конце шага 1:

Шаг 2:

Теория — Корни продукта:

Решение уравнения с одной переменной:

Решение уравнения с одной переменной:

Дополнение: Решение квадратного уравнения напрямую

Парабола, найдя вершину:

Парабола, графическая вершина и пересечения по оси X:

Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат

Решите квадратное уравнение с помощью квадратичной формулы

Два были найдены решения:

квадратичная факторизация с использованием разбиения среднего члена

Завершение площади

Завершение площади

Примечание

Основные выводы

Тематические упражнения

ответы

, исключая наибольший общий фактор

Квадрат двучлена. Трехчлены полного квадрата

Добавить комментарий Отменить ответ