На зарядку становись! — Nota Bene — ЖЖ
Всем привет!
Как бывшему математику (а «бывших» не бывает), мне очень приятно не только самому периодически разминать мозги при помощи царицы наук, но и наблюдать за этим процессом в исполнении читателей 🙂 Особенно когда у них получается, и им тоже приятно 🙂 На позапрошлой неделе прекрасно зашли две логические задачки (правильные ответы и список победителей ниже), посему в сегодняшнем меню ещё одна. Встретимся в комментариях!
У блогера есть восемь монет: семь настоящих и одна фальшивая, которая отличается по весу. Тяжелее или легче — неизвестно. У ЖЖ-админа есть чашечные весы, которыми можно взвешивать монеты. За каждое взвешивание админ берёт одну монету. Если монета оказалась настоящей (админ умеет это определять), то он сообщает настоящий результат взвешивания. Если фальшивой — то случайный. Может ли блогер определить пять настоящих монет и сохранить их?
А теперь самое время раскрыть секреты задачек, озвученных на прошлой неделе.
Все выигрышные комбинации такие:
15 =
1 + 5 + 9 = 1 + 6 + 8.
2 + 4 + 9 = 2 + 5 + 8 = 2 + 6 + 7.
3 + 4 + 8 = 3 + 5 + 7.
4 + 5 + 6.
Всего восемь решений. Теперь подсчитаем цифры ->
1, 3, 7, 9 = в этих равенствах встречаются по 2 раза.
2, 4, 6, 8 = по 3 раза.
5 = 4 раза.
Далее просто комплектуем этими цифрами поле 3×3. Самая частая цифра ‘5’ идёт в центр, которые по 3 — в углы, а где 2 — в середины краёв. Например, вот так:
4 9 2
3 5 7
8 1 6
Суммы цифр по 3 горизонталям, 3 вертикалям и 2 диагоналям (всего те же самые 8 решений) равны 15. То есть данный квадрат 3×3 полностью покрывает все варианты цифр, суммы которых дают 15. Но это же эквивалентно игре в крестики-нолики! Которые всегда при правильной игре приводят к ничьей.
// Ничью в крестиках-ноликах предлагаю доказать самостоятельно. Например, перебором 🙂
Вторая задачка про непрозрачных блогеров, которых расставили на вершинах квадратной решётки, а пяти самым топ-блогерам дали задачу расставиться так, чтобы все пятеро видели всех остальных топов.
Так вот что. Два блогера видят друг друга, только если прямая, их соединяющая, не проходит ни через одну вершину решётки. То есть расстояние между ними по осям {x,y} = два взаимно простых числа. Если наибольший общий делитель (НОД) этих чисел не равен единице, то есть общий делитель — и где-то там по горизонтали или вертикали на расстоянии этого делителя стоит блогер, который непрозрачен. Там и происходит визуальное пересечение с непрозрачным препятствием.
Подобрать пять пар точек так, чтобы все расстояния между ними по осям {x,y} были взаимно простыми невозможно, поскольку в пяти парах хоть в одном случае разность координат даёт два чётных числа:
(чёт,чёт), (чёт,нечёт), (нечёт,чёт), (нечёт,нечёт)
— четыре пары точек с взаимно простыми расстояниями ещё можно соорудить.
Но прилепить к ним пятую не получится: если координаты пятого админа (чёт,чёт) — конфликт с первой парой; (чёт,нечёт) — со второй; и так далее. А других вариантов комбинаций чёт-нечёт больше нет… И всё на этом.
А кто самый молодец в разгадке этих задачек: а вот они!
deep_econom (расколол с первого раза)
mednik58 (элегантно, оригинально!)
Поздравляю и до новых встреч в комментариях 🙂 С вами свяжутся для вручения ценных призов.
Метки: chtogdekogda, math
3-8