Теория крамера: Теорема Крамера

11. Правило Крамера

Рассмотрим систему N Линейных уравнений с N неизвестными:

(20)

У которой определитель матрицы системы (Определитель системы) не равен нулю, т. е.

Такую систему называем системой линейных уравнений крамеровсого типа. Далее через , будем обозначать определитель, полученный из D заменой I-го столбца столбцом свободных членов:

Разлагая определитель , по элементам I-го столбца, представим его в виде:

(21)

Где , алгебраические дополнения элементов определителя D.

Теорема 10 (Теорема Крамера). Система линейных уравнений крамеровского типа имеет единственное решение, которое находится по формулам:

. (22)

Способ нахождения решений системы N линейных уравнений с N неизвестными и ненулевым определителем называется Правилом Крамера, а формулы называются Формулами Крамера.

Доказательство. Сначала допустим, что решение системы (20), и покажем, что оно находится по формулам (22).

В силу определения системы справедливы верные числовые равенства:

Умножив первое из этих равенств на ,второе на , и т. д. N-е на

И сложив почленно получим равенство:

.

По теореме 6 коэффициент равен D , по следствию теоремы 6 все коэффициенты у ,…, равны нулю, правая часть равенства по формуле (21) равна и равенство принимает вид:

.

Аналогично получаем равенства:

Так как , то отсюда находим, что

,

Т. е. решения находятся по формулам (22).

Покажем, что числа, найденные по формулам (22), удовлетворяют уравнениям системы (20). Имеем

.

Эта сумма равна , так как по теореме 6 коэффициент у Равен d, по следствию теоремы 6 коэффициенты у ,…, равны нулю и числа (22) удовлетворяют уравнениям (22). Аналогично устанавливается, что числа (22) удовлетворяют остальным уравнениям системы (20).

Теорема доказана.

Следствие 1. Если система систему n линейных уравнений с n неизвестными не имеет решений или имеет бесконечно много решений, то ее определитель равен нулю.

Действительно, если бы ее определитель был отличен от нуля, то по теореме 9 она бы имела бы единственное решение. Получили противоречие.

Следствие 2. Если система систему n линейных однородных уравнений n неизвестными имеет ненулевое решение, то ее определитель равен нулю.

Действительно, если бы ее определитель был не равен нулю, то по теореме 9 она имела бы единственной нулевое решение. Получили противоречие.

Пример 9. Решить систему

Составим и вычислим определитель системы:

Так как он не равен, то вычислим определители :

.

Отсюда по формулам Крамера находим:

.

Решение системы (2,-1,-1).

< Предыдущая		Следующая >

Курс высшей математике, Т.

3. Ч.1 Курс высшей математике, Т.3. Ч.1

В.И.Смирнов Курс высшей математики, Т.3. Ч.1: Изд-во «Наука». 1974. Фундаментальный учебник по высшей математике, выдержавший более двадцати изданий, переведенный на множество языков мира, отличается, с одной стороны, систематичностью и строгостью изложения, а с другой – простым языком, подробными пояснениями и многочисленными примерами. Книга состоит из пяти томов. Тома третий и четвертый – каждый из двух частей. Для студентов университетов и технических вузов. Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ ГЛАВА I. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ 1. Понятие об определителе. 2. Перестановки. 3. Основные свойства определителя. 4. Вычисление определителя. 5. Примеры. 6. Теорема об умножении определителей. 7. Прямоугольные таблицы. § 2 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ 8. Теорема Крамера. 9. Общий случай систем уравнений. 10. Однородные системы. 11. Линейные формы. 12. n-мерное векторное пространство. 13. Скалярное произведение. 14. Геометрическая интерпретация однородных систем. 15. Случай неоднородной системы. 16. Определитель Грамма. Неравенство Адамара. 17. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. 18. Функциональные определители. 19. Неявные функции. ГЛАВА II. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 20. Преобразование координат в трехмерном пространстве. 21. Общие линейные преобразования вещественного трехмерного пространства. 22. Ковариантные и контравариантные афинные векторы. 23. Понятие тензора. 24. Примеры афинных ортогональных тензоров. 25. Случай n-мерного комплексного пространства. 26. Основы матричного исчисления. 27. Характеристические числа матриц и приведение матриц к каноническому виду. 28. Унитарные и ортогональные преобразования. 29. Неравенство Коши — Буняковского. 30. Свойства скалярного произведения и нормы. 31. Процесс ортогонализации векторов. § 4. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 32. Преобразование квадратичной формы к сумме квадратов. 33. Случай кратных корней характеристического уравнения. 35. Классификация квадратичных форм. 36. Формула Якоби. 37. Одновременное приведение двух квадратичных форм к сумме квадратов. 38. Малые колебания. 39. Экстремальные свойства собственных значений квадратичной формы. 40. Эрмитовские матрицы и формы Эрмита. 41. Коммутирующие эрмитовские матрицы. 42. Приведение унитарных матриц к диагональной форме. 43. Матрицы проектирования. 44. Функции от матриц. 45. Пространство с бесчисленным множеством измерений. 46. Сходимость векторов. 47. Ортонормированные системы. 48. Линейные преобразования с бесчисленным множеством переменных. 49. Функциональное пространство L2. 50. Связь между пространствами l2 и L2. 51. Линейные операторы в L2. ГЛАВА III. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП 52. Группы линейных преобразований. 53. Группы правильных многогранников. 54. Преобразования Лоренца. 55. Перестановки. 56. Абстрактные группы. 57. Подгруппа. 58. Классы и нормальный делитель. 59. Примеры. 60. Изоморфные и гомоморфные группы. 61. Примеры. 62. Стереографическая проекция. 63. Унитарная группа и группа движения. 64. Общая линейная группа и группа Лоренца. § 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП 65. Представление группы линейными преобразованиями. 66. Основные теоремы. 67. Абелевы группы и представления первого порядка. 68. Линейные представления унитарной группы с двумя переменными. 69. Линейные представления группы вращения. 70. Теорема о простоте группы вращения. 71. Уравнение Лапласа и линейные представления группы вращения. 72. Прямое произведение матриц. 73. Композиция двух линейных представлений группы. 74. Прямое произведение групп и его линейные представления. 75. Разбиение композиции линейных представлений группы вращения. 76. Свойство ортогональности. 77. Характеры. 78. Регулярное представление группы. 79. Примеры представления конечных групп. 80. Представления линейной группы с двумя переменными. 81. Теорема о простоте группы Лоренца. § 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ ГРУППЫ 82. Непрерывные группы. Структурные постоянные. 83. Бесконечно малые преобразования. 84. Группа вращения. 85. Бесконечно малые преобразования и представления группы вращения. 86. Представления группы Лоренца. 87. Вспомогательные формулы. 88. Построение группы по структурным постоянным. 89. Интегрирование на группе. 90. Свойство ортогональности. Примеры.

Правило Крамера — Консультант HKT

В линейной алгебре правило Крамера — это явная формула для решения системы линейных уравнений с таким количеством уравнений, как и неизвестных, действительная, если система имеет единственное решение.

Он выражает решение через определители (квадратной) матрицы коэффициентов и матриц, полученных из нее путем замены одного столбца вектором-столбцом правых частей уравнений. Он назван в честь Габриэля Крамера (1704–1752), опубликовавшего правило для произвольного числа неизвестных в 1750 г., хотя Колин Маклорен также опубликовал частные случаи этого правила в 1748 г. (и, возможно, знал о нем еще в 1729 г.).).

Правило Крамера, реализованное наивным способом, неэффективно с точки зрения вычислений для систем, состоящих более чем из двух или трех уравнений. В случае n уравнений с n неизвестными требуется вычисление n + 1 определителей, в то время как метод исключения Гаусса дает результат с той же вычислительной сложностью, что и вычисление одного определителя. Правило Крамера также может быть численно нестабильным даже для 2 × 2 системы. Однако недавно было показано, что правило Крамера может быть реализовано за время O(n3), что сравнимо с более распространенными методами решения систем линейных уравнений, такими как исключение Гаусса (последовательно требующее в 2,5 раза больше арифметических операций для всех матричных размеров), при этом демонстрируя сопоставимую численную стабильность в большинстве случаев.

9{\mathrm {T}}} – вектор-столбец переменных. Тогда теорема утверждает, что в этом случае система имеет единственное решение, индивидуальные значения неизвестных которого определяются как:

где – матрица, образованная заменой i-го столбца матрицы A вектором-столбцом b.

Более общая версия правила Крамера ^{рассматривает матричное уравнение}

, где n × n матрица A имеет ненулевой определитель, а X, B равны n

 ×  m матрицы. Даны последовательности и пусть будет k × k подматрица X со строками и столбцами внутри. Пусть будет матрица n × n , образованная заменой столбца A столбцом B, для всех . Затем

В случае это сводится к обычному правилу Крамера.

Правило справедливо для систем уравнений с коэффициентами и неизвестными в любой области, а не только в действительных числах.

Правило Крамера — это метод решения многомерных одновременных линейных уравнений.

a ₁₁  x ₁  + a ₁₂ x ₂  + … a _1n  x _n  = b ₁
a _n1  x ₁  + a _n2  x ₂  + … a _nn x _n  = b _n

где x _i  – i-я переменная, a _ij  – постоянный коэффициент при *y в b r-м уравнении, а0062 i  – константа в правой части r-го уравнения.

Это может быть записано в матричных обозначениях как:

AX = b,

, где A — матрица, содержащая элементы a _ij  b — вектор, содержащий элементы b _i  ; X — это вектор значений переменных x _i  Значение x _k  , которое удовлетворяет условию. система уравнений находится по правилу Крамера заменой k-го столбца матрицы A на вектор b, образуя новую матрицу A _к .

Значение X _k  является тогда определителем Ak, деленным на определитель A, то есть

X _k  = |A _k | / |А|; k=1,…,n

Геометрическая интерпретация

Геометрическая интерпретация правила Крамера. Площади второго и третьего заштрихованных параллелограммов одинаковы, а второй больше первого. Из этого равенства следует правило Крамера.

Правило Крамера имеет геометрическую интерпретацию, которую можно считать также доказательством или просто дающим представление о его геометрической природе. Эти геометрические аргументы работают вообще, а не только в случае двух представленных здесь уравнений с двумя неизвестными.

Учитывая систему уравнений

можно рассматривать как уравнение между векторами

Площадь параллелограмма определяется и определяется определителем системы уравнений:

В общем, когда имеется больше переменных и уравнений, определитель n векторов длины n даст объем параллелепипеда , определяемый этими векторами в n-м евклидовом пространстве.

Следовательно, площадь параллелограмма, определяемая с помощью и, должна быть умножена на площадь первого параллелограмма, поскольку одна из сторон умножается на этот коэффициент. Теперь этот последний параллелограмм, согласно принципу Кавальери, имеет ту же площадь, что и параллелограмм, определяемый и 

. Приравнивание площадей этого последнего и второго параллелограмма дает уравнение

, из которых следует правило Крамера.

Другие доказательства

Доказательство с помощью абстрактной линейной алгебры

Это переформулировка приведенного выше доказательства на абстрактном языке.

Рассмотрим карту, где матрица с подстановкой в ​​столбце th, как в правиле Крамера. Из-за линейности определителя в каждом столбце эта карта является линейной. Обратите внимание, что он отправляет th-й столбец в th-й базисный вектор (с 1 на th-м месте), потому что определитель матрицы с повторяющимся столбцом равен 0. Таким образом, у нас есть линейная карта, которая согласуется с инверсией в пространстве столбца; следовательно, он согласуется с диапазоном пространства столбца. Поскольку   обратимо, векторы-столбцы охватывают все , поэтому наша карта действительно является обратной . Далее следует правило Крамера.

Краткое доказательство

Краткое доказательство правила Крамера ^{можно получить, заметив, что это определитель матрицы}

С другой стороны, предполагая, что наша исходная матрица A обратима, эта матрица имеет столбцы, где  – n -й столбец матрицы A. Напомним, что матрица имеет столбцы, и, следовательно. Следовательно, используя то, что определитель произведения двух матриц является произведением определителей, мы имеем

Доказательство для других аналогично.

Доказательство с использованием алгебры Клиффорда

Рассмотрим систему трех скалярных уравнений с тремя неизвестными скалярами

и назначьте ортонормированную векторную основу как

Пусть векторы

Складывая систему уравнений, видно, что

С помощью внешнего произведения каждый неизвестный скаляр можно решить как

\mathbf {a} _ {2}\wedge \mathbf {a} _ {3}}}\end{выровнено}}}

Для n уравнений с n неизвестными решение для k-го неизвестного {\displaystyle x_{k}} обобщается до

Если a _k линейно независимы, то можно выразить в детерминантной форме, идентичной правилу Крамера, как

, где ( c ) _k обозначает замену вектора a _k с вектором c в k-й позиции числителя.

Несовместимые и неопределенные случаи

Система уравнений называется несовместимой или несовместимой, если нет решений, и неопределенной, если существует более одного решения. Для линейных уравнений неопределенная система будет иметь бесконечно много решений (если она находится над бесконечным полем), поскольку решения могут быть выражены через один или несколько параметров, которые могут принимать произвольные значения.

Правило Крамера применяется к случаю, когда определитель коэффициента отличен от нуля. В случае 2 × 2, если определитель коэффициента равен нулю, то система несовместима, если определители числителя отличны от нуля, или неопределенна, если определители числителя равны нулю.

Для систем 3×3 и выше единственное, что можно сказать, когда определитель коэффициента равен нулю, это то, что если какой-либо из определителей числителя отличен от нуля, то система несовместима. Однако наличие нуля у всех определителей не означает, что система неопределима. Простой пример, когда все детерминанты равны нулю (равны нулю), но система по-прежнему несовместима, — это система 3 × 3 x + y + z = 1, x + y + z = 2, x + y + z = 3.

ИСТОЧНИК:
К. А. ФОКС И Т. К. КАУЛ, ПРОМЕЖУТОЧНАЯ ЭКОНОМИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА (МЕЛЬБУРН, Флорида, 1980 г.)

Крамер говорит, что спекуляции на криптографии — это нормально, пока инвесторы знают обо всех рисках

Понедельник — пятница, 6:00 — 7 :00 PM ET

• Джим Крамер из CNBC сказал в четверг, что он согласен с инвесторами, покупающими криптовалюты, если они понимают все риски, связанные с зарождающимся классом цифровых активов.
• «До тех пор, пока вы признаете вполне реальную возможность того, что все инвестиции в криптографию основаны на теории большего дурака, у вас есть мое благословение, чтобы спекулировать на ней», — сказал ведущий «Безумных денег».

смотреть сейчас

Джим Крамер из CNBC сказал в четверг, что он согласен с инвесторами, покупающими криптовалюты, если они понимают все риски, связанные с зарождающимся классом цифровых активов.

«До тех пор, пока вы признаете вполне реальную возможность того, что все инвестиции в криптовалюту основаны на теории большего дурака, у вас есть мое благословение, чтобы спекулировать на ней», — сказал ведущий «Безумных денег».

Теория большего дурака относится к идее, что вы можете заработать деньги, покупая актив, потому что есть кто-то, кто в конечном итоге готов купить его у вас по более высокой цене. Эта стратегия терпит крах, когда не остается «больших дураков», готовых купить этот актив, что приводит к резкому падению его стоимости.

Крамер — не первый человек, который связывает теорию большого дурака с крипторынками, но его комментарии в четверг заслуживают внимания, учитывая, что бывший управляющий хедж-фонда владел биткойнами, а в настоящее время владеет эфиром, который работает на блокчейне Ethereum.

«Я знаю, что многие люди говорят нелепые вещи о криптографии — и я получил много критики за признание этого — но, в конце концов, я неоднократно говорил, что вы можете использовать биткойн или Ethereum в качестве хеджирования. против инфляции. До 5% ваших сбережений в качестве замены золота», — сказал Крамер, который также советует вкладывать 5% в золото.

Крамер впервые купил эфир в марте, чтобы сделать ставку на невзаимозаменяемые токены или NFT, выставленные на аукцион в марте журналом Time. Он несколько раз сокращал свою позицию, в том числе совсем недавно в сделках, связанных с запуском первого фьючерсного ETF на биткойн в США

«Я не покупал биткойн или Ethereum в качестве страховки от инфляции. Честно говоря, я играл в азартные игры. Я просто делал ставку на психологию толпы, и я понятия не имею, почему эти вещи пошли вверх, за исключением того, что есть много людей с чрезмерным энтузиазмом, которые хотят покупать дорого и продавать еще дороже», — сказал Крамер.

Крамер подчеркнул зрителям, что, по его мнению, владение криптовалютами совершенно нормально, если люди смотрят на них через инвестиционную призму, а не через призму фэндома. По его словам, последнее может поставить под угрозу суждение.