Определение разумных областей и диапазонов (вербально/графически)
Давайте начнемОпределение домена и диапазона функцииСопоставление графов с доменамиДомен и диапазон по вербальным отношениямДействие — домен и диапазон по вербальным отношениямСловарный запас ДеятельностьЖурнал
Мы собираемся научиться находить домен и диапазон графа или словесного описания ситуация.
Стандарты TEKS и ожидания учащихся
A(2) Линейные функции, уравнения и неравенства. Учащийся применяет стандарты математического процесса при использовании свойств линейных функций для написания и представления различными способами, с технологией и без нее, линейными уравнениями, неравенствами и системами уравнений. Ожидается, что учащийся:
A(2)(A) определит область определения и область значений линейной функции в математических задачах; определить разумные значения домена и диапазона для реальных ситуаций, как непрерывных, так и дискретных; и представить домен и диапазон с помощью неравенств
A(6) Квадратичные функции и уравнения.
Учащийся применяет стандарты математического процесса при использовании свойств квадратичных функций для написания и представления квадратными уравнениями различными способами, с технологией и без нее. Ожидается, что учащийся:
A(6)(A) определит область определения и диапазон квадратичных функций и представит область определения и диапазон с помощью неравенств функции.
Определите разумные значения домена и диапазона для непрерывных и дискретных вербальных ситуаций.
Основные вопросы
Что такое область определения функции и как ее определить?
Каков диапазон функции и как его определить?
Чем непрерывные функции отличаются от дискретных?
Словарь
- Функция
- Координаты
- График
- Полигон
- Периметр
Домен
Чтобы определить домен функции по графику, нам нужно идентифицировать набор всех x -координат.
Координаты x на графике функции говорят нам о входных значениях функции.
Давайте посмотрим на x -значения для графика сегмента линии.
Обратите внимание, что точки на обоих концах сегмента линии представляют собой замкнутые круги. Это указывает на то, что эти две точки включены в решение.
Также обратите внимание, что включены все точки действительных чисел между закрытыми кружками, как показано сегментом сплошной линии. Это показывает непрерывные данные — данные, в которых числа между любыми двумя значениями данных включены в решение.
В этом примере домен равен 1≤ x ≤ 5, поскольку 1 — наименьшее значение x , а 5 — наибольшее значение
Если данные не являются непрерывными, они называются дискретными . Пример дискретных данных приведен далее в ресурсе.
Диапазон
Чтобы определить диапазон функции по графику, определите набор всех y -координат на графике функции.
Координаты y говорят нам о выходных значениях функции.
Давайте посмотрим на значения и для того же отрезка.
В этом примере диапазон составляет 1≤ y ≤ 3, поскольку 1 — наименьшее значение y , а 3 — наибольшее значение y .
Как и в примере с доменом, точки на обоих концах отрезка представляют собой замкнутые круги. Это указывает на то, что эти две точки включены в решение.
Вы также можете изучить вербальные отношения и научиться определять домен и/или диапазон в конкретной ситуации.
Пример 1
Периметр правильного пятиугольника не превышает 30 сантиметров. Определите набор для описания ℓ, длины каждой стороны пятиугольника.
Поскольку у пятиугольника пять сторон, мы знаем, что периметр будет в 5 раз больше ℓ или P = 5 ℓ.
Ранее в этом ресурсе мы узнали, что домен связан с вводом , а диапазон связан с выходом .
В этом примере вводом является длина, а выводом — периметр.
Чтобы найти домен, нам нужно знать все возможные значения ℓ, которые дадут нам периметр меньше или равный 30 сантиметрам.
Мы уже знаем, что расстояние всегда больше 0. Значит, ℓ > 0. Мы также знаем, что периметр равен 30 сантиметрам или меньше. Таким образом, 5 л ≤ 30,
Решая неравенство 5ℓ ≤ 30, мы находим, что максимально возможная длина равна 6, потому что 5 умножить на 6 равно 30. Таким образом, ℓ ≤ 6.
Наш окончательный ответ нужно записать в системе обозначений, потому что нас попросили идентифицировать множество описать ℓ. Таким образом, наш ответ будет {0
Пример 2
Количество теннисных мячей в n банках можно выразить функцией s = 3 n . Каковы область и диапазон этой функции?
Согласно функции, количество банок, которые у нас есть, будет определять количество теннисных мячей. Таким образом, входная/независимая переменная равна 9.
0065 n , а выходная/зависимая переменная — s .
Давайте построим график, чтобы увидеть, что происходит.
В этом примере у нас нет таких вещей, как 1,5 банки теннисных мячей. Это 1 банка, 2 банки, 3 банки и так далее. Поскольку мы не можем использовать значения от 1 до 2, мы говорим, что это дискретная функция.
На графике эта зависимость будет выглядеть так:
Каковы домен и диапазон для этой функции? Нажмите ниже, чтобы проверить свой ответ.
- Печать
- Поделиться
Давайте изучим домен и набор функций
¶Домен и набор дискретных функций.
Когда \(y\) является функцией \(x\text{,}\), множество всех \(x\)-координат в наборе называется областью определения функции, а множество всех \(y \)-координат называется областью действия функции.
Например, область определения функции \(f\), упорядоченные пары которой показаны на рис. 5.4.1, равна \(\{-1,3,6,-7,2,-5\}\text{.} \) Диапазон \(f\) равен \(\{7,-1,4,0\}\text{.}\) Обратите внимание, что \(7\) указан только один раз в диапазоне, хотя он \(y\)-координата более чем одной точки множества. Либо \(7\) является элементом диапазона, либо нет — он не может быть элементом несколько раз (даже если он может быть \(y\)-координатой нескольких упорядоченных пар в функции).
| \(х\) | \(у\) |
| \(-1\) | \(7\) |
| \(3\) | \(-1\) |
| \(6\) | \(7\) |
| \(-7\) | \(4\) |
| \(2\) | \(7\) |
| \(-5\) | \(0\) |
Функция \(f\), описанная на рисунке 5.4.1, называется дискретной функцией. Дискретная функция — это функция, в которой и домен, и диапазон могут быть перечислены как отдельные элементы в наборе.
Это по сравнению с непрерывной функцией, такой как линия. Область определения линейной функции — это все действительные числа, и невозможно записать каждое действительное число в список.
Дискретные функции очень распространены в реальной жизни. Например, предположим, что вы посещаете занятия по психологии. Рассмотрим всех студентов, присутствующих в первый день занятий. Мы могли бы определить функцию, где \(x\)-координаты составляют возраст студентов, а \(y\)-координаты составляют соответствующую кредитную нагрузку студента. В этом случае домен функции будет набором всех возрастов учащихся, а диапазоном будет набор всех кредитных нагрузок учащихся. Этот тип функции часто анализируется в области статистики.
Домен и набор непрерывных функций.
На первых занятиях по алгебре и исчислению гораздо чаще приходится работать с (в основном) непрерывными функциями. Хотя существует формальное определение непрерывной функции, оно опирается на контекст, который не встречался до исчисления.
Рассмотрим функцию \(g\text{,}\), показанную на рис. 5.4.2. Мы видим, что функция имеет точки для всех \(x\)-координат между \(-2\) и \(4\text{.}\) Незакрашенный круг в точке \((-2,-3) \) указывает, что точка не находится на функции, поэтому \(-2\) не является частью домена. Сплошная точка в точке \((4,3)\) указывает на то, что точка является частью функции, поэтому \(4\) находится в домене.
Рисунок 5.4.2. \(у=г(х)\) Мы можем указать домен, используя интервальную нотацию. В этом формате доменом является \((-2,4]\text{.}\) Напомним, что круглая скобка указывает, что конечная точка не включена в набор, тогда как квадратная скобка указывает, что конечная точка включена в набор.
Мы также можем указать домен, используя нотацию построителя наборов. В этом формате домен имеет вид \(\{x \mid -2 \lt x\leq 4\}\text{.}\)
.При работе с непрерывной функцией мы можем думать о домене как о тени, которую функция отбрасывает на ось \(x\), и о диапазоне, который тень отбрасывает на ось \(y\). На рисунке 5.4.3 я добавил эти две тени. Из тени, отбрасываемой на ось \(y\), мы видим, что диапазон \(g\) равен \([-5,3]\text{.}\). диапазон: \(\{y \mid -5 \leq y \leq 3\}\text{.}\)
Рисунок 5.4.3. \(у=г(х)\)Теперь рассмотрим функцию \(h\), показанную на рисунке 5.4.4. Из теней, отбрасываемых на оси, мы можем сделать вывод, что область определения функции равна \((-\infty,-3] \cup (4,\infty)\), а диапазон равен \((-\infty,- 5) \cup [1,\infty)\text{.}\)
Рисунок 5.4.4. \(у=ч(х)\) Напомним, что начало интервала символами «\((-\infty,\,…\)» означает, что интервал не имеет левого конца, а окончание интервала символами «\(…\, \infty)\)» означает, что интервал не имеет правой конечной точки.
Используя нотацию построителя наборов, домен \(h\) равен \(\{x \mid x \leq -3 \,\text{or}\, x \gt 4\}\), а диапазон равен \( \{y \mid y \lt -5 \,\text{or}\, y \geq 1\}\text{.}\) Та же самая область применима к функции, формула которой является абсолютным значением полиномиальной функции.
Определение доменов по функциональным формулам.
Обратимся теперь к определению областей определения функций, где нам представлена формула для функции. Сейчас мы ограничим наше обсуждение тремя типами функций: полиномиальными функциями, радикальными функциями и рациональными функциями.
Мы начнем с полиномиальных функций, потому что это самый простой тип функций для определения области определения. Если не указано иное, областью определения любой полиномиальной функции, включая линейные и квадратичные функции, является множество всех действительных чисел, которые мы записываем как \((-\infty,\infty)\) или \(\{x \mid x \in \mathbb{R}\}\text{.
}\) То же верно для функции, где формула является абсолютным значением полиномиальной функции.
При определении области определения радикальной функции первое, что необходимо учитывать, — это индекс радикала. А пока предположим, что подкоренное число (выражение под подкоренным символом) является полиномиальной функцией.
Если индекс нечетный, областью определения функции снова являются все действительные числа. Это потому, что нечетный корень действительного числа всегда является действительным числом.
С другой стороны, если индекс подкоренной части четный, подкоренная часть не может быть отрицательной, поскольку четный корень отрицательного числа не является действительным числом.
Пример 5.4.5.
Определить области определения функций \(f(x)=\sqrt{3-15x}\) и \(g(x)=\sqrt[3]{3-15x}\text{.}\)
Раствор
Подкоренная часть функции извлечения квадратного корня не может быть отрицательной. Мы можем определить область, установив подкоренное число больше или равное нулю и решив полученное неравенство.
\begin{выравнивание*} 3-15x \amp\geq 0\\ 3-15x\subtractright{3} \amp\geq 0\subtractright{3}\\ -15x \amp\geq -3\\ \divideunder{-15x}{-15} \amp\leq \divideunder{-3}{-15}\\ х \amp\leq \frac{1}{5} \end{align*}
Таким образом, областью \(f\) является \(\left(-\infty,\frac{1}{5}\right]\), что также можно записать как \(\{ х \mid x \leq \frac{1}{5}\}\text{.}\)
Поскольку формула для \(g\) является нечетным корнем полиномиальной функции, областью определения \(g\) является \((-\infty,\infty)\), что также можно записать как \(\ {x \mid x \in \mathbb{R}\}\text{.}\)
Наконец, обратимся к рациональным функциям. Рациональная функция — это функция, которая может быть выражена в виде многочлена над многочленом. Поскольку областью определения любой полиномиальной функции являются все действительные числа, независимо от значения \(x\text{,}\) рациональная функция будет давать числа как в числителе, так и в знаменателе. В большинстве случаев мы можем просто разделить два числа.
2+7t-70}\text{.}\) 92+7т-70 \амп\нэкв 0\\
(t+10)(t-3) \amp\neq 0
\end{выравнивание*}
\begin{выравнивание*} t+10 \amp\neq 0 \amp\amp\text{ и }\amp t-3 \amp\neq 0\\ t+10\subtractright{10} \amp\neq 0\subtractright{10} \amp\amp\text{ и }\amp t-3\addright{3} \amp\neq 0\addright{3}\\ t \amp\neq -10 \amp\amp\text{ и }\amp t \amp\neq 3 \end{align*}
Домен \(l\) равен \((-\infty,-10) \cup (-10,3) \cup (3,\infty)\), что также можно записать как \(\{x \mid x \neq -10 \,\text{and}\, x \neq 3\}\)
Пример 5.4.8. 92+4x \amp\neq 0\\ x \dot (x+4) \amp\neq 0 \end{выравнивание*}
\begin{выравнивание*} x+4 \amp\neq 0 \amp\amp\text{ и }\amp x \neq 0\\ x+4\subtractright{4} \amp\neq 0\subtractright{4} \amp\amp\text{ и }\amp x \neq 0\\ x \amp\neq -4 \amp\amp\text{ и }\amp x \neq 0 \end{align*}
Домен \(k\) равен \((-\infty,-4) \cup (-4,0) \cup (0,\infty)\), что также можно записать как \(\{x \mid x \neq -4 \,\text{and}\, x \neq 0\}\text{.}\)
Упражнения Упражнения
Определите домен каждой из следующих функций.
Где возможно, укажите домен, используя обозначение интервала.
1.
\(у(х)=\sqrt{15-х}\)
Решение
Чтобы определить область определения \(y(x)=\sqrt{15-x}\text{,}\), начнем с того, что мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа (по крайней мере, из вещественные числа). Это дает нам следующее.
\begin{выравнивание*} 15-х \amp\ge 0\\ 15-x\subtractright{15} \amp\ge 0\subtractright{15}\\ -x \amp\ge -15\\ \multiplyleft{-1}-x \amp\le \multiplyleft{-1}-15\\ х \amp\le 15 \end{align*}
Домен \(y\) равен \((-\infty,15]\) 92-9\) определена для всех действительных чисел, как и функция кубического корня. Таким образом, домен \(f\) равен \((-\infty,\infty)\text{.}\)
3.
\(ш(х)=\фракция{х-7}{х-12}\)
Решение
Чтобы определить область определения \(w(x)=\frac{x-7}{x-12}\text{,}\), мы начнем с того, что заметим, что мы не можем делить на ноль.
Это дает нам следующее.
\begin{выравнивание*} х-12 \amp\ne 0\\ x-12\addright{12} \amp\ne 0\addright{12}\\ х \amp\ne 12 \end{align*}
Домен \(w\) равен \((-\infty,12) \cup (12,\infty)\text{.}\) 92+16\) является положительным для всех действительных числовых значений \(t\text{,}\), поэтому никакое значение \(t\) не вызовет деления на ноль. Таким образом, домен \(k\) равен \((-\infty,\infty)\text{.}\)
Определите домены и диапазоны функций, представленных графически.
7.
Определите область определения и диапазон функции \(f\), показанной на рисунке 5.4.10. Задайте домен и диапазон, используя обозначение интервала.
Рисунок 5.4.10. \(y=f(x)\)Решение
Домен: \([-4,5),\text{.}\) Диапазон: \([-1,5]\text{.}\ ) См. рисунок 5.4.11.
Рисунок 5.4.11. \(у=f(х)\)8.
Определите область определения и диапазон функции \(g\), показанной на рисунке 5.4.12. Задайте домен и диапазон, используя обозначение интервала.